绝对值应用(分类讨论)(北师版)(含答案)
阶段拔尖专训4 绝对值的常见应用
当1＜ x ＜3时，原式＝( x －1)＋(3－ x )＝2；
当 x ≤1时，原式＝(1－ x )＋(3－ x )＝4－2 x .
【点拨】
要去掉两个绝对值的符号，就要同时确定两个绝对值
里的式子的正负号，可以使用零点分段法，用分类讨论的
a ， b 为正， c 为负.
｜｜
＋1＋(－1)＋(－1)＝0；
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＋
｜｜
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｜｜
10
＋
｜｜
＝1
阶段拔尖专训
(3)当 a ， b ， c 中，有一个正数，两个负数时，不妨设 a
为正， b ， c 为负.
｜｜
＋
｜｜
＋
｜｜
＋
｜｜
＝1
＋(－1)＋(－1)＋1＝0；
－3
2 之间的距离；｜ x ＋3｜表示 x 与
之间的距离；
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阶段拔尖专训
(3)当｜ x －2｜＋｜ x ＋3｜＝5时， x 可取整数 2(答案不
不唯一) .(写出一个符合条件的整数 x 即可)
【点拨】
因为｜ x －2｜＋｜ x ＋3｜＝5表示数轴上有理数 x 所
对应的点到2和－3所对应的点的距离之和为5，所以 x 在－
思想方法来解.
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七年级数学上册难点突破04绝对值试题含解析新版北师大版
专题04 绝对值【专题说明】1．掌握一个数的绝对值的求法和性质；2．进一步学习使用数轴,借助数轴理解绝对值的几何意义；3．会求一个数的绝对值,并会用绝对值比较两个负有理数的大小；4. 理解并会熟练运用绝对值的非负性进行解题.【知识点总结】一、绝对值1.定义:一般地,数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值,记作|a |.要点诠释:（1）绝对值的代数意义:一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a 都有:（2）绝对值的几何意义:一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离,离原点的距离越远,绝对值越大；离原点的距离越近,绝对值越小．（3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的．2.性质:绝对值具有非负性,即任何一个数的绝对值总是正数或0．二、有理数的大小比较1.数轴法:在数轴上表示出这两个有理数,左边的数总比右边的数小. 如:a 与b 在数轴上的位置如图所示,则a ＜b ．2.法则比较法:两个数比较大小,按数的性质符号分类,情况如下: 两数同号同为正号:绝对值大的数大同为负号:绝对值大的反而小两数异号 正数大于负数 (0)||0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩要点诠释:利用绝对值比较两个负数的大小的步骤:（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小:（3）判定两数的大小．3. 作差法:设a 、b 为任意数,若a －b ＞0,则a ＞b ；若a －b ＝0,则a ＝b ；若a －b ＜0,a ＜b ；反之成立．4. 求商法:设a 、b 为任意正数,若1a b >,则a b >；若1a b =,则a b =；若1a b<,则a b <；反之也成立．若a 、b 为任意负数,则与上述结论相反．5. 倒数比较法:如果两个数都大于零,那么倒数大的反而小.【精典例题】一、绝对值的概念1、求下列各数的绝对值．112-,－0.3,0,132⎛⎫-- ⎪⎝⎭【思路点拨】112,－0.3,0,132⎛⎫-- ⎪⎝⎭在数轴上位置距原点有多少个单位长度,这个数字就是各数的绝对值．还可以用绝对值法则来求解．【答案与解析】方法1:因为112-到原点距离是112个单位长度,所以111122-=． 因为－0.3到原点距离是0.3个单位长度,所以|－0.3|＝0.3．因为0到原点距离为0个单位长度,所以|0|＝0．因为132⎛⎫-- ⎪⎝⎭到原点的距离是132个单位长度,所以113322⎛⎫--= ⎪⎝⎭． 方法2:因为1102-<,所以111111222⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭． 因为－0.3＜0,所以|－0.3|＝－(－0.3)＝0.3．因为0的绝对值是它本身,所以|0|＝0因为1302⎛⎫-->⎪⎝⎭,所以113322⎛⎫--=⎪⎝⎭【总结升华】求一个数的绝对值有两种方法:一种是利用绝对值的几何意义求解(如方法1),一种是利用绝对值的代数意义求解(如方法2),后种方法的具体做法为:首先判断这个数是正数、负数还是零．再根据绝对值的意义,确定去掉绝对值符号的结果是它本身,是它的相反数,还是零．从而求出该数的绝对值．2、已知一个数的绝对值等于2009,则这个数是________．【答案】2009或－2009【解析】根据绝对值的定义,到原点的距离是2009的点有两个,从原点向左侧移动2009个单位长度,得到表示数－2009的点；从原点向右侧移动2009个单位长度,得到表示数2009的点．【总结升华】已知绝对值求原数的方法:(1)利用概念；(2)利用数形结合法在数轴上表示出来．无论哪种方法都要注意若一个数的绝对值是正数,则此数有两个,且互为相反数.3、计算:（1）145--（2）|－4|+|3|+|0| （3）－|+(－8)|【答案与解析】运用绝对值意义先求出各个绝对值再计算结果.(1)111444555⎡⎤⎛⎫--=---=-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,(2)|－4|+|3|+|0|＝4+3+0＝7,(3)－|+(－8)|＝－[－(－8)]＝－8．【总结升华】求一个数的绝对值有两种方法:一种是利用绝对值的几何意义求解,一种是利用绝对值的代数意义求解,后种方法的具体做法为:首先判断这个数是正数、负数还是零．再根据绝对值的代数意义,确定去掉绝对值符号的结果是它本身,是它的相反数,还是零．从而求出该数的绝对值．4、如果|x|＝6,|y|＝4,且x＜y．试求x、y的值．【思路点拨】6和－6的绝对值都等于6,4和－4的绝对值都等于4,所以要注意分类讨论．【答案与解析】因为|x|＝6,所以x＝6或x＝－6；因为|y|＝4,所以y＝4或y＝－4；由于x＜y,故x只能是－6,因此x＝－6,y＝±4．【总结升华】已知绝对值求原数的方法:(1)利用概念；(2)利用数形结合法在数轴上表示出来．无论哪种方法但要注意若一个数的绝对值是正数,则此数有两个,且互为相反数.此外,此题x＝－6,y＝±4,就是x＝－6,y＝4或x＝－6,y＝－4.