高考数学模拟训练题目八
高考数学模拟试题精编(八)解析版
高考数学模拟试题精编(八)(考试用时：120分钟分值：150分)注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，把答题卡上对应题目的答案标号填在表格内．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z满足z·i＝2＋i，其中i为虚数单位，则z＝()A．1＋2i B．1－2iC．－1＋2i D．－1－2i2．记集合A＝{x|log2(x－1)＜2}，A∩N＝B，则B的元素个数为()A．2B．3C．4D．53．已知sin2α＝－14，则sin()A．18B．38C．158D．584．已知向量a＝(m－1，－3)，b＝(2，－m)，则“m＝3”是“a∥b”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．现有4份不同的礼物，若将其全部分给甲、乙两人，要求每人至少分得1份，则不同的分法共有()A．10种B．14种C．20种D．28种6．已知x1，x2是函数f(x)＝tan(ωx－φ)(ω＞0，0＜φ＜π)的两个零点，且|x1－x 2|的最小值为π3，若将函数f (x )的图象向左平移π12个单位长度后得到的图象关于原点对称，则φ的最大值为()A ．3π4B ．π4C ．7π8D ．π87．“堑堵”“阳马”和“鳖臑”是我国古代对一些特殊几何体的称谓．《九章算术·商功》中描述：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，其一为鳖臑．”一个长方体ABCD A 1B 1C 1D 1沿对角面斜解(图1)，得到两个一模一样的堑堵(图2)，再沿一个堑堵的一个顶点和相对的棱斜解(图2)，得到一个四棱锥，称为阳马(图3)，一个三棱锥称为鳖臑(图4).若鳖臑的体积为4，AB ＝4，BC ＝3，则在鳖臑中，平面BCD 1与平面BC 1D 1夹角的余弦值为()图1图2图3图4A ．6565B ．66565C ．6513D ．265658．已知函数f (x )是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf (x ＋1)＝(x ＋1)f (x )，则f ()A ．0B ．12C ．1D ．52二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．9．2018年到2022年某市城镇居民、农村居民年人均可支配收入比上年的增长率如下图所示．根据下图，下列说法一定正确的是()A．该市农村居民年人均可支配收入高于城镇居民B．对于该市城镇居民、农村居民年人均可支配收入比上年增长率的极差，城镇比农村的大C．对于该市城镇居民、农村居民年人均可支配收入比上年增长率的中位数，农村比城镇的大D．2022年该市城镇居民、农村居民年人均可支配收入比2021年均有所上升10．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过原点O的动直线l交抛物线于另一点P，交抛物线的准线于点Q，下列说法正确的是()A．若O为线段PQ的中点，则|PF|＝2B．若|PF|＝4，则|OP|＝25C．存在直线l，使得PF⊥QFD．△PFQ面积的最小值为211．已知函数f(x)＝ln x，则()A．当x2＞x1＞0时，f(x1)－f(x2)x1－x2＜0B．当x2＞x1＞1时，x1f(x1)＜x2f(x2)C．当x2＞x1＞e时，x2f(x1)＞x1f(x2)D．方程f(x)x＝－1有两个不同的解12．提丢斯波得定则是关于太阳系中行星轨道的一个简单的几何学规则，它是1766年由德国的一位中学老师戴维·提丢斯发现的，后来被柏林天文台的台长波得归纳成了一个经验公式来表示．数列{a n}：0.4，0.7，1，1.6，2.8，5.2，10，19.6，…表示的是太阳系第n颗行星与太阳的平均距离(以天文单位A.U.为单位).现将数列{a n}的各项乘以10后再减4，得数列{b n}，可以发现{b n}从第3项起，每一项是前一项的2倍，则下列说法正确的是()A．数列{b n}的通项公式为b n＝3×2n2B．数列{a n}的第2023项为0.3×22023＋0.4C．数列{a n}的前n项和S n＝0.4n＋0.3×2n1－0.3D．数列{nb n}的前n项和T n＝3(n－1)·2n1三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．过点P(1，1)作圆C：x2＋y2＝2的切线交坐标轴于点A，B，则PA→·PB→＝________．14．一个盒子里装有除颜色外完全相同的6个小球，盒子中有编号分别为1，2，3，4的红球4个，编号分别为4，5的白球2个，从盒子中任取3个小球(假设取到任何一个小球的可能性相同).则在取出的3个小球中小球编号最大值为4的概率是________．15．设函数f(x)－a，x≤0，x，x＞0，已知x1＜x2，且f(x1)＝f(x2)，若x2－x1的最小值为e，则a的值为________．16．若函数f(x)的定义域为R，对任意的x1，x2，当x1－x2∈D时，都有f(x1)－f(x2)∈D，则称函数f(x)是关于D关联的．已知函数f(x)是关于{4}关联的，且当x∈[－4，0)时，f(x)＝x2＋6x.则：①当x∈[0，4)时，函数f(x)的值域为________；②不等式0＜f(x)＜3的解集为________．四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin A sin B＋cos2A＋cos2B＋sin2C＝2.(1)求C；(2)若△ABC为锐角三角形，且b＝4，求△ABC面积的取值范围．18．(本小题满分12分)设数列{a n}的前n项和S n＝n(n－1)t＋2n(t≠0)，a1－1，a3－1，a13－1成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)n项和T n.19.(本小题满分12分)在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，四边形AA 1B 1B 是菱形，AB ⊥AC ，平面AA 1B 1B ⊥平面ABC ，平面A 1B 1C 1与平面AB 1C 的交线为l .(1)证明：A 1B ⊥B 1C .(2)已知∠ABB 1＝60°，AB ＝AC ＝2.l 上是否存在点P ，使A 1B 与平面ABP 所成角为30°？若存在，求B 1P 的长度；若不存在，说明理由．20．(本小题满分12分)已知斜率为3的直线l 过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦点以及点(0，－23)，椭圆C 的中心关于直线l 的对称点在直线x ＝a 2c上．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点E (－2，0)的直线m 交椭圆C 于M ，N 两点，且满足OM →·ON →＝463·1tan ∠MON(O 为坐标原点)，求直线m 的方程．21．(本小题满分12分)某新型双轴承电动机需要装配两个轴承才能正常工作，且两个轴承互不影响．现计划购置甲、乙两个品牌的轴承，两个品牌轴承的使用寿命及价格情况如下表：品牌价格(元/件)使用寿命(月)甲10007或8乙4003或4已知甲品牌使用7个月、8个月的概率均为12，乙品牌使用3个月、4个月的概率均为12.(1)若从4件甲品牌和2件乙品牌共6件轴承中，任选2件装入电动机内，求电动机可工作时间不少于4个月的概率；(2)现有两种购置方案，方案一：购置2件甲品牌；方案二：购置1件甲品牌和2件乙品牌(甲、乙两品牌轴承搭配使用).试从性价比(即电动机正常工作时间与购置轴承的成本之比)的角度考虑，选择哪一种方案更实惠？22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln (x ＋1)－ax ＋1(a ∈R ).(1)当a ＞0时，设函数f (x )的最大值为h (a )，证明：h (a )≥1；(2)若函数g(x)＝f(x)＋1x2有两个极值点x1，x2(x1＜x2)，求a的取值范围，2并证明：g(x1)＋g(x2)＜2.高考数学模拟试题精编(八)1—8ABBABABA1．A 由题意知z ＝2＋ii ＝1－2i ，所以z ＝1＋2i.故选A.2．B由A ＝{x |log 2(x －1)＜2}，得0＜x －1＜4，即A ＝{x |1＜x ＜5}，又A ∩N ＝B ，所以B ＝{2，3，4}，即集合B 中的元素个数为3.故选B.3．B sin ＝12－12cos 2＝121－cosα1＋sin 2α2＝38.故选B.4．A 由a ∥b ，得－m (m －1)＋6＝0，解得m ＝3或m ＝－2，所以“m ＝3”是“a ∥b ”的充分不必要条件．故选A.5．B解法一先分组再排列．先把4份不同的礼物分成两组，有两种情况：1份和3份，2份和2份，14C 33再把这两组礼物分给甲、乙两人，有A 22种分法．所以不同的分法共有14C 33·A 22＝×12＝14(种).故选B.解法二将4份不同的礼物全部分给甲、乙两人，每人至少分得1份，有以下三种情况：(1)甲分得1份，乙分得3份，有C 14C 33种分法；(2)甲分得2份，乙分得2份，有C 24C 22种分法；(3)甲分得3份，乙分得1份，有C 34C 11种分法．所以不同的分法共有C 14C 33＋C 24C 22＋C 34C 11＝14(种).故选B.解法三在不考虑每人至少分得1份礼物的情况下，将4份不同的礼物全部分给甲、乙两人共有24＝16(种)分法，其中4份礼物全部给一人的分法有2种，所以将4份不同的礼物全部分给甲、乙两人，每人至少分得1份，不同的分法有16－2＝14(种).故选B.6．A 由题意知函数f (x )的最小正周期T ＝π3，则πω＝π3，得ω＝3，∴f (x )＝tan(3x －φ).将函数f (x )的图象向左平移π12个单位长度，得到y ＝tan 3φ＝tanx ＋π4－y ＝tan x ＋π4－的图象关于原点对称，则π4－φ＝k π2，k ∈Z ，所以φ＝π4－k π2，k ∈Z ，又0＜φ＜π，所以当k ＝－1时，φ取得最大值，最大值为3π4.故选A.7．B由D 1C 1⊥平面BCC 1，可得D 1C 1⊥BC ，D 1C 1⊥BC 1，而BC ⊥CC 1，则BC ⊥平面D 1C 1C ，可得BC ⊥CD 1，过C 作CN ⊥D 1B ，垂足为N ，过C 1作C 1M ⊥D 1B ，垂足为M (图略)，由鳖臑的体积为4，AB ＝4，BC ＝3，可得4＝13×4×12×3×CC 1，解得CC 1＝2.在直角三角形D 1C 1C 中，D 1C ＝16＋4＝25.在直角三角形BCD 1中，BD 1＝20＋9＝29.在直角三角形BCD 1中，BC 1＝4＋9＝13，CN ＝3×2529＝6529，在直角三角形BC 1D 1中，C 1M ＝4×1329＝41329，由直角三角形的射影定理可得BN ＝BC 2BD 1＝929，D 1M ＝D 1C 21D 1B ＝1629，所以MN ＝29－1629－929＝429.设〈CN →，MC 1→〉＝θ，由CC 1→＝CN →＋NM →＋MC 1→，所以CC 1→2＝(CN →＋NM →＋MC 1→)2＝CN →2＋NM →2＋MC 1→2＋2CN →·NM →＋2CN →·MC 1→＋2NM →·MC 1→＝36×529＋1629＋16×1329＋0＋2×6529×41329cos θ＋0＝4，解得cos θ＝－66565.则平面BCD 1与平面BC 1D 1夹角的余弦值为66565.故选B.8．A 当x ≠－1且x ≠0时，由xf (x ＋1)＝(x ＋1)f (x )，得f (x ＋1)x ＋1＝f (x )x ，令g (x )＝f (x )x，则g (x ＋1)＝g (x )，所以g (x )是周期为1的函数，所以2当x ＝－12时，由xf (x ＋1)＝(x ＋1)f (x )得，－12f ＝12f f (x )是偶函数，所以0，所以20，所以20232g 0.故选A.9.BCD 10.AD11.BC12.CD9．BCD对于A ，由于题图反映的是2018年到2022年该市城镇居民、农村居民年人均可支配收入比上年的增长率，因此不能得出该市农村居民年人均可支配收入高于城镇居民，故A 不正确；对于B ，通过题图可得，该市城镇居民年人均可支配收入比上年的增长率的极差大于4，而该市农村居民年人均可支配收入比上年的增长率的极差小于4，所以城镇比农村的大，故B 正确；对于C ，由题图知该市城镇居民年人均可支配收入比上年的增长率的中位数出现在2020年，小于6，该市农村居民年人均可支配收入比上年的增长率的中位数出现在2021年，大于6，所以农村比城镇的大，故C 正确；对于D ，2022年相对于2021年来说，该市城镇居民、农村居民年人均可支配收入比上年的增长率虽都在下降，但都为正数，即城镇居民、农村居民年人均可支配收入仍为正增长，所以2022年该市城镇居民、农村居民年人均可支配收入比2021年均有所上升，故D 正确．综上，选BCD.10．AD由题意，得p ＝2，F (1，0)，抛物线的准线方程为x ＝－1.对于A ，O 为线段PQ 的中点，因为x Q ＝－1，所以x P ＝1，由抛物线的定义，得|PF |＝x P ＋p 2＝2，故A 正确；对于B ，由抛物线的定义，得|PF |＝x P ＋p2＝x P ＋1＝4，所以x P ＝3，所以y 2P ＝4x P ＝12，所以|OP |＝x 2P ＋y 2P ＝21，故B 不正确；对于C ，设a ≠0)，则k OP ＝y P x P ＝4a ，所以直线OP 的方程为y ＝4a x ，所以1所以PF →－a 24，－QF →所以PF →·QF →＝(－a )·4a ＝－2－a 22＜0，所以向量PF →与QF →不垂直，即PF 不垂直于QF ，故C 不正确；对于D ，由对C的分析可得S △PFQ ＝12×|OF |×(|y P |＋|y Q |)＝12×1|≥12×2|a |·4|a |＝2，当且仅当|a |＝4|a |，即a ＝±2时等号成立，所以△PFQ 面积的最小值为2，故D 正确．综上，选AD.11．BCf (x )＝ln x 在(0，＋∞)上单调递增，所以当x 2＞x 1＞0时，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0，A选项错误．令g (x )＝x ln x (x ＞0)，则g ′(x )＝ln x ＋1，所以当x g ′(x )＜0，g (x )单调递减；当x g ′(x )＞0，g (x )单调递增．所以当x 2＞x 1＞1时，g (x 1)＜g (x 2)，即x 1f (x 1)＜x 2f (x 2)，B 选项正确．令h (x )＝ln xx (x ＞0)，则h ′(x )＝1－ln x x2，所以当x ∈(0，e)时，h ′(x )＞0，h (x )单调递增；当x ∈(e ，＋∞)时，h ′(x )＜0，h (x )单调递减．所以x 2＞x 1＞e 时，h (x 1)＞h (x 2)，即ln x 1x 1＞ln x 2x 2，即x 2ln x 1＞x 1ln x 2，C 选项正确．h (e)＝1e ，h (1)＝0，当x ＞1时，h (x )＞0，画出h (x )的图象如图所示，由图可知h (x )＝－1有一个解，D 选项错误．故选BC.12．CDa 1＝0.4，a 2＝0.7，a 3＝1，a 4＝1.6，a 5＝2.8，a 6＝5.2，a 7＝10，a 8＝19.6，b 1＝0，b 2＝3，b 3＝6，b 4＝12，b 5＝24，b 6＝48，b 7＝96，b 8＝192，所以b n＝，n ＝1，×2n 2，n ≥2，A 选项错误．a n ＝n ≥2＝，n ＝1，×2n 2＋0.4，n ≥2，a 2023＝0.3×22021＋0.4，B 选项错误．S n ＝0.4×n ＋0.3×(1－2n 1)1－2＝0.4n ＋0.3×2n 1－0.3，C选项正确．nb n ，n ＝1，n ×2n 2，n ≥2，T n ＝6×20＋9×21＋…＋3n ×2n 2①，2T n ＝6×21＋9×22＋…＋3n ×2n 1②，①－②得－T n ＝6＋3×(21＋22＋…＋2n 2)－3n ×2n 1＝6＋3×2×(1－2n 2)1－2－3n ×2n 1＝3(1－n )·2n 1，T n ＝3(n－1)·2n 1，D 选项正确．故选CD.13．解析：因为12＋12＝2，所以点P 在圆C 上，所以PC ⊥AB .因为点P (1，1)，且圆C ：x 2＋y 2＝2的圆心为C (0，0)，所以k CP ＝1－01－0＝1，所以直线AB 的斜率k AB ＝－1，所以直线AB 的方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0，不妨设直线AB 与x 轴交点为A ，与y 轴交点为B ，则令y ＝0，得点A (2，0)，令x ＝0，得点B (0，2).所以PA→＝(1，－1)，PB →＝(－1，1)，所以PA →·PB →＝－1－1＝－2.答案：－214．解析：基本事件总数为n＝C36＝20，若编号为4的球有一个被取到，有C12·C23＝6(种)取法；若编号为4的两个球都被取到，有C13＝3(种)取法．小球编号最大值为4的基本事件数为9，所以小球编号最大值为4的概率为9 20 .答案：9 2015．解析：令f(x1)＝f(x2)＝t，由图象可知t∈(－∞，－a].∵x1＜x2，则x1－a＝t，ln x2＝t，得x1＝t＋a，x2＝e t，即x2－x1＝e t－t－a.令g(t)＝e t－t－a(t≤－a)，则g′(t)＝e t－1(t≤－a).∴当－a≤0时，即a≥0时，g′(t)≤0，则g(t)在(－∞，－a]上单调递减，∴g(t)min＝g(－a)＝e－a＋a－a＝e－a＝e，解得a ＝－1(舍去).∴当－a＞0时，即a＜0时，g′(0)＝0，∴g(t)在(－∞，0)上单调递减，在(0，－a]上单调递增，∴g(t)min＝g(0)＝e0－0－a＝e，解得a＝1－e＜0，满足题意．综上可得，a＝1－e.答案：1－e16．