第1课时 完全平方公式的推导及简单应用
人教八年级数学上册《完全平方公式 第1课时：完全平方公式推导和计算》精品教学课件
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
做一做
下列各式的计算是否正确？如果不正确，应该怎样改正？
(1) (p1)2=p21 (2) (m2)2=m22m+4 (3) (x+y)2=x2+y2 (4) (x+y)2=x2+2xy+y2 (5) (2x+y)2=x2+2xy+y2 (6) (m2n)2=m24mn+4n2
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归纳 完全平方公式
(a+b)2=a2+2ab+b2 (a−b)2=a2−2ab+b2
两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和， 加上（或减去）它们的积的2倍.
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思考 你能根据图中的图形面积说明完全平方公式吗？
猜想
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a+b)2 =(a+b)(a+b) =a2+ab+ab+b2 =a2+2ab+b2
多项式乘法法则 合并同类项
完全平方公式
(a+b)2=a2+2ab+b2 两个数的和的平方，等于它们的平方和，加上它们的积的2倍.
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解： ∵ x2+kx+25=(x5)2 ∴ x2+kx+52=x210x+52 ∴ k=10
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完
完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2 (a−b)2=a2−2ab+b2
完全平方公式知识点分解
完全平方公式知识点分解1.完全平方公式的定义：(a+b)² = a² + 2ab + b²2.完全平方公式的推导：完全平方公式可以通过将一个二次多项式展开后进行适当的合并得到。
假设有一个二次多项式：(x+a)²，我们可以将其展开为：x² + 2ax + a²。
而这个结果恰好是完全平方公式的一种形式。
根据这种思路，可以得到完全平方公式的一般形式：(a+b)² = a² + 2ab + b²。
3.完全平方公式的应用：-求解二次方程：通过将一个二次方程转化为完全平方公式的形式，可以更容易地解得方程的根。
-分解因式：对于一个多项式，如果它是一个完全平方公式的形式，那么可以通过完全平方公式的逆运算，将其分解为两个一次多项式的乘积。
-求解二次特殊图形问题：例如，求解一个面积已知的正方形边长，可以通过构造一个面积为完全平方公式的方程，然后利用完全平方公式求解。
4.完全平方公式的推广：除了一般形式的完全平方公式，还存在其他推广形式的完全平方公式。
例如，如果一个三次多项式可以表示为两个一次多项式的平方之差，那么可以利用完全平方公式的推广形式进行分解。
常见的推广形式包括：- 差平方公式：(a-b)² = a² - 2ab + b²-完全平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)- 三次平方差公式：a³ - b³ = (a-b)(a² + ab + b²)5.完全平方公式的相关例题：下面列举几个常见的完全平方公式的例题，以进一步说明其应用：例题1：求解方程x²+6x+9=0的解。
解：将方程转化为完全平方公式的形式：(x+3)²=0。
由此可得，x+3=0，所以x=-3例题2：将多项式x²+4x+4分解为两个一次多项式的乘积。
14.2.2完全平方公式(第一课时)
: “练”公式，学以致用
随堂练习：我自信 我成功
1. (4m+ n ) 2
2. (-4m - n )23.(源自2a+-1
2
)
2
4. (2a - 0.5)2
(1) (a+b)2与(-a-b)2相等吗? (2) (a-b)2与(b-a)2相等吗?
利用完全平方公式计算
(1) 1022
(2)992
中考链接
( 1 ) （ 3 x + 2 y ) 2 = 99x22 + 1 2 x y + 4 y 2 ( 2 ) ( 5 m - 4 n ) 2 = 2 5 m 2 - 4 0 m n ++1166nn22 (3) (4a+3b) 2=16a2 ++2244aabb +9b2 ( 4 ) ( 2 x - 8 y ) 2 = 4 x 2 --3322xxyy + 6 4 y 2
判断正误
判断下列各题是否正确，若错误加以改正：
(1) (2a+1)2＝4a2 +1+4a 千万不要漏项哦！
(2) (2a−1)2＝（2a）2−4a+1 此时记得加括号
（3）(3x−y)2＝9x2−y2
(a-b)2≠a2-b2
（4）(3x+2)2＝9x2+12x+4
“练”公式，学以致用
在阴影部分填一个式子，使等式成立：
图形验证公式
计算下图中红色部分的面积
b
b
a a
ab
b a
“说”公式，提炼提升
(a+b)2 =a 2+2ab+b2 (a- b)2 =a2-2ab+b2
完全平方公式
＝(2016－2015)2＝1.
方法总结
本题要熟练掌握完全平方公式的变式： x2＋y2＝(x－y)2＋2xy＝(x+y)2－2xy,(x－y)2＝(x+y)2 －4xy.
