绝对值与分类讨论
绝对值不等式的解题方法与技巧
绝对值不等式的解题方法与技巧绝对值不等式是指形式为|ax + b| < c或|ax + b| > c的不等式，其中a、b、c为实数且a不等于0。
解绝对值不等式的方法和技巧如下：1. 分类讨论法，对于形如|ax + b| < c或|ax + b| > c的绝对值不等式，可以根据ax + b的正负情况分别讨论。
当ax + b大于等于0时，即ax + b >= 0，此时不等式化简为ax + b < c或ax + b > c；当ax + b小于0时，即ax + b < 0，此时不等式化简为-(ax + b) < c或-(ax + b) > c。
分别解出这两种情况下的不等式，得到的解集合再取并集即为原不等式的解集合。
2. 图像法，可以将|ax + b|看作一个以点(-b/a, 0)为中心，以c为半径的圆形，|ax + b| < c对应的是圆心到直线ax + b = c的距离小于c的区域，|ax + b| > c对应的是圆心到直线ax + b = c的距离大于c的区域。
通过绘制图像，可以直观地找到不等式的解集合。
3. 代数法，对于形如|ax + b| < c或|ax + b| > c的绝对值不等式，可以通过代数方法将其转化为一元一次不等式进行求解。
例如，对于|2x 3| < 5，可以分别得到-5 < 2x 3 < 5，进而得到-2 < x < 4，即解集合为(-2, 4)。
4. 绝对值性质法，利用绝对值的性质，如|a| < b等价于-b <a < b，可以将绝对值不等式转化为一元一次不等式进行求解。
总之，解绝对值不等式的方法和技巧有很多种，可以根据具体的不等式形式和题目要求选择合适的方法进行求解，需要灵活运用代数、几何和逻辑推理等知识。
希望以上回答能够帮助到你。
七年级数学绝对值分类讨论重点题型
七年级数学的绝对值，是一种让很多同学感到头疼的数学概念。
在七年级数学课程中，涉及到绝对值的分类讨论也是一个重要的内容，影响着同学们对数学的理解和学习。
今天，我们就来深入探讨七年级数学中关于绝对值分类讨论的重点题型，帮助同学们更好地掌握这一知识点。
1. 绝对值概念的理解我们需要对绝对值的概念进行深入理解。
在七年级数学中，绝对值代表着一个数距离零点的距离，它是一个非负数。
具体地，对于任意实数a，其绝对值记作|a|，如果a大于等于0，则|a|等于a；如果a小于0，则|a|等于-a。
2. 绝对值分类讨论的基本原理在七年级数学中，针对绝对值的讨论通常涉及到正数、负数以及零的情况。
我们需要明确地理解在各种情况下绝对值的计算方法和特点，从而能够准确地解决问题。
3. 绝对值分类讨论的重点题型在七年级数学中，绝对值分类讨论的重点题型包括但不限于以下几种： - 绝对值不等式的求解- 绝对值方程的解法- 含绝对值的复合运算- 实际问题中的应用4. 绝对值不等式的求解对于绝对值不等式的求解，我们需要分情况讨论。
当|a|小于b时，a 和-b之间的数都满足不等式；当|a|大于b时，求解得到两个区间，分别讨论各区间内的情况。
这种分类讨论的方法在解决绝对值不等式时非常重要。
5. 绝对值方程的解法解决绝对值方程时，我们同样需要进行分类讨论。
针对|a|=b和|a|=-b 两种情况，分别求解得到不同的结果。
同学们需要注意分类讨论方法的灵活运用，才能准确地解决绝对值方程的问题。
6. 含绝对值的复合运算在七年级数学中，我们还会遇到含绝对值的复合运算题型，可能涉及加减乘除等多种运算符号。
这时，同学们需要将复合运算的每一步分类讨论，确保在每一种情况下都能准确地应用绝对值的概念和性质。
7. 实际问题中的应用绝对值的分类讨论在解决实际问题时也非常重要。
同学们需要理解绝对值在表示距离、温度差、误差等方面的应用，从而能够准确地将数学知识应用到实际生活中去。
例谈含绝对值不等式的分类讨论法
例谈含绝对值不等式的分类讨论法
1 含绝对值不等式的定义
含绝对值不等式是数学中一类描述实数之间关系的不等式，一般
用符号|a|≤b、|a|<b、|a|≥b或者|a|>b来表示。
其中|a|代表a的
绝对值，而它们本身又是另外一类“非负” 或“非正” 的不等式。
2 类型分类
含绝对值不等式可以按照实数a和b是否有限大小均分为四种：
1）若a、b都为有限范围内的实数，则有|a|≤M、|a|<M、|a|≥M
或者|a|>M,其中M为常数。
2）若a为有限范围内的实数，而b为正无穷大，则有|a|≤∞、
|a|<∞、|a|≥∞或者|a|>∞。
