谈曲线割线与中切线斜率关系问题的通用解法
高中物理的函数图像“切线斜率”应用解题
参考文献
[1]于胜寒函数图像的“切线斜率”的理解及在高中物理解题中的应用[J].中国新通信，2016，18，（23）：134。
C. O点中产生的电荷强度在x轴方向中的分量为最大的状态。
D. x中的负电荷在经过B到C之间的转移过程中，电场力会首先先做正功，之后再做负功，具有这样一个先后顺序。
解题分析：φ-x图像中处于某一个位置之上的斜线斜率表示的是静电场中的电场在x方向之上的分量值，所以正确答案是A,同时O点中所对应的切线斜率数值是0，由此得知C项按答案错误。同时根据题目中所述，顺沿电场方向上的势能处于逐渐减小的状态，所以B选项阐述不对。电场做工可以表示为W=qu，由此可以得出，正确答案是D。因此最终的答案是AD。
高中物理的函数图像“切线斜率”应用解题
摘要：在高中物理课程的学习过程中，具有多种解题思路与解题方式，其中的重要知识点是切线斜率方面，在物理习题的定量分析与定性分析中都有着重要的应用空间，本文分析了在高中物理习题的讲解过程中函数图像“切线斜率”方面的应用策略，以促进同学们掌握相关的物理解题技巧，最终有效促进高中物理解题能力的提升。
例题：在具体的空间表现中静电场的电路势能φ在x轴中的具体分布情况具体如下图1所示，由这一图能够看出x轴在B点与C点之上的电场强度作用在x位置之上的分量将其具体表示成Ebx与Ecx，那么在以下的四个阐述中正确的是（ ）。
图1.函数图像
A. Ebx上的电场强度势能比Ecx要强。
B. Ecx上的分量方向是X轴的正方向。
函数割线与切线问题的常用解题策略探究
函数割线与切线问题的常用解题策略探究作者：张玉明来源：《中学生数理化·学研版》2015年第05期高三数学函数复习中有这样的两道题：例下列函数中满足性质“对于开区间，）上任意的x，x（x≠x）|f（x）-f（x）|①f（x）=x；②f（x）=|x|；③f（x）=x；④f（x）=x。
例已知函数f（x）=x3-x+ax+b，x，x∈（0，）（x≠x）总有|f（x）-f（x）|学生的解法通常是：。
函数①f（x）=x在区间，）上对任意x，x（x≠x）|f（x）-f（x）|。
根据斜率公式以及导数的几何意义|f′（x）|=f（x）-f（x）x-x所以--3x+x-，a0所以-3问题是这样的转化等价么？我们知道函数的导数是相应切线的斜率而f（x）-f（x）x-x只是表示函数图像上不同两点连线的割线斜率用切线斜率代换割线斜率是否可行？或者说什么前提下可行？为什么？还有没有其他的转换策略？本文是对这些问题的总结：导数转化法定理：函数f（x）在闭区间[a，b]内有定义且连续并在（a，b）内二阶可导其对应曲线上任意两点连线即割线）的斜率构成的集合为A，任意一点处切线斜率构成的集合为，则）A；）若函数在（a，b）内总有f″（x）0）则A=；3）A（A真包含于）的充要条件是：x0∈（a，b）f″（x0）=0且平行于曲线在x=x0处切线的任意割线与曲线至多有一个交点；）在3）的条件下曲线在所有拐点处切线斜率构成的集合为C则=A∪C。
为证明上述定理先介绍准备知识：定义设f（x）是定义在开区间（a，b）上的二阶可导函数其对应曲线上任意两点的连线称为曲线的一条割线；引理f（x）是定义在开区间（a，b）上的二阶可导函数则曲线y=f（x）在开区间（a，b）上向上凸下凹）的充要条件是：f″（x）≤0（≥0）且f″（x）在此开区间上不恒为零。
引理曲线在上凸下凹的分界点称为曲线的拐点二阶可导函数的点x0，f（x0））为拐点的充要条件是f″（x）=0。
浅谈“割线与切线”的斜率之间的关系——由学生的提问所引发的教学探究
解法 ２ 设所截 ３ 段的长分别为 口 ６ｚ 口 ，，一 一
步探讨
浅 谈 “割 线 与 切 线 ＂的 斜 率 之 间 的 关 系
— —
由学生 的提 问所 引发 的教学探究
（ 白水高级中学 湖北枣阳 ４１１） ４２４
●张 琴字
问题 １ 已知 曲线 Ｃ： ｈ一 ｅ（ ｙ＝ｅ ２ ∈Ｒ） 任 上
同样可得 ＝ ， ÷ 也就是说不同的实数组（ ６ 可 ，）
以得 到相 同Βιβλιοθήκη 的 ， ， 此 与 口 Ｙ与 ｂ构 成 的并 不 Ｙ因 ， 是一 一 对应 的等 价关 系 ， 解 法 ２是 不 正 确 的． 故 有
