初一数学乘法公式、因式分解拓展题
初中数学因式分解50题专题训练含答案
初中数学因式分解50题专题训练含答案学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．分解因式（1）()()22-1-41-m m m （2）()()23812a a b b a ---2．把下列各式分解因式：（1）22344x y xy y -+；（2）41x -．3．因式分解（1） 322m -8mn（2）a （a+4）+44．因式分解：（1）x 2﹣9（2）4y 2+16y+165．分解因式：（1）22242x xy y -+ （2）()()2m m n n m -+-6．把下列各式因式分解：（1）216y -（2）32232a b a b ab -+7．计算（1）)10122-⎛⎫-- ⎪⎝⎭（2）分解因式：()222224a b a b +-8．分解因式：(1) 3x x -(2) 2363x y xy y -+9．把下列各式分解因式：（1）2221218a ab b -+； （2）222(2)(12)x y y ---．10．因式分解：（1）()()35a x y b y x --- （2）32231025ab a b a b -+11．把下列各式进行因式分解（1）22818x y - （2）322a b a b ab -+12．因式分解：(1) 33a b ab -； (2) 44-b a13．因式分解：(1)3m 2n-12mn+12n ； (2)a 2(x-y)+9(y-x)14．分解因式：（1）269y y -+（2）228x -15．因式分解（1）4a 2-25b 2（2）-3x 3y 2+6x 2y 3-3xy 416．把下面各式分解因式：（1）x 2﹣4xy +4y 2；（2）3a 3﹣27a ．17．将下列各式因式分解：（1）x 3﹣x ；（2）x 4﹣8x 2y 2+16y 4．18．分解因式：（1）ax 2﹣9a ； （2）4ab 2﹣4a 2b ﹣b 3．19．因式分解：（1）ax 2-9a ；（2）(y+2)(y+4)+1．20．分解因式：（1）()()22x x y y y x -+-（2）324812x x x -++21．因式分解：(1)()()323x x x --- ；(2)3231827a a a -+-22．因式分解：（1）m 2（x +y ）﹣n 2（x +y ）；（2）x 4﹣2x 2+1．23．因式分解（1）2(2)(2)m a m a -+- （2）()222224a b a b +-24．（1）分解因式：22344a b ab b -+（2）解方程：1224x x x x -=--25．因式分解：(1)9x 2﹣1 (2)3a 2﹣18a+27．参考答案1．（1）（m －1）（m －2）2；（2） 4（a －b ）2（5a －3b ）【解析】【分析】（1）先提公因式，再用完全平方公式；（2）提公因式法分解因式．【详解】解：（1）原式()()2=-1-44m m m + ()()2=-1-2m m ；（2）原式()()22-343a b a a b -+= ()()245-3a b a b =-．【点睛】本题考查因式分解的方法，熟练掌握提公因式法和完全平方公式是关键．．2．（1）2(2)y x y -；（2）2(1)(1)(1)x x x ++-．【解析】【分析】（1）先提公因式，然后了利用完全平方公式进行因式分解，解题得到答案．（2）利用平方差公式进行因式分解，即可得到答案．【详解】解：（1）原式=22(44)y x xy y -+=2(2)y x y -； （2）原式=22(1)(1)x x +-=2(1)(1)(1)x x x ++-．【点睛】本题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握提公因式法、公式法进行因式分解． 3．（1）2m （m+2n ）（m-2n ）；()22a +．【解析】【分析】本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
初中数学：因式分解强化练习(含答案)
因式分解知识讲解1、因式分解的概念：把一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做因式分解.注：因式分解和整式乘法互为逆运算.2、常用的因式分解方法：（1）提取公因式法：)(c b a m mc mb ma ++=++（2）运用公式法： 平方差公式：))((22b a b a b a -+=-；完全平方公式：222)(2b a b ab a ±=+±（3）十字相乘法：))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++3、因式分解的一般步骤：（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；（2）提出公因式或无公因式可提，再考虑可否运用公式或十字相乘法；（3）对二次三项式，应先尝试用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法；（4）最后考虑用分组分解法.4、因式分解的原则（1）分解因式必须要分解到不能分解为止.（2）有公因式的一定要先提取公因式.（一）提公因式法提取公因式法：)(c b a m mc mb ma ++=++公因式：一个多项式每一项都含有的相同的因式，叫做这个多项式各项的公因式；找公因式的方法：1、系数为各系数的最大公约数；2、字母是相同字母；3、字母的次数：相同字母的最低次数.总结:把公有的因式提出来，剩下的照着抄下来.一、填空题（1）因式分解：am-3a= a （m-3） .（2）因式分解：ax ²-ax= ax （x-1） .（3）因式分解：3ab ²+a ²b= ab （3b+a ） .（4）因式分解：x 2﹣xy= x （x ﹣y ） ．（5）因式分解：（x+y ）²-（x+y ）= （x+y ）（x+y-1） .（6）因式分解：a （a-b ）-a+b= （a-b ）（a-1） .（7）因式分解：2m(a －b)－3n(b －a)＝ (a －b)(2m ＋3n) .二、因式分解的解答题1、直接提取公因式(1)3ab 2＋a 2b ； (2)2a 2－4a ； （3）20x ³y-15x ²y 解：原式＝ab(3b ＋a) 解：原式＝2a(a －2) 解：原式=)34(52-x y x(4)x 4＋x 3＋x ； (5)3x 3＋6x 4； (6)4a 3b 2－10ab 3c ；解：原式＝x(x 3＋x 2＋1)． 解：原式＝3x 3(1＋2x)． 解：原式＝2ab 2(2a 2－5bc)．(7)－3ma 3＋6ma 2－12ma ； （8）ab b a b a 264222-+- （9） y x y x y x 332232-- 解：原式＝－3ma(a 2－2a ＋4) 解：原式=-2ab （2ab-3a+1） 解：原式=)321(22x y y x --2、变符号，再提取公因式（1）a （3-b ）+3（b-3） （2）2a （x-y ）-3b （y-x ） (3)x(x －y)＋y(y －x) 解：原式=（3-b ）（a-3） 解：原式=（x-y ）（2a+3b ） 解：原式＝(x －y)2.(4)m(5－m)＋2(m －5)； （5）)93()3(2-+-x x解：原式＝(m －2)(5－m)． 解：原式=x （x-3）；3、稍微复杂的提取公因式（1）6x （a-b ）+4y （b-a ） (2)6p(p ＋q)－4q(p ＋q)．解：原式=2（a-b ）（3x-2y ） 解：原式＝2(p ＋q)(3p －2q)．(3)4q(1－p)3＋2(p －1)2. (4)5x(x －2y)3－20y(2y －x)3.解：原式＝2(1－p)2(2q －2pq ＋1) 解：原式＝5(x －2y)3(x ＋4y)．(5)(a 2－ab)＋c(a －b)； （6）22)2(20)2(5a b b b a a --- 解：原式＝(a ＋c)(a －b)． 解:原式=5（a-2b ）2（a-4b ）4、用简便方法计算：（1）213×255-213×55. （2）1571215711576⨯-⨯-⨯. 解：（1）原式=42600； 解：（2）原式=-15.（二）平方差公式因式分解1、平方差公式 ))((22b a b a b a -+=-2、平方减平方等于平方差，等于两个数的和乘以两个数的差.3、有公因式的，先提公因式，再因式分解.一、填空题（1）因式分解：a ³-a= a （a+1）（a-1） .（2）因式分解：x 2﹣4= （x+2）（x ﹣2） .（3）因式分解：16x 2－64＝ 16(x ＋2)(x －2) .（4）因式分解：a 3﹣ab 2= a （a+b ）（a ﹣b ） ．二、在实数范围内分解因式：1、(1)4x 2－y 2 (2)－16＋a 2b 2 (3)100x 2－9y 2解：(2x ＋y)(2x －y) 解：(ab ＋4)(ab －4) 解：(10x ＋3y)(10x －3y)（4）4x ²-9y ² (5)x 2－3解：原式=（2x+3y ）（2x-3y ） 解：原式＝(x －3)(x ＋3)(6)4x 2－25 (7)(x 2＋9)2－36x 2解：原式＝(2x ＋5)(2x －5) 解：原式＝(x ＋3)2(x －3)22、将下列式子因式分解.（1）（m+n ）²-（m-n ）² (2)(x ＋2y)2－(x －y)2 (3)(a ＋3)2－(a ＋b)2 解:原式=4mn 解：原式＝3y(2x ＋y) 解：原式＝(2a ＋b ＋3)(3－b)3、先提公因式再因式分解.(1)a 3－9a （2）2416x x - （3）224364b a a -解：原式＝a(a ＋3)(a －3) （2）原式=x ²（x+4）（x-4） （3）原式=4a ²（a+3b ）（a-3b ）(4)3m(2x －y)2－3mn 2 （5）(a －b)b 2－4(a －b) 解：原式＝3m(2x －y ＋n)(2x －y －n) 解：原式＝(a －b)(b ＋2)(b －2)4、四次的因式分解.(1)16－b 4 (2)x 4－4解：原式＝(2＋b)(2－b)(4＋b 2) 解：原式＝(x 2＋2)(x ＋2)(x －2) （三）完全平方公式因式分解完全平方式 222)(2b a b ab a ±=+± 等于（首-尾）2或者（首+尾）2一、填空题（1）因式分解：x 2y 2－2xy ＋1＝ (xy －1)2 ．（2）因式分解：－4a 2＋24a －36＝ －4(a －3)2 .（3）因式分解：x 2﹣6x+9= （x ﹣3）2 .（4）因式分解：ab 2﹣4ab+4a= a （b ﹣2）2 ．（5）因式分解：= ﹣（3x ﹣1）2 ．二、解答题1、分解因式.(1)a 2＋4a ＋4 (2)4x 2＋y 2－4xy (3)9－12a ＋4a 2 解：原式＝(a ＋2)2 解：原式＝(2x －y)2 解：原式＝(3－2a)22、因式分解.（1）9)1(6)1(222+---x x （2）16)4(8)4(222+-+-m m m m 解：原式=（x+2）²（x-2）² 解：原式=4)2(-m(4)(a ＋b)2－4(a ＋b)＋4 (3)(m ＋n)2－6(m ＋n)＋9解：原式＝(a ＋b －2)2 解：原式＝(m ＋n －3)23、利用因式分解计算.（1）202²+98²+202×196 （2）800²-1600×798+798²解：（1）原式=90000； 解：（2）原式=4.4、利用因式分解计算：992＋198＋1.解：原式＝992＋2×99×1＋1＝(99＋1)2＝1002＝10000. （四）十字相乘法方法步骤：第一步：拆分，拆分二次项次数和常数项.