二、比较大小1、比较下列有理数大小:(1)－1和0； (2)－2和|－3| ；(3)13⎛⎫-- ⎪⎝⎭和12- ；（4）1--______0.1-- 【答案】(1)0大于负数,即－1＜0；(2)先化简|－3|＝3,负数小于正数,所以－2＜3,即－2＜|－3|；(3)先化简1133⎛⎫--= ⎪⎝⎭,1122-=,1123>,即1132⎛⎫--<- ⎪⎝⎭． (4)先化简11--=-,0.10.1--=-,这是两个负数比较大小:因为11-=,0.10.1-=,而10.1>, 所以10.1-<-,即1--＜0.1--【解析】(2)、(3)、（4）先化简,再运用有理数大小比较法则．【点评】在比较两个负数的大小时,可按下列步骤进行:先求两个负数的绝对值,再比较两个绝对值的大小,最后根据“两个负数,绝对值大的反而小”做出正确的判断．2、比较下列每组数的大小:(1)－(－5)与－|－5|；(2)－(+3)与0；(3)45-与34--；(4)π-与| 3.14|--． 【思路点拨】先化简符号,去掉绝对值号再分清是“正数与零、负数与零、正数与负数、两个正数还是两个负数”,然后比较．【答案与解析】 (1)化简得:－(－5)＝5,－|－5|＝－5．因为正数大于一切负数,所以－(－5)＞－|－5|．(2)化简得:－(+3)＝－3．因为负数小于零,所以－(+3)＜0．(3)化简得:3344--=-．这是两个负数比较大小,因为44165520-==,33154420-==,且16152020>．所以4354-<--． (4)化简得:－|－3.14|＝－3.14,这是两个负数比较大小,因为 |－π|＝π,|－3.14|＝3.14,而π＞3.14,所以－π＜－|－3.14|．【总结升华】在比较两个负数的大小时,可按下列步骤进行:先求两个负数的绝对值,再比较两个绝对值的大小,最后根据“两个负数,绝对值大的反而小”做出正确的判断．三、绝对值非负性的应用1、已知|2－m|+|n－3|＝0,试求m－2n的值．【思路点拨】由｜a｜≥0即绝对值的非负性可知,｜2－m｜≥0,｜n－3｜≥0,而它们的和为0．所以｜2－m｜＝0,|n－3|＝0．因此,2－m＝0,n－3＝0,所以m＝2,n＝3．【答案与解析】因为|2－m|+|n－3|＝0且|2－m|≥0,|n－3|≥0所以|2－m|＝0,|n－3|＝0即2－m＝0,n－3＝0所以m＝2,n＝3故m－2n＝2－2×3＝－4．【总结升华】若几个数的绝对值的和为0,则每个数都等于0,即|a|+|b|+…+|m|＝0时,则a＝b＝…＝m＝0．2、已知a、b为有理数,且满足:12,则a=_______,b=________．【答案与解析】由,,,可得∴【总结升华】由于任何一个数的绝对值大于或等于0,要使这两个数的和为0,需要这两个数都为0．几个非负数的和为0,则每一个数均为0．四、含有字母的绝对值的化简1、把下列各式去掉绝对值的符号．(1)|a－4|(a≥4)；(2)|5－b|(b＞5)．【答案与解析】(1)∵ a≥4,∴a－4≥0,∴ |a－4|＝a－4．(2)∵ b＞5,∴ 5－b＜0,∴ |5－b|＝－(5－b)＝b－5．【总结升华】由字母的取值范围来判断绝对值里面的符号情况,再根据绝对值的意义去掉绝对值的符号.五、绝对值的实际应用1、正式足球比赛对所用足球的质量有严格的规定,下面是6个足球的质量检测结果,用正数记超过规定质量的克数,用负数记不足规定质量的克数．检测结果(单位:克):－25,+10,－20,+30,+15,－40．裁判员应该选择哪个足球用于这场比赛呢?请说明理由．【答案】因为｜+10｜＜｜+15｜＜｜－20｜＜｜－25｜＜｜+30｜＜｜－40｜,所以检测结果为+10的足球的质量好一些．所以裁判员应该选第二个足球用于这场比赛．【解析】根据实际问题可知,哪个足球的质量偏离规定质量越小,则足球的质量越好．这个偏差可以用绝对值表示,即绝对值越小偏差也就越小,反之绝对值越大偏差也就越大．【点评】绝对值越小,越接近标准.。
绝对值应用(绝对值的几何意义)(北师版)(含答案)
学生做题前请先回答以下问题问题1：绝对值的几何意义：①表示在数轴上，x所对应的点与_______的距离．②表示在数轴上____________________________对应点之间的距离．③表示____________________________对应点之间的距离．绝对值应用（绝对值的几何意义）（北师版）一、单选题(共10道，每道10分)1.已知，则a，b的值分别为( )A.a=3，b=5B.a=-3，b=5C.a=3，b=-5D.a=-3，b=-5答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：绝对值的非负性2.若，则ab=( )A.0B.3C.-3D.±3答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：绝对值的非负性3.若与互为相反数，则a+b=( )A.-1B.1C.5D.-5答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：绝对值的非负性4.若x为有理数，则的最小值为( )C.3D.5答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：绝对值的几何意义5.若x为有理数，则的最小值为( )A.1B.3答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：绝对值的几何意义6.若x为有理数，则的最小值为( )A.1B.2C.3D.4答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：绝对值的几何意义7.若x为有理数，则的最小值为( )A.2B.3C.4D.5答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：绝对值的几何意义8.当x=____时，有最_____值，是_____．( )A.0，小，6B.0，大，6C.0，小，0D.0，大，0答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：利用绝对值的非负性求最值9.当x=____时，有最_____值，是_____．( )A.4，小，3B.4，大，-3C.4，小，-3D.0，大，3答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：利用绝对值的非负性求最值10.当x=____时，有最_____值是_____．( )A.0，小，0B.0，小，3C.0，大，0D.0，大，3答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：利用绝对值的非负性求最值。
七年级数学寒假专题-绝对值北师大版
七年级寒假专题：绝对值北师大版【本讲教育信息】一. 教学内容：寒假专题一：绝对值二. 重点、难点：绝对值是中学数学的重要概念，有理数加减法是整式和其它运算的基础，它们是教学的重点，也是难点，如何突破这个难点，降低有理数的教学难度，提高有理数教学的效率，是我们面对的不得不深入思考的问题。
在教学有理数概念时，通过分析有理数的结构，明确有理数是由符号和绝对值组成的，从而引出绝对值概念，这样把有理数的绝对值与小学学习的数统一起来，以利于知识的迁移，也为突出符号教学开了头。
数轴通过分析把一个数用数轴上的点表示，明确一个数的符号决定表示该数的点在原点的哪一边，绝对值决定表示该数的点到原点的距离。
