随机过程期中考试试卷
随机过程试题
一、填空题（每小题3分，共15分）1、设随机变量X 的特征函数为 ()(1)itnX t p pe ϕ=-+，则EX = 。
2、设{((),()),}X t Y t t T ∈为二维实值随机过程，则它们的互协方差函数为12(,)XY C t t = 。
3、设{()X n ，1,2,n = }是独立同分布的随机变量序列，{}()1P X n p ==，{}()01P X n p ==-，则对m n ≠，X 的自相关函数(),X R m n = 。
4、全期望公式为 ()E E Y X ⎡⎤⎣⎦= 。
5、非齐次泊松过程{(),0}N t t ≥，其中强度函数为()sin (0)t t at a λ=+≠，则[()]E N t =。
二、选择题（每小题3分，共15分）1、下面的随机过程中不一定是二阶矩过程的是（ ）（A ）严平稳过程 （B ）宽平稳过程 （C ）正态过程 （D ）泊松过程2、关于齐次马氏链的遍历性与平稳分布，下面说法正确的是（ ） （A ）平稳分布即为稳态概率（B ）平稳分布存在，则齐次马氏链具有遍历性 （C ）马氏链不具有遍历性时，其平稳分布也可能存在 （D ）平稳分布是唯一的3、已知标准正态分布随机变量的特征函数为22()e υϕυ-=，则2(2,)X N μσ 的特征函数为 ()X ϕυ=（ ） （A ）{}222exp i συμυ-+（B ）{}222exp i συμυ-（C ）{}222exp i συμυ-2+（D ）{}222exp i συμυ-24、下面的随机过程中不一定是马尔可夫过程的是（ ） （A ）宽平稳过程 （B ）非齐次泊松过程 （C ）维纳过程 （D ）泊松过程5、设()1()()N t n Y t X n ==∑是复合泊松过程，2(|()|),1,2,E X n n <+∞= ，则下面说法错误的是（ ）（A ）()((1))Y m t tE X λ= （B ）()((1))Y D t tD X λ= （C ）()(())Y m t tE X n λ= （D ）2()(())Y D t tE X n λ= 三、计算题1、（20分）设齐次马氏链{(),1,2,3}X n n = 的状态空间{1,2,3}E =，状态转移概率矩阵110221203323055P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（1） 画出概率转移图； （2）讨论其遍历性，并求平稳分布； （3）求概率{(4)3|(1)1,(2)2}P X X X ===； （4）若已知(1)X 的分布律如下表所示:分别计算{(1)1,(2)2,(3)3}P X X X ===以及(3)X 的分布律。
最新随机过程考试试题及答案详解1
随机过程考试试题及答案详解1、（15分）设随机过程C t R t X +⋅=)(，),0(∞∈t ，C 为常数，R 服从]1,0[区间上的均匀分布。
（1）求)(t X 的一维概率密度和一维分布函数； （2）求)(t X 的均值函数、相关函数和协方差函数。
【理论基础】 （1）⎰∞-=xdt t f x F )()(，则)(t f 为密度函数；（2）)(t X 为),(b a 上的均匀分布，概率密度函数⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他,0,1)(bx a a b x f ，分布函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤--<=b x b x a ab a x a x x F ,1,,0)(，2)(ba x E +=，12)()(2a b x D -=； （3）参数为λ的指数分布，概率密度函数⎩⎨⎧<≥=-0,00,)(x x e x f x λλ，分布函数⎩⎨⎧<≥-=-0,00,1)(x x e x F x λ，λ1)(=x E ，21)(λ=x D ； （4）2)(,)(σμ==x D x E 的正态分布，概率密度函数∞<<-∞=--x e x f x ,21)(222)(σμπσ，分布函数∞<<-∞=⎰∞---x dt ex F xt ,21)(222)(σμπσ，若1,0==σμ时，其为标准正态分布。
【解答】本题可参加课本习题2.1及2.2题。
（1）因R 为]1,0[上的均匀分布，C 为常数，故)(t X 亦为均匀分布。
由R 的取值范围可知，)(t X 为],[t C C +上的均匀分布，因此其一维概率密度⎪⎩⎪⎨⎧+≤≤=其他,0,1)(tC x C t x f ，一维分布函数⎪⎩⎪⎨⎧+>+≤≤-<=t C x t C X C tCx C x x F ,1,,0)(；（2）根据相关定义，均值函数C tt EX t m X +==2)()(； 相关函数2)(231)]()([),(C t s Cst t X s X E t s R X +++==； 协方差函数12)]}()()][()({[),(stt m t X s m s X E t s B X X X =--=（当t s =时为方差函数） 【注】)()()(22X E X E X D -=；)()(),(),(t m s m t s R t s B X X X X -=求概率密度的通解公式|)(|/)(|)(|)()(''y x y f x y y f x f t ==2、（15分）设{}∞<<∞-t t W ),(是参数为2σ的维纳过程，)4,1(~N R 是正态分布随机变量；且对任意的∞<<∞-t ，)(t W 与R 均独立。
