恒成立问题----不等式恒成立、能成立、恰成立问题分析及应用(例题+练习+答案)
不等式恒成立、能成立问题
不等式恒成立、能成立问题是一种常见题型，会以各种形式出现， 其解法多变，具有一定的技巧性，解答这类题的关键是等价转化(如判 别式法、分离参数法、数形结合法、主参换位法等)，通过转化使恒成 立、能成立问题得到简化，而转化过程往往渗透着多种数学思想和方 法的应用，能提升学生的逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养.
∴x2－x＋1<63⇔x2－x－1<0⇔1－2
5 1＋ <x< 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
5，
∴x 的取值范围为x1－2
5 1＋ <x< 2
5
.
方法二 mx2－mx－6＋m<0⇔(x2－x＋1)m－6<0，
设y＝(x2－x＋1)m－6，该函数为以m为自变量的一次函数，
∵1≤m≤3，∴该函数的图象为一条线段，
要使y＝(x2－x＋1)m－6<0对满足1≤m≤3的所有m均成立，
(2)关于x的不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1<0的解集为R，求实数a的取值 范围.
解 ①若a2－1＝0，即a＝±1时，
若a＝1，不等式变为－1<0，解集为R；
若 a＝－1，不等式变为 2x－1<0，解集为xx<12
，
∴a＝1时满足条件.
②若a2－1≠0，即a≠±1时，
原不等式解集为 R 的条件是aΔ2＝－1a<－0，12＋4a2－1<0， 解得－35<a<1. 综上所述，当－35<a≤1 时，原不等式的解集为 R.
x2－x＋1·1－6<0， 只需x2－x＋1·3－6<0，
解得1－2
5 1＋ <x< 2
5，
∴x 的取值范围为x1－2
考点练习(必修五)：不等式的恒成立问题(附答案)
不等式恒成立问题一、利用根的判别式1. 若(m ＋1)x 2－(m －1)x ＋3(m －1)<0对任何实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(－∞，－1)C.⎝⎛⎭⎫－∞，－1311 D.⎝⎛⎭⎫－∞，－1311∪(1，＋∞)2. 已知不等式22230ax ax a -++>的解集为R,则a 的取值范围是（ ）A.a ≥0B.a ＞0C.a ≥－3D.a ＞－33. 若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为__________.4. 若关于x 的不等式2224< 24ax ax x x +-+对一切x R ∈恒成立，则a 的取值范围是____．5. 若不等式x 2－4x ＋3m <0的解集为空集，则实数m 的取值范围是________．6. 若不等式x 2＋mx ＋m2>0恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，2)C ．(－∞，0)∪(2，＋∞)D ．(0,2)7. 若不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为( )A ．(－3,0)B ．[－3,0)C ．[－3,0]D ．(－3,0]8. 已知f (x )＝x 2＋2(a －2)x ＋4，如果对一切x ∈R ，f (x )＞0恒成立，求实数a 的取值范围．9. 已知函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1，是否存在实数m 对所有的实数x ，f (x )<0恒成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．10. 不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________．11. 若函数f (x )＝log 2(x 2－2ax －a )的定义域为R ，则a 的取值范围为________．12. 定义在R 上的运算：()*1x y x y =-，若不等式()()*1x y x y -+<对一切实数x 恒成立，则实数y 的取值范围是______．13. 设0πα≤≤，不等式()288sin cos20x x αα-+≥对x ∈R 恒成立，则α的取值范围为 .14. 已知函数)()lgf x x x =+，若不等式()()33920x x x f m f ⋅+--<对任意x ∈R恒成立，求实数m 的取值范围.二、转化为函数最值问题1. 若关于x 的不等式x 2－4x －m ≥0对任意x ∈(0,1]恒成立，则m 的最大值为( )A ．1B ．－1C ．－3D ．32. 当x ∈(1,2)时，不等式240x mx ++<恒成立，则m 的取值范围是_______________.3. 设函数f (x )＝mx 2－mx －1(m ≠0)，若对于x ∈[1,3]，f (x )＜－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．4. 对一切实数x ，不等式x 2＋a |x |＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是________．5. 已知函数()221f x x ax =-+对任意0 1]x ∈（，恒有()0f x ≥成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[1 +∞，）B ．[1 2∞-+，）C ．1] -∞（，D ．12]∞--（，6. 当[2,1]x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）.A ．[]5,3--B ．96,8⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．[]6,2--D ．[]4,3--7. 已知()()()()23 22x f x m x m x m g x =-++=-，．