多面体和旋转体的概念
高二-11-多面体与旋转体
1、多面体定义为：由三角形或平面多边形围成的封闭几何体；如：棱柱、棱锥、棱台等几何体都是多面体.2、多面体可以用它的面的数量进行命名，有几个面的多面体就叫做几面体；例如，三棱锥有一个底面和三个侧面，所以是四面体；长方体（四棱柱）有六个面，是六面体．一般地，一个n 棱锥,有一个底面和n 个侧面，所以是n ＋１面体；n 棱柱或n 棱台有两个底面和n 个侧面，所以是n ＋2面体；由此可见，面数最少的多面体是四面体，即三棱锥.3、四面体在立体几何中的作用相当于三角形在平面几何中的作用.4、与平面上的正多边形类比，在空间中可以考虑正多面体．如果一个多面体的所有面都是全等的正三角形或正多边形，每个顶点聚集的棱的条数都相等，这个多面体就叫做正多面体.有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体共5种.【例1】下列说法正确的是（ ）A ．多面体至少有3个面B ．有2个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台C ．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体D ．棱柱的侧棱相等，侧面是平行四边形【难度】★第11讲 多面体与旋转体 知识梳理例题分析 模块一：多面体 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~【例2】“阿基米德多面体”是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美.将正方体沿交于一个顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此截去八个三棱锥得到一个阿基米德多面体，则该阿基米德多面体的棱有条.【难度】★★【例3】图中的十面体的面是由四个正五边形，四个三角形和两个正方形组成的，则图中上正方形面积是下正方形面积的（）倍.A．1B．2C．3D．4【难度】★★【难度】★★【例5】如图所示，在长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，用截面截下一个棱锥C －A ′DD ′，求棱锥C －A ′DD ′的体积与剩余部分的体积之比.【难度】★★1. 由一个平面封闭图形绕其所在平面上的一条定直线旋转一周所形成的空间封闭几何体称为旋转体；这条直线叫做该旋转体的轴.2. 与旋转体类似地可以定义空间中的旋转面：一条平面曲线（包括直线、折线等）绕其所在平面上的一条直线旋转一周所形成的空间图形称为旋转面.3. 圆柱、圆锥和圆台的概念（1）圆柱、圆锥和圆台的定义将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕着它的一边、一直角边、垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台.（2）与圆柱、圆锥、圆台有关的概念绕着旋转的这条直线叫做轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做底面；不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做侧面；无论旋转到什么位置，这条边都叫做母线.模块二：旋转体 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 例题分析知识梳理【例1】已知直角梯形ABCD，现绕着它的较长底CD所在的直线旋转一周，所得的几何体包括（）A．一个圆柱、一个圆锥B．一个圆柱、两个圆锥C．一个圆台、一个圆柱D．两个圆柱、一个圆台【难度】★【例2】给出以下四个命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；③在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．其中正确的是__________．【难度】★【例3】下列给出的图形中，绕给出的轴旋转一周，能形成圆台的是（）A．B．C．D．【难度】★【例4】已知AB是直角梯形ABCD与底边垂直的一腰(如图)．分别以AB，BC，CD，DA为轴旋转，试说明所得几何体是由哪些简单几何体构成的？