随机过程期中考试试卷答案
随机过程-期中考试试卷答案一、填空题（每题4分，共20分）1. 设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，则特征函数ϕ(t)=eλ(e it−1)2. 设有随机过程{X(t),t∈T}，则称T为随机过程的参数集3. 设随机过程{X(t),t∈T}为二阶矩过程，则自相关函数R X(s,t)=E(X(s)X(t))4. 设有泊松过程{N(t),t∈T}，则它的强度λ=E(N(t))t5. 记X n为抛掷一颗骰子出现的点数，于是{X n,n≥1}为随机序列。
则{X n,n≥1}的状态空间E={1,2,3,4,5,6}二、判断题（每题4分，共20分）1. 设有随机过程{X(t),t∈T}，则C X(t1,t2)=R X(t1,t2). Ⅹ2. 设二阶矩过程{X(t),t≥a}是独立增量过程，且X(a)=0，则对任意s,t≥a，有C X(s,t)=σX2(min(s,t))√3. 设有非齐次泊松过程{N(t),t∈T}，则它的强度是参数t的函数，一般记为λ(t). √4. 设有维纳过程{W(t),t≥0}，则W(6)−W(3)与W(4)−W(2)独立. Ⅹ5. 设有强度为λ的泊松过程{N(t),t≥0}，则N(5)−N(2)服从参数为3λ的泊松分布. √三、计算题（每题20分，共60分）1. 设随机过程X(t)=tV,t≥0，其中V为离散型随机变量，其分布律为（1）求X(t)的均值函数、方差函数；（2）求X(t)的一维分布函数F(x;2)、二维随机变量(X(1),X(2))的联合分布律。
解 (1) 根据概率论知识，E (V )=0.2,E (V 2)=1，由此可得 ……2分均值函数 μX (t )=E (tV )=tE (V )=0.2t ……4分方差函数 σX 2(t )=E(tV)2−(μX (t ))2=t 2−(0.2t )2=0.96t 2 ……4分(2) X (2)=2V 的分布律为于是得一维分布函数F(x;2)F (x;2)={0, x <−20.4, −2≤x <21, x ≥2 ……6分二维随机变量(X (1),X(2))的联合分布律为……4分2. 设某设备的使用期限是10年，已知在前4年每年平均维修次数为0.2，后6年每年平均维修次数为0.3. 记N(t)表示在时段(0,t]的维修次数。
(完整word版)随机过程试题及答案
1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为 。
2．设随机过程X(t)=Acos( t+),-<t<ωΦ∞∞ 其中ω为正常数，A 和Φ是相互独立的随机变量，且A 和Φ服从在区间[]0,1上的均匀分布，则X(t)的数学期望为 。
3．强度为λ的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为 的同一指数分布。
4．设{}n W ,n 1≥是与泊松过程{}X(t),t 0≥对应的一个等待时间序列，则n W 服从 分布。
5．袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的t 对应随机变量⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果时取得红球如果t t t e tt X ,,3)(，则 这个随机过程的状态空间 。
6．设马氏链的一步转移概率矩阵ij P=(p )，n 步转移矩阵(n)(n)ijP (p )=，二者之间的关系为 。
7．设{}n X ,n 0≥为马氏链，状态空间I ，初始概率i 0p P(X =i)=，绝对概率{}j n p (n)P X j ==，n 步转移概率(n)ij p ，三者之间的关系为 。
8．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意012≥>t t 则{(5)6|(3)4}______P X X ===9．更新方程()()()()0tK t H t K t s dF s =+-⎰解的一般形式为 。
10．记()(),0n EX a t M M t μ=≥→∞-→对一切，当时，t +a 。
二、证明题（本大题共4道小题，每题8分，共32分）P(BC A)=P(B A)P(C AB)。
2.设{X (t ),t ≥0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ≥0}是一个马尔科夫过程。
