2018北京市海淀区高三(上)期末数学(理)

2018北京市海淀区高三（上）期末数学（理科） 2018. 1本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将答题纸交回。

第一部分（选择题，共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）复数12+=ii（A ）2-i（B ）2+i（C ）2--i（D ）2-+i （2）在极坐标系Ox 中，方程2sin ρθ=表示的圆为（A ）（B ）（C ）（D ）（3）执行如图所示的程序框图，输出的k 值为（A ） 4 （B ） 5 （C ） 6 （D ） 7（4）设m 是不为零的实数，则“0m >”是“方程221x y m m-=表示双曲线”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（5）已知直线0x y m -+=与圆O ：221x y +=相交于A ，B 两点，且OAB ∆为正三角形，则实数m 的值为（A（B（C或 （D或 （6）从编号分别为1，2，3，4，5，6的六个大小完全相同的小球中，随机取出三个小球，则恰有两个小球编号相邻的概率为（A ）15（B ）25（C ）35（D ）45（7）某三棱锥的三视图如图所示，则下列说法中：① 三棱锥的体积为16② 三棱锥的四个面全是直角三角形③所有正确的说法是 （A ）① （B ）①② （C ）②③ （D ）①③（8）已知点F 为抛物线C ：()220ypx p =>的焦点，点K 为点F 关于原点的对称点，点M 在抛物线C 上，则下列说法错误．．的是 （A ）使得MFK ∆为等腰三角形的点M 有且仅有4个 （B ）使得MFK ∆为直角三角形的点M 有且仅有4个（C ）使得4MKF π∠=的点M 有且仅有4个 （D ）使得6MKF π∠=的点M 有且仅有4个第二部分（非选择题，共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）点(2,0)到双曲线2214x y -=的渐近线的距离是______________ .（10）已知公差为1的等差数列{}n a 中，1a ，2a ，4a 成等比数列，则{}n a 的前100项的和为 ．（11）设抛物线C ：24y x =的顶点为O ，经过抛物线C 的焦点且垂直于x 轴的直线和抛物线C 交于A ，B 两点，则OA OB += ．（12）已知()51nx -展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64：1，则=n ．（13）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为M 是棱BC 的中点，点P 在底面ABCD内，点Q 在线段11A C 上.若1PM =，则PQ 长度的最小值为 ．（14）对任意实数k ，定义集合20(,)20,,0k x y D x y x y x y kx y ⎧⎫-+≥⎧⎪⎪⎪=+-≤∈⎨⎨⎬⎪⎪⎪-≤⎩⎩⎭R . ① 若集合k D 表示的平面区域是一个三角形，则实数k 的取值范围是 ；主视图左视图俯视图② 当0k =时，若对任意的0(,)x y D ∈，有()31y a x ≥+-恒成立，且存在0(,)x y D ∈，使得x y a -≤成立，则实数a 的取值范围为 ．三、解答题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题13分）如图，在∆ABC 中，点D 在AC 边上，且3AD DC =，AB =，3ADB π∠=，=6C π∠.（Ⅰ）求DC 的值； （Ⅱ）求tan ABC ∠的值.（16）（本小题13分）据中国日报网报道：2017年11月13日，TOP500发布的最新一期全球超级计算机500强榜单显示，中国超算在前五名中占据两席.其中超算全球第一“神威·太湖之光”完全使用了国产处理器.为了了解国产品牌处理器打开文件的速度，某调查公司对两种国产品牌处理器进行了12次测试，结果如下：（数值越．．．小．，速度越快．．．．，单位是MIPS （Ⅰ）从品牌的12次测试结果中，随机抽取一次，求测试结果小于7的概率；（Ⅱ）在12次测试中，随机抽取三次，记X 为品牌A 的测试结果大于品牌B 的测试结果的次数，求X 的分布列和数学期望()E X ；（Ⅲ）经过了解，前6次测试是打开含有文字与表格的文件，后6次测试是打开含有文字与图片的文件.