圆的相关知识
和圆有关的知识
和圆有关的知识圆是几何学中的基本概念之一，它在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
下面我将介绍一些与圆有关的知识。
一、圆的定义和性质1. 定义：圆是由平面上与一个固定点的距离等于常数的所有点组成的图形。
2. 圆心和半径：圆心是固定点，半径是圆心到圆上任一点的距离。
3. 直径：通过圆心的两个点构成的线段叫做直径，直径是半径的两倍。
4. 弦：圆上任意两点之间的线段叫做弦。
5. 弧：圆上两点之间的弧是圆心所在的圆周的一部分。
6. 切线：与圆只有一个公共点的直线叫做切线。
7. 弦切角定理：一个圆的弦切角等于其所对的弧的一半。
二、圆的计算公式1. 圆的面积：圆的面积等于半径的平方乘以π（圆周率），即S=πr²。
2. 圆的周长：圆的周长等于直径乘以π，即C=2πr。
三、圆的应用1. 圆在几何学中的应用：a. 圆的相交关系：两个圆相交于两个交点，相交关系可以分为外离、外切、内切、内含和相交五种情况。
b. 圆的切线：圆与切线的切点构成的线段与切线垂直。
c. 圆的垂径定理：垂直于弦的直径经过弦的中点。
d. 圆的切线定理：切线与半径垂直。
e. 圆的切线长度定理：切线与圆心连线构成的直角三角形中，切线长度的平方等于切点到圆心距离的平方减去半径的平方。
2. 圆在物理学中的应用：a. 圆的运动：物体在圆周上做匀速圆周运动时，其速度大小不变，但方向不断改变。
b. 圆的加速度：物体在圆周运动时，由于方向改变而产生的速度变化叫做加速度，大小等于速度大小的平方除以半径。
3. 圆在工程中的应用：a. 圆锥曲线：圆的截面在垂直于圆轴线方向上的投影是圆锥曲线，如圆锥、圆柱等。
b. 圆环结构：圆环是由圆形截面所构成的结构，常用于桥梁、建筑等工程中。
四、著名的圆相关问题1. 蒙哥马利问题：给定一个圆和一根切线，求切线上的一点，使得从该点到圆上任意一点的距离之和最小。
2. 圆的三等分：如何利用直尺和圆规将一个给定的圆分成三等份。
圆的认识知识点总结
圆的认识知识点总结一、圆的定义和基本性质1. 圆的定义：圆是平面上的一组点，到一个确定的点距离相等。
2. 圆的元素：圆心、半径、直径、圆周。
3. 圆的性质：圆的半径相等，圆的直径是两倍的半径。
圆周上的任意两点与圆心的距离相等。
圆心到圆周的距离是半径。
4. 圆的定理：圆心角定理、弧长定理、切线定理等。
二、圆的相关角度和单位1. 角度的定义：角度是一个衡量平面角的单位。
2. 角度的度量单位：度、弧度。
3. 圆周角和对应角：圆周角是指圆的圆心角度数，对应角是指相等的角。
4. 角度的运算和转换：角度的加减、角度和弧度的转换。
三、圆的周长和面积1. 圆的周长公式：周长=2πr，r为半径。
2. 圆的面积公式：面积=πr²。
3. 圆的周长和面积的应用：在解决实际问题时，常常利用圆的周长和面积公式进行计算和推导。
四、圆的相关定理和推论1. 圆的同位角定理：同位角相等的定理。
2. 圆的相交定理：相交弦定理、外接角定理、内接角定理等。
3. 圆的切线定理和切线角定理：切线和切线角的性质和应用。
五、圆的相关方程和函数1. 圆的标准方程：圆的标准方程是(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a，b)为圆心坐标，r为半径。
2. 圆的一般方程：圆的一般方程是x²+y²+Dx+Ey+F=0，其中D，E，F为常数。
3. 圆的相关函数和图像：三角函数的正弦曲线和余弦曲线与圆的关系。
六、圆的应用1. 圆的应用领域：几何学、物理学、工程学等。
2. 圆的应用案例：圆的运动、圆的工程设计、圆的运动学分析等。
3. 圆的应用技术：在计算机图形学、图像处理、地理信息系统等领域有广泛的应用。
总结：圆是一个很基础却又富有深刻意义的几何图形，它在数学和自然界中都有着广泛的应用和影响。