【难度】★★【例5】一个直角梯形的两底长为2和5，高为4，将其绕较长的底旋转一周，求所得旋转体的表面积．【难度】★★【难度】★★【例8】将一个边长为2的正三角形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的表面积为.【难度】★★【例9】已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD内，过点C作l⊥CB，以l为轴将梯形ABCD旋转一周，求旋转体的表面积.【难度】★★【例1】如图，AB 是圆柱OO '的一条母线，BC 过底面圆心O ，D 是圆O 上一点.已知5AB BC ==，3CD =.（1）求二面角A DC B −−的大小；（2）将四面体ABCD 绕母线AB 所在的直线旋转一周，求△ACD 的三边在旋转过程中所围成的几何体的体积.【难度】★★【例2】已知在直角三角形ABC 中，AC BC ⊥，2,tan 22BC ABC =∠=（如图所示）（1）若以AC 为轴，直角三角形ABC 旋转一周，求所得几何体的表面积.（2）一只蚂蚁在问题（1）形成的几何体上从点B 绕着几何体的侧面爬行一周回到点B ，求蚂蚁爬行的最短距离.【难度】★★模块三：旋转体综合问题 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 例题分析1. 一个多面体至少有 个面．【难度】★2. 下列说法中，正确的是（ ）A ．底面是正多边形，而且侧棱长与底面边长都相等的多面体是正多面体B ．正多面体的面不是三角形，就是正方形C ．若长方体的各侧面都是正方形，它就是正多面体D ．正三棱锥就是正四面体【难度】★3. 如图，多面体的顶点数是 、棱数是 、面数是 ．【难度】★4. 将一个正方体切一刀，可能得到的以下几何体中的种类数为（ ）①四面体；②四棱锥；③四棱柱；④五棱锥；⑤五棱柱；⑥六棱锥；⑦七面体A ．3种B ．4种C ．5种D ．以上均不正确 【难度】★★5. 边长为2的正方形ABCD 绕BC 旋转形成一个圆柱，则该圆柱的表面积为 .【难度】★★师生总结 巩固练习7. 正多面体各个面都是全等的正多边形，其中，面数最少的是正四面体，面数最多的是正二十面体，它们被称为柏拉图多面体.如图，正二十面体是由20个等边三角形所组成的正多面体.已知多面体满足：顶点数－棱数＋面数2=，则正二十面体的顶点的个数为（ ）A ．30B ．20C ．12D ．10【难度】★★8. 多面体欧拉定理是指对于简单多面体，其顶点数V 、棱数E 及面数F 间有著名的欧拉公式：2V E F −+=，并且多面体所有面的内角总和为(2)360V −⋅.已知某正多面体所有面的内角总和为3600，且各面都为正三角形，设过每个顶点的棱数为n ，则该正多面体的顶点数V = ，棱数E = .【难度】★★9. 用斜二测画法画一个水平放管的平面图，其直观图如图所示，已知3A B ''=，1B C ''=，3A D ''=，且A D B C ''''∥．（1）求原平面图形ABCD 的面积；（2）将原平面图形ABCD 绕BC 旋转一周，求所形成的几何体的表面积和体积．【难度】★★10. 正多面体也称柏拉图立体，被喻为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形，且每一个顶点所接的面数都一样，各相邻面所成二面角都相等）．数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．已知一个正四面体QPTR 和一个正八面体AEFBHC 的棱长都是a （如图），把它们拼接起来，使它们一个表面重合，得到一个新多面体．（1）求新多面体的体积；（2）求二面角A BF C −−的余弦值.【难度】★★1. 2021年10月，麻省理工大学的数学家团队解决了n 维空间中的等角线问题等角线是组直线，这组直线中任意两条直线所成的角都相等.三维空间中，最大的等角线组有6条直线，它们是连接正二十面体的12个相对顶点形成的6条直线.已知棱长为1的正二十面体，其外接球半径为10254+，则三维空间最大等角线组中，任意两条直线形成的角的大小为 （精确到0.1°）【难度】★★★能力提升【难度】★★★。
第七讲：多面体与旋转体
第七讲 多面体与旋转体多面体与旋转体是高中数学的重要内容之一，是考查各种能力的重要载体，其中异直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角（理）以及点到平面的距离、简单图形侧面积与体积的计算是高考考查的重点内容。