若任意() < 0x R f x ∈，或()< 0g x ，则m 的取值范围是________．三、变更主元1. 对任意m ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m ≥0恒成立，求x 的取值范围．2. 已知函数y ＝x 2＋2(a －2)x ＋4，对任意a ∈[－3,1]，y ＜0恒成立，试求x 的取值范围．3. 对任意a ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零，则x 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(－∞，1)∪(3，＋∞)C ．(1,2)D ．(－∞，1)∪(2，＋∞)4. 已知不等式mx 2－2x ＋m －2<0.(1)若对于所有的实数x 不等式恒成立，求m 的取值范围；(2)设不等式对于满足|m |≤2的一切m 的值都成立，求x 的取值范围．5. 设函数21f x mx mx =--（） （1）若对一切实数() < 0x f x ，恒成立，求m 的取值范围． （2）若对一切实数 2 [ 2]m ∈-，，()< 5f x m -+恒成立，求x 的取值范围．四、存在问题1. 存在实数x ，使得243< 0x bx b -+成立，则b 的取值范围是________．2. 若不存在整数x 使不等式()()2440kx k x <---成立，则实数k 的取值范围是____．3. 关于x 的不等式()21< 0x a x a -++的解集中恰有3个整数解，则a 的取值范围是________．4. 已知f(x)＝x2＋2(a－2)x＋4，是否存在实数a，使得对任意x∈[－3,1]，f(x)＜0恒成立．若存在求出a的取值范围；若不存在说明理由．5. 已知函数f(x)＝2kxx2＋6k(k＞0)．(1)若f(x)＞m的解集为{x|x＜－3或x＞－2}，求不等式5mx2＋kx＋3＞0的解集；(2)若存在x＞3，使得f(x)＞1成立，求k的取值范围．参考答案 不等式恒成立问题一、利用根的判别式1. 解析：选C ①当m ＝－1时，不等式为2x －6<0，即x <3，不符合题意．②当m ≠－1时，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1<0，Δ<0，解得m <－1311，符合题意．故实数m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－1311. 2. 【答案】A 【解析】由题意可知当时,符合题意；当时，要求解得.综上所述a 的取值范围是a ≥0.. 3.【解析】当时，不等式变形为，解集为，符合题意； 当时，依题意可得，综上可得．4. 【答案】]2 2-（，【解析】不等式2224< 24ax ax x x +-+，可化为()()22224< 0a x a x -+--， 当20a -=，即2a =时，恒成立，合题意．当20a -≠时，要使不等式恒成立， 需020a ∆<⎧⎨-<⎩，解得2< < 2a -．所以a 的取值范围为]2 2-（，．故答案为：]2 2-（，5. 解析：由题意，知x 2－4x ＋3m ≥0对一切实数x 恒成立，所以Δ＝(－4)2－4×3m ≤0，解得m ≥43. 答案：⎣⎡⎭⎫43，＋∞ 6. 解析：选D ∵不等式x 2＋mx ＋m2>0，对x ∈R 恒成立，∴Δ<0即m 2－2m <0，∴0<m <2.7. 解析：选D 当k ＝0时，显然成立；当k ≠0时，即一元二次不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则⎩⎪⎨⎪⎧k <0，Δ＝k 2－4×2k ×⎝⎛⎭⎫－38<0，解得－3<k <0. 综上，满足不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立的k 的取值范围是(－3,0]．8. [解] 由题意可知，只有当二次函数f (x )＝x 2＋2(a －2)x ＋4的图象与直角坐标系中的x 轴无交点时，才满足题意，则其相应方程x 2＋2(a －2)x ＋4＝0此时应满足Δ＜0，即4(a －2)2－16＜0，解得0＜a ＜4.故a 的取值范围是(0,4)．9. 已知函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1，是否存在实数m 对所有的实数x ，f (x )<0恒成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．解：f (x )＝mx 2－2x －m ＋1＜0恒成立，即函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1的图象全部在x 轴下方． 当m ＝0时，1－2x ＜0，则x ＞12，不满足题意；当m ≠0时，函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1为二次函数，需满足开口向下且方程mx 2－2x －m ＋1＝0无解，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，Δ＝4－4m－m ＜0，不等式组的解集为空集，即m 无解． 综上可知不存在这样的m .10. 解析：∵不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，∴Δ＝a 2－4×4>0，即a 2>16. ∴a >4或a <－4.答案：(－∞，－4)∪(4，＋∞)11. 解析：已知函数定义域为R ，即x 2－2ax －a ＞0对任意x ∈R 恒成立．∴Δ＝(－2a )2＋4a ＜0. 解得－1＜a ＜0. 答案：(－1,0) 12.【答案】13 22⎛⎫- ⎪⎝⎭，【解析】由已知()()()()*11x y x y x y x y -+=---<对一切实数x 恒成立， 所以2210x x y y --++>对一切实数x 恒成立，所以()21410y y ∆=--++<，所以1322y -<<． 