第二步：交叉相乘，然后相加，加出来的得数若等于中间的一次项系数则配对成功，可以横着写.十字相乘法专项练习题（1）=--1522x x (x-5)(x+3) (2)=+-652x x (x-2)(x-3)（2）=--3522x x (2x+1)(x-3) （4）=-+3832x x (3x-1)(x+3)（5）=+-672x x (x-1)(x-6) （6）=-+1232x x (3x-1)(x+1)（7）=--9542x x (4x-9)(x+1) （8)=--2142x x (x-7)(x+3)（9）2x 2+3x+1= (2x+1)(x+1) （10）=-+22x x (x-1)(x+2)（11）20－9y －20y 2 =-(4y+5)(5y-4) （12）=-+1872m m (m-2)(m+9)（13）=--3652p p (p-9)(p+4) （14）=--822t t (t-4)(t+2)（15）=++342x x (x+1)(x+3) （16）=++1072a a (a+2)(a+5)（17）=+-1272y y (y-3)(y-4) （18）q 2-6q+8=(q-2)(q-4)（19）=-+202x x (x-4)(x+5) （20）=++232x x (x+1)(x+2)（21）18x 2－21x+5=(3x-1)(6x-5) （22）=-+1522x x (x-3)(x+5)（23）2y 2+y －6= (2y-3)(y+2) （24）6x 2－13x+6= (2x-3)(3x-2)（25）3a 2－7a －6= (3a+2)(a-3) （26）6x 2－11x+3= (2x-3)(3x-1)（27）4m 2+8m+3= (2m+3)(2m+1) （28）10x 2－21x+2= (10x-1)(x-2)（29）8m 2－22m+15= (2m-3)(4m-5) （30）4n 2+4n －15= (2n+5)(2n-3)（31）6a 2+a －35= (2a+5)(3a-7) （32）5x 2－8x －13= (5a-13)(a+1)（33）4x 2+15x+9=(4x+3)(x+3) （34）8x 2+6x －35=(4x-7)(2x+5)因式分解中考真题专项练习（一）1、（云南）因式分解：3x 2﹣6x+3= 3（x-1)2 ．2、（宜宾）分解因式：3m 2﹣6mn+3n 2= 3(m-n)2 ．3、（仙桃天门潜江江汉）分解因式：3a 2b+6ab 2= 3ab(a+b) ．4、（湘潭）因式分解：m 2﹣mn= m(m-n) ．5、（绥化）分解因式：a 3b ﹣2a 2b 2+ab 3= ab(a-b)2 ．6、（潍坊）分解因式：x 3﹣4x 2﹣12x= x(x-6)(x+2) ．7、（威海）分解因式：3x 2y+12xy 2+12y 3= 3y(x+2y)2 ．8、（沈阳）分解因式：m 2﹣6m+9= (m-3)2 ．9、（黔西南州）分解因式：a 4﹣16a 2= a 2(a+4)(a-4) ．10、（南充）分解因式：x 2﹣4x ﹣12= (x-6)(x+2) ． 11、（六盘水）分解因式：2x 2+4x+2= 2(x+1)2 ． 12、（临沂）分解因式：a ﹣6ab+9ab 2= a(1-3b)2 ．13、（呼伦贝尔）分解因式：27x 2﹣18x+3= 3(3x-1)2 ． 14、（黄石）分解因式：x 2+x ﹣2= (x+2)(x-1) ．15、（哈尔滨）把多项式a 3﹣2a 2+a 分解因式的结果是 a(a-1)2 ．16、（乐山）下列因式分解：①x 3﹣4x=x （x 2﹣4）；②a 2﹣3a+2=（a ﹣2）（a ﹣1）；③a 2﹣2a ﹣2=a （a ﹣2）﹣ 2；④．其中正确的是 ②④ （只填序号）． 17、（江津区）把多项式x 2﹣x ﹣2分解因式得 (x-2)(x+1) ．18、（荆州）分解因式：x （x ﹣1）﹣3x+4= (x-2)2 ．19、（莱芜）分解因式：﹣x 3+2x 2﹣x= -x(x-1)2 ．20、（菏泽）将多项式a 3﹣6a 2b+9ab 2分解因式得 a(a-3b)2 ．21、（抚顺）分解因式：ax 2﹣4ax+4a= a(a-2)2 ．22、（巴中）把多项式3x 2+3x ﹣6分解因式的结果是 3(x+2)(x-1) ．23、（鞍山）因式分解：ab 2﹣a= a(b+1)(b-1) ．24、（中山）分解因式：x 2﹣y 2﹣3x ﹣3y= (x+y)(x-y-3) ．25、（安顺）将x ﹣x 2+x 3分解因式的结果为 x(1-0.5x)2 ．26、（湘潭）已知m+n=5，mn=3，则m 2n+mn 2= 15 ．27、（潍坊）分解因式：27x 2+18x+3= 3(3x+1)2 ．28、（威海）分解因式：（x+3）2﹣（x+3）= (x+3)(x+2) ．29、（陕西）分解因式：a 3﹣2a 2b+ab 2= a(a-b)2 ．30、（泉州）因式分解：x 2﹣6x+9= (x-3)2 ．31、（攀枝花）因式分解：ab 2﹣6ab+9a= a(b-3)2 ．32、（内江）分解因式：﹣x 3﹣2x 2﹣x= -x(x+1)2．33、（临沂）分解因式：xy 2﹣2xy+x= x(y-1)2 ．34、（嘉兴）因式分解：（x+y ）2﹣3（x+y ）= (x+y)(x+y-3) ．35、（赤峰）分解因式：3x 3﹣6x 2+3x= 3x(x-1)2 ．36、（泰安）将x+x 3﹣x 2分解因式的结果是 x(x-21)2 ． 37、（绍兴）分解因式：x 3y ﹣2x 2y 2+xy 3= xy(x-y)2 ．38、（黔东南州）分解因式：x3+4x2+4x= x(x+2)2．39、（聊城）分解因式：ax3y+axy3﹣2ax2y2= axy(x-y)2．40、（莱芜）分解因式：（2a+b）2﹣8ab= (2a-b)2．41、（巴中）把多项式x3﹣4x2y+4xy2分解因式，结果为 x(x-2y)2．42、（潍坊）在实数范围内分解因式：4m2+8m﹣4= 4(m2+2m-1) ．43、（雅安）分解因式：2x2﹣3x+1= (2x-1)(x-1) ．44、（芜湖）因式分解：（x+2）（x+3）+x2﹣4= (2x+1)(x+2) ．45、（深圳）分解因式：﹣y2+2y﹣1= -(y-1)2．46、（广元）分解因式：3m3﹣18m2n+27mn2= 3m(m-3n)2．47、（广东）分解因式：2x2﹣10x= 2x(x-5) ．48、（大庆）分解因式：ab﹣ac+bc﹣b2= (a-b)(b-c) ．49、（广西）分解因式：2xy﹣4x2= 2x(y-2x) ．50、（本溪）分解因式：9ax2﹣6ax+a= a(3a-1)2．51、（北京）分解因式：mn2+6mn+9m= m(n+3)2．52、（珠海）分解因式：ax2﹣4a= a(x+2)(x-2) ．53、（张家界）因式分解：x3y2﹣x5= x3(y+x)(y-x) ．54、（宜宾）分解因式：4x2﹣1= (2x-1)(2x+1) ．55、（岳阳）分解因式：a4﹣1= (a+1)(a-1)(a2+1) ．56、（扬州）因式分解：x3﹣4x2+4x= x(x-2)2．57、（潍坊）分解因式：a3+a2﹣a﹣1= (a+1)2(a-1) ．58、（威海）分解因式：16﹣8（x﹣y）+（x﹣y）2= (4-x+y)2．59、（淄博）分解因式：8（a2+1）﹣16a=8（a﹣1）2．60、（遵义）分解因式：x3﹣x=x（x+1）（x﹣1）．因式分解中考真题专项练习（二）1、（泸州）分解因式：3a2﹣3=3（a+1）（a﹣1）．2、（泸州）分解因式：2m2﹣8=2（m+2）（m﹣2）．3、（泸州）分解因式：2a2+4a+2=2（a+1）2．4、（泸州）分解因式：2m2﹣2=2（m+1）（m﹣1）．5、（泸州）分解因式：3a2+6a+3= 3（a+1）2．6、（泸州）分解因式：x2y﹣4y=y（x+2）（x﹣2）．7、（泸州）分解因式：x3﹣6x2+9x=x（x﹣3）2．8、（泸州）分解因式：3x 2+6x+3= 3（x+1）2 ．9、（泸州）分解因式：ax ﹣ay= a （x ﹣y ） ．10、（泸州）分解因式：3a 2﹣6a+3= 3（a ﹣1）2 .11、（泸州）分解因式：ax 2﹣4ax+4a= a （x 2﹣4x+4）=a （x ﹣2）2 .12、（南充）分解因式：2a 3﹣8a ＝ 2a （a+2）（a ﹣2） ．13、（德阳）分解因式：2xy 2+4xy+2x ＝ 2x （y+1）2 ．14、（眉山）分解因式：x 3﹣9x ＝ x （x+3）（x ﹣3） ．15、（绵阳）因式分解：x 2y ﹣4y 3＝ y （x ﹣2y ）（x+2y ） ．16、（内江）分解因式：a 3b ﹣ab 3＝ ab （a+b ）（a ﹣b ） ．17、（攀枝花）分解因式：x 3y ﹣2x 2y+xy ＝ xy （x ﹣1）2 ．18、（遂宁）分解因式3a 2﹣3b 2＝ 3（a+b ）（a ﹣b ） ．19、（宜宾）分解因式：2a 3b ﹣4a 2b 2+2ab 3＝ 2ab （a ﹣b ）2 ．20、（自贡）分解因式：ax 2+2axy+ay 2＝ a （x+y ）2 ．21、（广安）因式分解：3a 4﹣3b 4＝ 3（a 2+b 2）（a+b ）（a ﹣b ） ．22、（广元）分解因式：a 3﹣4a ＝ a （a+2）（a ﹣2） ．23、（眉山）分解因式：3a 3﹣6a 2+3a ＝ 3a （a ﹣1）2 ．24、（绵阳）因式分解：m 2n+2mn 2+n 3＝ n （m+n ）2 ．25、（内江）分解因式：xy 2﹣2xy+x ＝ x （y ﹣1）2 ．26、（攀枝花）分解因式：a 2b ﹣b ＝ b （a+1）（a ﹣1） ．27、（宜宾）分解因式：b 2+c 2+2bc ﹣a 2＝ （b+c+a ）（b+c ﹣a ） ．28、（泸州冲刺卷）（1）分解因式：2=-m m 83 2m(m+2)(m-2) .（2）分解因式：=-222m ()()112-+m m .（3）分解因式：=+-962x x ()23-x 29、（泸州模拟）（1）分解因式：2a 2﹣2＝ 2（a+1）（a ﹣1） ．（2）分解因式：x 2﹣2x+1＝ ()21-x ． 30、（泸州冲刺卷）（1）分解因式：3x 3﹣12x ＝ 3x （x ﹣2）（x+2） ．（2）分解因式：2x 2﹣8＝ 2（x+2）（x ﹣2） ．（3）分解因式：3m 2﹣12＝ 3（m+2）（m ﹣2） ．（4）分解因式：2m 2+4m+2＝ 2（m+1）2 ．（5）分解因式：x 2﹣6x+9＝ （x ﹣3）2 ．31、（南充）分解因式：x 2﹣4（x ﹣1）= （x ﹣2）2 ．32、（巴中）分解因式：2a2﹣8=2（a+2）（a﹣2）．33、（达州）分解因式：x3﹣9x=x（x+3）（x﹣3）．34、（乐山）把多项式分解因式：ax2﹣ay2=a（x+y）（x﹣y）．35、（绵阳）因式分解：x2y4﹣x4y2=x2y2（y﹣x）（y+x）．36、（宜宾）分解因式：am2﹣4an2=a（m+2n）（m﹣2n）．37、（广安）分解因式：my2﹣9m=m（y+3）（y﹣3）．38、（株洲）分解因式：x2+3x（x﹣3）﹣9=（x﹣3）（4x+3）．39、（眉山）分解因式：xy2﹣25x=x（y+5）（y﹣5）．40、（宜宾）分解因式：x3﹣x=x（x+1）（x-1）．41、（深圳）分解因式：2x2﹣8=2（x+2）（x﹣2）．42、（绵阳）在实数范围内因式分解：x2y﹣3y=y（x﹣）（x+）．。
沪科版数学七年级下册 第8章 整式乘法和因式分解 84 因式分解 公式法 共17张
（三）语言：两个数的平方差，等于这 两个数的和与这两个数的差的积.这个公 式就是平方差公式.