通过对圆的认识知识点的总结和概述，有助于我们更好地理解圆的性质和定理，提高数学素养和解决实际问题的能力。
圆的相关知识和技能对于我们的学习和工作都有着重要的意义。
六年级关于圆的知识点
六年级关于圆的知识点圆是我们日常生活中常见的几何形状之一，下面是关于圆的一些基本知识点。
1. 圆的定义圆是平面上一组到一个定点的距离都相等的点的集合。
这个定点称为圆心，而距离圆心最远的点与圆心的距离称为半径。
所有在圆上的点到圆心的距离都等于半径的长度。
2. 圆的要素一个圆由两个要素确定，即圆心和半径。
在几何图形中我们通常用大写字母O表示圆心，小写字母r表示半径。
用符号π表示圆周率，近似值为3.14或22/7。
3. 圆的性质(1) 圆周长：一个圆的周长等于圆的半径乘以2π，即C=2πr。
(2) 圆的面积：一个圆的面积等于圆的半径的平方乘以π，即A=πr²。
(3) 弧长和扇形面积：圆的一部分叫做弧，弧的度数除以360度后乘以2πr即可计算弧长；扇形是由圆心、两个弧和弧所夹的一部分圆组成，扇形的面积可以用扇形的弧长乘以半径的一半得到。
(4) 直径和弦：直径是连接圆上两个点，并且通过圆心的线段，它的长度是半径的两倍；弦是圆上任意两点之间的线段。
(5) 切线和切点：切线是与圆交于一点的直线，并且与圆在这一点的切点相切。
4. 圆的应用圆在生活中有广泛的应用。
例如，车轮、轮胎、钟表、饼干等形状都是圆的。
此外，圆也在数学和物理学等领域中发挥着重要的作用，如在圆的运动、圆锥曲线等方面。
总结：通过上述对圆的基本知识点的介绍，我们了解到圆的定义、要素和性质。
圆在日常生活和学科领域中都有着广泛的应用，深入学习和理解圆的知识对于我们的数学学习和对周围世界的认识具有重要的意义。
希望本文所述的内容对您有所帮助。
《圆》背诵知识点
《圆》背诵知识点圆是数学中一个非常重要的图形，它具有独特的性质和丰富的知识点。
下面我们来详细梳理一下关于圆的重要背诵知识点。
一、圆的定义圆是平面内到一定点的距离等于定长的点的集合。
这个定点称为圆心，定长称为圆的半径。
二、圆的相关元素1、圆心：决定圆的位置。
2、半径：决定圆的大小。
用字母 r 表示。
3、直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。
用字母 d 表示，且 d ＝ 2r 。
三、圆的周长圆的周长是指绕圆一周的长度。
圆的周长计算公式为：C ＝2πr 或 C ＝πd （其中 C 表示周长，π是圆周率，约等于 314 ）四、圆的面积圆所占平面的大小叫做圆的面积。
圆的面积计算公式为：S ＝πr²五、弧长弧是圆上任意两点间的部分。
弧长的计算公式为：L ＝nπr ／ 180 （其中 L 表示弧长，n 表示圆心角度数）六、扇形由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形。
扇形的面积公式为：S 扇形＝nπr² ／ 360 或 S 扇形＝ 1/2 Lr （L 为扇形的弧长）七、圆的对称性1、圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过圆心的直线。
2、圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。
八、垂径定理垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧。
推论 1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论 2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
推论 3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
九、圆心角、弧、弦的关系在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
