七年级数学(上)思维特训(4)：绝对值与分类讨论(含答案)
人教版七年级数学上册绝对值(含答案)3
绝对值要点一、绝对值1.定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|.要点诠释：（1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a都有：（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小．（3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的．2.性质：绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0．要点二、有理数的大小比较1.数轴法：在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小. 如：a与b在数轴上的位置如图所示，则a＜b．2.法则比较法：两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下：两数同号同为正号：绝对值大的数大同为负号：绝对值大的反而小两数异号正数大于负数－数为0正数与0：正数大于0负数与0：负数小于0要点诠释：利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小；知识点（3）判定两数的大小．3. 作差法：设a 、b 为任意数，若a-b ＞0，则a ＞b ；若a-b ＝0，则a ＝b ；若a-b ＜0，a ＜b ；反之成立．4. 求商法：设a 、b 为任意正数，若1a b >，则a b >；若1a b =，则a b =；若1ab<，则a b <；反之也成立． 若a 、b 为任意负数，则与上述结论相反． 5. 倒数比较法：如果两个数都大于0，那么倒数大的反而小.类型一、绝对值的概念例1．计算：（1）145-- （2）|-4|+|3|+|0| （3）-|+(-8)| 【答案与解析】运用绝对值意义先求出各个绝对值再计算结果.解：(1) 111444555⎡⎤⎛⎫--=---=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， (2)|-4|+|3|+|0|＝4+3+0＝7， (3)-|+(-8)|＝-[-(-8)]＝-8．【总结升华】求一个数的绝对值有两种方法：一种是利用绝对值的几何意义求解，一种是利用绝对值的代数意义求解，后种方法的具体做法：首先判断这个数是正数、负数还是0．再根据绝对值的代数意义，确定去掉绝对值符号的结果是它本身，是它的相反数，还是0．从而求出该数的绝对值．例2．若|a ﹣1|=a ﹣1，则a 的取值范围是（ ）A. a ≥1B. a ≤1C. a ＜1D. a ＞1【思路点拨】根据|a|=a 时，a ≥0，因此|a ﹣1|=a ﹣1，则a ﹣1≥0，即可求得a 的取值范围． 【答案】A 【解析】典型例题解：因为|a﹣1|=a﹣1，则a﹣1≥0，解得：a≥1，【总结升华】此题考查绝对值，只要熟知绝对值的性质即可解答．一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．举一反三：【变式1】（2015•重庆校级模拟）若a＞3，则|6﹣2a|= （用含a的代数式表示）．【答案】2a-6【变式2】如果数轴上的点A到原点的距离是6，则点A表示的数为．如果｜x－2｜＝1，那么x＝；如果｜x｜＞3，那么x的范围是．【答案】6或-6；1或3；x>3或x<-3【变式3】已知| a |＝3，| b |＝4，若a，b同号，则| a +b |＝_________；若a，b异号，则| a+b |＝________．据此讨论| a+b |与| a | + | b |的大小关系．【答案】7，1；若a，b同号或至少有一个为零，则|a+b|=|a|+|b|；若a，b异号，则|a+b|＜|a|+|b|，由此可得：|a+b|≤|a|+|b| .类型二、比大小例3．比较下列每组数的大小：(1)-(-5)与-|-5|；(2)-(+3)与0；(3)45-与34--；(4)π-与| 3.14|--．【思路点拨】先化简符号，去掉绝对值号再分清是“正数与0、负数与0、正数与负数、两个正数还是两个负数”，然后比较．【答案与解析】解： (1)化简得：-(-5)＝5，-|-5|＝-5．因为正数大于一切负数，所以-(-5)＞-|-5|．(2)化简得：-(+3)＝-3．因为负数小于零，所以-(+3)＜0．(3)化简得：3344--=-．这是两个负数比较大小，因为44165520-==，33154420-==，且16152020>．所以4354-<--．(4)化简得：-|-3.14|＝-3.14，这是两个负数比较大小，因为 |-π|＝π，|-3.14|＝3.14，而π＞3.14，所以-π＜-|-3.14|．【总结升华】在比较两个负数的大小时，可按下列步骤进行：先求两个负数的绝对值，再比较两个绝对值的大小，最后根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断． 举一反三：【变式1】比大小：（1） －0.3 31-（2）⎪⎭⎫ ⎝⎛--91 101--．【答案】＞；＞【变式2】比大小：（1） 1.38-______－1.384；（2） －π___－3.14． 【答案】＞；＜【变式3】若m ＞0，n ＜0，且|m|＞|n|，用“＞”把m ，-m ，n ，-n 连接起来． 【答案】解法一：∵ m ＞0，n ＜0，∴ m 为正数，-m 为负数，n 为负数，-n 为正数． 又∵ 正数大于一切负数，且|m|＞|n|，∴ m＞-n＞n＞-m．解法二：因为m＞0，n＜0且|m|＞|n|，把m，n，-m，-n表示在数轴上，如图所示．∵数轴上的数右边的数总比左边的数大，∴ m＞-n＞n＞-m．类型三、含有字母的绝对值的化简例4.（2016春•都匀市校级月考）若﹣1＜x＜4，则|x+1|﹣|x﹣4|= ．【思路点拨】根据绝对值的性质：当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；当a是负有理数时，a 的绝对值是它的相反数﹣a,可得|x+1|=x+1，|x﹣4|=﹣x+4，然后再合并同类项即可．【答案】2x﹣3．【解析】解：原式=x+1﹣（﹣x+4），=x+1+x﹣4，=2x﹣3.【总结升华】此题主要考查了绝对值，关键是掌握绝对值的性质，正确判断出x+1，x﹣4的正负性．举一反三：【变式1】已知有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示：化简：.【答案】解：由图所示，可得．∴ 30a c ->，，，∵．∴ 原式．【变式2】求的最小值． 【答案】解法一：当2x <-时，则23(2)[(3)]23215x x x x x x x ++-=-++--=---+=-+>当时，则23(2)[(3)]235x x x x x x ++-=++--=+-+= 当时，则23(2)(3)23215x x x x x x x ++-=++-=++-=->综上：当时，取得最小值为：5.解法二：借助数轴分类讨论： ①2x <-； ②； ③.的几何意义为对应的点到-2对应点的距离与对应点到3对应点的距离和．由图明显看出时取最小值．所以，时，取最小值5.类型四、绝对值非负性的应用例5. 已知a、b为有理数，且满足：12，则a=_______，b=________．【答案与解析】由，，，可得∴【总结升华】由于任何一个数的绝对值大于或等于0，要使这两个数的和为0，需要这两个数都为0．几个非负数的和为0，则每一个数均为0．举一反三：【变式1】已知，则x的取值范围是________．【答案】；提示：将看成整体，即，则，故，．【变式2】已知b为正整数，且a、b满足，求的值．【答案】解：由题意得∴所以，2ba类型五、绝对值的实际应用例6．正式足球比赛对所用足球的质量有严格的规定，下面是6个足球的质量检测结果，用正数记超过规定质量的克数，用负数记不足规定质量的克数．检测结果(单位：克)：-25，+10，-20，+30，+15，-40．