当堂练习
1.运用乘法公式计算(a-2)2的结果是（ A ） A．a2-4a+4a-4
2.下列计算结果为2ab－a2－b2的是( D )
A．(a－b)2
B．(－a－b)2
C．－(a＋b)2 D．－(a－b)2
3.运用完全平方公式计算: (1) (6a+5b)2=_3_6_a_2_+_6_0_a_b_+_2_5_b_2_； (2) (4x-3y)2=__1_6_x_2_-_2_4_x_y+__9_y_2 _ ； (3) (2m-1)2 =___4_m_2_-4_m__+_1_____； (4)(-2m-1)2 =__4_m_2_+_4_m__+_1_____.
b有什么关系？它的符号与什么有关？
想一想：下面各式的计算是否正确？如果不正确， 应当怎样改正？
(1)(x+y)2=x2 +y2 (2)(x -y)2 =x2 -y2
×
(x +y)2 =x2+2xy +y2
×
(x -y)2 =x2 -2xy +y2
(3) (-x +y)2 =x2+2xy +y2 × (-x +y)2 =x2 -2xy +y2 (4) (2x+y)2 =4x2 +2xy +y2 × (2x +y)2 =4x2+4xy +y2
完全平方公式优秀教案
完全平方公式【课时安排】2课时【第一课时】【教学目标】（一）知识与技能：理解完全平方公式的本质，并会运用公式进行简单的计算；了解完全平方公式的几何背景。
（二）过程与方法：经历探索完全平方公式的过程，并从推导过程中，培养学生观察、发现、归纳、概括、猜想等探究创新能力，发展逻辑推理能力和有条理的表达能力，培养学生的数形结合意识。
（三）情感与态度：体验数学活动充满着探索性和创造性，并在数学活动中获得成功的体验与喜悦，树立学习的自信心。
【教学重难点】完全平方公式及其应用。
【教学过程】（一）前置诊断，开辟道路师：上一节课，我们学习了平方差公式，知道了应用平方差公式可以进行某些多项式乘法的简便运算。
那位同学能说一下平方差公式是什么？它的结构特征是什么？生：（积极踊跃，争先恐后）生：平方差公式：（a+b）（a－b）=a2－b2；公式的结构特点：左边是两个二项式的乘积，即两数和与这两数差的积。
右边是两数的平方差。
师：应用平方差公式要注意什么问题？生1：弄清在什么情况下才能使用平方差公式。
生2：（补充）把两个因式中相同的部分看作a，互为相反的部分看作b。
师：很好。
还记得我们是怎样用图形解释平方差公式的吗？生：利用图形变化前后的面积相等来解释的。
从一个边长为a大正方形中割掉一个边长为b的小正方形，剩下图形的面积可以用a2－b2表示，也可以用（a+b）（a－b）表示，就可以得到：（a+b）（a－b）=a2－b2师：（出示多媒体投影，使学生数形结合起来，帮助其理解。
）师：平方差公式实质上是特殊的多项式乘法的一种简便运算，是我们由一些特殊的多项式乘法的计算中分析得到的数学规律，应用它可以进行一些数或式乘法的简便计算。
数学中，还有很多规律等待我们去探索、去发现。
（二）设问质疑，探究尝试：请同学们观察屏幕上两个算式及其运算结果，你有什么发现？生：（观察、思考、交流、讨论、争相举手发表自己的发现）。
生1：我发现两个算式都是两个数和的平方，结果是三项，都有这两个数的平方。
北师大数学七下课件第1课时完全平方公式的推导及简单应用
第1课时 完全平方公式的推导及简单应用
探究问题二 完全平方公式的拓展与应用
例 3 [高频考题] 还记得完全平方公式(a＋b)2 ＝a2＋2ab＋b2 吗？当 a，b＞0 时，完全平方公式可以用图①来 说明． (1)对图②进行适当的分割，猜想出(a＋b＋c)2 的展开形式，并 给出其推导过程； (2)通过求解本题，你有哪些收获？
重难互动探究
探究问题一 完全平方公式 例 1 [高频考题] 计算：(1)(3a＋2b)2； (2)(mn－n2)2.
第a＋2b)2 ＝(3a)2＋2·3a·2b＋(2b)2 ＝9a2＋12ab＋4b2. (2)(mn－n2)2 ＝(mn)2－2·mn·n2＋(n2)2 ＝m2n2－2mn3＋n4.
