山东师大附中2018届高三一模理科数学试卷及答案

山东师大附中2015级高三第一次模拟考试数学试题（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每题给出的四个选项中，有且仅有一项是符合要求的.1. 已知集合}5,4,3,1{=A ，集合}054{2<--∈=x x Z x B ，则B A 的子集个数为（ ） A ．2B ．4C ．8D ．162. 计算：=--+ii i 21)1)(2(2（ ） A ．2B ．2-C ．i 2D ．i 2-3. 下列区间中函数xx x f 2)1ln()(-+=有零点的是（ ） A ．)1,0( B ．)2,1(C ．)3,2(D ．)4,3(4. 设随机变量X 服从正态分布)1,0(N ，p x P =>)1(，则=->)1(x P （ ） A ．p B ．p -1C ．p 21-D ．p 25. 调查表明，酒后驾驶是导致交通事故的主要原因，交通法规规定：驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过ml mg /2.0．如果某人喝了少量酒后，血液中酒精含量将迅速上升到ml mg /8.0，在停止喝酒后，血液中酒精含量就以每小时50%的速度减少，则他至少要经过（ ）小时后才可以驾驶机动车． A ．1 B ．2C ．3D ．46. 如图中的三个直角三角形是一个体积为320cm 的几何体的三视图，则该几何体外接球的面积（单位：2cm ）等于（ ） A ．π55 B ．π75 C ．π77 D ．π657. 某一算法程序框图如图所示，则输出的S 的值为（ ） A ．23B ．23-C ．3D ．08. 设不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-≥+≤-022y y x y x 所表示的区域为M ，函数21x y --=的图象与x 轴所围成的区域为N ，向M 内随机投一个点，则该点落在N 内的概率为（ ）A ．π2 B ．4π C ．8π D ．16π 9. 用数学归纳法证明)1,(12131211*>∈<-+⋯+++n N n n n 时，由)1(>=k k n 不等式成立，推证1+=k n 时，左边应增加的项数是（ ） A ．12-kB ．12-kC ．k 2D ．12+k10. 已知函数)42cos()(π+=x x f ，将)(x f y =的图象上所有的点的横坐标缩短为原来的21倍，纵坐标不变；再把所得的图象向右平移ϕ个单位长度，所得的图象关于原点对称，则ϕ的一个值是（ ）.A. 43πB. 83πC. 165πD. 163π11. “4a >”是“方程20x ax a ++=有两个负实数根”的（ ）.A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件12. 抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，准线为l ，B A ,是抛物线上的两个动点，且满足 60=∠AFB ．设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则ABMN 的最大值是( )．A. 32B. 23C. 61D. 1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知两个单位向量b a ,3=+，则b a ,的夹角为 ．14. 若a dx x e =⎰21，则6)(xax +展开式中的常数项为 ． 15. 已知31cos )6sin(=--ααπ，则=+)32cos(πα ． 16. 已知函数xe b ax x xf )()(2++=，当1<b 时，函数)(x f 在()+∞--∞,1),2,(上均为增函数，则22-+a b 的取值范围是 .三、解答题：共70分. 解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 第17 ~ 21题为必做题，每个试题考生都必须作答. 第22、23题为选做题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17.（本题满分12分）已知等差数列}{n a 满足10,664==a a ． （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）设等比数列}{n b 各项均为正数，其前n 项和n T ，若3,233==T a b ，求n T ．18.（本题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD .PA BD ⊥ （1）求证：PB PD =；（2）若E ，F 分别为PC ，AB 的中点，EF ⊥平面PCD ，求直线PB 与平面PCD 所成角的大小．19.（本题满分12分）自2016年1月1日起，我国全面二孩政策正式实施，这次人口与生育政策的历史性调整，使得“要不要再生一个”，“生二孩能休多久产假”等问题成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题．