因此，我们说，一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离，有了绝对值概念，就可以用绝对值概念定义相反数即符号相反，绝对值相等的两个数（规定0的相反数为0），这比“只有符号不同的两个数互为相反数”更明确，清楚。
有理数的减法是转化为加法来计算的，实际上有理数的加法和减法本质上没有区别，都是代数和，因此，我们可以把加减法放在一起学习。
首先在学习相反数时，符号化简，“同号得正，异号得负”化简符号后，归纳出有理数加减法法则：两个有理数相加减，化简符号后，同号相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号相减，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
互为相反数的两个数的和为零。
一个数与零相加仍得这个数。
注意，无论加减，化简符号后看成是省略了加号只剩下符号和绝对值的式子。
如－3＋（＋2）化简为－3＋2看成是－3与＋2的和，省略了加号，读作－3加＋2或－3与＋2的和。
再如，－3－（＋2）化简为－3－2，看成是－3与－2的和，省略了加号，读作－3加－2或－3与－2的和。
这样，计算－3－2就是同号相加，取相同的符号“－”，并把绝对值（这里的绝对值直接认同小学学习过的数）相加即3＋2＝5，结果是－5。
计算－3＋2是异号相减，取绝对值（这里的绝对值直接认同小学学习过的数）大的符号“－”并用较大的绝对值减较小的绝对值即3－2＝1，结果是－1。
绝对值应用(分类讨论)(含答案)
绝对值应用（分类讨论）一、单选题(共10道，每道10分)1.若，则的值为( )A.4B.-4或4C.-4D.0答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：绝对值2.若，则的值为( )A.1B.±1C.±7D.1或7答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：绝对值3.若，则( )A.4B.8C.4或8D.4或-8答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：绝对值4.若，，则( )A.8B.±8C.8或-2D.±2答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：绝对值5.若，，则( )A.-3B.-3或7C.3或-7D.±3或±7答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：绝对值6.已知，，且ab<0，则a+b的值为( )A.±3B.±13C.3或-13D.-3或13答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：绝对值7.若，，且x＞y，则x-y的值为( )A.3或11B.3或11或-7C.3或11或1D.3或-7或1答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：绝对值8.已知，，且，则的值为( )A.±3B.-3或-7C.-3或7D.或答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：绝对值9.已知a，b为有理数，且ab>0，则的值为( )A.-3或1B.-3或-1C.3或1D.3或-1答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：绝对值10.若，则的取值共有( )A.4个B.3个C.2个D.1个答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：绝对值。
北师大数学七年级上册第二章绝对值
第02讲_绝对值知识图谱绝对值知识精讲一．非负性绝对值的定义一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作绝对值的代数意义绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．即：对于一个数a，例：若，则k需要满足什么条件？k-6与6-k互为相反数，故k-6是负数，k<6绝对值的非负性绝对值具有非负性．即对于任意实数a，总有．如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0．例如：若，则，，．*非负性的应用：1、若多个非负数之和为0，则它们都为0（1）若，则a、b的值为多少？绝对值是非负数，故a-3=0，b+2=0，即a=3，b=-2（2）若，则m、n的值为多少？绝对值和平方数都是非负数，故m+7=0，n-9=0，即m=-7，n=9 2、若有最大值，则c的值为多少？越小，原式值越大，，故当=0，即c=-8时，原式有最大值2二．绝对值的几何意义三点剖析一．考点：绝对值的非负性、绝对值的几何意义．绝对值的计算1、 一个数的绝对值等于它的相反数的绝对值． 即对于任意实数a ，2、乘积的绝对值等于绝对值的乘积，商的绝对值等于绝对值的商． 即对于任意实数a 、b ，，3、绝对值内的非负因数或因式可以直接提到绝对值号外面．例如：，绝对值的几何意义数轴上一个数所对应的点到原点的距离．即的 几何意义就是数轴上表示数a 的点与原点的距离． 推而广之：代数式的 几何意义就是数轴上数x 、数a 所对应的两点之间的距离． 例：表示数m 到7的距离；表示数n 到-5的距离几何含义的应用1、在数轴上到3的距离为8的数字是？，故x=11或-52、已知，求的值，x -y 的值为6或2二．重难点：绝对值的非负性、绝对值的几何意义．三．易错点：1．一个数的绝对值，一定不小于它本身，也不小于它的相反数．即对于任意有理数a ，总有a a ≥，a a ≥-．2． 一个数的绝对值等于它的相反数的绝对值．即对于任意实数a ，a a =-． 3． 乘积的绝对值等于绝对值的乘积，商的绝对值等于绝对值的商．即对于任意实数a 、b ，ab a b =，a ab b =(0)b ≠．4． 绝对值内的非负因数或因式可以直接提到绝对值号外面． 例如：22a a =，22a b a b =．非负性例题1、 ﹣2的绝对值是（ ）A.﹣2B.﹣12C.2D.12【答案】 C【解析】 因为|﹣2|=2例题2、 已知一个数的绝对值是4，则这个数是 ． 【答案】 ±4【解析】 绝对值是4的数有两个，4或﹣4． 例题3、 设a 是实数，则|a|﹣a 的值（ ） A.可以是负数 B.不可能是负数 C.必是正数 D.可以是正数也可以是负数 【答案】 B【解析】 （1）a ≥0时，|a|﹣a=a ﹣a=0； （2）a ＜0时，|a|﹣a=﹣a ﹣a=﹣2a ＞0． 故选B ．例题4、 当1＜a ＜2时，代数式|a ﹣2|+|1﹣a|的值是（ ） A.﹣1 B.1 C.3 D.﹣3 【答案】 B【解析】 当1＜a ＜2时， |a ﹣2|+|1﹣a|=2﹣a+a ﹣1=1．例题5、 已知|a+2|+|b ﹣1|=0，则（a+b ）﹣（b ﹣a ）=______． 【答案】 -4【解析】 ∵|a+2|+|b ﹣1|=0，∴a+2=0，b ﹣1=0，即a=﹣2，b=1， 则原式=a+b ﹣b+a=2a=﹣4．例题6、 已知245310a b c -++++=，求a 、b 、c 的值. 【答案】 2a =，5b =-，13c =-．【解析】 由绝对值的非负性知，245310a b c -=+=+=．