03_04_三维晶格的振动

2
对三维晶格，第l个原胞中第k个原子运动方程
—— 原子在三个方向上的位移分量
03_04_三维晶格的振动 —— 晶格振动与晶体的热学性质
第k个原子运动方程
将方程解代回 3n 个运动方程
—— 原子在三个方向上的位移分量 —— 一个原胞中有3n个类似的方程一维原子链位移方程的解三维原子位移方程的解
03_04 三维晶格的振动 4.1 三维复式格子 —— 一个原胞中有n个原子
原子的质量
晶体的原胞数目 --沿基矢方向的原胞数第l个原胞的位置原胞中各原子的位置
原胞中有n个原子
03_04_三维晶格的振动 —— 晶格振动与晶体的热学性质
原胞中各原子的位置各原子偏离格点的位移对一维原子链，有
d n m 2 ( n1 n 1 2n ), (n 1, 2, 3, N ) dt
简写成：
03_04_三维晶格的振动 —— 晶格振动与晶体的热学性质
4.5 二维布里渊区 —— 正方格子的布里渊区正方格子的基矢
倒格子原胞基矢
03_04_三维晶格的振动 —— 晶格振动与晶体的热学性质
第一布里渊区倒格子空间离原点最近的四个倒格点垂直平分线方程
—— 第一布里渊区大小
03_04_三维晶格的振动 —— 晶格振动与晶体的热学性质
2.声子是一种准粒子
粒子数不守恒，例如温度升高后声子数增加。
声子与声子，声子与其它粒子、准粒子互作用，满足能量守恒。不具有通常意义下的动量，常把q称为声子的准动量。
03_04_三维晶格的振动 —— 晶格振动与晶体的热学性质
3.准动量选择定则
准动量的确定只能准确到可以附加任何一个倒格矢Gh
ω(q)= ω(q+ Gh) Ex: 二声子作用 q1＋q2＝q3＋Gh q1＋q2＝q3＋Gh

固体物理第三章2

U U U0 i 1 ui
3N
2 1 3N U ui 2 u u i , j 1 i j 0
ui u j , 0
因在平衡位置势能取极小值，所以上式右端第二项为零，若取U0为能量零点，并略去二次以上的高次项，得到
上一节关于晶格的运动方程之所以能够化成线性齐次方程组，是
简谐近似的结果，即忽略原子相互作用的非线性项得到的。
处理小振动问题的理论方法和主要结果－－做为晶格振动这部分
内容的理论基础。
在第二章已经讨论过，当原子处于平衡位置时，原子间的相互
作用势能
1 A B ' U0 m n 2 i j r r ij ij
用独立简谐振子来表述。
下面根据分析力学原理，引入简正坐标，直接过渡到量子理论，并引入声子概念－－晶格振动中的简谐振子的能量量子。
数学处理：通过引入简正坐标，将晶格振动总能量（哈密顿量）= 动能 +
势能（化成）= 独立简谐振子能量之和
一、简谐近似和简正坐标
从经典力学的观点，晶格振动是一个典型的小振动问题，凡是力学体系自平衡位置发生微小偏移时，该力学体系的运动都是小振动。
(9)
代表q空间均匀分布的点子。若 K 是倒格矢，则 q q' q K h h
u
l p
不变。
因此q的取值可限制在第一布里渊区之内。
h3 h1 h2 q b1 b2 b3 (10) N1 N2 N3
波矢q的点阵具有周期性，均匀分布。其中
b1 b2 b3 是波矢q的基矢，最小重复单元的体积为 , , N1 N 2 N3
对于有N个原胞的三维晶体，每个原胞有n个原子，每个原子有3个