兴趣 的读者不妨对这 ２个相似背景 问题 中的锐角
图５ 图６
三角形 、 直角三角形及钝角三角形的概率问题作进
２ 一 ｌ ２ 一 １
结论
已 知 函 数 ｆ（ 是 定 义 在 连 续 区 间 ）
（ｃＲ 上 的可导 函数 ． 曲线 Ｃ： 厂 ） 任 意 ２ Ｉ ） ＿ 若 Ｙ＝ （ 上
个点连线的斜率 的取值 范 围为集 合 Ａ 其导 函数 ， ’ 的值 域为集 合 Ｂ， 有 以下 结论 ： （ ） 则
综 上所 述 ， 论得 证． 结 例 女 Ⅱ ）＝ （ ∈Ｒ） ．
在 该 函数 的 图 像 上任 取 ２个 点 （ ， ， ： ，Ｙ ） （ ， Ｙ ） ≠ ）过 这 ２ 点 连线 的斜 率 （ ， 个
ｋ： 二 ： ＿＝ ：％ １∈ Ｒ ， － ２ ＿ ＝ ％ ＝一 ＿ ＝一 － １＋ ２＋ ，∈ ．
ｒ ０＜ａ＜Ｚ ； ｒ ＜口＜Ｚ ０ ；
则 题 目就可 以转 化 为如 下 的 问题 ：
Ｏ －
｛＜ ＜； 即 ０ ｂ ￡ 【 ｂｚ ０ ｛＜ ＜； ０ ｚ口 ｂ ｚ 【＜ ＋ ＜， ＜一 一 ＜， ０ ０ ｂ ２
割线斜率和区间中点处切线斜率关系的探究
注：（1）中的函数包括二次函数、一次函数和常数函
数.
证明：（1）k= （ f x1）－（ f x2） x1－x2
= px21+qx1+r-（px22+qx2+r） x1－x2
=（x1－x2）（px1+px2+q） x1－x2
=px1+px2+q，
2 2 f′
x1+x2 2
=2p
x1+x2 2
+q=px1+px2+q，
2 2 （3）k－f ′ x1+x2 2
2 2 = x31-x32 -3 x1+x2 2
x1-x2
2
= 14（x1-x2）2>0，
2 2 则k>f ′ x1+x2 . 2
2 2 （4）欲证k>f ′ x1+x2 ， 2
即证 lnx2－lnx1 > 2 ， x2－x1 x2+x1
2 2 2 x2 －1
只需证et－e－t－2t>0（其中t>0）（ . *）
令g（t）=et－e－t－2t，t>0，
则g（ ′ t）=et+e－t－2>2 姨摇 e·t e－t －2=0，
当t>0时，g（t）递增，
所以g（t）>g（0）=0，即（*）式成立，
2 则k>f ′ x1+x2 成立. 2
. All 结R论ig2h：若ts函数Re（ f sx）e，rg（vxe）d，F.（x）都是定义在（a，b）上
2 2 则k=f ′ x1+x2 . 2
2 2 （2）k－f ′ x1+x2 2
切线方程和法线方程的斜率关系
切线方程和法线方程的斜率关系是一个比较经典的数学问题，它可以帮助我们理解曲线的特性，以及如何求解曲线上某一点的切线和法线方程。
首先，我们来看看曲线的切线方程和法线方程的定义。
切线方程是指曲线上某一点的切线方程，它可以用一般式来表示：y=kx+b。
其中k是切线的斜率，b是切点的y坐标。
而法线方程是指曲线上某一点的法线方程，它也可以用一般式来表示：y=m*x+n。
其中m是法线的斜率，n是法点的y坐标。
接下来，我们来看看切线方程和法线方程的斜率之间的关系。
我们知道，曲线上某一点的切线和法线是互相垂直的，因此它们的斜率也是互相垂直的。
这意味着，如果我们知道曲线上某一点的切线斜率，那么它的法线斜率就可以用下面的公式来计算：m=-1/k。
最后，我们来看看如何使用切线方程和法线方程的斜率关系来求解曲线上某一点的切线和法线方程。
首先，我们需要知道曲线上某一点的坐标，然后求出该点的切线斜率。
接着，根据切线斜率和法线斜率之间的关系，可以计算出法线斜率。
最后，根据切线斜率和法线斜率，以及曲线上某一点的坐标，就可以求出该点的切线方程和法线方程了。
总之，切线方程和法线方程的斜率关系是一个比较重要的数学问题，它可以帮助我们更好地理解曲线的特性，以及如何求解曲线上某一点的切线和法线方程。
切线与割线斜率关系的深度探析
( x0, f ( x0 ) ) 一定是拐点. 又 k % P, 所以曲线 C 不存
22
在与 l 平行的割线, 也即平行于拐点 ( x0, f ( x0 ) ) 处 切线的任意直线与曲线 C 至多有一个交点, 必要性 成立.
( 4) 由 ( 3) 的证明易知结论成立.
