第三讲基于判断矩阵的集结分析方法

1 w2

1 wn
12
权重向量和一致性指标
T w ( w , w , , w ) 用 右乘上式，得到 Aw nw ，表明 w 为 1 2 n
A的特征向量，且特征根为n。即对于一致的判断矩阵，排 序向量 w就是A的特征向量。如果A是一致的互反矩阵，则 max n，将max aij a jk aik 。当A具有一致性时， 有以下性质： 对应的特征向量归一化后（ n ）记为 w (w1,, wn )T，
第三讲 基于判断矩阵的集结分 析方法
1
一、层次分析法的基本用法
层次分析法（简称AHP）是20世纪70年代 由美国数学家T.L. Saaty提出的一种定量定 性相结合的评价方法。 该方法力求避开复杂的数学建模方法进行 复杂问题的决策，其原理是将复杂的问题 逐层分解为若干元素，组成一个相互关联 和具有隶属关系的层次结构模型，对各元 素进行判断，以获得各元素的重要性。 运用AHP，大体上可按下面四个步骤进行：
5
购房决策问题。某顾客要购买一套新房，初步调查 后确定三套候选房子A，B，C，问题是如何在这三 套房里选择满意的房子。顾客从房地产公司获得了 这三套房子的资料数据，包括：住房的地理位置； 住房的交通情况；住房附近的商业、卫生和教育情 况；住房小区的绿化、清洁和安静的自然环境；建 筑结构；建筑材料；房子布局；房子设备；房子面 积；房子单价。这些方面实际上给出了评判满意程 度的标准，为了简化问题，把上述方面简化成4个 标准：房子的地理位置与交通；房子的居住环境； 房子结构、布局与设施；房子的单价，由此可得到 购房决策的指标体系结构图 。
3 1 0.01 CR 0.017 0.1，表明该判断矩阵的一致性可以接受。 0.58
此外，可以得到 w (0.593,0.341,0.066)T。 设居住环境指标下构成判断矩阵为
房子A 房子B 房子C 房子A 1 3 4 房子B 1/ 3 1 2 房子C 1/ 4 1/ 2 1
n
RI
1
0
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
0 0.58 0.90 1.12 1.24
1.32 1.41 1.45 1.49 1.51
定义CR为一致性比例，
CI CR RI
，当 CR 0.1
时，则称判断矩阵具有满意的一致性，否则就不具 14 有满意一致性。
019 判断矩阵 A ，可得到其最大特征值max 3. （特征值计算方法可采用一定的软件进行，如matlab 软件中的[p,q]=eig(A)即可得到判断矩阵A的特征值p 3.019 3 和特征向量q）， CI 0.01 ，一致性比例
10
基于“地理位置及交通”指标，通过分析在这方面， 房子A比房子B略好不足，房子A比房子C非常好有 余，但是绝对好不足，认为房子B比房子C较好有余， 非常好不足，则可以得到如下的判断矩阵（下三角 判断矩阵的元素由互反性得到）：
房子A 房子B 房子C 房子 A 1 2 8 A 房子B 1/ 2 1 6 1/ 8 1/ 6 1 房子C
16
在四个评价指标方面，哪个指标更为重要？ 可以采用同样的比较方法得到四个评价指标的权重 向量，设有判断矩阵：
地理位置 居住 结构局 房子 环境 部设施 及交通 单价 地理位置 1 2 3 2 及交通 居住环境 1/2 1 4 1/ 2 1/ 3 1/ 4 1 1/ 4 结构局部设施 1/ 2 2 4 1 房子单价
aij wi / w j aij wi 1 i
L U
难点在于？
32
法2
33
34
35
36
四、基于三端点区间数的决策方法
37
38
39
40
五、基于未确知数的决策方法
41
42
43
44
本部分思考
• 综述基于判断矩阵的决策方法及 应用。 • 尝试提出一种新方法。
