数理经济学试题3
厦大《数理经济学》--习题
《数理经济学》参考习题说明：以下习题主要在于帮助读者进一步理解和掌握相关的最优化方法。
而对相关数学最优化定理推导的深入理解将非常有助于对该原理的掌握，因此相关定理的证明可以作为习题，鉴于篇幅，在习题中不再重复。
另一方面，对经济学分析如何应用最优化数学方法，建议读者进一步阅读参考文献中的相关微观经济学和宏观经济学的高级教程。
另，以下习题中相关定理和例题的编号为教材中的编号。
第一部分 非线性规划与应用1. 如序中所提到的，目标函数和约束函数均为线性函数时称为线性规划问题，线性是非线性的一个特例，考虑以下的线性规划问题，min : T c x..:0s t Ax ≤ 0x ≥其中nx R ∈，c 为维向量，为n A m n ×矩阵。
导出该线性规划问题的Kuhn-Tucker 最优性条件。
2. 当非线性规划问题中的目标函数为二次函数，约束函数为线性函数时，称为二次规划问题。
导出以下二次规划问题的Kuhn-Tucker 最优性条件。
1min : 2T Ta c x x Hx ++..:s t Ax b =0x ≥其中为常数，为维向量，为a c n H n n ×对称矩阵，为A m n ×矩阵。
3. 考虑以下非线性规划问题：12max : x x −221..:0s t x x −+≤110x −≤ 20x −≤画图分析该问题的最优解，并讨论在最有解点是否满足Kuhn-Tucker 条件或Fritz John 条件。
14. 求解以下非线性规划问题：221122min : 23x x x x x −+− 212..:42s t x x −+≤1234x x +≤6)2 10x ≥，20x ≥5. 分析点*(4,3)是否为满足以下非线性规划问题的二阶条件的最优解：x =()(2212max : 34x x −+− 2212..:25s t x x +≤127x x +≥ 10x ≥，20x ≥6. 考虑下述含参数的非线性规划问题：11min : x u x −− 2212..:1s t x x u +≤−2用()x u 表示最优解，表示最优值函数，利用定理2.1.2和定理2.2.1的公式计算()u Φ()x u ∇，在和的值。
厦门大学数理经济学期末试题
−1
1−η
1−η
= (1 , 2 ), 2+1 = ζ1
−1
1−η
1−η
+ ∙ (1+1 , 2+1 ) + λ1 [(1
1−η
1
+ 2 )1−η − − 1+1 ] +
λ2 (ζ1 − 2+1 )
∂(1 ,2 )
∂
表示该系统鞍点稳定
②在点（ 0.25，0.5）处：
2
J E
1
1
2
2 y 0.25,0.5 1
tr ( J E ) 3
1
1
det( J E ) 1
tr ( J E ) 4 det( J E ) 5 0
2
tr ( J E ) 3 0
∞
∞
∫0 (t) −(̅ ()−) = (0) + ∫0 (t) −(̅ ()−)
1
其中̅ () = ∫0 () 表示平均利率水平。
解： 将题中方程整理成为一阶线性微分方程形式
+ ( + ) = − ，其中 a, r, ω, c 都是 t 的函数，n 为常数
2
1
1
而λ+1 = +1 −2
2
1
1
∴ ∙ +1 −2 ( + 1 − ζ) = −2
而 = ( ) − +1 + (1 − ζ)
猜+1 = B 代入上式， 而( ) =
∴ = − B + (1 − ζ) = ( + 1 − ζ − B)
数理金融练习题
数理金融练习题1. 简答题1.1 请简述数理金融的定义，并说明其在金融领域中的应用。
数理金融是数学、统计学和金融学的交叉学科，研究运用数学和统计方法解决金融问题的理论和方法。
它主要运用概率论、微积分、随机过程等数学工具来分析和建模金融市场的风险和回报，为金融决策制定提供科学依据。
在金融领域中，数理金融可用于风险管理、资产定价、投资组合优化等方面。
例如，通过运用数理金融方法，可以衡量金融资产的价格波动风险，为金融机构提供风险控制措施；同时，数理金融还可以帮助投资者在不同资产之间进行有效的配置，以最大化投资组合的预期收益。
1.2 请简要介绍一下随机过程在数理金融中的应用。
随机过程是数理金融中常用的一种数学模型，它刻画了一系列随机事件随时间的变化过程。
在数理金融中，随机过程可以用来描述金融市场中的价格走势、利率变动等不确定性因素。