由上述定理 可知, 对于 二阶 可导 曲线 C: y = f (x ) 有: ∋ 当且仅当曲线 C 不存在拐点, 或对曲线 C
和 F, 割线 EF 的斜率等于切线 l的斜率, 所以 Q ! P, 又由 ( 1) 知 P ! Q, 所以 P = Q;
( 3) 一方面, 因为曲线 C 存在这样的拐点, 使得
平行于该拐点处切线的任意直线与曲线 C 至多有一 个交点, 所以曲线 C 上任意两点的连线的斜率都不等
于该拐点处切线的斜率, 所以 P Q, 充分性成立;
,
+
#
上 递 增, 所以
h( x ) m in
=
h(
1 3
)
=-
1 27
3+
4.
若 h( x ) min ! 0, 则 | h (x ) |m in = 0, 此时 | 2x3 -
x2 + 4 | > 1对任意的 x > 0 不能恒成立, 故必有
h ( x )m in
>
0, 此时
| h(x)
|m in =
x
x2 2
12
-
3
33 x1 x2
>
1
3x1 x2 +
x1 + x2 x1 x2
>
3
33
或
5x1 x2
+
曲线切线求法
曲线切线求法摘要：一、曲线切线概述二、求曲线切线的方法1.直角三角形法2.切线斜率法3.导数法三、实例分析四、曲线切线的应用五、总结与展望正文：一、曲线切线概述曲线切线是指在曲线上的某一点，与该点处曲线相切的直线。
在数学、物理等领域中，求曲线切线有着广泛的应用。
掌握曲线切线的求法，有助于我们更好地理解和分析曲线性质，为后续研究打下基础。
二、求曲线切线的方法1.直角三角形法直角三角形法求曲线切线的基本思路是：在曲线上的某一点作一条垂直于该点处曲线的直线，与曲线交于另外两点，构成一个直角三角形。
根据直角三角形的性质，可以求得切线斜率，进而得到切线方程。
2.切线斜率法切线斜率法是指在曲线上的某一点，通过计算曲率来求得切线斜率。
曲率是描述曲线弯曲程度的一个指标，其数值越大，曲线的弯曲程度越大。
根据曲率可以求得切线斜率，进而得到切线方程。
3.导数法导数法是指利用曲线在某一点的导数值来求得切线斜率。
导数表示曲线在该点处的切线斜率，因此可以直接作为切线斜率的近似值。
求得切线斜率后，可以得到切线方程。
三、实例分析以抛物线为例，设抛物线方程为y = ax^2 + bx + c。
在抛物线上任取一点（x0，y0），求该点的切线方程。
首先，求抛物线在点（x0，y0）处的导数：y" = 2ax + b然后，将x0代入导数公式，得到切线斜率：k = y"(x0) = 2ax0 + b最后，根据切线斜率和点（x0，y0）可以求得切线方程：y - y0 = k(x - x0)四、曲线切线的应用曲线切线在数学、物理、工程等领域具有广泛的应用，如求解曲线与坐标轴的交点、计算曲线长度、求解曲线的曲率等。
在实际问题中，掌握曲线切线的求法有助于解决许多实际问题。
五、总结与展望本文介绍了曲线切线的概念，以及求曲线切线的直角三角形法、切线斜率法和导数法。
通过实例分析，了解了如何在抛物线上求切线方程。
曲线切线在实际问题中具有广泛的应用，值得我们深入研究。
切线与割线斜率关系的深度探析
切线与割线斜率关系的深度探析1.问题提出文【1】得出了如下的结论：设()y f x =是定义在(,)a b 上的可导函数，曲线:()C y f x =上任意两个不同点的连线(称为割线)斜率的取值区间为P ，曲线C 上任意一点处的切线斜率的取值范围为Q ，则P Q ⊆，而且Q 中元素比P 中元素至多多了区间P 的端点值. 并指出，求解1212()()f x f x x x -∨-的恒成立问题，可将1212()()f x f x x x --转化为()f x '，用导数法求解.设用导数法求得参数取值区间为D ，然后再检验区间D 的端点值是否符合题意. 例如，已知21()2ln (0)f x x x x xλ=++>，对于任意两个不等的正数12,x x ，恒有1212()()f x f x x x ''->-，求λ的取值范围(四川2006高考题变式). 【解】设21()()4g x f x x x x λ'==-+，322()4g x x xλ'=+-，依条件1212()()1g x g x x x ->-，由()1g x '>得32241x xλ+->，以1x 替换x ，则有32241x x λ-+>对任意0x >恒成立.①当0λ≤时，显然成立；②当0λ>时，令32()24(0)h x x x x λ=-+>，2()62h x x x λ'=-，令()03h x x λ'=⇒=.min ()()4327h x h λλ∴==-+. 若min ()0h x ≤，则min ()0h x =，此时32241x xλ-+>对任意0x >不能恒成立，故必有min ()0h x >，此时3min min ()()427h x h x λ==-+，依条件有33412704027λλλ⎧-+>⎪⎪⇒<<⎨⎪-+>⎪⎩综上得λ<.下面检验端点λ=是否符合题意.当λ=时，1212()()f x f x x x ''->-12221241x x x x +⇔+>1212123x x x x x x +⇔+>或1212125x x x x x x ++<. 