晶格振动简介

一维原子链第一布里渊区内的色散关系：
4
m
sin
qa 2
q
在长波长极限区，即 q 0 时，格波就是弹性波。 qa qa sin Y 2 2 和弹性波的结果一致。 vs aq m
a
m a
随着 q的增长，ω 数值逐渐偏离线性关系，变得平缓，在布里渊区边界，格波频率达到极大值。
运动方程：考虑N个质量为 m 的同种原子组成的一维单原子链。设平衡时相邻原子间距为 a（即原胞大小），在 t 时刻第 n 个原子偏离其平衡位置的位移为 n
n 2
n1
n
n1
n 2
为了建立起运动方程，我们首先要对原子之间的相互作用力做些讨论，设在平衡时，两原子的相互作用势为V(a)，产生相对位移（例如 n1 n ）后势能发生变化是V(a+δ) ，将它在平衡位置附近做泰勒展开：
解的物理意义：格波
整数倍时，两原子具有相同的振幅和位相。
2 原子振动以波的方式在晶体中传播。当两原子相距的 q
nq Ae
i t naq
2 如： ma na l ,(m, n, l 都是整数）。 q 有： um A exp i t maq A exp i t naq exp(i 2 l )
由图明显看出两个不同波长的格波只表示晶体原子的一种振动状态，q 只需要在第一布里渊区内取值即可，这是与连续介质弹性波的重大区别。
由白线所代表的波不能给出比黑虚线更多的信息，为了表示这个运动，只需要大于2a的波长。
见Kittel P70 图
周期性边界条件（Born－Karman 边界条件）
上面求解假定原子链无限长，这是不现实的，确定何种边界条件才既能使运动方程可解，又能使结果符合实际晶体的测量结果呢？ Born－Karman 最早利用周期性边界条件解决了此问题，成为固体理论的一个典范。

3.2三维晶格振动

−
π π <q≤ 2 2
u2n = u2(n+ N )
晶格振动的波矢数目 =晶体的原胞数，晶体的原胞数N，晶体的原胞数格波振动频率数目=晶体的自由度数，晶体的自由度数晶体的自由度数，格波的支数 =原胞内原子的自由度数。原胞内原子的自由度数原胞内原子的自由度数。
ω
ωm
一维单原子链，设晶体有N个原胞。
色散关系波矢q范围波矢范围 B--K条件条件波矢q取值波矢取值
u2n+1 = B e
'
u2n = Ae i[qna+qb−ωt ]
i (qna−ωt )
= Be
i (qna−ωt )
12 (β1 + β2 ) 16mMβ1β2 2 qa 2 sin ( ) ω2 = (m + M) ± (m + M) − 2mM 2 (β1 + β2 )2
3
(2π)3 每个波矢代表点占有的体积为：每个波矢代表点占有的体积为： Vc l q′ = q + K h u α ( q ′ ) = A α s e − i (ω t − R l .( q + K h ) ) s l − i (ω t − R l .q ) = Aαs e = uα ( q ) s
(2)运动方程和解运动方程和解
l m s uα = ⋅ ⋅ ⋅ (α=1,2,3；s=1,2,3,···,n) ； s [ (α=3,s=n)共有个方程共有3n个方程共有个方程]
..
在简谐近似下，上式的右端是位移的线性代数式。上式的右端是位移的线性代数式。
′ 试探解：试探解：uα l = A α s e i [(R l + r s ). q − ω t ] = A α s e i (R l . q − ω t )

《固体物理基础》晶格振动与晶体的热学性质

一、三维简单格子
二、三维复式格子
三、第一布里渊区
四、周期性边界条件
◇一个原胞内有P
个不同原子，则
有3P个不同的振
动模式，其中3支声学波。
◇具有N个原胞的晶体中共有3PN个
振动模式，其中
3N个声学波， 3N(P-1)个光学波。
四、周期性边界条件总结
§ 3.4 声子
声子：晶格振动中格波的能量量子
二、一维单原子链的振动
格波
二、一维单原子链的振动
色散关系
二、一维单原子链的振动
色散关系
二、一维单原子链的振动
第一布里渊区
二、一维单原子链的振动
第一布里渊区
二、一维单原子链的振动
第一布里渊区
二、一维单原子链的振动
周期性边界条件
玻恩—卡曼边界条件
二、一维单原子链的振动
周期性边界条件
即q有N个独立的取值—晶格中的原胞数第一布
◇非弹性X射线散射、非弹性中子散射、可见光的非弹性散射。
§ 3.4 声子
§ 3.4 声子
90K下钠晶体沿三个方向的色散关系
§ 3.5 晶格热容
一、晶格振动的平均能量
热力学中，固体定容热容：
根据经典理论，每一个自由度的平均能量是kBT， kBT/2为平均动能，kBT/2为平均势能，若固体有
N个原子，总平均能量：取N=1摩尔原子数,摩尔热容是：
二、一维单原子链的振动
一维单原子链的振动
二、一维单原子链的振动
简谐近似下的运动方程
二、一维单Hale Waihona Puke 子链的振动简谐近似下的运动方程
在简谐近似下，原子的相互作用像一个弹簧振子。一维原子链是一个耦合谐振子，各原子的振动相互关联传播，形成格波。

