连续型随机变量
2.3连续型随机变量
f (x)
1
e ,
(
x) 2 2
2
2
其中 , ( >0)为常数
x
称X服从参数为 ,的正态分布或
高斯分布,记为 X～N( , 2)
1 f(x)
(1)关于直线x 对称;
2
(2)最大值为 1 ;
2
(3)在x 处有拐点.
o
x
可求得X的分布函数为:
F(x) 1 x
e
(
t )2 2 2
1 P( A1 A2 A3 )
1 P( A1 A2 A3 )
1 P( A1 )P( A2 )P( A3 )
=1[1P(A1)][1P(A2)][1P(A3)] =1e1
3. 正态分布
正态分布是实践中应用最为广泛,在 理论上研究最多的分布之一,故它在概率 统计中占有特别重要的地位
X的概率密度为:
f(x)的性质:
(1) f(x)≥0, <x<+
(2) f ( x)dx 1
(3) P(x1<X≤x2)=F(x2) F(x1)
x2 f ( x)dx
x1
( x1 x2 )
f(x)
P(x1<X≤x2)
x1
o x2 x
这条性质是密度函数的几何意义
注: 对连续型随机变量X和任意实数a, 总有P(X=a)=0 即, 取单点值的
若X～U[a, b], [c, c+l][a, b], 有:
P(c≤X≤c +l )
cl
c f ( x)dx
cl c
b
1
adx
b
l
a
这说明:
X落在[a,b]的子区间内的概率与子 区间的长度成正比,而与子区间的位置 无关
连续型随机变量
连续型随机变量连续型随机变量是统计学中的一个重要概念，它指的是取值可以是一段连续的数值区间的随机变量。
与离散型随机变量不同，连续型随机变量可以取无限个可能的取值，这对于处理实际问题中的测量数据非常有用。
一个典型的连续型随机变量可以是某个人的身高，身高可以是从0厘米到无穷大的任意一个数值。
这个身高的分布可以用一个概率密度函数来描述，例如正态分布。
这意味着大多数人的身高会集中在某一个区间，而在极端的身高上有较少的人。
连续型随机变量的概率密度函数有一些特殊的性质。
首先，概率密度函数必须非负且总体积为1，因为随机变量必然会取一个值。
其次，概率密度函数在某一个取值上的积分可以表示该随机变量小于或等于该值的概率。
以在一个公共汽车站等待下一辆公共汽车的时间为例。
假设公共汽车的到达时间是一个连续型随机变量。
这个随机变量可以取任意的非负数值，而且可能的取值范围是无限的。
如果我们对这个随机变量进行建模，可以使用指数分布来描述公共汽车的到达时间。
指数分布的概率密度函数非常有用，因为它可以很好地反映出公共汽车到达的随机性。
概率密度函数在某个时间点上的值表示了在这个时间点下等待公共汽车的概率。
通过计算概率密度函数在一个区间上的积分，我们可以得到在这个区间内等待公共汽车的概率。
连续型随机变量在统计学中有很多应用。
它们可以用于模拟实际问题中的随机变量，如股票价格、交通流量和天气变化等。
通过对连续型随机变量进行建模和分析，我们可以更好地理解随机现象，并做出相应的预测和决策。
总之，连续型随机变量是一种重要的概念，它可以描述取值在一段连续区间上的随机变量。
概率密度函数是描述连续型随机变量的常用工具，它可以帮助我们分析随机现象并做出相应的推断和决策。
通过数学建模和统计分析，我们可以更好地理解和应用连续型随机变量。
连续型随机变量是统计学中的一个重要概念，它指的是取值可以是一段连续的数值区间的随机变量。
与离散型随机变量不同，连续型随机变量可以取无限个可能的取值，这对于处理实际问题中的测量数据非常有用。
连续型随机变量
