高三数学一轮复习第六篇数列第3节等比数列理

所以 4S2=S1+3S3,所以 4× a1 1 q2 =a1+3× a1 1 q3 ,
1 q
1 q
所以 4(1+q)=1+3(1+q+q2),解得 q Nhomakorabea 1 . 3
所以
an=a1qn-1=
1 3n
.故选
A.
反思归纳 等比数列基本运算的方法策略
(1)将条件用a1,q表示,在表示Sn时要注意判断q是否为1; (2)解方程(组)求出a1,q,消元时要注意两式相除和整体代入; (3)利用a1,q研究结论.
解析:由等比数列的性质和定义进行解题,由等比中项性质得
(3x+3)2=x·(6x+6),因 x+1≠0,得 x=-3.所以
a4=(6x+6)· 3x 3 =18· x 12 =-24.故选 A.
x
x
2.已知数列{an}是公比 q≠±1 的等比数列,则在{an+an+1},{an+1-an},
那么 G = b ,即 G2= ab . aG
2.等比数列的通项公式 (1)设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,q≠0,则它的通项公式an= a1qn-1. (2)通项公式的推广an=am·qn-m .
3.等比数列的前 n 项和公式
na1,
q 1,
Sn=
a1
1 qn
1 q
a1 anq , q 1. 1 q
所以
a5=
a7 q2
=
2 4
=
1 2
.故选
A.
(2)(2015 赤峰市高三统考)等比数列{an}的首项 a1= 1 ,前 n 项和为 Sn,若 3
S1,2S2,3S3 成等差数列,则{an}的通项公式为( )
(A)an=
1 3n
(B)an=3n
(C)an=
1 3n 1
(D)an=
1 31 n
解析: (2)设等比数列{an}的公比为 q,因为 S1,2S2,3S3 成等差数列,
an an 1
,{nan}这四个数列中,是等比数列的有(
C
)
(A)1 个 (B)2 个 (C)3 个 (D)4 个
解析:若{an}是公比 q≠±1 的等比数列,
则{an+an+1},{an+1-an},
an
是等比数列,
an1
而{nan}不是等比数列.
3.(2015 河南三市第三次调研)设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,8a2+a5=0,则 S5 等于( A ) S2 (A)-11 (B)-8 (C)5 (D)11
答案: 51
考点专项突破 在讲练中理解知识
考点一 等比数列的基本运算 【例 1】 (1)(2015 河北石家庄二模)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S3=a2+5a1,a7=2,则 a5 等于( )
(A) 1 2
(B)- 1 (C)2 2
(D)-2
解析:(1)设等比数列{an}的公比为 q,因为 S3=a2+5a1, 所以 a1+a2+a3=a2+5a1,即 a3=4a1, 所以 a1q2=4a1,所以 q2=4. 又 a7=2,
4.等比数列的常见性质
(1)在等比数列{an}中,若m+n=p+q=2k(m,n,p,q,k∈N*),则
am·an=ap·aq=. (2)若数列{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则{λan}(λ≠0),
1 an
,{
a
2 n
},
{an·bn},
an
仍然是等比数列.
bn
(3)在等比数列{an}中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即 an,an+k,an+2k,an+3k,…为等比数列,公比为qk.
当q=1时,{an}是常数列.
6.等比数列与指数函数的关系 当 q≠1 时,an= a1 ·qn,可以看成函数 y=cqx,是一个不为 0 的常数与指数函
q 数的乘积,因此数列{an}各项所对应的点都在函数 y=cqx 的图象上.
夯基自测
1.等比数列x,3x+3,6x+6,…的第四项等于( A ) (A)-24 (B)0 (C)12 (D)24
.
解析:b2=ac⇒ b2=(5+2 6 )(5-2 6 )=1, 由于 b>0,故 b=1.
答案:1
5.在等比数列{an}中,各项均为正值,且a6a10+a3a5=41,a4a8=5,则
a4+a8=
.
解析:因为(a4+a8)2= a42 +2a4a8+ a82 =a6a10+2a4a8+a3a5 =41+2×5=51. 又数列各项为正, 所以 a4+a8= 51 .
知识梳理
1.等比数列的相关概念 (1)定义:如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一个 常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的 公比 ,通常用
字母 q(q≠0)表示.符号表示为 an q n 2 ,q 为常数.
an 1
(2)等比中项:如果三个数 a,G,b 成等比数列,则 G 叫做 a 和 b 的等比中项,
解析:因为 8a2+a5=0, 所以 8a2+a2q3=0. 又 a2≠0,所以 q=-2,
a1 1 q5
所以 S5 = 1 q = 1 q5 =-11.
S2 a1 1 q2 1 q2
1 q
4.(2015 高考广东卷)若三个正数 a,b,c 成等比数列,其中 a=5+2 6 ,
c=5-2 6 ,则 b=
第3节 等比数列
最新考纲 1.理解等比数列的概念. 2.掌握等比数列的通项公 式与前 n 项和公式.
3.能在具体的问题情境中识别数列的 等比关系,并能用有关知识解决相应的 问题. 4.了解等比数列与指数函数的关系.
知识链条完善 考点专项突破 类题探源精析
知识链条完善 把散落的知识连起来
【教材导读】 1.如何推导等比数列的通项公式?采用什么方法? 提示:可采用累积法推导. 2.b2=ac是a,b,c成等比数列的什么条件? 提示:必要而不充分条件,因为b2=ac时,不一定有a,b,c成等比数列 (如a=0,b=0,c=1),而a,b,c成等比数列,则必有b2=ac. 3.如何推导等比数列的前n项和公式?采用了什么方法? 提示:可用错位相减法推导.
(4)公比不为-1的等比数列{an}的前n项和为Sn,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成 等比数列,其公比为qn,当公比为-1时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n不一定构成等 比数列.
5.等比数列的单调性
当q>1,a1>0或0<q<1,a1<0时,{an}是递增数列; 当q>1,a1<0或0<q<1,a1>0时,{an}是递减数列;