由于1212121212333x x x x x x x x x x ++>=≥(当12x x =时取等号)，故λ=符合题意，因而λ=反思上述解法，总感到美中不足.因为在检验λ=验过程不轻松，且不容易想到.那么是否有一种融解答与检验为一体的导数解法呢？要回答这个问题，关键得弄清如下实质问题：何时曲线的割线斜率取值范围等于切线斜率的取值范围，即P Q =？何时P Q Ø，且Q 比P 多了区间P 的端点值？这些端点值究竟是何值？曲线上与这些端点值对应点的位置在哪里？2.结论构建定理 设()y f x =是定义在连通开区间()I I R ⊆上的二阶可导函数，其对应曲线C 上任意两点的连线斜率的取值集合为P ，曲线C 上任意一点处的切线斜率取值集合为Q ，则(1)P Q ⊆；(2)当曲线C 不存在拐点时，P Q =；(3)P Q ⇔Ø曲线上存在这样的拐点，使得平行于该拐点处切线的任意直线与曲线C 至多有一个交点；(4)在(3)的前提下，设所有这样的拐点处的切线斜率组成的集合为S ，则Q P S =ð. 引理1 函数()y f x =在(,)a b 内二阶可导，则曲线()y f x =在(,)a b 内上凸(或下凸)的(,)x a b ⇔∀∈，()0f x ''≤(或0≥)，且在(,)a b 的任何子区间上()f x ''不恒为0.引理2 曲线的向上凸与向下凸部分的分界点称为该曲线的拐点.若()y f x =在一个连通开区间I 上二阶可导，则00(,())x f x 为曲线()y f x =拐点的必要条件是0()0f x ''=.下面给出定理的证明.(1)12,x x I ∀∈，设12x x <，由于()f x 在[]12,x x 上连续，在12(,)x x 内可导，由拉格朗日中值定理可得，在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使1212()()()f x f x f x x ξ-'=-，故P Q ⊆. (2) 由于曲线C 不存在拐点，故曲线C 的凸性确定.不妨设下凸.设l 是曲线C 的任意一条切线，则C 必在l 的上方，将l 向上平移很小一段距离至直线m ，则m 必与C 交于两个不同的点,E F ，割线EF 的斜率等于l 的斜率，故Q P ⊆，但由(1)知P Q ⊆，故P Q =.(3)一方面，因曲线C 存在这样的拐点，使平行于该拐点处切线的任意直线与C 至多有一个交点，故曲线C 上任意两点的连线斜率都不等于该拐点处切线的斜率，P Q ∴Ø，充分性得证.另一方面，由于P Q Ø，故k Q ∃∈，但k P ∉，令曲线在点00(,())x f x 处的切线为l ，其斜率为k ，若00(,())x f x 不是拐点，则必存在开区间0I I ⊆，使 得00x I ∈，且曲线在0I 上凸性确定.由(2)的证明知，曲线在0I 上必存在某两点的割线斜率等于k ，故k P ∈与k P ∉矛盾，故00(,())x f x 一定是拐点，又k P ∉，故曲线C 不存在与l 平行的割线，也即平行于拐点00(,())x f x 处切线的任意直线与曲线至多有一个交点.必要性得证.(4)由(3) 的证明易知结论成立.由定理知，对于二阶可导曲线:()C y f x =，有①当且仅当曲线C 不存在拐点，或对曲线C 的每一个拐点，都存在平行于该拐点处切EF l E m线的直线与曲线C 至少有两个交点时，P Q =.②可导曲线C 的切线斜率的取值区间Q 至多比割线斜率的取值区间P 多了区间P 的端点值.这些端点值就是定理结论(3)条件中的拐点处切线的斜率.对于只有一个拐点的二阶可导函数，有如下的推论 当曲线C 只有一个拐点A 00(,())x f x 时，必有P Q Ø，而且{}0()Q P f x '=ð.证明：根据定理结论(3)，只需要证明斜率为0()k f x '=的任意直线与曲线C 至多有一个交点即可.设斜率为0()k f x '=的任意一条直线为()g x kx b =+.考察方程()()0f x g x -=在I 上解的个数.令()()()()h x f x g x f x kx b =-=--，0()()()()h x f x k f x f x ''''=-=-.因为曲线C 只有一个拐点00(,())A x f x ，故在拐点的两侧曲线C 的凸性相反.不妨设左侧上凸，右侧下凸.则当0x x <时，()0f x ''<，故()f x '，0()()()0h x f x f x '''=->；当0x x >时，()0f x ''>，故()f x '，0()()()0h x f x f x '''=->.故()h x 在I上，故()()0f x g x -=至多有一解，即直线()g x kx b =+与曲线C 的交点至多一个，根据定理(3)(4)推论得证.定理及推论反映了曲线切线斜率与割线斜率之间的具体关系，为借助切线斜率求解割线斜率范围问题提供了一种新方法.【例】已知曲线2:3()x x C y e e x R =-∈任意不同两点的连线斜率为k ，求k 的取值范围. 解 22399232()488xx x y e e e '=-=--≥-，又243(43)x x x x y e e e e ''=-=-. 