解析：因为f(x)是关于{4}关联的，所以若x1－x2＝4，则f(x1)－f(x2)＝4，所以f(x)在[0，4)上的图象可由f(x)在[－4，0)上的图象向右和向上各平移4个单位长度得到．①当x∈[－4，0)时，f(x)＝x2＋6x，其对称轴方程为x＝－3，f(－3)＝－9，f(－4)＝－8，当x→0时，f(x)→0，所以当x∈[－4，0)时，f(x)∈[－9，0)，故当x∈[0，4)时，f(x)∈[－5，4)，即f(x)的值域为[－5，4).②当x∈[4，8)时，f(x)∈[－1，8)，当x∈[8，12)时，f(x)∈[3，12)，所以当x∈[0，4)和x∈[4，8)时，0＜f(x)＜3有解．因为当x∈[－4，0)时，f(x)＝x2＋6x＝(x＋3)2－9，所以当x∈[0，4)时，f(x)＝(x－1)2－5，令0＜(x－1)2－5＜3，解得1＋5＜x＜1＋22，当x∈[4，8)时，f(x)＝(x－5)2－1，令0＜(x－5)2－1＜3，解得6＜x＜7.综上所述，不等式0＜f(x)＜3的解集为(1＋5，1＋22)∪(6，7).答案：[－5，4)(1＋5，1＋22)∪(6，7)17．解：(1)∵sin A sin B ＋cos 2A ＋cos 2B ＋sin 2C ＝2，∴2－sin 2C ＝sin A sin B ＋(1－sin 2A )＋(1－sin 2B )，∴sin 2A ＋sin 2B －sin 2C ＝sin A sin B ，(4分)由正弦定理得a 2＋b 2－c 2＝ab ，又由余弦定理得a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ，∴cos C ＝12，∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3.(2)∵△ABC 是锐角三角形，A ＋B ＋C ＝π，C ＝π3，∴A ＋B ＝2π3，0＜B ＜π2，0＜2π3－B ＜π2，∴π6＜B ＜π2.(6分)∵b ＝4，由正弦定理得4sin B ＝asin∴a∴S △ABC ＝12ab sin C ＝4343×32cos B ＋12sin B sin B ＝6tan B ＋2 3.(8分)∵π6＜B ＜π2，∴tan B ＞33，∴23＜S △ABC ＜83.故S △ABC 的取值范围是(23，83).(10分)18．解：(1)由已知有a1＝S1＝2，当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝n(n－1)t＋2n－[(n－1)(n－2)t＋2(n－1)]＝2tn－2t ＋2，(2分)当n＝1时上式也适合，所以a n＝2tn－2t＋2.因为a1－1，a3－1，a13－1成等比数列，所以(a3－1)2＝(a1－1)(a13－1)，(4分)即(4t＋1)2＝1×(24t＋1)，得t＝1，所以数列{a n}的通项公式为a n＝2n.(7分)(2)由(1)知S n＝n(n＋1)，(8分)所以S n＋S n＋1S n S n＋1＝1S n＋1S n＋1＝1n(n＋1)＋1(n＋1)(n＋2)＝1n－1n＋1＋1n＋1－1n＋2＝1n－1n＋2，(9分)T n…(11分)＝11＋12－1n＋1－1n＋2＝32－2n＋3(n＋1)(n＋2).(12分)19．解：(1)证明：因为四边形AA1B1B为菱形，所以A1B⊥B1A，因为平面AA1B1B⊥平面ABC，平面AA1B1B∩平面ABC＝AB，AC⊂平面ABC，AC⊥AB，所以AC⊥平面AA1B1B.(2分)又A1B⊂平面AA1B1B，所以A1B⊥AC，又B1A∩AC＝A，B1A，AC⊂平面B1AC，所以A1B⊥平面B1AC，又B1C⊂平面B1AC，所以A1B⊥B1C.(5分)(2)l 上不存在点P ，使A 1B 与平面ABP 所成角为30°.理由如下：取棱A 1B 1的中点D ，连接AD ，因为∠ABB 1＝60°，所以∠AA 1B 1＝60°.又AA 1＝A 1B 1，所以△AA 1B 1为等边三角形，所以AD ⊥A 1B 1.因为A 1B 1∥AB ，所以AD ⊥AB ，又平面AA 1B 1B ⊥平面ABC ，平面AA 1B 1B ∩平面ABC ＝AB ，AD ⊂平面AA 1B 1B ，所以AD ⊥平面ABC ，且AB ，AC ⊂平面ABC ，所以AD ⊥AB ，AD ⊥AC .(6分)以A 为原点，以AB →，AC →，AD →方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系A xyz ，如图．则A (0，0，0)，B (2，0，0)，C (0，2，0)，A 1(－1，0，3)，B 1(1，0，3)，AC →＝(0，2，0)，AB →＝(2，0，0)，AB 1→＝(1，0，3).(7分)因为AC ∥A 1C 1，又AC ⊄平面A 1B 1C 1，A 1C 1⊂平面A 1B 1C 1，所以AC ∥平面A 1B 1C 1，又AC ⊂平面AB 1C ，平面A 1B 1C 1∩平面AB 1C ＝l ，所以AC ∥l .(8分)假设l 上存在一点P ，使A 1B 与平面ABP 所成角为30°，连接AP ，BP ，设B 1P →＝λAC→(λ∈R )，(9分)则B 1P →＝(0，2λ，0)，所以AP →＝AB 1→＋B 1P →＝(1，2λ，3).设n ＝(x ，y ，z )为平面ABP 的法向量，·AB→＝0，·AP→＝0，x＝0，＋2λy＋3z＝0，令y＝－3，则z＝2λ，可取n＝(0，－3，2λ).(10分)又A1B→＝(3，0，－3)，所以sin30°＝|cos〈n，A1B→〉|＝|n·A1B→||n||A1B→|＝|23λ|3＋4λ2·23＝12，(11分)即3＋4λ2＝4λ2，此方程无解，因此l上不存在点P，使A1B与平面ABP所成角为30°.(12分)20．解：(1)由题意得，直线l的方程为y＝3x－23①，过坐标原点且垂直于l的直线方程为y＝－33x②，由①②，可得x＝32.因为椭圆C的中心O(0，0)关于直线l的对称点在直线x＝a2c上，所以a2c＝2×32＝3.(2分)因为直线l过椭圆C的焦点，所以易得该焦点的坐标为(2，0)，所以c＝2，a2＝6，b2＝2，故椭圆C的方程为x26＋y22＝1.(5分)(2)因为OM→·ON→＝463·1tan∠MON，所以|OM→|·|ON→|·cos∠MON＝463·cos∠MONsin∠MON，显然OM→·ON→≠0，所以cos∠MON≠0，所以|OM→|·|ON→|·sin∠MON＝463，所以S△OMN＝263.(7分)当直线m 的斜率存在时，设直线m 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入椭圆C 的方程并整理得，(3k 2＋1)x 2＋12k 2x ＋12k 2－6＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－12k 23k 2＋1，x 1x 2＝12k 2－63k 2＋1，所以|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝26(1＋k 2)3k 2＋1.(9分)易得点O 到直线m 的距离d ＝|2k |1＋k2.所以S △OMN ＝12·|MN |·d ＝263，所以|MN |·d ＝463，即26(1＋k 2)3k 2＋1·|2k |1＋k 2＝463，解得k ＝±33，此时直线m 的方程为y ＝±33(x ＋2).(11分)当直线m 的斜率不存在时，直线m 的方程为x ＝－2，将x ＝－2代入x 26＋y 22＝1，得y ＝±63，所以|MN |＝263，得S △OMN ＝12|MN |·|OE |＝263，满足条件．故直线m 的方程为y ＝±33(x ＋2)或x ＝－2.(12分)21．解：(1)电动机可工作时间不少于4个月共有3种情况：①装入2件甲品牌，概率为C 24C 26＝25；②装入一件甲品牌，一件乙品牌，且乙品牌的使用寿命为4个月，概率为C 14×C 12C 26×12＝415；③装入2件乙品牌，且2件的使用寿命均为4个月，概率为C 22C 26×12×12＝160.(5分)所以电动机可工作时间不少于4个月的概率为25＋415＋160＝4160.(6分)(2)若采用方案一，设电动机可工作时间为X (单位：月)，则X 的可能取值为7，8，P(X＝8)＝12×12＝14，P(X＝7)＝1－P(X＝8)＝34，所以X的分布列为X78P 3414所以E(X)＝7×34＋8×14＝294，它与购置轴承的成本之比为E(X)1000＋1000＝298000.(8分)若采用方案二，设2件乙品牌轴承的使用寿命之和为Y(单位：月)，甲品牌轴承的使用寿命为M(单位：月)，电动机可工作时间为Z(单位：月)，则Y的可能取值为6，7，8，P(Y＝6)＝C22×12×12＝14，P(Y＝7)＝C12×12×12＝12，P(Y＝8)＝C02×12×12＝14.Z的可能取值为6，7，8，P(Z＝6)＝P(Y＝6)＝14，P(Z＝7)＝P(M＝7，Y≥7)＋P(M＝8，Y＝7)＝12×34＋12×12＝58，P(Z＝8)＝P(M＝Y＝8)＝12×14＝18，所以Z的分布列为Z678P 145818所以E(Z)＝6×14＋7×58＋8×18＝558，它与购置轴承的成本之比为E(Z)1000＋400＋400＝112880.(11分)因为298000＜112880，所以从性价比的角度考虑，方案二更实惠．(12分)22．解：(1)函数f(x)的定义域为(－1，＋∞).当a＞0时，令f′(x)＝1x＋1－a＝0，得x＝1a－1，(2分)当－1＜x＜1a－1时，f′(x)＞0；当1a－1＜x时，f′(x)＜0，所以f(x)1，1a－1，＋f(x)的最大值为h(a)＝a－ln a.h′(a)＝1－1a，当0＜a＜1时，h′(a)＜0；当a＞1时，h′(a)＞0，所以h(a)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以h(a)min＝h(1)＝1，故h(a)≥1.(4分)(2)g(x)＝f(x)＋12x2＝ln(x＋1)－ax＋1＋12x2，则g′(x)＝1x＋1－a＋x＝x2＋(1－a)x＋1－ax＋1.(5分)因为g(x)＝f(x)＋12x2有两个极值点x1，x2(x1＜x2)，所以x2＋(1－a)x＋1－a＝0有两个根x1，x2(－1＜x1＜x2)，＝(1－a)2－4(1－a)＞0，－1－a2＞－1，－1)2－(1－a)＋1－a＞0，解得a＞1.故a的取值范围为(1，＋∞).(8分)当－1＜x＜x1时，g′(x)＞0，当x1＜x＜x2时，g′(x)＜0，当x2＜x时，g′(x)＞0，所以极大值为g(x1)，极小值为g(x2)，又g′(0)＝1－a＜0，所以－1＜x1＜0＜x2，所以当x＞0时有g(x)≥g(x2)，(10分)又－x1＞0，所以g(－x1)≥g(x2)，故g(x1)＋g(x2)≤g(x1)＋g(－x1)＝ln(x1＋1)＋ln(－x1＋1)＋x21＋2.设G (x )＝ln (x ＋1)＋ln (－x ＋1)＋x 2＋2，－1＜x ＜0，则G ′(x )＝－2x1－x 2＋2x ＝2＝－2x 31－x 2＞0.所以G (x )在(－1，0)上单调递增，当x →0时，G (x )→2，则G (x )＜2，所以g (x 1)＋g (x 2)＜2.(12分)。
2023年高考数学模拟试题（八）参考答案
2023年高考数学模拟试题(八)参考答案 一㊁选择题1.C 2.D 3.D 4.A 5.A 6.C 7.D 8.D 9.B10.D 提示:令O A ң=a ,O B ң=b ,O C ң=c ,依题意,c o s øA O B =a ㊃b |a ||b |=12㊂而0ɤøA O B ɤπ,则øA O B =π3㊂又<a ,c >+<b ,c >=π3,则点C 在半径为1,所含圆心角为π3图1的扇形A O B 的弧A B 上,如图1㊂因m ,n ɪR ,则|m a -n b |表示直线O A 上的点Q 与直线O B 上的点P 之间的距离,|m a -c |,|n b -c |分别是点C 到点Q ,P 的距离,|m a -n b |+|m a -c |+|n b -c |表示三点Q ,P ,C 两两距离的和㊂作点C 关于直线O A 的对称点N ,关于直线O B 的对称点M ,连接MN ,分别交O A ,O B 于点F ,E ,连接F C ,E C ,O N ,O M ,则F C =F N ,E C =E M ㊂令øC O A =θ,则øM O B =øC O B =π3-θ,øA O N =θ,于是øN O M =2π3㊂而O N =O M =O C =1,由余弦定理得MN =3,由几何性质知CQ +Q P +C P ȡMN ,从而得|m a -n b |+|m a -c |+|n b -c |=C Q +Q P +C P ȡMN =3㊂11.B 提示:由g x 2=x 2(l n x 2+1)>0,解得x 2>1e,令g 'x =2+l n x >0,则函数g x 在1e2,+ɕ上单调递增㊂由fx 1 =e xx 1+1 >0,解得x 1>-1,则fx =e xl n e x+1 =g (e x)㊂由f x 1 =g x 2 >0得g (e x )=g (x 2)㊂由e x >1e,x 2>1e ,得x 2=e x(x 1>-1),故x 2x 1=e xx 1㊂令h (x )=e xx (x >-1),则h '(x )=e x(x -1)x2㊂当-1<x <0,0<x <1时,h '(x )<0,当x >1时,h '(x )>0,即函数h (x )在(-1,0),(0,1)上单调递减,在(1,+ɕ)上单调递增,所以当x >0时,h (x )m i n =h (1)=e ,且x ң+ɕ,h (x )ң+ɕ,h (-1)=-1e,x ң0-,h (x )ң-ɕ,故h (x )ɪ-ɕ,-1eɣ[e ,+ɕ),即x 2x 1ɪ-ɕ,-1eɣ[e ,+ɕ),显然选项B 符合要求㊂12.C 提示:由题意得p =2,y 2=4x ,由A M 2+A N2=A F2=4,得A M 2+A N2ȡ2A M ㊃A N ,所以A M ㊃A N ɤ2,所以四边形A M F N 面积的最大值为2,故A 正确㊂由A M2+A N2=A M +A N 2-2A M㊃A N ,得A M +A N 2ɤ8,即A M +A N ɤ22,所以四边形A M F N 周长的最大值为42,故B 正确㊂设直线B C 的方程为x =m y +1,B x 1,y 1 ,C x 2,y 2 ,联立x =m y +1,y 2=4x ,消去x 整理得y 2-4m y -4=0,则B C =1+m2y 1-y 2=4㊃(1+m 2),同理D E =41+1m2,1B C +1D E =14m 2+1 +m 24m 2+1 =14,故C 错误㊂1B C +1|D E |ȡ21|B C |㊃1|D E |,所以|B C |㊃|D E |ȡ64,当且仅当|B C |=|D E |=8时,等号成立,此时S 四边形B D C E =12|B C |㊃|D E |ȡ32,故D 正确㊂二㊁填空题13.22 14.115.3 提示:由题意双曲线x 2a 2-y2b2=1(a >0,b >0)的两条渐近线为y =ʃbax ,由参考答案与提示高考数学 2023年7-8月y =2x +t ,y =-b ax,可得x A =-a t2a +b ,同理x B =a tb -2a ,联立y =2x +t ,y =x ,可得x M =-t ,由A M ң=MB ң,可得x M -x A =x B -x M,所以x A +x B =2x M ,即-a t b +2a +a tb -2a=-2t ,整理得b 2a 2=2,所以e =1+b2a2=3㊂16.6π 三、解答题17.(1)由正弦定理得(a +c )(a -c )=b (a -b ),即a 2+b 2-c 2=a b ,由余弦定理得øC =π3㊂(2)由øC A B =øA D B =θ,得øC A D =θ-π3,øB =2π3-θ,øB A D =π3㊂所以S 1S 2=12b ㊃A D ㊃s i n øC A D 12c ㊃A D ㊃s i n øB A D =b ㊃s i n øC A Dc ㊃s i n øB A D ,在әA B C中,由正弦定理得b c =s i n B s i n C ,故S 1S 2=43s i n 2π3-θ㊃s i n θ-π3=4332c o s θ+12s i n θ12s i n θ-32c o s θ=4314s i n 2θ-34c o s 2θ=13-43co s 2θ㊂又因为øC A D =θ-π3>0,øB =2π3-θ>0,所以π3<θ<2π3,所以0ɤc o s 2θ<14,所以0<S 1S 2ɤ13㊂18.设Y 表示顾客办理业务所需的时间,用频率估计概率,得Y 的分布列为表1:表1Y 12345P 0.10.40.30.10.1(1)记 第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务 为事件A ,则事件A 对应三种情形:①第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟;②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟;③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟㊂所以P (A )=P (Y =1)P (Y =3)+P (Y =3)P (Y =1)+P (Y =2)P (Y =2)=0.1ˑ0.3+0.3ˑ0.1+0.4ˑ0.4=0.22㊂(2)X 的所有可能取值为0,1,2㊂X =0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟,所以P (X =0)=P (Y >2)=0.5;X =1对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需的时间超过1分钟,或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟,所以P (X =1)=P (Y =1)P (Y >1)+P (Y =2)=0.1ˑ0.9+0.4=0.49;X =2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟,所以P (X =2)=P (Y =1)㊃P (Y =1)=0.1ˑ0.1=0.01㊂所以X 的分布列为表2:表2X 012P0.50.490.01所以E (X )=0ˑ0.5+1ˑ0.49+2ˑ0.01=0.51㊂19.