例2：把下列各式分解因式
（1）x2 ? 14x ? 49
(2)9a 2 ? 30ab ? 25b2
a2 - b2= ( a + b)( a - b ) 4x2- 9y2=(2x)2-(3y)2=(2x+3y)(2x-3y)
如果把乘法公式反过来，就 可以用来把某些多项式分解 因式.这种分解因式的方法叫 做运用公式法.
关键词： 公式 反 某些
平方差公式
（一）公式： a2-b2=(a+b)(a-b)
? (3m ? n（) m ? 3n)
解 : (2) （x ? ? 2 ?(x ? y) ?1 ?（1）2 22
?（x ? y ? 1 )2 2
解：（3） 6xy? x2 ? 9 y2 ? ?（x2 ? 6xy? 9 y2 ) ? ?［x2 ? 2 ?x?3y ? (3y)2］ ? ?（x ? 3y）2
a2 - 2 a b + b2 = ( a - b)2
（3）9 x2 ? 6 x ? 1
? (3x)2 ? 2?(3x)?1? 12 ? (3x?1)2
a 2 ? 2ab ? b2 ? ?a ? b?2
完全平方公式
（一）公式： a 2 ? 2ab ? b2 ? (a ? b)2
（二）结构特点： 1、公式左边是三项式，其中首末两项都为 正，且这两项可化为两个数的平方，中间一 项可正可负，还是这两个数的乘积的2倍； 2、右边是两个数的和（或差）的平方.
人教版初中数学《整式的乘法与因式分解压轴题型汇总》专题突破含答案解析
专题11 整式的乘法与因式分解压轴题型汇总一、单选题1．（2021·浙江·七年级专题练习）已知,,a b c 满足2224-7,-23,2-2a b b c c a +==+=，则a b c +-的值为（ ）A ．－4B ．－5C ．－6D ．－7【答案】A【分析】三个式子相加，化成完全平方式，得出,,a b c 的值，代入计算即可．【详解】解：∵2224-7,-23,2-2a b b c c a +==+=，∵2224+-2+2-6a b b c c a ++=，∵22221+44+-210a a b b c c +++++=∵222(1)+(2)+(1)0a b c ++-=，∵10a +=，20b +=，10c -=，∵1a =-，2b =-，1c =， 1214a b c +-=---=-，故选：A ．【点睛】本题考查了代数式求值和完全平方公式，解题关键是通过等式变形化成完全平方式，根据非负数的性质求出,,a b c 的值，准确进行计算．2．（2021·安徽包河·一模）已知,a b 为实数，且满足0,20ab a b >+-=，当-a b 为整数时，ab 的值为（ ） A ．34或12 B ．14或1 C ．34或1 D ．14或34【答案】C【分析】根据20a b +-=得到2a b +=，进而得到()24a b +=，设()2222a b a ab b t -=-+=，可得到44t ab -=，根据-a b 为整数，0ab >，即可确定t 为0或1，问题得解．【详解】解：()22224a b a ab b +=++=；设()2222a b a ab b t -=-+=，则44ab t =-，∵44t ab -=， ∵-a b 为整数，0ab >，∵t 为0或1，当0t =时，1ab =；当1t =时，34ab =； ∵ab 的值为1或34． 故选：C【点睛】本题考查了完全平方公式的变形，熟练掌握完全平方公式并根据题意确定相应字母的取值范围是解题关键．3．（2021·福建海沧·一模）若x ﹣2y ﹣2＝0，x 2﹣4y 2＋4m ＝0（0＜m ＜1），则多项式2mx ﹣x 2﹣4my ﹣4y 2﹣4xy 的值可能为（ ）A ．﹣1B ．0C ．716D ．167【答案】C【分析】根据因式分解将多项式分解，利用0＜m ＜1即可得0＜﹣（2m ﹣1）2＋1＜1，进而可得结果．【详解】解：∵x ﹣2y ﹣2＝0，x 2﹣4y 2＋4m ＝0（0＜m ＜1），∵x ﹣2y ＝2，∵4m ＝4y 2﹣x 2＝（2y ＋x ）（2y ﹣x ），∵x ＋2y ＝﹣2m ，∵2mx ﹣x 2﹣4my ﹣4y 2﹣4xy＝（2mx ﹣4my ）﹣（x 2＋4y 2＋4xy ）＝2m （x ﹣2y ）﹣（x 2＋4y 2＋4xy ）＝2m （x ﹣2y ）﹣（x ＋2y ）2＝4m ﹣4m 2＝﹣（2m ﹣1）2＋1，∵0＜m ＜1，∵0＜2m ＜2，∵﹣1＜2m ﹣1＜1，∵0＜（2m ﹣1）2＜1，∵0＜﹣（2m ﹣1）2＋1＜1．故选：C ．【点睛】本题考查了因式分解，不等式的性质等知识，能将已知条件变形和将多项式因式分解是解题关键． 4．（2021·河北·九年级专题练习）由多项式乘法可得：()()2232222333a b a ab b a a b ab a b ab b a b +-+=-++-+=+，即得等式：①()()2233a b a ab b a b +-+=+，我们把等式①叫做多项式乘法的立方和公式，下列应用这个立方和公式进行的变形正确的是（ ）A ．()()2233248x y x y x y ++=+B ．()()3227339x x x x +=+-+C ．()()22332242x y x xy y x y +-+=+D ．()()32111a a a a +=+++【答案】B【分析】根据多项式乘法的立方和公式判断即可．【详解】解：A 、（x +2y ）（x 2﹣2xy +4y 2）＝x 3+8y 3，原变形错误，故此选项不符合题意；B 、x 3+27＝（x +3）（x 2﹣3x +9），原变形正确，故此选项符合题意；C 、（x +2y ）（x 2﹣2xy +4y 2）＝x 3+8y 3，原变形错误，故此选项不符合题意；D 、a 3+1＝（a +1）（a 2﹣a +1），原变形错误，故此选项不符合题意，故选：B ．【点睛】本题主要考查学生的阅读理解能力及多项式乘法的立方和公式．透彻理解公式是解题的关键．5．（2021·四川·阆中中学八年级期中）已知553a =，444b =，335c =，则a 、b 、c 的大小关系为（ ） A ．c a b << B ．c b a << C ．a b c << D ．a c b <<【分析】把a 、b 、c 三个数变成指数相同的幂，通过底数可得出a 、b 、c 的大小关系．【详解】解：∵a ＝（35）11＝24311，b ＝（44）11＝25611，c ＝（53）11＝12511，又∵125243256<<，∵c a b <<．故选：A ．【点睛】本题考查了幂的乘方的逆运算，解答本题关键是掌握幂的乘方法则，把各数的指数变成相同．6．（2021·全国·七年级期中）我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了()(1,2,3,4,)n a b n +=的展开式的系数规律（按n 的次数由大到小的顺序） 1 1 1()a b a b +=+1 2 1 222()2a b a ab b +=++1 3 3 1 +=+++33223()33a b a a b ab b1 4 6 4 1 4322344()464a b a a b a b ab b +=++++… … 请依据上述规律，写出20212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中含2019x 项的系数是（ ）A ．-2021B ．2021C ．4042D ．-4042 【答案】D【分析】 先观察规律，再按照规律写出第一项、第二项，其中第二项2019x ，写出系数即可【详解】 解：根据规律可以发现：20212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭第一项的系数为1，第二项的系数为2021，∵第一项为：x 2021， 第二项为：20202020201922202120214042xx x x x ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭故选：D本题考查杨辉三角多项式乘法找规律的问题，观察发现式子中的规律是关键7．（2021·浙江浙江·七年级期中）如图，长为(cm)y ，宽为(cm)x 的大长方形被分割为7小块，除阴影A ，B 外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为5cm ，下列说法中正确的是（ ）①小长方形的较长边为15y -；②阴影A 的较短边和阴影B 的较短边之和为5x y -+；③若x 为定值，则阴影A 和阴影B 的周长和为定值；④当15x =时，阴影A 和阴影B 的面积和为定值．A ．①③B ．②④C ．①③④D ．①④【答案】A【分析】①观察图形，由大长方形的长及小长方形的宽，可得出小长方形的长为（y -15）cm ，说法①正确；②由大长方形的宽及小长方形的长、宽，可得出阴影A ，B 的较短边长，将其相加可得出阴影A 的较短边和阴影B 的较短边之和为（2x +5-y ）cm ，说法②错误；③由阴影A ，B 的相邻两边的长度，利用长方形的周长计算公式可得出阴影A 和阴影B 的周长之和为2（2x +5），结合x 为定值可得出说法③正确；④由阴影A ，B 的相邻两边的长度，利用长方形的面积计算公式可得出阴影A 和阴影B 的面积之和为（xy -25y +375）cm 2，代入x =15可得出说法④错误．【详解】解：①∵大长方形的长为y cm ，小长方形的宽为5cm ，∵小长方形的长为y -3×5=（y -15）cm ，说法①正确；②∵大长方形的宽为x cm ，小长方形的长为（y -15）cm ，小长方形的宽为5cm ，∵阴影A 的较短边为x -2×5=（x -10）cm ，阴影B 的较短边为x -（y -15）=（x -y +15）cm ，∵阴影A 的较短边和阴影B 的较短边之和为x -10+x -y +15=（2x +5-y ）cm ，说法②错误；③∵阴影A 的较长边为（y -15）cm ，较短边为（x -10）cm ，阴影B 的较长边为3×5=15cm ，较短边为（x -y +15）cm ，∵阴影A 的周长为2（y -15+x -10）=2（x +y -25），阴影B 的周长为2（15+x -y +15）=2（x -y +30），∵阴影A 和阴影B 的周长之和为2（x +y -25）+2（x -y +30）=2（2x +5），∵若x 为定值，则阴影A 和阴影B 的周长之和为定值，说法③正确；④∵阴影A 的较长边为（y -15）cm ，较短边为（x -10）cm ，阴影B 的较长边为3×5=15cm ，较短边为（x -y +15）cm ，∵阴影A 的面积为（y -15）（x -10）=（xy -15x -10y +150）cm 2，阴影B 的面积为15（x -y +15）=（15x -15y +225）cm 2，∵阴影A 和阴影B 的面积之和为xy -15x -10y +150+15x -15y +225=（xy -25y +375）cm 2，当x =15时，xy -25y +375=（375-10y ）cm 2，说法④错误．