连续型随机变量1．连续型随机变量【知识点的知识】1、相关概念；（1）随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示．（2）离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．若ξ是随机变量，η＝aξ+b，其中a、b是常数，则η也是随机变量．（3）连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量（4）离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出．2、连续型随机变量的概率密度1、定义：对于随机变量X，若存在非负可积函数f（x），（﹣∞＜x＜∞），使得对任意实数a和b，（a＜b）都有f(x)dx，P{a＜X≤b}=∫ba则称X为连续型变量．f（x）为X的概率密度函数，简称概率密度．2、概率密度的性质（1）f（x）＞0f(x)dx=P{﹣∞＜X＜∞}＝1（2）∫+∞−∞说明：判断一个函数是否能成为某个随机变量的密度函数，以这两条性质为标准进行验证．3、概率密度的几何意义f(x)dx的几何意义可知：X在[a，b]内取值的概率P{a＜X≤b}即为介于直线x＝a和直线x＝b之间，由定积分∫ba并且在x轴的上方，密度曲线的下方所围成的曲边梯形的面积．又由于P {x ＜X ≤x+△x }═∫ x+△x x f （x ）dx ＝f （ξ）△x ，（积分中值定理）如果将连续型X 在（x ，x+△x ）内的取值对应于离散型X 在X ＝ξ处的取值，则有P {X ＝ξ}＝f （ξ）dx ，可见f （ξ）dx 相当于离散型X 的分布律中的p k【典型例题分析】典例：已知随机变量ξ的概率密度函数为 f(x)={2x，0≤x ≤10，x ＜0或x ＞1，则P(14＜ξ＜12)=（ ） A ．14 B ．17 C ．19 D ．316解：由随机变量ξ的概率密度函数的意义知：P(14＜ξ＜12)=∫ 1214（2x ）dx ＝（x 2）|1412=14−116=316 故选 D【解题方法点拨】（1）对于连续型随机变量X 来说，它取某一指定的实数值x 0的概率为零，即P {x ＝x 0}＝0．据此，对连续型随机变量X ，有P {a ＜X ≤b }＝P {a ≤X ≤b }＝P {a ＜X ＜b }＝P {a ≤X ＜b }即在计算X 落在某区间里的概率时，可以不考虑区间是开的、闭的或半开半闭的情况．这里，事件{X ＝x 0}并非不可能事件，它是会发生的，也就是说零概率事件也是有可能发生的．（2）不可能事件的概率为零，但概率为零的事件不一定是不可能事件．同理，必然事件的概率为1，但概率为1的事件不一定是必然事件．。
3.3 连续型随机变量
tan x C
cot x C
不定积分的基本公式
arcsin x C
arctan x C
sec x C
csc x C
练习：设随机变量X的概率密度函数为
2 1 x 2 , 1 x 1, f ( x ) 其它, 0,
2
即K 1 或 K 2 ,故事件“方程有实根”的概率 为
P({K 1} {K 2}) P( K 1) P( K 2)
1 3 0dx dx 5 5 2
1 5
2、指数分布(Index distribution )
定义2:设连续型随机变量X的概率密度函数为
三、几种重要的连续型随机变量
1、均匀分布(Uniform distribution)
定义1:设连续型随机变量X的概率密度函数为
1 , a x b, f ( x) b a 其他. 0,
则称X服从区间(a,b)上的均匀分布,记为 X ~ U (a, b).