3）若a为正无穷大，而b为有限范围内的实数，则有∞≤|a|、
∞<|a|、∞≥|a|或者∞>|a|。
4）若a、b都为正无穷大，则有∞≤|a|、∞<|a|、∞≥|a|或者∞>|a|。
3 总结：
总之，含绝对值不等式是数学中一类描述实数之间关系的不等式，有着无限多的变体，它们可以按照参与运算的变量a和b是否是有限
范围内的实数或正无穷大来分为四类。
去绝对值常用方法
去绝对值常用“六招”（初一）去绝对值常用“六招” （初一）绝对值是初中数学的一个重要概念，是后续学习的必备知识。
解绝对值问题要求高，难度大，不易把握，解题易陷入困境。
下面就教同学们去绝对值的常用几招。
一、根据定义去绝对值例1、当a = -5，b = 2， c = - 8时，求3│a│-2│b│- │c│的值分析：这里给出的是确定的数，所以根据绝对值的意义即正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。
代值后即可去掉绝对值。
解：因为：a = -5＜0，b =2＞0，c = -8＜0所以由绝对值的意义，原式= 3 [ -（-5）] – 2 ×2 - [ - ( - 8 ) ] = 7二、从数轴上“读取”相关信息去绝对值例2、有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，且│a│=│b│，化简│c-a│+│c-b│+│a+b│-│a│分析：本题的关键是确定c - a、c-b、a + b的正负性，由数轴上点的位置特征，即可去绝对值。
解：由已知及数轴上点的位置特征知：a＜0＜c＜b 且- a = b从而 c – a ＞0 ， c - b＜0， a + b = 0 故原式= c - a + [ - ( c – b ) ] + 0 - ( - a ) = b三、由非负数性质去绝对值例3：已知│a2-25│+ ( b – 2 )2 = 0，求ab的值。
分析：因为绝对值、完全平方数为非负数，几个非负数的和为零，则这几个数均为“0”。
解：因为│a2-25│+ ( b – 2 )2 = 0 由绝对值和非负数的性质：a2-25 = 0 且b – 2 = 0即a = 5 b = 2 或a = - 5 b = 2 故ab = 10或ab = - 10四、用分类讨论法去绝对值例4、若abc≠0，求+ + 的值。
分析：因abc≠0，所以只需考虑a、b、c同为正号还是同为负号；两个同为正（负）号，另一个为负（正）号，共八种情况。
七年级(上)数学每天一练《绝对值综合分类讨论》习题及解析
一、 选择题（共3小题）1.（笃学适用）下列说法中，错误的是( ). A ．0没有倒数B ．绝对值和倒数都是它本身的数是1C ．0乘以任何数都得0D ．0除以任何数都得02.（笃学适用）已知3a =，||2b =，||a b b a −=−，在数轴上表示a ，b 两数的点之间的距离是（ ）． A ．1 B ．5 C ．0.5 D ．1或53.（睿学适用）若12x <<，则|2||1|||21x x x x x x−−−+−−的值是( ). A ．3− B ．1−C ．2D ．1二、 填空题（共6小题）4.（笃学适用）已知a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值是2，求3()x a b cd x −++的值是________.七年级数学之绝对值综合分类讨论及几何意义5.（笃学适用）已知a 、b 、0c ≠，且||||||||a b c abca b c abc +++的最大值为m ，最小值为n ，则(1)2013m n ++= ．6.（睿学适用）若0abc >，则||||||||a b c abca b c abc +++的值为___________.7.（笃学适用）若a 为有理数，则|3||4|a a −++的最小值是 .8.（睿学A 适用）求|1||2||100||||1||100|x x x x x x −+−+…+−++++…++的最小值_________.9.（创新适用）当x 变化时，|5|||x x t −++有最小值2，则常数t 的值为 ．三、解答题（共4小题）10.（睿学适用）点A 、B 在数轴上分别表示有理数a 、b ，A 、B 两点之间的距离表示为AB ，在数轴上A 、B 两点之间的距离||AB a b =−． 利用数形结合思想回答下列问题：①数轴上表示2和6两点之间的距离是 ，数轴上表示1和4−的两点之间的距离是 ． ②数轴上表示x 和3−的两点之间的距离表示为 ．