随练1、 若|a|=﹣a ，则实数a 在数轴上的对应点一定在（ ） A.原点左侧 B.原点或原点左侧 C.原点右侧 D.原点或原点右侧【答案】 B【解析】 ∵|a|=﹣a ， ∴a 一定是非正数，∴实数a 在数轴上的对应点一定在原点或原点左侧．随练2、 12-的绝对值是（ ）A.12-B.12C.2D.2-【答案】 B【解析】 1122-=绝对值的几何意义例题1、 如果a ，b ，c ，d 为互不相等的有理数，且1a c b c d b -=-=-=，那么a d -=__________． 【答案】 3【解析】 可通过数轴画出得a d -=3例题2、 （1）x 的几何意义是数轴上表示____的点与____之间的距离；x _____0x -（选填“>”，“=”或“<”） （2）3x -的几何意义是数轴上表示____的点与表示____的点之间的距离，若31x -=，则x =__________ （3）2x +的几何意义是数轴上表示____的点与表示____的点之间的距离，若22x +=，则x =__________ （4）数轴上表示x 的点与表示1-的点之间的距离可表示为__________【答案】 （1）x ；原点；=（2）x ；3；2或4（3）x ；2-；0或4-（4）1x + 【解析】 x a -的几何意义是数轴上表示x 的点与表示a 的点之间的距离例题3、 如果对于某一给定范围内的x 值，13p x x =++-为定值，则此定值为________，此时x 的取值范围是___________【答案】 4；13x -≤≤【解析】 利用绝对值的几何意义，结合数轴解题．当13x -≤≤时，13x x ++-为定值：()314--= 随练1、 若|a ﹣b|=b ﹣a ，且|a|=3，|b|=2，则（a+b ）3的值为（ ） A.1或125 B.﹣1 C.﹣125 D.﹣1或﹣125 【答案】 D【解析】 ∵|a ﹣b|=b ﹣a ， ∴a ＜b ，∴a=﹣3，b=±2．（1）a=﹣3，b=﹣2时，（a+b ）3=﹣125； （2）a=﹣3，b=2时，（a+b ）3=﹣1． 随练2、 探究题：（1）比较下列各式的大小：23-+______23-+，35-+-______()()35-+-，05+-______()05+-．（2）通过（1）的比较，请你分析，归纳出当a 、b 为有理数时，a b +与a b +的大小关系． （3）根据（2）中你得出的结论，求当55x x +=-时，求x 的取值范围． 【答案】 （1）>；=；=．（2）a b a b +≥+（3）0x ≤ 【解析】 （1）235-+=，231-+=，所以2323-+>-+；358-+-=，()()358-+-=，所以()()3535-+-=-+-；055+-=，()055+-=，所以()0505+-=+-．（2）通过比较（1）中的结论，不难发现a b a b +≥+（当且仅当0ab ≥时取“=”）． （3）结合（2）中的结论，若55x x +=-，则应满足50x -≥，即0x ≤．随练3、 如图，M ，N ，P ，R 分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且MN=NP=PR=1．数a 对应的点在M 与N 之间，数b 对应的点在P 与R 之间，若|a|+|b|=3，则原点是（ ）A.M 或NB.M 或RC.N 或PD.P 或R【答案】B【解析】∵MN=NP=PR=1，∴|MN|=|NP|=|PR|=1，∴|MR|=3；①当原点在N或P点时，|a|+|b|＜3，又因为|a|+|b|=3，所以，原点不可能在N或P点；②当原点在M、R时且|Ma|=|bR|时，|a|+|b|=3；综上所述，此原点应是在M或R点．随练4、如图，数轴上的点A、B、C分别表示数﹣3、﹣1、2．（1）A、B两点的距离AB= ，A 、C两点的距离AC= ；（2）通过观察，可以发现数轴上两点间距离与这两点表示的数的差的绝对值有一定关系，按照此关系，若点E表示的数为x，则AE= ；（3）利用数轴直接写出|x﹣1|+|x+3|的最小值= ．【答案】（1）2，5；（2）|x+3|；（3）4【解析】（1）如图所示：AB=2，AC=5．故答案为：2，5；（2）根据题意可得：AE=|x+3|．故答案为：|x+3|；（3）利用数轴可得：|x﹣1|+|x+3|的最小值为：4．故答案为：4．绝对值综合知识精讲一．绝对值的化简利用代数意义去绝对值号化简含绝对值的式子，关键是去绝对值符号．先根据题设所给的条件，判断绝对值符号内的数a（或式子a）的正负（即0a>，0a<还是0a=）；然后根据绝对值的代数意义去掉绝对值符号．如：计算1b-=_____________()1b<．由于1b<，所以10b-<，根据绝对值的代数意义，应有()111b b b-=--=-+．*注意：去绝对值符号时，应将绝对值符号内的数（或式子）看做一个整体，并注意去括号时符号的变化．当题目中没有明确指出未知数的取值范围时，则需要将所有情况都分类列举出来．例如，计算3x-：当3x≥时，33x x-=-；当3x<时，()333x x x-=--=-．利用零点分段法去绝对值号对于含多个绝对值的情况，我们往往用零点分段法计算化简．例如：化简12x x+--．第一个绝对值内部为1x+，当1x=-时第一个绝对值为零；第二个绝对值内部为2x-，当2x=时第二个绝对值为零．我们将1-、2称为是零点，这两个零点将整个数轴分为三部分（如图），我们对这三个部分进行分类讨论．1、当1x <-时，1x +、2x -均为负值， 于是()()12123x x x x +--=-+---=-⎡⎤⎣⎦；2、当12x -≤<时，1x +为非负值、2x -为负值， 于是()121221x x x x x +--=+---=-⎡⎤⎣⎦；3、当2x ≥时，1x +、2x -均为非负值， 于是()()12123x x x x +--=+--=．零点是我们分类的依据，因为这些零点确定了每个绝对值内部的正、负．零点分段法的一般步骤：找零点、分区间、定符号、去绝对值符号．即先令各绝对值式子为零，求得若干个绝对值为零的点，在数轴上把这些点标出来，这些点把数轴分成若干部分，再在各部分内化简求值．二．绝对值的最值问题 （一）和最小x a x b -+-的几何意义是数轴上表示数x 的点到表示数a 、数b 两点的距离之和，其中数a 、数b 的对应点为数轴上的一个定点，数x 的对应点为一个动点，可以在数轴上移动．绝对值的最值问题，用零点分段法可以解决，但是会比较繁琐，而采用数形结合的方法，运用绝对值的几何意义求解，往往能取得事半功倍的效果．经过总结归纳我们发现了这样的规律： ①对于代数式：123n x a x a x a x a -+-+-++-（123n a a a a ≤≤≤≤）：0 2如计算的最小值．（1）将使两个绝对值分别为时的值标在数轴上（如图），数轴被分为个区域；（2）假设代表动点的点（图中小黑球）从左到右在数轴上移动，根据绝对值的几何意义，我们可将所求表示为两条线段的和，即． （3）在个区域中分别画出线段并比较，可以发现当时，两线段和最小，为定值． *若将题目改为计算的最小值．我们使用相同的方法进行分析，发现只有当时取得最小值，而不再是在一个范围内取得最小值了．当为奇数时，在处取最小值，即在个点的中心点处；当为偶数时，在区域取最小值，即数轴被个点分成段的中心区域．②对于代数式112233n n b x a b x a b x a b x a -+-+-++-的最值问题，我们先将代数式转化为特殊形式：123n x a x a x a x a -+-+-++-（123n a a a a ≤≤≤≤），然后通过上述方法求解．如：111212222222x x x x x x x -++=-++=-+-++． （二）差最大类比绝对值之和最小值问题，计算12x x ---的最大值求差的最大值，需要被减数越大1x -，减数2x -越小，从几何意义分析即x 与1距离远，与2距离近，当x 在1、2之间时，无论如何变化，距离之差始终不超过1；当x=2时，x 与2的距离最小，为0，此时原式结果恰好为1和2之间的距离，等于1；若x 继续增大，两距离之差依然为1。