为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿，某调查机构随机抽取了200户有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查，得到如下数据：（1）若用表中数据所得的频率代替概率，面对产假为14周与16周，估计某家庭有生育意愿的概率分别为多少？（2）假设从5种不同安排方案中，随机抽取2种不同安排分别作为备选方案，然后由单位根据单位情况自主选择．①求两种安排方案休假周数和不低于32周的概率；②如果用ξ表示两种方案休假周数之和．求随机变量ξ的分布列及数学期望．20.（本题满分12分）已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，左顶点为A ，左焦点为)0,2(1-F ，点)2,2(B 在椭圆C 上，直线)0(≠=k kx y 与椭圆C 交于F E ,两点，直线AF AE ,，分别与y 轴交于点N M ,． （1）求椭圆C 的方程；（2）在x 轴上是否存在点P ，使得无论非零实数k 怎样变化，总有MPN ∠为直角？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．21.（本题满分12分）已知函数)0)(1(ln )(≠-=a x ax x f . （1）求函数)(x f y =的单调递增区间； （2）当0>a 时，设函数)(61)(3x f x x g -=，函数)(')(x g x h =， ①若0)(≥x h 恒成立，求实数a 的取值范围； ②证明：)(321)321ln(*22222N n n n e∈+⋯+++<⨯⋯⨯⨯⨯.（二）选做题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题做答至选做题答题区域，标清题号 . 如果多做，则按所做第一题计分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本题满分10分） 已知直线l 的参数方程：⎩⎨⎧=+=θθsin cos 1t y t x （t 为参数），曲线C 的参数方程：⎩⎨⎧==ααsin cos 2y x （α为参数），且直线交曲线C 于A ，B 两点．（Ⅰ）将曲线C 的参数方程化为普通方程，并求4πθ=时，AB 的长度；（Ⅱ）已知点)0,1(P ，求当直线倾斜角θ变化时，PB PA ⋅的范围．23.[选修4-5：不等式选讲]（本题满分10分）已知函数）a x x x f -++-=|2||1(|log )(2． （Ⅰ）当7=a 时，求函数)(x f 的定义域；（Ⅱ）若关于x 的不等式3)(≥x f 的解集是R ，求实数a 的取值范围．参考答案（理科）一、选择题二、填空题 13. 32π 14. 160 15. 97 16. ]31,3(-三、解答题17.解：（1）设等差数列}{n a 的公差为d ，首项为1a ，∵10,664==a a ，∴⎩⎨⎧=+=+1056311d a d a ………………3分解得⎩⎨⎧==201d a ………………5分∴数列}{n a 的通项公式22)1(1-=-+=n d n a a n …………6分 （2）设各项均为正数的等比数列}{n b 的公比为)0(>q q ∵22-=n a n ， ∴43=a ， ∵33a b =， ∴b 3=4于是⎩⎨⎧=+=3)1(4121q b q b ………………8分解得⎩⎨⎧==211q b 或⎪⎩⎪⎨⎧-==3291q b （舍）………………10分∴1221)21(11)1(1-=--⨯=--=n n n n q q b T .……………12分18. 解：（1）连接AC ，交BD 于点O ，∵底面ABCD 是正方形，∴BD AC ⊥，且O 为BD 的中点，又∵PA BD ⊥，PA AC A =，∴⊥BD 平面PAC ，由于⊂PO 平面PAC ，故⊥BD PO ， 又∵DO BO =，故PD PB =；………………4分 （2）设PD 的中点为Q ，连接AQ ，EQ ，//12CD ， ∴AFEQ 为平行四边形，//EF AQ ，∵⊥EF 平面PCD ， ∴AQ ⊥平面PCD ，∴AQ PD ⊥，PD 的中点为Q ，∴AP AD ==AQ ⊥平面PCD ，又可得AQ CD ⊥，又∵AD CD ⊥，AQAD A =，∴CD ⊥平面PAD ，∴CD PA ⊥，又∵BD PA ⊥，∴PA ⊥平面ABCD ，由题意，AB ，AP ，AD 两两垂直，以A 为坐标原点，向量AB ，AD ， AP 的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则(0,0,0)A，B，Q，D，P ，…………8分(0,AQ =，(2,0,PB =，而AQ 为平面PCD 的一个法向量，……10分 设直线PB 与平面PCD 所成角为θ，1sin 2||||PB AQ PB AQ θ⋅==⋅，∴直线PB 与平面PCD 所成角为6π.