(1)因为O D ʊ平面P A B ,平面C A Bɘ平面P A B =A B ,O D ⊂平面C A B ,所以O D ʊA B ㊂又O 为B C 的中点,所以D 为A C 的中点㊂又E 为P C 的中点,所以D E ʊP A ㊂又P A ⊂平面P A B ,D E ⊄平面P A B ,所以D E ʊ平面P A B ㊂(2)取B D 的中点F ,连接P F ,A F ㊂因为底面әA B C 在半圆O 上,B C 为圆O 的直径,所以A D ʅA B ㊂因为A B =A D =4,所以B D =42,所以F A =F B =F D =22㊂又P B =P D =4,所以P B 2+P D 2=B D 2,所以P B ʅP D ,所以F P =22㊂又F P 2+F B 2=P B 2,F P 2+F A 2=P A 2,F P 2+F D 2=P D 2,所以F P ʅF B ,F P ʅF A ,F P ʅF D ㊂又F A ɘF B =F ,参考答案与提示高考数学 2023年7-8月图2F A ,F B ⊂平面A B D ,所以P F ʅ平面A B D ,建立如图2所示的空间直角坐标系F -x y z ,则A (22,0,0),B (0,22,0),C (-22,-42,0),P (0,0,22),所以A B ң=(-22,22,0),B C ң=(-22,-62,0),B P ң=(0,-22,22)㊂设平面P A B 的一个法向量为n 1=(x 1,y 1,z 1),则n 1㊃A B ң=-22x 1+22y 1=0,n 1㊃B P ң=-22y 1+22z 1=0,令z 1=1,得y 1=1,x 1=1,则n 1=1,1,1 ㊂设平面C P B 的一个法向量为n 2=(x 2,y 2,z 2),则n 2㊃B C ң=-22x 2-62y 2=0,n 2㊃B P ң=-22y 2+22z 2=0,令z 2=1,得x 2=-3,y 2=1,则n 2=-3,1,1㊂设平面P A B 与平面P B C 的夹角为θ,则c o s θ=c o s <n 1㊃n 2>=n 1㊃n 2n 1n 2=-3+1+13ˑ11=3333㊂20.(1)当MN ң㊃M P ң=0时,MN =2b 2a =233㊂又a 2+b 2=4,所以a 2=3,b 2=1㊂故双曲线C 的方程为x 23-y 2=1㊂(2)当直线l 的斜率不存在时,MN =2b 2a =233,Q F =c =2,则Q FMN=3㊂当直线l 的斜率为0时,不符合题意㊂当直线l 的斜率存在且不为0时,设直线l的方程为y =k x -2 ,M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ,联立y =k x -2 ,x 23-y 2=1,消去y 整理得1-3k 2 x 2+12k 2x -12k 2-3=0,又直线l 与双曲线C 的右支交于M ,N 两点,所以k 2>13,且x 1+x 2=12k 23k 2-1,x 1x 2=12k 2+33k 2-1,M N =1+k 2㊃x 1+x 2 2-4x 1x 2=231+k 23k 2-1㊂因为y 1+y 2=k x 1+x 2-4 =4k3k 2-1,所以线段MN 的中点R 6k 23k 2-1,2k3k 2-1,所以线段MN 的垂直平分线方程为y -2k 3k 2-1=-1k x -6k23k 2-1㊂由题意可知,Q 为MN 的垂直平分线与y 轴的交点,令x =0,得y =8k3k 2-1,即Q 0,8k 3k 2-1 ,则Q F =4+8k3k 2-12=29k 4+10k 2+13k 2-1,则Q FMN =9k 2+13k 2+3=3-83k 2+3㊂因为k 2>13,所以1<3-83k 2+3<3㊂综上可得,Q FMN的取值范围为1,3 ㊂21.(1)当x >0时,f x =e x-a x -1x2>12⇒e x-x 22-a x -1>0㊂令F x =e x-x 22-a x -1,x >0,则F 'x =e x -x -a ,F ᵡ(x )=e x-1>0,故F 'x 在(0,+ɕ)上单调递增,且F '0 =1-a ㊂当a ɤ1时,F 'x >F '0 ȡ0,此时F (x )在(0,+ɕ)上单调递增,所以F x >F 0 =0,原不等式恒成立㊂当a >1时,F '0 =1-a <0,F 'a =e a -2a ,令g a =e a-2a ,a >1,则g 'a =e a-2>e -2>0,所以g a 在1,+ɕ 上单调递增,所以g a >g 1 =e-2>0,即当a >1时,F 'a =e a-2a >0,所以存在x 0ɪ0,a ,使得F 'x 0 =0,当x ɪ(0,x 0)时,F 'x <0,F (x )单调递减,此时F (x )<F (0)=0,不合题意㊂综上所述,a 的取值范围为-ɕ,1 ㊂参考答案与提示高考数学 2023年7-8月(2)由(1)可知a =1㊂当x ɪ0,+ɕ 时,2f x>1,由x 1=14得e x=2fx 1 >1,即x 2>0㊂由ex=2f x n,可得x n >0,而e x -1=e 14-1,又e -324=e -8116<0,即e 14<32,则e x -1=e 14-1<12㊂由2ne x -1 <1⇒e x -1<12n,只需证ex-1<12e x-1 ⇒2f x n -1<12e x -12n ɪN *,当x >0时,2f (x )-1<12e x -12⇒(x 2-4)e x +x 2+4x +4>0⇒(x -2)(x +2)e x+(x +2)2>0⇒x -2 exx +2+1>0㊂令h x=x -2 exx +2+1,x >0,则h 'x =x 2exx +2 2>0恒成立,故h x 在(0,+ɕ)上单调递增,h x >h 0 =0,则当x >0时,恒有x -2x +2㊃e x+1>0㊂而x n >0,故2f x n-1<12e x -12成立,即不等式e x-1<12(e x -1)成立,因此e x -1<12(e x -1)<122(e x-1)< <12n (e x-1)<12n +1成立㊂又当n =1时,不等式也成立,故e x -1<12nn ɪN *成立㊂22.(1)由曲线C 的极坐标方程ρ=4s i n θ,得ρ2=4ρs i n θ,化为直角坐标方程为x 2+y 2-4y =0㊂由直线l 的参数方程x =1+12t ,y =3+32t ,消去参数t 得y =3x ,故直线l 的极坐标方程为θ=π3ρɪR ㊂(2)将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程,可得1+12t2+3+32t2-43+32t=0,整理得t 2+4-23 t -43+4=0㊂设点A ,B 对应的参数分别为t 1,t 2,由韦达定理得t 1+t 2=23-4,t 1t 2=-43+4,故|M B ||M A |+|M A ||M B |=t 1t 2+t 2t 1=t 1+t 2 2-2t 1t 2t 1t 2=23-4 2-2-43+443-4=33-12㊂23.(1)若a =3,则f (x )=|x -3|+2|x +1|㊂当x ɤ-1时,f (x )=3-x -2(x +1)=1-3x >5,解得x <-43;当-1<x <3时,f (x )=3-x +2(x +1)=x +5>5,解得0<x <3;当x ȡ3时,f (x )=x -3+2(x +1)=3x -1>5,解得x ȡ3㊂综上可得,不等式f (x )>5的解集为-ɕ,-43ɣ(0,+ɕ)㊂(2)由题意g (x )=f (x )-|x +1|=|x -a |+2|x +1|-|x +1|=|x -a |+|x +1|ȡ|(x -a )-(x +1)|=|a +1|㊂因为a >0,所以g (x )m i n =a +1=M ,又因为b +c =M -a ,所以b +c =1,则b +c +1=2㊂因为b >0,c >-1,所以c +1>0,所以1b +1c +1=12㊃b +c +1b +b +c +1c +1=12㊃1+c +1b +b c +1+1ȡ12㊃2+2c +1b ㊃b c +1=2,当且仅当b =c +1,即b =1,c =0时,等号成立,所以1b +1c +1ȡ2成立㊂(责任编辑 王福华)参考答案与提示 高考数学 2023年7-8月。
高考数学模拟试题八套
2022年新高考数学模拟卷（1）题型：8单选+4多选+4填空+6解答题，共22题时间：120分钟满分150分一、单选题：（每小题5分，共8小题，满分40分）1．已知()22i z z +=，则z 的虚部为（）A ．1B ．－1C ．iD ．－i2．若集合{}2Z |340A x x x =∈--<，{B x x =>，则A B = （）A ．()1,4-B ．)4C ．{}2,3D ．{}33．如图（1）为某省2016年快递业务量统计表，图（2）某省2016年快递业务收入统计表，对统计图下列理解错误的是A ．2016年1～4月业务量最高3月最低2月，差值接近2000万件B ．2016年1～4月业务量同比增长率均超过50％，在3月最高，和春节蛰伏后网购迎来喷涨有关C ．从两图中看，增量与增长速度并不完全一致，但业务量与业务的收入变化高度一致D ．从1～4月来看，业务量与业务收入量有波动，但整体保持高速增长4．已知实数0x >,0y >，则“224x y +≤”是“1xy ≤”的（）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知点()11,A x y 在函数cos y x x =+的图象上，点()22,B x y 在函数5y =的图象上，则||AB uu u r的最小值为（）A ．2B ．5C ．4D ．36．我国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.把以上文字写成公式，即S =（其中S 为三角形的面积，a ，b ，c 为三角形的三边）.在斜ABC 中，a ，b ，c 为内角A ，B ，C 所对应的三边，若(cos )=a c B C ，且sin a C B =，则ABC 的面积最大时，B =（）A ．56πB ．23πC ．3πD ．6π7．已知函数()cos |sin |f x x x =-，那么下列命题中假命题是（）A ．()f x 是偶函数B ．()f x 在[,0]π-上恰有一个零点C ．()f x 是周期函数D ．()f x 在[,0]π-上是增函数8．如图，平面四边形ACBD 中，,2,AB BC AB BC ABD ⊥=△为等边三角形，现将ABD △沿AB 翻折，使点D移动至点P ，且PB BC ⊥，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（）A ．8πB ．6πC ．4πD ．π3二、多选题9．在6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的，下列说法正确的是（）A ．二项式系数和为64B ．常数项为60C ．二项式系数和为1D ．各项系数和110．已知,m n 是两条不重合的直线，αβγ，，是三个互不重合的平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是（）A ．若//,//,,m n m n ββα⊂，则//αβB ．若,,,αγβγαβγ⊥⊥⋂=⊂m n ，则m n ⊥C ．若,,m n ααβαβ⊥⊥⋂=，则//m nD ．若//,,m m n αβαβ⊂⋂=，则//m n11．某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F 为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A （离地面最近的点）距地面m 千米，远地点B （离地面最远的点）距地面n 千米，并且F A B 、、三点在同一直线上，地球半径约为R 千米，设该椭圈的长轴长、短轴长、焦距分别为222a b c 、、，则A ．a c m R -=+B ．a c n R +=+C ．2a m n =+D．b =12．把方程1169x x y y+=-表示的曲线作为函数()y f x =的图象，则下列结论正确的有（）A ．()y f x =的图象不经过第一象限B ．()f x 在R 上单调递增C ．()y f x =的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为3D ．函数()()43g x f x x =+不存在零点三、填空题13．若曲线e ln =-x y a x 在1x =处的切线平行于x 轴，则=a ___________.14．已知数列{}n a 满足142n na a +=-且14a =，n S 为数列{}n a 的前项和，则2020S =__________.15．将学号为1~6的六名大学生全部安排到4所中学教育实习，若每所中学都有大学生教育实习，且学号为1，2的两名学生要安排在同一所中学，学号为5，6的两名学生不能安排在同一所中学，则不同的安排方法共有______种.16．如图，用平行于母线的竖直平面截一个圆柱，得到底面为弓形的圆柱体的一部分，其中M 、N 为弧 EF、 GH 的中点，120EMF ∠=︒6EG +=，当几何体的体积最大值时，该柱体的高为______.四、解答题17．在①0n S >，2234a a -=，②数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前3项和为6，③0n a >且1a ，2a ，42a +成等比数列这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解.已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，11a =，___________.(1)求n a ；(2)设()1223n n n a b n a +=+，求数列{}n b 的前n 项和n T .注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.18．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若b =2，且cos 24a c C =-．(1)求角B 的大小；(2)若ABC 是锐角三角形，求ABC 面积的取值范围．19．在如图所示的多面体AFDCBE 中，AB ⊥平面BCE ，////AB CD EF ，BE EC ⊥，4AB =，2EF =，24EC BE ==．(1)在线段BC 上是否存在一点G ，使得//EG 平面AFC ？如果存在，请指出G 点位置并证明；如果不存在，请说明理由；(2)当三棱锥D AFC -的体积为8时，求二面角D AF C --的余弦值．20．2022年2月1日是春节，百节年为首，春节是中华民族最隆重的传统佳节，它不仅集中体现了中华民族的思想信仰、理想愿望、生活娱乐和文化心理，而且还是祈福攮灾、饮食和娛乐活动的狂欢式展示．为调查某地从外地工作回来过年的市民（以下称为“返赣人员”）人数情况，现对某一区域的居民进行抽样调查，并按年龄（单位：岁）分成五组，得到如图所示的频率分布直方图，其中年龄在[20,25)内的人数为10．(1)请根据样本数据补充完成22⨯列联表，并判断是否有99.9%的把握认为是否是从外地回来过年与性别相关；返赣人员本地人员合计男15女1040合计(2)据了解，该地区今年返赣人员占14．现从该社区居民中随机抽取3人进行调查，记X 为这3人中今年是返赣人员的人数，求X 的分布列与数学期望．参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．参考数据：()20P K k ≥0.100.050.0100.0010k 2.7063.8416.63510.82821．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的短轴长为2设点()(),00,M m m m a ≠≠±是x 轴上的定点，直线l ：222a m x m+=，设过点M 的直线与椭圆相交于A 、B 两点，A 、B 在l 上的射影分别为A '、B '．(1)求椭圆C 的方程；(2)判断AA BB '⋅'是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．22．已知函数()ln 1,f x x x =+(1)求函数()f x 单调区间；(2)若1x >时，函数()f x kx >恒成立，求实数k 的取值范围．2022新高考数学模拟卷（2）题型：8单选+4多选+4填空+6解答题，共22题时间：120分钟满分150分一、单选题：（每小题5分，共8小题，满分40分）1．已知集合{}2230A x x x =-+≥，302x B x x ⎧⎫-=∈≤⎨⎬+⎩⎭Z，则A B = （）A ．{}23x x -<≤B ．{}1,0,1,2,3-C ．{}2,1,1,2,3--D ．R2．“θ为第一或第四象限角”是“cos 0θ>”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．函数()(1)e x f x x =-的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．4．已知平面向量,,a b c均为单位向量，且1a b -= ，则()()a b b c -⋅- 的最大值为（）A ．14B ．12C ．1D ．325．如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝8，AB ＝3，AD ＝8，点M 是棱AD 的中点，点N 是棱AA 1的中点，P 是侧面四边形ADD 1A 1内一动点（含边界），若C 1P ∥平面CM N ，则线段C 1P 长度的取值范围是（）A ．⎤⎦B ．[4，5]C ．[3，5]D ．⎡⎣6．