6
满意房子决策问题
地 理 位 置 及 交 通 居 住 环 境 结 构 布 局 设 施 房 子 单 价
目标层
准则层
房子A
房子B
房子C
方案层
7
构造两两比较的判断矩阵
在建立递阶层次结构以后，上下层元素间的 隶属关系就被确定了。下一步是要确定各层 次元素的权重。 对于大多数社会经济问题，特别是比较复杂 的问题，元素的权重不容易直接获得。 需要通过适当的方法导出它们的权重，AHP 利用决策者对方案两两比较给出判断矩阵的 方法导出权重。
房子B的总得分为：
0.398 0.341 0.218 0.32 0.085 0.274 0.299 0.655 0.425
房子C的总得分为：
0.398 0.066 0.218 0.557 0.085 0.639 0.299 0.08 0.226
17
基于上述指标下各方案的特征向量可总结为表 （设各 判断矩阵的一致性均可接受），四个评价指标的特征 w (0.398,0.218,0.085,0.299)T 向量可以求得为
地理位置交通 居住环 境 房子A 0.593 0.123 结构布局设施 房子单价 0.087 0.265
房子B
房子C
0.341
3
递阶层次结构的建立
应用AHP分析决策问题时，首先要把问题条理化、层 次化，构造出一个有层次的结构模型。在这个模型下，复 杂问题被分解为元素的组成部分，这些元素又按其属性及 关系形成若干层次，上一层次的元素作为准则对下一层次 的有关元素起支配作用。这些层次可以分为三类： 1）最高层（目标层）：只有一个元素，一般是分析问题的 预定目标或理想结果； 2）中间层（准则层）：包括了为实现目标所涉及的中间环 节，它可以由若干个层次组成，包括所需要考虑的准则、 子准则； 3）最底层（方案层）：包括了为实现目标可供选择的各种 措施、决策方案等。
19
AHP的总排序
层次A A1 A2 … Am B层次总排 序值
层次B B1
…
a1 b11
…
a2 b12
…
… …
…
am b1m
…
a b
j 1 j
m
1j
…
Bn
bn1
bn2
…
bnm
a b
j 1 j
m
nj
20
AHP的总排序
• 如果B层次某些因素对于Aj的一致性指标为CIj，相 应地平均随机一致性指标为RIj，则B层次总排序一 m 致性比例为： a CI
15
在结构布局设施下三房子构成的判断矩阵为：
房子A 房子B 房子C 1 1/ 4 1/ 6 房子A 房子B 4 1 1/ 3 6 3 1 房子C
在房子单价下三房子构成的判断矩阵为：
房子A 房子B 房子C 。 1 1/ 3 4 房子A 房子B 1/ 3 1 7 1/ 7 1 房子C 1/ 4
2
• 步骤1：分析系统中各因素间的关系，建立系统的 递阶层次结构； • 步骤2：对同一层次各元素关于上一层次中某一准 则的重要性进行两两比较，构造两两比较的判断 矩阵； • 步骤3：由判断矩阵计算被比较元素对该准则的相 对权重，并进行判断矩阵一致性检验； • 步骤4：计算各层次对于系统的总排序权重，并进 行排序。最后，得到各方案对于总目标的总排序。
8
构造两两比较的判断矩阵
记准则层元素C所支配的下一层次的元素为U1，U2，…， Un。针对准则C，决策者比较两个元素Ui和Uj那一个更重 要，重要程度如何，并按表 定义的比例标度对重要性程度 A (aij，其中就是元素 )nn 赋值，形成判断矩阵 Ui与Uj相 对于准则C的重要性比例标度。
比例标度 含义
1
3 5 7 9 2 ， 4， 6， 8
两个元素相比，具有相同的重要性
两个元素相比，前者比后者稍（略）重要 两个元素相比，前者比后者明显（较）重要 两个元素相比，前者比后者强烈（非常）重要 两个元素相比，前者比后者极端（绝对）重要 表示上述相邻判断的中间值