请你依据表中数据，运用所学的统计知识，对这两种国产品牌处理器 打开文件的速度进行评价. A如图1，梯形ABCD 中，//AD BC ，CD BC ⊥，1BC CD ==，2AD =，E 为AD 中点.将ABE ∆沿BE 翻折到1A BE ∆的位置， 使11A E A D =如图2. （Ⅰ）求证：平面1A ED ⊥平面BCDE ； （Ⅱ）求1A B 与平面1ACD 所成角的正弦值； （Ⅲ）设M 、N 分别为1A E 和BC 的中点，试比较三棱锥1M A CD -和三棱锥1N A CD -（图中未画出）的体积大小，并说明理由.A E DBCD图1 图2（18）（本小题13分）已知椭圆C ：2229x y +=，点(2,0)P . （Ⅰ）求椭圆C 的短轴长与离心率；（Ⅱ）过（1，0）的直线l 与椭圆C 相交于M 、N 两点，设MN 的中点为T ，判断||TP 与||TM 的大小，并证明你的结论.已知函数2()222xf x ax x =---e（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）当0a ≤时，求证：函数()f x 有且只有一个零点；（Ⅲ）当0a >时，写出函数()f x 的零点的个数.（只需写出结论）（20）（本小题13分）无穷数列{}n a 满足：1a 为正整数，且对任意正整数n ，1n a +为前n 项12,,,n a a a 中等于na 的项的个数.（Ⅰ）若12a =，请写出数列{}n a 的前7项；（Ⅱ）求证：对于任意正整数M ，必存在k *∈N ，使得k a M >；（Ⅲ）求证：“11a =”是“存在m *∈N ，当n m ≥时，恒有2n n a a +≥成立”的充要条件.数学试题答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.(有两空的小题第一空3分) （9 （10）5050 （11）2 （12）6 （13（14）① (1,1)-② 1[2,]5-三、解答题: 本大题共6小题，共80分. 15. （本小题13分）解：（Ⅰ）如图所示，366DBC ADB C πππ∠=∠-∠=-=，…………………….1分故DBC C ∠=∠，DB DC = ……………………….2分设DC x =，则DB x =，3DA x =. 在ADB ∆中，由余弦定理2222cos AB DA DB DA DB ADB =+-⋅⋅∠ ……………………….3分即22217(3)2372x x x x x =+-⋅⋅⋅=， ……………………….4分解得1x =，即1DC =. (5)分（Ⅱ）方法一. 在ADB ∆中，由AD AB >，得60ABD ADB ∠>∠=︒，故362ABCABD DBC πππ∠=∠+∠>+=……………………….7分在ABC ∆中，由正弦定理sin sin AC ABABC ACB=∠∠即4sin 2ABC=∠sin ABC ∠=， ……………………….10分 由(,)2ABC ππ∠∈，得cos ABC ∠=， ……………………….11分 tan ABC ∠==………………………13分方法二. 在ADB ∆中，由余弦定理A222cos 2AB BD AD ABD AB BD +-∠===⋅ ……………………….8分由(0,)ABD π∠∈，故sin ABD ∠=故tan ABD ∠=-……………………….11分故tan tan6tan tan()61tan tan 6ABD ABC ABD ABD πππ-∠+∠=∠+===-∠⋅ ………………………13分方法三：2222cos 3BC BD CD BD CD BDC =+-⋅⋅∠=，BC =222cos 2BA BC AC ABC BA BC +-∠==⋅…………………………8分 因为(0,)ABC π∠∈，所以sin ABC ∠=……………………11分所以tan ABC ∠==分16. （本小题13分）（Ⅰ）从品牌A 的12次测试中，测试结果打开速度小于7的文件有：测试1、2、5、6、9、10、11，共7次设该测试结果打开速度小于7为事件A ，因此7()12P A =……………………….3分 （Ⅱ）12次测试中，品牌A 的测试结果大于品牌B 的测试结果的次数有：测试1、3、4、5、7、8，共6次随机变量X 所有可能的取值为：0，1，2，330663121(0)11C C P X C ===21663129(1)22C C P X C ===12663129(2)22C C P X C ===03663121(3)11C C P X C === ……………………….7分随机变量X的分布列为19913E X=⨯+⨯+⨯+⨯=……………………….10分()0123112222112（Ⅲ）本题为开放问题，答案不唯一，在此给出评价标准，并给出可能出现的答案情况，阅卷时按照标准酌情给分.