3.设{}n X ,n 0≥为马尔科夫链，状态空间为I ，则对任意整数n 0,1<n l ≥≤和i,j I ∈，n 步转移概率(n)()(n-)ij ik kjk Ip p p l l ∈=∑ ，称此式为切普曼—科尔莫哥洛夫方程，证明并说明其意义。
随机过程试题及答案
1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为 。
2．设随机过程X(t)=Acos( t+),-<t<ωΦ∞∞ 其中ω为正常数，A 和Φ是相互独立的随机变量，且A 和Φ服从在区间[]0,1上的均匀分布，则X(t)的数学期望为 。
3．强度为λ的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为 的同一指数分布。
4．设{}n W ,n 1≥是与泊松过程{}X(t),t 0≥对应的一个等待时间序列，则n W 服从 分布。
5．袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的t 对应随机变量⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果时取得红球如果t t t e tt X ,,3)(，则 这个随机过程的状态空间 。
6．设马氏链的一步转移概率矩阵ij P=(p )，n 步转移矩阵(n)(n)ijP (p )=，二者之间的关系为 。
7．设{}n X ,n 0≥为马氏链，状态空间I ，初始概率i 0p P(X =i)=，绝对概率{}j n p (n)P X j ==，n 步转移概率(n)ij p ，三者之间的关系为 。
8．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意012≥>t t 则{(5)6|(3)4}______P X X ===9．更新方程()()()()0tK t H t K t s dF s =+-⎰解的一般形式为 。
10．记()(),0n EX a t M M t μ=≥→∞-→对一切，当时，t +a 。
二、证明题（本大题共4道小题，每题8分，共32分）P(BC A)=P(B A)P(C AB)。
2.设{X (t ),t ≥0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ≥0}是一个马尔科夫过程。
3.设{}n X ,n 0≥为马尔科夫链，状态空间为I ，则对任意整数n 0,1<n l ≥≤和i,j I ∈，n 步转移概率(n)()(n-)ij ik kjk Ip p p l l ∈=∑ ，称此式为切普曼—科尔莫哥洛夫方程，证明并说明其意义。
(完整)随机过程复习试题及答案,推荐文档
2.设{X (t ),t ≥0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ≥0}是一个马尔科夫过程。
证明：当12n 0t t t t <<<<<L 时，1122n n P(X(t)x X(t )=x ,X(t )=x ,X(t )=x )≤L =n n 1122n n P(X(t)-X(t )x-x X(t )-X(0)=x ,X(t )-X(0)=x ,X(t )-X(0)=x )≤L =n n P(X(t)-X(t )x-x )≤，又因为n n P(X(t)x X(t )=x )=≤n n n n P(X(t)-X(t )x-x X(t )=x )≤= n n P(X(t)-X(t )x-x )≤，故1122n n P(X(t)x X(t )=x ,X(t )=x ,X(t )=x )≤L =n n P(X(t)x X(t )=x )≤3.设{}n X ,n 0≥为马尔科夫链，状态空间为I ，则对任意整数n 0,1<n l ≥≤和i,j I ∈，n 步转移概率(n)()(n-)ij ik kjk Ip p pl l ∈=∑ ，称此式为切普曼—科尔莫哥洛夫方程，证明并说明其意义。
证明：{}(n)ij k IP P X(n)=j X(0)=i P X(n)=j,X(l)=k X(0)=i ∈⎧⎫==⎨⎬⎩⎭U ={}k I P X(n)=j,X(l)=k X(0)=i ∈∑ ={}{}k IP X(l)=k X(0)=i P X(n)=j X(l)=k,X(0)=i ∈∑g =(l)(n-l)ik kjPP ∑，其意义为n 步转移概率可以用较低步数的转移概率来表示。
4.设{}N(t),t 0≥是强度为λ的泊松过程，{}k Y ,k=1,2,L 是一列独立同分布随机变量，且与{}N(t),t 0≥独立，令N(t)k k=1X(t)=Y ,t 0≥∑，证明：若21E(Y <)∞，则[]{}1E X(t)tE Y λ=。
随机过程-答案
2012-2013学年第一学期统计10本《随机过程》期中考试一. 填空题1．设马氏链的一步转移概率矩阵()ij P p =，n 步转移矩阵()()n ij P p =，二者之间的关系为(n)n PP =2.状态i 常返的充要条件为()n i i n p ∞==∑∞。