数轴上表示x 和6的两点之间的距离表示为 ．③若x 表示一个有理数，则|1||4|x x −++的最小值= ．④若x 表示一个有理数，且|1||3|4x x ++−=，则满足条件的所有整数x 的是 ． ⑤若x 表示一个有理数，当x 为 ，式子|2||3||4|x x x ++−+−有最小值为 ．11.（睿学适用）已知a 为整数（1）||a 能取最 （填“大”或“小” )值是 ．此时a = ． （2）||2a +能取最 （填“大”或“小” )值是 ．此时a = ． （3）2|1|a −−能取最 （填“大”或“小” )值是 ．此时a = ． （4）|1||2|a a −++能取最 （填“大”或“小” )值是 ．此时a = ．12．（睿学适用）（1）已知0a ≠，0b ≠，求||||a b a b+的值；（2）已知1||abcabc =，求||||||a b c a b c ++的值．13.（睿学A 适用）如图，在数轴上点A 、B 表示的数分别为2−、4，若点M 从A 点出发以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点N 从B 点出发以每秒4个单位长度的速度沿数轴匀速运动，设点M 、N 同时出发，运动时间为t 秒，经过 秒后，M 、N 两点间的距离为12个单位长度．14.（创新适用）如图，已知数轴上点A 表示的数为6，B 是数轴上一点，且10AB =．动点P 从点A 出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为(0)t t >秒．（1）写出数轴上点B 表示的数 ，点P 表示的数 用含t 的代数式表示）；（2）动点R从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、R同时出发，问点P运动多少秒时追上点R？（3）若M为AP的中点，N为PB的中点．点P在运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长；建议用时：100 min一、 选择题（共3小题）1.（笃学适用）下列说法中，错误的是). A ．0没有倒数B ．绝对值和倒数都是它本身的数是1C ．0乘以任何数都得0D．0除以任何数都得0 2.（笃学适用）已知3a =，||2b =，||a b b a −=−，在数轴上表示a ，b A ．1 B ．5 C ．0.5 D ．1或5 3.（睿学适用）若12x <<，则|2||1|||21x x x x x x−−−+−−. A ．3− B ．1−C ．2D ．1二、 填空题（共6小题）4.（笃学适用）已知a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值是2，求3()x a b cd x −++的值是________.七年级数学之绝对值综合分类讨论及几何意义5.（笃学适用）已知a 、b 、0c ≠，且||||||||a b c abca b c abc +++的最大值为m ，最小值为n ，则(1)2013m n ++．6.（睿学适用）若0abc >，则||a a7.（笃学适用）若a 为有理数，则|3||4|a a −++的最小值是 .8.（睿学A 适用）求|1||2||100||||1||100|x x x x x x −+−+…+−++++…++的最小值_________.9.（创新适用）当x 变化时，|5|||x x t −++有最小值2，则常数t 的值为 ．三、解答题（共4小题）10.（睿学适用）点A 、B 在数轴上分别表示有理数a 、b ，A 、B 两点之间的距离表示为AB ，在数轴上A 、B 两点之间的距离||AB a b =−． 利用数形结合思想回答下列问题：①数轴上表示2和6两点之间的距离是 ，数轴上表示1和4−的两点之间的距离是 ． ②数轴上表示x 和3−的两点之间的距离表示为．数轴上表示x 和6的两点之间的距离表示为 ．③若x 表示一个有理数，则|1||4|x x −++的最小值= ． ④若x 表示一个有理数，且|1||3|4x x ++−=，则满足条件的所有整数x 的是 ．⑤若x 表示一个有理数，当x 为 ，式子|2||3||4|x x x ++−+−有最小值为 ．11.（睿学适用）已知a 为整数（1）||a 能取最 （填“大”或“小” )值是 ．此时a = ． （2）||2a +能取最 （填“大”或“小” )值是 ．