十、圆周角顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
推论 1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
圆的认识知识要点整理
圆的认识知识要点整理一、圆的特征1、圆心用O表示，半径用r表示，直径用d表示2、在同圆或等圆中，半径有无数条，长度都相等；直径有无数条，长度都相等。
直径是圆中最长的线段。
3、圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。
圆规两脚间的距离是半径。
4、车轮为什么是圆的？因为圆的半径都相等，圆在滚动时，圆心在同一条直线上运动，坐在车上的人或物就会比较平稳。
5、圆是轴对称图形，直径所在的直线是圆的对称轴，圆有无数条对称轴。
在同一个圆中，直径的长度是半径的2倍，可以表示为d=2r或r=1/2d。
6、圆有无数条对称轴，正方形有4条对称轴，长方形有2条对称轴，等边三角形有3条对称轴，等腰三角形有1条对称轴，等腰梯形有1条对称轴，半圆有1条对称轴。
二、圆的周长1、圆的周长除以直径的商是一个固定的数，我们把它叫做圆周率，用字母π表示，通常取3.14C=πd=2πr d=c÷π r= c÷π÷2半圆的周长等于圆周长的一半再加直径。
C半圆=πd÷2+d=πr+2r圆周长的一半等于πr2、圆的周长总是它的半径的2π倍。
三、圆的面积1、长方形的长相当于圆周长的一半，它的宽相当于圆的半径。
平行四边形的底相当于圆周长的一半，它的高相当于圆的半径。
所以圆的面积S= π r22、环形的面积=大圆的面积-小圆的面积四、拓展知识点1、圆的半径扩大几倍，直径和周长就扩大相同的倍数，而面积是扩大几的平方倍。
2、如果周长相等时，所围成的图形，圆的面积最大。
周长相等时，圆的面积>正方形的面积>长方形的面积3、两个圆的面积相等时，它们的周长一定相等。
两个圆的周长相等时，它们的面积也一定相等。
《圆的面积》三、实验操作、推导公式1、感受转化，渗透方法（课件再次出示马吃草图）师：知道了3倍多一些，就能准确算出这匹马最多可以吃多大面积的草了吗？（引导学生发现，3倍多一些到底多多少还不清楚，需要继续研究能准确计算圆面积的方法。
圆的概念知识点总结
圆的概念知识点总结一、基本概念1. 圆的定义圆是一个平面上的一个点到另一个点距离相等的所有点的集合。
这个距离被称为圆的半径。
2. 圆的元素圆的元素有两个，一个是圆心，一个是半径。
圆心是圆的中心点，而半径是从圆心到圆上的任意一点的距离。
3. 圆的属性圆的属性有几个重要的特点，比如圆半径、圆心、圆直径、圆周长、圆面积等。
二、圆的相关公式1. 圆的周长圆的周长是指圆的边界长度，它可以通过公式2πr来计算，其中r表示圆的半径，π表示圆周率，它的值约为3.14。
2. 圆的面积圆的面积是指圆内部的部分，它可以通过公式πr^2来计算，其中r表示圆的半径。
3. 圆的直径圆的直径是指圆的两个相对的边界之间的距离，它可以通过圆的半径乘以2来计算。
4. 圆的弧长圆的弧长是指圆周上的一部分长度，它可以通过圆的半径乘以弧度来计算。
5. 圆的扇形面积圆的扇形面积是指圆的一部分面积，它可以通过圆的半径乘以弧长除以2来计算。
6. 圆的切线圆的切线是指与圆相切的一条直线，在接触点处与圆相切且与圆的半径垂直。
三、圆的相关定理1. 圆的同位角定理同位角是指平行线与一条直线相交时所成的对应角，对应角相等，角的度数相等。
2. 圆的相交角定理相交角是指两个相交直线所成的四个角，相邻角相等。
3. 圆的正切定理圆内一点的切线长度等于这个点到圆心的距离乘以切点到切线之间的夹角的正切值。
4. 圆的切线定理切于圆上的直线与半径的夹角等于直线与半径的切线夹角的一半。
5. 圆的弦切定理圆内一点的切线长的平方等于这个点到圆心的距离的平方减去弦长的平方。
