安徽省2014年中考数学专题复习课件 第17课时 等腰三角形

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第17课时┃等腰三角形
3．如图 17－5，△ABC 中，AB＝AC＝6，BC＝8，AE 平 分∠BAC 交 BC 于点 E， 点 D 为 AB 的中点， 连接 DE， 则△BDE 的周长是________ 10 ．
图 17－5
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第17课时┃等腰三角形
探究三 等腰三角形的多解问题
命题角度： 1．遇到等腰三角形的问题时，注意边有腰与底之分， 角有底角和顶角之分； 2．遇到三角形的高线的问题要考虑高在形内、形上 和形外等多种情况．
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第17课时┃等腰三角形
例 3 [2013· 白银] 等腰三角形的周长为 16，其一边长 为 6，则另两边长为____________________ ． 5，5或6，4
第17课时 等腰三角形
第17课时┃ 等腰三角形
皖 考 解 读
考纲 要求 了解 掌握 2010 填空题 5 分 2012 选择题 4 分 2013 解答题 5 分
考点 等腰三角形 有关概念 等腰三角 形的性质 和判定
年份
题型
分值 预测热度 ★ ★★★★
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第17课时┃等腰三角形
(1) 根据等腰三角形“三线合一”可得 BD ＝ 解 析 CD，AD⊥BC，再根据全等三角形的判定定理 SSS 或 HL 可 以证得△ABD≌△ACD； (2)利用(1)中已证 AD 是 BC 的垂直平分线可证 BE＝CE.
解
证明：(1)∵D 是 BC 的中点，∴BD＝CD. 在△ABD 和△ACD 中， BD＝CD，AB＝AC，AD＝AD(公共边)， ∴△ABD≌△ACD(SSS)． (2)∵AB＝AC，D 是 BC 的中点， ∴AD⊥BC，BD＝CD， ∴BE＝CE(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等)．
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第17课时┃等腰三角形
1．等腰三角形的性质为我们证明线段相等或角相等又 提供了重要的依据； 2．涉及等腰三角形的问题，一般添作顶角平分线或底 边上的高或底边上的中线． 应用性质时不能忽略前提条件． “ 等 边对等角 ” 有 一个前提条件是 “ 在一个三角形 中”，容易忽视这个条件导致解题错误．
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第17课时┃ 等腰三角形
考点2 等腰三角形的判定
定义 定理
两边 相等的三角形. ________ 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所 对的边________( 简写成：___________). 相等 等角对等边 “等边对等角”“等角对等边”成立的条件是 “在一个三角形中”.
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第17课时┃ 等腰三角形
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探究一 等腰三角形的性质的运用
命题角度： 1．等腰三角形的性质； 2．等腰三角形“三线合一”的性质； 3．等腰三角形两腰上的高(中线)、两底角的平分线 的性质．
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第17课时┃等腰三角形
例 1 [2012· 随州] 如图 17－1，在△ABC 中，AB＝AC， 点 D 是 BC 的中点，点 E 在 AD 上． 求证：(1)△ABD≌△ACD； (2)BE＝CE.
解 析 分两种情况：(1)6 是等腰三角形的底边，由 于周长为 16，所以另两边的长为 5，5，且 5，5，6 能组成 三角形；(2)6 是等腰三角形的腰，由于周长为 16，所以另 两边的长为 4，6，且 4，6，6 能组成三角形．综上所述， 这个等腰三角形的另两边长是 5，5 或 6，4.
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解 析 由平行线的性质得到相等的角，再根据角平分 线的性质实现等角的转换，证得∠CAE＝∠AEC，从而得 出结论． 解
证明：∵AE∥DC， ∴∠BCD＝∠AEC， ∠ACD＝∠CAE. ∵CD 平分∠ACB， ∴∠BCD＝∠ACD， ∴∠AEC＝∠CAE， ∴AC＝CE， ∴△ACE 是等腰三角形．
第17课时┃等腰三角形
(1)由等边三角形的性质证得△ACN 与△MCB 解 析 全等，得到相等的角，再通过证△ACE 与△MCF 全等，证得 结论；(2)先证△CEF 是等边三角形，通过特殊角证明角相等， 得到平行线．
解 证明：(1)∵△ACM、△CBN 是等边三角形， ∴AC＝MC， CN＝CB， ∠ACM＝∠NCB＝60°， ∴∠MCN ＝60°，∠ACN＝∠MCB，∴△ACN≌△MCB，∴∠CAN ＝∠CMB，∴△ACE≌△MCF，∴CE＝CF. (2)∵CE＝CF，∠ECF＝60°，∴△CEF 是等边三角形， ∴∠EFC＝60°＝∠NCB，∴EF∥AB.