给出明确结论，1分；结合已有数据，能够运用以下8个标准中的任何一个陈述得出该结论的理由，2分.…………………13分.标准1: 会用前6次测试品牌A、品牌B的测试结果的平均值与后6次测试品牌A、品牌B的测试结果的平均值进行阐述（这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件的测试结果的平均值均小于打开含有文字和图片的文件的测试结果平均值；这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件的平均速度均快于打开含有文字和图片的文件的平均速度）标准2: 会用前6次测试品牌A、品牌B的测试结果的方差与后6次测试品牌A、品牌B的测试结果的方差进行阐述（这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件的测试结果的方差均小于打开含有文字和图片的文件的测试结果的方差；这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件速度的波动均小于打开含有文字和图片的文件速度的波动）标准3：会用品牌A前6次测试结果的平均值、后6次测试结果的平均值与品牌B前6次测试结果的平均值、后6次测试结果的平均值进行阐述（品牌A前6次测试结果的平均值大于品牌B前6次测试结果的平均值，品牌A后6次测试结果的平均值小于品牌B后6次测试结果的平均值，品牌A打开含有文字和表格的文件的速度慢于品牌B，品牌A打开含有文字和图形的文件的速度快于品牌B）标准4：会用品牌A前6次测试结果的方差、后6次测试结果的方差与品牌B前6次测试结果的方差、后6次测试结果的方差进行阐述（品牌A前6次测试结果的方差大于品牌B前6次测试结果的方差，品牌A后6次测试结果的方差小于品牌B后6次测试结果的方差，品牌A打开含有文字和表格的文件的速度波动大于品牌B，品牌A打开含有文字和图形的文件的速度波动小于品牌B）标准5：会用品牌A这12次测试结果的平均值与品牌B这12次测试结果的平均值进行阐述（品牌A这12次测试结果的平均值小于品牌B这12次测试结果的平均值，品牌A打开文件的平均速度快于B）标准6：会用品牌A这12次测试结果的方差与品牌B这12次测试结果的方差进行阐述（品牌A这12次测试结果的方差小于品牌B这12次测试结果的方差，品牌A打开文件速度的波动小于B）标准7：会用前6次测试中，品牌A测试结果大于（小于）品牌B测试结果的次数、后6次测试中，品牌A测试结果大于（小于）品牌B测试结果的次数进行阐述（前6次测试结果中，品牌A小于品牌B的有2次，占1/3. 后6次测试中，品牌A小于品牌B的有4次，占2/3. 故品牌A打开含有文字和表格的文件的速度慢于B，品牌A打开含有文字和图片的文件的速度快于B）标准8：会用这12次测试中，品牌A测试结果大于（小于）品牌B测试结果的次数进行阐述（这12次测试结果中，品牌A小于品牌B的有6次，占1/2. 故品牌A和品牌B打开文件的速度相当）参考数据17. （本小题14分）（Ⅰ）证明：由图1，梯形ABCD 中，//AD BC ，CD BC ⊥，1BC =，2AD =，E 为AD 中点，BE AD ⊥故图2，1BE A E ⊥，BE DE ⊥……………..1分 因为1A EDE E =，1A E ，DE ⊂平面1A DE……………..2分所以BE ⊥平面1A DE ……………..3分 因为BE ⊂平面BCDE ，所以平面1A DE ⊥平面BCDE ……………..4分（Ⅱ） 解一：取DE 中点O ，连接1OA ，ON .因为在1A DE ∆中，111A E A D DE ===，O 为DE 中点所以1AO DE ⊥因为平面1A DE ⊥平面BCDE平面1A DE平面BCDE DE =1AO ⊂平面1A DE 所以1A O ⊥平面BCDE因为在正方形BCDE 中，O 、N 分别为DE 、BC 的中点，所以ON DE ⊥ 建系如图. 则1A ，1(1,,0)B -，1(1,,0)C ，1(0,,0)D ，1(0,,0)E -.