当3ln 4x <时0y ''<，曲线上凸；当3ln 4x >时0y ''>，曲线下凸，故曲线在3ln 4x =处是一个拐点，而3498x y ='=-，根据推论，k 的取值范围为9(,)8-+∞. 曹军，《中学数学杂志》2010年11月.【附】文【1】主要结论1212()()f x f x x x -∨-定理 设()y f x =在(,)a b 内可导，连结其图象上任意两点,A B 的割线斜率为AB k ，图象上任意一点处的切线斜率为k ，则(1) 若k m >，则AB k m >；若k m ≥，则AB k m >或AB k m ≥.(2)若AB k m >，则k m >或k m ≥；若AB k m ≥，则k m ≥.证明：设11(,())A x f x ，22(,())B x f x 是曲线()y f x =图象上任意不同的两点.(1)不妨设12x x <，由拉格朗日中值定理可知，在12(,)x x 内至少存在一点ξ，使1212()()()f x f x f x x ξ-'=-. 由于k m >，故()f m ξ'>，故AB k m >.其余类似.(2)设21(0)x x x x =+∆∆≠，211121()()()()AB f x f x f x x f x k m x x x-+∆-==>-∆，则1100()()lim lim x x f x x f x m m x ∆→∆→+∆-≥=∆，即()f x m '≥.其余类似. A。
切线与割线斜率关系的深度探析
切线与割线斜率关系的深度探析1.问题提出文【1】得出了如下的结论：设()y f x =是定义在(,)a b 上的可导函数，曲线:()C y f x =上任意两个不同点的连线(称为割线)斜率的取值区间为P ，曲线C 上任意一点处的切线斜率的取值范围为Q ，则P Q ⊆，而且Q 中元素比P 中元素至多多了区间P 的端点值. 并指出，求解1212()()f x f x x x -∨-的恒成立问题，可将1212()()f x f x x x --转化为()f x '，用导数法求解.设用导数法求得参数取值区间为D ，然后再检验区间D 的端点值是否符合题意. 例如，已知21()2ln (0)f x x x x xλ=++>，对于任意两个不等的正数12,x x ，恒有1212()()f x f x x x ''->-，求λ的取值范围(四川2006高考题变式). 【解】设21()()4g x f x x x x λ'==-+，322()4g x x xλ'=+-，依条件1212()()1g x g x x x ->-，由()1g x '>得32241x x λ+->，以1x 替换x ，则有32241x x λ-+>对任意0x >恒成立.①当0λ≤时，显然成立；②当0λ>时，令32()24(0)h x x x x λ=-+>，2()62h x x x λ'=-，令()03h x x λ'=⇒=.min ()()4327h x h λλ∴==-+. 若min ()0h x ≤，则m in ()0h x =，此时32241x xλ-+>对任意0x >不能恒成立，故必有min ()0h x >，此时3min min ()()427h x h x λ==-+，依条件有33412704027λλλ⎧-+>⎪⎪⇒<<⎨⎪-+>⎪⎩. 综上得λ<.下面检验端点λ=是否符合题意.当λ=时，1212()()f x f x x x ''->-12221241x x x x +⇔+>1212123x x x x x x +⇔+>或1212125x x x x x x ++<. 由于1212121212333x x x x x x x x x x ++>=≥(当12x x =时取等号)，故λ=符合题意，因而λ=反思上述解法，总感到美中不足.因为在检验λ=验过程不轻松，且不容易想到.那么是否有一种融解答与检验为一体的导数解法呢？要回答这个问题，关键得弄清如下实质问题：何时曲线的割线斜率取值范围等于切线斜率的取值范围，即P Q =？何时P Q Ø，且Q 比P 多了区间P 的端点值？这些端点值究竟是何值？曲线上与这些端点值对应点的位置在哪里？2.结论构建定理 设()y f x =是定义在连通开区间()I I R ⊆上的二阶可导函数，其对应曲线C 上任意两点的连线斜率的取值集合为P ，曲线C 上任意一点处的切线斜率取值集合为Q ，则(1)P Q ⊆；(2)当曲线C 不存在拐点时，P Q =；(3)P Q ⇔Ø曲线上存在这样的拐点，使得平行于该拐点处切线的任意直线与曲线C 至多有一个交点；(4)在(3)的前提下，设所有这样的拐点处的切线斜率组成的集合为S ，则Q P S =ð. 引理1 函数()y f x =在(,)a b 内二阶可导，则曲线()y f x =在(,)a b 内上凸(或下凸)的(,)x a b ⇔∀∈，()0f x ''≤(或0≥)，且在(,)a b 的任何子区间上()f x ''不恒为0.引理2 曲线的向上凸与向下凸部分的分界点称为该曲线的拐点.若()y f x =在一个连通开区间I 上二阶可导，则00(,())x f x 为曲线()y f x =拐点的必要条件是0()0f x ''=.下面给出定理的证明.