裁判员应该选择哪个足球用于这场比赛呢?请说明理由．【答案与解析】解：因为｜+10｜＜｜+15｜＜｜-20｜＜｜-25｜＜｜+30｜＜｜-40｜，所以检测结果为+10的足球的质量好一些．所以裁判员应该选第二个足球用于这场比赛．【总结升华】绝对值越小，越接近标准.举一反三：【变式】一只可爱的小虫从点O出发在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，小虫爬行的各段路程(单位：cm)依次记为：+5，-3，+10，-8，-6，+12，-10，在爬行过程中，如果小虫每爬行1cm就奖励2粒芝麻，那么小虫一共可以得到多少粒芝麻?【答案】解：小虫爬行的总路程为：|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-6|+|+12|+|-10|＝5+3+10+8+6+12+10＝54(cm)小虫得到的芝麻数为54×2＝108(粒)答：小虫一共可以得到108粒芝麻.一、选择题1．以下选项中比|﹣|小的数是（）A．1 B．2 C． D.2．如图(一)，数O是原点，A、B、C三点所表示的数分别为a、b、c.根据图中各点的位置，下列各数的绝对值的比较何者正确？A．|b|＜|c| B．|b|＞|c| C．|a|＜|b| D．|a|＞|c|3．满足|x|＝-x的数有( )．A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个4.若|x﹣5|=5﹣x，下列不等式成立的是（）A. x﹣5＞0B. x﹣5＜0C. x﹣5≥0D. x﹣5≤0课后练习5．a 、b 为有理数，且a ＞0、b ＜0，|b|＞a ，则a 、b 、-a 、-b 的大小顺序是( )． A ．b ＜-a ＜a ＜-b B ．-a ＜b ＜a ＜-b C ．-b ＜a ＜-a ＜b D ．-a ＜a ＜-b ＜b6．下列推理：①若a ＝b ，则|a|＝|b|；②若|a|＝|b|，则a ＝b ；③若a ≠b ，则|a|≠|b|；④若|a|≠|b|，则a ≠b ．其中正确的个数为( )． A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个7．设a 是最小的正整数，b 是最大的负整数的相反数，c 是绝对值最小的有理数，则a 、b 、c 的大小关系是( )．A ．a ＜b ＜cB ．a ＝b ＞cC ．a ＝b ＝cD ．a ＞b ＞c 二、填空题8．如果|a ﹣2|+|b+1|=0，那么a+b 等于 ．9.已知|x|=|﹣3|，则x 的值为 ． 10.绝对值不大于11的整数有 个.11. 已知a 、b 都是有理数，且|a|=a ，|b|=－b 、，则ab 是 . 12. 式子|2x-1|+2取最小值时，x 等于 .13．数a 在数轴上的位置如图所示，则|a-2|＝__________．14.若1aa=-，则a 0；若a a ≥，则a . 三、解答题 15．将2526-，259260-，25992600-按从小到大的顺序排列起来．16．正式的足球比赛对所用足球的质量都有严格的规定，标准质量为400克．下面是5个足球的质量检测结果（超过规定质量的克数记为正数，不足规定质量的克数记为负数）：-25，+10，-20，+30，+15．(1)写出每个足球的质量；(2)请指出哪个足球的质量好一些，并用绝对值的知识进行说明．17.定义：数轴上表示数a和数b的两点A和B之间的距离是|a﹣b|．完成下列问题：（1）数轴上表示x和﹣4的两点A和B之间的距离是；如果|AB|=2，那么x为；（2）利用数轴以及已知中的定义，可得式子|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|的最小值是．（3）拓展：当x= 时，式子|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣2011|的值最小，最小值是．【答案与解析】一、选择题1. 【答案】D【解析】解：∵|﹣|=，A 、1＞，故本选项错误；B 、2＞，故本选项错误；C 、=，故本选项错误；D 、﹣＜，故本选项正确；故选D ．2. 【答案】A【解析】由图（一）可知，距离原点最远的是点C ，其次是点A ，最近的是点B ，所以他们对应的数的绝对值的大小为：c a b >>或b a c <<，所以A 正确.3．【答案】D【解析】x 为负数或零时都能满足|x|＝-x ，故有无数个．4．【答案】D5．【答案】A【解析】画数轴，数形结合．6．【答案】C【解析】①正确；②错误，如|-2|＝|2|，但是-2≠2；③错误，如-2≠2，但是|-2|＝|2|；④正确．故选C ．7.【答案】B【解析】a ＝1，b ＝-(-1)＝1，c ＝0，故a ＝b ＞c ．二、填空题8.【答案】1【解析】解：由题意得，a ﹣2=0，b+1=0，解得，a=2，b=﹣1，则a+b=1，故答案为：1．9. 【答案】±310.【答案】23【解析】要注意考虑负数.绝对值不大于11的数有：-11 、-10……0 、1 ……11共23个.11.【答案】负数或零（或非正数均对）【解析】非负性是绝对值的重要性质.由题意可知≥0,≤0.12.【答案】1 2【解析】因为|2x-1|≥0，所以当2x-1=0，即x=12时，|2x-1|取到最小值0，同时|2x-1|+2也取到最小值2.13.【答案】-a+2【解析】由图可知：a≤2，所以|a-2|=-（a-2）=-a+2.14.【答案】＜；任意数.三、解答题15.【解析】解：因为2525250026262600-==，25925925902602602600-==，2599259926002600-=，因为250025902599260026002600<<，即259925925260026026->->-，所以259925925 260026026 -<-<-．16. 【解析】解：（1）每个足球的质量分别为375克，410克，380克，430克，415克；（2）质量为410克（即质量超过+10克）的足球的质量好一些.理由：将检测结果求绝对值，再比较绝对值大小，绝对值最小的质量最好．17. 【解析】解：（1）数轴上表示x和﹣4的两点A和B之间的距离是|x﹣（﹣4）|；如果|AB|=2，那么|x﹣（﹣4）|=2，x+4=±2，解得x=﹣2或﹣6；（2）x=2有最小值，最小值=|2﹣1|+|2﹣2|+|2﹣3|=1+0+1=2；（3）1～2011共有2011个数，最中间一个为1006，此时|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣2011|取得最小值，最小值|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣2011|=|1006﹣1|+|1006﹣2|+|1006﹣3|+…+|1006﹣2011|=1005+1004+1003+…+2+1+0+1+2+3+…+1005=1011030．故答案为|x﹣（﹣4）|；﹣2或﹣6；2；1006；1011030．。
七年级数学绝对值分类讨论重点题型
七年级数学的绝对值，是一种让很多同学感到头疼的数学概念。
在七年级数学课程中，涉及到绝对值的分类讨论也是一个重要的内容，影响着同学们对数学的理解和学习。
今天，我们就来深入探讨七年级数学中关于绝对值分类讨论的重点题型，帮助同学们更好地掌握这一知识点。
1. 绝对值概念的理解我们需要对绝对值的概念进行深入理解。
在七年级数学中，绝对值代表着一个数距离零点的距离，它是一个非负数。
具体地，对于任意实数a，其绝对值记作|a|，如果a大于等于0，则|a|等于a；如果a小于0，则|a|等于-a。
2. 绝对值分类讨论的基本原理在七年级数学中，针对绝对值的讨论通常涉及到正数、负数以及零的情况。
我们需要明确地理解在各种情况下绝对值的计算方法和特点，从而能够准确地解决问题。
3. 绝对值分类讨论的重点题型在七年级数学中，绝对值分类讨论的重点题型包括但不限于以下几种： - 绝对值不等式的求解- 绝对值方程的解法- 含绝对值的复合运算- 实际问题中的应用4. 绝对值不等式的求解对于绝对值不等式的求解，我们需要分情况讨论。
