函数与不等式恒成立1

专题一： 函数与不等式恒成立
（一） 利用判别式
本类型题源自初中，对x ∈R 适用。

例1 若y=lg ［x 2 +（k+2）x+5
4］的定义域为R ，则求k 的取值范围。

解：转化为x 2 +（k+2）x+5
4＞0对x ∈R 恒成立。

∆= （k+2）2-4 ·5
4
＜0
（k+2）2＜5
∴k ∈（-2-5，5-2）
练习1若ax 2+x+a ＜0解集为∅，求a 范围。

解：转化为ax 2+x+a ≥0解集为R 。

①a=0，x ≥0（舍） ②a ＞0，∆≤0 ∴a ≥12
综合得：a ≥
12
2 若x ∈R ，sin x 2 +2kcosx-2k-2＜0恒成立,求k 的取值范围。

解：转化为cosx 2-2k cosx+2k+1＞0
①∆＜0 即k ∈（1-2，1+2）成立 ②∆=0 即k=1-2，1+2代入得k=1+2
∆＞0
③ f （1）＞0 得k ＞1+2
k ≥1
综合得①②③：k ＞1-2
（二） 利用变量分离
练习2的另解：2k ＞2cos 1
cos 1
x x +-
令t=cosx-1∈【-2,0】 当cosx-1=0代回原式成立 当t= cosx-1∈【-2,0）时 2k ＞t+
2t
+2 （t+
2
t
+2）最大值为2-22 ∴k ＞1-
2
注：利用变量分离要擅长求各种基本函数的值域，诸如一次函数，二次函数， 反比例函数，耐克函数，幂指对数函数，三角及利用单调性求值域。

练习 1 已知f （x ）= 2x -
12
x ∣∣。

①若f （x ）=2，求x 的值。

②若2t
f （2t ）+m f （t ）≥0 对于t ∈【1,2】恒成立，求实数m 的取值范围。

（2008上海市高考题19）
解：①x ＜0，f （x ）=0（舍）；
x ＞0，f （x ）=2x -1
2
x =2, ∴x=㏒2(12)+ ②t ∈【1, 2】，2,t （2,2t - 212t ）+m （2t - 1
2
t ）≥0
2,t （2,t +1
2
t ）+m ≥0
2,2t +1≥-m ∴m ∈【-5,+∞】
注：去绝对值和对含字母代数式因式分解是基本功。

2 已知二次函数f （x ）=x 2+bx+1（b ∈R ）满足f （-1）= f （3）。

x ＞1时f （x ）反 函数为f ,-1（x ），且f ,-1（x ）＞m （m-x ）在x ∈【14,1
2
】恒成立，求实数m 的取值 范围。

解：-
2
b
=1 ∴b=-2 ∴f （x ）= x 2-2x+1=（x-1）2
当x ＞1时，f ,-1（x ）= x +1（x ＞0）
x +1＞m 2-m x
（m+1）x ＞m 2-1
① m= -1（舍） ② m ＞-1，
x ＞m-1 ∴m -1＜12 ∴-1＜m ＜3
2
③ m ＜-1，x ＞m-1 ∴m ＞1+
2
2
（舍） 综合①②③得：m ∈（-1，,
32
） （三） 构造函数法
练习2的另解：x +1＞m 2-m x 对x ∈【14,1
2
】恒成立
x （1+m ）+（1+ m 2）＞0看作关于x 的一次函数
f （
1
4）＞0 f （12）＞0 ∴-1＜m ＜3
2
练习 1 已知函数f （x ）= ∣1-x ∣，g （x ）=2mx+m ，对满足∣m ∣＜1的一切 实数m 都有f （x ）＞g （x ），求x 的范围。

注：变量分离，构造函数都可以，答案：x ∈（-2，,0）
2 若关于x 的不等式x 2+
12x- 1()2
n ≥0对于任意n ∈*
N 在x ∈（-∞，m 】 恒成立，则实常数m 的取值范围：＿＿＿＿（答案：m ≤-1）
注：练习2中隐含A ⊆B 时A ⇒B 恒成立
（四） 数形结合法
例 （2009上海高考题11）当0≤x ≤1时，不等式sin 2
π
x ≥kx 成立，则实数k 的取值范围是＿＿＿＿（答案：k ≤1）
（五） 恒成立在各章节中的综合应用 1恒成立在集合中
例 （2012虹口一模）已知集合A= {x ∣x 2- 4x+3<0,x ∈R }, B={x ∣1x
-2
+a ≤0且x 2- 2（a+7）x+5≤0，x ∈R }，若A ⊆B ，则实数a 的
取值范围：＿＿＿＿（答案：【-4,-1】）
注：A ⊆B 时A ⇒B 恒成立
2恒成立在数列中
例1 已知数列{a n }的前n 项和为s n ，对于任意m ，n ∈*
N 均满足s n + s m =
s m n +，且a 1=2，则a =＿＿＿＿（答案：2）
分析：恒成立隐含任意取值：s 1+ s 2010= s 2011⇒a 2011=2
例2 （2012宝山一模23）已知函数f （x ）= ㏒2x ，若2，f （a 1），f （a 2），
…，f （a n ），2n+4（n ∈*N ）成等差数列。

（1）求数列a n 的通项公式；（2）设
g （k ）是不等式㏒2x + ㏒2(3)k a x -≥2k+3（k ∈*
N ）整数解的个数，求g （k ）； （3）记数列{
12
n
a }的前n 项和为s n ，是否存在正数m ，对任意正整数n ，k ，使得s n -m k a <2m 恒成立？若存在，求m 范围；若不存在，说明理由。

（3）解：s n =1-
14n
， k a =1
2k + 1- 1
4
n -m·12k +<2m ∴1-4m <2
m ∴m ≥-2+5
3恒成立在三角中
（2012杨浦21）若函数y= f （x ），存在给定实数对（a ，b ）使f （a+x ）f （a-x ） =b 恒成立，则称y= f （x ）为“Ω”函数。

⑴判断下列函数是否为“Ω”函数并说明理由：① f （x ）= 3
x ； ② f （x ）= 2x
⑵已知f （x ）=tanx 是一个“Ω”函数，求所有有序实数对。

解： ⑴ ① 不是； ② 是； ⑵ （k π+
4π，1）∪（k π-4
π
，1） 注：⑵ 解题理论突破口可结合mx+y+1-m=0恒过定点的类型。

4恒成立与有解的区别
例 k·
4x -k·1
2x ++6（k-5）＜0在[0,1]有解，则k 的取值范围：＿＿＿＿
（答案：k ＜6）。