常见的随机过程模型包括布朗运动、几何布朗运动、扩散过程等。
随机过程在数理金融中的应用广泛，例如，通过建立随机过程模型，可以预测股票价格的未来演变，为投资者提供决策参考。
此外，随机过程还可用于衡量金融产品的风险价值，对金融衍生品的定价进行分析，以及评估投资组合的风险收益特征等方面。
2. 计算题2.1 假设某股票的价格服从几何布朗运动模型，其价格演化满足如下随机微分方程：dS = u * S * dt + σ * S * dz其中，S为股票价格，t为时间，u为收益率，σ为波动率，dz为布朗运动的微分项。
请计算在给定参数下，该股票的价格在一年之后的期望值和方差。
解：根据几何布朗运动的性质，该股票的价格演化方程可以写成如下形式：dln(S) = (u - 0.5 * σ^2) * dt + σ * dz其中，ln(S)为股票价格的对数。
根据该方程，可以推导出ln(S)的解析解为：ln(S(t)) = ln(S(0)) + (u - 0.5 * σ^2) * t + σ * W(t)其中，W(t)为标准布朗运动。
数理金融 习题答案
数理金融习题答案数理金融是一门结合了数学和金融学的学科，它运用数学模型和统计方法来分析金融市场和金融产品。
在数理金融的学习过程中，习题是不可或缺的一部分。
通过解答习题，我们可以加深对数理金融理论的理解，并提高解决实际问题的能力。
下面，我将为大家提供一些数理金融习题的答案，希望能对大家的学习有所帮助。
第一题：假设某只股票的价格服从几何布朗运动，其漂移率为0.05，波动率为0.2。
如果当前股票价格为100元，且时间为1年，求1年后股票价格为120元的概率。
答案：根据几何布朗运动的性质，股票价格的对数服从正态分布。
设股票价格的对数为X，则有X ~ N((0.05-0.2^2/2)*1, 0.2^2*1)，即X ~ N(0.03, 0.04)。
将120元转化为对数形式，即ln(120)，然后代入正态分布的公式，可以计算出概率为P(X > ln(120))。
最后，利用统计软件或查表工具，可以得到答案。
第二题：假设某只期权的价格为5元，行权价为100元，无风险利率为0.05，期权到期时间为3个月，波动率为0.3。
求该期权的Delta值。
答案：Delta值表示期权价格对标的资产价格变动的敏感性。
对于欧式期权，Delta值可以通过期权定价模型计算得到。
常用的期权定价模型有布莱克-斯科尔斯模型和它的变种。
根据布莱克-斯科尔斯模型，Delta值可以通过期权定价公式中的一阶偏导数来计算。
对于看涨期权，Delta值为N(d1)，对于看跌期权，Delta值为N(d1)-1，其中N(x)表示标准正态分布函数，d1的计算公式为：d1 = (ln(S/X) + (r + σ^2/2)T) / (σ√T)其中，S为标的资产价格，X为行权价，r为无风险利率，σ为波动率，T为期权到期时间。
将题目中给定的参数代入公式，即可计算出该期权的Delta值。
第三题：假设某只债券的到期时间为5年，票面利率为5%，市场利率为4%，票面价值为100元。
数理经济学作业答案(第三章)PS4-6
Problem Set 4 光滑函数1.（3.2）计算 CES 函数()( )⁄的 Hessi 矩阵解：一阶导数为：( )⁄( )⁄二阶导数为：()( )( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )()( )( )( )( ) ( )Hessi 矩阵为：()[]()( )()( )[] ()( )()( ) []()( )2.（3.3）计算二次函数()在点(0,0)附近的二次Taylor 展开式。
3.(3.5)证明以下结论成立：（1）CES函数()( )⁄是1次齐次的。
证明:令t>0，则有：(t )[(t )(t )(t )]⁄t( )⁄t ( )从而可知，CES函数()( )⁄是1次齐次的。
（2）证明：令t>0，则有：v(tp,tm)[m u() s.t. (tp)≤(tm)][m u() s.t. p ≤m]v(p,m)故v(p,m)在p和m中是0次齐次的。
（3）证明：令t>0，则有：Π(tp)[m (tp)T y s.t. ( )≥y]t[m (p)T y s.t. ( )≥y]tΠ(p)从而可知利润函数Π(p)是1次齐次的。
（4）证明：令t>0，则有(tw,y)[min(tw)T s.t. ( )≥y]t[min(w)T s.t. ( )≥y]t (w,y)可知成本函数(w,y)在投入价格w中是1次齐次的。