综上所述，正确的说法有①③．故选：A ．【点睛】本题考查了列代数式以及整式的混合运算，逐一分析四条说法的正误是解题的关键．8．（2020·广西贺州·中考真题）我国宋代数学家杨辉发现了()na b +（0n =，1，2，3，…）展开式系数的规律：以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，()8a b +展开式的系数和是（ ）A ．64B ．128C ．256D ．612 【答案】C【分析】由“杨辉三角”的规律可知，（a +b ）8所有项的系数和为28，即可得出答案．【详解】解：由“杨辉三角”的规律可知，()0a b +展开式中所有项的系数和为1，()1a b +展开式中所有项的系数和为2，()2a b +展开式中所有项的系数和为4， ()3a b +展开式中所有项的系数和为8， …… ()n a b +展开式中所有项的系数和为2n ，()8a b +展开式中所有项的系数和为82256=． 故选：C ．【点睛】本题考查了“杨辉三角”展开式中所有项的系数和的求法，解题关键是通过观察得出系数和的规律．二、填空题9．（2021·湖北·武汉一初慧泉中学八年级月考）若a m =20，b n =20，ab =20，则m nn m +=______． 【答案】1【分析】先根据20ab =可得20n n n a b =，再结合20n b =可得120n n a -=，由此结合20m a =可得20m n mn n a a +==，由此可得m n mn +=，进而可求得答案．【详解】解：∵20ab =，∵()20n n ab =，即20n n n a b =，∵20n b =，∵2020n n a ⨯=，∵120n n a -=，又∵20m a =，∵1202020m n m n n n a a a +-=⋅=⨯=，()20mn m n n a a ==，∵m n mn a a +=，∵m n mn +=， ∵1m n mn mn mn+==， 故答案为：1．【点睛】本题考查了幂的运算，熟练掌握同底数幂的乘除法法则及幂的乘方法则是解决本题的关键．10．（2021·浙江宁波·七年级期末）对x ，y 定义一种新运算F ，规定：(F x ，)()(3)y mx ny x y =+-（其中m ，n 均为非零常数）．例如：(1,1)22F m n =+，(1,0)3F m -=．当(1,1)8F -=-，(1,2)13F =，则(,)F x y =__；当22x y ≠时，(F x ，)(y F y =，)x 对任意有理数x ，y 都成立，则m ，n 满足的关系式是 __．【答案】229125x xy y +- 30m n +=【分析】（1）根据新运算F 的定义，得2m n -=-，213m n +=，故3m =，5n =．那么，(F x ，22)()(3)(35)(3)9125y mx ny x y x y x y x xy y =+-=+-=+-．（2）由(F x ，)(y F y =，)x ，得22223(3)3(3)mx n m xy ny my n m xy nx +--=+--，故22(3)(3)m n x m n y +=+．由当22x y ≠时，(F x ，)(y F y =，)x 对任意有理数x ，y 都成立，故当22x y ≠时，22(3)(3)m n x m n y +=+对任意有理数x ，y 都成立．那么，30m n +=．【详解】解：（1）(1,1)8F -=-，(1,2)13F =，()[3(1)]8m n ∴-⨯--=-，(2)(312)13m n +⨯-=．2m n ∴-=-，213m n +=．3m ∴=，5n =．(F x ∴，2222)()(3)(35)(3)931559125y mx ny x y x y x y x xy xy y x xy y =+-=+-=-+-=+-．（2）(F x ，)()(3)y mx ny x y =+-，(F y ，)()(3)x my nx y x =+-，(F x ∴，2222)333(3)y mx mxy nxy ny mx n m xy ny =-+-=+--．(F y ，2222)333(3)x my mxy nxy nx my n m xy nx =-+-=+--．若当22x y ≠时，(F x ，)(y F y =，)x 对任意有理数x ，y 都成立，∴当22x y ≠时，22223(3)3(3)mx n m xy ny my n m xy nx +--=+--对任意有理数x ，y 都成立．∴当22x y ≠时，22(3)(3)m n x m n y +=+对任意有理数x ，y 都成立．30m n ∴+=．故答案为：229125x xy y +-，30m n +=．【点睛】本题主要考查整式的运算以及解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的解法以及整式的运算．11．（2021·江苏阜宁·七年级期中）如图，长方形的长为a ，宽为b ，横向阴影部分为长方形，另一阴影部分为平行四边形，它们的宽都为c ，则空白部分的面积是___．【答案】2ab ac bc c --+【分析】先把阴影的为平行四边形的面积化为长方形的面积，然后经过平移得到空白部分的为长方形，长为a -c ，宽为b -c ，根据长方形面积公式列式计算即可求解即可求解．【详解】解：原图形可化为图1，将阴影部分平移得到图2，所以空白部分的面积为：()()2=a c b c ab ac bc c ----+． 故答案为：2ab ac bc c --+【点睛】本题考查了列代数式，平移，多项式乘以多项式等知识，根据题意，将平行四边形的面积转化为长方形的面积，进而进行平移，将空白部分面积转化为长方形的面积是解题关键．12．（2021·安徽包河·七年级期末）已知23,32a b ==，则1111a b +=++_______． 【答案】1．【分析】利用幂的乘方与同底数幂相乘，得到2a +1＝2a ×2＝6，3b +1＝3b ×3＝6，进而得到111111116666a b a b +++++⋅==，求出答案即可．【详解】解：∵2a +1＝2a ×2＝3×2＝6，3b +1＝3b ×3＝2×3＝6， ∵11111(2)62a a a +++==，11111(3)63b b b +++==， ∵11111111666236a b a b +++++⋅==⨯=， ∵11111a b +=++． 故答案为：1．【点睛】本题考查幂的乘方与同底数幂相乘，掌握幂的乘方与同底数幂相乘的运算法则是解题关键．13．（2021·湖南娄星·模拟预测）如图，是用棋子摆成的图案，摆第1个图案需要7枚棋子，摆第2个图案需要19枚棋子，摆第3个图案需要37枚棋子，按照这样的方式摆下去，摆第n 个图案需要_______________枚棋子．【答案】()2331n n ++【分析】本题可依次解出n =1，2，3，…，图案需要的棋子枚数．再根据规律以此类推，可得出第n 个图案需要的棋子枚数．【详解】解：1n =时，总数是617+=；2n =时，总数为()612119⨯++=；3n =时，总数为()6123137⨯+++=枚；…；n n ∴=时，有()2(1)6(123)1613312n n n n n +⨯++++=⨯+=++枚． 故答案为：()2331n n ++． 【点睛】本题考查图形的变化，是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．14．（2021·浙江浙江·七年级期中）如图，边长为4的正方形ABCD 中放置两个长宽分别为a ，b 的长方形AEFG 与长方形CHIJ ，如图阴影部分的面积之和记为1S ，长方形AEFG 的面积记为2S ，若123544S S +=，:3:2a b =，则长方形AEFG 的周长为________．【答案】253【分析】根据:3:2a b =可设a ＝3x ，b ＝2x ，由此可表示出相关线段长，进而可表示出S 1＝38x 2－80x ＋48，S 2＝ 6x 2，再根据123544S S +=即可列出等式化简整理可得（6x －5）2＝0，由此可求得x ＝56，最后根据长方形的周长公式即可求得答案．【详解】解：∵:3:2a b =，∵设a ＝3x ，b ＝2x ，则AG ＝EF ＝CJ ＝HI ＝3x ，AE ＝FG ＝CH ＝IJ ＝2x ，∵正方形ABCD 的边长为4，∵AB ＝BC ＝CD ＝AD ＝4，∵BH ＝BE ＝4－2x ，DG ＝DJ ＝4－3x ，IP ＝IQ ＝3x －(4－2x )＝5x －4，∵S 1＝S 正方形BEPH ＋S 正方形IPFQ ＋S 正方形DGQJ＝（4－2x ）2＋（5x －4）2＋（4－3x ）2＝16－16x ＋4x 2＋25x 2－40x ＋16＋16－24x ＋9x 2＝38x 2－80x ＋48，S 2＝ab ＝3x ·2x ＝6x 2，又∵123544S S +=，∵3（38x 2－80x ＋48）＋5×6x 2＝44，∵114x 2－240x ＋144＋30x 2＝44，∵144x 2－240x ＋100＝0，∵36x 2－60x ＋25＝0，∵（6x －5）2＝0，解得：x ＝56， ∵C 长方形AEFG ＝2（a ＋b ）＝2（3x ＋2x ）＝10x＝10×56＝253， 故答案为：253． 【点睛】本题考查了整式的混合运算以及用完全平方公式进行因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式是解决本题的关键．15．（2021·甘肃兰州·七年级期末）代数与几何的联手！（1） (a +b )2与(a －b )2有怎样的联系，能否用一个等式来表示两者之间的关系?并尝试用图形来验证你的结论（2） 若 x 满足（40﹣x ）（x ﹣30）＝﹣20，则（40﹣x ）2 +（x ﹣30）2 的值为_____．（3） 若 x 满足（x ﹣3）（x ﹣1）＝94，则（x ﹣3）2 +（x ﹣1）2 的值为 _____． （4） 如图，正方形 ABCD 的边长为 x ，AE ＝14，CG ＝30，长方形 EFGD 的面积是 200，四边形 NGDH 和 MEDQ 都是正方形，四边形 PQDH 是长方形，求图中阴影部分的面积 ．（结果必须是一个具体的数值）【答案】（1）22()()4a b a b ab +--=，见解析；（2）140；（3）8.5；（4）1056【分析】（1）用完全平方公式展开，找到两式子的联系即可；根据问题构建以a 和b 为边长的正方形面积即可； （2）利用两数和的完全平方公式变形即可求出值；（3）利用两数差的完全平方公式变形即可求出值；（4）依据已知图形，用含x 的代数式表示出各线段的长，阴影部分面积为正方形的面积，然后利用（1）的结论，利用两数和与差的完全平方公式消去x ，即可求出阴影部分的面积．