固体物理基础第3章晶格振动理论

第3章晶格振动理论
第3章晶格振动理论
3.1 一维单原子链 3.2 一维双原子链 3.3 三维晶格的振动 3.4 声子 3.5 晶格振动谱的实验测定 3.6 晶格热容的量子理论 3.7 晶体的非简谐效应热膨胀和热传导
1
第3章晶格振动理论
2
第3章晶格振动理论
3
第3章晶格振动理论
图3.1 一维单原子链模型
6
第3章晶格振动理论将μ(x-Δx，t)和μ(x+Δx，t)在x处泰勒展开，并且只保留到二阶项，这种假设称为简谐近似，于是有
(x-x, t)(x, t)-12dd(xt,t)x-12d2d(t2x,t)x2 (x+x, t)(x, t)+12dd(xt,t)x+12d2d(t2x,t)x2
把这些连续量带入方程(3.1)整理后即可得到：
率。
根据这种长波近似的极限情形，就可以设想，当长波近
似的条件λ>>a不成立时，方程(3.1)的解仍应具有类似的形式，
即只需在式(3.4)的简谐波的解中用na替代x即可，也就是式
(3.2)
8
第3章晶格振动理论
3.1.3 色散关系为了进一步研究一维单原子链振动的特点，可以将式
(3.2)所示的格波ห้องสมุดไป่ตู้式的解代入振动方程(3.1)，得：
10
第3章晶格振动理论
-π＜qa≤π
即
-π q π
(3.6)
a
a
而
-
π a
，π a
正好是一维单原子链的第一布里渊区。该范围以
外的q并不能提供其他不同的波。晶体中的格波之所以具有
这样的特点，可以用图3.2来说明。为了便于图示，图中把

3.2 三维晶格振动

a1 , a2 , a3
a2 Rl
Rl N 2 a 2
a1N N 1 N 2 N 3
Rl N1 a1
(l 1 N 1 )a 1 l 2 a 2 l 3 a 3
根据玻恩---卡门周期性条件：
Rl N 2 a 2
l1 a 1 (l 2 N 2 )a 2 l 3 a 3
l i R l . q -t u A e s
e
i ( R l q t )
e
i ( R l q t )
e
i ( R l q t )
e i R q N a q -t e
三维情况下的态密度：
设一边长为 L的立方体，体积
V L3 包含有N3个原胞，
3
2 于是每个 q 值在波矢空间占据的体积是： L
4 3 L V 3 q 半径为q 的球体积内的模式数目为： 2q 3 2 6
3
V 2 q q dq 球壳内的模式数： 2 q dq 2
l l1 , l2 , l3 l1 N1 , l2 , l3 u u u s s s l l1 , l2 , l3 l1 , l2 N 2,l3 u s u s u s l l1 , l2 , l3 l1 , l2 , l3 N 3 u u u s s s
1 2 2
L dq 2 N 2 g ( ) m d

分立晶格和连续模型的区别：
m , g ( ) 0
g ( )

晶格振动模式密度

热力学
热容量
晶格振动模式密度可以影响固体的热容量，通过分析晶格振动模式密度，可以更准确地描述固体
热容量的变化规律。
热传导
晶格振动模式密度对热传导过程也有重要影响，它决定了固体内部热能传递的速率和方式。
相变
晶格振动模式密度在相变过程中扮演着重要角色，可以影响相变温度和相变过程中的能量变化。
根据晶体的结构和对称性，建立晶格模型。
根据原子间的相互作用势，确定原子间的相互作用。
3. 求解振动方程
4. 计算振动模式密度
根据晶格模型和原子间的相互作用，求解晶体的振动方程。
根据求解得到的振动方程，计算晶体的振动模式密度。
结果分析
振动模式密度的分布
振动模式的能量分布
分析计算得到的振动模式密度在晶格中的分布情况，了解晶体的振动特性。
CHAPTER
材料科学
材料性质预测
晶格振动模式密度可用于预测材料的物理性质，如热导率、弹性常数等，有助于材料设计和优化。
相变研究
通过研究晶格振动模式密度随温度的变化，有助于理解材料的相变行为，如金属向绝缘体的转变等。
环境科学
污染物扩散
晶格振动模式密度可以影响气体在材料中的扩散系数，对于理解污染物在环境中的传播和扩散具有重要意义。
光学
光的吸收和散射
晶格振动模式密度对光与物质相互作用过程中的吸收和散射有重要影响，可以改变光的传播方向和强度。
光的折射和反射
晶格振动模式密度可以影响光的折射和反射，从而改变光在物质表面的行为。
非线性光学效应
通过研究晶格振动模式密度，可以深入了解非线性光学效应的机制，为新型光学材料和器件的开发提供理论支持。

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