13. 分析 根据开口向上的二次函数定义域为R 时函数值非负的条件()0∆≤列式直接运算求解.解析 由题意，要使()288sin cos20x x αα-+≥对x ∈R 恒成立，需264sin32cos20∆αα=-≤，化简得1cos 22α≥.又0πα≤≤，所以π5π0222π33αα或≤≤≤≤，解得π5π0π66αα或≤≤≤≤. 答案：0,π5π⎡⎤⎡⎤,π⎢⎥⎢⎥66⎣⎦⎣⎦. 14. 略二、转化为函数最值问题1. 解析：选C 由已知可得m ≤x 2－4x 对一切x ∈(0,1]恒成立，又f (x )＝x 2－4x 在(0,1]上为减函数，∴f (x )min ＝f (1)＝－3，∴m ≤－3. 2. (],5-∞-3. 解：要使f (x )＜－m ＋5在[1,3]上恒成立，则mx 2－mx ＋m －6＜0，即m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6＜0在x ∈[1,3]上恒成立． 有以下两种方法：法一：令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]． 当m ＞0时，g (x )在[1,3]上是增函数，所以g (x )max ＝g (3)＝7m －6＜0. 所以m ＜67，则0＜m ＜67.当m ＜0时，g (x )在[1,3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)＝m －6＜0. 所以m ＜6，则m ＜0.综上所述，m 的取值范围是(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫0，67. 法二：因为x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34＞0，又因为m (x 2－x ＋1)－6＜0，所以m ＜6x 2－x ＋1. 因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m ＜67即可． 因为m ≠0，所以m 的取值范围是(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫0，67.4. 解析：当x ＝0时，不等式恒成立，当x ≠0时，将问题转化为－a ≤1|x |＋|x |，由1|x |＋|x |≥2，故－a ≤2，即a ≥－2.所以实数a 的取值范围为[－2，＋∞)．答案：[－2，＋∞)5. 【答案】C【解析】解法一：依题意可得2440a ∆=-≤，或0(0)0202f a ∆>⎧⎪-⎪-⎨≤≥⎪⎪⎩或1(1)0202f a ∆>⎧⎪-⎪-⎨≥≥⎪⎪⎩，解得11a ≤≤-，或01 1 10a a a ><-⎧≥⎪≤⎪⎨⎩或或111 1 a a a a ><-⎧≤⎪≥⎪⎨⎩或，即有11a ≤≤-，或1a <-或a ∈∅，故实数a 的取值范围是：1] -∞（，． 解法二：()221f x x ax -=+对任意0 1]x ∈（，恒有()0f x ≥成立，即有12a x x≤+在0 1]x ∈（，恒成立，由于12x x+≥，当且仅当1x =取最小值2，则22a ≤，即有1a ≤．故选C ． 6. 略7.【答案】()4 0-，【解析】因为()22x g x =-，当1x ≥时，()0g x ≥，又因为任意x R ∈，()< 0f x 或()< 0g x ， 所以此时()()()230f x m x m x m =-++<在1x ≥时恒成立．若()0 0m f x ==，恒成立，不符合，0m ≠故， 则由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与x 轴交点都在（1，0）的左面 则03121m m m <⎧⎪--<⎨⎪<⎩，所以40m -<<．故答案为： 4 0-（，）．三、变更主元1. 解：由f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m ＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4，令g (m )＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4.由题意知在[－1,1]上，g (m )的值恒大于零，∴⎩⎪⎨⎪⎧g (－1)＝(x －2)×(－1)＋x 2－4x ＋4>0，g (1)＝(x －2)＋x 2－4x ＋4>0， 解得x <1或x >3.故当x ∈(－∞，1)∪(3，＋∞)时，对任意的m ∈[－1,1]，函数f (x )的值恒大于零．2. 解：原函数可化为g (a )＝2xa ＋x 2－4x ＋4，是关于a 的一元一次函数．要使对任意a ∈[－3,1]，y ＜0恒成立，只需满足⎩⎪⎨⎪⎧ g＜0，g －＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＋4＜0，x 2－10x ＋4＜0. 因为x 2－2x ＋4＜0的解集是空集，所以不存在实数x ，使函数y ＝x 2＋2(a －2)x ＋4，对任意a ∈[－3,1]，y ＜0恒成立． 3. 解析：选B 设g (a )＝(x －2)a ＋(x 2－4x ＋4)，g (a )>0恒成立且a ∈[－1,1]⇔⎩⎪⎨⎪⎧ g ＝x 2－3x ＋2>0，g－＝x 2－5x ＋6>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x <1或x >2，x <2或x >3⇔x <1或x >3. 4. 解：(1)对所有实数x ，都有不等式mx 2－2x ＋m －2<0恒成立，即函数f (x )＝mx 2－2x ＋m －2的图象全部在x 轴下方．当m ＝0时，－2x －2<0，显然对任意x 不能恒成立； 当m ≠0时，由二次函数的图象可知有⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝4－4mm －，解得m <1－2，综上可知，m 的取值范围是(－∞，1－2)．