本讲从内容上来说，主要集中在多面体与旋转体的概念与性质及其应用、截面面积、侧面积、全面积以及各种角与距离的计算等方面；从思想方法上来说，体会化“曲”为“直”、祖恒原理和图形割补等化归思想。
【高考热点】异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角，空间线面位置关系的判断，面积与体积的计算。
【范例精讲】 例1．（1）正三棱锥S A B C -的侧棱,,SA SB SC 两两垂直，体积为V ，,,A B C '''分别是,,SA SB SC 上的点，且SC C S SB B S SA A S 41,31,21='='='，则三棱锥S A B C '''-的体积为（ ）（A ）V 91（B ）V121（C ）V241（D ）V721（2）如图，在多面体ABC D EF 中，已知A B C D 是边长为1的正方形，且A D EBC F ∆∆、均为正三角形，//,2EF AB EF =，则该多面体的体积为（ ） （A 3（B 3（C ）43（D ）32解：（1）选C ；（2）选A 。
说明：对于第（1）小题，注意转化三棱锥的顶点灵活使用体积计算公式；对于（2）则需要利用图形的割补思想求解。
例2．在北纬45圈上有,A B 两点，设该纬度圈上,A B两点的劣弧长为4R （R 为地球半径），求,A B 两点间的球面距离。
解：设北纬45圈的半径为r ，则4r R =，设O '为北纬45圈的圆心，A O B α'∠=，则4r R α=，24R R α=，2πα=，所以AB R ==，在AB C ∆中，3A OB π∠=，所以，,A B 两点的球面距离等于3R π。
认识多面体和旋转体
课题: 6.1.1 认识多面体和旋转
【教学目标】
了解多面体和旋转体的基本概念,认识多面体的面、棱、顶点、对角线及旋转体的轴和母线；通过学习认识空间几何体的结构特征，提高学生的归纳总结能力，培养学生由具体到抽象，由一般到特殊的思想方法。
【教学重点】
多面体和旋转体的有关概念
【教学难点】
多面体和旋转体的基本概念，初步形成空间想象力
【教学方法】
观察演示探究
【教学过程】
教学
环节教学内容师生活动二次修改
导入
PPT展示：在现实生活中，我们周围存在着很多
形状各异的几何体，让学生观察它们的结构特点
圆形的方形的，多面的，旋转的都有
教师展示图形，并
分析这些图形的结构特
点，学生认真观察，并
回答老师提出的问题：
这些图形各有什么特
点？
估计学生认识到：方的，
圆的，有尖的等多面体
教师分析所展示图形并
板书多面体。
多面体与旋转体 高二数学(沪教版2020必修第三册)
与平面上的正多边形类似，在空间中可以考虑正多面体．如果一个 多面体的所有面都是全等的正三角形或正多边形，每个顶点聚集的 棱的条数都相等，这个多面体就叫做正多面体（ｒｅｇｕｌａｒｐ ｏｌｙｈｅｄｒｏｎ）．图１１３ １给出了五种不同的正多体．事 实上，用本节“课后阅读”中所介绍多面体的欧拉定理，可以验证 只有这五种正多面体．
旋转面是大学空间解析几何课程中的 内容之一．我们这里只关注最简单的 情况：一条直线a绕同一平面内的另
一条直线l旋转一周所形成的曲面： 圆柱面或圆锥面．当直线a与直线l平 行时，得到的是圆柱面；当直线a与 直线l相交（但不垂直）时，得到的 是圆锥面（图１１３３）．直线a称
为圆柱面或圆锥面的母线．在圆锥面
课本练习
１．我国古代数学著作《九章算术》中研究过一种叫“鳖（biē）臑 （nào）”的几何体（见《九章算术》卷第五“商功”之一六），它 指的是由四个直角三角形围成的四面体．用你学过的立体几何知识说 明这种四面体确实存在
如图，先作一个底面为直角三角形的直棱柱AEF—BDC，其中∠BCD 是直角。 用平面ACD截此直三棱柱，则几何体A-BCD就是满足要求的“鳖臑”，这是 因为AB⊥平面BCD，所以△ABD、△ABC是直角三角形；又已知∠BCD为直 角，所以△BCD是直角三角形；最后，由CD⊥平面ABCF，推出CD⊥CA，即 ∠ACD为直角，所以△ACD是直角三角形。这样几何体A—BCD的四个面都是 直角三角形，即它是一个“鳖臑”。
我们迄今所见的多面体（如棱柱、棱锥、正多面体等）都是简单多 面体．但要构造一个非简单多面体也不难．如图１１-３-４，这是 一个中间有一个长方体空洞的十六面体，往这样的橡胶多面体充气， 得到的是一个游泳圈，而不是球．算一算，对于图１１- ３- ４的 多面体，V＋F－E等于多少．