当|a|小于b时，a 和-b之间的数都满足不等式；当|a|大于b时，求解得到两个区间，分别讨论各区间内的情况。
这种分类讨论的方法在解决绝对值不等式时非常重要。
5. 绝对值方程的解法解决绝对值方程时，我们同样需要进行分类讨论。
针对|a|=b和|a|=-b 两种情况，分别求解得到不同的结果。
同学们需要注意分类讨论方法的灵活运用，才能准确地解决绝对值方程的问题。
6. 含绝对值的复合运算在七年级数学中，我们还会遇到含绝对值的复合运算题型，可能涉及加减乘除等多种运算符号。
这时，同学们需要将复合运算的每一步分类讨论，确保在每一种情况下都能准确地应用绝对值的概念和性质。
7. 实际问题中的应用绝对值的分类讨论在解决实际问题时也非常重要。
同学们需要理解绝对值在表示距离、温度差、误差等方面的应用，从而能够准确地将数学知识应用到实际生活中去。
部编数学七年级上册专题04聚焦绝对值(解析版)含答案
2022-2023学年人教版数学七年级上册压轴题专题精选汇编专题04 聚焦绝对值考试时间：120分钟 试卷满分：100分一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2022七上·汇川期末）已知|a|＝8，|b|＝3，且|a －b|＝b －a ，则a ＋b 的值为（ ） A ．5或11B ．－5或－11C ．－5D ．－11【答案】B【完整解答】解： |a|＝8，|b|＝3， 83a b ∴=±=±，，|a －b|＝b －a ，b a ∴≥，83a b ∴=-=， 或 83a b =-=-，，835a b ∴+=-+=- 或 ()8311a b +=-+-=-，故答案为：B【思路引导】由|a|＝8，|b|＝3，可得83a b =±=±，， 根据|a －b|＝b －a 可得b a ≥，从而确定83a b =-=， 或 83a b =-=-，，然后分别代入计算即可.2．（2分）（2022七上·遵义期末）若 a 、 b 为有理数， 0a < ， 0b > ，且 a b > ，那么 a ， b ， a - ， b - 的大小关系是（ ）A ．b a b a-<<<-B ．b b a a <-<<-C ．a b b a<-<<-D ．a b b a<<-<-【答案】C【完整解答】解：∵0a < ， 0b > ，且 a b > ，∴0a -> ， 0b -< ， a b -> ，∴a b <- ，∴a b b a <-<<- .故答案为：C.【思路引导】 由0a < ， 0b > ，且 a b > ，可得0a -> ， 0b -< ， a b -> ，从而得出a b<-据此即可得解.3．（2分）（2021七上·洪山期末）已知数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，化简|a ＋ b| － |a － b| ＋ |a ＋ c|的结果为（ ）A ．－a －cB ．－a －b －cC ．－a －2b －cD ．a －2b ＋c【答案】C 【完整解答】解：通过数轴得到a ＜0，c ＞0，b ＞0，|a|＞|c|＞|b|，∴a+b ＜0，a －b ＜0，a ＋c ＜0∴|a ＋b| － |a －b| ＋ |a ＋c|＝-a-b ＋a －b ﹣a-c ＝－a －2b －c.故答案为：C.【思路引导】根据数轴可得：a<0<b<c 且|a|＞|c|＞|b|，然后判断出a+b 、a-b 、a+c 的正负，接下来根据绝对值的性质以及合并同类项法则进行化简.4．（2分）（2021七上·宜宾期末）下列说法： ①若 a a =- ，则 0a < ；②若a ，b 互为相反数，且 0ab ≠ ，则1b a =- ；③若 22a b = ，则 a b = ；④若 0a < ， 0b < ，则 ab a ab a -=- .其中正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【完整解答】解：①若 a a =- ，则 0a = 或 a 为负数，错误；②若 a ， b 互为相反数，且 0ab ≠ ，则 1b a=- ，正确；③若 22a b = ，则 a b = 或 a b =- ，错误；④若 0a < ， 0b < ，所以 0ab a -> ，则 ab a ab a -=- ，正确；故答案为：B.【思路引导】根据绝对值的非负性可判断①；根据a 、b 互为相反数可得a=-b ，据此判断②；根据a 2=b 2可得|a|=|b|，据此判断③；根据a<0、b<0可得ab-a>0，结合绝对值的性质可判断④.5．（2分）（2021七上·遂宁期末）若有理数 m 在数轴上的位置如图所示，则化简 m 3m ++ 结果是（ ）A ．23m +B ．3C ．23m --D ．23m -+【答案】B 【完整解答】解：观察数轴得 0m < 且m ＞-3（即m+3＞0） ∴33m m m m =-+=+，∴m 3(3)3m m m ++=-++= .故答案为：B.【思路引导】根据数轴可得-3<m<-2，则m+3>0，然后根据绝对值的性质以及合并同类项法则进行化简.6．（2分）（2021七上·长沙期末）有理数 a b c ，， 在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列各式正确的个数有（ ）①0abc > ；②a c b +< ；③1a b c a b c++=- ；④a b b c a c ---=- .A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【完整解答】解：由数轴可得，b ＜c ＜0＜a ，且|b|＞|c|＞|a|，∴abc ＞0，①正确；a-b+c ＞0， a c b +> ，②不正确；1111a b c a b c++=--=- ，③正确；()a b b c a b c b a c a c ---=---=-=- ，④正确，故答案为：C.【思路引导】由数轴可得b ＜c ＜0＜a ，且|b|＞|c|＞|a|，根据有理数的乘法，有理数的加法，绝对值的性质分别计算，再判断即可.7．（2分）（2021七上·鄞州期中）已知a ，b 为实数，下列说法：①若ab ＜0，且a ，b 互为相反数，则 1a b=- ；②若a+b ＜0，ab ＞0，则|2a+3b|＝﹣2a ﹣3b ；③若|a ﹣b|+a ﹣b ＝0，则b ＞a ；④若|a|＞|b|，则（a+b ）×（a ﹣b ）是正数；⑤若a ＜b ，ab ＜0且|a ﹣3|＜|b ﹣3|，则a+b ＞6，其中正确的说法有（ ）个．A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C【完整解答】解： ①若ab ＜0，且a ，b 互为相反数，则 1a b=-，正确 ；②∵a+b ＜0，ab ＞0，∴a<0，b<0，∴2a+3b<0，∴|2a+3b|＝﹣2a ﹣3b ，正确；③∵|a ﹣b|+a ﹣b ＝0，∴|a ﹣b|=b-a≥0，∴b≥a ，错误；④当a>0， b>0时，则a>b ， ∴a-b>0， a+b>0，∴(a+ b). (a- b)为正数；当a>0， b<0时，a-b>0， a+b>0，∴(a+ b).(a- b)为正数；当a<0，b>0时，a-b<0， a+b<0，∴(a+ b). (a- b)为正数；当a<0， b<0时，a-b<0， a+b<0，∴(a+ b).(a- b)为正数；故 ④ 正确；⑤∵a ＜b ，ab ＜0，∴b>0，a<0，当0<b<3时，∵|a ﹣3|＜|b ﹣3|，∴3-a<3-b ，不符合题意；∴b>3，∵|a ﹣3|＜|b ﹣3|，∴3-a<b-3，∴a+b>6，正确.综上，正确的有4项.故答案为：C.【思路引导】因为ab ＜0，可得a 、b≠0，根据互为相反数的商为- 1，可对①作判断；由两数之和小于0，两数之积大于0，得到a 与b 都为负数，则2a+ 3b 小于0，利用负数的绝对值等于它的相反数去绝对值，对②作判断；由a - b 的绝对值等于它的相反数，得到a -b 为非正数，进而得出a 与b 的大小，即可对③作判断；由a 绝对值大于b 绝对值，分4种情况讨论，即可对④作出判断；先根据a<b ，得a-3<b- 3，再由ab< 0和有理数乘法法则可得a<0， b>0，分情况讨论，可对⑤作判断.8．