如图，某伞厂生产的太阳伞的伞篷是由太阳光的七种颜色组成，七种颜色分别涂在伞篷的八个区域内，且恰有一种颜色涂在相对区域内，则不同颜色图案的此类太阳伞最多有（）.A ．40320种B ．5040种C ．20160种D ．2520种7．如图，已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，以原点为圆心，焦距为直径的圆交双曲线于A ，B 两点，线段AC 经过右焦点F ，若||||BF FC =，则该双曲线的渐近线方程为（）A ．3y x =±B ．y =C ．3y x=±D ．y =8．给出若干数字按下图所示排成倒三角形，其中第一行各数依次是1，2，3，…，2011，从第二行起每个数分别等于上一行左、右两数之和，最后一行只有一个数M ，则这个数M 是A ．2012×22009B ．2011×22010C ．2010×22011D ．2010×22007二、多选题9．已知0a b >>，则下列命题正确的有（）A ．11a b<B ．22ac bc >C ．22a b>D ．ln ln a b<10．如图所示的电路中,5只箱子表示保险匣,设5个盒子分别被断开为事件A ,B ,C ,D ,E .箱中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率,下列结论正确的是A ．A ,B 两个盒子串联后畅通的概率为13B ．D ,E 两个盒子并联后畅通的概率为130C ．A ,B ,C 三个盒子混联后畅通的概率为56D ．当开关合上时,整个电路畅通的概率为293611．关于函数()24cos 4sin cos 6f x x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，下列说法正确的是（）A ．若12,x x 是函数()f x 的零点，则12x x -是2π的整数倍B ．函数()f x 的图象关于点,16π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称C ．函数()f x 的图象与函数3216y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象相同D ．函数()f x 的图象可由232y x =的图象先向上平移1个单位长度，再向左平移3π个单位长度得到12．（多选题）如图所示，在四边形ABCD 中，1AB AD CD ===，2BD ，BD CD ⊥.将四边形ABCD 沿对角线BD 折成四面体A BCD '-，使平面A BD '⊥平面BCD ，则下列结论错误的结论是（）A ．A C BD'⊥B ．90BA C '∠=︒C ．CA '与平面A BD '所成的角为30°D ．四面体A BCD '-的体积为13三、填空题13．若(1,1),(1,2)a b ==- ，则与a b +同方向的单位向量是_______.14．已知函数()34log ,042,03xx x f x x +>⎧⎪=⎨-≤⎪⎩，则14log 9⎡⎤⎛⎫=⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦f f _____15．“熔喷布”是口罩生产的重要原材料，1吨熔喷布大约可供生产100万只口罩.2020年，制造口罩的企业甲的熔喷布1月份的需求量为100吨，并且从2月份起，每月熔喷布的需求量均比上个月增加10%.企业乙是企业甲熔喷布的唯一供应商，企业乙2020年1月份的产能为100吨，为满足市场需求，从2月份到k 月份（28k <<且k ∈N ），每个月比上个月增加一条月产量为50吨的生产线投入生产，从1k+月份到9月份不再增加新的生产线.计划截止到9月份，企业乙熔喷布的总产量除供应企业甲的需求外，还剩余不少于990吨的熔喷布可供给其它厂商，则企业乙至少要增加___条熔喷布生产线.（参考数据：81.1 2.14≈，91.1 2.36≈）16．如图所示，某工艺品可以看成是一个球被一个棱长为的中心重合），若其中一个截面圆的周长为2π，则该球的体积是______.四、解答题17．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，且sin sin sin sin A C bB C a c-=++．(1)求角A 的大小；(2)若4c =，△ABC 的面积为D 为边BC 的中点，求AD 的长度．18．已知数列{an }的各项均为正数，数列{an }的前n 项和为Sn ，2Sn =(n +1)an ，a 1=3.(1)求数列{an }的通项公式；(2)设bn =(13an +1)2n a ，求数列{bn }的前n 项和Tn .19．如图，在四棱锥V －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，24AB BC ==，E 为CD 的中点，且△VBC 为等边三角形．(1)若VB ⊥AE ，求证：AE ⊥VE ；(2)若二面角A －BC －V 的大小为30 ，求直线AV 与平面VCD 所成角的正弦值．20．某市教育局对该市普通高中学生进行学业水平测试，试卷满分120分．现从全市学生中随机抽查了10名学生的成绩，分别为78，81，84，86，86，87，92，93，96，97．(1)已知10名学生的平均成绩为88，计算其中位数和方差；(2)已知全市学生学习成绩分布服从正态分布()2,N μσ，某校实验班学生30人．①依据（1）的结果，试估计该班学业水平测试成绩在()94,100的学生人数（结果四舍五入取整数）；②为参加学校举行的数学知识竞赛，该班决定推荐成绩在()94,100的学生参加预选赛，若每个学生通过预选赛的概率为23，用随机变量X 表示通过预选赛的人数，求X 的分布列和数学期望．（正态分布参考数据：()0.6828P X μσμσ-<<+=，()220.9544P X μσμσ-<<+=）21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点(2,1)P ，离心率为2．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 不经过点P 且与C 相交于A 、B 两点，且PA PB ⊥．证明：直线l 过定点．22．已知函数()()1ln 0f x a x x x=+>．(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若存在1x ，2x 满足120x x <<，且121x x =+，()()12f x f x =，求实数a 的取值范围．2022新高考数学模拟卷（3）题型：8单选+4多选+4填空+6解答题，共22题时间：120分钟满分150分一、单选题：（每小题5分，共8小题，满分40分）1．复数2i 1i z =+-（i 表示虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点为（）A ．（－1，2）B ．（1，－2）C ．（1，2）D ．（2，1）2．设集合U =R ，(){}221x x A x -=<，{}ln(1)B x y x ==-，则图中阴影部分表示的集合为（）A ．{x |x ≥1}B ．{x |1≤x <2}C ．{x |0<x ≤1}D ．{x |x ≤0}3．已知非零向量a ，b 满足0a b ⋅= ，()()0a b a b +⋅-= ，则向量b 与向量a b - 的夹角为（）A ．4πB ．34πC ．2πD ．3π4．某经济开发区经过五年产业结构调整和优化，经济收入比调整前翻了两翻，为了更好的了解该开发区的经济收入变化情况，统计了该开发区产业结构调整前后的经济收入构成比例，得到如图所示的饼状图，则下列选项正确的是（）①产业结构调整后节能环保的收入与调整前的总收入一样多②产业结构调整后科技研发的收入增幅最大③产业结构调整后纺织服装收入相比调整前有所降低④产业结构调整后食品加工的收入超过调整前纺织服装的收入A ．②③B ．③④C ．①②③D ．①②④5．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为221x y +≤，若将军从点(2,0)A 处出发，河岸线所在直线方程为3x y +=，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为A1B ．1C ．D6．已知()()()()10210301221012131101x x x x a a x a x a x ++++++++=++++ ，则7a =（）A ．3119C B ．31128C 3C ．31129C 3D ．31110C 7．函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为A ．13(,44k k k Zππ-+∈B ．13(2,2),44k k k Zππ-+∈C ．13(,),44k k k Z-+∈D ．13(2,2),44k k k Z-+∈8．如图，α，β，γ是由直线l 引出的三个不重合的半平面，其中二面角l αβ--大小为60°，γ在二面角l αβ--内绕直线l 旋转，圆C 在γ内，且圆C 在α，β内的射影分别为椭圆1C ，2C .记椭圆1C ，2C 的离心率分别为1e ，2e ，则2212e e +的取值范围是（）A ．13,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．15,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．15,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭二、多选题9．双曲线221169x y -=与双曲线221916y x -=（）A ．焦距相等B ．实轴长相等C ．离心率相等D ．渐近线相同10．有一组互不相等．．．．的数组成的样本数据1x 、2x 、L 、9x ，其平均数为a （i a x ≠，1i =、2、L 、9），若插入一个数a ，得到一组新的数据，则（）A ．两组样本数据的平均数相同B ．两组样本数据的中位数相同C ．两组样本数据的方差相同D ．两组样本数据的极差相同11．如图，E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 各边上的点（不与各边的端点重合），且AE :EB =AH :HD =m ，CF :FB =CG :GD=n ，AC ⊥BD ，AC =4，BD =6.则下列结论正确的是（）A ．E ，F ，G ，H 一定共面B ．若直线EF 与GH 有交点，则交点一定在直线AC 上C ．AC ∥平面EFGHD ．当m=n 时，四边形EFGH 的面积有最大值612．（多选题）设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并满足条件1201920201,1a a a >>，20192020101a a -<-，下列结论正确的是（）A ．S 2019<S 2020B ．2019202110a a -<C ．T 2020是数列{}n T 中的最大值D ．数列{}n T 无最大值三、填空题13．已知函数()f x 满足()sin cos 4f x f x x π⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，则4f π⎛⎫'= ⎪⎝⎭___________.14．中国古代《九章算术》将上、下两面为平行矩形的六面体称为刍童．现有一个长宽高分别为4，3，2的长方体，将上底面绕着上、下底面中心连线为对称轴旋转90 ，得到一个刍童如图，则该刍童的外接球的表面积为__________．15．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x -+=，()()+11f x f x =-，且当()1,0x ∈-时，()()41log 2f x x =--，则172f ⎛⎫= ⎪⎝⎭______.16．如图，在矩形ABCD 中，已知4AB =，3AD =，点E ，F 分别在BC 、CD 上，且45EAF ∠=︒.设BAE θ∠=，当四边形AECF 的面积取得最大值时，则tan θ=______.四、解答题17．已知锐角ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，若)2223sin sin sin sin sin sin 2A B C A B C =+-.(1)求sin C ；(2)若3c =ABC 周长的取值范围.18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，42310n n n a S --+=.(1)求数列{}3nn a -的通项公式；(2)记23log 3n nn n n b a a =-+-，求数列{}21n b -的前n 项和n T .19．如图，在ABC 中，AB ⊥B C ，AB ＝3，BC ＝4，D ，E 分别为BC ，AC 的中点．将CDE △沿DE 折起到PDE △的位置，连接PA ，PB ，得到四棱锥P -ABDE ．(1)证明：平面PAB ⊥平面PBD ；(2)若PD ⊥BD ，F 为PB 的一个靠近点B 的三等分点，求三棱锥P -AEF 的体积．20．《中共中央国务院关于实现巩固拓展脱贫攻坚成果同乡村振兴有效衔接的意见》明确提出，支持脱贫地区乡村特色产业发展壮大，加快脱贫地区农产品和食品仓储保鲜、冷链物流设施建设，支持农产品流通企业、电商、批发市场与区域特色产业精准对接．当前，脱贫地区相关设施建设情况如何？怎样实现精准对接？未来如何进一步补齐发展短板？针对上述问题，假定有A 、B 、C 三个解决方案，通过调查发现有12的受调查者赞成方案A ，有13的受调查者赞成方案B ，有16的受调查者赞成方案C ，现有甲、乙、丙三人独立参加投票（以频率作为概率）．(1)求甲、乙两人投票方案不同的概率；(2)若某人选择方案A 或方案B ，则对应方案可获得2票，选择方案C ，则方案C 获得1票，设X 是甲、乙、丙三人投票后三个方案获得票数之和，求X 的分布列和数学期望．21．已知抛物线C ：22y px =（0p >），过点()1,1T -的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点（A 在B 的左侧），M 为线段AB 的中点.当直线l 斜率为1-时，中点M 的纵坐标为12-.(1)求抛物线C 的方程；(2)若线段AM 上存在点N ，使得2MA MN MT =⋅，求点N 的轨迹方程.22．已知函数()()1ln22e ln xf x x a x a R =--∈，且()f x ¢是函数()f x 的导函数，(1)求函数()f x 的极值；(2)当1a <时，若方程()0f x =有两个不等实根()1212,,x x x x >．（ⅰ）证明：12ln ln x x -<（ⅱ）证明：()120f x x '<．2022新高考数学模拟卷（4）题型：8单选+4多选+4填空+6解答题，共22题时间：120分钟满分150分一、单选题：（每小题5分，共8小题，满分40分）1．已知集合{}2log 1A x x =<，集合{B y y =，则A B ⋃=（）A ．()0,∞+B ．[)0,2C ．()0,2D ．[)0,+∞2．已知向量(1,)a m = ，(,1)b m =r ，则“1m =”是“//a b ”成立的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化、阴阳术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．如图，若从四个阴数和五个阳数中分别随机各选取1个数组成一个两位数，则其能被3整除的概率是（）A ．14B ．310C ．720D ．254．在复平面内，点(cos ,sin ),(sin(),cos())A B θθθθ--分别对应复数12,z z ，则21z z =（）A ．1-B ．1C ．i-D ．i5．函数()y f x =在()()1,1P f 处的切线如图所示，则()()11f f '+=（）A ．0B ．12C ．32D ．-126．下列四个函数中，在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（）A ．e x y =B ．y=tan xC ．y =ln xD ．y=x|x|7．已知432a =，254b =，1325c =，则（）A ．b a c <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b<<8．如图两个同心球，球心均为点O ，其中大球与小球的表面积之比为3:1，线段AB 与CD 是夹在两个球体之间的内弦，其中A C 、两点在小球上，B D 、两点在大球上，两内弦均不穿过小球内部.当四面体ABCD 的体积达到最大值时，此时异面直线AD 与BC 的夹角为θ，则sin2θ=（）A ．6B ．4C ．6D ．33二、多选题9．已知圆方程为：22(1)(1)4x y -+-=与直线x +my -m -2=0，下列选项正确的是（）A ．直线与圆必相交B ．直线与圆不一定相交C ．直线与圆相交且所截最短弦长为D ．直线与圆可以相切10．为了增强学生的身体素质，提高适应自然环境、克服困难的能力，某校在课外活动中新增了一项登山活动，并对“学生喜欢登山和性别是否有关”做了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，得到如图所示的等高条形统计图，则下列说法中正确的有（）附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.k3.841 6.635()2P k χ≥0.0500.010A ．被调查的学生中喜欢登山的男生人数比喜欢登山的女生人数多B ．被调查的女生中喜欢登山的人数比不喜欢登山的人数多C ．若被调查的男女生均为100人，则有99%的把握认为喜欢登山和性别有关D ．无论被调查的男女生人数为多少，都有99%的把握认为喜欢登山和性别有关11．