x a, 0, xa 其分布函数为 F ( x) , a x b, b a x b. 1,
x0 0 2 Exe.1：设R.V.X的分布函数 F ( x) x 0 x 1 1 x 1 求概率密度函数。
0, x 0 x Exe.2：设R.V.X的分布函数 F (x) , 0 ≤ x T T 求概率密度函数。 1, T ≤ x
3. 概率密度函数与分布函数关系：※※
求常数 k。
练习1：设X为连续型R.V.，其密度函数为 1 2 x , 0 ≤ x 1, 2 f (x) 求常数a。 ax, 1 ≤ x 3, 0, 其他
第三章 连续型随机变量
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分布函数的性质（2） 使用分布函数计算以下概率： P{ξ(ω)≥x}＝1 - P{ξ(ω)<x} =1-F(x) P{ξ(ω)≤x}＝F(x＋0) P{ξ(ω)＞x}＝ 1 - P{ξ(ω) ≤ x} ＝ 1-F(x＋0) P{ξ(ω)＝x}＝ P{ξ(ω) ≤ x} - P{ξ(ω) <x} ＝ F(x＋0)－F(x) 对于离散型随机变量 P(ξ＝ai)＝pi 来说， ξ(ω)的分布函数为
p ( y ) F ( y )
p ( x ) p ( y x ) d x （3.55）
由对称性可知
p ( y ) F ( y )
p ( y x ) p ( x ) d x （3.56）
由（3.35）和（3.36）给出的运算称为卷积，通常 记为：
n
服从 N ( i , i2 ) 分布的随机变量，则
n n
i 1
i
仍然是
一个服从 N ( , 2 ) 的随机变量，并且其参数为
i 1
i
,
2
i 1
2 i
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多维随机变量函数的分布（7-4）
（二）商的分布
设（ξ, η）是一个二维随机变量，密度函数为
F ( x ) P ( ( ) x )
ai x
P ( ( ) a i )
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例3.1 等可能的在[a，b]上投点，以ξ表示落点的位置， 则ξ的分布函数为： 当x＜a时， F ( x ) P ( ( ) x ) 0 当a＜x＜b时，
连续型随机变量
-3
-2
-x -1
1
x
2
3
P(| X |< a ) = 2Φ (a ) − 1
例2
设ξ～N(0,1)，求使P{︱ξ︱>x}=0.1 的x。
解： P { ξ > x } = 2[1 − Φ( x )]
1 Φ( x ) = 1 − P{ ξ > x } = 1 − 0.5 × 0.10 = 0.95 2
如ξ ~ N (0,1)，则P{ ξ > x } = 2[1 − Φ( x )]
证明：
P{ ξ > x } = 1 − P{ ξ ≤ x } = 1 − P{ ξ < x } = 2[1 − Φ( x )]
例1：设ξ～N(0,1)，借助于标准正态分布的分 布函数 Φ(x)的表计算： (1) P{ξ < −1.24};
解：（１）由分布函数性质得
1 x⎞ ⎛ 0 = lim F ( x ) = lim ⎜ A + e ⎟ = A x → −∞ x → −∞ 3 ⎠ ⎝ 1 −2 x ⎞ ⎛ 1 = lim F ( x ) = lim ⎜ B − e ⎟ = B x → +∞ x → +∞ 3 ⎠ ⎝
1 1 2 （２）因为 lim− F ( x ) = ≠ F (0) = 1 − = x→0 3 3 3
x=µ
µ
x
（5）
Fµ ,σ ( x ) = Φ(
x−µ
σ
x=µ
)
φ(x)
µ
f 0 , 0. 1 ( x )
f 0 ,1 ( x )
f 0 , 2 .5 ( x )
µ固定时， σ的值越小，f(x)的图形就愈尖、越狭。 σ的值越大，f(x)的图形就愈平、越宽。
概率论连续型随机变量
概率论连续型随机变量概率论是数学的一个分支，研究随机现象的数学模型和计算方法。