高中数学中的多面体和旋转体
多面体和旋转体是高中数学中的重要概念，它们在几何学中起着重要的作用。
本篇文章将介绍多面体和旋转体的基本概念、性质以及它们在实际生活中的应用。
一、多面体多面体是指由若干个平面多边形围合而成的三维几何体。
每个面都是一个平面多边形，并且相邻两个面的公共边是相交于一点的。
多面体分为凸多面体和凹多面体，如果一个多面体的任何一个面都在另一个面的外部，则这个多面体是凸多面体；否则，这个多面体是凹多面体。
1. 多面体的性质（1）多面体的顶点数V和面数F之间有如下关系：V = F + E - 3，其中E表示边数。
这个公式称为欧拉公式。
（2）多面体的棱数E和面数F之间有如下关系：E = 3F - E - F，这个公式称为欧拉-斯图姆定理。
（3）多面体的对角线数D和面数F之间有如下关系：D = 2F - 4，这个公式称为拉格朗日定理。
2. 多面体的应用（1）多面体在计算机图形学中有着广泛的应用，例如，计算机生成的三维图形通常都是由许多平面多边形构成的。
（2）多面体在机械制造中也有着重要的应用，例如，制造凸轮、齿轮等零件时需要使用凸多面体或凹多面体的概念。
二、旋转体旋转体是指由一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所生成的立体。
曲线称为旋转体的母线，定直线称为旋转体的轴。
1. 旋转体的性质（1）如果一个旋转体的底面是一个圆，则这个旋转体一定是圆柱或圆锥；如果这个圆的半径等于旋转体的底面半径，则这个旋转体是圆柱；否则，这个旋转体是圆锥。
（2）如果一个旋转体的底面是一个椭圆或其他平面曲线，则这个旋转体一定是圆台或球；如果这个椭圆或其他平面曲线是旋转体的底面半径的倍数，则这个旋转体是圆台；否则，这个旋转体是球。
2. 旋转体的应用（1）旋转体在建筑工程中有着广泛的应用，例如，圆柱形和球形建筑物的外壳是由旋转体的概念构成的。
（2）旋转体在油管和通风管道的设计中也有着重要的应用。
7.1.1认识多面体与旋转体(教案)-【中职专用】高一数学同步精品课堂(人教版2021·基础模块下册
7.1.1认识多面体与旋转体（教案）-【中职专用】高一数学同步精品课堂（人教版2021·基础模块下册）一、教学目标1. 能够理解多面体和旋转体的概念，能够从图形中识别多面体和旋转体；2. 能够辨别多面体和旋转体的共性和区别；3. 能够分析多面体和旋转体的特点和性质，能够对多面体和旋转体进行分类；4. 能够应用多面体和旋转体的知识进行推理，能够解决相关的问题。
二、教学重点1. 多面体和旋转体的概念及其特点；2. 多面体和旋转体的分类；3. 判断图形是否为多面体和旋转体。
三、教学难点1. 分析多面体和旋转体的特点和性质；2. 能够应用多面体和旋转体的知识进行推理，解决相关的问题。
四、教学内容和方法1. 教学内容1.1 什么是多面体？1.2 多面体有哪些性质和特点？1.3 多面体的分类方式及实例。
2.1 什么是旋转体？2.2 旋转体有哪些性质和特点？2.3 旋转体的分类方式及实例。
2. 教学方法2.1 案例教学法，引导学生从图形中判断是否为多面体和旋转体；2.2 讲解法，介绍多面体和旋转体的定义、性质、分类等内容；2.3 实验法，通过给定的图形，让学生自己绘制多面体和旋转体。
五、教学过程1. 导入环节1.1 提问：大家知道什么是多面体和旋转体吗？有哪些例子？1.2 引导学生通过图例，来对多面体和旋转体进行初步了解。
2. 感知活动2.1 给学生呈现不同形状的图形，让学生自己分辨出哪些是多面体和旋转体。
2.2 学生根据自己的感性认识，对多面体和旋转体进行分类，并记录下来。
3. 讲解与练习3.1 讲解多面体和旋转体的定义、性质和分类方式，并引导学生通过实例进行训练。
3.2 给学生练习题，以巩固所学内容。
4. 拓展4.1 对已掌握的知识进行拓展，例如如何计算多面体和旋转体的表面积和体积等内容。
4.2 给学生进行讨论和思考，让学生能够应用多面体和旋转体的知识来解决问题和实际场景。
5. 归纳总结5.1 整理多面体和旋转体的性质和特点;5.2 梳理多面体和旋转体的分类方式及其实例；5.3 给学生进行考试，检测学生的掌握情况。
多面体和旋转体
第二章多面体和旋转体一多面体§2.1 棱柱一、素质教育目标（一）知识教学点1、棱柱的概念及性质。