(2)设g (m )＝(x 2＋1)m －2x －2，它是一个以m 为自变量的一次函数，由x 2＋1>0，知g (m )在[－2,2]上为增函数，则只需g (2)<0即可，即2x 2＋2－2x －2<0，解得0<x <1. 故x 的取值范围是(0,1)．5. 【答案】（1）]( 4 0-，；（2）()1 2-，． 【解析】（1）当0m =时，()211f x mx mx =--=-，对一切实数x ，()< 0f x 恒成立； 当0m ≠时，若对一切实数x ，()< 0f x 恒成立，则有2040m m m <⎧⎪⎨+<⎪⎩，所以4< < 0m -，综上，m 的取值范围是]( 4 0-，． （2）因为()< 5f x m -+，所以21< 5mx mx m ---+，所以()216< 0x x m -+-， 因为对一切实数 2 [ 2]m ∈-，，()< 5f x m -+恒成立，且21>0x x -+，所以只需()2216< 0x x -+-，解得1< < 2x -．所以x 的取值范围是()1 2-，．四、存在问题1. 【答案】3> < 04b b 或【解析】因为存在实数x ，使得243< 0x bx b -+成立的等价说法是：存在实数x ，使得函数243y x bx b =-+的图象在x 轴下方，即函数与x 轴有两个交点，故对应的()23443>0< 0>4b b b b ∆=--⨯⇒或．故答案为：< 0b 或3>4b ．2. 【答案】14k ≤≤【解析】设原不等式的解集为A ，当0k =时，则>4x ，不合题意，当>0k 且2k ≠时，原不等式化为[]44< 0x k x k -+-（）（），因为4>4k k+，所以44 ()A k k =+，，要使不存在整数x 使不等式()()244< 0kx k x ---成立，需45k k+≤，解得：14k ≤≤；当2k =时，A =∅，合题意；当< 0k 时，原不等式化为44>[]0x k x k-+-（）（），所以44 A k k=-∞++∞（，）（，），不合题意，故答案为：14k ≤≤．3. 【答案】 3 2 ]4 [5--，）（，【解析】由()21< 0x a x a -++，得()()1< 0x x a --，若1a =，则不等式无解． 若>1a ，则不等式的解为1< < x a ，此时要使不等式的解集中恰有3个整数解，则此时3个整数解为 2 3 4x =，，，则45a <≤．若1a <，则不等式的解为1a x <<，此时要使不等式的解集中恰有3个整数解，则此时3个整数解为0 1 2x =--，，，则3< 2a -≤-．综上，满足条件的a 的取值范围是 3 2 ]4 [5--，）（，．故答案为： 3 2 ]4 [5--，）（，．4. 解：若对任意，x ∈[－3,1]，f (x )＜0恒成立，则满足题意的函数f (x )＝x 2＋2(a －2)x ＋4的图象如图所示．由图象可知，此时a 应该满足⎩⎪⎨⎪⎧f－＜0，f ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧25－6a ＜0，1＋2a ＜0，解得⎩⎨⎧a ＞256，a ＜－12.这样的实数a 是不存在的，所以不存在实数a 满足：对任意x ∈[－3,1]，f (x )＜0恒成立．5. 解：(1)由不等式f (x )＞m ⇔2kxx 2＋6k＞m ⇔mx 2－2kx ＋6km ＜0，∵不等式mx 2－2kx ＋6km ＜0的解集为{x |x ＜－3或x ＞－2}， ∴－3，－2是方程mx 2－2kx ＋6km ＝0的根，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2k m ＝－5，6k ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，m ＝－25，故有5mx 2＋kx ＋3＞0⇔2x 2－x －3＜0⇔－1＜x ＜32， ∴不等式5mx 2＋kx ＋3＞0的解集为⎝⎛⎭⎫－1，32. (2)f (x )＞1⇔2kxx 2＋6k＞1⇔x 2－2kx ＋6k ＜0⇔(2x －6)k ＞x 2.存在x ＞3，使得f (x )＞1成立，即存在x ＞3，使得k ＞x 22x －6成立．令g (x )＝x 22x －6，x ∈(3，＋∞)，则k ＞g (x )min .令2x －6＝t ，则x ＝t ＋62，则t ∈(0，＋∞)，y ＝⎝⎛⎭⎫t ＋622t＝t 4＋9t＋3≥2 t 4·9t＋3＝6， 当且仅当t 4＝9t ，即t ＝6时等号成立．当t ＝6时，x ＝6，∴g (x )min ＝g (6)＝6，故k 的取值范围为(6，＋∞)．。
19专题(导数应用)恒成立与存在性问题
(2)已知f(x)=lnx:
①设F(x)=f(x+2)- 2 x ，求F(x)的单调区间；
x 1
②若不等式f(x+1)≤f(2x+1)-m2+3am+4对任意a∈[-1,1]，
x∈[0,1]恒成立，求m的取值范围.
【解题指南】
(2)由题意只需解不等式F′(x)＞0和F′(x)＜0即可得到单调区 间；原不等式恒成立可转化为 lnx13m a 恒 成4 立m ，2进一
得 f(mx－2)<－f(x)＝f(－x)，
∴mx－2<－x，mx－2＋x<0 在 m∈[－2,2]上恒成立．
记 g(m)＝xm－2＋x， 则gg((－2)<20)<，0， 即－2x2－x－2＋2＋x<x0<，0， 得－2<x<23.
答案 －2，23
Hale Waihona Puke 返回4.(2011·湖南高考)
[答案] B
已知函数 f(x)＝ex－1，g(x)＝－x2＋4x－3.若有 f(a)＝g(b)，
(2)方法一：由题意知ex-a≤0在(-∞，0］上恒成立. ∴a≥ex在(-∞，0］上恒成立. ∵ex在(-∞，0］上为增函数. ∴当x=0时，ex最大为1. ∴a≥1.同理可知ex-a≥0在［0，+∞)上恒成立. ∴a≤ex在［0，+∞)上恒成立.∴a≤1，∴a=1. 方法二：由题意知，x=0为f(x)的极小值点. ∴f′(0)=0,即e0-a=0,∴a=1，验证a=1符合题意.