北师大数学初一上 绝对值问题 专题分类整理
含绝对值的一次方程1．含绝对值的一次方程的解法（1）形如(0)ax b c a +=≠型的绝对值方程的解法：①当0c <时，根据绝对值的非负性，可知此时方程无解；②当0c =时，原方程变为0ax b +=，即0ax b +=，解得b x a =-；③当0c >时，原方程变为ax b c +=或ax b c +=-，解得c b x a -=或c b x a --=．（2）形如(0)ax b cx d ac +=+≠型的绝对值方程的解法：①根据绝对值的非负性可知0cx d +≥，求出x 的取值范围；②根据绝对值的定义将原方程化为两个方程ax b cx d +=+和()ax b cx d +=-+；③分别解方程ax b cx d +=+和()ax b cx d +=-+；④将求得的解代入0cx d +≥检验，舍去不合条件的解．（3）形如(0)ax b cx d ac +=+≠型的绝对值方程的解法：①根据绝对值的定义将原方程化为两个方程ax b cx d +=+或()ax b cx d +=-+；②分别解方程ax b cx d +=+和()ax b cx d +=-+．（4）形如()x a x b c a b -+-=<型的绝对值方程的解法：①根据绝对值的几何意义可知x a x b a b -+-≥-； ②当c a b <-时，此时方程无解；当c a b =-时，此时方程的解为a x b ≤≤；当c a b >-时，分两种情况：①当x a <时，原方程的解为2a b c x +-=；②当x b >时，原方程的解为2a b c x ++=．（5）形如(0)ax b cx d ex f ac +±+=+≠型的绝对值方程的解法：①找绝对值零点：令0ax b +=，得1x x =，令0cx d +=得2x x =；②零点分段讨论：不妨设12x x <，将数轴分为三个区段，即①1x x <；②12x x x ≤<；③2x x ≥；③分段求解方程：在每一个区段内去掉绝对值符号，求解方程并检验，舍去不在区段内的解．（6）形如(0)ax b cx d ex f a +++=+≠型的绝对值方程的解法：解法一：由内而外去绝对值符号：按照零点分段讨论的方式，由内而外逐层去掉绝对值符号，解方程并检验，舍去不符合条件的解．解法二：由外而内去绝对值符号：①根据绝对值的非负性可知0ex f +≥，求出x 的取值范围；②根据绝对值的定义将原方程化为两个绝对值方程()ax b ex f cx d +=+-+和 ()()ax b ex f cx d +=-+-+；③解②中的两个绝对值方程．直接求解1、方程│5x+6│=6x-5的解是_______.(2000年重庆市竞赛题)思路点拨设法去掉绝对值符号,将原方程化为一般的一元一次方程来求解. 解:x=11提示:原方程5x+6=±(6x-5)或从5x+6≥0、5x+6<0讨论.2、解方程:│x-│3x+1││=4; (天津市竞赛题)思路点拨从内向外,根据绝对值定义性质简化方程.解:x=-54或x=32提示:原方程化为x-│3x+1=4或x-│3x+1│=-43、解下列方程:(1)│x+3│-│x-1│=x+1; (北京市“迎春杯”竞赛题)(2)│x-1│+│x-5│=4. (“祖冲之杯”邀请赛试题)思路点拨解含多个绝对值符号的方程最常用也是最一般的方法是将数轴分段进行讨论,采用前面介绍的“零点分段法”分类讨论;有些特殊的绝对值方程可利用绝对值的几何意义迅速求解.解:(1)提示:当x<-3时,原方程化为x+3+(x-1)=x+1,得x=-5;当-3≤x<1时,原方程化为x+3+x-1=x+1,得x=-1;当x≥1时,原方程化为x+3-(x-1)=x+1,得x=3.综上知原方程的解为x=-5,-1,3.(2)提示:方程的几何意义是,数轴上表示数x的点到表示数1及5的距离和等于4,画出数轴易得满足条件的数为1≤x≤5,此即为原方程的解.4、方程3(│x│-1)= ||5x+1的解是_______;方程│3x-1│=│2x+1│的解是____.4、±107、2或05、已知│3990x+1995│=1995,那么x=______.5、0或-16、已知│x │=x+2,那么19x 99+3x+27的值为________.6、.57、若│2000x+2000│=20×2000,则x 等于( ).A.20或-21B.-20或21C.-19或21D.19或-21 (2001年重庆市竞赛题)7、D8、解下列方程:(1)││3x-5│+4│=8; (2)│4x-3│-2=3x+4;(3)│x-│2x+1││=3; (4)│2x-1│+│x-2│=│x+1│.8、(1)x=3或x=13; (2)x=9或x=-37; (3)x=-43或x=2; (4)提示:分x<-1、-1≤x<12 、 •12≤x ≤2、x ≥2四种情况分别去掉绝对值符号解方程,当考虑到12≤x ≤2时,•原方程化为(2x-1)-(x-2)=x+1,即1=1,这是一个恒等式,说明凡是满足12≤x ≤2的x 值都是方程的解. 9、方程5665-=+x x 的解是 ．(重庆市竞赛题)思路点拨 没法去掉绝对值符号，将原方程化为一般的一元一次方程来求解．讨论解的个数情况1、适合│2a+7│+│2a-1│=8的整数a 的值的个数有( ).A.5B.4C.3D.2 (第11届“希望杯”邀请赛试题)思路点拨 用分类讨论法解过程繁琐,仔细观察数据特征,借助数轴也许能找到简捷的解题途径.解:选B提示:由已知即在数轴上表示2a 的点到-7与+1的距离和等于8,•所以2a 表示-7到1之间的偶数.注：形如d cx b ax +=+的绝对值方程可变形为)(d cx b ax +±=+且0≥+d cx ， 才是原方程的根，否则必须舍去，故解绝对值时应检验．2、方程│x-5│+x-5=0的解的个数为( ).A.不确定B.无数个C.2个D.3个 (“祖冲之杯”邀请赛试题)2、B讨论解是否存在的情况1、已知关于x的方程│x-2│+│x-3│=a,研究a存在的条件,对这个方程的解进行讨论.思路点拨方程解的情况取决于a的情况,a与方程中常数2、3有依存关系,这种关系决定了方程解的情况,因此,探求这种关系是解本例的关键,•运用分类讨论法或借助数轴是探求这种关系的重要方法与工具,读者可从两个思路去解.解:提示:数轴上表示数x的点到数轴上表示数2,3的点的距离和的最小值为1,由此可得方程解的情况是:(1)当a>1时,原方程解为x=52a;(2)当a=1时,原方程解为2≤x≤3;(3)当a<1时,原方程无解.2、使方程3│x+2│+2=0成立的未知数x的值是( ).A.-2B.0C. 23D.不存在2、D3、已知关于x的方程mx+2=2(m-x)的解满足│x-12|-1=0,则m的值是( ).A.10或25B.10或-25C.