【详解】（1）222222()()224a b a b a ab b a ab b ab +--=++-+-=∵22()()4a b a b ab +--=用图验证如下：（2）∵（40﹣x ）（x ﹣30）＝﹣20∵（40﹣x ）2 +（x ﹣30）2=2[(40)(30)]2(40)(30)1002(20)140x x x x -+----=-⨯-=故答案为：140（3）∵（x －3）（x ﹣1）＝94∵（x ﹣3）2 +（x ﹣1）2=29[(3)(1)]2(3)(1)428.54x x x x ---+--=+⨯=故答案为：8.5（4）∵四边形ABCD 的边长为x∵ED =x -14，DG =x -30∵长方形EFGD 的面积为200∵ED ×DG =200∵(x -14)(x -30)=200∵四边形 NGDH 和 MEDQ 都是正方形∵FN =FG +GN =FG +GD =(x -14)+(x -30)，MF =ME +EF =ED +EF =(x -14)+(x -30)∵2[(14)(30)]MFNP S MF FN x x ==-+-四边形2=[(14)(30)]4(14)(30)x x x x ---+--2=16+4200⨯=1056故答案为：1056【点睛】本题主要考查了整式中乘法公式的灵活运用，数形结合，熟练掌握完全平方公式特点是解决问题的关键． 16．（2021·浙江杭州·七年级期中）己知(2018)(2021)5a a --=-，求22(2018)(2021)a a -+-=________．【答案】19【分析】设2021a m -=，则20183a m -=+；根据题意，得235m m +=；再将235m m +=代入到代数式中计算，即可得到答案．【详解】∵(2018)(2021)5a a --=-∵(2018)(2021)5a a --=设2021a m -=，则20183a m -=+∵()35m m +=，即235m m +=∵22(2018)(2021)a a -+-()223m m =++ 2269m m =++()2239m m =++259=⨯+19=故答案为：19．【点睛】本题考查了整式运算和代数式的知识；解题的关键是熟练掌握整式乘法、完全平方公式的性质，从而完成求解．17．（2021·河北顺平·二模）如果一个两位数a 的个位数字与十位数字都不是零，且互不相同，我们称这个两位数为“跟斗数”，定义新运算：将一个“跟斗数”的个位数字与十位数字对调，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记()a ω，例如：a =13，对调个位数字与十位数字得到新两位数31，新两位数与原两位数的和，31+13=44，和与11的商44÷11=4，所以()134ω=．根据以上定义，回答下列问题：（1）计算：()23ω=____________．（2）若一个“跟斗数”b 的十位数字是k ，个位数字是2(k +1)，且()8b ω=，则“跟斗数”b =____________． （3）若m ，n 都是“跟斗数”，且m +n =100，则()()m n ωω+=____________．【答案】5 26 19【分析】（1）根据题意直接将数值代入即可．（2）根据题意写出“跟斗数”是含有k 的式子，再利用()8b ω=，列方程求解即可．（3）根据m +n =100，解设未知数用还有x ，y 的式子表示m 、n 为m =10x ＋y ， n =10(9-x )＋(10-y )，根据题意列式子化简即可．【详解】解：（1）()233223511ω+== （2）∵一个“跟斗数”b 的十位数字是k ，个位数字是2(k ＋1)，且()8b ω=，∵[][]102(1)102(1)811k k k k +++⨯++= 解得k =2，∵2(k ＋1)=6，∵b =26．（3）∵m ，n 都是“跟斗数”，且m ＋n =100，设m =10x ＋y ，则n =10(9-x )＋(10-y )， ∵[][]10(9)(10)+10(10)(9)(10)(10)()()1111x y y x x y y x m n ωω-+--+-++++=+ 10109010101001091111x y y x x y y x +++-+-+-+-=+ 111120*********x y x y +--=+ 1919x y x y =++--=【点睛】本题考查新定义的数，按照题意正确代入是关键，本题是中考的常见题型18．（2021·广东·深圳市高级中学八年级开学考试）已知2410m m -+=，则代数式值221m m += _______． 【答案】14．【分析】根据方程求出1m m+的值，再运用完全平方公式可求221m m +的值． 【详解】 解：∵2410m m -+=，且0m ≠， ∵140m m -+=，即14m m +=， 221()4m m +=， 221216m m ++=， 22114m m +=， 故答案为：14．【点睛】本题考查了完全平方公式和等式变形，解题关键是恰当的对等式变形，熟练运用完全平方公式进行计算． 19．（2021·河南省淮滨县第一中学一模）多项式2222627a ab b b -+-+的最小值为________．【答案】18．【分析】利用公式法进行因式分解，根据非负性确定最小值．【详解】解：2222627a ab b b -+-+，=222)((269)18a ab b b b -+-+++，=22()(3)18a b b -+-+，∵22()(3)00a b b --≥≥，， ∵22()(3)18a b b -+-+的最小值为18；故答案为：18．【点睛】本题考查了因式分解和非负数的性质，解题关键是熟练运用乘法公式进行因式分解，根据非负数的性质确定最值．三、解答题20．（2021·北京·人大附中八年级期中）若整式A 只含有字母x ，且A 的次数不超过3次，令A ＝ax 3+bx 2+cx +d ，其中a ，b ，c ，d 为整数，在平面直角坐标系中，我们定义：M （b +d ，a +b +c +d ）为整式A 的关联点，我们规定次数超过3次的整式没有关联点．例如，若整式A ＝2x 2﹣5x +4，则a ＝0，b ＝2，c ＝﹣5，d ＝4，故A 的关联点为（6，1）．（1）若A ＝x 3+x 2﹣2x +4，则A 的关联点坐标为 ．（2）若整式B 是只含有字母x 的整式，整式C 是B 与（x ﹣2）（x +2）的乘积，若整式C 的关联点为（6，﹣3），求整式B 的表达式．（3）若整式D ＝x ﹣3，整式E 是只含有字母x 的一次多项式，整式F 是整式D 与整式E 的平方的乘积，若整式F 的关联点为（﹣200，0），请直接写出整式E 的表达式．【答案】（1）（5，4）；（2）B ＝3x －2；（3）55E x =-或55E x =-+．【分析】（1）根据整式得出a ＝1，b ＝1，c ＝﹣2，d ＝4，根据关联点的定义得出b +d ＝5，a +b +c +d ＝4，即可得出A 的关联点坐标；（2）根据题意得出B 中x 的次数为1次，设B ＝nx +m ，计算出3244C nx mx nx m =+--，进而表达出a ，b ，c ，d 的值，再根据C 的关联点为（6，﹣3），列出关于b +d ，a +b +c +d 的等式，解出m 、n 的值即可；（3）设E nx m =+，根据题意求出()()2322222363F n x mn n x m mn x m =+-+--，进而表达出a ，b ，c ，d 的值，再根据F 的关联点为（﹣200，0），列出关于b +d ，a +b +c +d 的等式，解出m 、n 的值即可．【详解】解：（1）∵A ＝x 3+x 2﹣2x +4，∵a ＝1，b ＝1，c ＝﹣2，d ＝4，∵b +d ＝5，a +b +c +d ＝4，A 的关联点坐标为：（5，4），故答案为：（5，4），（2）∵整式B 是只含有字母x 的整式，整式C 是B 与（x ﹣2）（x +2）的乘积，（x ﹣2）（x +2）＝x 2－4是二次多项式，且C 的次数不能超过3次，∵B 中x 的次数为1次，∵设B ＝nx +m ，∵()()232444C nx m x nx mx nx m =+-=+--，∵a ＝n ，b ＝m ，c ＝﹣4n ，d ＝﹣4m ，∵整式C 的关联点为（6，﹣3），∵46m m -=，443n m n m +--=-，解得：2m =-，3n =，∵B ＝3x －2，（3）根据题意：设E nx m =+，∵()()()()2222323F nx m x n x mnx m x =+-=++- ()()2322222363n x mn n x m mn x m =+-+--，∵2222,23,6,3a n b mn n c m mn d m ==-=-=-，∵整式F 的关联点为（﹣200，0），∵22233200mn n m --=-，222223630n mn n m mn m +-+--=，2220n mn m ++=，()20m n +=， ∵m n =-，把m n =-代入22233200mn n m --=-，得222233200n n n ---=-，解得：225n =，∵5n =±，5m =±，∵55E x =-或55E x =-+．【点睛】本题考查了整式的乘法和规律探索，解题的关键是理解题意，灵活运用关联点的定义解决问题． 21．（2021·广东禅城·七年级期末）阅读理解，解答下列问题：利用平面图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．（1）例如，根据下图①，我们可以得到两数和的平方公式：（a ＋b ）2＝a 2＋2ab ＋b 2根据图②能得到的数学公式是__________．（2）如图③，请写出（a ＋b ）、（a ﹣b ）、ab 之间的等量关系是__________（3）利用（2）的结论，解决问题：已知x ＋y ＝8，xy ＝2，求（x ﹣y ）2的值．（4）根据图④，写出一个等式：__________．（5）小明同学用图⑤中x 张边长为a 的正方形，y 张边长为b 的正方形，z 张宽、长分别为a 、b 的长方形纸片，用这些纸片恰好拼出一个面积为（3a ＋b ）（a ＋3b ）长方形，请画出图形，并指出x ＋y ＋z 的值． 类似地，利用立体图形中体积的等量关系也可以得到某些数学公式．（6）根据图⑥，写出一个等式：___________．【答案】（1）（a ﹣b ）2＝a 2﹣2ab ＋b 2；（2）（a ＋b ）2＝（a ﹣b ）2＋4ab ；（3）56；（4）（a ＋b ＋c ）2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ；（5）画图见解析，16；（6）（a ＋b ）3＝a 2＋b 2＋3a 2b ＋3ab 2【分析】(1)由图②中各个部分面积之间的关系可得答案；(2)根据图③中，大正方形的面积为（a ＋b ）2，小正方形的面积为（a ﹣b ）2，每个长方形的面积为ab ，由各个部分的面积之间的关系可得出答案；(3)由公式变形()()224x y x y xy -=+-，再整体代入计算即可；(4)大正方形的面积可表示为（a ＋b ＋c ）2，在分别表示出大正方形中9块的面积，可得答案；(5)根据拼出一个面积为（3a ＋b ）（a ＋3b ），即为3a 2＋3b 2＋10ab ，因此x ＝3，y ＝3，z ＝10，进而拼图即可；(6)根据大正方体的体积为（a ＋b ）3，以及8个“小块”的体积之间的关系得出结果即可．