移动机器人运动学

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轮式移动机器人
• Swedish轮
3个自由度： 绕轮子主轴转动 绕滚子轴心转动 绕轮子和地面的接触点转动
45度Swedish轮
90度Swedish轮
存在不连续振动
连续切换轮 振动较小
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轮式障碍翻越
仅依靠摩擦力
改变重心
自适应悬挂机制
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移动机器人运动学
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移动机器人运动学
• 运动学：研究机械系统的运动方式，是实现机器人运 动控制的基础
移动机器人
轮式移动机器人
轮式移动机器人
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轮式移动机器人
• 轮子在移动机器人中最常用 • 三个轮子的移动机器人能够保证稳定平衡 • 当轮子多于三个时，需要悬挂系统保证所有轮子
与地面接触 • 轮子的个数选择依赖于应用 • 轮式机器人的重点在牵引、稳定性、机动性和控
制，平衡性不是主要问题。
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四种基本轮子类型
• 假设机器人共有N个标准轮
– N f 个固定标准轮，轮子角度向量为 f ，旋转位置向量为 f – Ns 个转向标准轮，轮子角度向量为 s ，旋转位置向量为 s
所有轮子的滚动约束为
J1(s )R( )I J2 0.
(t
)
f s
(t) (t)
J1
(t
)
J1 f
J1s (
s
)
固定标准轮 sin( ) cos( ) 常数
三轮的一些配置
• M 2机器人的瞬时转动中心在一条直线上 • M 3机器人的瞬时转动中心可在平面上任意一点
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同步驱动
• 三个轮子只提供两 个独立的滑动约束， 第三个约束依赖于 其它两个约束。
• 所有轮子由一个电 机操纵。
• 只能改变车的位置， 无法改变底盘的方 向。
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移动机器人的工作空间
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固定标准轮
• 约束：
– 沿轮子平面运动 为轮子的转动
– 沿正交于轮子平 面的运动为零
滚动约束
sin( ) cos( ) (l)cos R( )I r 0
无侧滑约束
cos( ) sin( ) l sin R( )I 0
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转向标准轮
• 转向标准轮比固定标准轮多一 个自由度，即轮子可能绕着穿 过轮子中心和地面接触点的垂 直轴旋转
• 工作空间：移动机器人在环境中可到达的可能姿态的范围 • 工作空间维度：移动机器人在环境中的自由度 • 机器人底盘的可移动度：通过改变轮速度可以控制的机器
人底盘的自由度
– 差速驱动移动机器人 移动度为2 （改变轮速度，既可以控制方向 变化率，也可以控制前后移动速度）
– 自行车底盘 移动度为1 （自行车由一个固定标准轮和一个转向 标准轮构成，改变轮速度只能改变前后速度，通过 改变转向标准轮的方向，才可以控制方向的变化）
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小脚轮
• 可以绕着垂直轴转向，但其
旋转垂直轴并通不过通设过置地面的接值，将使得任意侧向运
触点
动变得可行，即脚轮的转向动作能够使
机器人底盘发生侧移.因此，对于使用
脚轮的移动机器人来讲，给定任意的机 滚动约束(旋转垂直器轴人的底偏盘移运对平动行，于总轮是平存面的在运一动定不的起旋作用转)速
sin( ) 度co和s(转 向 速) 度(满l)足co约s 束.R称(这)I种可r以以0
• 轮子存在的约束
– 滚动约束，即轮子在相应方向发生运动时必须转动 – 无侧滑，即轮子不能在垂直于轮子平面的方向发生滑
动
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固定标准轮
• 没有可操纵的垂直转动轴，对底盘的角度固定， 只能沿着轮平面后退或者前进，并绕着地面接触 点旋转
机器人坐标系下，固定标准轮A的位姿用极坐标表示 (l, ) 轮平面相对于底盘的角度为 ，固定
通过变化 值，可以构造任意满足约束的期望运动向量 20
球轮
• 没有转动主轴，因此不存在相应的滚动或者滑动 约束，是一种全方向系统
– 其运动学描述和固定标准轮的完全相同