其中，连续型随机变量是概率论中重要的概念之一。
本文将介绍连续型随机变量的基本概念、特征以及相关的概率分布。
一、连续型随机变量的概念在概率论中，随机变量是指对随机现象结果的数值化描述。
连续型随机变量是指取值在某个区间内的随机变量。
与之相对的是离散型随机变量，其取值是有限个或可数个的。
连续型随机变量与离散型随机变量的主要区别在于其取值的特点。
连续型随机变量的取值可以是任意的实数，在某个区间内可以取无穷多个不同的值。
二、连续型随机变量的特征连续型随机变量的特征可以通过其概率密度函数（Probability Density Function，简称PDF）来描述。
PDF是描述连续型随机变量概率分布的函数，可以用来计算随机变量落在某个区间内的概率。
连续型随机变量的概率密度函数具有以下两个性质：1. 非负性：对于任意的实数x，概率密度函数f(x)大于等于0。
2. 归一性：连续型随机变量的概率密度函数在整个取值范围上的积分等于1。
三、连续型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率分布可以通过其概率密度函数来确定。
常见的连续型随机变量概率分布包括均匀分布、正态分布、指数分布等。
1. 均匀分布：均匀分布是最简单的连续型随机变量概率分布之一。
在均匀分布中，随机变量在某个区间内的取值是等可能的。
均匀分布的概率密度函数是一个常数，表示在某个区间内的概率是相等的。
2. 正态分布：正态分布是最重要的连续型随机变量概率分布之一。
许多自然现象和实际问题都服从正态分布。
正态分布的概率密度函数呈钟形曲线，具有对称性。
其均值和标准差决定了曲线的位置和形状。
3. 指数分布：指数分布是描述随机事件发生时间间隔的连续型随机变量概率分布。
指数分布的概率密度函数是一个指数函数，表示事件发生的概率随时间的推移而逐渐减小。
四、连续型随机变量的期望和方差连续型随机变量的期望和方差是衡量随机变量分布的重要指标。
连续型随机变量
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连续型随机变量
数学概念
目录
01 数学定义
02 概念辨析
连续型随机变量是指如果随机变量X的所有可能取值不可以逐个列举出来，而是取数轴上某一区间内的任一点 的随机变量。例如，一批电子元件的寿命、实际中常遇到的测量误差等都是连续型随机变量。
数学定义
对于随机变量X，若存在一个非负的可积函数f(x)，使得对任意实数x，有 则称X为连续性随机变量。其中f(x)为X的概率分布密度函数，简称概率密度记为。 相关性质 由定义可知， 3.对于任意两个实数（假设），都有： X取任一指定实数值的概率，,这样在计算连续性随机变量落在某一区间的概率时，可以不必区分该区间是开 区间还是闭区间。 有 尽管，但并不是不可能事件。同样，一个事件的概率为1，并不意味这个事件一定发生。 当提到一个随机变量X的概率分布，指的是它的分布函数，当X是连续型时指的是它的概率密度，当X是离散 型时指的是它的列出，其值域为一个或若干个有限或无限区间，这样的随机变量称为离散型随机变量。离 散型随机变量与连续型随机变量也是由随机变量取值范围（或说成取值的形式）确定，变量取值只能取离散型的 自然数，就是离散型随机变量。
实例 比如，一次掷20个硬币，k个硬币正面朝上， k是随机变量， k的取值只能是自然数0，1，2，…，20，而不能取小数3.5、无理数√20…… 因而k是离散型随机变量。 再比如，掷一个骰子，令X为掷出的结果，则只会有1,2,3,4,5,6这六种结果，而掷出3.3333是不可能的。 因而X也是离散型随机变量。 如果变量可以在某个区间内取任一实数，即变量的取值可以是连续的，这随机变量就称为连续型随机变量。
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(2) 由指数分布的“无记忆性”
P (T 1T 8 8 ) P (T 8 1T 0 8 )
P(T1)0e10
Ch2-72
