高中数学任意角和弧度制及任意角的三角函数训练题

任意角和弧度制及任意角的三角函数训练题
A 级——保大分专练
1．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( )
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
解析：选C 设扇形的半径为r (r >0)，弧长为l ，则由扇形面积公式可得2＝12lr ＝12|α|r 2＝12
×4×r 2，解得r ＝1，l ＝|α|r ＝4，所以所求扇形的周长为2r ＋l ＝6.
2．(2019·石家庄模拟)已知角α(0°≤α<360°)终边上一点的坐标为(sin 150°，cos 150°)，则α＝
( )
A ．150°
B ．135°
C ．300°
D ．60°
解析：选C 由sin 150°＝12>0，cos 150°＝－32<0，可知角α终边上一点的坐标为⎝⎛⎭⎫12
，－32，故该点在第四象限，由三角函数的定义得sin α＝－32
，因为0°≤α<360°，所以角α为300°. 3．(2018·长春检测)若角α的顶点为坐标原点，始边在x 轴的非负半轴上，终边在直线y ＝－3x 上，则角α的取值集合是( )
A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪
α＝2k π－π3，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪ α＝2k π＋2π3，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪ α＝k π－2π3，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪
α＝k π－π3，k ∈Z 解析：选D 当α的终边在射线y ＝－3x (x ≤0)上时，对应的角为2π3
＋2k π，k ∈Z ，当α的终边在射线y ＝－3x (x ≥0)上时，对应的角为－π3
＋2k π，k ∈Z ，所以角α的取值集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪
α＝k π－π3，k ∈Z . 4．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a 的取值范围是( )
A ．(－2,3]
B ．(－2,3)
C ．[－2,3)
D ．[－2,3]
解析：选A 由cos α≤0，sin α＞0可知，角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上，所以有⎩⎪⎨⎪⎧
3a －9≤0，a ＋2＞0，
解得－2＜a ≤3.
5．在平面直角坐标系xOy 中，α为第二象限角，P (－3，y )为其终边上一点，且sin α＝2y 4
，则y 的值为( )
A. 3
B ．－ 5 C. 5 D.3或5
解析：选C 由题意知|OP |＝3＋y 2，则sin α＝y
3＋y 2＝2y 4，解得y ＝0(舍去)或y ＝±5，因为α为第二象限角，所以y >0，则y ＝ 5.
6．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z )，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|
的值为( )
A ．1
B ．－1
C ．3
D ．－3
解析：选B 由α＝2k π－π5
(k ∈Z )及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，因为角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ＜0，cos θ＞0，tan θ＜0.
所以y ＝－1＋1－1＝－1. 7．已知一个扇形的圆心角为3π4，面积为3π2
，则此扇形的半径为________． 解析：设此扇形的半径为r (r >0)，由3π2＝12×3π4
×r 2，得r ＝2. 答案：2
8．(2019·江苏高邮模拟)在平面直角坐标系xOy 中，60°角终边上一点P 的坐标为(1，m )，则实数m 的值为________．
解析：∵60°角终边上一点P 的坐标为(1，m )，∴tan 60°＝m 1
，∵tan 60°＝3，∴m ＝ 3. 答案： 3
9．若α＝1 560°，角θ与α终边相同，且－360°＜θ＜360°，则θ＝________.
解析：因为α＝1 560°＝4×360°＋120°，
所以与α终边相同的角为360°×k ＋120°，k ∈Z ，
令k ＝－1或k ＝0，可得θ＝－240°或θ＝120°.
答案：120°或－240°
10．在直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为__________．
解析：依题意知OA ＝OB ＝2，∠AOx ＝30°，∠BOx ＝120°，
设点B 坐标为(x ，y )，
则x ＝2cos 120°＝－1，y ＝2sin 120°＝3，即B (－1，3)．
答案：(－1，3)
11．已知1|sin α|＝－1sin α
，且lg(cos α)有意义． (1)试判断角α所在的象限；
(2)若角α的终边上一点M ⎝⎛⎭
⎫35，m ，且|OM |＝1(O 为坐标原点)，求m 的值及sin α的值． 解：(1)由1|sin α|＝－1sin α
，得sin α<0， 由lg(cos α)有意义，可知cos α>0，
所以α是第四象限角．
(2)因为|OM |＝1，所以⎝⎛⎭⎫352＋m 2＝1，解得m ＝±45
. 又因为α是第四象限角，所以m <0，
从而m ＝－45，sin α＝y r ＝m |OM |＝－451＝－45
. 12．已知α为第三象限角．
(1)求角α2
终边所在的象限； (2)试判断 tan α2sin α2cos α2
的符号． 解：(1)由2k π＋π＜α＜2k π＋3π2
，k ∈Z ， 得k π＋π2＜α2＜k π＋3π4
，k ∈Z ， 当k 为偶数时，角α2
终边在第二象限； 当k 为奇数时，角α2
终边在第四象限． 故角α2
终边在第二或第四象限．
(2)当角α2在第二象限时， tan α2＜0，sin α2＞0, cos α2＜0， 所以tan α2sin α2cos α2
取正号； 当角α2
在第四象限时， tan α2＜0，sin α2＜0, cos α2
＞0， 所以 tan α2sin α2cos α2
也取正号． 因此tan α2sin α2cos α2
取正号． B 级——创高分自选
1．若－3π4<α<－π2
，从单位圆中的三角函数线观察sin α，cos α，tan α的大小是( ) A ．sin α<tan α<cos α
B ．cos α<sin α<tan α
C ．sin α<cos α<tan α
D ．tan α<sin α<cos α
解析：选C 如图所示，作出角α的正弦线MP ，余弦线OM ，正切线AT ，因
为－3π4<α<－π2
，所以α终边位置在图中的阴影部分，观察可得AT >OM >MP ，故有sin α<cos α<tan α.
2．已知点P (sin α－cos α，tan α)在第一象限，且α∈[0,2π]，则角α的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫π2，3π4∪⎝
⎛⎭⎫π，5π4 B.⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π，5π4 C.⎝⎛⎭⎫π2，3π4∪⎝⎛⎭⎫5π4，3π2 D.⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫3π4，π
解析：选B 因为点P 在第一象限，
所以⎩⎪⎨⎪⎧ sin α－cos α>0，tan α>0，
即⎩⎨⎧
sin α>cos α，tan α>0. 由tan α>0可知角α为第一或第三象限角，画出单位圆如图．
又sin α>cos α，用正弦线、余弦线得满足条件的角α的终边在如图所示的阴影部分(不包括边
界)，即角α的取值范围是⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝
⎛⎭⎫π，5π4. 3．已知角θ的终边过点P (－4a,3a )(a ≠0)．
(1)求sin θ＋cos θ的值；
(2)试判断cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号．
解：(1)因为角θ的终边过点P (－4a,3a )(a ≠0)， 所以x ＝－4a ，y ＝3a ，r ＝5|a |，
当a ＞0时，r ＝5a ，sin θ＋cos θ＝35－45＝－15
； 当a ＜0时，r ＝－5a ，sin θ＋cos θ＝－35＋45＝15
. (2)当a ＞0时，sin θ＝35∈⎝
⎛⎭⎫0，π2， cos θ＝－45∈⎝⎛⎭⎫－π2
，0， 则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos 35
·sin ⎝⎛⎭⎫－45＜0； 当a ＜0时，sin θ＝－35∈⎝⎛⎭⎫－π2
，0， cos θ＝45∈⎝
⎛⎭⎫0，π2， 则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos ⎝⎛⎭⎫－35·sin 45
＞0. 综上，当a ＞0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为负； 当a ＜0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为正．。