（2分）（2021七上·苏州月考）若a 表示一个有理数，且有|﹣3﹣a|＝3+|a|，则a 应该是（ ） A ．任意一个有理数B ．任意一个正数C ．任意一个负数D ．任意一个非负数【答案】D【完整解答】解：当a≥0时，得3+a=3+a ，∴a 为可以为一切非负数，当-3≤a ＜0时，得3+a=3-a ，∴a 为0，不符合题意，舍去，当a ＜-3时，得3+a=3-a ，∴a 为0，不符合题意，舍去，综上a 为可以为一切非负数，故答案为：D.【思路引导】分当a≥0时、当-3≤a ＜0时、当a ＜-3时三种情况，根据绝对值的非负性进行解答.9．（2分）（2021七上·和平月考）已知a ，b ，c 是有理数，且a+b+c=0，abc （乘积）是负数，则 b c a c a b a b c+++++ 的值是（ ） A ．3B ．﹣3C ．1D ．﹣1【答案】D【完整解答】解：由题意知，a ，b ，c 中只能有一个负数，另两个为正数，不妨设a ＜0，b ＞0，c ＞0．由a+b+c=0得出：a+b=-c ，b+c=-a ，a+c=-b ，代入代数式，原式=a b c 1111a b c---++=--=- ，故答案为：D ．【思路引导】根据a ，b ，c 中只能有一个负数，另两个为正数，不妨设a ＜0，b ＞0，c ＞0．再将a+b+c=0变形为a+b=-c ，b+c=-a ，a+c=-b ，再代入计算即可。
七年级上学期数学 绝对值的几何意义题型训练 带答案
绝对值的几何意义训练1、借助数轴理解绝对值的意义，会求实数的绝对值2、会利用绝对值的知识解决简单的化简问题例题精讲板块一：绝对值几何意义当x a =时，0x a -=，此时a 是x a -的零点值． 零点分段讨论的一般步骤：找零点、分区间、定符号、去绝对值符号．即先令各绝对值式子为零，求得若干个绝对值为零的点，在数轴上把这些点标出来，这些点把数轴分成若干部分，再在各部分内化简求值． a 的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离．a b -的几何意义：在数轴上，表示数a 、b 对应数轴上两点间的距离．【例题1】m n -的几何意义是数轴上表示m 的点与表示n 的点之间的距离．⑴ x 的几何意义是数轴上表示 的点与 之间的距离；0-（>，=，<）；⑵ 21-的几何意义是数轴上表示2的点与表示1的点之间的距离；则2- ⑶ 3x -的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离，若31x -=，则 x = ．⑷ 2x +的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离，若22x +=，则 x = ．⑸ 当1x =-时，则22x x -++= ．【解析】⑴ x ，原点；=；⑵1；⑶x ，3，2或4；⑷x ，-2，0或-4；⑸4．【例题2】已知m 是实数，求12m m m +-+-的最小值【解析】根据绝对值的几何意义，这个问题可以转化为在数轴上找一点m ，使点m 到点o ，点1和点2的距离之和最小，显然当m=1时，原式的最小值为2【例题3】已知m 是实数，求2468m m m m -+-+-+-的最小值【解析】根据绝对值的几何意义，这个问题可以转化为在数轴上找一点m ，使m 到点2，点4，点6和点8的距离和最小，显然当点m 在点4和点6之间（包括点4和点6）时，原式的值最小为8【例题4】设123...n a a a a ，，，是常数（n 是大于1的整数），且123...n a a a a <<<<，m 是任意实数，试探索求123...n m a m a m a m a -+-+-++-的最小值的一般方法【解析】根据题意，结合数轴，不难得到：⑴当n 为奇数时，即当n=2k+1（k 为正整数）时，点m 应取在点a k +1处，原式的值最小，最小值为(a 2k+1-a 1)+(a 2k -a 2)+.......+(a k+2-a k )⑵当n 为偶数2k （k 是正整数）时，m 应取点a k 和点a k+1之间的任意位置，原式的值最小，最小值为(a 2k -a 1)+(a 2k-1-a 2)+.......+(a k+1-a k )【例题5】122009x x x -+-++-的最小值为 ．【解析】当x=1005时，∣x-1∣+∣x-2∣+......∣x-2009∣取到最小值：∣x-1∣+∣x-2∣+......∣x-2009∣=∣1005-1∣+∣1005-2∣+......∣1005-2009∣ =1004+1003+.....+1+0+1+.....+1003+1004=1009020【巩固1】试求123...2005x x x x -+-+-++-的值【解析】联想到绝对值的几何意义：∣x-x n ∣即表示数轴上数x 的对应点与数x n 的对应点的距离，把这些绝对值转化为同一数轴上若干条线段之和来研究，发现∣x-1∣+∣x-2∣，当1≤x ≦2时，它有最小值1，对于∣x-1∣+∣x-2∣+∣x-3∣,，当x=2时，最小值为2，…猜想当x=1003时，原式有最小值最小值为∣x-1∣+∣x-2∣+......∣x-2005∣=∣1003-1∣+∣1003-2∣+......∣1003-2005∣ =1002+1001+.....+1+0+1+.....+1001+1002 =1005006【巩固2】设a b c <<，求当x 取何值时x a x b x c -+-+-的最小值．【解析】∣x-a ∣+∣x-b ∣+∣x-c ∣实际表示x 到a,b,c 三点的距离和，画图可知当x=b 时，原式有最小值为c-a ．【巩固3】若1x 、2x 、3x 、4x 、5x 、6x 是6个不同的正整数，取值于1，2，3，4，5，6，记122334455661||||||||||S x x x x x x x x x x x x =-+-+-+-+-+-，则S 的最小值是 ．【解析】利用此题我们充分展示一下数形结合的优越性：利用绝对值的几何意义∣x 1-x 2∣+∣x 2-x 3∣+∣x 3-x 4∣+∣x 4-x 5∣+∣x 5-x 6∣+∣x 6-x 1∣在数轴上表示出来，从x 1开始又回到x 1，我们可以看成是一个圈，故最小值为10，如下图所示，即使重叠路程最少．【例题6】正数a 使得关于x 的代数式162x x x a ++-+-的最小值是8，那么a 的值为 ．【解析】如果a ≦6，那么当x=a 时，∣x+1∣+∣x-6∣+2∣x-a ∣=∣a+1∣+∣a-6∣=(a+1)+(6-a)=7，小于8与已知条件矛盾．所以a>6，那么算式∣x+1∣+∣x-6∣+2∣x-a ∣的几何意义是点x 到-1、6、a 、a 的4个距离之和，当6≦x ≦a 时取最小值，因此令x=6可得7+2∣6-a ∣=8，解得a=13/2．【巩固4】182324x x a x x -+-+-+-的最小值为12，则a 的取值范围是 ．【解析】最小值一定能在零点处取到，而零点处代数式值为14+2a 、5+a 、12、19+a ，故12是这四个数中最小的，即14+2a ≧12且5+a ≧12且19+a ≧12，所以a ≧7．【例题7】已知代数式374x x -+-=，则下列三条线段一定能构成三角形的是（ ）．A ． 1，x ，5B ． 2，x ，5C ． 3，x ，5D ． 3，x ，4【解析】根据∣x-3∣+∣x-7∣=4可得3≦x ≦7，所以选择C ．【巩固5】⑴是否存在有理数x ，使132x x ++-=？⑵是否存在整数x ，使433414x x x x -+-++++=？如果存在，求出所有整数x ，如果不存在，请说明理由【解析】⑴不存在⑵x=±3,x=±2,x=±1,x=0【巩固6】第17届希望杯培训试题）不等式127x x ++-<的整数解有 个．【解析】可分类讨论来做，也可以利用绝对值的几何意义来解，∣x+1∣+∣x-2∣<7的整数解表示数轴上到-1和2的距离之和小于7的点集合，利用数轴容易找到满足条件的整数有-2、-1、0、1、2、3共六个．【例题8】一共有多少个整数x 适合不等式20009999x x -+≤.