四、圆的相关性质1. 圆的切线垂直定理相切于同一个圆的两条切线相互垂直。
2. 圆心角和弦定理圆心角是指以圆心为端点的两条半径所成的角，它的度数等于其所对的圆周弧所对的圆心角。
3. 圆的切线与半径定理切于圆的切线和该圆上的半径垂直。
4. 圆的内切定理在一个三角形中，内切圆的半径等于周长与半周长之差。
以上就是关于圆的基本概念、公式、定理和性质的一些知识点总结，希望对大家有所帮助。
高中数学圆知识点总结
高中数学圆知识点总结一、圆的基本概念1. 圆的定义：圆是由平面上到一个定点的距离等于常数的所有点的集合所组成的图形。
这个定点叫做圆心，这个常数叫做圆的半径。
2. 圆的符号表示：我们通常用一个大写字母表示圆心，用小写字母 r 表示半径，从而表示某个圆为原点 O ，半径为 r 的圆为∠O(r) 。
3. 圆的元素：圆由圆心、半径以及圆上的所有点组成，这些点到圆心的距离都等于半径的长度。
二、圆的基本性质1. 圆的直径：圆上任意两点间的最长距离叫做圆的直径，圆的直径等于圆的半径的二倍。
2. 圆周率：圆周率是一个无理数，通常用符号π 来表示，它的近似值是3.14159 ，是圆周长和直径之比的数学常数。
3. 圆的周长：圆的周长等于圆的直径乘以π ，也可以用公式表示为：C=2πr 。
4. 圆的面积：圆的面积等于π 乘以圆的半径的平方，也可以用公式表示为：S=πr^2 。
5. 弧长和扇形面积：圆的一部分叫做圆弧，圆弧的长度叫做弧长，弧长和圆的周长的比值等于弧所对的圆心角的比值；圆的一部分叫做扇形，扇形的面积等于扇形所对的圆心角的比值。
三、圆的相关定理1. 圆心角的性质：圆心角是圆上的一个角，它的顶点在圆心上，它的两条边都是圆的弧。
圆心角的大小可以用角度或弧度表示，弧度是圆的一种度量单位，弧长等于半径乘以圆心角的弧度。
弧长和弧所对的圆心角的关系，用公式表示为：L=rθ 。
2. 弦的性质：弦是圆上的一段线段，它的两端都在圆上，弦也可以看做是圆上的一个弧。
弦的性质包括：两条相等的弧所对的弦也是相等的；圆的直径是圆的最长弦，且它恰好把圆分成两个相等的半圆。
3. 切线的性质：切线是指平面上的一条直线，它只与圆相交于一点，这个点叫做切点。
切线和半径的垂直平分线相交于圆上的切点处成直角，切线和圆心之间的连线是切线的切线长。
4. 正弦定理和余弦定理：这两个定理属于三角形和圆的结合性质，它们可以用来求解三角形和圆的面积。
四、圆的相关应用1. 圆和直线的位置关系：圆和直线的位置关系有着许多重要的定理和知识点，这些知识点在几何、代数和三角等领域都有着广泛的应用，学习和掌握它们对我们解题和理解圆的相关性质是非常重要的。
初中《圆》知识点及定理
初中《圆》知识点及定理
《圆》知识点
一、定义
1、圆是平面上一种特殊的曲线，它满足以下两个条件：
（1）任意两点到圆心的距离相等；
（2）圆上的任意一点，可以以圆心为中心，过这一点作圆的圆周，且这个圆周上的任意一点都等距离圆心。
2、定义：圆：平面上一点为圆心，到圆心的距离一定的曲线叫圆，这个固定的距离叫圆的半径。
二、圆的相关概念
1、圆心：圆的中心点。
2、半径：指从圆心出发，连接圆上任意一点的线段的长度。
3、圆弧：圆上的一段弧形，可以看作是圆的一部分。
4、圆周：圆的一周的弧形，也叫圆的周长。
5、圆心角：圆上的任意两点连接的线段所形成的角，叫圆心角。
6、切线：切圆弧的线段，叫做切线。
7、圆心的夹角：圆上任意两条切线所成的夹角。
8、切点：切线与圆弧公共的一点，叫做切点。
三、圆的性质
1、任意一点到圆心的距离相等，半径r=OC=OD。
2、圆上，任意两点之间的距离相等。
3、圆上任意两点的连线，其长度都等于直径的2倍。
4、圆周的周长等于圆的直径的2倍乘以π，公式：C=2πr。
5、圆的面积A=πr²。
6、圆心角是任意一点到圆心的连线和圆的直径的线段的所成的角，它的度数与圆的弧长满足：圆心角的角度=弧长/半径。
四、圆的有关定理。