-10或25D.-10或-25(2000年山东省竞赛题)3、A4、讨论方程││x+3│-2│=k的解的情况.4、当k<0时,原方程无解;当k=0时,原方程有两解:x=-1或x=-5;当0<k<2时,原方程化为│x+3│=2±k,此时原方程有四解:x=-3±(2±k);当k=2时,原方程化为│x+•3│=2±2,此时原方程有三解:x=1或x=-7或x=-3;当k>2时,原方程有两解:x+3=±2(•2+k).5、当a 满足什么条件时,关于x 的方程│x-2│-│x-5│=a 有一解?有无数多个解?无解?5、提示:由绝对值几何意义知:当-3<a<3时,方程有一解;当a=±3时,•方程有无穷多个解;当a>3或a<-3时,方程无解.6、已知关于x 的方程a x x =-+-32，研究a 存在的条件，对这个方程的解进行讨论． 思路点拨 方程解的情况取决于a 的情况，a 与方程中常数2、3有依存关系，这种关系决定了方程解的情况，因此，探求这种关系是解本例的关键．运用分类讨它法或借助数轴是探求这种关系的重要方法与工具，读者可从两个思路去解．注 本例给出了条件，但没有明确的结论，这是一种探索性数学问题，它给我们留有自由思考的余地和充分展示思维的广阔空间，我们应从问题的要求出发，进行分析、收集和挖掘题目提供的各种信息，进行全面研究．创新拓展题1、已知│x+2│+│1-x│=9-│y-5│-│1+y│,求x+y的最大值与最小值.(第15届江苏省竞赛题)1、提示:已知等式可化为:│x+2│+│x-1│+│y+1│+│y-5│=9,•由绝对值的几何意义知,当-2≤x≤1且-1≤y≤5时,上式成立,故当x=-2,y=-1时,x+y有最小值为-3;当x=1,y=5时,x+y的最大值为6.2、(1)数轴上两点表示的有理数是a、b,求这两点之间的距离;(2)是否存在有理数x,使│x+1│+│x-3│=x?(3)是否存在整数x,使│x-4│+│x-3│+│x+3│+│x+4│=14?如果存在,•求出所有的整数x;如果不存在,说明理由.2、(1)│a-b│;(2)不存在;(3)x=±3,±2,±1,0.。
北师七年级上册绝对值有关分类讨论
一．选择题（共 6 小题）1．若 m 是有理数，则 |m|﹣ m 一定是（）A ．零B ．非负数C．正数D．负数2．已知 a， b， c 为非零的实数，则的可能值的个数为（）A ．4 B．5 C．6 D．73．下列结论成立的是（）A ．若 |a|＝ a，则 a＞ 0 B．若 |a|＝ |b|，则 a＝± bC．若 |a|＞ a，则 a≤ 0 D．若 |a|＞ |b|，则 a＞ b．4．当 |a|＝ 5， |b|＝ 7，且 |a+b|＝a+b，则 a﹣ b 的值为（）A ．﹣ 12 B．﹣ 2 或﹣ 12 C．2 D．﹣ 25．数轴上点 A 和点 B 表示的数分别是﹣ 1 和 3，点 P 到 A、B 两点的距离之和为6，则点 P 表示的数是（）A．﹣3 B．﹣3 或 5 C．﹣ 2 D．﹣2或 46．已知 a、b 互为相反数， c、d 互为倒数， x 的绝对值等于4 2的值为（）2，则 x +cdx﹣A ．15B ．20 C．﹣20D． 20 或﹣ 20二．填空题（共8 小题）7．已知 a， b， c 都是有理数，且满足＝ 1，那么 6﹣＝．8．如图，数轴上的有理数a，b 满足 |3a﹣ b|﹣ |a+2b|＝ |a|，则＝．9．已知 |a|＝m+1 ， |b|＝ m+4，其中 m＞ 0，若 |a﹣ b|＝ |a|+|b|，则 a+b 的值为．10．已知 abc≠ 0，且+ + + 的最大值为m，最小值为n，则m+n＝．11．如果 x、 y 都是不为 0 的有理数，则代数式的最大值是．12．点 M 表示的有理数是﹣1，点 M 在数轴上移动 5 个单位长度后得到点N，则点 N 表示的有理数是．13．已知点 A 在数轴上原点左侧，距离原点 3 个单位长度，点B 到点 A 的距离为 2 个单位长度，则点B 对应的数为．第1页（共 14页）14．若 x、y 互为相反数， a、b 互为倒数， c 的绝对值等于2，则（2018 2018 2 ）﹣（﹣ ab）+c＝．三．解答题（共 5 小题）15．阅读下列材料完成相关问题：已知a， b、 c 是有理数（ 1）当 ab＞ 0，a+b＜ 0 时，求的值；（ 2）当 abc≠ 0 时，求的值；（ 3）当 a+b+c＝0， abc＜ 0，的值．16．分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简|a|时，可以这样分类：当a＞ 0 时， |a|＝ a；当 a＝0 时， |a|＝ 0；当 a＜ 0 时， |a|＝﹣ a．用这种方法解决下列问题：（ 1）当 a＝ 5 时，求的值．（ 2）当 a＝﹣ 2 时，求的值．（ 3）若有理数a 不等于零，求的值．（ 4）若有理数a、 b 均不等于零，试求的值．17．已知三个非零的有理数a、 b、 c，记+ + 的最大值为x，最小值为y，求 x ÷（﹣ 4y）的值．第2页（共 14页）18．（ 1）【问题发现】数学小组遇到这样一个问题：若a，b 均不为零，求x＝的值．小明说：“考虑到要去掉绝对值符号，必须对字母a，b 的正负作出讨论，又注意到a，b在问题中的平等性，可从一般角度考虑两个字母的取值情况．”解：①当两个字母 a， b 中有 2 个正， 0 个负时，x＝+＝ 1+1＝ 2；②当两个字母 a，b 中有 1 个正，1 个负时，无论谁正谁负，x 都等于0；③当两个字母 a，b 中有 0 个正，2 个负时， x＝+ ＝﹣ 1﹣ 1＝﹣ 2；综上，当 a， b 均不为零，求x 的值为﹣ 2， 0，2．（ 2）【拓展探究】若 a，b， c 均不为零，求x＝+ ﹣的值．（ 3）【问题解决】若 a，b， c 均不为零，且a+b+c＝ 0，直接写出代数式+ + 的值．19．有理数a、 b、 c 在数轴上的位置如图所示（1）比较 a、 b、 |c|的大小（用“＞”连接）；（2）若 n＝ |b+c|﹣ |c﹣1|﹣ |b﹣ a|，求 1﹣2017?（ n+a）2018的值；（3）若 a＝， b＝﹣ 2，c＝﹣ 3，且 a、 b、 c 对应的点分别为 A、B、 C，问在数轴上是否存在一点M，使 M 与 B 的距离是 M 与 A 的距离的 3 倍，若存在，请求出 M 点对应的有理数；若不存在，请说明理由．第3页（共 14页）参考答案与试题解析一．选择题（共 6 小题）1．若 m 是有理数，则 |m|﹣ m 一定是（）A ．零B ．非负数C．正数D．负数【解答】解：若 m≥ 0，则 |m|﹣ m＝0，若m＜ 0，则 |m|﹣ m＝﹣ m﹣ m＝﹣ 2m＞ 0，即 |m|﹣ m≥ 0，故选： B．2．已知 a， b， c 为非零的实数，则的可能值的个数为（）A ．