(1)12,x x I ∀∈，设12x x <，由于()f x 在[]12,x x 上连续，在12(,)x x 内可导，由拉格朗日中值定理可得，在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使1212()()()f x f x f x x ξ-'=-，故P Q ⊆. (2) 由于曲线C 不存在拐点，故曲线C 的凸性确定.不妨设下凸.设l 是曲线C 的任意一条切线，则C 必在l 的上方，将l 向上平移很小一段距离至直线m ，则m 必与C 交于两个不同的点,E F ，割线EF 的斜率等于l 的斜率，故Q P ⊆，但由(1)知P Q ⊆，故P Q =.(3)一方面，因曲线C 存在这样的拐点，使平行于该拐点处切线的任意直线与C 至多有一个交点，故曲线C 上任意两点的连线斜率都不等于该拐点处切线的斜率，P Q ∴Ø，充分性得证.另一方面，由于P Q Ø，故k Q ∃∈，但k P ∉，令曲线在点00(,())x f x 处的切线为l ，其斜率为k ，若00(,())x f x 不是拐点，则必存在开区间0I I ⊆，使 得00x I ∈，且曲线在0I 上凸性确定.由(2)的证明知，曲线在0I 上必存在某两点的割线斜率等于k ，故k P ∈与k P ∉矛盾，故00(,())x f x 一定是拐点，又k P ∉，故曲线C 不存在与l 平行的割线，也即平行于拐点00(,())x f x 处切线的任意直线与曲线至多有一个交点.必要性得证.(4)由(3) 的证明易知结论成立.由定理知，对于二阶可导曲线:()C y f x =，有①当且仅当曲线C 不存在拐点，或对曲线C 的每一个拐点，都存在平行于该拐点处切EF l E m线的直线与曲线C 至少有两个交点时，P Q =.②可导曲线C 的切线斜率的取值区间Q 至多比割线斜率的取值区间P 多了区间P 的端点值.这些端点值就是定理结论(3)条件中的拐点处切线的斜率.对于只有一个拐点的二阶可导函数，有如下的推论 当曲线C 只有一个拐点A 00(,())x f x 时，必有P Q Ø，而且{}0()Q P f x '=ð.证明：根据定理结论(3)，只需要证明斜率为0()k f x '=的任意直线与曲线C 至多有一个交点即可.设斜率为0()k f x '=的任意一条直线为()g x kx b =+.考察方程()()0f x g x -=在I 上解的个数.令()()()()h x f x g x f x kx b =-=--，0()()()()h x f x k f x f x ''''=-=-.因为曲线C 只有一个拐点00(,())A x f x ，故在拐点的两侧曲线C 的凸性相反.不妨设左侧上凸，右侧下凸.则当0x x <时，()0f x ''<，故()f x ' ，0()()()0h x f x f x '''=->；当0x x >时，()0f x ''>，故()f x ' ，0()()()0h x f x f x '''=->.故()h x 在I 上 ，故()()0f x g x -=至多有一解，即直线()g x kx b =+与曲线C 的交点至多一个，根据定理(3)(4)推论得证.定理及推论反映了曲线切线斜率与割线斜率之间的具体关系，为借助切线斜率求解割线斜率范围问题提供了一种新方法.【例】已知曲线2:3()x x C y e e x R =-∈任意不同两点的连线斜率为k ，求k 的取值范围. 解 22399232()488xx x y e e e '=-=--≥-，又243(43)x x x x y e e e e ''=-=-. 当3ln 4x <时0y ''<，曲线上凸；当3ln 4x >时0y ''>，曲线下凸，故曲线在3ln 4x =处是一个拐点，而3498x y ='=-，根据推论，k 的取值范围为9(,)8-+∞. 曹军，《中学数学杂志》2010年11月.【附】文【1】主要结论1212()()f x f x x x -∨-定理 设()y f x =在(,)a b 内可导，连结其图象上任意两点,A B 的割线斜率为AB k ，图象上任意一点处的切线斜率为k ，则(1) 若k m >，则AB k m >；若k m ≥，则AB k m >或AB k m ≥.(2)若AB k m >，则k m >或k m ≥；若AB k m ≥，则k m ≥.证明：设11(,())A x f x ，22(,())B x f x 是曲线()y f x =图象上任意不同的两点.(1)不妨设12x x <，由拉格朗日中值定理可知，在12(,)x x 内至少存在一点ξ，使1212()()()f x f x f x x ξ-'=-. 由于k m >，故()f m ξ'>，故AB k m >.其余类似.(2)设21(0)x x x x =+∆∆≠，211121()()()()AB f x f x f x x f x k m x x x-+∆-==>-∆，则1100()()lim lim x x f x x f x m m x ∆→∆→+∆-≥=∆，即()f x m '≥.其余类似. A。
曲线的斜率和切线的性质及其在数学中的应用