已知函数()sin (0)3f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在[]0,π上有且只有三个零点，则下列说法中正确的有（）A ．在()0,π上存在1x ，2x ，使得()()122f x f x -=B ．ω的取值花围为710,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．()f x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D ．()f x 在(0,)π上有且只有一个最大值点12．已知函数22log (1),13()1296,322x x f x x x x ⎧-<≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若方程()f x m =有四个不同的实根1x ，2x ，3x ，4x 满足1234x x x x <<<，则下列说法正确的是（）A ．121=x xB ．12111x x +=C ．3412x x +=D ．34(27,29)x x ∈三、填空题13．若πsin cos 6αα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则tan 2α的值为______．14．一年时间里，某校高一学生经常利用课余时间参加社区志愿者公益活动，据统计，他们参加社区志愿者公益活动时长X （单位：时）近似服从正态分布()250,N σ，且()30700.7P X <<=，该校高一学生中参加社区志愿者公益活动超过30小时的人数有1275，估计该校高一年级学生人数为_____15．18世纪英国数学家辛卜森运用定积分，推导出了现在中学数学教材中柱、锥、球、台等几何体Ω的统一体积公式()146V h L M N =++（其中L ，N ，M ，h 分别为Ω的上底面面积、下底面面积、中截面面积和高），我们也称为“万能求积公式”．例如，已知球的半径为R ，可得该球的体积为()2314204π0π63V R R R =⨯+⨯+=；已知正四棱锥的底面边长为a ，高为h ，可得该正四棱锥的体积为2221104623a V h a a h ⎡⎤⎛⎫=⨯+⨯+=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦．类似地，运用该公式求解下列问题：如图，已知球O 的表面积为236πcm ，若用距离球心O 都为2cm 的两个平行平面去截球O ，则夹在这两个平行平面之间的几何体∏的体积为______3cm ．16．已知P 为抛物线24y x =上一个动点，Q 为圆()()22241x y ++-=上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是________.四、解答题17．已知函数()sin ()()232106212x f x x πωπωω=+++->.在函数()f x 的图象中，相邻两对称轴间的距离为2π.（1）当，24x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的单调递减区间；（2）将函数()y f x =的图象沿x 轴方向向右平移6π个单位长度，再把横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到函数()y g x =的图象.当，126x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()g x 的值域.18．已知正项数列{}n a 满足222320nn a a n n--=（n *∈N ）.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)令π3|sin|124n n a b =-，记{}n b 的前n 项和为n S ，求2021S .19．某学校为了解学生中男生的体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）是否存在较好的线性关系，搜集了7位男生的数据，得到如下表格：序号1234567身高x （cm ）166173174178180183185体重y （kg ）57625971677578根据表中数据计算得到y 关于x 的线性回归方程为 136.55y bx=- (1)求b；(2)已知 ()()221211ni i n ii y yR yy==-=--∑∑，且当20.9R ≥时，回归方程的拟合效果非常好；当20.80.9R <<时，回归方程的拟合效果良好．判断该线性回归方程的拟合效果是非常好还是良好，说明你的理由（2R 的结果保留到小数点后两位）．参考数据：()72152.36i i y y =-=∑20．已知正方形ABCD 的边长为2，沿BD 将ABD △折起到PBD △的位置（如图），G 为PBD △的重心，点E 在边CD 上，且2DE EC =．(1)证明：//GE 平面PBC ．(2)若GE PB ⊥，求平面GEC 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值．21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的焦距为2，左、右焦点分别为12,F F ，A 为椭圆C 上一点，且2AF x ⊥轴，1OM AF ⊥，M 为垂足，O 为坐标原点，且225OM AF =．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过椭圆C 的右焦点2F 的直线l （斜率不为0）与椭圆交于,P Q 两点，G 为x 轴正半轴上一点，且22PGF QGF ∠=∠，求点G 的坐标．22．已知22()ln ,()()f x x x x x g x x mx m m R =-++=-∈+-．(1)求()f x 在()()e,e f 处的切线方程；(2)若不等式()()f x g x >对任意1x >成立，求m 的最大整数解．2022新高考数学模拟卷（5）题型：8单选+4多选+4填空+6解答题，共22题时间：120分钟满分150分一、单选题：（每小题5分，共8小题，满分40分）1．设集合{}Z 21A x x =∈-<<，集合{B y y ==，则A B ⋂=R ð（）A ．{}21x x -<<B ．{}1-C ．{}1,0-D ．{}20x x -<<2．设232015z i i i i =++++ ，则2zi=+（）A ．1255i+B ．2155i-C ．2155i-+D ．1255i-+3．《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，书中提到：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则立夏的日影子长为：（）A ．15.5尺B ．12.5尺C ．9.5尺D ．6.5尺4．函数()f x 的图象如图所示，则函数()f x 的解析式可能为A ．()22x xf x -=-B ．2()x e ef x x-=C ．31()f x x x=-D ．1()ln ||f x x x=-5．安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有()A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种6．设0.213a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，131log 5b =，ln 5c =，则a 、b 、c 的大小关系是（）A ．a b c >>B ．c b a >>C ．b c a>>D ．a c b>>7．莆田妈祖城有一钟楼，其顶部可视为正四棱柱与正四棱锥的组合体，如图，四个大钟分布在正四棱柱的四个侧面，则每天0点至12点（包含0点，不含12点）相邻两钟面上的时针成60°角的次数是（）A ．2B ．4C ．6D ．88．已知函数()()sin 06f x A x a a A ωπ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭在区间70,3ωπ⎡⎤⎢⎥⎣⎦有三个零点1x ，2x ，3x ，且123x x x <<，若123523x x x π++=，则()f x 的最小正周期为（）A ．2πB ．23πC ．πD ．43π二、多选题9．双曲线221259x y -=和221(925)259x y k k k -=-<<-+有（）A ．相同焦点B ．相同渐近线C ．相同顶点D ．相等的离心率10．2021年开始，我省将试行“312++”的普通高考新模式，即除语文、数学，外语3门必选科目外，考生再从物理、历史中选1门，从化学、生物、地理、政治中选2门作为选考科目．为了帮助学生合理选科，某中学将高一每个学生的六门科目综合成绩按比例均缩放成5分制，绘制成雷达图．甲同学的成绩雷达图如图所示，下面叙述一定正确的是（）A ．甲的物理成绩相对他其余科目领先年级平均分最多B ．甲有2个科目的成绩低于年级平均分C ．甲的成绩从高到低的前3个科目依次是物理、化学、地理D ．对甲而言，物理、化学、生物是最理想的一种选科结果11．已知(2,4),(4,1),(9,5),(7,8)A B C D ，如下四个结论正确的是（）A ．AB AC ⊥；B ．四边形ABCD 为平行四边形；C ．AC 与BD 夹角的余弦值为145；D ．AB AC += 12．定义：在区间I 上，若函数()y f x =是减函数，且()y xf x =是增函数，则称()y f x =在区间I 上是“弱减函数”.根据定义可得（）A ．()1f x x=在()0,∞+上是“弱减函数”B ．()e xxf x =在()1,2上是“弱减函数”C ．若()ln xf x x=在(),m +∞上是“弱减函数”，则e m ≥D ．若()2cos f x x kx =+在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上是“弱减函数”，则213k ππ≤≤三、填空题13．若1cos 5θ=，则sin sin 2cos 2θθθ+=______．14．如图的几何体，是在用密度等于38/g cm 的钢材铸成的底面直径和高都等于)21cm 的圆维内部挖去一个正方体后的剩余部分(正方体四个顶点在圆锥母线上，另四个顶点在圆锥底面上)，这个几何体的质量等于_____g (对小数部分四舍五入进行取整).15．设()f x 是定义在R 上的函数，其导函数为()'f x ，若()()'1f x f x +>，()02020f =，则不等式()2019x x e f x e >+(其中e 为自然对数的底数)的解集为__________.16．已知抛物线2:4C y x =，其焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线C 上第一象限内的点，过点P 作l 的垂线，垂足为Q .当PFQ △的周长为12时，PFQ △的面积为______.四、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且122a a ==，33a =，当2n ≥时，2121n n n S S S +++=+，数列{}n b 是正项等比数列，且416b =，312b b b =.(1)求{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)把{}n a 和{}n b 中的所有项从小到大排列，组成新数列{}n c ，例如{}n c 的前7项为2，2，2，3，4，4，5，求数列{}n c的前1000项和1000T .18．如图，以坐标原点O 为圆心的单位圆与x 轴正半轴相交于点A ，点B ，P 在单位圆上，且B ⎛ ⎝⎭，AOB α∠=.（1）求4cos 3sin 5cos 3sin -+αααα的值；（2）若四边形OAQP 是平行四边形，（i ）当P 在单位圆上运动时，求点Q 的轨迹方程；（ii ）设0)2(POA θθπ∠=≤≤，点(,)Q m n ，且()f m θ=.求关于θ的函数()f θ的解析式，并求其单调增区间.19．如图，已知四棱台1111ABCD A B C D -的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，14A A =，且1A A ⊥底面ABCD ，点,P Q 分别在棱1DD 、BC 上·(1)若P 是1DD 的中点，证明：1AB PQ ⊥；(2)若//PQ 平面11ABB A ，二面角P QD A --的余弦值为49，求四面体ADPQ 的体积．20．根据我国国家统计局的数据显示，2020年12月份，中国制造业采购经理指数（PMI ）为50.3%，比上月上升0.2个百分点.以新能源汽车、机器人、医疗设备、高铁、电力装备、船舶、无人机等为代表的高端制造业突飞猛进，则进一步体现了中国制造目前的跨越式发展.已知某精密制造企业为评估某设备M 生产某种零件的性能，从设备M 生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：直径/mm 5859616263646566676869707173合计件数11356193318442121100经计算，65, 2.2μσ==，以频率值作为概率的估计值，解决以下问题：(1)为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X ，并根据以下不等式进行评判（p 表示相应事件的频率）：①()0.6826p X μσμσ-<≤+≥；②(22)0.9544p X μσμσ-<≤+≥；③(33)0.9974p X μσμσ-<≤+≥．评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足①②，不满足③，则等级为乙；若仅满足①，不满足②③，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁．试判断设备M。
高三数学第八次模拟考试试题文含解析试题
洛南中学2021届高三第八次模拟考试制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日文科数学第一卷〔选择题一共60分〕一、选择题：本大题一一共12个小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.1. 集合，，那么〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先解不等式得集合B，再根据交集定义求结果.【详解】 ;因此，选C.【点睛】集合的根本运算的关注点(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进展运算，可使问题简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．2. 在复平面内，复数所对应的点位于〔〕A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】试题分析：，选A.考点：复数的运算.3. 将函数的图像上所有的点向左平移个单位长度，再把图像上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，那么所得图像的解析式为〔〕A. B.C. D.【答案】B【解析】试题分析：函数，的图象上所有点向左平移个单位长度得，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，得，选B.考点：三角函数图像变换4. 假设两个球的外表积之比为，那么这两个球的体积之比为〔〕A. 4B. 2C.D.【答案】C【解析】【分析】根据两个球的外表积之比为对应半径平方比得半径之比，再根据两个球的体积之比为对应半径立方比得体积之比.【详解】因为两个球的外表积之比为，所以两个球的半径之比为，因此体积之比为1:23=1:8，选C.【点睛】两个球的外表积之比为对应半径平方比, 两个球的体积之比为对应半径立方比5. 假设抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，那么的值是〔〕A. 4B. 2C. -2D. -4【答案】A【解析】因为抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，所以，，应选.6. 直线被圆截得的弦长为〔〕A. 1B. 2C.D. 4【答案】D【解析】将化为，所以该圆的圆心到直线的间隔为，那么直线被圆截得的弦长为；应选D.7. 某几何体的三视图如下列图所示，且该几何体的体积是，那么主视图主视图左视图中的值是〔〕A. 2B.C.D. 3【答案】C【解析】由三视图可知该几何体为四棱锥，体积为.8. 公元263年左右，我国数学家刘徽发现，当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，由此创立了割圆术，利用割圆术刘徽得到了圆周率准确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的徽率，如下列图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，那么输出的值是〔〕参考数据：，，.A. 12B. 24C. 48D. 96【答案】B【解析】试题分析：由程序框图，值依次为：；；，此时满足，输出，应选B.考点：程序框图.【技巧点睛】解题时要注意两种循环构造的区别，这也是容易出错是地方：当型循环与直到型循环.直到型循环是“先循环，后判断，条件满足时终止循环〞；而当型循环那么是“先判断，后循环，条件满足时执行循环〞；两者的判断框内的条件表述在解决同一问题时是不同的，它们恰好相反.9. 函数的图像在点处的切线斜率的最小值是〔〕A. B. C. 1 D. 2【答案】D【解析】【分析】先求导数,根据导数几何意义得切线斜率,再根据根本不等式求最值.【详解】 ,当且仅当时取等号，因此切线斜率的最小值是2，选D.【点睛】利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进展转化.在利用根本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑〞等技巧，使其满足根本不等式中“正〞(即条件要求中字母为正数)、“定〞(不等式的另一边必须为定值)、“等〞(等号获得的条件)的条件才能应用，否那么会出现错误.10. 从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，那么以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】考点：古典概型及其概率计算公式．分析：从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，选择方法有C64=15种，且每种情况出现的可能性一样，故为古典概型，由列举法计算出它们作为顶点的四边形是矩形的方法种数，求比值即可．解：从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，选择方法有C64=15种，它们作为顶点的四边形是矩形的方法种数为3，由古典概型可知它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于=应选D．视频11. 函数且过定点，且角的终边过点，那么的值是〔〕A. B. C. 4 D. 5【答案】A【解析】因为函数过定点，所以且角的终边过点，可得，所以，，应选.12. 定义在上的函数满足，当时，，其中，假设方程恰有3个不同的实数根，那么的取值范围为〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据得周期为4，再画出图像，结合图像确定与直线恰有3个不同的位置，进而得的取值范围.【详解】因为，所以，所以周期为4，因为当时，，作示意图如下，根据图像得要使方程恰有3个不同的实数根，需，选B.【点睛】对于方程解的个数(或者函数零点个数)问题，可利用函数的值域或者最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．第二卷〔非选择题一共90分〕二、填空题(本大题一一共4个小题，每小題5分，一共20分。