【解析】零点为2000和0，可将数轴分成几段去考虑： （1）当x ≧2000时，原不等式变形为：x-2000+x ≦9999，进而得：x ≦5999.5，即2000≦x ≦5999.5，共有4000个整数适合；（2）当0<x<2000时，原不等式变形为：2000-x+x ≦9999，而2000<9999恒成立， 所以又有2000个整数适合.（3）当x<0时，原不等式变形为2000-x+(-x)≦9999，x ≧-3999.5， 即-3999.5<x<0，共有3999个整数适合.综上所得共有9999个整数适合不等式∣x-2000∣+∣x ∣≦9999.【例题9】已知∣x ∣≦1,∣y ∣≦1，设M=∣x+1∣+∣y+1∣+∣2y-x-4∣，求M 的最大值和最小值【解析】由已知首先讨论绝对值符号内的代数式的符号因为∣x ∣≦1,所以-1≦x ≦1，所以0≦x+1≦2，同理可得0≦y+1≦2 因为∣y ∣≦1，所以-1≦x ≦1，所以-2≦2y ≦2⑴因为∣x ∣≦1,，所以-1≦x ≦1，所以-1≦-x ≦1，所以-1-4≦-x-4≦1-4 即-5≦-x-4≦-3⑵⑴与⑵同向相加得-7≦2y-x-4≦-1 化简M 的表达式：M=2x-y+6 求M 的取值范围：因为-1≦x ≦1，所以-2≦2x ≦2 因为-1≦x ≦1，所以-1≦-y ≦1 所以-3≦2x-y ≦3 所以3≦2x-y+6≦9当x=1,y=-1时，M 最大值为9 当x=-1,y=1时，M 最小值为3【例题10】彼此不等的有理数a b c ，，在数轴上的对应点分别为A ，B ，C ，如果a b b c a c -+-=-，那么A ，B ，C 的位置关系是_____．【解析】由绝对值的几何意义知, ∣a-b ∣表示点A 与点B 之间的距离；∣b-c ∣表示点B 与点C 之间的距离；表示点A 与点C 之间的距离；当点B 位于点A 与点C 之间（包括A ，C 两点）时,∣a-b ∣+∣b-c ∣取得最小值，为∣a-c ∣．由题设知，a ，b ，c 相等，以A ，B ，C 不重合，故点B 位于点A 与点C 之间(包括A,C 两点)．【巩固7】有理数a 、b 、c 、d 各自对应着数轴上X 、Y 、Z 、R 四个点，且 （1）∣b-d ∣比∣a-b ∣，∣a-c ∣、∣a-d ∣、∣b-c ∣、∣c-d ∣都大； （2）∣d-a ∣+∣a-c ∣=∣d-c ∣；（3）c 是a 、b 、c 、d 中第二大的数.则点X 、Y 、Z 、R 从左到右依次是 【解析】R 、X 、Z 、Y.【巩固8】如果1a b -=，1b c +=，2a c +=，求2a b c ++的值．【解析】可以去掉绝对值，分类讨论，但非常麻烦，我们仍可采用数形结合的方法，从绝对值的几何意义出发．根据∣a-b ∣=1，∣b+c ∣=∣b-(-c)∣=1，∣a+c ∣=∣a-(-c)∣=2，我们可以得到a 、b 、-c 三点在数轴上从左到右依次是-c 、b 、a 或a 、b 、-c ，我们会发现在这两种情况下，a-(-c)，b-(-c)同号，所以∣a+b+2c ∣=∣a-(-c)+b-(-c)∣=∣a-(-c)∣+∣b-(-c)∣=∣a+c ∣+∣b+c ∣=3【巩固9】已知a 、b 、c 、d 都是整数，且2a b b c c d d a +++++++=，则a d += ．【解析】法1：四个非负整数和为2，∣a+d ∣只可能为0、1或2． 讨论： ① 当a=0，b=0，c=1，d=0，满足条件，∣a+d ∣=0； ② 当a=1，b=0，c=0，d=0，满足条件，∣a+d ∣=1；③ 若∣a+d ∣=2，即a+d ≠0且∣a+b ∣=0,∣b+c ∣=0，∣c+d ∣=0，∴a+b=0， b+c=0，c+d=0，故0=0-0+0=(a+b)-(b+c)+(c+d)=a+d ，这与a+d ≠0矛盾． 所以，∣a+b ∣=0或1．【例题11】在数轴上把坐标为123...2006，，，，的点称为标点，一只青蛙从点1出发，经过2006次跳动，且回到出发点，那么该青蛙所跳过的全部路径的最大长度是多少？请说明理由 【解析】设青蛙依次到达的点为x 1 x 2 x 3 x 4......x 2006 x 1，整个跳过的路径长度为 S=∣x 1-x 2∣+∣x 2-x 3∣+∣x 3-x 4∣+......+∣x 2006-x 1∣≤2(1004+1005+....+2006)-2(1+2+3+...+1003)=2×1003×1003 故青蛙跳过的路径的最大长度为2×1003×1003【例题12】如图所示，在一条笔直的公路上有7个村庄，其中A 、B 、C 、D 、E 、F 到城市的距离分别为4、10、15、17、19、20千米，而村庄G 正好是AF 的中点．现要在某个村庄建一个活动中心，使各村到活动中心的路程之和最短，则活动中心应建在什么位置城市【解析】因为村庄G 是AF 的中点，所以村庄G 到城市的距离为12千米，即村庄G 在村庄BC 之间，7 个村庄依次排列为A B G C D E F ．设活动中心到城市的距离为x 千米，各村到活动中心的距离之和为y 千米，则：y=∣x-4∣+∣x-10∣+∣x-12∣+∣x-15∣+∣x-17∣+∣x-19∣+∣x-20∣,因为4<10<12<15<17<19<20，所以当x=15时y 有最小值，所以活动中心应当建在c 处．【巩固10】如图所示为一个工厂区的地图，一条公路（粗线）通过这个地区，7个工厂1A ，2A ，…，7A 分布在公路的两侧，由一些小路（细线）与公路相连．现在要在公路上设一个长途汽车站，车站到各工厂（沿公路、小路走）的距离总和越小越好，那么这个车站设在什么地方最好？如果在P点又建立了一个工厂，并且沿着图上的虚线修了一条小路，那么这时车站设在什么地方好？F EDCBPA7A6A5A4A3A2A1【解析】每一条小路都是工厂到车站的必经之路，和其他工厂无关．但在公路上，有些路段将是一些工厂重复经过的，应使重复路线越短越好．要使各工厂到车站的距离之和最小，只要各工厂经小路进入公路的入口处（B C D E F）到车站的距离之和最小即可，各路段的弯曲程度是无关紧要的，因此可以把公路看成一条直线，这就和题例题6类似了！即车站设在D点最好．若在P处再建一个工厂，则车站建在D处、E处或它们之间的任何地方都是最佳的．。
七年级数学(上)思维特训(4)：绝对值与分类讨论(含答案)
思维特训(四) 绝对值与分类讨论方法点津 ·1．由于去掉绝对值符号时，要分三种情况：即正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数，所以涉及绝对值的运算往往要分类讨论．用符号表示这一过程为：||a ＝⎩⎪⎨⎪⎧a （a >0），0（a ＝0），－a （a <0）.2．由于在数轴上到原点的距离相等的点(非原点)有两个，一个点表示的数是正数，另一个点表示的数是负数，因此知道某个数的绝对值求该数时，往往需要分两种情况讨论． 用符号表示这个过程为：若||x ＝a (a >0)，则x ＝±a .3．分类讨论的原则是不重不漏，一般步骤为：①分类；②讨论；③归纳．典题精练 ·类型一 以数轴为载体的绝对值的分类讨论1．已知点A 在数轴上对应的数是a ，点B 在数轴上对应的数是b ，且|a ＋4|＋(b －1)2＝0.现将点A ，B 之间的距离记作|AB |，定义|AB |＝|a －b |.(1)|AB |＝________；(2)设点P 在数轴上对应的数是x ，当|P A |－|PB |＝2时，求x 的值．2．我们知道：点A ，B 在数轴上分别表示有理数a ，b ，A ，B 两点之间的距离表示为AB ，在数轴上A ，B 两点之间的距离AB ＝|a －b |，所以式子|x －3|的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数x 的点之间的距离．根据上述材料，回答下列问题：(1)|5－(－2)|的值为________；(2)若|x －3|＝1，则x 的值为________；(3)若|x －3|＝|x ＋1|，求x 的值；(4)若|x －3|＋|x ＋1|＝7，求x 的值．类型二 与绝对值化简有关的分类讨论问题3．