曲线的斜率和切线的性质及其在数学中的应用曲线是数学中常见的概念之一，而斜率和切线则是研究曲线性质和应用的重要工具。
本文将探讨曲线的斜率和切线的性质，并介绍它们在数学中的应用。
一、斜率的概念和计算方法在数学中，斜率是用来描述曲线的陡峭程度的概念。
简单而言，斜率表示曲线每个点上的变化率或者上升/下降的速度。
对于一个曲线上的两个点P(x₁, y₁)和Q(x₂, y₂)，斜率可以用以下公式计算：斜率= Δy / Δx = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)二、切线的概念和性质切线是曲线上与该点相切的直线，切线可以通过该点处的斜率来确定。
切线有以下几个重要性质：1. 切线与曲线的交点就是切点，切点是曲线上的一个特殊点，切线只与曲线在该点相切，而不会相交或相离。
2. 切线在切点处与曲线重合，切点是曲线和切线的唯一交点。
3. 切线与曲线在切点处的斜率是相等的，也就是说，切线的斜率等于曲线在切点处的斜率。
三、斜率和切线在数学中的应用1. 速度和加速度的计算：斜率和切线在物理学中广泛应用于描述速度和加速度。
例如，在研究运动物体的速度和加速度时，可以使用切线的斜率来计算变化率，从而得出速度和加速度的大小和方向。
2. 方程求解：在数学中解方程是一个重要的问题，斜率和切线可以帮助我们找到函数的根或者零点。
通过求解切线和x轴的交点，我们可以得到函数的解。
3. 曲线的图形分析：斜率和切线可以用于分析复杂曲线的形状和特征。
通过计算曲线上不同点的斜率，我们可以确定曲线上的极值点、凹凸性和拐点等。
4. 最优化问题：最优化问题是数学中的重要研究领域，斜率和切线在解决最优化问题中起着重要作用。
通过分析曲线上不同点的斜率，我们可以确定函数的最大值和最小值点。
综上所述，曲线的斜率和切线是数学中重要的概念。
斜率表示曲线上每个点的变化率或者上升/下降的速度，切线是曲线上与该点相切的直线。
斜率和切线在数学中有着广泛的应用，包括速度和加速度的计算、方程求解、曲线的图形分析以及最优化问题等。
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x 2 x1 2
即 ] 0，
x x1 f (x2 ) f (x1) )。 f '( 2 2 x2 x1
【例 4】已知函数 f (x) x ln x, (x 0) ， x1 , x2 ( x1 x2 ) 为函数图像上任意两 点的横坐标，求证：
（ （ⅱ） 若 f (x) 0 有两个实根， 分别为 x1, x 试比较 2 x1 x2 ) ，
f '( x2 x1 ) 的大小。 2
通法： （ⅰ）易求得 a 的取值范围为 a 0或a 1；
f (x2 ) f (x1) 与 x2 x1
（ⅱ） 由于 f (x) e ax 1， 故 f ' (x) e a ， 进而 f ' ' (x) f ' ' ' (x) e 0 ， 。
a 0 时，有
f (x2 ) f (x1) f (x2 ) f (x1) x x f ' ( x2 x1 ) ； a 0 时，有 f '( 2 1 ) 。 x2 x1 x2 x1 2 2
x
【例 3】已知函数 f (x) e ax 1.
3
（ⅰ）若 f (x) 0 仅有一个实根，求实数 a 的取值范围；
x1 , x 2 D , 且 x1 x 2 ：若 f ''(x) 单调递增，则有
若 f ''(x) 为常数，则有
f (x2 ) f (x1) x x f '( 2 1 ) ； x2 x1 2
f ( x2 ) f ( x1 ) x x f ' ( 2 1 ) ；若 f ''(x) 单调递减，则有 x2 x1 2
3
3
2
2
[3a (
x2 x1 2 x x 1 2 2 2 2 ) 2b 2 1 c] a( x2 x2 x1 x1 ) b( x2 x1 ) c [3a( x2 x1 2x2 x1 ) 2 2 4 a a 2 2 2 2 故当 4b( x2 x1 ) 4c] [(4 x2 4 x1 4 x2 x1 ) (3x2 3x1 6 x2 x1 )] ＝ ( x2 x1 ) 2 ， 4 4
2t 2 2t 2 1, ' (1) ln 1 0, 1 t 1 t 1 t 1 t
则
' (t ) ln
' ' (t )
1 2 t (1 t ) (1 t ) 2
1 t 0 ， ' (t ) 单调递减，故 ' (t ) ' (1) 0, 从而 (t ) 单调递减，故 t (1 t ) 2
谈曲线割线与中切线斜率关系问题的通用解法
作者：艾书学 2014 年 10 月于沈阳
在函数与导数应用有关的习题中，有时会遇到这样一类题目，即给定某一函 数 （如图 1 所示） ， 已知其割线 y kx b 与曲线交于两个不同点 A(x1, y1), B(x2 , y2 ) ， 过 AB 中点的铅垂线与曲线交于 C 点，要求讨论或证明割线 AB 的斜率与过 C 点 的切线（姑且称其为中切线）斜率之间的 关系，亦即 k
x 2 x1 2
a)
]
e x1 [ e x 2 x1 1 ( x 2 x 1 ) e x 2 x1
x 2 x1 x1 2
]
e x1 [ e x 2 x1 1－ ( x 2 x 1 ) e x 2 x1