证明：由于生产函数是1次齐次的，有：(w,y)[min(w)T s.t. ()≥y][min(w)T s.t. (y)≥ ]y[min(w)Ty s.t. (y)≥ ]y[min(w)T z s.t. (z)≥ ]y (w,)其中，令zy证毕。
Problem Set 5 凹函数1. (3.7)必要性：由已知可得f()函数是凹函数，变量都在其定义域内。
对于α∀∈[0 1],有1212[(1)][((1))]g t t f x t t v αααα+-=++- 12[()(1)()]f x t v x t v αα=++-+ 12()(1)()f x t v f x t v αα≥++-+ 12()(1)()g t g t αα=+- 从而可知函数g （t ）是在定义域上是凹函数。
数理经济学习题
一、集合的证明：1. 证明： (1) 任意闭集类的交集是闭集；(2) 有限闭集类的并集是闭集。
证：（1）对于所有i I ∈，I 是一个指标集，i S 是闭集，即其补集C i S 是开集。
根据德·莫甘定律，有 CC i i i I i I S S ∈∈⎛⎞=⎜⎟⎝⎠∩∪，因为开集的并集是开集，即Ci i IS ∈∪是开集。
Ci i I S ∈⎛⎞∴⎜⎟⎝⎠∩是开集。
i i I S ∈∴∩是闭集，即任意闭集的交是闭集。
（2）同理，对于所有的 1,2,...i n =，i S 是闭集，即说明其补集C i S 是开集。
根据德·莫甘定律，有()11CnnC ii i i S S ===∪∩，因为任何有限个开集的交集是开集，即1nCi i S =∩是开集。
()1Cnii S =∴∪是开集。
1ni i S =∴∪是闭集，即有限个闭集的并集是闭集。
2. 设函数i f S T →：是一个连续函数，其中{}220,1,2,...,i S x i n ≡≤≤=x ，{}410T x x ≡≤≤。
证明：()0i i f x −=x 有解。
证明：在S 中任取两点1x ，2x ，对于[0,1]t ∀∈，令12(1)t t t =+−x x x ，即有12(1)t i i i x tx t x =+−。
依题意，有1220i x ≤≤，2220i x ≤≤。
则1220i t tx t ≤≤，22(1)(1)20(1)i t t x t −≤−≤−；122(1)20i i tx t x ∴≤+−≤，即220t i x ≤≤。
t ∴x 也在S 中。
∴S 是凸集。
又{}220,1,2,...,i S x i n ≡≤≤=x ∵，∴显然的，S 是紧集。
令12()((),(),,())n T F x f x f x f x = ，显然，F （x ）为连续函数，且4()82()20,1,2,,i i f x f x i n ≤≤⇒≤≤= ， 这表明()F x S ∈，即F 为S S →的连续映射。
数理金融复习题(含答案)
12.基于单因子模型，无风险证券的回报率为 4% ，一个具有单位因子 敏感度的投资组合期望回报率为 7% ．考虑具有下述特征的三种证券 的一个投资组合：
证券
因子敏感度
比例
A B C
1.5 3.0 2.0
0.10 0.20 0.70
根据套利定价理论，该组合的均衡期望回报率是多少？
解：由题意：
E ( Rw ) r f 7% 4% 3%
E ( R A ) r f b A 4% 1.5 3% 8.5% E ( R B ) r f bB 4% 3.0 3% 13% E ( Rc ) r f bc 4% 2.0 3% 10%
证券组合回报率为：
E ( R ) E ( R A ) A E ( RB ) B E ( RC ) C 0.1 8.5% 0.2 13% 0.7 10% 10.45%
注：此答案仅供参考，若有错漏敬请见谅！
1. 什么是一阶随机占优？一阶随机占优的充要条件是什么？
答： 如果所有具有连续递增效用函数的投资者对资产 A 的偏好胜过对资产 B 的偏好， 我们 称资产 A 一阶随机占优于资产 B，记为 A B 。
FSD
设 FA ( x ) 、 其定义域为[a,b]， 则A B FB ( x) 分别是资产 A 的收益率 R A 和 R B 的分布函数，
1 1000, P 2 V1 (2) 1 800, P 2 ， Cov( X 1 , X M ) 0.045 ， var( X M ) 0.3.