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答下列问题：【提出问题】三个有理数a ，b ，c 满足abc ＞0，求|a|a ＋|b|b ＋|c|c的值． 【解决问题】解：由题意，得a ，b ，c 三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．①当a ，b ，c 都是正数，即a ＞0，b ＞0，c ＞0时，则|a|a ＋|b|b ＋|c|c ＝a a ＋b b ＋c c＝1＋1＋1 ＝3；②当a ，b ，c 中有一个为正数，另两个为负数时，设a ＞0，b ＜0，c ＜0，则|a|a ＋|b|b ＋|c|c＝a a ＋－b b ＋－c c＝1－1－1＝－1. 所以|a|a ＋|b|b ＋|c|c的值为3或－1.【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题：(1)三个有理数a ，b ，c 满足abc ＜0，求|a|a ＋|b|b ＋|c|c的值； (2)已知|a |＝3，|b |＝1，且a ＜b ，求a ＋b 的值．4．在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉．例如：|6＋7|＝6＋7；|6－7|＝7－6；|7－6|＝7－6；|－6－7|＝6＋7.(1)根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式：①|7－21|＝________；②|－12＋0.8|＝________； ③⎪⎪⎪⎪717－718＝________． (2)用合理的方法计算：|15－12018|＋|12018－12|－|－12|＋11009.5．探索研究：(1)比较下列各式的大小(填“＜”“＞”或“＝”)：①|－2|＋|3|________|－2＋3|；②|－12|＋|－13|________|－12－13|；③|6|＋|－3|________|6－3|；④|0|＋|－8|________|0－8|.(2)通过以上比较，请你分析、归纳出当a，b为有理数时，|a|＋|b|与|a＋b|的大小关系．(直接写出结论即可)(3)根据(2)中得出的结论，解决以下问题：当|x|＋|－2018|＝|x－2018|时，求x的取值范围．详解详析1．解：(1)因为|a ＋4|＋(b －1)2＝0，所以a ＝－4，b ＝1，所以|AB |＝|a －b |＝5.(2)当点P 在点A 左侧时，|P A |－|PB |＝－(|PB |－|P A |)＝－|AB |＝－5≠2，不符合题意； 当点P 在点B 右侧时，|P A |－|PB |＝|AB |＝5≠2，不符合题意．当点P 在点A ，B 之间时，|P A |＝|x －(－4)|＝x ＋4，|PB |＝|x －1|＝1－x . 因为|P A |－|PB |＝2，所以x ＋4－(1－x )＝2，解得x ＝－12. 2．解：(1)7(2)因为|x －3|＝1，所以x －3＝±1，解得x ＝2或4.故x 的值为2或4.(3)根据绝对值的几何意义可知，x 必在－1与3之间，故x －3＜0，x ＋1＞0， 所以原式可化为3－x ＝x ＋1，所以x ＝1.(4)在数轴上表示3和－1的两点之间的距离为4，则满足方程的x 的对应点在－1的对应点的左边或3的对应点的右边．若x 的对应点在－1的对应点的左边，则原式可化为3－x －x －1＝7，解得x ＝－2.5； 若x 的对应点在3的对应点的右边，则原式可化为x －3＋x ＋1＝7，解得x ＝4.5. 综上可得，x 的值为－2.5或4.5.3．解：(1)因为abc ＜0，所以a ，b ，c 都为负数或其中一个为负数，另两个为正数．①当a ，b ，c 都为负数，即a ＜0，b ＜0，c ＜0时，则|a |a ＋|b |b ＋|c |c ＝－a a ＋－b b ＋－c c＝－1－1－1＝－3； ②当a ，b ，c 中有一个为负数，另两个为正数时，设a ＜0，b ＞0，c ＞0， 则|a |a ＋|b |b ＋|c |c ＝－a a ＋b b ＋c c＝－1＋1＋1＝1. 综上所述，|a |a ＋|b |b ＋|c |c的值为－3或1.(2)因为|a |＝3，|b |＝1，且a ＜b ，所以a ＝－3，b ＝1或－1，则a ＋b ＝－2或－4.4．解：(1)①21－7 ②0.8－12 ③717－718(2)原式＝15－12018＋12－12018－12＋11009＝15. 5．解：(1)①因为|－2|＋|3|＝5，|－2＋3|＝1，所以|－2|＋|3|＞|－2＋3|.②因为|－12|＋|－13|＝56，|－12－13|＝56，所以|－12|＋|－13|＝|－12－13|. ③因为|6|＋|－3|＝6＋3＝9，|6－3|＝3，所以|6|＋|－3|＞|6－3|.④因为|0|＋|－8|＝8，|0－8|＝8，所以|0|＋|－8|＝|0－8|.(2)当a ，b 异号时，|a |＋|b |＞|a ＋b |；当a ，b 同号或a ，b 中有一个为0或两个同时为0时，|a |＋|b |＝|a ＋b |，所以|a |＋|b |≥|a ＋b |.(3)由(2)中得出的结论可知，x 与－2018同号或x 为0，所以当|x |＋|－2018|＝|x －2018|时，x 的取值范围是x ≤0.。
七年级(上)数学每天一练《绝对值综合分类讨论》习题及解析
一、 选择题（共3小题）1.（笃学适用）下列说法中，错误的是( ). A ．0没有倒数B ．绝对值和倒数都是它本身的数是1C ．0乘以任何数都得0D ．0除以任何数都得02.（笃学适用）已知3a =，||2b =，||a b b a −=−，在数轴上表示a ，b 两数的点之间的距离是（ ）． A ．1 B ．5 C ．0.5 D ．1或53.（睿学适用）若12x <<，则|2||1|||21x x x x x x−−−+−−的值是( ). A ．3− B ．1−C ．2D ．1二、 填空题（共6小题）4.（笃学适用）已知a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值是2，求3()x a b cd x −++的值是________.七年级数学之绝对值综合分类讨论及几何意义5.（笃学适用）已知a 、b 、0c ≠，且||||||||a b c abca b c abc +++的最大值为m ，最小值为n ，则(1)2013m n ++= ．6.（睿学适用）若0abc >，则||||||||a b c abca b c abc +++的值为___________.7.（笃学适用）若a 为有理数，则|3||4|a a −++的最小值是 .8.（睿学A 适用）求|1||2||100||||1||100|x x x x x x −+−+…+−++++…++的最小值_________.9.（创新适用）当x 变化时，|5|||x x t −++有最小值2，则常数t 的值为 ．三、解答题（共4小题）10.（睿学适用）点A 、B 在数轴上分别表示有理数a 、b ，A 、B 两点之间的距离表示为AB ，在数轴上A 、B 两点之间的距离||AB a b =−． 利用数形结合思想回答下列问题：①数轴上表示2和6两点之间的距离是 ，数轴上表示1和4−的两点之间的距离是 ． ②数轴上表示x 和3−的两点之间的距离表示为 ．数轴上表示x 和6的两点之间的距离表示为 ．③若x 表示一个有理数，则|1||4|x x −++的最小值= ．④若x 表示一个有理数，且|1||3|4x x ++−=，则满足条件的所有整数x 的是 ． ⑤若x 表示一个有理数，当x 为 ，式子|2||3||4|x x x ++−+−有最小值为 ．11.（睿学适用）已知a 为整数（1）||a 能取最 （填“大”或“小” )值是 ．此时a = ． （2）||2a +能取最 （填“大”或“小” )值是 ．此时a = ． （3）2|1|a −−能取最 （填“大”或“小” )值是 ．此时a = ． （4）|1||2|a a −++能取最 （填“大”或“小” )值是 ．此时a = ．12．（睿学适用）（1）已知0a ≠，0b ≠，求||||a b a b+的值；（2）已知1||abcabc =，求||||||a b c a b c ++的值．