(3) 正态分布
若X 的 d.f. 为
f(x) 1 e(x2 2)2
2
x
亦称高斯
,为常数，0 (Gauss)分布
则称 X 服从参数为 , 2 的正态分布
记作 X ~ N ( , 2 )
20001000 1500 x2 d x
4 1 240.4706. 51 6 51
Ch2-57
(3) 设A 表示一个电子管的寿命小于1500小时
P (A )P (0X 15 )0 1105000 100x02 0dx013
设在使用的最初1500小时三个电子管中
损坏的个数为
Y~
B
3,
1 3
3 3
3 3
231 2 0 .99 1 8 0.7 9974
一次试验中, X 落入区间( - 3 , +3 )
的概率为 0.9974, 而超出此区间可能性很小
由3 原理知，
当 a 3 时 ( a ) 0 ,b 3 时 ( b ) 1
Ch2-88
N (-3 , 1.2 )
0.3 0.25
0.2 0.15
0.1 0.05
-6 -5 -4 -3 -2 -1
3
Ch2-73
Ch2-74
f (x) 的性质：
图形关于直线 x = 对称, 即
f ( + x) = f ( - x)
1
在 x = 时, f (x) 取得最大值 2
在 x = ± 时, 曲线 y = f (x) 在对应的
对一般的正态分布 ：X ~ N ( , 2)
其分布函数
F(x) 1 e dt x (t22)2
2
作变量代换
s
t
F(x)x
P(aXb)F(b)F(a)
b a
P(X a) 1F(a)
1a
Ch2-84
例5 设 X ~ N(1,4) , 求 P (0 X 1.6)
解 P (0 X 1 .6 ) 1 .6 2 1 0 2 1
0 .3 0 .5
P380 附表3 0 .3 [ 1 0 .5 ]
0 .61 [1 7 0 9 .69 ] 1
0.3094
Ch2-85
例6 已知X~N(2,2)且 P( 2 < X < 4 ) = 0.3,
求 P ( X < 0 ).
解一
P(X0)02
12
P (2X 4 ) 4 2 2 2
2(0) 0.3
2
0.8
P (X0)0.2
Ch2-86
解二 图解法
0. 2 0. 15
0. 1 0. 05
0.3 0.2
-2
2
4
6
由图
P (X0 )0 .2
例 3 原理
Ch2-87
设 X ~ N ( , 2), 求 P (X | | 3 )
解 P ( X || 3 ) P ( 3 X 3 )
-6
几何意义 数据意义
-5 -4 -3 -2 -1
大小与曲线陡峭程度成反比 大小与数据分散程度成正比
Ch2-78
正态变量的条件 若 r.v. X
① 受众多相互独立的随机因素影响
② 每一因素的影响都是微小的 ③ 且这些正、负影响可以叠加
则称 X 为正态 r.v.
Ch2-79
可用正态变量描述的实例极多：
各种测量的误差； 人体的生理特征； 工厂产品的尺寸； 农作物的收获量； 海洋波浪的高度； 金属线抗拉强度； 热噪声电流强度； 学生的考试成绩；
一种重要的正态分布
—— 标准正态分布N (0,1)
密度函数
(x)
1
x2
e2
2
是偶函数，分布函数记为
x
(x) 1
x t2
e 2dt
x
2
其值有专门的表供查.
的形状不变化，只是位置不同
— 形状参数
固定 ，对于不同的 ，f ( x) 的形状不同.
若 1< 2 则
11
21 22
前者取
附近值的概率更大. x = 1 所对应的拐点 比x= 2 所对应的拐点更靠近直线 x=
Show[fn1,fn3]
小
Ch2-77
0. 5 0. 4
大 0. 3 0. 2 0. 1
1 1 P P (X (X s s)t) 1 1 F F (s ( s)t) e e ( ss t) e t P (X t)
故又把指数分布称为“永远年轻”的分布
例4 假定一大型设备在任何长为 t 的时间内 Ch2-70
发生故障的次数 N( t ) ~ (t), 求
(1)相继两次故障的时间间隔 T 的概率分布;
a 0, cb2/4a0, 4a cb242.