此时a = ．（3）2|1|a −−能取最 （填“大”或“小” )值是 ．此时a = ． （4）|1||2|a a −++能取最 （填“大”或“小” )值是 ．此时a =．12．（睿学适用）（1）已知0a ≠，0b ≠，求||||a b a b+的值；（2）已知1||abcabc =，求||||||a b c a b c ++的值．13.（睿学A 适用）如图，在数轴上点A 、B 表示的数分别为2−、4，若点M 从A 点出发以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点N 从B 点出发以每秒4设点M 、N 同时出发，运动时间为t 秒，经过 秒后，M 、N14.（创新适用）如图，已知数轴上点A 表示的数为6，B 是数轴上一点，且10AB =．动点P 从点A 出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为(0)t t >秒．（1）写出数轴上点B 表示的数，点P 表示的数 用含t 的代数式表示）；（2）动点R从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、R同时出发，问点P运动多少秒时追上点R？（3）若M为AP的中点，N为PB的中点．点P在运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长；。
绝对值的分类讨论
绝对值的分类讨论嘿，朋友们！今天咱们来唠唠数学里那个有点小调皮的绝对值。
这绝对值啊，就像是一个超级有原则的裁判，不管你是正数还是负数，到了它面前，都得变成非负数，简直就是数学世界里的正能量传播者。
你想啊，假如正数是一群欢快的小天使，那正数的绝对值就是小天使本身，就像小天使照镜子，看到的还是那个可爱的自己。
比如说3的绝对值就是3，多干脆，一点都不拖泥带水。
可是负数就不一样喽。
负数就像是那些喜欢躲在阴影里的小怪兽，但是一旦遇到绝对值这个裁判，小怪兽就得乖乖地把自己的负面外衣脱掉，露出正数的真面目。
就像 -5，它的绝对值就是5，这就好比小怪兽突然被施了魔法，变成了阳光小少年，是不是很神奇？那要是遇到0呢？0就像是一个中立的小精灵，它的绝对值还是0，就像小精灵站在原地，哪也不去，稳稳当当的。
不过，这绝对值的分类讨论可不止这么简单哦。
当我们在解方程或者做一些复杂的数学题时，绝对值就开始耍它的小把戏了。
比如说，|x| = 3，这时候x就有两种可能，就像一个人站在岔路口，他可以向左走向3这个正数，也可以向右走向 -3这个负数。
这就像是绝对值给我们出了一个小谜题，让我们去猜这个神秘的x到底是哪个“小怪兽”或者“小天使”。
有时候，我们还会遇到像|x - 2|这样的式子。
这就好比x是一个小探险家，2是一个小城堡，|x - 2|就是小探险家离小城堡的距离。
那这个距离也有多种情况啊，可能小探险家在小城堡的左边，也可能在小城堡的右边，所以又要开始分类讨论啦。
在不等式里，绝对值更是个捣蛋鬼。
|x| < 5的时候，就像把x这个调皮的小动物圈在一个半径为5的小圆圈里，这个小动物可以在正数的一边晃悠，也可以在负数的一边溜达，但是不能跑太远。
绝对值就像一个充满惊喜和挑战的魔法盒子，每次打开都有不同的情况等着我们去探索。
我们要像聪明的侦探一样，仔细分析各种可能，才能在这个绝对值的奇妙世界里畅游无阻。
不管它怎么变着花样地考我们，只要我们掌握了分类讨论这个魔法棒，就能轻松应对啦。
绝对值贯穿有理数经典题型(八大题型)(原卷版)
专题1.1 绝对值贯穿有理数经典题型（八大题型）【题型1 利用绝对值的性质化简或求值】 【题型2 根据绝对值的非负性求值】 【题型3 根据参数的取值范围化简绝对值】 【题型4 根据绝对值的定义判断正误】 【题型5 根据绝对值的意义求取值范围】 【题型6 绝对值中分类讨论aa问题】 【题型7 绝对值中的分类讨论之多绝对值问题】 【题型8 绝对值中最值问题】【题型1 利用绝对值的性质化简或求值】【典例1】有理数a ，b ，c 在数轴上对应点的位置如图所示．（1）在数轴上表示﹣c ，|b |．（2）试把﹣c ，b ，0，a ，|b |这五个数从小到大用“＜”连接起来； （3）化简|a +b |﹣|a ﹣c |﹣2|b +c |．【变式1-1】有理数a ，b ，c 在数轴上对应的点如图所示，化简|b +a |+|a +c |+|c ﹣b |的结果是（ ）A ．2b ﹣2cB ．