第1课集合及其基本运算(1)

第一章 集合与简易逻辑

第1课 集合及其基本运算（1）

一、教学目标

了解集合的含义、体会元素与集合的“属于”关系；能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题；了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中，了解全集与空集的含义；理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；会用韦恩图（V enn ）表示集合的关系及运算。

二、基础知识回顾与梳理

1、下面四个命题中正确的命题序号为________

1)某班个子较高的同学构成集合A ；2)由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}；

3)方程2

210x x -+=的解集是{1，1}；4)?与{?}表示同一个集合.

【教学建议】本题主要是帮助学生复习、理解集合的概念，集合元素的三性（无序性、互异性和确定性）。它是正确解决有关集合问题的关键之一，特别是集合的互异性，在解题中常常被忽视而出错。

2、判断下列表示是否正确： {}(1);a a ? {}{}(2),a a b ∈ {}{}(3),,a b a b ? {}(4)1,1

??- 【教学建议】本题选自课本习题，主要是复习集合与集合，元素与集合之间的关系以及集合中的有关符号。强调?是任意非空集合的子集，这在解题中不能忽视。

3、写出集合{},a b 的所有子集_______________,其中真子集的为_____________。

【教学建议】本题选自课本习题，主要是复习集合的子集和真子集的概念问题。教学时追问：

1）集合的子集与真子集的联系与区别是什么？2）集合12{,,,}n a a a 的子集个数为多少？真子集的个数呢？非空真子集？

4、已知集合[)1,2A =-，对于下列全集U 分别求u C A ：（1）U=R ；（2）(]U=3-∞，；（3）[)U 1,2=-.

【教学建议】本题选自课本习题，主要是复习补集和全集的概念，理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集;教学时可以设计如下问题：在u C A 中，集合A 与全集U 之间有什么关系？（强化概念）

三、诊断练习

1、教学处理：课前由学生自主完成5道小题，并要求将解题过程扼要地写在学习笔记栏。课前抽查批阅部分同学的解答，了解学生的思路及主要错误。将知识问题化，通过问题驱动，使教学言而有物，帮助学生内化知识，初步形成能力。点评时要简洁，要点击要害。

2、诊断练习点评

题1：已知集合A ＝{1,3，a}，{}1,12+-=a a B ，且B ?A ，则a ＝__________

【点评】提问：如何理解子集的概念？求得a 后要注意什么？（本题考察了集合中元素的互异性、子集的概念，要关注学生思维的严密性。）

【练习】（反馈1）设集合{}{}

{}21,1,3,2,4,3A B a a A B =-=++= ，则实数a 的值为_____________。

【点评】对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中元素是否满足互异性。 题2．已知集合2

{|34,}A x x x x R =<+∈，则A Z 中元素的个数为 .

【点评】问题1：各个数集分别用什么字母表示？

【注意】求交集即寻找两个集合中的公共元素是什么。

题3. 已知全集U =R,集合{}10A x x =+>,则A C U =________.

【点评】问题：补集定义？如何计算A C U ？结合Venn 图或数轴进而用集合语言表达，提醒学生要注意区间端点的取舍。

【变式】已知全集U R =，集合{212}M x x =-≤-≤和{21,1,2,}N x x k k ==-= 的

关系的韦恩（Venn ）图如图1所示，则

阴影部分所示的集合的元素共有________个.（ 答案：2）

题4．已知集合{(,)|2},{(,)|4}M x y x y N x y x y =+==-=，

则M N = .

【点评】问题1：本题中几何内的元素是什么？

问题2：一个集合内的元素是点的坐标，这样的集合如何表示？

3、要点归纳

1．解决集合问题，首先要弄清楚集合中的元素是什么，如回顾4.

2．弄清集合中元素的本质属性，能化简的要化简；

3．抓住集合中元素的3个性质，对互异性要注意检验，如诊断1；

4．正确进行“集合语言”和普通“数学语言”的相互转化，如诊断4．

5. 数形结合是解决集合问题的有效手段，以形助数，形象、直观、方便，如诊断3、4.

四、范例导析

例1、（1）已知集合{2,1,3,4},{1,2,3}A B =--=-，则A B = ________.

（2）已知集合{1,2,3,4,5},{(,)|,,}A B x y x A y A x y A ==∈∈-∈，则B 中所含元素的个数为________．

【教学处理】可以考虑学生板演并讲解或有学生说思路，分析，教师引导并板书。

【引导分析与精讲建议】

1、求交集即寻找两个集合中的公共元素是什么。

2、如何理解集合B 中的元素？

3、如何确定集合B 中的元素有哪些？

[方法归纳] (1)对于集合问题，抓住元素的特征是求解的关键，要注意集合中元素的三个特征的应用，要注意检验结果．

(2)对于给出已知集合，进行交集、并集与补集运算时，可以直接根据它们的定义求解，也可以借助数轴、韦恩(Venn)图等图形工具，运用分类讨论、数形结合等思想方法，直观求解．

【练习】全集I R =，集合{{}2,l g (22)A x y B y y x x ===-+，则(C )

I A B = ___．

例2已知集合A ＝{x|－2≤x≤7}，B ＝{x|m ＋1

【教学处理】要求学生独立思考并解题，指名学生板演，老师巡视指导了解学情；再结合板

演情况进行点评。也可在学生作差变形遇到困难时，教师适时介入与学生交流或进行讲解，并示范板书。

【引导分析与精讲建议】

问题1：如何理解B ?A ？

问题2：如何处理不等式型集合之间的关系？（利用数轴，数形结合）。

问题3：参数的端点你单独考虑了吗？-----解题时注意验证区间端点是否符合题意

【变式】将例2中集合B 改为B=()12,1-+m m ，则实数m 的取值范围为？

【引导分析与精讲建议】

本题的难度在于集合B 是否为空集的讨论 【练习】已知集合{}{}2230,10A x x B x mx =--==-=，若B A ?，则m 的值为_______．

【点评】1．含参数的问题，要有讨论的意识，分类讨论时要防止在空集上出问题；

2．集合的化简是实施运算的前提，等价转化常是顺利解题的关键．

例3：若集合A=}

{012=++∈ax ax R x 中只有一个元素，求a 的值 【教学处理】指导学生圈出题中的关键词,独立思考，指名回答，教师点评并板书解题过程．

【引导分析与精讲建议】

可提出以下问题与学生交流：

分析题意，你认为本题的解题切入点在什么地方？

两个方面：1、什么构成了集合A?即集合A 中的元素是什么？

2、只有一个元素说明什么？

3、这样一个“伪”二次方程处理要注意什么？

变式：题目中的“中只有一个元素，求a 的值”改为“只有一个子集，求a 的取值范围” 集合只有一个元素和集合只有一个子集的区别在哪里？

五、解题反思

⒈集合是一个相对的概念，几个对象在一起就可以成为一个集合；

⒉集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性，它是正确解决有关集合问题的关键之一，特别是集合的互异性，在解题中常常用到；

⒊弄清集合由哪些元素组成，这就需要我们把抽象的问题具体化、形象化，也就是善于对集合的三种语言（文字、符号、图形）进行相互转化；

⒋注意表示集合的列举法如{}1,3,A m =和描述法如{}

240M x x =-≤在形式上的区别。列举法一般适合于有限集，而描述法适合于无限集；

5、要关注数形结合、等价转化、分类讨论等基本数学思想的应用．