2021年高三数学理科仿真模拟卷8
2021年高三数学理科仿真模拟卷8一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在括号内．1．已知全集U ＝R ，若集合M ＝{x |log 2x ＜2}，集合N ＝{x |y ＝x －3}，则M ∩(∁U N )＝( )A ．{x |0＜x ＜3}B ．{x |0＜x ≤3}C ．{x |3＜x ＜4}D ．{x |3≤x ＜4}解析：由log 2x ＜2，得0＜x ＜4，∴M ＝{0＜x ＜4}．N ＝{x |y ＝x －3}＝{x |x ≥3}，∵M ∩(∁U N )＝{x |0＜x ＜3}． 答案：A2．若(a ＋2i)i ＝b ＋i ，其中a 、b ∈R ，i 是虚数单位，则a ＋b ＝( ) A ．－1 B ．1 C ．－3 D ．3 解析：由(a ＋2i)i ＝－2＋a i ＝b ＋i ⇒⎩⎨⎧a ＝1b ＝－2⇒a ＋b ＝－1.答案：A3．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积为( )A．(16＋π)cm3 B．(16＋3π)cm3C．(20＋4π)cm3 D．(18＋π)cm3解析：由三视图知，该几何体的上部分是正四棱柱，下部分是圆柱．正四棱柱的底面边长为4 cm，高为1 cm，其体积为16 cm3；圆柱的底面半径为1 cm，高为3 cm，其体积为3π cm3.所以该几何体的体积为(16＋3π)cm3.答案：B4．若函数y＝f(10＋x)与函数y＝f(10－x)的图象关于直线l对称，则直线l的方程是( )A．y＝0 B．x＝0 C．y＝10 D．x＝10解析：y＝f(10＋x)可以看作是由y＝f(x)的图象向左平移10个单位得到的，y＝f(10－x)＝f[－(x－10)]可以看作是由y＝f(－x)的图象向右平移10个单位得到的．而y＝f(x)的图象与y＝f(－x)的图象关于y轴(即直线x＝0)对称，故函数y＝f(10＋x)与y＝f(10－x)的图象的对称轴l的方程是x＝0.答案：B5．若等比数列{a n}的前n项和为S n＝32n－1＋a，则常数a的值等于( )A．－13B．－1 C.13D．3解析：由S n＝32n－1＋a知，当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝32n－1－32n－3＝8×32n－3. 当n＝1时，a1＝S1＝3＋a.∵数列{a n}是等比数列，∴3＋a＝8×32×1－3＝83，∴a＝－13.答案：A6．已知两条不重合的直线m、n，两个互不重合的平面α、β，给出下列命题：①若m ⊥α，n ⊥β，且m ⊥n ，则α⊥β； ②若m ∥α，n ∥β，且m ∥n ，则α∥β； ③若m ⊥α，n ∥β，则m ⊥n ，则α⊥β； ④若m ⊥α，n ∥β，且m ∥n ，则α∥β. 其中正确命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析：命题①是正确的；命题②不正确，很容易找到反例；命题③也不正确，可以构造出α∥β的情形；命题④也不正确，可以构造出α⊥β的情形．答案：B 7．已知两单位向量a ，b 的夹角为60°，则两向量p ＝2a ＋b 与q ＝-3a+2b 的夹角为（ ） Ａ．６０° Ｂ．１２０° Ｃ．３０° Ｄ．１５０°答案：B8．某电视台举行大型文艺晚会，晚会演出时，为了达到更好的演唱效果，演出团从8名歌唱演员中选派4名在舞台上站成一排伴唱，其中甲、乙2人中有且仅有1人参加，则在舞台上伴唱队列的不同排列方法共有( )A ．480种B ．540种C ．840种D ．960种解析：先从甲、乙2人中选出1人，有C 12种方法，再从其他6人中选出3人，有C 36种方法，最后让选出的4人在舞台上站成一排，有A 44种排法．于是，在舞台上伴唱队列的不同排列方法共有C 12·C 36·A 44＝960(种)．答案：D9．给出如下几个结论：①命题“∃x ∈R ，sin x ＋cos x ＝2”的否定是“∃x ∈R ，sin x ＋cos x ≠2”；②命题“∀x ∈R ，sin x ＋1sin x ≥2”的否定是“∃x ∈R ，sin x ＋1sin x＜2”；③对于∀x ∈(0，π2)，tan x ＋1tan x≥2；④∃x ∈R ，使sin x ＋cos x ＝。
100所名校高考模拟金典卷(八)文科数学
100所名校高考模拟金典卷（八）文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．参考公式：样本数据12,,,n x x x 的标准差s =其中x 为样本平均数 柱体体积公式V Sh = 其中S 为底面面积，h 为高锥体体积公式13V Sh =其中S 为底面面积，h 为高球的表面积，体积公式24R S π=，334R V π=其中R 为球的半径第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．全集{}0,1,2,3,4,5U =，集合{}1,2A =，{}2|540B x Z x x =∈-+<，则()U C A B 等于A ．{}0,1,2,3B ．{}5C ．{}1,2,4D ．{}0,4,52．已知复数21i z i =-（i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数为A ．1i -+B ．1i +C ．1i -D ．1i --3．已知椭圆2221(0)4xy b b+=>过点(0,1)-，则该椭圆的离心率为A．4B．2C ．32D24．已知a 、b 、c 分别为△A 、B 、C 的对边，若2sin a B b =，且a b <，则A 等于A ．6π B ．4π C ．3πD ．23π5．已知具有线性相关关系的两个变量x 与y 之间的几组数据如下表：则y 与x 的线性回归方程 y bxa =+ 必过 A ．(1,3) B ．(1.75,4)C ．(1.5,4)D ．(3,7)6．已知命题:p x R ∀∈，1210x +->；命题:q a R ∃∈，函数2()2a f x x x=++为偶函数．则下列结论正确的是A ．命题p q ∧是真命题B ．命题p q ∧⌝是真命题C ．命题p q ⌝∧是真命题D ．命题p q ⌝∨⌝是真命题7．已知某几何体的三视图如右图所示，其中正视图，侧视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为A ．132 B ．4136π+C ．166+ D ．2132π+8．函数1,(20),(||)822s i n (),(0),3k x x y x x πϕπωϕ+-≤<⎧⎪=<⎨+≤≤⎪⎩的图像如下图，则A ．11,,226k πωϕ===B ．11,,22k ωϕ==C ．1,2,26k πωϕ=-==D ．2,2,3k ωϕ=-==9．若直线1h kx k =+-经过不等式组1,1,33,x y x y x y -≥-⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域，则k 的最大值为A ．2B ．1C ．3D ．3210．从11,,2,332⎧⎫⎨⎬⎩⎭中随机抽取一个数记为a ，从{}1,1,2,2--中随机抽取一个数记为b ，则函数xy a b =+的图像经过第三象限的概率是A ．14B ．38C ．316D ．1211．已知点P 在曲线1y e =+上，α为曲线在点P 处的切线倾斜角，则α的取值范围是A ．0,3π⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．2,23ππ⎛⎤⎥⎝⎦D ．2,3ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭12．线段A B 是圆21:260C x y x y ++-=的一条直径，的双曲线2C 以A 、B 为焦正视图 侧视图点．若P 是圆1C 与双曲线2C 的一个公共点，则||||PA PB +等于A．B．C．D．11．，底面A B C D 为正方形，13AA =．在该长方体内部的球O 与长方体的底面A B C D 以及四个侧面都相切，点E 是棱1DD 上一点，线段B E 过球心O ．若直线1B E 与平面11C C D D 所成的角5O 的表面积为A ．8πB ．6πC ．5πD ．4π第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：用钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．13．已知平面向量a 与b - 的夹角为60°，||2||2a b == ，则(2)a ab + ＝ ． 15．已知cos()63x π-=-，则sin()3x π+＝ ．15．某程序框图如右图所示，现将输出(,)x y 的值依次记为：11(,)x y ，22(,)x y ，…，(,)n n x y ，…若程序运行中输出的一个数组是(,10)x -，则该数组中的x ＝ ．16．已知在长方体1111ABC D A B C D -内接于球O ，底面A B C D 是国长为2的正方形，E 为1A A 的中点，O A ⊥平面BD E ，则球O 的表面积为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =且51217S a -=．等比数列{}n b 中，12b a =，236b S =．（1）求n a 与n b ；（2）设1n n n c a b +=，设12n n T c c c =+++ ，求n T ． 18．（本小题满分12分）某企业员工有500人参加“学雷锋”志愿活动，按年龄分组；第1组()25,30，第2组[)30,35，第3组[)35,40，第4组[)40,45，第5组[)45,50，得到的频率直方图如图所示．（1）下表是年龄的频数分布表，求正整数,a b 的值；（2）现在要从年龄较小的第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取6人，年龄在第1，2，3组的人数分别是多少？（3）在（2）的前提下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求至少有1人年龄在第3组的概率．19．（本小题满分12分）如图所示，在四棱柱1111ABC D A B C D -中，1A A ⊥底面ABCD ，12AA AB =，点P 为1DD 的中点，O 为正方形A B C D 的中心．（1）在直线1A A 上找一点Q ，使得平面1B Q D ∥平面P O A ； （2）求证：直线1B P ⊥平面P O A ． 20．（本小题满分12分）已知函数2()ax f x x b=+在1x =处取得极值2．（1）求函数()f x 的解析式；（2）m 满足什么条件时，区间(,21)m m +为函数()f x 的单调增区间．21．（本小题满分12分）已知抛物线24y x =的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点．（1）若2AF FB =，求直线A B 的斜率；（2）设点M 在线段A B 上运动，原点O 关于点M 的对称点为C ，求四边形O A C B 面积的最小ABCA 1D 1C 1B 1ODP值．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号．22．（本小题满分10分）【选修4－1：几何选讲】如图，在正△ABC 中，点D 、E 分别在边B C 、A C 上，且13B D BC =，13C E C A =，A D ，B E 相交于点P ，求证：（1）P 、D 、C 、E 四点共圆；（2）A P C P ⊥． 23．（本小题满分10分）【选修4－4：坐标系与参数方程】已知某圆的极坐标方程是2cos()604πρθ--+=，求：（1）圆的普通方程和一个参数方程；（2）圆上所有点(,)x y 中xy 的最大值和最小值． 24．（本小题满分10分）【选修4－5：不等式选讲】 已知函数()|2|f x x a a =-+．（1）若不等式()6f x ≤的解集为{}|23x x -≤≤，求实数a 的值；（2）在（1）的条件下，若存在实数n 使()()f n m f n ≤--成立，求实数m 的取值范围．100所名校高考模拟金典卷（八）文科数学参考答案一、选择题，本题考查基础知识，基本概念和基本运算能力二、填空题．本题考查基础知识,基本概念和基本运算技巧13．14．15．16．ABPED三、解答题17．150334960.doc－第11 页(共11 页)。
课标全国卷数学高考模拟试题精编(八)
课标全国卷数学高考模拟试题精编八【说明】 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分．考试时间120分钟．请将第Ⅰ卷的答案填入答题栏内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答.一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．若复数(a 2－1)＋(a －1)i(i 为虚数单位)是纯虚数，则实数a ＝( ) A ．±1 B ．－1 C ．0 D ．1 2.设全集U ＝R ，A ＝{x |2x (x －2)＜1}，B ＝{x |y ＝ln(1－x )}，则图中阴影部分表示的集合( )A ．{x |x ≥1}B ．{x |1≤x ＜2}C ．{x |0＜x ≤1}D ．{x |x ≤1}3．一个圆锥被过顶点的平面截去了较少的一部分几何体，余下的几何体的三视图如下，则余下部分的几何体的体积为( )A.8π3＋15B.16π9＋233C.8π3＋233D.16π3＋ 34．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，BC →2＝16，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，则|AM →|＝( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 5.如果执行如右图所示的程序框图，则输出的S 值为( ) A ．－3 B ．－12 C ．2 D.136．(理)把五个标号为1到5的小球全部放入标号为1到4的四个盒子中，不许有空盒且任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中，则不同的放法有( ) A ．36种 B ．45种 C ．54种 D ．96种(文)给出命题p ：直线l 1：ax ＋3y ＋1＝0与直线l 2：2x ＋(a ＋1)y ＋1＝0互相平行的充要条件是a ＝－3；命题q ：若平面α内不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β.对以上两个命题，下列结论中正确的是( ) A ．命题“p 且q ”为真 B ．命题“p 或q ”为假 C ．命题“p 或綈q ”为假 D ．命题“p 且綈q ”为真7．一艘轮船从O 点的正东方向10 km 处出发，沿直线向O 点的正北方向10 km 处的港口航行，某台风中心在点O ，距中心不超过r km 的位置都会受其影响，且r 是区间[5,10]内的一个随机数，则轮船在航行途中会遭受台风影响的概率是( ) A.2－12 B ．1－22C.2－1 D ．2－ 28．已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1(x ∈R )，则f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值分别是( ) A ．2，－1 B ．1，－1 C ．1，－2 D ．2，－29．