[归纳总结]用图表法求解，一般用整体的面积等于各部分 的面积之和表示．这是求解与探究数学问题中常用的思路．
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第1课时 完全平方公式的推导及简单应用
探究新知
► 活动1 知识准备
计算：(1)(p＋q)(p＋q)＝__p_2_＋__2_p_q_＋__q_2_____； (2)(m＋2)(m＋2)＝__m_2_＋__4_m_＋__4_________； (3)(x－y)(x－y)＝___x_2－__2_x_y_＋__y_2___________．
图中正方形的边长为a＋b＋c， 那么面积可表示为(a＋b＋c)2， 各部分的面积之和表示为a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc， ∴(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc. (2)任几个数的和的平方，等于这几个数的平方和加上它们 两两乘积的2倍．
完全平方公式的逻辑推导与解释
完全平方公式的逻辑推导与解释完全平方公式是初中数学中常见且重要的知识点之一，它是解决一元二次方程的基础。
在学习完全平方公式时，许多同学会觉得公式的推导和原理比较抽象，不容易理解。
因此，本文将通过逻辑推导和详细解释的方式，帮助读者更好地掌握完全平方公式的含义和应用。
首先，我们来看一元二次方程的一般形式：$ax^2 + bx + c = 0$，其中 $a \neq 0$。
为了方便推导完全平方公式，我们假设方程的两根分别为 $x_1$ 和 $x_2$。
根据一元二次方程求根公式可得：$x_1, x_2 = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$接下来，我们将一元二次方程的通解表示成形如 $(x - m)(x - n) = 0$ 的完全平方形式，其中 $m$ 和 $n$ 是待定系数。
展开左边的式子可得：$x^2 - (m + n)x + mn = 0$通过比较一元二次方程和完全平方形式的系数，我们可以得到以下结论：$m + n = -\frac{b}{a}$，$mn = \frac{c}{a}$现在，我们尝试对上述两个方程进行变形，我们有：$(m + n)^2 = (-\frac{b}{a})^2$$mn = \frac{c}{a}$进一步展开第一个方程可得：$m^2 + 2mn + n^2 = \frac{b^2}{a^2}$将 $mn = \frac{c}{a}$ 代入可得：$m^2 + 2(\frac{c}{a}) + n^2 = \frac{b^2}{a^2}$化简即可得到完全平方公式：$(m + n)^2 = m^2 + 2mn + n^2 = \frac{b^2}{a^2} + 4\frac{c}{a}$根据完全平方公式的推导过程，我们可以进一步解释完全平方公式的含义。
在一元二次方程中，当判别式 $b^2 - 4ac$ 大于等于 0 时，方程有实数根，此时可以利用完全平方公式将方程化为完全平方形式，从而求得方程的解。
完全平方公式的深入理解与应用
完全平方公式的深入理解与应用完全平方公式是初中数学中重要的内容之一，对于学生来说，充分理解并灵活运用完全平方公式是提高解题效率和准确性的关键。
本文旨在通过深入探讨完全平方公式的概念、推导过程及应用技巧，帮助学生更好地掌握这一数学工具。
1. 完全平方的定义首先，我们来回顾一下完全平方的定义。
所谓完全平方，是指一个数等于某个数的平方，即能找到一个整数使得这个数等于这个整数的平方。
比如，4就是一个完全平方，因为4=2²。
在代数表达中，完全平方有一个明确的表达形式：(a + b)² = a² + 2ab + b²。
这个表达形式就是完全平方公式，也是我们接下来要深入探讨的内容。
2. 完全平方公式的推导完全平方公式的推导是很多学生难以理解的地方，但只要掌握了一些技巧，就能轻松完成。
这里，我们以(a + b)² = a² + 2ab + b²这个完全平方为例进行推导。
首先，我们将(a + b)²展开得到：(a + b)² = (a + b)(a + b) = a(a + b) + b(a + b)。
接着，我们分别将两部分进行展开计算：a(a + b) = a² + ab，b(a + b) = ab + b²。
最后，将两部分相加得到(a + b)² = a² + 2ab + b²。
通过以上推导过程，我们可以清晰地看到完全平方公式的由来，也更加深入地理解了这一公式的含义及应用。
3. 完全平方公式的应用完全平方公式在数学中有许多应用，其中包括解方程、化简表达式、证明等等。
下面，我们以解方程为例，简要说明完全平方公式的应用技巧。
当我们遇到形如 x² + 6x + 9 = 0 的方程时，可以利用完全平方公式求解。
首先，我们发现9可以写成3²，也就是(x + 3)² = 0。
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a ，所以它的面积是_______ a2 部分的正方形边长是____ ；另一个小
2 b b 正方形的边长是____，所以它的面积是____；另外两个长方形
a ，宽都是____ b ，所以每个长方形的面积都是____ ab 的长都是____ a2＋2ab＋b2 ；所以这四个图形的面积之和为________________ ．
＝a2＋2ab＋b2 吗？当 a，b＞0 时，完全平方公式可以用图①来 说明． (1)对图②进行适当的分割，猜想出(a＋b＋c)2 的展开形式，并 给出其推导过程； (2)通过求解本题，你有哪些收获？
第1课时
完全平方公式的推导及简单应用
[解析] (1)画出边长为a＋b＋c的正方形，表示出整体的面
积和各部分的面积之和，让它们相等即可；(2)可得到多个数和
完全平方公式的推导及简单应用
重难互动探究
探究问题一 完全平方公式
2
例 1 [高频考题] 计算：(1)(3a＋2b) ； (2)(mn－n ) .