【详解】（1）根据图②各个部分面积之间的关系可得：（a ﹣b ）2＝a 2﹣2ab ＋b 2，故答案为：（a ﹣b ）2＝a 2﹣2ab ＋b 2；（2）图③中，大正方形的面积为（a ＋b ）2，小正方形的面积为（a ﹣b ）2，每个长方形的面积为ab ，()()224a b a b ab ∴+=-+， 故答案为：()()224a b a b ab +=-+；（3）利用（2）的结论，可知()()224x y x y xy -=+-，x ＋y ＝8，xy ＝2，∴（x ﹣y ）2＝（x ＋y ）2﹣4xy ＝64﹣8＝56； （4）根据图④，大正方形的面积可表示为（a ＋b ＋c ）2，内部9块的面积分别为：222,,,,,,,,a b c ab ab ac ac bc bc ，∴（a ＋b ＋c ）2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc故答案为：（a ＋b ＋c ）2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ；（5）（3a ＋b ）（a ＋3b ）＝3a 2＋3b 2＋10ab ，3,3,10x y z ∴===，即需要3张边长为a 的正方形，3张边长为b 的正方形，10张宽、长分别为a 、b 的长方形纸片， 画图如下：∵x ＋y ＋z ＝16；（6）根据图⑥，大正方体的体积为（a＋b）3，分割成8个“小块”的体积分别为：33222222,,,,,,,a b a b a b a b ab ab ab，∴（a＋b）3＝a2＋b2＋3a2b＋3ab2故答案为：（a＋b）3＝a2＋b2＋3a2b＋3ab2．【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景、立方公式，表示各个部分的面积和体积，利用各个部分的面积或体积与整体的关系得出答案．22．（2021·浙江嘉兴·七年级期末）（图1），把边长为b的正方形放在长方形ABCD中，其中正方形的两条边分别在AD，CD上，已知AB＝a（a＜2b），BC＝4a．（1）请用含a、b的代数式表示阴影部分的面积；（2）将另一长方形BEFG放入（图1）中得到（图2），已知BE＝72a，BG＝b；①长方形AGPH的面积是长方形ECNM面积的6.5倍，求ab的值；②若长方形PQMF的面积为2，求阴影部分的面积（用含b的代数式表示）．【答案】（1）4a2-b2；（2）①43；②282518b b-+【分析】（1）用大长方形面积减去小正方形面积，即可；（2）①用代数式表示出AG=a-b，AH=4a-b，CE =12a，结合“长方形AGPH的面积是长方形ECNM面积的6.5倍”列出等式，即可求解；②由“长方形PQMF的面积为2”，可得a=2b-2，结合影部分面积=长方形AGPH面积+长方形ECNM面积，即可得到答案．【详解】解：（1）由题意得：阴影部分的面积=a·4a-b2；（2）①∵AB=a，BG=b，∵AG=a-b，∵AD=BC=4a，DH=b，∵AH=4a-b，∵BE＝72a，BC=4a，∵CE=4a-72a=12a，∵长方形AGPH的面积是长方形ECNM面积的6.5倍，∵（a-b）（4a-b）=6.5×12a×（a-b），∵3a=4b，∵ab=43；②如图2，PQ=EF-EM=b-（a-b）=2b-a，QM=QN-MN=b-12a，∵长方形PQMF的面积为2，∵（2b-a）（b-12a）=2，即：()224a b-=，∵a-2b=±2，∵a＜2b，∵a-2b=-2，即：a=2b-2，∵图2中阴影部分面积=长方形AGPH面积+长方形ECNM面积=（a-b）（4a-b）+12a（a-b）=282518b b-+．【点睛】本题主要考查几何图形与代数式，方程综合，掌握整式的混合运算，用整式表示阴影部分面积，是解题的关键．23．（2021·陕西金台·八年级期末）阅读下列材料：材料1：将一个形如x²＋px＋q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m＋n则可以把x²＋px ＋q因式分解成（x＋m）（x＋n），如：（1）x2＋4x＋3＝（x＋1）（x＋3）；（2）x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x＋2）．材料2：因式分解：（x＋y）2＋2（x＋y）＋1，解：将“x＋y看成一个整体，令xy＝A，则原式＝A²＋2A＋1＝（A＋1）²，再将“A”还原得：原式＝（x＋y＋1）²上述解题用到“整体思想”整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：（1）根据材料1，把x2＋2x﹣24分解因式；（2）结合材料1和材料2，完成下面小题；①分解因式：（x﹣y）²﹣8（x﹣y）＋16；②分解因式：m（m﹣2）（m²﹣2m﹣2）﹣3【答案】（1）（x-y-4）2；（2）①（x-y-4）2；②（m-3）（m+1）（m-1）2【分析】（1）将x2+2x-24写成x2+（6-4）x+6×（-4），根据材料1的方法可得（x+6）（x-4）即可；（2）①令x-y=A，原式可变为A2-8A+16，再利用完全平方公式即可；②令B=m（m-2）=m2-2m，原式可变为B（B-2）-3，即B2-2B-3，利用十字相乘法可分解为（B-3）（B+1），再代换后利用十字相乘法和完全平方公式即可．【详解】解：（1）x2+2x-24=x2+（6-4）x+6×（-4）=（x+6）（x-4）；（2）①令x-y=A，则原式可变为A2-8A+16，A2-8A+16=（A-4）2=（x-y-4）2，所以（x-y）2-8（x-y）+16=（x-y-4）2；②设B=m2-2m，则原式可变为B（B-2）-3，即B2-2B-3=（B-3）（B+1）=（m2-2m-3）（m2-2m+1）=（m-3）（m+1）（m-1）2，所以m（m-2）（m2-2m-2）-3=（m-3）（m+1）（m-1）2．【点睛】本题考查十字相乘法，公式法分解因式，掌握十字相乘法和完全平方公式的结构特征是正确应用的前提．24．（2021·陕西·西安市中铁中学七年级月考）（1）填空：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝；（2）猜想：（x﹣1）（x n+x n﹣1+……+x+1）＝（n为大于3的正整数），并证明你的结论；（3）运用（2）的结论计算（32019+32018+32017+……+32+3+1）﹣（31050×2）2÷（8×380）；（4）32019﹣32018+32017﹣32016+……+35﹣34+33﹣32+3＝．【答案】（1）x4−1；（2）x n＋1−1，理由见详解；（3）12-；（4）1010934+【分析】（1）根据多项式乘多项式法则计算即可求解；（2）利用发现的规律填写，再利用多项式乘多项式法则证明即可；（3）利用得出的规律计算得到结果；（4）两个数一组分别提取公因数，再把底数化为9，利用得出的规律计算，即可求解．【详解】解：（1）解：根据多项式乘多项式法则可得：（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4−1，故答案是：x4−1；（2）∵（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1，（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4−1，∵（x﹣1）（x n+x n﹣1+……+x+1）= x n＋1−1，理由如下：（x﹣1）（x n+x n﹣1+……+x+1）= x n＋1+ x n+x n﹣1+……+x-（x n+x n﹣1+……+x+1）= x n＋1−1，故答案是：x n＋1−1；（3）（32019+32018+32017+……+32+3+1）﹣（31050×2）2÷（8×380）=20203131--﹣32100×4÷8÷380=2020312--202032=12 -；（4）32019﹣32018+32017﹣32016+……+35﹣34+33﹣32+3 =2×32018+2×32016+2×32014+……+2×32+3=2×（32018+32016+32014+……+32）+3=2×（91009+91008+91007+……+9+1-1）+3=2×101091191⎛⎫--⎪-⎝⎭+3=2×10109118-+=1010934+，故答案是：1010934+．【点睛】本题考查了整式的混合运算，掌握多项式乘多项式法则，归纳出公式（x﹣1）（x n+x n﹣1+……+x+1）= x n＋1−1，是解题的关键．25．（2021·广东·南山实验教育麒麟中学七年级期中）有两个正方形A ，B ，边长分别为a ，b （a ＞b ）．现将B 放在A 的内部得图甲，将A ，B 并列放置后构造新的正方形得图乙．（1）用a ，b 表示图甲阴影部分面积：___________；用a ，b 表示图乙阴影部分面积：___________． （2）若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，则正方形A ，B 的面积之和为_________． （3）在（2）的条件下，三个正方形A 和两个正方形B 如图丙摆放，求阴影部分的面积．【答案】（1）2()a b -，2ab ；（2）13；（3）29【分析】（1）根据图形知甲图中阴影部分正方形的边长为-a b ，乙图中新的正方形的边长为a b +，然后列代数式表示阴影部分面积即可；（2）设正方形A ，B 的边长分别为a ，b ．构建方程组即可解决问题；（3）由面积和差公式可求解．【详解】解：（1）图甲阴影部分面积：2()()()a b a b a b --=-，图乙阴影部分面积：222()2a b a b ab +--=，故答案是：2()a b -，2ab ．（2）设正方形A ，B 的边长分别为a ，()b a b >，由图甲得2()1a b -=，由图乙得222()12a b a b +--=得6ab =，2213a b +=，故答案为：13；（3）6ab =，2213a b +=，22()()412425a b a b ab ∴+=-+=+=，0a b +>，5a b ∴+=，2()1a b -=，1a b ∴-=，∴图丙的阴影部分面积22222(2)324()()452429S a b a b a b ab a b a b ab =+--=-+=-++=+=．【点睛】本题考查了完全平方公式，正方形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程组解决问题． 26．（2021·重庆八中九年级开学考试）根据阅读材料，解决问题．