已知三边长分别为4、5、6的△ABC 的外接圆恰好是球O 的一个大圆，P 为球面上一点，若点P 到△ABC 的三个顶点的距离相等，则三棱锥P －ABC 的体积为( ) A ．5 B ．10 C ．20 D ．3010．已知等比数列{a n }满足a n ＞0，n ＝1,2，…，且a 5·a 2n －5＝22n (n ≥3)，则当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝( ) A ．n (2n －1) B ．(n ＋1)2 C ．n 2 D ．(n －1)211．已知x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且函数f (x )＝1＋2sin 2x sin 2x 的最小值为b ，若函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＜x ＜π28x 2－6bx ＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜x ≤π4，则不等式g (x )≤1的解集为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤π4，32 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，32 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，π212．若曲线f (x ，y )＝0上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f (x ，y )＝0的“自公切线”．下列方程：①x 2－y 2＝1；②y ＝x 2－|x |；③y ＝3sin x ＋4cos x ；④|x |＋1＝4－y 2对应的曲线中存在“自公切线”的有( )A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④ 答题栏二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填写在题中的横线上)13．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线与圆x 2＋y 2－4x －5＝0相切，则p 的值为________．14．(理)设a ＝∫π0sin x d x ，则二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫a x －1x 6的展开式中的常数项等于________．(文)已知函数f(x)＝kx ＋1，其中实数k 随机选自区间[－2,1]．则对∀x ∈[－1,1]，都有f(x)≥0恒成立的概率是________．15．已知O 为坐标原点，点M 的坐标为(2,1)，点N(x ，y)的坐标x 、y 满足不等式组⎩⎨⎧x ＋2y －3≤0x ＋3y －3≥0y ≤1.则OM →·ON→的取值范围是________． 16．定义函数f(x)＝[x[x]]，其中[x]表示不超过x 的最大整数，当x ∈[0，n)(n ∈N *)时，设函数f (x )的值域为集合A ，记A 中的元素个数为a n ，则a n ＋49n 的最小值为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程及演算步骤)17．(本小题满分12分)在锐角三角形ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且3a －2c sin A ＝0. (Ⅰ)求角C 的大小；(Ⅱ)若c ＝2，求a ＋b 的最大值．18.(理)(本小题满分12分)某学校高三(1)班学生举行新年联欢活动；准备了10张奖券，其中一等奖的奖券有2张，二等奖的奖券有3张，其余奖券均为3等奖．(Ⅰ)求从中任意抽取2张，均得到一等奖奖券的概率；(Ⅱ)从中任意抽取3张，至多有1张一等奖奖券的概率；(Ⅲ)从中任意抽取3张，得到二等奖奖券数记为ξ，求ξ的数学期望．(文)(本小题满分12分)第12届全运会于2013年8月31日在辽宁沈阳举行，组委会在沈阳某大学招募了12名男志愿者和18名女志愿者，将这30名志愿者的身高编成如图所示的茎叶图(单位：cm)，身高在175 cm以上(包括175 cm)定义为“高个子”，身高在175 cm以下(不包括175 cm)定义为“非高个子”.(1)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中共抽取5人，再从这5人中选2人，求至少有一人是“高个子”的概率；(2)若从身高180 cm以上(包括180 cm)的志愿者中选出男、女各一人，求这2人身高相差5 cm以上的概率．19.(理)(本小题满分12分)如图，已知平行四边形ABCD和平行四边形ACEF所在的平面相交于直线AC，EC⊥平面ABCD，AB＝1，AD＝2，∠ADC＝60°，AF＝ 3.(1)求证：AC⊥BF；(2)求二面角F－BD－A的余弦值．(文)(本小题满分12分)如图，已知BC是半径为1的半圆O的直径，A是半圆周上不同于B，C的点，F为AC的中点．梯形ACDE中，DE∥AC，且AC＝2DE，平面ACDE ⊥平面ABC .(1)求证：平面ABE ⊥平面ACDE ； (2)求证：平面OFD ∥平面ABE .20.(本小题满分12分)在直角坐标系xOy 上取两个定点A 1(－2,0)、A 2(2,0)，再取两个动点N 1(0，m )、N 2(0，n )，且mn ＝3. (1)求直线A 1N 1与A 2N 2交点的轨迹M 的方程；(2)已知F 2(1,0)，设直线l ：y ＝kx ＋m 与(1)中的轨迹M 交于P 、Q 两点，直线F 2P 、F 2Q 的倾斜角为α、β，且α＋β＝π，求证：直线l 过定点，并求该定点的坐标． 21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝e x －ax 2(a ∈R ) (1)求函数f (x )在点P (0,1)处的切线方程；(2)若函数f (x )为R 上的单调递增函数，试求a 的范围； (3)若函数f (x )不出现在直线y ＝x ＋1的下方，试求a 的最大值．请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．(本小题满分10分)选修4－1：几何证明选讲如图，已知PE 切⊙O 于点E ，割线PBA 交⊙O 于A 、B 两点，∠APE 的平分线和AE 、BE 分别交于点C 、D . 求证：(1)CE ＝DE ； (2)CA CE ＝PE PB .23．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程已知极点与坐标原点重合，极轴与x 轴非负半轴重合，M 是曲线C ：ρ＝4sin θ上任意一点，点P 满足OP→＝3 OM →，设点P 的轨迹为曲线Q .(1)求曲线Q 的方程；(2)设曲线Q 与直线l ：⎩⎨⎧x ＝－ty ＝t ＋a (t 为参数)相交于A ，B 两点且|AB |＝4，求实数a的值．24．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|，不等式f (x )＜4的解集为M . (1)求M ；(2)当a ，b ∈M 时，证明：2|a ＋b |＜|4＋ab |. 课标全国卷高考模拟试题精编八1．B 根据纯虚数的定义得⎩⎨⎧a 2－1＝0a －1≠0，所以a ＝－1.2．B 易知：阴影部分表示集合A ∩∁U B ，因为2x (x －2)＜1＝20得x (x －2)＜0，所以0＜x ＜2，所以A ＝{x |0＜x ＜2}，因为1－x ＞0得x ＜1，所以B ＝{x |x ＜1}，所以∁UB ＝{x |x ≥1}，所以A ∩∁U B ＝{x |1≤x ＜2}．3．B 依题意得，题中的几何体是一个圆锥的23与一个三棱锥的组合体，因此其体积等于23×⎝ ⎛⎭⎪⎫13π×22×2＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×23×1×2＝16π9＋233，选B.4．A 由|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|得AB →·AC →＝0，所以AM 为直角三角形ABC 斜边上的中线，所以|AM→|＝12|BC →|＝2. 5．C 开始i ＝0，满足i ＜4，进入循环， 第一次循环：i ＝i ＋1＝1，S ＝S －1S ＋1＝13，满足i ＜4，再次循环； 第二次循环：i ＝i ＋1＝2，S ＝S －1S ＋1＝－12，满足i ＜4，再次循环； 第三次循环：i ＝i ＋1＝3，S ＝S －1S ＋1＝－3，满足i ＜4，再次循环； 第四次循环：i ＝i ＋1＝4，S ＝S －1S ＋1＝2，不满足i ＜4，结束循环，此时输出的S 值为2.6．(理)A 先把5号球放入任意一个盒子中有4种放法，再把剩下的四个球放入盒子中，根据4的“错位数”是9，得不同的放法有4×9＝36种．(文)D 若直线l 1与直线l 2平行，则必满足a (a ＋1)－2×3＝0，解得a ＝－3或a ＝2，但当a ＝2时两直线重合，所以l 1∥l 2⇔a ＝－3，所以命题p 为真．如果这三点不在平面β的同侧，则不能推出α∥β，所以命题q 为假．故选D.7．D 以原点为圆心，r 为半径作圆，易知当r ＞52时，轮船会遭受台风影响，所以P ＝10－5210－5＝10－525＝2－ 2.8．A 依题意得f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin(2x ＋π6)，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π＋π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，因此f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值分别是2，－1，选A.9．B 设边长为4的边所对的角为α，外接圆半径为R ，则2R ＝4sin α，显然当且仅当OP ⊥平面ABC 时，点P 到三个顶点的距离相等，故所求的体积为V ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×5×6sin α×R ＝10. 10．C log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝log 2(a 1·a 3·…·a 2n －1)＝log 2(a 5·a 2n －5)n 2＝n 2. 11．D 依题意，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x 2sin x cos x ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫3tan x ＋1tan x ≥3tan x ·1tan x ＝3，当且仅当3tan x ＝1tan x ，即tan x ＝33，x ＝π6时取等号，因此b ＝3，不等式g (x )≤1等价于①π4＜x ＜π2，或②⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ≤π48x 2－63x ＋4≤1，解②得34≤x ≤π4，因此不等式g (x )≤1的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪34≤x ≤π4∪⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪π4＜x ＜π2＝⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，π2，选D. 12．B 函数y ＝x 2－|x |的图象如下左图显然满足要求； 函数y ＝3sin x ＋4cos x 的一条自公切线为y ＝5；x 2－y 2＝1为等轴双曲线，不存在自公切线；而对于方程|x |＋1＝4－y 2，其表示的图形为图中实线部分，不满足要求．13．解析：依题意，圆x 2＋y 2－4x －5＝0可化为(x －2)2＋y 2＝32，圆心(2,0)到抛物线的准线x ＝－p 2的距离等于圆的半径3，于是有2＋p2＝3，p ＝2. 答案：214．(理)解析：a ＝∫π0sin x d x ＝－cos x | π0＝2 C r 6(2x)6－r ⎝⎛⎭⎪⎫－1x r＝(－1)r 26－r C r 6x 3－r ，由3－r ＝0得r ＝3，所以(－1)323C 36＝－160，所以展开式中的常数项等于 －160. 答案：－160(文)解析：f(x)＝kx ＋1过定点(0,1)，数形结合可知，当且仅当k ∈[－1,1]时满足f(x)≥0在x ∈[－1,1]上恒成立，而区间[－1,1]、[－2,1]的区间长度分别是2、3，故所求的概率为23. 答案：2315．解析：依题意得OM →·ON →＝2x ＋y ，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线2x ＋y ＝0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点时，注意观察相应直线在y 轴上的截距情况，结合图形不难得知，相应直线在y 轴上的截距的取值范围是[1,6]，即OM →·ON →的取值范围是[1,6]． 答案：[1,6]16．解析：x ∈[0,1)时，f(x)＝[x[x]]＝[x·0]＝0，该段函数值个数为1； x ∈[1,2)时，f(x)＝[x[x]]＝[x·1]＝[x]＝1，该段函数值个数为1； x ∈[2,3)时，f(x)＝[x[x]]＝[x·2]，2x ∈[4,6)，该段函数值个数为2； ……x ∈[n －1，n)时，f(x)＝[x[x]]＝[x·(n －1)]，(n －1)x ∈[(n －1)2，n(n －1))，所以f(x)＝[(n －1)x]在该段最小值为(n －1)2，最大值为n(n －1)－1，个数为n(n －1)－1－(n －1)2＋1＝n －1(n ≥2)，所以a n ＝1＋1＋2＋…＋n －1＝1＋n (n －1)2.因此a n ＋49n ＝n 2＋50n －12≥2n 2×50n －12＝192(n ＝10时等号成立)． 答案：19217．解：(Ⅰ)由3a －2c sin A ＝0及正弦定理， 得3sin A －2sin C sin A ＝0(sin A ≠0)， ∴sin C ＝32，∵△ABC 是锐角三角形， ∴C ＝π3(Ⅱ)∵c ＝2，C ＝π3，由余弦定理，a 2＋b 2－2ab cos π3＝4， 即a 2＋b 2－ab ＝4∴(a ＋b)2＝4＋3ab ≤4＋3·⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，即(a ＋b)2≤16， ∴a ＋b ≤4，当且仅当a ＝b ＝2取“＝”，故a ＋b 的最大值是4.18．(理)解：(Ⅰ)从中任意抽取2张，均得到一等奖奖券的概率P 1＝C 22C 210＝145；(Ⅱ)从中任意抽取3张，至多有1张一等奖奖券的概率P 2＝C 38C 310＋C 12C 28C 310＝715＋715＝1415；(或P 2＝1－C 22C 18C 310＝1－115＝1415)(Ⅲ)ξ取值0,1,2,3，P(ξ＝0)＝C 37C 310＝724；P(ξ＝1)＝C 13C 27C 310＝2140；P(ξ＝2)＝C 23C 17C 310＝740；P(ξ＝3)＝C 33C 310＝1120.所以E(ξ)＝0×724＋1×2140＋2×740＋3×1120＝910.(文)解：(1)根据茎叶图知，有“高个子12人”，“非高个子”18人， 用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是530＝16，所以选中的“高个子”有12×16＝2人，“非高个子”有18×16＝3人．“高个子”用A ，B 表示，“非高个子”用a ，b ，c 表示，则抽出2人的情况有：(A ，B)，(A ，a)，(A ，b)，(A ，c)，(B ，a)，(B ，b)，(B ，c)，(a ，b)，(a ，c)，(b ，c)，共10种，至少有一名“高个子”被选中的情况有：(A ，B)，(A ，a)，(A ，b)，(A ，c)，(B ，a)，(B ，b)，(B ，c)，共7种．因此，至少有一人是“高个子”的概率是P ＝710.(2)由茎叶图知有5名男志愿者身高在180 cm 以上(包括180 cm )，身高分别为181 cm,182 cm,184 cm,187 cm,191 cm ；2名女志愿者身高在180 cm 以上(包括180 cm )，身高分别为180 cm,181 cm .抽出的2人用身高表示，则有：(181,180)，(181,181)，(182,180)，(182,181)，(184,180)，(184,181)，(187,180)，(187,181)，(191,180)，(191,181)，共10种情况，身高相差5 cm 以上的有：(187,180)，(187,181)，(191,180)，(191,181)，共4种情况，故这2人身高相差5 cm 以上的概率为410＝25. 19．(理)解：(1)∵CD ＝AB ＝1，AD ＝2，∠ADC ＝60°， ∴AC ＝3，∴CD 2＋CA 2＝AD 2，∴CD ⊥CA.又EC ⊥平面ABCD ，故以CD 为x 轴，CA 为y 轴，CE 为z 轴建立空间直角坐标系，其中C(0,0,0)，D(1,0,0)，A(0，3，0)，F(0，3，3)，B(－1，3，0)． ∴CA →＝(0，3，0)，BF →＝(1,0，3)，DF →＝(－1，3，3)，DB →＝(－2，3，0)． ∴CA →·BF→＝0，∴AC ⊥BF.(2)平面ABD 的一个法向量n ＝(0,0,1)，设平面FBD 的法向量m ＝(x ，y ，z )， 由⎩⎪⎨⎪⎧m ·DB →＝0m ·DF →＝0得⎩⎨⎧－2x ＋3y ＝0－x ＋3y ＋3z ＝0，∴⎩⎨⎧x ＝32y y ＝－2z，令z ＝1得，m ＝(－3，－2,1)，∴cos 〈m ，n 〉＝24.