……………………12分19.解：（1）由表中信息可知，当产假为14周时某家庭有生育意愿的概率为14120050P ==；……………………2分 当产假为16周时某家庭有生育意愿的概率为216220025P ==………………4分 （2）①设“两种安排方案休假周数和不低于32周”为事件A ，由已知从5种不同安排方案中，随机地抽取2种方案选 法共有2510C =（种），其和不低于32周的选法有（14，18）、（15，17）、（15，18）、（16，17）、（16，18）、（17，18），共6种，Q由古典概型概率计算公式得63()105P A ==．………………7分 ②由题知随机变量ξ的可能取值为29，30，31，32，33，34，35．1(29)0.110P ξ===，12(30)0.1,(31)0.21010P P ξξ======， 2211(32)0.2,(33)0.2,(34)0.1,(35)0.110101010P P P P ξξξξ============，因而ξ的分布列为……10分()290.1300.1310.2320.2330.2340.1350.132Eξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.…12分20.解：（1）设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，因为椭圆的左焦点为()120F -，，所以224a b -=， 设椭圆的右焦点为()220F ，，已知点(2B 在椭圆C 上， 由椭圆的定义知122BF BF a +=， 所以2a == 所以a =2b =，所以椭圆C 的方程为22184x y +=． ………………4分 （2）因为椭圆C 的左顶点为A ，则点A 的坐标为()-，因为直线(0)y kx k =≠与椭圆22184x y +=交于两点E ，F ， 设点()00,E x y （不妨设00x >），则点()00,F x y --， 联立方程组22,184y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得22812x k =+，所以0x =0y =，………………6分所以直线AE 的方程为y x =+，因为直线AE 与y 轴交于点M ，令0x =得y =，即点M ，同理可得点N ． ………………10分假设在x 轴上存在点(,0)P t ，使得MPN ∠为直角，则0MP NP ⋅=，即20t +=，即240t -=．解得2t =或2t =-．故存在点()2,0P 或()2,0P -，无论非零实数k 怎样变化， 总有MPN ∠为直角．……………………12分21. 解：（1）()()1ln 1ln f x a x x a x x ⎡⎤'=-+⋅=⎢⎥⎣⎦，令()0f x '>，当0a >时，解得1x >；当0a <时，解得01x <<， 所以当0a >时，函数()y f x =的单调递增区间是()1,+∞； 当0a <时，函数()y f x =的单调递增区间是()0,1.…………4分 （2）①2211()()()ln 22h x g x x f x x a x ''==-=-，由题意得()min 0h x ≥，因为()2a x a h x x x x-'=-==，所以当x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减；当)x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增；min 1()2h x h a a ∴==-7分由102a a -≥，得ln 1a ≤，解得0e a <≤， 所以实数a 的取值范围是(]0,e ．…………9分②由（1）知e a =时，()21eln 02h x x x =-≥在()0,x ∈+∞上恒成立，当x =成立，*x ∴∈N 时，22eln x x <，令1,2,3,x n =⋅⋅⋅，累加可得()22222e ln1ln 2ln3ln 123n n ++++<++++ ，即()2222e2ln 123123,n n ⨯⨯⨯⨯<++++()*n ∈N .…………12分22.解：（Ⅰ）曲线C 的参数方程：⎩⎨⎧==ααsin cos 2y x （α为参数），曲线C 的普通方程为1222=+y x ．………………2分 当4πθ=时，直线AB 的方程为1-=x y ，…………3分代入1222=+y x ，可得0432=-x x ，∴34,021==x x . ∴23403411=-⋅+=AB ；……………………5分 （Ⅱ）直线参数方程代入1222=+y x ， 得01cos 2)sin 2(cos 222=-⋅++t t θθθ．………………7分 设B A ,对应的参数为21,t t ， ∴]1,21[sin 11sin 2cos 122221∈+=+=⋅-=⋅θθθt t PB PA ．…………10分23. 解：（Ⅰ）由题设知：721>++-x x ，令10,20x x -=+=，解得1,2x x ==-，这就是两个分界点。