∴ F(x) max ﹤0
5. ∀x1∈D, ∀x2∈E,均有 f(x1) >g(x2)恒成立， 则 f(x)min> g(x)max
6. ∀x1∈D, ∀x2∈E,均有 f(x1) <g(x2)恒成立， 则 f(x) max < g(x) min
(完整word版)导数与恒成立、能成立问题及课后练习(含答案),推荐文档
导数与恒成立、能成立问题专题一、基础理论回顾1、恒成立问题的转化：()a f x >恒成立⇒()max a f x >；()()min a f x a f x ≤⇒≤恒成立2、能成立问题的转化：()a f x >能成立⇒()min a f x >；()()max a f x a f x ≤⇒≤能成立3、恰成立问题的转化：()a f x >在M 上恰成立⇔()a f x >的解集为M ()()R a f x M a f x C M ⎧>⎪⇔⎨≤⎪⎩在上恒成立在上恒成立另一转化方法：若A x f D x ≥∈)(,在D 上恰成立，等价于)(x f 在D 上的最小值A x f =)(min ，若 ,D x ∈B x f ≤)(在D 上恰成立，则等价于)(x f 在D 上的最大值B x f =)(max .4、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min min ≥5、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max max ≤6、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min max ≥7、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max min ≤ 8、若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象上方； 9、若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立，等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象下方；二、经典题型解析题型一、简单型例1、已知函数12)(2+-=ax x x f ，xax g =)(，其中0>a ，0≠x ． 1）对任意]2,1[∈x ，都有)()(x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围；（构造新函数） 2）对任意]4,2[],2,1[21∈∈x x ，都有)()(21x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围；（转化）简解：（1）由12012232++<⇒>-+-x x x a x a ax x 成立，只需满足12)(23++=x x x x ϕ的最小值大于a 即可．对12)(23++=x x x x ϕ求导，0)12(12)(2224>+++='x x x x ϕ，故)(x ϕ在]2,1[∈x 是增函数，32)1()(min ==ϕϕx ，所以a 的取值范围是320<<a ． 例2、设函数b x x a x h ++=)(，对任意]2,21[∈a ，都有10)(≤x h 在]1,41[∈x 恒成立，求实数b 的范围． 分析：思路、解决双参数问题一般是先解决一个参数，再处理另一个参数．以本题为例，实质还是通过函数求最值解决．方法1：化归最值，10)(10)(max ≤⇔≤x h x h ；方法2：变量分离，)(10x xab +-≤或x b x a )10(2-+-≤； 方法3：变更主元（新函数），0101)(≤-++⋅=b x a xa ϕ，]2,21[∈a简解：方法1:对b x xax h ++=)(求导，22))((1)(xa x a x x a x h +-=-='，（单调函数） 由此可知，)(x h 在]1,41[上的最大值为)41(h 与)1(h 中的较大者． ⎪⎩⎪⎨⎧-≤-≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤++≤++⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤≤∴ab ab b a b a h h 944391011041410)1(10)41(，对于任意]2,21[∈a ，得b 的取值范围是47≤b ． 例3、已知两函数2)(x x f =，m x g x-⎪⎭⎫ ⎝⎛=21)(，对任意[]2,01∈x ，存在[]2,12∈x ，使得()21)(x g x f ≥，则实数m 的取值范围为 答案：41≥m 题型二、更换主元和换元法例1、已知函数()ln()(x f x e a a =+为常数）是实数集R 上的奇函数，函数()()sin g x f x x λ=+是区间[]1,1-上的减函数，(Ⅰ)求a 的值；(Ⅱ)若[]2()11,1g x t t x λ≤++∈-在上恒成立，求t 的取值范围；(Ⅱ)分析：在不等式中出现了两个字母：λ及t ,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。
不等式恒成立、能成立问题 (1)
√A.{a|－1≤a≤4}
B.{a|－1<a<4}
C.{a|a≥4，或a≤－1}
D.{a|－4≤a≤1}
解析 由题意知，原不等式可化为－(x－2)2＋4≥a2－3a在R上有解， ∴a2－3a≤4，即(a－4)(a＋1)≤0， ∴－1≤a≤4，故选A.
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(2)关于x的不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1<0解集为R，求实数a取值范围.
解 ①若a2－1＝0，即a＝±1时，
若a＝1，不等式变为－1<0，解集为R；
若 a＝－1，不等式变为 2x－1<0，解集为xx<12
，
∴a＝1时满足条件.
微专题2
②若a2－1≠0，即a≠±1时，
5 1＋ <x< 2
5
.
反思 感悟
已知参数的取值范围，求变量x的取值范围时，常常把主要变量 x和参数互换身份，构造以参数为变量的函数，根据参变量的取 值范围求解x的范围.
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解：令y=－x2＋2x＋3，由题意，a2－3a≥ymax=4,
a2－3a-4≥0, (a-4)(a+1)≥0 a≤－1或a≥4，∴实数a ϵ{a|a≤－1或a≥4}.
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分离参数法
4x＋m 例 2 若存在 x∈R，使得x2－2x＋3≥2 成立，求实数 m 的取值范围.