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圆的复习第一部分知识及方法一、圆的基本概念1、圆的基本元素圆心：圆的中心。
半径：连接圆心和圆上任一点的线叫半径。
弦：连接圆上任意两点的线段叫弦。
直径：经过圆心的弦叫直径。
弧：圆上任意两点间的部分叫弧。
弧分为半圆、优弧和劣弧。
圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角。
注意：直径是圆最长的弦；同圆或等圆的直径是半径的两倍。
2、（1）圆是旋转对称图形，圆心是对称中心。
在一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。
在一个圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦相等。
在一个圆中，相等的弦所对的劣弧相等，所对的圆心角相等。
（2）圆是轴对称图形，任一条过圆心的直线都是它的对称轴。
（3）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
提示：1）圆周可以看作360°的弧，圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。
2）解决与弦有关的问题时，常常过圆心作弦的垂直线段作为辅助线。
半径、弦的一半、弦心距构成一个直角三角形。
利用勾股定理和三角函数可以解决与半径长、弦长、弦心距的长以及相关角度等有关计算的问题。
3）经过圆内一点，最长的弦是经过这点的直径，最短的弦是与过这点的直径垂直的弦。
4）圆内两条平行弦所夹的弧相等。
3、（1）圆周角的定义：顶点在圆上，两边与圆相交的角叫圆周角。
（2）圆周角定理：半圆或直径所对的圆周角是直角，90°圆周角所对得弦是直径。
在一个圆内，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对圆心角的一半；相等的圆周角所对得弧也相等。
圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角等于它的内对角。
（3）相关链接：利用“半圆或直径所对圆周角是直角”可以在圆中得到直角三角形，我们可以解决很多与直角三角形有关的问题。
圆周角定理、三角形内角和定理及推论、同角的余（补）角相等、平行线的性质定理等，都是与角度有关的定理，把它们进行综合运用，可以实现角度的灵活转换，从而解决很多与角相关的问题。
（4）注意：a．当给出90°圆周角时，弦AB是直径需要说明。
b．同弧所对的圆周角相等，但同弦所对的圆周角不一定相等，因为：一条弦对应着两个圆周角。
c．如果圆内接四边形的对边平行，则这个四边形是等腰梯形或矩形。
二、与圆有关的位置关系1、点与圆的三种位置关系及判定点P在⊙O上OP=r；点P在⊙O内OP<r；点P在⊙O外OP>r。
2、过平面上的点作圆的有关规律经过的点作圆的个数圆心的位置一点无数个平面上除这点外的任一点两点无数个连接两点线段的垂直平分线上不在同一直线上三点一个连接任意两点所得三条线段的垂直平分弦的交点同一直线上的三点不能作圆四个点不一定能够做圆3、定理:不在同一直线上的三点确定一个圆。
4、有关概念：经过三角形各顶点的圆叫三角形外接圆。
外接圆的圆心角三角形的外心。
这个三角形叫圆的内接三角形。
5、提示：（1）三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点。
锐角三角形的外心在三角形内部。
直角三角形的外心是斜边的中点。
钝角三角形的外心在三角形外部。
（2）直角三角形的外接圆的直径即是这个直角三角形的斜边。
6、直线和圆三种不同位置关系及相关概念直线和圆的位置关系直线名称公共点名称公共点个数d与r的大小关系相交割线2个d<r相切切线切点1个d=r相离无d>r7、注意：设圆心到直线的距离为d，圆的半径为r。
直线和圆的位置关系，由r与d的大小关系确定。