13.（睿学A 适用）如图，在数轴上点A 、B 表示的数分别为2−、4，若点M 从A 点出发以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点N 从B 点出发以每秒4个单位长度的速度沿数轴匀速运动，设点M 、N 同时出发，运动时间为t 秒，经过 秒后，M 、N 两点间的距离为12个单位长度．14.（创新适用）如图，已知数轴上点A 表示的数为6，B 是数轴上一点，且10AB =．动点P 从点A 出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为(0)t t >秒．（1）写出数轴上点B 表示的数 ，点P 表示的数 用含t 的代数式表示）；（2）动点R从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、R同时出发，问点P运动多少秒时追上点R？（3）若M为AP的中点，N为PB的中点．点P在运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长；建议用时：100 min一、 选择题（共3小题）1.（笃学适用）下列说法中，错误的是). A ．0没有倒数B ．绝对值和倒数都是它本身的数是1C ．0乘以任何数都得0D．0除以任何数都得0 2.（笃学适用）已知3a =，||2b =，||a b b a −=−，在数轴上表示a ，b A ．1 B ．5 C ．0.5 D ．1或5 3.（睿学适用）若12x <<，则|2||1|||21x x x x x x−−−+−−. A ．3− B ．1−C ．2D ．1二、 填空题（共6小题）4.（笃学适用）已知a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值是2，求3()x a b cd x −++的值是________.七年级数学之绝对值综合分类讨论及几何意义5.（笃学适用）已知a 、b 、0c ≠，且||||||||a b c abca b c abc +++的最大值为m ，最小值为n ，则(1)2013m n ++．6.（睿学适用）若0abc >，则||a a7.（笃学适用）若a 为有理数，则|3||4|a a −++的最小值是 .8.（睿学A 适用）求|1||2||100||||1||100|x x x x x x −+−+…+−++++…++的最小值_________.9.（创新适用）当x 变化时，|5|||x x t −++有最小值2，则常数t 的值为 ．三、解答题（共4小题）10.（睿学适用）点A 、B 在数轴上分别表示有理数a 、b ，A 、B 两点之间的距离表示为AB ，在数轴上A 、B 两点之间的距离||AB a b =−． 利用数形结合思想回答下列问题：①数轴上表示2和6两点之间的距离是 ，数轴上表示1和4−的两点之间的距离是 ． ②数轴上表示x 和3−的两点之间的距离表示为．数轴上表示x 和6的两点之间的距离表示为 ．③若x 表示一个有理数，则|1||4|x x −++的最小值= ． ④若x 表示一个有理数，且|1||3|4x x ++−=，则满足条件的所有整数x 的是 ．⑤若x 表示一个有理数，当x 为 ，式子|2||3||4|x x x ++−+−有最小值为 ．11.（睿学适用）已知a 为整数（1）||a 能取最 （填“大”或“小” )值是 ．此时a = ． （2）||2a +能取最 （填“大”或“小” )值是 ．此时a = ．（3）2|1|a −−能取最 （填“大”或“小” )值是 ．此时a = ． （4）|1||2|a a −++能取最 （填“大”或“小” )值是 ．此时a =．12．（睿学适用）（1）已知0a ≠，0b ≠，求||||a b a b+的值；（2）已知1||abcabc =，求||||||a b c a b c ++的值．13.（睿学A 适用）如图，在数轴上点A 、B 表示的数分别为2−、4，若点M 从A 点出发以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点N 从B 点出发以每秒4设点M 、N 同时出发，运动时间为t 秒，经过 秒后，M 、N14.（创新适用）如图，已知数轴上点A 表示的数为6，B 是数轴上一点，且10AB =．动点P 从点A 出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为(0)t t >秒．（1）写出数轴上点B 表示的数，点P 表示的数 用含t 的代数式表示）；（2）动点R从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、R同时出发，问点P运动多少秒时追上点R？（3）若M为AP的中点，N为PB的中点．点P在运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长；。
分类讨论思想(初一)
分类讨论思想分类讨论思想是指当被研究的问题存在一些不确定的因素，无法用统一的方法或结论给出统一的表述时，按可能出现的所有情况来分别讨论，得出各种情况下相应的结论，分类讨论思想有利于学会完整地考虑问题，化整为零地解决问题.一、因绝对值产生的分类讨论1.数轴上的一个点到原点的距离为5，则这个点表示的数为.变式练习：数a+1到原点的距离为5，求a的值.2.点P(a+1，4)到两坐标轴的距离相等，求a的值和点P的坐标.变式练习：点P(a+2，3a-6)到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标为.3.已知A(-4，3)，AB∥y轴，且AB=3，则点B的坐标为.4.如图，A(-3，0)，B(1，0)，点C在y轴上，若S△ABC=6，求点C的坐标.二、因平方根产生的分类讨论1.5的平方根为.2解方程：2.(3)36.x2已知，，求的值3.55.x y x y三、因几何图形的不确定产生的分类讨论1.已知线段AB＝6cm，点C在直线AB上，BC=2cm，则AC的长为_________________2.已知∠A0B=120º，∠BOC=30º，则∠AOC=_____________________3.平面上，∠AOB=100 º，∠BOC=40 º，若OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，求∠MON的度数.四、因问题的多种可能性产生的分类讨论1.暑假期间，两名家长计划带若干名学生去旅游，他们联系了报价均为每人500元的两家旅行社.经协商，甲旅行社的优惠条件是：两名家长全额收费，学生都按七折收费乙旅行社的优惠条件是:家长学生都按八折收费.假设这两位家长带领x名学生去旅游，他们应该选择哪家旅行社？。
2024年秋人教版七年级数学上册 《专题：绝对值与分类讨论》精品课件
知识点3 解绝对值方程 【例3】阅读下列材料. 解方程：｜x＋3｜＝5，我们可以将x＋3视为一个整体，由于绝对值 为5的数有两个，所以x＋3＝5或x＋3＝－5，解得x＝2或x＝－8. 请按照上面的解法解方程：｜x－1｜＝3. 解：由题意，得x－1＝3或x－1＝－3， 解得x＝4或x＝－2.
【变式3】 同学们都知道，｜3－（－1）｜表示3与－1之差的绝对 值，实际上也可理解为3与－1两数在数轴上所对的两点之间的距离， 试探索： （1）求｜3－（－1）｜＝ 4 ； （2）找出所有符合条件的整数x，使得｜x－3｜＝4. 解：（2）｜x－1.
同学们，再见！
最新人教版七年级数学上册
专题：绝对值与分类讨论
解题思路：需要去绝对值，但无法确定绝对值内的正负时，则需分类 讨论. 知识储备：1.若｜x｜＝3，则x＝ ±3 . 2.若｜－x｜＝5，则x＝ ±5 .
知识点1 绝对值与有理数的运算 【例1】已知｜a｜＝4，｜b｜＝5，且ab＜0，求a－b的值. 解：因为｜a｜＝4，｜b｜＝5，所以a＝±4，b＝±5. 因为ab＜0，所以a＝4时，b＝－5；a＝－4时，b＝5. 所以a－b＝4－（－5）＝9或a－b＝－4－5＝－9. 即a－b的值为±9.