……………..5分 xy11(1,,22A B =--11(0,,22A D =-，(1,0,0)DC =， 设平面1A CD 的法向量为(,,)n x y z =，则100n A D n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即1020y z x ⎧=⎪⎨⎪=⎩，令1z =得，y = 所以(0,3,1)n =是平面1A CD 的一个方向量. ……………..7分111cos ,||||A B n A B n AB n ⋅<>==-=⋅……………..9分所以1A B 与平面1ACD……………..10分 （Ⅱ） 解二：在平面1A DE 内作EF ED ⊥， 由BE ⊥平面1A DE ，建系如图.则11(0,2A ，(1,0,0)B ，(1,1,0)C ，(0,1,0)D ，(0,0,0)E . (5)分11(1,,2A B =-11(0,,2A D =，(1,0,0)DC =， 设平面1A CD 的法向量为(,,)n x y z =，则100n A D n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即10220y z x ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，令1z =得，y =所以(0,3,1)n =是平面1A CD 的一个方向量. ……………..7分111cos ,4||||A B n A B n A B n ⋅<>==-=-⋅ ……………..9分xy所以1A B 与平面1ACD所成角的正弦值为4……………..10分 （Ⅲ）解：三棱锥1M ACD -和三棱锥1N A CD -的体积相等. 理由如下:方法一：由1(0,,44M ，1(1,,0)2N，知1(1,,44MN =-，则 0MN n ⋅=……………..11分因为MN ⊂平面1A CD ，……………..12分所以//MN 平面1A CD . ……………..13分故点M 、N 到平面1A CD 的距离相等，有三棱锥1M ACD -和1N A CD -同底等高，所以体积相等. ……………..14分方法二：如图，取DE 中点P ，连接MP ，NP ，MN .因为在1A DE ∆中，M ，P 分别是1A E ，DE 的中点，所以1//MP A D 因为在正方形BCDE 中，N ，P 分别是BC ，DE 的中点，所以//NP CD 因为MPNP P =，MP ，NP ⊂平面MNP ，1A D ，CD ⊂平面1A CD所以平面MNP //平面1A CD ……………..11分因为MN ⊂平面MNP ，……………..12分 所以//MN 平面1A CD……………..13分故点M 、N 到平面1A CD 的距离相等，有三棱锥1M ACD -和1N A CD -同底等高，所以体积相等. ……………..14分DD法二 法三 方法三：如图，取1A D 中点Q ，连接MN ，MQ ，CQ .因为在1A DE ∆中，M ，Q 分别是1A E ，1A D 的中点，所以//MQ ED 且12MQ ED = 因为在正方形BCDE 中，N 是BC 的中点，所以//NC ED 且12NC ED =所以//MQ NC 且MQ NC =，故四边形MNCQ 是平行四边形，故//MN CQ ……………..11分 因为CQ ⊂平面1A CD ，MN ⊂平面1A CD ， ……………..12分 所以//MN 平面1A CD . ……………..13分故点M 、N 到平面1A CD 的距离相等，有三棱锥1M ACD -和1N A CD -同底等高，所以体积相等. ……………..14分 18. （本小题13分）解：（Ⅰ）C ：221992x y +=，故29a =，292b =，292c =，有3a =，b c ==分 椭圆C的短轴长为2b =……………..3分离心率为2c e a ==. ……………..5分（Ⅱ）方法1：结论是：||||TP TM <.当直线l 斜率不存在时，:1l x =，||0||2TP TM =<=……………..7分当直线l 斜率存在时，设直线l ：(1)y k x =-，11(,)M x y ，22(,)N x y2229(1)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩，整理得：2222(21)4290k x k x k +-+-= ……………..8分22222(4)4(21)(29)64360k k k k ∆=-+-=+>故2122421k x x k +=+，21222921k x x k -=+ ……………..9分PM PN ⋅1212(2)(2)x x y y =--+21212(2)(2)(1)(1)x x k x x =--+-- 2221212(1)(2)()4k x x k x x k =+-++++2222222294(1)(2)42121k k k k k k k -=+⋅-+⋅++++226521k k +=-+ 0<……………..13分故90MPN ∠>︒，即点P 在以MN 为直径的圆内，故||||TP TM <（Ⅱ）方法2：结论是：||||TP TM <.