2 2
第1课时
完全平方公式的推导及简单应用
解： (1)(3a＋2b)2 ＝(3a)2＋2·3a·2b＋(2b)2
＝9a2＋12ab＋4b2.
(2)(mn－n2)2 ＝(mn)2－2·mn·n2＋(n2)2 ＝m2n2－2mn3＋n4.
第1课时
完全平方公式的推导及简单应用
[ 归纳总结 ]完全平方公式中的字母 a，b可以是数，也可以
是单项式或多项式，中间项的符号是由左边的“和”或“差”
来确定的，可记忆为“首平方，末平方，乘积两倍在中央”．
第1课时
完全平方公式的推导及简单应用
探究问题二
例3
完全平方公式的拓展与应用
[高频考题] 还记得完全平方公式(a＋b)2
第1课时
完全平方公式的推导及简单应用
例 2 计算：(1)(x＋3y) (x－3y) ；
1 1 1 2 2 (2) m＋n m－n m －n . 2 2 4
2
2
[解析]
(1)可先逆用积的乘方的相关性质，再运用平方差
公式和完全平方公式进行计算； (2)可先用平方差公式，再用两 数差的完全平方公式．
第1课时
完全平方公式的推导及简单应用
新 知 梳 理
► 知识点 完全平方公式
[语言叙述] 两数和(或差)的平方，等于它们的平方和加上( 它们的积的2倍 ． 或减去)______________
[字母表达式] (a±b)2＝a2±2ab＋b2.
[注意 ] 上述两个公式是可以相互转化的，比如：在“两数 和的平方”公式： (a ＋ b)2 ＝ a2 ＋ 2ab ＋ b2 中，用“－ b”替换公 式中的“b”，即可得到“两数差的平方”公式：(a－b)2＝a2－ 2ab＋b2.
第1课时
完全平方公式的推导及简单应用
► 活动2
教材导学
探究完全平方公式 1．根据图1－6－1中的面积填空：
图1－6－1
第1课时
完全平方公式的推导及简单应用
a＋b ，大正方形的面积是 (1)大正方形的边长是__________ (a＋b)2 ________________ ． (2)大正方形是由两个小正方形和两个长方形组成的．阴影
的平方的简便求法．
图1－6－2
பைடு நூலகம்
第1课时
完全平方公式的推导及简单应用
解：(1)如图1－6－3所示，(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋ 2ac＋2bc.
图中正方形的边长为a＋b＋c，
那么面积可表示为(a＋b＋c)2， 各部分的面积之和表示为a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc， ∴(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc. (2) 任几个数的和的平方，等于这几个数的平方和加上它们
(3)大正方形的面积等于这四个图形的面积之和，于是就可 (a＋b)2 a2＋2ab＋b2 以得出：______________ ＝____________________ ．
第1课时
完全平方公式的推导及简单应用
2．通过以上的学习，谈谈你对两数和(差)的平方的认识． ◆ 知识链接——[新知梳理]知识点
数 学
新课标（BS） 七年级下册
第1课时
完全平方公式的推导及简单应用
探 究 新 知
► 活动1 知识准备
2＋2pq＋q2 p 计算：(1)(p＋q)(p＋q)＝_________________；
m2＋4m＋4 (2)(m＋2)(m＋2)＝___________________ ； x2－2xy＋y2 (3)(x－y)(x－y)＝_______________________ ．
两两乘积的2倍．
图1－6－3
第1课时
完全平方公式的推导及简单应用
[ 归纳总结 ] 用图表法求解，一般用整体的面积等于各部分
的面积之和表示．这是求解与探究数学问题中常用的思路．
第1课时
完全平方公式的推导及简单应用
解： (1)原式＝[(x＋3y)(x－3y)]2 ＝(x2－9y2)2＝x4－18x2y2＋81y4.
1 21 2 2 2 (2)原式＝ m －n m －n 4 4
1 2 ＝( m －n2)2 4 1 4 1 2 2 ＝ m － m n ＋n4. 16 2
第1课时
完全平方公式的推导及简单应用
[结构特征] 左边是“两个数的和或差”的平方，即为一个
二项式的完全平方，右边是一个二次三项式，其中有两项是公 式左边二项式中每一项的平方，且符号相同，另一项是左边二 项式中两项乘积的2倍，符号由公式左边的二项式的两项的符号 来确定：同号为正，异号为负．
第1课时