2c ﹣2bC ．2bD ．﹣2c【变式1-2】a 、b 、c 三个数在数轴上位置如图所示，且|a |＝|b |（1）求出a、b、c各数的绝对值；（2）比较a，﹣a、﹣c的大小；（3）化简|a+b|+|a﹣b|+|a+c|+|b﹣c|．【题型2 根据绝对值的非负性求值】【典例2】已知|a−|+|b+|+|c+|＝0，求a﹣|b|+（﹣c）的值．【变式2-1】已知实数a，b满足|a|＝b，|ab|+ab＝0，化简|a|+|﹣2b|+3a．【变式2-3】若|x﹣2|+2|y+3|+3|z﹣5|＝0．计算：（1）x，y，z的值．（2）求|x|+|y|﹣|z|的值．【变式2-4】已知m，n满足|m﹣2|+|n﹣3|＝0，求2m+n的值．【变式2-5】已知|a﹣3|与|2b﹣4|互为相反数．（1）求a与b的值；（2）若|x|＝2a+4b，求x的相反数．【变式2-6】若|a+2|+|b﹣5|＝0，求的值．【变式2-7】若a、b都是有理数，且|ab﹣2|+|a﹣1|＝0，求++ +……+的值．【题型3 根据参数的取值范围化简绝对值】【典例3】已知1＜a＜4，则|4﹣a|+|1﹣a|的化简结果为（）A．5﹣2a B．﹣3C．2a﹣5D．3【变式3-1】已知1＜x＜2，则|x﹣3|+|1﹣x|等于（）A．﹣2x B．2C．2x D．﹣2【变式3-2】若1＜x＜2，则化简|x+1|﹣|x﹣2|的结果为（）A．3B．﹣3C．2x﹣1D．1﹣2x【变式3-3】已知有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简|b+1|﹣|b﹣a|的结果为（）A．a﹣2b﹣1B．a+1C．﹣a﹣1D．﹣a+2b+1【变式3-4】若a＜0，则化简|3﹣a|+|2a﹣1|的结果为．【题型4 根据绝对值的定义判断正误】、【典例4】在实数a，b，c中，若a+b＝0，b﹣c＞c﹣a＞0，则下列结论：①|a|＞|b |，②a ＞0，③b ＜0，④c ＜0，正确的个数有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【变式4-1】将符号语言“|a |＝a （a ≥0）”转化为文字表达，正确的是（ ） A ．一个数的绝对值等于它本身 B ．负数的绝对值等于它的相反数C ．非负数的绝对值等于它本身D ．0的绝对值等于0【变式4-2】已知a 、b 、c 的大致位置如图所示：化简|a +c |﹣|a +b |的结果是（ ）A ．2a +b +cB ．b ﹣cC ．c ﹣bD ．2a ﹣b ﹣c【变式4-3】下列说法中正确的是（ ） A ．两个负数中，绝对值大的数就大 B ．两个数中，绝对值较小的数就小 C ．0没有绝对值D ．绝对值相等的两个数不一定相等【题型5 根据绝对值的意义求取值范围】【典例5】若|5﹣x |＝x ﹣5，则x 的取值范围为（ ） A ．x ＞5B ．x ≥5C ．x ＜5D ．x ≤5【变式5-1】已知|a |＝﹣a ，则化简|a ﹣1|﹣|a ﹣2|所得的结果是（ ） A ．﹣1B ．1C ．2a ﹣3D ．3﹣2a【变式5-2】若|1﹣a |＝a ﹣1，则a 的取值范围是（ ） A ．a ＞1B ．a ≥1C ．a ＜1D ．a ≤1【变式5-3】若不等式|x ﹣2|+|x +3|+|x ﹣1|+|x +1|≥a 对一切数x 都成立，则a 的取值范围是 ．【题型6 绝对值中分类讨论aa问题】 【典例6】计算：（abc ≠0）＝ ．【变式6-1】若n＝，abc＞0，则n的值为．【变式6-2】已知abc＞0，则式子：＝（）A．3B．﹣3或1C．﹣1或3D．1【变式6-3】已知a，b为有理数，ab≠0，且．当a，b取不同的值时，M的值等于（）A．±5B．0或±1C．0或±5D．±1或±5【变式6-4】已知：，且abc＞0，a+b+c＝0．则m 共有x个不同的值，若在这些不同的m值中，最大的值为y，则x+y＝（）A．4B．3C．2D．1【变式6-5】已知a、b、c均为不等于0的有理数，则的值为．【变式6-7】已知a，b，c都不等于零，且++﹣的最大值是m，最小值为n，求的值．【变式6-8】在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的“探究”【提出问题】三个有理数a、b、c满足abc＞0，求++的值．【解决问题】解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．