故所求二面角F －BD －A 的余弦值为24.(文)解：(1)因为平面ACDE ⊥平面ABC ，平面ACDE ∩平面ABC ＝AC ，AB ⊂平面ABC ，又在半圆O 中，AB ⊥AC .所以AB ⊥平面ACDE .因为AB ⊂平面ABE ， 所以平面ABE ⊥平面ACDE .(2)设线段AC 与OF 交于点M ，连接MD .因为F 为AC 的中点，所以OF ⊥AC ，M 为AC 的中点． 因为AB ⊥AC ，OF ⊥AC ，所以OF ∥AB .又OF ⊄平面ABE ，AB ⊂平面ABE ，所以OF ∥平面ABE . 因为M 为AC 的中点，且DE ∥AC ，AC ＝2DE ， 所以DE ∥AM ，且DE ＝AM .所以四边形AMDE 为平行四边形，所以DM ∥AE . 又DM ⊄平面ABE ，AE ⊂平面ABE ，所以DM ∥平面ABE . 又OF ∥平面ABE ，MD ∩OF ＝M ， 所以平面OFD ∥平面ABE .20．解：(1)依题意知直线A 1N 1的方程为：y ＝m2(x ＋2)，① 直线A 2N 2的方程为：y ＝－n2(x －2)，②设Q (x ，y )是直线A 1N 1与A 2N 2的交点，①×②得y 2＝－mn4(x 2－4)， 由mn ＝3，整理得x 24＋y 23＝1.∵N 1、N 2不与原点重合，∴点A 1(－2,0)、A 2(2,0)不在轨迹M 上， ∴轨迹M 的方程为x 24＋y 23＝1(x ≠±2)． (2)由题意知，直线l 的斜率存在且不为零， 联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m x 24＋y 23＝1，消去y ，得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，设P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－8km3＋4k 2x 1x 2＝4m 2－123＋4k 2，且kF 2P ＝kx 1＋m x 1－1，kF 2Q ＝kx 2＋mx 2－1. 由已知α＋β＝π，得kF 2P ＋kF 2Q ＝0，∴kx 1＋m x 1－1＋kx 2＋mx 2－1＝0，化简，得2kx 1x 2＋(m －k )(x 1＋x 2)－2m ＝0， 代入，得2k 4m 2－123＋4k 2－8mk (m －k )3＋4k 2－2m ＝0，整理得m ＝－4k .∴直线l 的方程为y ＝k (x －4)，因此直线l 过定点，该定点的坐标为(4,0)． 21．解：(1)∵f ′(x )＝e x －2ax ，∴f ′(0)＝1所以f (x )在点P (0,1)处的切线方程为y －f (0)＝f ′(0)(x －0)，即y ＝x ＋1. (2)由题意f ′(x )＝e x －2ax ≥0恒成立x ＞0时2a ≤e x x ，令g (x )＝e xx ，则g ′(x )＝e x(x －1)x 2，由g ′(x )＝0得x ＝1，x ＞1时g ′(x )＞0，x ＜1时g ′(x )＜0. ∴g (x )min ＝g (1)＝e ，∴a ≤e2；x ＜0时2a ≥e x x ，∵e xx ＜0，∴2a ≥0则a ≥0； 又a ＝0，f ′(x )＝e x ≥0恒成立；综上，若函数f (x )为R 上的单调递增函数，则0≤a ≤e2(3)由题意，f (x )≥x ＋1，记F (x )＝e x －ax 2－x －1，即F (x )≥0恒成立．若a ＞0，则x ＜－1a ＜0时，F (x )＜1－x (ax ＋1)－1＜0，与F (x )≥0恒成立矛盾． ∴a ≤0.此时F ′(x )＝e x －2ax －1则x ＞0时F ′(x )＞e 0－2ax －1≥0，x ＜0时F ′(x )＜e 0－2ax －1≤0， ∴x ＝0时F (x )min ＝F (0)＝0，即F (x )≥0恒成立．综上，若函数f (x )不出现在直线y ＝x ＋1的下方，则a 的最大值为0. 22．解：(1)∵PE 切⊙O 于点E ，∴∠A ＝∠BEP . ∵PC 平分∠APE ，∴∠A ＋∠CP A ＝∠BEP ＋∠DPE . 又∠ECD ＝∠A ＋∠CP A ，∠EDC ＝∠BEP ＋∠DPE ， ∴∠ECD ＝∠EDC ，∴CE ＝ED .(2)∵∠PDB ＝∠EDC ，∠EDC ＝∠ECD ， ∴∠PDB ＝∠PCE . 又∠BPD ＝∠EPC ，∴△PBD ∽△PEC ，∴PE PB ＝PCPD . 同理△PDE ∽△PCA ， ∴PC PD ＝CA DE .∴PE PB ＝CADE.又DE ＝CE ， ∴CA CE ＝PE PB .23．解：(1)设P (x ，y )，M (x 1，y 1)，由已知ρ＝4sin θ，得ρ2＝4ρsin θ，曲线C 的直角坐标方程为x 21＋(y 1－2)2＝4.又OP →＝3 OM →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝13x y 1＝13y，代入x 21＋(y 1－2)2＝4，得x 2＋(y －6)2＝36.∴曲线Q 的方程为x 2＋(y －6)2＝36.(2)依题意得直线l 的方程为x ＋y －a ＝0.曲线Q 的圆心为N (0,6)，半径r ＝6， N 到l 的距离d ＝|6－a |2，又d ＝62－⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝42，∴a ＝－2或14.24．解：(1)f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|＝⎩⎨⎧－2x ，x ＜－12，－1≤x ≤12x ，x ＞1，当x ＜－1时，由－2x ＜4，得－2＜x ＜－1； 当－1≤x ≤1时，f (x )＝2＜4， ∴－1≤x ≤1；当x ＞1时，由2x ＜4，得1＜x ＜2. ∴M ＝(－2,2)．(2)a ，b ∈M 即－2＜a ＜2，－2＜b ＜2，∵4(a ＋b )2－(4＋ab )2＝4(a 2＋2ab ＋b 2)－(16＋8ab ＋a 2b 2)＝(a 2－4)·(4－b 2)＜0， ∴4(a ＋b )2＜(4＋ab )2， ∴2|a ＋b |＜|4＋ab |.。
2023届海南省高三高考全真模拟卷(八)数学试卷(word版)
2023届海南省高三高考全真模拟卷（八）数学试卷(word版)一、单选题(★★) 1. 已知集合，，则（）A．B．C．D．(★★) 2. 已知i是虚数单位，复数，则z的共轭复数为（）A．B．C．D．(★★) 3. 已知向量，，，，，则（）A．B．2C．4D．(★★★) 4. 古代最初的长度计量常常借助于人体的某一部分或某种动作来实现．《孔子家语》说：“布指知寸，布手知尺，舒肘知寻，斯不远之则也．”“布手知尺”是指中等身材人的大拇指和食指伸开之间的距离，相当于1尺，折合现代的长度约16厘米．古代一位中等身材的农民买到一个正四棱台形状的容器盛粮食，由于没有合适的测量工具，于是用自己的手按上述方式去测量，得到正四棱台的两底面边长分别为3尺和1尺，斜高（侧面梯形的高）为2尺，则按现代的方式计算，该容器的容积约为（）（1升＝1000立方厘米，）A．27升B．31升C．33升D．35升(★★) 5. 函数的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移1个单位长度后得到函数的图象，则（）A．B．C．D．1(★★★) 6. 我国实行个人所得税专项附加扣除制度，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金、赡养老人等多项专项附加扣除．某单位老年、中年、青年员工分别有90人、270人、180人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取6人调查专项附加扣除的情况，再从这6人中任选2人，则选取的2人中恰有一名是中年员工的概率为（）A．B．C．D．(★★★★) 7. 已知，，，则（）A．B．C．D．(★★★★) 8. 已知抛物线C：的焦点为F，直线m与抛物线C切于点P，交x轴于点A．直线n经过点P，与x轴交于点B，与C的另一个交点为Q，若，则下列说法错误的是（）A．P A的中点在y轴上B．C．存在点P，使得D．的最小值为二、多选题(★★★) 9. 已知，则下列不等式成立的是（）A．B．C．D．(★★★) 10. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，设点P为C右支上一点，P点到直线的距离为d，过的直线l与双曲线C的右支有两个交点，则下列说法正确的是（）A．的最小值为2B．C．直线l的斜率的取值范围是D．的内切圆圆心到y轴的距离为1(★★★)11. 已知数列满足，且，等差数列的前n项和为，且，，若恒成立，则实数λ的值可以为（）A．－36B．－54C．－81D．－108(★★★) 12. 在直三棱柱中，，，，三棱锥的体积为，点M，N，P分别为AB，BC，的中点，则下列说法正确的是（）A．B．直线与直线PN为异面直线C．平面ABP⊥平面D．三棱柱外接球的体积为三、填空题(★★) 13. 已知α是第二象限的角，，则 ________ ．(★★★) 14. 的展开式中，项的系数为 __________ ．(★★★) 15. 已知直线，直线过点且与直线相互垂直，圆，若直线与圆C交于M，N两点，则 _________ ．(★★★) 16. 已知函数，过点作曲线的切线，则切线的条数为 _______________ ．四、解答题(★★★) 17. 已知数列满足（n≥2，），．(1)求证：数列为等比数列，并求的通项公式；(2)求数列的前n项和．(★★★) 18. 在①；②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答．问题：已知△ABC中，点M在线段BC上，且，，，．(1)求的值；(2)求AM的值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．(★★★) 19. 白玉蜗牛营养价值、药用价值以及美容价值都极高，目前既是“世界四大名菜之一”，也是降血脂药物和珍贵的高级化妆品原料．此外，白玉蜗牛的外壳还可以用来制作手工艺品和加工成动物高蛋白补钙饲料．某白玉蜗牛养殖户统计了养殖以来7个季度的销售情况，如下表所示，若y与x线性相关．(1)根据前7个季度的统计数据，求出y关于x的经验回归方程；(2)预测该养殖户在第9个季度的销售额；(3)若该养殖户每季度的利润W与x，y的关系为，试估计该养殖户在第几季度所获利润最大．附：经验回归方程中的系数，．(★★★) 20. 如图所示，在五面体EF－ABCD中，底面ABCD为正方形，．(1)求证：；(2)若，点G为线段ED的中点，求直线DF与平面BAG所成角的正弦值．(★★★) 21. 已知椭圆C：过点，．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若斜率为的直线l与椭圆C交于A，B两点，且，，求直线l的方程．(★★★) 22. 已知．(1)求在上的最值；(2)若恒成立，求a的取值范围．。
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华中师大一附中2012年高考数学模拟训练题（八）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若集合{|1327},{|1}A x Z x B x x =∈-≤-<=≥，则集合R A C B 中元素的个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2．复数233(1)i i -+的虚部为（ ） A ．32 B ．3
2i - C ．3
2- D ．3
2
i 3．已知2()21x f x a R =-
+是上的奇函数，若03()5
f x =，则0x 等于（ ） A ．2 B ．35 C ．12 D ．53
4．右图是某电视选秀赛上某一位选手的部分得分的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为（ ）
A ．1027
B ．927
C ．807
D ．867 5．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若44617,13a S a +=-=-，则6S 等于（ ）
A ．30-
B ．20-
C ．33-
D ．24-
6．如图，一简单几何体的正视图和侧视图都是边长为2的等边三角形，则“该简单几何体是三棱锥”是“该简单几何体的体积是
433”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
7．在平面直角坐标系中，若不等式组22,1,(2x y x a y ax +≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩
为常数)所表示的平面区域的面积等于
54
，则a 的值为（ ） A ．12 B ．1 C ．32
D ．2 8．如图，一个运动物体在九宫格的九个方格中做横向或纵向运动，每运动一次，它都能等机会进入相邻的任意一格（例如：若它在第2格，就只能在一次运动后等机会进入第1、3、5格），现该物体在第1格，那么它在运动4次后进入第9格的概率是（ ）
A ．16
B ．19
C ．18
D ．112 9．设双曲线222:1(0)x M y a a -=>点，(0,1)C ，若直线1y x =+交双曲线的两条渐近线于点,A B ，且2BC AC =，则双曲线的离心率为（ ）
A ．5
B ．10
C ．5
D ．10
10．已知P 是函数3142ln 3y x x x =-+图象上的任意一点，若在点P 处的切线的倾斜角为α，则cos 1
4απα++
的取值范围是（ ） A ．4(0,]π
B ．242(0,](
,]3ππ C ．2248(0,)[,)23πππ- D ．2248(0,](,]23πππ
- 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题
中的横线上．
11．已知向量(1,1),(1,),(2)5,a b k a b a ==-+=则k =____________。
12．右图是一程序框图，则其运行后输出的结果为_________。
13．已知适合不等式2(4)|3|5x x a x -++-≤的x 的最大值为3，则
|3|a x -的取值范围是___________。
14．如图，边长为2的正方形ABC D ''的正六边形ABCDEF 内无滑动滚动，
则正方形ABC D ''的中心O 的轨迹所围成的封闭图形的周长为_________，
其面积为__________。
15．（考生注意：只能从A ，B 两题中选择一题作答，若多做，则按所做的
第一题评阅给分．）
A ．（选修4-1：几何证明选讲）如图，过圆O 外一点P 作圆的切线,PA A
为切点，,B C 为圆O 上的点，且9,4,,PB BC BPA BAC ==∠=∠则
AB =_________。
B ．（选修4-4：坐标系与参数方程）在极坐标系(,0)(02)ρθπ≤<中，
曲线32sin sin()32
πρθρθ=-=
与的交点的极坐标为_______。
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分10分） 在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足25cos ,325
A A
B A
C ==。
（1）求ABC ∆的面积；
（2）若6,b c a +=求的值。
17．（本小题满分12分）
某同学参加语文、数学、英语3门课程的考试。
假设该同学语文课程取得优秀成绩的概率为45，数学、英语课程取得优秀成绩的概率分别为,()m n m n >，且该同学3门课程都获得优秀的概率为24125，该同学3门课程都未获得优秀的概率为6125
，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立，记X 为该生取得优秀成绩的课程门数。
（1）求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；
（2）求X 的分布列及数学期望EX 。
18．（本小题满分12分）
如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面,2,,ABCD PA AB E F ==分别为,CD PB 的中点，3AE =。
（1）求证：平面AEF ⊥平面PAB ；
（2）求平面PAB 与平面PCD 所成的锐二面角的余弦值。
19．（本小题满分13分）
设等差数列{}n a 的首项1a 为a ，前n 项和为n S 。
（1）若124,,S S S 成等比数列，求数列{}n a 的通项公式； （2）证明：对任意12,,,n n n n N S S S +++∈不构成等比数列。
20．（本小题满分14分）
如图，已知12,F F 分别是椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左、右焦点，且椭圆C 的离心率11,2
e F =也是抛物线21:4C y x =-的焦点。
（1）求椭圆C 的方程；
（2）过点2F 的直线l 交椭圆C 于,D E 两点，且222,DF F E =点
E 关于x 轴的对称点为G ，求直线GD 的方程。
21．（本小题满分14分）
已知函数()(0)t
f x x t x
=+>，过点(1,0)P 作曲线()y f x =的两条切线,PM PN ，切点分别为,M N 。
（1）设||()MN g t =，试求函数()g t 的表达式；
（2）在（1）的条件下，若对任意的正整数n ，在区间64[2,]n n
+内，总存在1m +个数121,,
,,m m a a a a +使得不等式121()()()()m m g a g a g a g a ++++<成立，求m 的最大值。
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