当直线l 斜率不存在时，:1l x =，||0||2TP TM =<=……………..7分当直线l 斜率存在时，设直线l ：(1)y k x =-，11(,)M x y ，22(,)N x y ，(,)T T T x y2229(1)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩，整理得：2222(21)4290k x k x k +-+-= ……………..8分22222(4)4(21)(29)64360k k k k ∆=-+-=+>故2122421k x x k +=+，21222921k x x k -=+ ……………..9分212212()221T k x x x k =+=+，2(1)21T T ky k x k =-=-+……………..10分222242222222222222(22)494||(2)(2)()2121(21)(21)T Tk k k k k k TP x y k k k k ++++=-+=-+-==++++ ……………..11分22222212121222224222222222111||(||)(1)()(1)()42441429(1)(169)16259(1)[()4]42121(21)(21)TM MN k x x k x x x x k k k k k k k k k k k ⎡⎤==+-=++-⎣⎦-++++=+-⋅==++++……………..12分此时，424242222222221625949412165||||0(21)(21)(21)k k k k k k TM TP k k k ++++++-=-=>+++ ……………..13分故||||TM TP >19. （本小题14分）（Ⅰ）因为函数2()222xf x ax x =---e所以'()222xf x ax =--e ……………..2分 故(0)0f =，'(0)0f = ……………..4分曲线()y f x =在0x =处的切线方程为0y = ……………..5分（Ⅱ）当0a ≤时，令()'()222xg x f x ax ==--e ，则'()220xg x a =->e ……………..6分故()g x 是R 上的增函数. ……………..7分 由(0)0g =，……………..8分故当0x <时，()0g x <，当0x >时，()0g x >. 即当0x <时，'()0f x <，当0x >时，'()0f x >.故()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增. ……………..10分 函数()f x 的最小值为(0)f 由(0)0f =，…………….11分故()f x 有且仅有一个零点. （Ⅲ）当01a <<时，()f x 有两个零点.……………..12分 当1a =时，()f x 有一个零点； ……………..13分当1a >时，()f x 有两个零点.……………..14分20. （本小题13分）（Ⅰ）若12a =，则数列{}n a 的前7项为2，1，1，2，2，3，1 ……………………3分 （Ⅱ）证法一假设存在正整数M ，使得对任意的*k ∈N ，k a M ≤.由题意，{1,2,3,...,}k a M ∈，故数列{}n a 多有M 个不同的取值………………5分 考虑数列{}n a 的前21M +项：1a ，2a ，3a ，…，21Ma +其中至少有1M +项的取值相同，不妨设121M i i i a a a +==⋅⋅⋅=此时有：111M i a M M ++=+>，矛盾.故对于任意的正整数M ，必存在*k ∈N ，使得k a M >. …………………8分（Ⅱ）证法二假设存在正整数M ，使得对任意的*k ∈N ，k a M ≤.由题意，{1,2,3,...,}k a M ∈，故数列{}n a 多有M 个不同的取值………………5分对任意的正整数m ，数列{}n a 中至多有M 项的值为m ，事实上若数列{}n a 中至少有1M +项的值为m ，其1M +项为12311,,,,,,M M M i i i i i i a a a a a a -+⋅⋅⋅此时有：111M i a M M ++=+>，矛盾.故数列{}n a 至多有2M 项，这与数列{}n a 有无穷多项矛盾。