可省略
Ch2-60
作业 P83 习题二 16 18
Ch2-61
常见的连续性随机变量的分布
(1) 均匀分布 若 X 的 d.f. 为 f(x)b1a, axb 0, 其他
则称 X 服从区间( a , b)上的均匀分布或称 X 服从参数为 a , b的均匀分布. 记作
解
(1)
令
c
f(x)dx100x02dx1
Ch2-56
c = 1000
(2) P(X171 05 0 0X020)00
P (X 17 ,105 0X 00 20 )P0 (10 500X20)00
P(15 0X 017)0P 0(1500X20)00
17001000 1500 x2 d x
解
P (X || 1) 0 11 7 0 .5 0 1 1 7 0 .0 5
0 .2 5 1 .7 5
0 .2 [ 1 5 1 .7 ]5
0.5586
Ch2-90
设 A 表示进行 n 次独立测量至少有一次 误差的绝对值不超过10米
P(Y1)P3(1)C3 11 33 229 4
例2 设 f(x)(a2xb xc)1 Ch2-58 为使 f (x) 成为某 r.v. X 在 (,)上的
d.f.系数 a, b , c 必须且只需满足何条件？
解 由 f(x ) 0 h (x ) a2 x b c x 0
h ( x ) 2 a b x ,h ( x ) 2 a
概率与小区间的位置无关, 只与其长度成正
比. 这正是几何概型的情形.
应用场合
进行大量数值计算时, 若在小数点后第 k 位进行四舍五入, 则产生的误差可以看作
服从 U1210k,1210k 的 r.v. 随机变量
Ch2-65
例3 秒表最小刻度值为0.01秒. 若计时精 度是取最近的刻度值, 求使用该表计时产 生的随机误差X 的 d.f. 并计算误差的绝对 值不超过0.004秒的概率.
0 P (X a ) lx i0a m xf(x )d x0
P (Xa)0
命题 连续r.v.取任一常数的概率为零
强调 概率为0 (1) 的事件未必不发生(发生)
Ch2-53
对于连续型 r.v. X
P(aXb) P (aX b )
P (aX b )
f ( x)
P (aX b )
标准正态分布的上 分位数 z 设 X ~ N (0,1) , 0 < < 1, 称满足
P (Xz)
的点 z 为X 的上 分位数
0.4
0.3
0.2
0.1
-3 -2 -1
1 2z 3
常用 数据
z0.051.645 z0.0251.96
Ch2-89
例7 设测量的误差 X ~ N(7.5,100)(单位:米) 问要进行多少次独立测量，才能使至 少有一次误差的绝对值不超过10米的 概率大于0.9 ?
其他
则称 X 服从 参数为 的指数分布
记作 X~E()
X 的分布函数为
F(x)10e,x,
x0 x0
f ( x)
0 F( x) 1
0
Ch2-67
x x
Ch2-68
对于任意的 0 < a < b,
P(a X b) bexdx a
F(b)F(a)
ea eb 应用场合 用指数分布描述的实例有：
x 0
x
f(x 0 ) x P (x 0 X x 0 x )
密度长度
线段质量
Ch2-52
注意: 对于连续型r.v.X , P(X = a) = 0
其中 a 是随机变量 X 的一个可能的取值
事实上 (Xa) (a x X a ) x0
0 P ( X a ) P ( a x X a ) aax f(x)dx a
b
0. 08 0. 06
a f (x)dx
0. 04
F(b)F(a)
0. 02
-1 0
-5
a
5
b
x
Ch2-54
P ( X b ) P ( X b ) F ( b ) P ( X a ) P ( X a ) 1 F ( a )
f ( x)
0. 08 0. 06 0. 04 0. 02
积分
x
Ch2-51
F (x ) f(t)d t x
不是Cauchy 积分，而是Lesbesgue 意义下
的积分，所得的变上限的函数是绝对连续
的，因此几乎处处可导
F (x 0 ) lx i 0F m (x 0x x ) F (x 0 )
lim P (x0Xx0x) f(x0)
X~U(a,b)
Ch2-62