r 0.10 ， E ( X M ) 0.20
试用资本资产基本定价方程求出该股票的合理价值。
厦门大学数理经济学09级数理试卷
注意：答案按题序写在专用答题纸上，写在本试卷或草稿纸上者一律不给分（因答题纸不够而另外由考场添加的答题纸除外）。
考试后要求试卷和答题纸同时上交.1. (12%)设S 与T 是凸集。
证明下面每个集合也是凸的：（1）、{}S s -s,x x ∈=≡-S（2）、{}T t ,S s t,-s x x ∈∈=≡-T S2. (12%)设f 和g 为nR D ⊆上的实值凹函数，,0,0>>g f 证明：它们的乘积)x ()x ()x (g f h =在D 上是拟凹的。
3. (12%)解答下列最优化问题：（1）、的局部极值点求222121212123126),(x x x x x x x x f ++++=及对应的函数值；（2）、函数33121212(,)3f x x x x x x =--是否存在极值，如果存在，求出极值，并判断是极大值还是极小值。
4. (12%)设函数T S f i →:是一个连续函数，其中},...,2,1,202{n i x X S i =≤≤=，}104{≤≤=x x T 。
证明：0)x (=-i i x f 有解。
5. (12%)考虑下面的问题：22121),(max x x x x f = a x x t s =+22212..已知3=a 时此问题的最优解为：)5.0,1,1())(),(),((21=a a x a x λ增加0.3个单位时，目标函数的最优值增加多少？6. (12%)求解最优化问题： ∏=∈+n i i R X i x 12max αm X P t s T ≤..厦门大学《数理经济学》课程试卷 经济 学院＿2009＿年级 研究生各专业其中.2,1,0,,=>i m p i i α7. (14%)求解下列微分方程系统，并分析系统的稳定性（1）X X ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1243 （2）⎩⎨⎧--=+-=xy x yy x x 2 8. (14%)考虑微分方程y y dtdy ln 3--= （1）证明存在一点*y 使得**--y y ln 3=0，因此微分方程有均衡点*y ；（2）画出y y dtdy ln 3--=的相位图的略图； （3）讨论时间路径的定性性质（即均衡点的稳定性）；。
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2 Var
ui
( ) ( ) ( ) ∑ ∑ 等方差情形下：Var βˆ =
( ) X
2 i
ΣX
2 i
2 Var
ui
=σ2
X
2 i
ΣX
2 i
2
，这也是
Eviews
常用
的估计结果；
( ) ∑ ( ) ∑ ( ) ∑ ( ) 异方差情形下：Var βˆ =
X
2 i
ΣX
2 i
2 Var (ui ) =
X
2 i
A. 简单相关系数矩阵法
B. DW 检验法
C. t 检验与 F 检验综合判断法
D. ARCH 检验法
E. 辅助回归法(又称待定系数法)
4、对联立方程模型参数的单方程估计法包括( A B D )
A. 工具变量法
B. 间接最小二乘法
C. 完全信息极大似然估计法 D. 二阶段最小二乘法
E. 三阶段最小二乘法
A.E
(
u
2 i
)
≠
σ
2
B.E (u iu j ) ≠ 0(i ≠ j)
C .E ( xiu i ) ≠ 0
D.E (u i ) ≠ 0
18、检验自回归模型扰动项的自相关性，常用德宾 h 检验，下列命题正确的
是（ B ）
A．德宾 h 检验只适用一阶自回归模型
B．德宾 h 检验适用任意阶的自回归模型
C．德宾 h 统计量服从 t 分布
12、逐步回归法既检验又修正了（ D ）
A．异方差性
B.自相关性
C．随机解释变量
D.多重共线性
13、已知模型的形式为Yi = β1 + β2 Xi + ui ，在用实际数据对模型的参数进行估
计的时候,测得 DW 统计量为 0.6453，则广义差分变量是( B )
A. Yt − 0.6453Yt−1 , X t − 0.6453X t−1 B. Yt − 0.6774Yt−1 , X t − 0.6774 X t−1
D．德宾 h 检验可以用于小样本问题
19、设
yi
=
β1
+
β 2 xi
+ ui ,Var(ui )
=
σ
2 i
=σ
2
f
(xi ) ，则对原模型变换的正确形
式为( B )
A. yi = β1 + β2 xi + ui
B.