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第17课时┃等腰三角形
探究二 等腰三角形的判定 命题角度： 等腰三角形的判定．
例 2 [教材母题] 已知，如图 17－2，CD 平分∠ACB， AE∥DC，交 BC 的延长线于点 E. 求证：△ACE 是等腰三角形．
图 17－2
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第17课时┃等腰三角形
图 17－6
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第17课时┃等腰三角形
解
证明：∵△ABC 和△EDC 是等边三角形， ∴BC＝AC，DC＝EC，∠BCA＝∠DCE＝60°， ∴∠BCA－∠ACD＝∠DCE－∠ACD， 即∠BCD＝∠ACE. 在△DBC 和△EAC 中， BC＝AC，∠BCD＝∠ACE，DC＝EC， ∴△DBC≌△EAC(SAS)，∴∠DBC＝∠EAC. 又∵∠DBC＝∠ACB＝60°， ∴∠ACB＝∠EAC， ∴AE∥BC.
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第17课时┃等腰三角形
要证明一个三角形是等腰三角形， 必须得到两边相等， 而得到两边相等的方法主要有： (1)通过等角对等边得两边相等； (2)通过三角形全等得两边相等； (3)利用中垂线的性质得两边相等．
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第17课时┃等腰三角形
解 析
由等腰三角形的“三线合一”，可知
AE⊥BC， BE＝CE＝4.由直角三角形斜边上的中线等于斜边 的一半知 DE＝BD＝3，所以△BDE 的周长是 10.
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4．如图 17－6，△ABC 是等边三角形，D 是 AB 边上一 点，以 CD 为边作等边三角形 CDE，使点 E、A 在直线 DC 的同侧，连接 AE. 求证：AE∥BC.
考 点 聚 焦
考点1 等腰三角形的概念与性质
有________ 相等的两边 两边 相等的三角形是等腰三角形． 定义 叫腰、第三边为底．两腰之间的夹角叫顶角，腰与 底边的夹角叫底角. 1.等腰三角形是轴对称图形，有________ 条对称轴； 1 等边对等角 2.等腰三角形的两个底角相等(简称为： ________)； 中线 和底 3.等腰三角形顶角的平分线、 底边上的________ 性质 边上的高互相重合，简称“三线合一”. 1.等腰三角形两腰上的高、两腰上的中线、两底角的 平分线相等； 2.等腰三角形是轴对称图形.
命题角度： 等边三角形的判定与性质的综合．
例 4 [教材母题] 已知， 如图 17－3， 点 C 为线段 AB 上一 点，△ACM、△CBN 是等边三角形，AN 交 CM 于点 E，BM 交 CN 于点 F. 求证：(1)CE＝CF；(2)EF∥AB.
图 17－3
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分情况讨论：若 4 为底，则这个等腰三角形 解 析 的周长为 20；若 8 为底，根据三角形的三边关系判断， 这个等腰三角形不存在．故选 C.
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第17课时┃等腰三角形
2．如图 17－4，已知△OAB 是正三角形，OC⊥OB， OC＝OB，将△OAB 绕点 O 按逆时针方向旋转，使得 OA 与 OC 重合，得到△OCD，则旋转的角度是 ( A )
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第17课时┃等腰三角形
等边三角形中的三边相等并且每个角都等于 60°， 所以要充分利用等边三角形的性质，证明三角形全等或 者构造全等三角形．
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第17课时┃ 等腰三角形
当 堂 检 测
1．等腰三角形两边长分别为 4 和 8，则这个等腰三角 形的周长为 ( C ) A．16 B．18 C．20 D．16 或 20
图 17－4 A．150° B．120° C．90° D．60°
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第17课时┃等腰三角形
将△OAB 绕点 O 按逆时针方向旋转， 使得 解 析 OA 与 OC 重合， 得到△OCD， 那么旋转的角度就是∠AOC 的大小．∵OC⊥OB，△OAB 是正三角形，∴∠AOC＝ ∠AOB＋∠BOC＝60°＋90°＝150°.
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第17课时┃等腰三角形
注意分类讨论思想的应用． 因为等腰三角形的边有腰与底之分， 角有底角和顶角之 分，等腰三角形的高线要考虑高在形内、形上和形外多种情 况．故当题中条件不明确时，要分类讨论．
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第17课时┃等腰三角形
探究四 等边三角形的判定与性质
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