解 ∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2>0， ∴4x＋m≥2(x2－2x＋3)能成立， ∴m≥2x2－8x＋6能成立， 令y＝2x2－8x＋6＝2(x－2)2－2≥－2， ∴m≥－2，∴m的取值范围为{m|m≥－2}.
基本不等式及恒成立问题 - 解析版
基本不等式以及恒成立【教学目标】一、基本不等式基本不等式：如果,a b R ∈，那么22222a b a b ab ++⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭（当且仅当a b =时取“=”号）当0,0a b >>时，22+≥即a b +≥a b =时取“=”号）【例题讲解】 二、基本不等式的构造（一）分式分离【知识点】分式函数求最值，二次比一次型，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。
即化为()(0,0)()A y mg xB A B g x =++>>，()g x 恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。
【例题讲解】★☆☆例题1．已知0x >，求函数254x x y x++=的最小值； 答案：9★☆☆练习1．函数241x x y x −+=−在1x >的条件下的最小值为_________；此时x =_________． 答案：5,3★☆☆练习2．已知0x >，则24x x x−+的最小值是 答案：3解：由于0x >， 41213x x−=，当且仅当2x =时取等号，此时取得最小值3．★★☆练习3． 求2710(1)1x x y x x ++=>−+的最小值。
答案：9解析：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有(1)x +的项，再将其分离。
知识点要点总结：关键点在于对分式不等式的分离，明确对于分式不等式以低次幂的为主导来进行配凑，并且注意对于正负的讨论。
（二）整式凑分式分母形式【知识点】对整式加分式的形式求最值，使用配凑法。
需要调整项的符号，配凑项的系数，使其积为定值，从而利用基本不等式求解最值。
【例题讲解】★☆☆例题1．已知54x <，求函数14245y x x =−+−的最大值。
答案：1 12)45x −不是常数，所以对拆、凑项， 5,4x <∴1⎫当且仅当5备注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。
不等式的恒成立
不等式的恒成立,能成立,恰成立用函数思想作指导,解不等式的恒成立、能成立、恰成立问题的操作程序是这样的:（1）恒成立问题若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于函数()x f 在区间D 上的最小值大于A ,若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于函数()x f 在区间D 上的最大值小于B .（2）能成立问题若在区间D 上存在实数x 使不等式()A x f >成立,即()A x f >在区间D 上能成立, ,则等价于函数()x f 在区间D 上的最大值大于A ,若在区间D 上存在实数x 使不等式()B x f <成立,即()B x f <在区间D 上能成立, ,则等价于函数()x f 在区间D 上的最小值小于B .（3）恰成立问题若不等式()A x f >在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()A x f >的解集为D ,若不等式()B x f <在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()B x f <的解集为D ,不等式的恒成立【例】已知函数()32f x x ax bx c =+++在23x =-与1x =时都取得极值 (Ⅰ)求,a b 的值与函数()f x 的单调区间(Ⅱ)若对[]1,2x ∈-，不等式()2f x c <恒成立，求c 的取值范围。
【解】递增区间是2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭与()1,+∞,递减区间是2,13⎛⎫- ⎪⎝⎭(Ⅱ) 1c <-或2c >. 【例】已知向量),,1(),1,(2t x b x x a -=+=若函数()b a x f ⋅=在区间()1,1-上是增函数，求t 的取值范围【解】 5≥t . 【例】设数列{}n a 的前n 项和为n S ，点,()n S n n n *⎛⎫∈ ⎪⎝⎭N 均在函数32y x =-的图像上.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设13+=n n n a a b ，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n m T <对所有n *∈N 都成立的最小正整数m .【分析及解】（Ⅰ）65()n a n n *=-∈N .（Ⅱ）10m ≥ 【例】已知函数()()22log f x x ax a =--在区间(),13-∞-上是减函数,求实数a 的取值范围.【解】2232a -≤≤. 【例】 设函数()(1)ln(1).f x x x =++若对所有的0,x ≥都有()f x ax ≥成立，求实数a 的取值范围。
高一数学下学期期末复习专题不等式中的恒成立问题
恒成立、能成立、恰成立问题一、学习目标:1.掌握函数中恒成立、能成立、恰成立问题的常见解决方法;2.对恒成立、能成立、恰成立问题的区分；二、温故知新1.若不等式对恒成立，求实数的取值范围。
2.当时，不等式恒成立，求实数的取值范围。
3.函数()()2(2)2()(3)52x x f x a x a x ⎧--<⎪=⎨-+≥⎪⎩满足对任意12x x ≠都有1212()()0f x f x x x ->-成立，则a 的取值范围是 ．三、考点解析：考点一、不等式恒成立问题的处理方法01<-ax []1,2x ∈a )2,1(∈x x x a log )1(2<-a角度一：主参换位例1.（1）若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围。