自由变量
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机器人运动学约束
• 脚轮、Swedish轮和球轮对机器人底盘不施加任何运动学 约束，固定标准轮和转向标准轮对机器人底盘运动学存在 运动学约束
滚动约束(旋转垂直轴的偏移对平行于轮平面的运动不起作用)
sin( ) cos( ) (l)cos R( )I r 0
无侧滑约束
轮子上的侧向力发生在A点，相对于A点的地面接触 点的偏移使得侧向移动为零的约束不再成立，要求 通过一个等量而相反的转向运动进行平衡
cos( ) sin( ) d l sin R( )I d 0
– 随动轮为脚轮，无动力 – 根据每个轮子的滚动约束和滑动约束构建 J1(s )和C1(s )
忽略脚轮的接触点，因为脚轮无动力，且可以向任意 方向移动
1 0 l
1
0
0 1
l
R(
)
I
0
J2
0
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基于约束的运动学建模
1 0 l
1
0
0 1
l
R(
)
I
0
J2
0
1 0
l
1
I R( )1 1
• 坐标系定义
– 平面全局坐标系 • 机器人姿态 I x, y, T
– 机器人局部坐标系
R R I
xR
xI
yR
R(
)
yI
cos sin 0 R( ) sin cos 0
R
I
0
0 1
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前向运动模型
• 差动驱动移动机器人
– 轮子半径为 r – 轮子到两轮中间中点P的距离为 l – 两个轮子的旋转速度分别为 1,2 – 若 r,l,,1,2 已知，则机器人在全局坐标系下的速度
– 由全方向轮构成的机器人 移动度为3 （改变轮速度，可以直接 控制移动机器人的三个自由度）
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移动机器人的工作空间
机器人能够达到各种位姿的能力
• 工作空间：移动机器人在环境中可到达的可能姿态的范围 • 工作空间维度：移动机器人在环境中的自由度 • 机器人底盘的可移动度：通过改变轮速度可以控制的机器
活动性程度代表的是轮子的速度变化对可控自由度的影响
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可操纵度
• 操纵可以对机器人底盘的姿态有影响。 • 独立可操纵的参数的数目：
s rank C1s s
• 指定 s 的范围为： 0 s 2
可操纵的标准轮减少活动性但增加可操纵性
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轮子的配置
差动驱动和小脚轮
固定轮和可操纵轮（三轮车）
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• 没有旋转垂直轴 • 相对于标准轮增加了一个自由度，
可以实现全方向的移动
滚动约束 转子的指定方向
sin( ) cos( ) (l)cos( )R( )I r cos 0
在接触点上，转子旋转所绕轴的速度分量为零
滑动约束 转子的转动是自由的，因此不存在侧向滑动约束
cos( ) sin( ) l sin( )R( )I r sin rswsw 0
机器人实现各种路径的能力 35
移动机器人的自由度
• DOF 自由度：
• DDOF 微分自由度：
• 工作空间：
– 机械臂：机械臂末端执行器可能到达位置的范围 – 移动机器人：机器人在环境中可以到达的可能姿态的范围
• 可控性
– 机械臂：在工作空间中实现从一个位姿移动到另一个位姿 的控制方式
– 移动机器人：在工作空间中的可能路径和轨迹
• 动力学的约束和影响
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移动机器人运动学
• 主要内容
– 运动学模型和约束
汽车
自行车
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活动性的程度
• 底盘的活动性是机器人运动上约束数目的函数， 而不是轮子数目的函数。
rank C1 s
C1
s
C1 f
C1s s
C1 f R I 0 C1s s R I 0
• 活动性程度
m dim N C1 s 3 rank C1 s
– 矩阵C1(βs)零空间的维数，注意0≤rank[C1(βs)]≤3 – 没有固定标准轮和可操纵标准轮时：rank[C1(βs)]=0 – 在任何方向都受约束时：rank[C1(βs)]=3
(l)cos R( )I r 0
转向标准轮 sin( ) cos( ) (l)cos R( )I r 0
随时间变化 22
机器人运动学约束
所有轮子的滑动约束为
C1(s )R( )I 0.
C1
(
s
)
C1 f
C1s (s
)
.