直线AB和⊙O相交；直线AB和⊙O相切；直线AB和⊙O相离。
8、切线的判定定理：经过半径外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线。
9、切线的判定定理：圆的切线垂直与经过切点的半径。
10、相关链接：由切线的性质定理和判定定理可知：圆的切线经过半径外端并且垂直于半径。
即切线与垂直是密不可分的，在解决与切线有关问题时，经常要用到垂直或90°的角。
11、提示：切线的判定通常有两种常见的题型：A.过半径，证垂直；B.作垂直，证半径。
有解题过程中，可根据具体情况灵活运用。
三、圆的基本性质1、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角。
2、三角形的内切圆、圆的内接三角形和三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，这个三角形叫做圆的外切三角形。
三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心。
三角形内心在三角形内部。
3、弦切角弦切角的定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。
弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。
4、注意：(1)切线长定理提供了两种不同的结论：A.切线长相等；B.角平分线。
在解题时根据需要选出其中的某个结论。
(2)直角三角形的内切圆半径有两种不同的方法：A.面积法；B.公式法。
公式需要推导，但运算要简便一些；面积法容易理解，是使用较多的方法。
5、注意：（1）相切分内切和外切两种，解题时要注意画出不同的图形。
（2）两圆相交时，d不仅要小于R+r，还要大于R-r(R>r).四、圆中的计算1、与圆有关的比例线段（1）相交弦定理：当弦AB、CD交于⊙O内的一点P时，则推论：当AB为直径，CD为弦，且CD⊥AB于P，则.（2）切割线定理：PAB为⊙O的割线，PT为⊙O的切线，切点为T，则推论：PAB、PCD为⊙O的割线，则（3）注意：定理中所有的线段具有以下两个特点：A.同一直线的两条线段相乘；B.线段的两个端点，一个是点P，另一个是直线与圆的交点。
2、圆周及弧长（1）圆的半径为R，则圆的周长.（2）半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长.3、圆面积，扇形面积（1）半径为R的圆的面积.（2）圆心角为n°的扇形面积4、提示：扇形的面积公式，与三角形的面积十分相似，注意比较。
5、圆锥（1）圆锥是由一个底面积和一个侧面围成的。
从圆锥的顶点到底面圆的距离是圆锥的高。
（2）圆锥的母线长都相等。
（3）圆锥的侧面展开图是扇形。
扇形的弧长等与底面圆的周长。
设圆锥的高为h，底面半径为r，母线长为a，弧长为l。
则侧面展开图面积.8、圆锥的侧面展开图的圆心角n由d得：或。
9、注意:圆锥的侧面积和全面积是两个不同的概念，答题时要注意区分。
第二部分例题精讲例1、如图，点A是半圆上一个三等分点，点B是弧AN的中点，点P是直径MN上一动点，⊙O的半径为1，则AP+BP的最小值为（）。
A. 1B.C.D.解：选D。
提示：过点B作⊥MN交O于，连结交MN于点P,此时点P是AP+BP 最小。
易知B与点关于MN对称，依题意∠AON=60°,则∠B’ON=∠BON=30°,所以∠AOB’=90°, ,故PA+PB的最小值为.例2、如图，某条河上有一座圆弧形拱桥ACB，桥下水面宽度AB为7.2米，桥的最高点处点C高出水面2.4米。
现有一艘宽3米，船舱顶部为方形并高出水面2米的货船要经过这里，问这艘货船能否顺利通过这座拱桥？请说明理由。
解：由垂径定理可知OP=1.5米，OC=1.5+2.4=3.9米解得：PQ=因为：所以：NF=2.1＞2即这艘船能顺利通过这座拱桥。