x 2 x1 2
] ，令 t
x 2 x1 (0, ), g (t ) e 2t 2te t－1 ， 2
x x1 f (x2 ) f (x1) ) a ( x2 x1 ) 。 f '( 2 x2 x1 2
2 2
专法：
f ( x2 ) f ( x1 ) x x a( x2 x1 ) b( x2 x1 ) x x f '( 2 1 ) 2a 2 1 b 0 x2 x1 2 x2 x1 2
f ''( x)单调递减 时，证法与 f ''( x)单调递增 的情形完全相同。
说明：上述定理中 x1 x 2 的条件不是必须的，只是为了简化书写过程而做 的一种习惯约定。下面各例题中均默认这一条件。
我们以定理（*）为基础，将满足题设条件的函数特殊化后很容易衍生出一 系列题目，这些题目可以作为高考压轴题、自主招生考试或竞赛题使用。下面我 们以实例进行说明，每个例题我们均给出两种解法，其中通用方法即为本文定理 （*）的直接应用，专用方法则是针对例题中的具体函数类型分别进行讨论。
f (x2 ) f (x1) 与导数值 x2 x1
f(x) B
f '(
x2 x1 ) 之间的大小关系。 2
对于这类问题，笔者向读者推荐一种 A C
快捷有效的通用解法，即有如下定理（*） 。
定
理（*） 设函数 f (x) 是定义在实数集 R 某一子x1Biblioteka 图1x2x
集 D 上的连续函数，其一、二阶导函数在 D 上均连续且可导，对于
f ( x 2 ) f ( x1 ) x x1 f '( 2 )。 x 2 x1 2
说明：本例较为简单，它说明了这样一个事实，即：二次函数所表示的抛
物线上任意两点连线的斜率与其中切线的斜率相等。 本例可以做为高一函数部分 或初三优秀学生的练习题。 【例 2】已知三次函数 f (x) ax bx cx d, (a 0) ， x1 , x2 ( x1 x2 ) 为函
2 x2 x1 x x1 x 2 2 x1 ( 2 ln ln 2 1). x1 ln ( x2 x1 )] x2 x2 x 2 x1 x1 x1 x2 x1 1 1 x1 x1
记
x2 2t 2 t (1, ), ( t ) t ln ln t 1, (1) 0 , x1 1 t 1 t
3 2
数图像上任意两点的横坐标，试比较
3 2
f (x2 ) f (x1) x2 x1 ) 的大小。 与 f '( x2 x1 2
2
通法：由于 f (x) ax bx cx d, (a 0) ，故 f ' (x) 3ax 2bx c ，进而
f ' ' (x) 6ax 2b ， f ' ' ' (x) 6a 。由定理（*）知：若 a 0 ，则有
x
x
x
由定理（*）知，
x x1 f (x2 ) f (x1) )。 f '( 2 x2 x1 2
x 2 x1 2
专法： （ⅰ）略；
f ( x 2 ) f ( x1 ) x 2 x1 e x 2 e x1 a ( x 2 x1 ) （ⅱ） f '( ) (e x 2 x1 2 x 2 x1 1 [ e x 2 e x1 ( x 2 x 1 ) e x 2 x1
f '(
f (x2 ) f (x1) x2 x1
f (x2 ) f (x1) x x x2 x1 f '( 2 1 ) 。 ) ；若 a 0 ，则有 x2 x1 2 2
专法：
f ( x2 ) f ( x1 ) x x a ( x2 x1 ) b ( x2 x1 ) c ( x2 x1 ) f '( 2 1 ) x2 x1 2 x2 x1
【例 1】已知二次函数 f (x) ax bx c, (a 0) ， x1 , x2 ( x1 x2 ) 为函数图
2
2
像上任意两点的横坐标，试比较
2
f (x2 ) f (x1) x2 x1 ) 的大小。 与 f '( x2 x1 2
通法：由于 f (x) ax bx c, (a 0) ，故 f ' (x) 2ax b ，进而 f ' ' (x) 2a ， 为一常数。由定理（*）知，有
f (x2 ) f (x1) x x1 f '( 2 )。 x2 x1 2
1 ， x
通 证 ： 由 于 f (x) x ln x(x 0) ， 故 f ' (x) ln x 1 ， 进 而 f ' ' (x)
f ' ' ' (x)
x 2 x1 f ( x 2 ) f ( x1 ) 1 f ' ( )。 0 。由定理（ * ）即知 2 x 2 x1 x2
f (x) f (x1) (x x1) f '(
x x1 x x ) 0,令x x2, 即有 f (x2 ) f (x1) (x2 x1) f ' ( 2 1 ). 2 2
当 f ' ' ( x) 为常 数时 ，上式 中
f ' ' ( ) f ' ' (
x x1 ) ，显 然命 题中等 号成立 ；当 2
( t ) (1) 0 ,
2 x2 x1 x x1 x 2 ( 2 ln ln 2 1) 0 , 所以 即 x2 x2 x 2 x1 x1 x1 1 1 x1 x1
f (x2 ) f (x1) x x f '( 2 1 ) 。 x2 x1 2
证 明： 设 g ( x) f ( x) f ( x1 ) ( x x1 ) f ' (