【变式1】已知｜a｜＝2，｜b｜＝3，且a＞b，求a＋b的值. 解：因为｜a｜＝2，｜b｜＝3，所以a＝±2，b＝±3. 因为a＞b， 所以当a＝2时，b＝－3，则a＋b＝－1； 当a＝－2时，b＝－3，则a＋b＝－5. 即a＋b的值为－1或－5.
知识点2 绝对值与约分 【例2】已知ab＞0，则｜aa｜＋｜bb｜＝ ±2 . 【变式2】已知abc＜0，则｜aa｜＋｜bb｜＋｜cc｜＝ 1或－3 .
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思维特训(四) 绝对值与分类讨论
方法点津 ·
1．由于去掉绝对值符号时，要分三种情况：即正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数，所以涉及绝对值的运算往往要分类讨论．
用符号表示这一过程为：||a ＝⎩⎪⎨⎪⎧a （a >0），0（a ＝0），－a （a <0）.
2．由于在数轴上到原点的距离相等的点(非原点)有两个，一个点表示的数是正数，另一个点表示的数是负数，因此知道某个数的绝对值求该数时，往往需要分两种情况讨论．
用符号表示这个过程为：若||x ＝a (a >0)，则x ＝±a .
3．分类讨论的原则是不重不漏，一般步骤为：①分类；②讨论；③归纳．
典题精练 ·
类型一 以数轴为载体的绝对值的分类讨论
1．已知点A 在数轴上对应的数是a ，点B 在数轴上对应的数是b ，且|a ＋4|＋(b －1)2＝0.现将点A ，B 之间的距离记作|AB |，定义|AB |＝|a －b |.
(1)|AB |＝________；
(2)设点P 在数轴上对应的数是x ，当|P A |－|PB |＝2时，求x 的值．
2．我们知道：点A ，B 在数轴上分别表示有理数a ，b ，A ，B 两点之间的距离表示为
AB ，在数轴上A ，B 两点之间的距离AB ＝|a －b |，所以式子|x －3|的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数x 的点之间的距离．
根据上述材料，回答下列问题：
(1)|5－(－2)|的值为________；
(2)若|x －3|＝1，则x 的值为________；
(3)若|x －3|＝|x ＋1|，求x 的值；
(4)若|x －3|＋|x ＋1|＝7，求x 的值．
类型二 与绝对值化简有关的分类讨论问题
3．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答下列问题：
【提出问题】三个有理数a ，b ，c 满足abc ＞0，求|a|a ＋|b|b ＋|c|c
的值． 【解决问题】
解：由题意，得a ，b ，c 三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．
①当a ，b ，c 都是正数，即a ＞0，b ＞0，c ＞0时，则|a|a ＋|b|b ＋|c|c ＝a a ＋b b ＋c c
＝1＋1＋1 ＝3；②当a ，b ，c 中有一个为正数，另两个为负数时，设a ＞0，b ＜0，c ＜0，则|a|a ＋|b|b ＋|c|c
＝a a ＋－b b ＋－c c
＝1－1－1＝－1. 所以|a|a ＋|b|b ＋|c|c
的值为3或－1. 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题：
(1)三个有理数a ，b ，c 满足abc ＜0，求|a|a ＋|b|b ＋|c|c
的值； (2)已知|a |＝3，|b |＝1，且a ＜b ，求a ＋b 的值．
4．在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉．例如：
|6＋7|＝6＋7；|6－7|＝7－6；|7－6|＝7－6；|－6－7|＝6＋7.
(1)根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式：
①|7－21|＝________；
②|－12
＋0.8|＝________； ③⎪⎪⎪
⎪717－718＝________． (2)用合理的方法计算：|15－12018|＋|12018－12|－|－12|＋11009
.
5．探索研究：
(1)比较下列各式的大小(填“＜”“＞”或“＝”)：
①|－2|＋|3|________|－2＋3|；
②|－1
2|＋|－
1
3|________|－
1
2－
1
3|；
③|6|＋|－3|________|6－3|；
④|0|＋|－8|________|0－8|.
(2)通过以上比较，请你分析、归纳出当a，b为有理数时，|a|＋|b|与|a＋b|的大小关系．(直接写出结论即可)
(3)根据(2)中得出的结论，解决以下问题：当|x|＋|－2018|＝|x－2018|时，求x的取值范围．
详解详析
1．解：(1)因为|a ＋4|＋(b －1)2＝0，所以a ＝－4，b ＝1，所以|AB |＝|a －b |＝5.
(2)当点P 在点A 左侧时，|P A |－|PB |＝－(|PB |－|P A |)＝－|AB |＝－5≠2，不符合题意； 当点P 在点B 右侧时，|P A |－|PB |＝|AB |＝5≠2，不符合题意．
当点P 在点A ，B 之间时，|P A |＝|x －(－4)|＝x ＋4，|PB |＝|x －1|＝1－x .
因为|P A |－|PB |＝2，所以x ＋4－(1－x )＝2，
解得x ＝－12
. 2．解：(1)7
(2)因为|x －3|＝1，所以x －3＝±1，解得x ＝2或4.故x 的值为2或4.
(3)根据绝对值的几何意义可知，x 必在－1与3之间，故x －3＜0，x ＋1＞0， 所以原式可化为3－x ＝x ＋1，所以x ＝1.
(4)在数轴上表示3和－1的两点之间的距离为4，则满足方程的x 的对应点在－1的对应点的左边或3的对应点的右边．
若x 的对应点在－1的对应点的左边，则原式可化为3－x －x －1＝7，解得x ＝－2.5； 若x 的对应点在3的对应点的右边，则原式可化为x －3＋x ＋1＝7，解得x ＝4.5. 综上可得，x 的值为－2.5或4.5.
3．解：(1)因为abc ＜0，
所以a ，b ，c 都为负数或其中一个为负数，另两个为正数．
①当a ，b ，c 都为负数，即a ＜0，b ＜0，c ＜0时，
则|a |a ＋|b |b ＋|c |c ＝－a a ＋－b b ＋－c c
＝－1－1－1＝－3； ②当a ，b ，c 中有一个为负数，另两个为正数时，设a ＜0，b ＞0，c ＞0， 则|a |a ＋|b |b ＋|c |c ＝－a a ＋b b ＋c c
＝－1＋1＋1＝1.
综上所述，|a |a ＋|b |b ＋|c |c
的值为－3或1. (2)因为|a |＝3，|b |＝1，且a ＜b ，
所以a ＝－3，b ＝1或－1，则a ＋b ＝－2或－4.
4．解：(1)①21－7 ②0.8－12 ③717－718
(2)原式＝15－12018＋12－12018－12＋11009＝15
. 5．解：(1)①因为|－2|＋|3|＝5，|－2＋3|＝1，所以|－2|＋|3|＞|－2＋3|.
②因为|－12|＋|－13|＝56，|－12－13|＝56，所以|－12|＋|－13|＝|－12－13
|. ③因为|6|＋|－3|＝6＋3＝9，|6－3|＝3，
所以|6|＋|－3|＞|6－3|.
④因为|0|＋|－8|＝8，|0－8|＝8，
所以|0|＋|－8|＝|0－8|.
(2)当a ，b 异号时，|a |＋|b |＞|a ＋b |；当a ，b 同号或a ，b 中有一个为0或两个同时为0时，|a |＋|b |＝|a ＋b |，
所以|a |＋|b |≥|a ＋b |.
(3)由(2)中得出的结论可知，x 与－2018同号或x 为0，所以当|x |＋|－2018|＝|x －2018|时，x 的取值范围是x ≤0. 。