①当a，b，c都是正数，即a＞0，b＞0，c＞0时，则：++＝++＝1+1+1＝3；②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，设a＞0，b＜0，c＜0，则：++＝++＝1﹣1﹣1＝﹣1所以：++的值为3或﹣1．【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题：（1）三个有理数a，b，c满足abc＜0，求++的值；（2）已知|a|＝3，|b|＝1，且a＜b，求a+b的值．【变式6-9】阅读下列材料完成相关问题：已知a，b、c是有理数（1）当ab＞0，a+b＜0时，求的值；（2）当abc≠0时，求的值；（3）当a+b+c＝0，abc＜0，的值．【题型7 绝对值中的分类讨论之多绝对值问题】【典例7】（2022•河北模拟）（1）数轴上两点表示的有理数是a、b，求这两点之间的距离；（2）是否存在有理数x，使|x+1|+|x﹣3|＝x？（3）是否存在整数x，使|x﹣4|+|x﹣3|+|x+3|+|x+4|＝14？如果存在，求出所有的整数x；如果不存在，说明理由．【变式7-1】（2022春•宝山区校级月考）已知|a﹣1|+|a﹣4|＝3，则a的取值范围为．【变式7-2】（2022秋•玉门市期末）在数轴上有四个互不相等的有理数a、b、c、d，若|a﹣b|+|b﹣c|＝c﹣a，设d在a、c之间，则|a﹣d|+|d﹣c|+|c﹣b|﹣|a﹣c|＝（）A．d﹣b B．c﹣b C．d﹣c D．d﹣a【题型8绝对值中最值问题】【典例8】结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）数轴上表示3和2的两点之间的距离是；表示﹣2和1两点之间的距离是；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．（2）如果|x+1|＝2，那么x＝；（3）若|a﹣3|＝4，|b+2|＝3，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是，最小距离是．（4）若数轴上表示数a的点位于﹣3与5之间，则|a+3|+|a﹣5|＝．（5）当a＝1时，|a﹣1|+|a+5|+|a﹣4|的值最小，最小值是．【变式8-1】结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是；表示﹣3和2两点之间的距离是；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．如果表示数a和﹣1的两点之间的距离是3，那么a＝．（2）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，则|a+4|+|a﹣2|的值为；（3）利用数轴找出所有符合条件的整数点x，使得|x+2|+|x﹣5|＝7，这些点表示的数的和是．（4）当a＝时，|a+3|+|a﹣1|+|a﹣4|的值最小，最小值是．【变式8-2】结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是；表示﹣3和2两点之间的距离是；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．（2）如果|x+1|＝3，那么x＝；（3）若|a﹣3|＝2，|b+2|＝1，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是，最小距离是．（4）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，则|a+4|+|a﹣2|＝．【变式8-3】阅读下面材料并解决有关问题：我们知道：|x|＝．现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式|x+1|+|x﹣2|时，可令x+1＝0和x﹣2＝0，分别求得x ＝﹣1，x＝2（称﹣1，2分别为|x+1|与|x﹣2|的零点值）．在实数范围内，零点值x＝﹣1和，x＝2可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：①x＜﹣1；②﹣1≤x＜2；③x≥2．从而化简代数式|x+1|+|x﹣2|可分以下3种情况：①当x＜﹣1时，原式＝﹣（x+1）﹣（x﹣2）＝﹣2x+1；②当﹣1≤x＜2时，原式＝x+1﹣（x﹣2）＝3；③当x≥2时，原式＝x+1+x﹣2＝2x﹣1．综上讨论，原式＝．通过以上阅读，请你解决以下问题：（1）化简代数式|x+2|+|x﹣4|．（2）求|x﹣1|﹣4|x+1|的最大值．。