yi = f (xi )
β1 f (xi )
+
β2
xi + f (xi )
ui f (xi )
15、在有 M 个方程的完备联立方程组中，当识别的阶条件为 H − Ni > M −1时 （H 为联立方程组中内生变量和前定变量的总数， Ni 为第 i 个方程中内生变量和 前定变量的总数），则表示( A )
A. 第 i 个方程恰好识别
B. 第 i 个方程不可识别
C. 第 i 个方程过度识别
D. 第 i 个方程的识别状态不能确定
11、若想考察某两个地区的平均消费水平是否存在显著差异，则下列那个模 型比较适合（Y代表消费支出；X代表可支配收入；D2、D3表示虚拟变量） （ D ）
A.Yi = α + βX i + ui
B. Yi = α1 + β1 X i + β 2 (D2i X i ) + μi
C. Yi = α1 + α 2 D2i + α 3 D3i + βX i + μi D. Yi = α1 + α 2 D2i + βX i + μi
R 2 = 0.74
df = 311
其中：wm为兼职工薪（美元/小时）；w0为主业工薪（美元/小时）；race 为虚拟 变量，若是白人取值为 0，非白人取值为 1；reg为虚拟变量，当被访者是非西部 人时，reg取值为 0，当被访者是西部地区人时，reg取值为 1；age为年龄；括号中 的数据位系数估计值的标准误。关于这个估计结果，下列说法正确的有（A D E）
错
可能存在伪（虚假）回归，因为可决系数较高，而 DW 值过低。
四、计算题
1、某公司在为建造一个新的百货店选址的决策过程中，对已有的 30 个百货 店的销售额作为其所处地理位置特征的函数进行回归分析，并且用该回归方程作 为新百货店的不同位置的可能销售额，估计得出（括号内为估计的标准差）
Yˆt = 30 + 0.1× X1t + 0.01× X 2t + 10.0 × X 3t + 3.0 × X 4t （0.02） （0.01） （1.0） （1.0）
性条件下的系数标准误（
Z
2 i
<
1 ）（请与教材中的情形进行比较）。
4、虚拟变量只能作为解释变量。 错 虚拟变量还能作被解释变量。
5、设估计模型为 PCˆEt = −171.4412 + 0.9672PDIt
t = (−7.4809) (119.8711) R2 = 0.9940 DW = 0.5316 由于R2 = 0.9940，表明模型有很好的拟合优度，则模型不存在伪（虚假）回归。
> dL = 1.3，据此可以推断模型扰动项存在自相关 C. 即期消费倾向为 0.35，表明收入每增加 1 元，当期的消费将增加 0.35 元 D. 收入对消费的长期影响乘数为Yt−1 的估计系数 0.76 10.虚拟变量( A )
A. 主要来代表质的因素，但在有些情况下可以用来代表数量因素
B.只代表质的因素 C.只代表数量因素 D.只代表季节影响因素
（3） 在α ＝0.05 的显著性水平下检验变量 X1t 的显著性。
（临界值 t0.025 (25) = 2.06 ， t0.025 (26) = 2.056 ， t0.05 (25) = 1.708 ， t0.05 (26) = 1.706 ） 解：平均意义上，（1）每小时通过该百货店的汽车增加 10 辆，该店的每日
A．解释变量为非随机的
B. 随机误差项为一阶自回归形式
C．线性回归模型中不应含有滞后内生变量为解释变量
D. 线性回归模型只能为一元回归形式