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：① a、 b、 c 三个数都是正数时，a＞ 0， ab＞0， ac＞ 0， bc＞ 0，原式＝ 1+1+1+1＝ 4；②a、 b、 c 中有两个正数时，设为 a＞ 0， b＞ 0， c＜ 0，则ab＞0， ac＜ 0， bc＜ 0，原式＝ 1+1﹣ 1﹣1＝0；设为 a＞ 0， b＜ 0， c＞ 0，则ab＜0， ac＞ 0， bc＜ 0，原式＝ 1﹣ 1+1﹣1＝0；设为 a＜ 0， b＞ 0， c＞ 0，则ab＜0， ac＜ 0， bc＞ 0，原式＝﹣ 1﹣ 1﹣1+1＝﹣ 2；③a、b、c 有一个正数时，设为 a＞ 0， b＜ 0，c＜ 0，第4页（共 14页）则ab＜0， ac＜ 0， bc＞ 0，原式＝ 1﹣ 1﹣ 1+1＝0；设为 a＜ 0， b＞ 0， c＜ 0，则ab＜0， ac＞ 0， bc＜ 0，原式＝﹣ 1﹣ 1+1﹣ 1＝﹣ 2；设为 a＜ 0， b＜ 0， c＞ 0，则ab＞0， ac＜ 0， bc＜ 0，原式＝﹣ 1+1 ﹣ 1﹣ 1＝﹣ 2；④ a、 b、 c 三个数都是负数时，即a＜0， b＜ 0， c＜ 0，则ab＞0， ac＞ 0， bc＞0，原式＝﹣ 1+1+1+1＝ 2．综上所述，的可能值的个数为4．故选： A．3．下列结论成立的是（）A ．若 |a|＝ a，则 a＞ 0 B．若 |a|＝ |b|，则 a＝± bC．若 |a|＞ a，则 a≤ 0 D．若 |a|＞ |b|，则 a＞ b．【解答】解： A．若 |a|＝ a，则 a 为正数或0，故结论不成立；B．若 |a|＝ |b|，则 a 与 b 互为相反数或相等，故结论成立；C．若 |a|＞ a，则 a 为正数，故结论不成立；D ．若 |a|＞ |b|，若 a， b 均为负数，则a＜b，故结论不成立；故选： B．4．当 |a|＝ 5， |b|＝ 7，且 |a+b|＝a+b，则 a﹣ b 的值为（）A ．﹣ 12 B．﹣ 2 或﹣ 12 C．2 D．﹣ 2【解答】解：∵ |a|＝ 5， |b|＝ 7，∴ a＝± 5， b＝± 7第5页（共 14页）∵a+b＞0，∴ a＝± 5． b＝ 7，当a＝5， b＝ 7 时， a﹣ b＝﹣ 2；当a＝﹣ 5， b＝ 7 时， a﹣b＝﹣12；故 a﹣b 的值为 2 或﹣ 12．故选： B．5．数轴上点 A 和点 B 表示的数分别是﹣ 1 和 3，点 P 到 A、B 两点的距离之和为6，则点 P 表示的数是（）A．﹣3 B．﹣3 或 5 C．﹣2 D．﹣2或 4【解答】解：∵ AB＝ |3﹣（﹣ 1）|＝ 4，点 P 到 A、B 两点的距离之和为设点 P 表示的数为 x，∴点 P 在点 A 的左边时，﹣ 1﹣ x+3﹣ x＝6，解得： x＝﹣ 2，点P 在点 B 的右边时， x﹣ 3+x﹣（﹣ 1）＝6，解得： x＝ 4，综上所述，点P 表示的数是﹣ 2 或 4．故选： D．6．已知 a、b 互为相反数， c、d 互为倒数， x 的绝对值等于4 22，则 x +cdx﹣6，的值为（）A ．15B ．20 C．﹣ 20 D． 20 或﹣ 20【解答】解：根据题意知a+b＝ 0，cd＝ 1， x＝± 2，则原式＝（± 2）4+1×（± 2）2﹣＝ 16+4＝ 20，故选： B．二．填空题（共8 小题）7．已知 a， b， c 都是有理数，且满足＝ 1，那么 6﹣＝ 7 ．【解答】解：根据绝对值的意义，知：一个非零数的绝对值除以这个数，等于1 或﹣1．第6页（共 14页）又＝ 1，则其中必有两个1 和一个﹣ 1，即 a， b，c 中两正一负．则＝﹣ 1，则 6﹣＝ 6﹣（﹣ 1）＝ 7．故答案为： 7．8．如图，数轴上的有理数a，b 满足 |3a﹣ b|﹣ |a+2b|＝ |a|，则＝﹣．【解答】解：∵由题意可知： 3a﹣ b＜ 0， a+2b＞ 0， a＜0，∴b﹣ 3a﹣（ a+2b）＝﹣ a．整理得：﹣ b＝ 3a．∴．故答案为：﹣．9．已知 |a|＝m+1 ， |b|＝ m+4，其中 m＞ 0，若 |a﹣ b|＝ |a|+|b|，则 a+b 的值为± 3 ．【解答】解：∵ |a|＝ m+1，|b|＝ m+4，∴a＝±（ m+1）， b＝±（ m+4）当 a＝m+1，b＝ m+4 时|a﹣ b|＝ |m+1﹣ m﹣ 4|＝ 3|a|+|b|＝ m+1+ m+4＝ 2m+5∵m＞ 0∴2m+5 ＞ 0∴|a﹣ b|≠ |a|+|b|当a＝m+1，b＝﹣ m﹣ 4 时|a﹣ b|＝ |m+1+ m+4|＝ 2m+5|a|+|b|＝ m+1+ m+4＝ 2m+5∴|a﹣ b|＝ |a|+|b|当a＝﹣ m﹣1， b＝ m+4 时|a﹣ b|＝ |﹣m﹣ 1﹣m﹣ 4|＝ |﹣ 2m﹣5|＝ 2m+5∴|a﹣ b|＝ |a|+|b|当 a＝﹣ m﹣1， b＝﹣ m﹣4 时第7页（共 14页）|a﹣ b|＝ |﹣m﹣ 1+m+4|＝ 3∴|a﹣ b|≠ |a|+|b|∴a＝m+1 ，b＝﹣ m﹣ 4 或 a＝﹣ m﹣ 1， b＝ m+4∴a+b＝m+1﹣ m﹣ 4＝﹣ 3或a+b＝﹣ m﹣ 1+ m+4 ＝ 3故答案为：± 3．10．已知 abc≠ 0，且+ + + 的最大值为m，最小值为 n，则 m+n＝0 ．【解答】解：∵ a， b， c 都不等于 0，∴有以下情况：①a， b， c 都大于 0，原式＝ 1+1+1+1 ＝ 4；② a， b， c 都小于 0，原式＝﹣ 1﹣ 1﹣1﹣ 1＝﹣ 4；③a， b， c，一负两正，不妨设 a＜ 0， b＞ 0， c＞0，原式＝﹣ 1+1+1﹣ 1＝ 0；④a， b， c，一正两负，不妨设 a＞ 0， b＜ 0， c＜0，原式＝ 1﹣ 1﹣ 1+1＝ 0；∴ m＝ 4， n＝﹣ 4，∴ m+n＝ 4﹣4＝ 0．故答案为： 0．11．如果 x、 y 都是不为 0 的有理数，则代数式的最大值是 1 ．【解答】解：①当 x， y 中有二正，＝1+1﹣ 1＝1；②当 x， y 中有一负一正，＝1﹣ 1+1＝1；③当 x， y 中有二负，＝﹣ 1﹣ 1﹣1＝﹣ 3．故代数式的最大值是1．故答案为： 1．12．点 M 表示的有理数是﹣1，点 M 在数轴上移动 5 个单位长度后得到点N，则点 N 表示第8页（共 14页）的有理数是﹣6或4 ．【解答】解：﹣ 1﹣ 5＝﹣ 6，或﹣ 1+5＝4．故点 N 表示的有理数是﹣6或 4．故答案为：﹣ 6或 4．13．已知点 A 在数轴上原点左侧，距离原点3 个单位长度，点 B 到点 A 的距离为2 个单位长度，则点 B 对应的数为﹣1或﹣5 ．【解答】解：∵在数轴上，点 A 所表示的数为﹣ 3，∴到点 A 的距离等于 2 个单位长度的点所表示的数是：﹣3+2＝﹣ 1 或﹣ 3﹣ 2＝﹣5．故答案为：﹣ 1或﹣5．14．若 x、y 互为相反数， a、b 互为倒数， c 的绝对值等于 2，则（2018 2018 2）﹣（﹣ ab）+c＝ 3 ．【解答】解：由题意知x+y＝ 0， ab＝1， c＝ 2 或 c＝﹣ 2，则 c2＝ 4，2018 2018所以原式＝ 0 ﹣（﹣ 1）+4＝ 0﹣ 1+4＝ 3，故答案为： 3．三．解答题（共 5 小题）15．阅读下列材料完成相关问题：已知a， b、 c 是有理数（ 1）当 ab＞ 0，a+b＜ 0 时，求的值；（ 2）当 abc≠ 0 时，求的值；（ 3）当 a+b+c＝0， abc＜ 0，的值．【解答】解：（ 1）∵ ab＞0， a+b＜ 0，∴a＜ 0， b＜ 0∴＝﹣ 1﹣ 1＝﹣ 2；（ 2）当 a、 b、 c 同正时，＝ 1+1+1＝3；当 a、b、 c 两正一负时，＝ 1+1﹣ 1＝1；当 a、b、 c 一正两负时，＝﹣ 1﹣1+1＝﹣1；当 a、b、 c 同负时，＝﹣ 1﹣ 1﹣ 1＝﹣ 3；（3）∵ a+b+c＝ 0，∴b+c＝﹣ a， a+c＝﹣ b， a+b＝﹣ c∴＝+ ﹣＝﹣﹣+又∵ abc＜ 0，∴当 c＜0， a＞ 0， b＞ 0 时，原式＝﹣﹣+＝﹣ 1﹣ 1﹣ 1＝﹣ 3；当 c＞ 0， a 或 b 为负时，原式＝﹣﹣+＝ 1﹣ 1+1＝ 1．