初一数学绝对值难题解析完整版
初一数学绝对值难题解析Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】初一数学绝对值难题解析绝对值是初一数学的一个重要知识点，它的概念本身不难，但却经常拿来出一些难题，考验的是学生对基本概念的理解程度和基本性质的灵活运用能力。
绝对值有两个意义：（1）代数意义：非负数（包括零）的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数。
即|a|＝a（当a≥0）,|a|＝－a（当a＜0）（2）几何意义：一个数的绝对值等于数轴上表示它的点到原点的距离。
灵活应用绝对值的基本性质：（1）|a|≥0；（2）|ab|＝|a|·|b|；（3）|a/b|＝|a|/|b|(b≠0)（4）|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|；（5）|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|；思考：|a＋b|＝|a|＋|b|，在什么条件下成立？|a－b|＝|a|－|b|，在什么条件下成立？常用解题方法：（1）化简绝对值：分类讨论思想（即取绝对值的数为非负数和负数两种情况）（2）运用绝对值的几何意义：数形结合思想，如绝对值最值问题等。
（3）零点分段法：求零点、分段、区段内化简、综合。
例题解析：第一类：考察对绝对值代数意义的理解和分类讨论思想的运用1、在数轴上表示a、b两个数的点如图所示，并且已知表示c的点在原点左侧，请化简下列式子：（1）|a－b|－|c－b|解：∵a＜0，b＞0∴a－b＜0c＜0，b＞0∴c－b＜0故，原式＝（b－a）－(b－c)＝c－a（2）|a－c|－|a＋c|解：∵a＜0，c＜0∴a－c要分类讨论，a＋c＜0当a－c≥0时，a≥c，原式＝（a－c）＋(a＋c)＝2a当a－c＜0时，a＜c，原式＝（c－a）＋(a＋c)＝2c2、设x＜－1，化简2－|2－|x－2||。
解：∵x＜－1∴x－2＜0原式＝2－|2－（2－x）|＝2－|x|＝2＋x3、设3＜a＜4，化简|a－3|＋|a－6|。
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2．我们知道：点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，A， B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A，B两点之间的 距离AB＝|a－b|，所以式子|x－3|的几何意义是数轴上 表示有理数3的点与表示有理数x的点之间的距离． 根据上述材料，回答下列问题：
(1)|5－(－2)|的值为________； (2)若|x－3|＝1，则x的值为________； (3)若|x－3|＝|x＋1|，求x的值； (4)若|x－3|＋|x＋1|＝7，求x的值．
绝对值与分类讨论
类型一 以数轴为载体的绝对值的分类讨论
1．已知点A在数轴上对应的数是a，点B在数轴上 对应的数是b，且|a＋4|＋(b－1)2＝0.现将点A，B 之间的距离记作|AB|，定义|AB|＝|a－b|. (1)|AB|＝________； (2)设点P在数轴上对应的数是x，当|PA|－|PB|＝ 2时，求x的值．
类型二 与绝对值化简有关的分类讨论问题
(1)三个有理数a，b，c满足abc＜0，求 的值；
ab a bc c Nhomakorabea(2)已知|a|＝3，|b|＝1，且a＜b，求a＋b的
值．
2．探索研究： (1)比较下列各式的大小(填“＜”“＞”或“＝”)： ①|－2|＋|3|________|－2＋3|； ②|－2|＋|－3|________|－2－3|； ③|6|＋|－3|________|6－3|； ④|0|＋|－8|________|0－8|. (2)通过以上比较，请你分析、归纳出当a，b为有 理数时，|a|＋|b|与|a＋b|的大小关系．(直接写 出结论即可) (3)根据(2)中得出的结论，解决以下问题：当|x|＋ |－2018|＝|x－2018|时，求x的取值范围．