3.在马氏链{},0n X n ≥中，记()n i jp ={}0,11,n P Xm j m n X j X i ≠≤≤-==，n ≥1.i j p =()1n i j n p ∞=∑,若i j p <1,称状态i 为 。
二. 判断题1. S 是一个可数集，{:0n n X ≥}是取值于S 的一列随机变量，若()1011100111111,,...,(,...,)n n n n n n n n n n n n i i S P i X i X i X i P i i -+++--++-∀≥∀∈X =|====X =|X=并且满足，则{:0n n X ≥}是一个马氏链。
×2. 任意状态都与它最终到达的状态是互通的，但不与它自己是互通的。
×3. 一维与二维简单随机游动时常返的，则三维或更高维的简单随机游动也是常返的。
×4. 若状态i ↔状态j ，则i 与j 具有相同的周期。
√5. 一个有限马尔科夫链中不可能所有的状态都是暂态。
√三. 简答题1．什么是随机过程，随机序列？答：设T 为[0，+∞）或（-∞，+∞），依赖于t(t ∈T)的一族随机变量（或随机向量）{t ξ}通称为随机过程，t 称为时间。
当T 为整数集或正整数集时，则一般称为随机序列。
2 .什么是时齐的独立增量过程？答：称随机过程{t ξ：t ≥0}为独立增量过程，如果对于01,0,n n t t t ∀∀≤<<< 起始随机变量及其后的增量s t s ξξ+-是相互独立的随机变量组；如果s t s ξξ+-的分布不依赖于s, 则此独立增量过程又称为时齐的独立增量过程。
随机信号 期中题目
，
4、设平稳过程X(t)的功率谱密度
ω2 + 5 G X (ω ) = 4 + 2πδ (ω − 0.2π ) + πδ (ω + 0.2π ) 2 ω + 10ω + 9 求该过程的自相关函数、均值、方差和总的平均 功率。
5 5、设X1，X2均为零均值的高斯变量，其方差为， X X σ2
且两随机变量正交，另有两随机变量Y1，Y2与 X1，X2 的关系为：
1、设随机过程X(t)=A+Bt， A和B相互立的随机变量, 且它们的概率密度为pA(x),pB(x),求X(t)的一维概率 密度。
2、已知随机变量X的特征函数为 C (u) = sinu , X u 求其概率密度、均值和方差。
3、设A和B是两个随机变量,随机过程 X(t)=Acosw0t+Bsinw0t， 式中w0 为常数。A，B具有零均值及相同的方差 2 且不相关，则 σ （1）证明：X(t)为宽平稳过程； （2）求X(t)的自相关函数； （3）求该过程的功率谱
2 Y = X1 + X 1 X 2 tan Y 2 = X1 2 2
Y1 ≥ 0
0 ≤ Y2 ≤ 2π
求Y1,Y2的联合二维概率ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ度。
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随机过程-期中考试试卷
一、填空题（20分）
1. 设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，则特征函数ϕ(t)=
2. 设有随机过程{X(t),t∈T}，则称T为随机过程的
3. 设随机过程{X(t),t∈T}为二阶矩过程，则自相关函数R X(s,t)=
4. 设有泊松过程{N(t),t∈T}，则它的强度λ=
5. 记X n为抛掷一颗骰子出现的点数，于是{X n,n≥1}为随机序列。
则{X n,n≥1}的状态空间E=
二、判断题（20分）
1. 设有随机过程{X(t),t∈T}，则C X(t1,t2)=R X(t1,t2).
2. 设二阶矩过程{X(t),t≥a}是独立增量过程，且X(a)=0，则对任意s,t≥a，有
C X(s,t)=σX2∙min(s,t)
3. 设有非齐次泊松过程{N(t),t∈T}，则它的强度是参数t的函数，一般记为λ(t).
4. 设有维纳过程{W(t),t≥0}，则W(6)−W(3)与W(4)−W(2)独立.
5. 设有强度为λ的泊松过程{N(t),t≥0}，则N(5)−N(2)服从参数为3λ的泊松分布.
三、计算题（60分）
1. 设随机过程X(t)=tV,t≥0，其中V为离散型随机变量，其分布律为
（1）求X(t)的均值函数、方差函数；
（2）求X(t)的一维分布函数F(x;2)、二维随机变量(X(1),X(2))的联合分布律。
2. 设某设备的使用期限是10年，已知在前4年每年平均维修次数为0.2，后6年每年平均维修次数为0.
3. 记N(t)表示在时段(0,t]的维修次数。
试求
（1）前6年平均维修次数；
（2）前6年维修次数超过1次的概率。
3. 设{W(t),t≥0}是参数为σ2的布朗运动，记随机过程X(t)=W(t+2)−W(t),t≥0，试求随机过程X(t)的相关函数R X(1,4)和R X(1,2).。