例3、如图，AB为⊙O的直径，C、D、E为圆上三点，∠E=30°,则∠C+∠D等于（）A.60°B.90°C.120°D.180°解：选B.提示不要受到∠E=30°的干扰。
例4、在直径为AB的半圆形区域内，划出一个三角形区域，是三角形的一边为AB，顶点C在半圆上，其他两边分别为6米和8米。
先要建造一个内接于△ABC的矩形水池DEFN，其中，DE在AB上，如图的设计方案是使AC=8米，BC=6米。
（1）求△ABC的边AB上的高h；（2）设DN=x，当x取何值时，水池DEFN的面积最大？（3）实际施工时，发现在AB上距B点1.85米的M处有一棵大树，问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？如果为保护大树，请设计出另外的方案，使内接于满足条件的三角形中欲建的最大矩形水池能避开大树。
解：（1）因为直径AB为三角形ABC斜边，所以AB= =10米，所以h= =4.8米（2）因为又因为，所以x= 时，（3）所以BE=1.8同理AD=3.2所以AC=6，BC=8即可。
例5、在△ABC中，AB=AC=13，BC=10.（1）求△ABC的内切圆半径；（2）如果⊙O与△ABC的两边相切（切点在△ABC的边上），与第三边相交，那么⊙O 的半径能否等于6?如果能，请求出与⊙O相切两边的交点与切点间的切线长；如果不能，请说明理由。
解：（1）如图1，设半径为x.，即得，（2）如图2，当⊙O与△ABC的AB、AC两边相切，且切点分别为B、C时，半径取最大值=不可能。
（设半径为x，则）如图3，当⊙O与△ABC的AB、BC两边相切时，过点B作∠ABC的平分线BE，过C作OC ⊥BC交BE于O，此时EC为半径的最大值：，所以当⊙O与△ABC的AB、BC两边相切时，⊙O 半径可以等于6，当半径为6时，切线长等于9。
例6、如图，⊙O与⊙O′相交于A和B两点，PQ切⊙O于P，交⊙O′于Q和M，交AB 的延长线与N，MN=3，NQ=15，则PN=_____________。
解：提示：，所以PN=例7、在矩形ABCD中，AB=24，AD=10，以AB为圆心作圆，如果B、C、D三点中，至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，求⊙A的半径R的取值范围。
解：⊙A的圆心为点A，且B、C、D三点中，至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，所以半径R应满足AD<R<AC.因为AD=10，AB=24，所以所以10<R<26.例8、如图，在⊙O中，弦CD垂直直径AB于M，弦AE交CD于F。
求证：证明：连CE.因为ABCD所以弧AC=弧AD.所以∠AEC=∠ACD，又因为∠EAC=∠FAC,所以△ACF∽△ACE所以因此例9、如图，以Rt△ABC的直角边BC为直径的⊙O交斜边AB于P，点Q是AC的中点。
求证：PQ是⊙O的切线。
证明：连OP,CP因为BC是⊙O的直径。
所以∠CPB=90°=∠APC因为Q为斜边AC的中点，所以CQ=AQ=PQ。
所以∠3=∠4又因为OC=OP,所以∠1=∠2，因为∠1+∠3=90°，所以∠2+∠4=∠1+∠3=90°。
即：∠OPQ=90.所以PQ为⊙O的切线。
例10、如图，AB为半圆⊙O的直径，C为半圆外一点，AC，BC分别与半圆交于D、E。
EF⊥AB于F，若AC=14，CE=4，AF∶BF=5∶1，求CD的长。
解：连AE，则AE⊥BE，设BF=x，则AF=5x。
第一步：由勾股定理，得：第二步：因为AE⊥BE，EF⊥AB，所以又∠A是公用角,所以△AEF∽△ABE.所以即所以同理：因为，所以第三步：由割线定理，得：所以例11、如图，PC为⊙O的切线，C为切点，PAB是过O点的割线，CD⊥AB于点D.若tanB=，PC=10cm，求三角形BCD的面积。