16．分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简|a|时，可以这样分类：当a＞ 0 时， |a|＝a；当 a＝0 时， |a|＝ 0；当 a＜ 0 时， |a|＝﹣ a．用这种方法解决下列问题：（ 1）当 a＝ 5 时，求的值．（ 2）当 a＝﹣ 2 时，求的值．（ 3）若有理数 a 不等于零，求的值．（ 4）若有理数 a、 b 均不等于零，试求的值．【解答】解：（ 1）当 a＝5 时，＝ 1；（ 2）当 a＝﹣ 2 时，＝﹣ 1；（ 3）若有理数a 不等于零，当a＞0 时，＝ 1，当 a＜ 0 时，＝﹣ 1；（ 4）若有理数a、 b 均不等于零，当a， b 是同正数，＝ 2，当 a，b 是同负数，＝﹣ 2，当 a，b 是异号，＝ 0．17．已知三个非零的有理数a、 b、 c，记+ + 的最大值为x，最小值为y，求 x ÷（﹣ 4y）的值．【解答】解：∵ a、 b、 c 是三个非零有理数，∴＝1＝1 或﹣ 1，═ 1 或﹣ 1，＝1 或﹣ 1，当a、b、 c 都是正数，原式＝ 1+1+1＝ 3；当a、b、 c 只有两个正数，原式＝ 1+1﹣ 1＝ 1；当a、b、 c 只有一个正数，原式＝ 1﹣ 1﹣ 1＝﹣ 1；当 a、b、 c 都是负数，原式＝﹣1﹣ 1﹣ 1＝﹣ 3．∴x＝ 3， y＝﹣ 3，∴x÷（﹣ 4y）＝ 3÷ 12＝．18．（ 1）【问题发现】数学小组遇到这样一个问题：若a，b 均不为零，求x＝的值．小明说：“考虑到要去掉绝对值符号，必须对字母a，b 的正负作出讨论，又注意到a，b在问题中的平等性，可从一般角度考虑两个字母的取值情况．”解：①当两个字母 a， b 中有 2 个正， 0 个负时，x＝+＝ 1+1＝ 2；②当两个字母 a，b 中有 1 个正，1 个负时，无论谁正谁负，x 都等于0；③当两个字母 a，b 中有 0 个正，2 个负时， x＝+ ＝﹣ 1﹣ 1＝﹣ 2；综上，当 a， b 均不为零，求x 的值为﹣ 2， 0，2．（ 2）【拓展探究】若 a，b， c 均不为零，求x＝+ ﹣的值．（ 3）【问题解决】若 a，b， c 均不为零，且a+b+c＝ 0，直接写出代数式+ + 的值．【解答】解：（ 2）①当 a，b， c 都为正数时： x＝+﹣＝ 1+1﹣ 1＝1．②当 a，b 为正， c 为负时： x＝+ ﹣＝1+1+1 ＝3．当 a，c 为正， b 为负时： x＝+ ﹣＝ 1﹣ 1﹣ 1＝﹣1．当 b，c 为正， a 为负时： x＝+ ﹣＝﹣ 1+1﹣1＝﹣ 1．③当 a，b 为负， c 为正时： x＝+ ﹣＝﹣ 1﹣ 1﹣1＝﹣ 3．当 a，c 为负， b 为正时： x＝+ ﹣＝﹣ 1+1+1 ＝1．当 b，c 为负， a 为正时： x＝+ ﹣＝ 1﹣ 1+1＝1．④当 a，b， c 都为负数时：x＝+ ﹣＝﹣ 1﹣ 1+1＝﹣ 1．综上所述 x＝+﹣的值为1或3或﹣3或﹣1．（3）∵ a， b， c 均不为零，且 a+b+c＝0，∴ a， b， c 为两正一负或两负一正．∴ ①当 a， b， c 为两正一负时：+ + ＝﹣﹣﹣＝﹣ 1﹣ 1+1 ＝﹣1．②当 a，b， c 为两负一正时：+ + ＝﹣﹣﹣＝ 1+1 ﹣ 1＝ 1．19．有理数a、 b、 c 在数轴上的位置如图所示（1）比较 a、 b、 |c|的大小（用“＞”连接）；（2）若 n＝ |b+c|﹣ |c﹣1|﹣ |b﹣ a|，求 1﹣2017?（ n+a）2018的值；（3）若 a＝， b＝﹣ 2，c＝﹣ 3，且 a、 b、 c 对应的点分别为 A、B、 C，问在数轴上是否存在一点M，使 M 与 B 的距离是 M 与 A 的距离的 3 倍，若存在，请求出 M 点对应的有理数；若不存在，请说明理由．【解答】解：（ 1）如图所示：由数轴可知 |c|＞ a＞b；（ 2）由数轴可知：b+c＜ 0， c﹣ 1＜ 0， b﹣ a＜ 0，则n＝ |b+c|﹣ |c﹣ 1|﹣ |b﹣ a|＝﹣ b﹣ c+c﹣ 1+b﹣ a＝﹣ 1﹣ a，即a+n＝﹣ 1，∴1﹣ 2017?（ n+a）2018＝1﹣ 2017×（﹣ 1）2018＝1﹣ 2017＝﹣ 2016；（3）① 当点 M 在 AB 的右侧时，设点 M 对应的数为 x，∵点 A 对应的数是，点 B 对应的数是点﹣ 2，∴B M ＝x+2， AM＝ x﹣，∵B M ＝3AM ，∴x+2 ＝3（ x﹣），x+2 ＝ 3x﹣，x＝；②当点 M在AB的上时，此时， BM ＝ x+2，AM ＝﹣ x，∵B M ＝3AM∴x+2 ＝3（﹣ x）x+2 ＝﹣ 3x，x＝；③当点 M 在 AB 的左侧时，此时， BM ＝﹣ 2﹣ x， AM＝﹣ x，∵B M ＝3AM∴﹣ 2﹣ x＝ 3（﹣ x）﹣ 2﹣ x＝﹣ 3x，x＝与 M 对应的数是负数相矛盾，所以 AB 的左侧不存在这样的点M 因此点 M 对应的有理数是或．。
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学生做题前请先回答以下问题
问题1：什么是绝对值，绝对值法则是什么？
问题2：|x|=2表示在数轴上，x所对应的点与_______的距离为______，因此x=______．问题3：有关绝对值的分类讨论：
①__________，分类；
②根据__________，筛选排除．
绝对值应用（分类讨论）（北师版）
一、单选题(共9道，每道11分)
1.若，则的值为( )
A.4
B.
C.-4
D.0
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：去绝对值
2.若，则的值为( )
A.1
B.±1
C.±7
D.1或7
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：去绝对值
3.若，则( )
A.4
B.8
C.4或8
D.4或-8
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：去绝对值
4.若，，则( )
A.8
B.±8
C.8或-2
D.±2
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：去绝对值
5.若，，则( )
A.-3
B.-3或7
C.3或-7
D.±3或±7
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：去绝对值
6.已知，，且，则a+b的值为( )
A.±3
B.±13
C.3或-13
D.-3或13
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：去绝对值
7.若，，且，则x与y的值分别为( )
A.或
B.或或
C.或或
D.或或或
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：去绝对值
8.已知，，且，则的值为( )
A.±3
B.-3或-7
C.-3或7
D.或
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：去绝对值
9.若，则的取值共有( )
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：去绝对值。