9
构造两两比较的判断矩阵
• 判断矩阵 A 具有如下性质： 1 a a 1 1）aij 0 ；2） ji ； 3 ） ii aij 称为正互反判断矩阵。 • 根据判断矩阵的互反性，对于一个n个元素构成的 判断矩阵只需给出其上（或下）三角的 n(n 1)个 2 判断数据即可。
1 w2 w A 1 wn w1 w1 w2 1 wn w2 w1 wn w1 w2 w 1 wn 2 w 1 wn 1
11
权重向量和一致性指标
通过两两比较得到的判断矩阵A不一定满足判断矩阵的互反 性条件，从复杂决策问题判断的本身来看，由于决策问题 的复杂性，决策者判断的逻辑性可能不一致。对此，AHP 采用一个数量标准来衡量A的不一致程度。 T 设 w (w1, w2 ,, wn ) 是n阶判断矩阵排序权重向量（可根 据排序权重向量 w来决定方案的优劣），当A为一致性判断 矩阵时，有：
由此，可以看出，在购买满意房子的目标下，房子 B的得分最高，房子A其次，房子C最劣。因此，从四 个指标的综合来看，应该购买房子B。
22
二、基于判断矩阵的权重求解方法
23
24
25
26
27
28
29
30
改名管理科学学 报
王教授09年获国家杰青
31
源自文库
三、基于区间数判断矩阵的决策方 法
法1：线性规划法及扩展
4
递阶层次结构的建立
1. 递阶层次结构的层次数与问题的复杂程度及需要 分析的详尽程度有关，一般地，层次数不受限制。 2. 每一层次中各元素所支配的元素一般不要超过9个。 因为支配的元素过多会给两两比较带来困难。 3. 递阶层次结构是 AHP 中最简单也是最实用的层次 结构形式。当一个复杂问题用递阶层次结构难以 表示时，可以采用更复杂的扩展形式，如内部依 存的递阶层次结构、反馈层次结构等。
AHP的总排序
计算同一层次所有因素对于最高层（总目标） 相对重要性的排序权值，称为层次总排序，这一过 程是由高层次到低层次逐层进行的。最底层（方案 层）得到的层次总排序，就是n个被评价方案的总 排序。若上一层次A包含m个因素A1，A2，…， Am，其层次总排序权值分别为a1，a2，…，am， 下一层次B包含n个因素B1，B2，…，Bn，它们对 于因素Aj的层次单排序的权值分别为b1j，b2j，…， bnj（当Bk与Aj无关时，取bkj为0），此时B层次的 总排序权值由表给出。
CR
a
j 1
j 1 m
j
j
j
RI j
• AHP最终得到方案层各决策方案相对于总目标的 权重，并给出这一组合权重所依据整个递阶层次结 构所有判断的总一致性指标，据此，决策者可以做 出决策。
21
房子A总得分为：
0.398 0.593 0.218 0.123 0.085 0.087 0.299 0.265 0.349
w
i 1
i
1
w 称为权重向量，它表示U1，U2，…，Un在C中的权重。
如果判断矩阵不具有一致性，则max n ，此时的特征向量 w就不能真实地反映U1，U2，…，Un在目标中所占比重。 n 定义衡量不一致程度的数量指标， CI max 。
n 1
13
对于具有一致性的正互反判断矩阵来说，CI=0。 由于客观事物的复杂性和人们认识的多样性，以及 认识可能产生的片面性跟问题的因素多少、规模大 小有关，仅依靠CI值作为A是否具有满意一致性的 标准是不够的。为此，引进平均随机一致性指标 RI， 对于n=1～11，平均随机一致性指标RI的取值如表 ：
0.066
0.320
0.557
0.274
0.639
0.655
0.080
在地理位置交通方面，房子A最优，房子B和C 其次；在居住环境方面，房子C最优，房子B和A其 次；在结构布局设施方面，房子C最优，房子B和A 其次；在房子单价方面，房子B最优，房子A和C其 次。从上述四个指标综合来看，哪座房子最优？ 18