7、广义差分法是（ B ）的一个特例
A.加权最小二乘法
B.广义最小二乘法
C.普通最小二乘法
D.两阶段最小二乘法
8、在下列引起序列自相关的原因中，不正确的是（ D ）
16、多元线性回归分析中，调整后的可决系数 R 2 与可决系数 R2 之间的关系
（ B） A. R 2 = 1 − (1 − R2 ) n − k n −1
B. R 2 = 1 − (1 − R2 ) n − 1 n−k
C. R 2 > 0
D. R 2 ≥ R 2
17、在异方差的情况下，参数估计值的方差不能正确估计的原因是（ A ）
其中：Yt ＝第 i 个百货店的日均销售额（百美元）； X1t ＝第 i 个百货店前每小时通过的汽车数量（10 辆）； X 2t ＝第 i 个百货店所处区域内的人均收入（美元）； X 3t ＝第 i 个百货店内所有的桌子数量； X 4t ＝第 i 个百货店所处地区竞争店面的数量；
请回答以下问题： （1） 说出本方程中系数 0.1 和 0.01 的经济含义。 （2） 各个变量前参数估计的符号是否与期望的符号一致？
错 在实际中，在一定条件下一元回归是很多经济现象的近似，能够较好地反 映回归分析的基本思想，在某些情况下还是有用的。
2、多重共线性问题是随机扰动项违背古典假定引起的； 错 应该是解释变量之间高度相关引起的。
3、在异方差性的情况下，若采用 Eviews 软件中常用的 OLS 法，必定高估了 估计量的标准误。
5、如果模型中存在自相关现象，则会引起如下后果（ B C D E ）
A.参数估计值有偏
B.参数估计值的方差不能正确确定
C.变量的显著性检验失效
D.预测精度降低
E.参数估计值仍是无偏的
三、判断题（判断下列命题正误，并说明理由）
1、 在实际中，一元回归几乎没什么用，因为因变量的行为不可能仅由一个解 释变量来解释。
第三套
一、单项选择题 1、对样本的相关系数γ ，以下结论错误的是（ A ）
A. γ 越接近 0， X 与Y 之间线性相关程度高
B. γ 越接近 1， X 与Y 之间线性相关程度高
C. −1 ≤ γ ≤ 1
D、 γ = 0 ，则在一定条件下 X 与Y 相互独立
2、同一时间，不同单位相同指标组成的观测数据称为（ B ）
A. 在其他因素保持不变条件下，非白人的兼职工薪每小时比白人约低 90 美元 B. 在其他因素保持不变条件下，白人的兼职工薪每小时比白人约低 90 美元 C. 在其他因素保持不变条件下，非西部人的兼职工薪每小时比西部人约高出 113.64 美元 D. 在其他因素保持不变条件下，非西部人的兼职工薪每小时比西部人约低出 113.64 美元 E. 四个变量在 5%显著性水平下统计上是显著的
A．原始数据
B．截面数据
C．时间序列数据
D．修匀数据
3、为了分析随着解释变量变动一个单位，因变量的增长率变化情况，模型应
该设定为（ C ）
A. lnY= β1 + β2 lnX +u
B. Y = β0 + β1 ln X + u
C. lnY = α0 + α1X + u
D. Yi = β1 + β2 X i + ui
C. Yt − Yt−1 , X t − X t−1
D. Yt − 0.05Yt−1 , X t − 0.05X t−1
14、目前所学的回归分析中，定义的( B ) A. 解释变量和被解释变量都是随机变量 B. 解释变量为非随机变量，被解释变量为随机变量 C. 解释变量和被解释变量都为非随机变量 D. 解释变量为随机变量，被解释变量为非随机变量