固定标准轮 cos( ) sin( ) 常数
• a)标准轮
– 几个自由度？
• 轮轴 • 地面接触点
• b)小脚轮
– 几个自由度？
• 轮轴 • 地面接触点 • 结合点
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四种基本轮子类型
• c)瑞典轮
– 几个自由度？
• 轮轴 • 辊轴 • 地面接触点
• d)球形轮
– 几个自由度？
• 地面接触点 • 底盘平面上自由运动
有动力的球形轮的悬挂系统技术上实现困难， 一般类似于具有动力的机械鼠标
机器人运动空间中的任何速度移动的系 无侧滑约束 轮统子上为的全侧方向向力系发生统在。A点，相对于A点的地面接触
点的偏移使得侧向移动为零的约束不再成立，要求
通过一个等量而相反的转向运动进行平衡
cos( ) sin( ) d l sin R( )I d 0
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Swedish轮
• 由固定标准轮和附在轮子周围的 转子组成
• 一个旋转，一个静止
xR (1/ 2)r1或xR (1/ 2)r2
• 同时旋转
xR r1 / 2＋r2 / 2
–
对P点在YR方向平移速度的作用
y R
0
– 对P点旋转分量的作用
• 仅右轮向前旋转，P点以左轮为中心
逆时针旋转，旋转速度为
r 1
1 2l
• 仅左轮向前旋转，P点以右轮为中心
顺时针旋转，旋转速度为
• 机器人位置表示 • 前向运动模型 • 轮子的运动学约束 • 机器人运动学约束 • 基于约束的运动学建模
– 移动机器人的工作空间
• 工作空间的概念 • 完整性 • 路径和轨迹
– 运动控制
运动作用
运动约束
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机器人位置表示
• 机器人：
– 刚体，忽略内部和轮子的关节和自由度
– 在水平面上运动，总维数为3
0
0 1
l
0
J2
0
1
R(
)1
2 0
1
1 2 0 1
0
1
J 2
0
.
0
2l 2l 25
基于约束的运动学建模 基于作用的运动学建模
1
I
R(
)1
2 0
1
1 2 0 1
0
1
J 2
0
.
2l
2l
0
I R( )1R
R(
)1
r1 r2
22 0
r1
2l
r2
l sin R( )I 0
转向标准轮 cos( ) sin( ) l sin R( )I 0
随时间变化
所有轮子的总约束表达式
J1(s C1 ( s
) )
R(
)
I
J2
0
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基于约束的运动学建模
• 差速驱动机器人（前面同一个例子）
– 两个驱动轮是固定标准轮
右轮 / 2, 左轮 / 2, 0
r 2
2
2l
I R( )1R
R(
)1
r1 r2
22 0
r1
r2
2l 2l
差动驱动机器人的运动学模13 型
轮子的运动学约束
• 假设
– 轮子的平面始终保持竖直，以及在所有情况下，轮子 和地面都只有一个接触点
– 轮子与地面在接触点上没有打滑，即轮子仅仅在纯转 动下运动，并通过接触点绕垂直轴旋转
人底盘的自由度
– 差速驱动移动机器人 移动度为2 （改变轮速度，既可以控制方向 变化率，也可以控制前后移动速度）
– 自行车底盘 移动度为1 （自行车由一个固定标准轮和一个转向 标准轮构成，改变轮速度只能改变前后速度，通过 改变转向标准轮的方向，才可以控制方向的变化）
– 由全方向轮构成的机器人 移动度为3 （改变轮速度，可以直接 控制移动机器人的三个自由度）
2l
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移动机器人的机动性
• 移动机器人的机动性
– 由轮子的滑动约束决定的活动性 – 操纵轮子所附加的自由度
• 三个轮子足够轮式机器人实现静态稳定
– 附加的轮子需要同步
• 移动机器人的机动性程度
– 活动性的程度 m
– 可操纵度
s
– 机器人机动性 M m s
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移动机器人转动的瞬时中心
• Instantaneous center of rotation (ICR)
滚动约束
sin( ) cos( ) (l)cos R( )I r 0
无侧滑约束
cos( ) sin( ) l sin R( )I 0
转向位置的变化 对机器人当前的运动约wenku.baidu.com没有直接影响，
它对运动的影响需通过时间积分表现出来，影响车的活动性 17
小脚轮
• 可以绕着垂直轴转向，但其 旋转垂直轴并不通过地面接 触点，需附加一个参数d
xI
I
yI
I
f
l, r, ,1,2
R R I
I R 1 R
与机械臂的运动学模型 不同，轮式移动机器人 的模型为速度空间之间 的关系，类似于机械臂 的Jacobian
关键在求局部坐标系下各轮的贡献
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• 机器人沿+XR方向移动，其运动是每 个轮子的旋转速度对P点作用的叠加
– 对P点在XR方向平移速度的作用