材料1：若一个正整数，从左到右各位数上的数字与从右到左各位数上的数字对应相同，则称为“对称数”（例如：1、232、4554是对称数）．材料2：对于一个三位自然数A ，将它各个数位上的数字分别2倍后取个位数字，得到三个新的数字x ，y ，z ，我们对自然数A 规定一个运算：K （A ）222x y z =++，例如：191A =是一个三位的“对称数”，其各个数位上的数字分别2倍后取个位数字分别是：2、8、2.则222(191)28272K =++=．请解答：（1）请你直接写出最大的两位对称数： ，最小的三位对称数： ；（2）如果将所有对称数按照从小到大的顺序排列，请直接写出第1100个对称数 ；（3）一个四位的“对称数” B ，若K （B ）8=，请求出B 的所有值．【答案】（1）99，101；（2）101101；（3）5115，5665，1551，1001，6556，6006【分析】（1）根据对称数的概念进行求解即可；（2）分别列举出一位数、两位数、三位数、四位数、五位数的对称数，进一步得出第1100个对称数； （3）先根据K （B ）＝8，求出a ，b 的值，进而求出四位的“对称数”，即可得出结论．【详解】解：（1）最大的两位对称数是99；最小的三位对称数是101．故答案为：99；101；（2）一位数的对称数有9个；两位数的对称数有9个，三位数的对称数个位与百位可取1~9，十位可取0~9，∴有90个；四位数的对称数个位与千位可取1~9，十位与百位可取0~9，∴有90个；五位数的对称数万位与个位可取1~9，千位、百位、和十位可取0~9，∴有900个，此时99999为第1098个对称数，∴第1100个对称数为101101.故答案为：101101；（3）设四位的对称数B 的各个数位上的数字分别2倍后，取个位数数字分别为a ，b ，b ，(08a a ，08b 的整数）， K （B ）8=，22228a b b a ∴+++=，224a b ∴+=，0a ∴=时，2b =；2a =时，0b =；①当0a =，2b =时，四位的对称数为5115，5665；②当2a =，0b =时，四位的对称数为1551，1001，6556，6006，综上所述，B 为5115，5665，1551，1001，6556，6006．【点睛】此题主要考查了整除问题，数字问题，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．27．（2021·四川·乐山外国语学校七年级期中）如果一个正整数的各位数字都相同，我们称这样的数为“同花数”，比如：3，22，666，8888，对任意一个三位数n ，如果n 满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“异花数”．将一个“异花数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和记为()F n ．如123n =，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132．这三个新三位数的和()213321132666F n =++=，是一个“同花数”．（1）计算：()432F ，()716F ，并判断它们是否为“同花数”；（2）若a 是“异花数”，证明：()F a 等于a 的各数位上的数字之和的111倍；（2）若“数”10010n p q =++（中p 、q 都是正整数，19p ≤≤，19q ≤≤），且()F n 为最大的三位“同花数”，求n 的值．【答案】（1）(432)F 是同花数；(716)F 不是同花数；（2）见解析；（3）n 为162或153或135或126【分析】（1）由“同花数”定义，计算即可得到答案；（2）百位数的表示方法；（2）由“异花数”的定义，()F n 为最大的三位“称心数”得()999F n =且19p q ++=，计算n 的值为162或153或135或126．【详解】解：（1）(432)342234423999F =++=，(432)F ∴是同花数；(716)1676177611554F =++=，(716)F ∴不是同花数；（2）若a 是“异花数”10010a b c d ∴=++，（其中,,b c d 均为小于10的正整数），[]()100()10()()111()F a b c d b c d b c d b c d ∴=++++++++=++，()F a ∴等于a 的各数位上的数字之和的111； （３）异花数” 10010n p q =++，100110n p q ∴=⨯++，又19p ，19(q p ，q 为正整数），()F n 为最大的三位“同花数”，()999F n ∴=且19p q ++=，p ∴、q 取值如下：62p q =⎧⎨=⎩或53p q =⎧⎨=⎩或35p q =⎧⎨=⎩或26p q =⎧⎨=⎩， 由上可知符合条件三位“异花数”n 为162或153或135或126．【点睛】本题考查了新定义问题，解题的关键是读懂新定义“同花数”和“异花数”．28．（2021·陕西省西咸新区秦汉中学八年级开学考试）乘法公式的探究及应用．（1）如图①，可以求出阴影部分的面积是 （写成两数平方差形式）．（2）若将图①中的阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形（如图②），面积是 （写成多项式乘法的形式）．（3）比较图①、图②中阴影部分的面积，可以得到乘法公式 （用式子表示）．（4）运用你所得到的公式，计算下列各题；①（n +1﹣m ）（n +1+m ）；②1003×997．【答案】（1）a 2﹣b 2；（2）（a +b ）（a ﹣b ）；（3）a 2﹣b 2＝（a +b ）（a ﹣b ）；（4）①n 2+2n +1﹣m 2；②999991．【分析】（1）阴影部分的面积等于大小正方形的面积差，用代数式表示大小正方形的面积即可；（2）拼成的是长为()a b +，宽为()-a b 的长方形，因此面积为()()a b a b +-；（3）由（1）（2）可得答案；（4）应用平方差公式进行计算即可．【详解】解：（1）阴影部分的面积等于边长为a ，与边长为b 的正方形的面积差，即：22a b -，故答案为：22a b -；（2）拼成的是长为()a b +，宽为()-a b 的长方形，因此面积为()()a b a b +-，故答案为：()()a b a b +-；（3）由（1）（2）可得：22()()a b a b a b -=+-，故答案为：22()()a b a b a b -=+-；（4）①原式22(1)n m =+-2221n n m =++-；②原式(10003)(10003)=+⨯-2210003=-10000009=-999991=．。
初中数学《运用十字相乘法分解因式》专项练习(含答案)
运用十字相乘法因式分解一、填空题（本大题共5小题）1.我们已经学过用面积来说明公式．如：（x+y）2=x2+2xy+y2就可以用下图甲中的面积来说明．①请写出图乙的面积所说明的公式x2+（p+q）x+pq= ；②请利用①中得到的公式因式分解：x2﹣7x+10= ．2.如果二次三项式x2﹣ax+15在整数范围内可以分解因式，那么整数a的值为（只填写一个你认为正确的答案即可）．3.一个长方形的面积为m2+m﹣2（m＞1），其长为m+2，则宽为．4.分解因式：267x x+-=5.多项式x2+px+12可分解为两个一次因式的积，整数p的值是（写出一个即可）．二、解答题（本大题共11小题）6.分解因式：⑴256x x++⑵256x x-+⑶276x x++⑷276x x-+7.分解因式：268x x++278x x+-8.分解因式：212x x+-2612x x-+-9.分解因式：22121115x xy y--=10.分解因式：42730x x+-2273320x x--11.分解因式：2214425x y xy+-22672x xy y-+12.分解因式：2383x x--25129x x+-13.已知221547280x xy y-+=，求xy的值14.分解因式：⑴2()4()12x y x y +-+-； ⑵2212()11()()2()x y x y x y x y +++-+-15.分解因式：2(2)8(2)12a b a b ---+16.分解因式：257(1)6(1)a a ++-+运用十字相乘法因式分解答案解析一 、填空题1.根据题意可知，①x 2+（p+q ）x+pq=（x+p ）（x+q ）；②∵（﹣2）×（﹣5）=10，（﹣2）+（﹣5）=﹣7∴x 2﹣7x+10=（x ﹣2）（x ﹣5）．2.根据题意，﹣a 是15分解成两个因数的和，15可以分解两个因数有几种，任意选取一种就可以．a=-8/8/16/-163.（m 2+m ﹣2）÷（m+2）=（m+2）（m ﹣1）÷（m+2）=4.(7)(1)x x +-5.12=（±2）×（±6）=（±3）×（±4）=（±1）×（±12），所以p=（±2）+（±6）=±8，或（±3）+（±4）=±7，或（±1）×（±12）=±13．∴整数p 的值是±7（或±8或±13）．二 、解答题6.⑴(2)(3)x x ++；⑵(2)(3)x x --；⑶(1)(6)x x ++；⑷(1)(6)x x --7.268(2)(4)x x x x ++=++；278(8)(1)x x x x +-=+-8.221212(3)(4)x x x x x x +-=-++=+-+；22612(612)(23)(34)x x x x x x -+-=-+-=-+- 9.22121115(35)(43)x xy y x y x y --=-+10.4222730(3)(10)x x x x +-=-+；2273320(94)(35)x x x x --=+-11.2214425(16)(9)x y xy x y x y +-=--；22672(2)(32)x xy y x y x y -+=--12.2383(31)(3)x x x x --=+-；25129(3)(53)x x x x +-=+-13.221547280(37)(54)0x xy y x y x y -+=⇒++=，∴370x y +=或540x y += 由题意可知:0y ≠，73xy =-或45x y =-14.⑴把x y +看作一个整体，利用十字相乘法分解即可.2()4()12(2)(6)x y x y x y x y +-+-=+++-⑵将,x y x y +-看作整体，则原式[][]4()()3()2()(53)(5)x y x y x y x y x y x y =++-++-=++.15.[][]2(2)8(2)12(2)2(2)6(22)(26)a b a b a b a b a b a b ---+=----=---- 16.[][]257(1)6(1)53(1)12(1)(23)(23)a a a a a a ++-+=-+++=-+。
整式的乘法与因式分解思维拓展
=
=
【点睛】
本题属于化简求值类型的题目，首先需要利用整式的运算法则将原式化简，然后再代入求值即可.观察原式特点，选用合适的乘法公式进行化简是解题的关键.