（2）已知函数13)(2++-=a x ax x f ，若不等式1)(2+-->a x x x f 对任意都成立，求实数的取值范围。
1a ≤2(4)420x a x a +-+->x (0)a ∈+∞，x角度二：转换为求函数的最值例2.已知函数,(1)当时,恒成立,求实数a的取值范围;(2)当时,恒成立,求实数a的取值范围;(3)当时,恒成立,求x的取值范围.例3.（1）已知两函数2)(x x f =，m x g x-⎪⎭⎫ ⎝⎛=21)(，对任意[]2,01∈x ，存在[]2,12∈x ，使得()21)(x g x f ≥， 求实数m 的取值范围。
（2）已知函数213,1()log , 1x x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩ ，()|||1|g x x k x =-+-，若对任意的12,R x x ∈，都有12()()f x g x ≤成立，则实数k 的取值范围为 .例4. (1)已知恒成立，则的取值范是 。
(2)已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，()21x f x x -=+，若对任意实数1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()()10f t a f t +-->恒成立，则实数a 的取值范围是 ．[]2122(1)011x x x m m-++<∈-，，m例5.(1)设函数，对任意，恒成立，求实数的取值范围。
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不等式恒成立、能成立、恰成立问题分析及应用一、不等式恒成立问题的处理方法 1、转换求函数的最值：（1）若不等式A x f >)(在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上A x f >min )(，即)(x f 的下界大于A（2）若不等式B x f <)(在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上B x f <max )(,即)(x f 的上界小于B例1．设22)(2+-=ax x x f ,当[)+∞-∈,1x 时，都有a x f ≥)(恒成立，求a 的取值范围．例2．已知xax x x f ++=2)(2对任意[)+∞∈,1x ，0)(≥x f 恒成立,试求实数a 的取值范围．例3．R 上的函数)(x f 既是奇函数，又是减函数，且当)2,0(πθ∈时，有0)22()sin 2(cos 2>--++m f m f θθ恒成立，求实数m 的取值范围.例4．已知函数)0(ln )(44>-+=x c bx x ax x f 在1=x 处取得极值c --3，其中b a 、为常数.（1）试确定b a 、的值；（2）讨论函数)(x f 的单调区间；（3）若对任意0>x ，不等式22-)(c x f ≥恒成立，求c 的取值范围.2、主参换位法例5.若不等式01<-ax 对[]2,1∈x 恒成立，求实数a 的取值范围.例6.若对于任意1≤a ，不等式024)4(2>-+-+a x a x 恒成立，求实数x 的取值范围.例7.已知函数1)1(233)(23+++-=x a x x a x f ，其中a 为实数．若不等式1)('2+-->a x x x f 对任意),0(+∞∈a 都成立，求实数x 的取值范围．3、分离参数法（1）将参数与变量分离，即化为)()(x f g ≥λ（或)()(x f g ≤λ）恒成立的形式； （2）求)(x f 在D x ∈上的最大（或最小）值；（3）解不等式max )()(x f g ≥λ(或min )()(x f g ≤λ)，得λ的取值范围． 适用题型：（1）参数与变量能分离；（2）函数的最值易求出。
例8．当)2,1(∈x 时，不等式042<++mx x 恒成立，求m 的取值范围.例9．已知函数331)(23+++=x bx ax x f ,其中0≠a ． （1）当b a 、满足什么条件时,)(x f 取得极值?（2）已知0>a ,且)(x f 在区间(]1,0上单调递增,试用a 表示出b 的取值范围.4、数形结合例10．若对任意R x ∈,不等式ax x ≥恒成立，则实数a 的取值范围是________．例11．当)2,1(∈x 时，不等式x x a log )1(2<-恒成立，求a 的取值范围．二、不等式能成立问题的处理方法若在区间D 上存在实数x 使不等式A x f >)(成立,则等价于在区间D 上A x f >max )(； 若在区间D 上存在实数x 使不等式B x f <)(成立,则等价于在区间D 上的B x f <min )(. 例12．已知不等式a x x <-+-34在实数集R 上的解集不是空集，求实数a 的取值范围．例13．若关于x 的不等式32-≤--a ax x 的解集不是空集，求实数a 的取值范围．例14．已知函数x ax x x f 221ln )(2--=（0≠a ）存在单调递减区间，求a 的取值范围．三、不等式恰好成立问题的处理方法例15．不等式012>++bx ax 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-311x x 则=ab ___________．例16．已知xax x x f ++=2)(2当[)+∞∈,1x ，)(x f 的值域是[)+∞,0,试求实数a 的值.例17．已知两函数k x x x f -+=168)(2，x x x x g 452)(23++=，其中k 为实数． （1）对任意[]3,3-∈x ，都有)()(x g x f ≤成立，求k 的取值范围； （2）存在[]3,3-∈x ，使)()(x g x f ≤成立，求k 的取值范围； （3）对任意[]3,3,21-∈x x ，都有)()(21x g x f ≤，求k 的取值范围．不等式恒成立、能成立、恰成立问题专项练习1．