2、平等六面体，长方体的概念及长方体的性质。
3、直棱柱直观图的画法4、棱柱侧面积的计算（二）能力训练点1、在学习棱住概念和性质过程中，努力提高学生的观察、抽象和概括能力。
2、通过直棱柱直观图的画法的教学，进一步提高学生的作图和识图能力。
3、通过直棱柱侧面积公式的教学，进一步增强学生把空间形转化为平面图形的意识，使学生进一步掌握化归的数学思想和方法，以提高学生分析问题、解决问题的能力。
（三）德育渗透点1、棱柱概念的形成，是从特殊到一般、具体到抽象的过程；通过教学使学生初步认识辩证唯物主义认识论的观点。
2、通过四面体、平行六面体、直平行六面体、长方体、正方体之间相互关系的教学，使学生树立普遍联系的唯物主义观点。
3、通过运用侧面积公式计算生产实践中具体零件的面积，使学生懂得数学对工、农业生产的意义，激励学生努力学好数学，将来为祖国的“四化”建设做出更大的贡献。
二、教学重点、难点、疑点及解决办法1、教学重点：理解棱柱的概念，掌握棱柱的性质及直棱柱侧面积公式，能利用性质及侧面积公式解决有关问题。
2、教学难点：直棱柱直观图的画法3、教学疑点：直棱柱的判断，注意引导学生严格按定义三、课时安排本课题建议安排3课时四、教与学过程设计第一课时节棱柱的概念及性质（一）引入将画有图2-1、图2-2、图2-3的小黑板挂出师：今天这一节课我们学习棱柱的概念和性质（给出课题），以上三个图形所表示的模型均为棱柱，下面我们一起来研究它们的共同特点。
（二）棱柱及有关概念的定义师：大家注意到图2-1到图2-3所表示的几何本均由一些面围成，而面与面之间有交线，因此可以从“面”和“线”两个角度去找它们的特点，先观察图2-1。
（1）首先看面：从面和面的关系及面的开头引导学生讨论，得出结论；有两个面互相平行，其余各面为四边形。
（2）再看线：从线与线之间的引导学生得出结论：每相邻两个四边形的公共边都互相平行。
一节数学实践课设计之“多面体、旋转体”
后对 多面体和旋转体仍然没有 明确的概念 ， 对相应 的计算公式也 寸后我们应计算螺丝的什 么？ （ ４ ） 如何得到螺丝的质量？ 学生按照 掌握不好。笔者所任教 的班级是建筑工程专业 ， 该班级男生 ４ ５ 人， 上述问题写出相应的问题解决方案 。
女生 ５人 ， 学生数学基础不强 ， 但整体活泼好动 ， 动手能力强 。 ２ ． 教学任务
学生按小组讨论解决 问题的方法 ， 在教师 的指导 下建立数学
１ ． 教学背景
本节课的 内容 出 自江苏 省职业学校数学 教材 “ 立体 几何” 章 质量 。如何计算出螺丝钉的质量 ， 请同学思考 。 节， 是在学生学 习完多面体和旋转体这 两节 的基础上 开展的 。前 面的学 习中 ， 由于缺少 实际模 型作为参 照 ， 学生对课 本 中所画 的
三、 教学反思
模 以及运 用数学知识解决实 际问题 的能力 。情感 目标 ： 学生在解 对误差最小的小 组进行表扬 。分析造成误差的原因。
在这一章之后对学生实 践课 的形式加 以巩 固 ， 由于学 生之前
整个教学过程中 ， 教师始终作为一个引导者的角色 （ 课 前学案 ） ， 整
重点 ： 多面体和旋转体 面积和体积 的计算公 式 ； 难点： 柱、 锥、 没有接触过类似 的教学形式 ， 因此表 现出 了格外浓厚 的兴趣 。在 球及其组合体的面积 、 体积 的计算 。
２ ０ １ ３年 ９月 １ ８日
课例 交流
一
节数 学实践课设计之“ 多面体 、 旋转体＂
文， 肖 鹏
摘
践课 。
要： 从职业 学校 学生 的特 点和学校 的专业特 点入手 ， 对 数学实践 课这 一新型 的教 学方式进行初 步探 究， 设 计 了一节数学实
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多面体和旋转体的概念一、知识回顾
1.棱柱、棱锥的基本概念和主要性质
2.几种特殊四棱柱的特殊性质
3. 叫做正四面体。
正四面体的所有棱长都，是一种特殊的。
4.圆柱、圆锥、球的基本概念和主要性质
注意：掌握圆柱、圆锥、球的下列概念：圆柱的轴、底面、侧面、母线和高；圆锥的轴、顶点、底面、侧面、母线和高；球的球心、直径、大圆和小圆。
2.几种特殊四棱柱的特殊性质
3. 叫做正四面体。
正四面体的所有棱长都，是一种特殊的。
4.圆柱、圆锥、球的基本概念和主要性质
注意：掌握圆柱、圆锥、球的下列概念：圆柱的轴、底面、侧面、母线和高；圆锥的轴、顶点、底面、侧面、母线和高；球的球心、直径、大圆和小圆。