若不等式0)1(3)1()1(2<-+--+m x m x m 对任意实数x 恒成立，求实数m 取值范围．2．已知不等式22622>++++x x kx kx 对任意的R x ∈恒成立，求实数k 的取值范围．3．设函数a x x x x f -+-=629)(23．对于任意实数x ，m x f ≥)('恒成立，求m 的最大值．4．对于满足2≤a 的所有实数a ,求使不等式x a ax x 212+>++恒成立的x 的取值范围．5．已知不等式022>+-a x x 对任意实数[]3,2∈x 恒成立，求实数a 的取值范围．6．对任意的[]2,2-∈a ，函数a x a x x f 24)4()(2-+-+=的值总是正数，求x 的取值范围．7．若不等式0log 2<-x x m 在)21,0(内恒成立，则实数m 的取值范围________________．8．不等式)4(x x ax -≤在[]3,0∈x 内恒成立，求实数a 的取值范围．9．不等式022<-+k kx 有解，求k 的取值范围．10．对于不等式a x x <++-12，存在实数x ，使此不等式成立的实数a 的集合是M ；对于任意[]5,0∈x ，使此不等式恒成立的实数a 的集合为N ，求集合M ，N ．11．①对一切实数x ,不等式a x x >+--23恒成立，求实数a 的范围． ②若不等式a x x >+--23有解，求实数a 的范围． ③若方程a x x =+--23有解，求实数a 的范围．12．①若y x ,满足方程1)1(22=-+y x ，不等式0≥++c y x 恒成立，求实数c 的范围． ②若y x ,满足方程1)1(22=-+y x ，0=++c y x ，求实数c 的范围．13．设函数b x ax x x f +++=2342)(，（R x ∈），其中R b a ∈,．若对于任意的[]2,2-∈a ，不等式1)(≤x f 在[]1,1-∈x 上恒成立，求b 的取值范围．14．设函数a ax x a x x f 244)1(31)(23+++-=，其中常数1>a ，若当0≥x 时，0)(>x f 恒成立，求a 的取值范围．15．已知向量),1(),1,(2t x b x x a -=+=。
若函数b a x f ⋅=)(在区间)1,1(-上是增函数，求t 的取值范围．不等式恒成立、能成立、恰成立问题 参考答案例1、解：a 的取值范围为[-3，1]例2、解：等价于()022≥++=a x x x ϕ对任意[)+∞∈,1x 恒成立,又等价于1≥x 时,()x ϕ的最小值0≥成立.由于()()112-++=a x x ϕ在[)+∞,1上为增函数, 则()()31min +==a x ϕϕ,所以 3,03-≥≥+a a例3、解：由()()022sin 2cos2>--++m f m f θθ得到：()()22sin 2cos 2--->+m f m f θθ因为()x f 为奇函数，故有()()22sin 2cos 2+>+m f m f θθ恒成立， 又因为()x f 为R 减函数，从而有22sin 2cos 2+<+m m θθ对⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πθ恒成立设t =θsin ，则01222>++-m mt t 对于()1,0∈t 恒成立，在设函数()1222++-=m mt t t g ,对称轴为m t =. ①当0<=m t 时，()0120≥+=m g ，即21-≥m ，又0<m ∴021<≤-m (如图1)②当[]1,0∈=m t ，即10≤≤m 时,()012442<+-=∆m m m ,即0122<--m m ,∴2121+<<-m ,又[]1,0∈m ,∴10≤≤m (如图2)③当1>=m t 时，()0212211>=++-=m m g 恒成立.∴1>m (如图3)故由①②③可知：21-≥m .例4、解：（1）（2）略（3）由（2）知，)(x f 在1=x 处取得极小值c f --=3)1(，此极小t g(t)o·1图1t=m tg(t) o· 1图2t=mtg(t) o·1图3t=m值也是最小值.要使)0(2)(2>-≥x c x f 恒成立，只需223c c -≥--.即0322≥--c c ， 从而0)1)(32(≥+-c c . 解得23≥c 或1-≤c . ∴c 的取值范围为),23[]1,(+∞--∞ .例5、解：12a <例6、解：(,1)(3,)x ∈-∞⋃+∞例7、解析：由题设知“223(1)1ax x a x x a -++>--+对∀(0)a ∈+∞，都成立，即22(2)20a x x x +-->对∀(0)a ∈+∞，都成立。
设22()(2)2g a x a x x =+--（a R ∈），则()g a 是一个以a 为自变量的一次函数。
220x +> 恒成立，则对∀x R ∈，()g a 为R 上的单调递增函数。
所以对∀(0)a ∈+∞，，()0g a >恒成立的充分必要条件是(0)0g ≥，220x x --≥，∴20x -≤≤，于是x 的取值范围是{|20}x x -≤≤。
例8、解析: 当(1,2)x ∈时，由240x mx ++<得24x m x +<-.令244()x f x x x x +==+，则易知()f x 在(1,2)上是减函数，所以[1,2]x ∈时()(1)5maxf x f ==，则2m i n 4()5x x+->-∴5m ≤-.例9、解析：（1）2a b >（2）)(x f 在区间(0,1]上单调递增⇔2'()210f x ax bx =++≥在(0,1]上恒成立⇔1,(0,1]22ax b x x ≥--∈恒成立⇔max 1()22ax b x ≥--，(0,1]x ∈。
设1()22ax g x x =--，2221()1'()222a x a a g x x x -=-+=-， 令'()0g x =得1x a =或1x a =-(舍去)，当1>a 时,101a <<，当1(0,)x a ∈时'()0g x >，1()22ax g x x =--单调增函数； 当1(,1]x a ∈时'()0g x <，1()22ax g x x =--单调减函数,∴max ()g x =1()g a a =-。