4．（1）a2-4ab+4b2；a2-2ab+b2；2b2-ab；（2）-34；（3）38
【解析】
【分析】
（1）用含a和b的代数式表示出两个小正方形的边长，然后根据面积公式可得S1，S2的面积；用大正方形的面积减去左侧长方形的面积和两个正方形的面积可得S3的面积；
任务：（1）方程x3﹣3x2+4＝0的一根为．
（2）请你根据上面的材料因式分解多项式：x3﹣3x2+4＝．
13．阅读下列材料：
让我们来规定一种运算： ，
例如： ，再如： ，
按照这种运算的规定：请解答下列各个问题：
① ______；（只填最后结果）
②当 ______时， ；（只填最后结果）
③将下面式子进行因式分解：
(2)解决问题：在实数范围内，若关于x的多项式 是完全平方式，且 、 都是正整数， ，求 、 的值；
(3)在实数范围内，若关于 的多项式 和 都是完全平方式，利用（1）中的规律,求 的值．
11．若一个三位数满足条件：其十位数字是百位数字的两倍与个位数字的差，则称这样的三位数为“十全数”，将“十全数”s的百位数字与十位数字交换位置，交换后所得的新数叫做s的“十美数”，如231是一个“十全数”，321是231的“十美数”
=（x2－4x+4）2（第四步）
回答下ห้องสมุดไป่ตู้问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的_______．
A．提取公因式B．平方差公式C．两数和的完全平方公式D．两数差的完全平方公式
(完整版)整式的乘法与因式分解压轴题解析
整式的乘法与因式分解【知识脉络】【基础知识】1．单项式的乘法法则：单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．3 a2 b2×2abc=（3×2）×（a2 b2×abc）=6 a3 b3c2．单项式与多项式的乘法法则： a(b+c+d)= ab + ac + ad单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加．3．多项式与多项式的乘法法则：( a+b)(c+d)= ac + ad + bc + bd多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．4．乘法公式：①完全平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2（a－b）2＝a2－2ab＋b2语言叙述：两个数的和（或差）的平方等于这两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍．②平方差公式：（a＋b）（a－b）＝a2－b2语言叙述：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．5．因式分解（难点）因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．一、掌握因式分解的定义应注意以下几点：（1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可；（2）因式分解必须是恒等变形；（3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止．因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式．二、熟练掌握因式分解的常用方法．1、提公因式法（1）提公因式法的关键是找出公因式，公因式的构成一般情况下有三部分：①系数一各项系数的最大公约数；②字母——各项含有的相同字母；③指数——相同字母的最低次数；（2）提公因式法的步骤：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定另一因式．需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项．（3）注意点：①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”；②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的．2、公式法运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用；①平方差公式： a2－b2＝（a＋b）（a－b）②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2a2－2ab＋b2＝（a－b）2【典例解析】例题1：数学家发明了一个魔术盒，当任意数对（a，b）进入其中时，会得到一个新的数：（a﹣1）（b﹣2）．现将数对（m，1）放入其中，得到数n，再将数对（n，m）放入其中后，最后得到的数是﹣m2+2m ．（结果要化简）【考点】整式的混合运算．【分析】根据题意的新定义列出关系式，计算即可得到结果．【解答】解：根据题意得：（m﹣1）（1﹣2）=n，即n=1﹣m，则将数对（n，m）代入得：（n﹣1）（m﹣2）=（1﹣m﹣1）（m﹣2）=﹣m2+2m．故答案为：﹣m2+2m【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．例题2：乘法公式的探究与应用：（1）如图甲，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，请你写出阴影部分面积是a2﹣b2（写成两数平方差的形式）（2）小颖将阴影部分裁下来，重新拼成一个长方形，如图乙，则长方形的长是a+b ，宽是a﹣b ，面积是（a+b）（a﹣b）（写成多项式乘法的形式）．（3）比较甲乙两图阴影部分的面积，可以得到公式（两个）公式1：（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2公式2：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）（4）运用你所得到的公式计算：10.3×9.7．【考点】平方差公式的几何背景．【分析】（1）中的面积=大正方形的面积﹣小正方形的面积=a2﹣b2；（2）中的长方形，宽为a﹣b，长为a+b，面积=长×宽=（a+b）（a﹣b）；（3）中的答案可以由（1）、（2）得到（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2；反过来也成立；（4）把10.3×9.7写成（10+0.3）（10﹣0.3），利用公式求解即可．【解答】解：（1）阴影部分的面积=大正方形的面积﹣小正方形的面积=a2﹣b2；（2）长方形的宽为a﹣b，长为a+b，面积=长×宽=（a+b）（a﹣b）；故答案为：a+b，a﹣b，（a+b）（a﹣b）；（3）由（1）、（2）得到，公式1：（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2；公式2：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）故答案为：（a+b）（a﹣b），a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）；（4）10.3×9.7=（10+0.3）（10﹣0.3）=102﹣0.32=100﹣0.09=99.91．例题3：如图，将一边长为a的正方形（最中间的小正方形）与四块边长为b的正方形（其中b＞a）拼接在一起，则四边形ABCD的面积为（）A．b2+（b﹣a）2 B． b2+a2 C．（b+a）2 D． a2+2ab考点：勾股定理．分析：先求出AE即DE的长，再根据三角形的面积公式求解即可．解答：解：∵DE=b﹣a，AE=b，∴S四边形ABCD=4S△ADE+a2=4××（b﹣a）?b=b2+（b﹣a）2．故选：A．点评:本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．例题4：如图1，我们在2017年1月的日历中标出一个十字星，并计算它的“十字差”（将十字星左右两数，上下两数分别相乘再将所得的积作差，称为该十字星的“十字差”）．该十字星的十字差为10×12﹣4×18=48，再选择其他位置的十字星，可以发现“十字差”仍为48．（1）如图2，将正整数依次填入5列的长方形数表中，探究不同位置十字星的“十字差”，可以发现相应的“十字差”也是一个定值，则这个定值为24 ．（2）若将正整数依次填入k列的长方形数表中（k≥3），继续前面的探究，可以发现相应“十字差”为与列数k有关的定值，请用k表示出这个定值，并证明你的结论．（3）如图3，将正整数依次填入三角形的数表中，探究不同十字星的“十字差”，若某个十字星中心的数在第32行，且其相应的“十字差”为2017，则这个十字星中心的数为975 （直接写出结果）．【考点】规律型：数字的变化类．【分析】（1）根据题意求出相应的“十字差”，即可确定出所求定值；（2）定值为k2﹣1=（k+1）（k﹣1），理由为：设十字星中心的数为x，表示出十字星左右两数，上下两数，进而表示出十字差，化简即可得证；（3）设正中间的数为a，则上下两个数为a﹣62，a+64，左右两个数为a﹣1，a+1，根据相应的“十字差”为2017求出a的值即可．【解答】解：（1）根据题意得：6×8﹣2×12=48﹣24=24；故答案为：24；（2）定值为k2﹣1=（k+1）（k﹣1）；证明：设十字星中心的数为x，则十字星左右两数分别为x﹣1，x+1，上下两数分别为x﹣k，x+k（k≥3），十字差为（x﹣1）（x+1）﹣（x﹣k）（x+k）=x2﹣1﹣x2+k2=k2﹣1，故这个定值为k2﹣1=（k+1）（k﹣1）；（3）设正中间的数为a，则上下两个数为a﹣62，a+64，左右两个数为a﹣1，a+1，根据题意得：（a﹣1）（a+1）﹣（a﹣62）（a+64）=2017，解得：a=975．故答案为：975．【跟踪训练】1.利用1个a×a的正方形，1个b×b的正方形和2个a×b的矩形可拼成一个正方形（如图所示），从而可得到因式分解的公式a2+2ab+b2=（a+b）2．2.如图，有正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果用这三类卡片拼一个长为2a+b、宽为a+2b的大长方形，通过计算说明三类卡片各需多少张？3.已知a、b、c是△ABC的三条边，且满足a2+bc=b2+ac，则△ABC是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．等边三角形4.在日历上，我们发现某些数会满足一定的規律，比如2016年1月份的日历，我们设计这样的算法：任意选择其中的2×2方框，将方框中4个位置上的数先平方，然后交叉求和，再相减请你按照这个算法完成下列计算，并回答以下问题[2016年1月份的日历]日一二三四五六1 23 4 5 6 7 8 910 11 12 13 14 15 1617 18 19 20 21 22 2324 25 26 27 28 29 3031（1）计算：（12+92）﹣（22+82）= 14 ，﹣= 14 ，自己任选一个有4个数的方框进行计算14（2）通过计算你发现什么规律，并说明理由．5.已知（x+y）2=25，xy=，求x﹣y的值．6. 已知，则（a+b）2﹣（a﹣b）2的值为 1 ．7. ①一个多项式除以2m得1﹣m+m2，这个多项式为2m﹣2m2+2m3．②6x2+5x﹣6 ÷（2x+3）=（3x﹣2）．③小玉和小丽做游戏，两人各报一个整式，小玉报一个被除式，小丽报一个除式，要求商必须是3ab．若小玉报的是3a2b﹣ab2，则小丽报的是a﹣b ；若小丽报的是9a2b，则小玉报的整式是27a3b2．④如图甲、乙两个农民共有4块地，今年他们决定共同投资搞饲养业，为此他们准备将这4块地换成宽为（a+b）cm的地，为了使所换到的面积与原来地的总面积相等，交换之后的地的长应为a+c m．8. 阅读下面的解答过程，求y2+4y+8的最小值．解：y2+4y+8=y2+4y+4+4=（y+2）2+4≥4，∵（y+2）2≥０即（y+2）2的最小值为0，∴y2+4y+8的最小值为4．仿照上面的解答过程，求m2+m+4的最小值和4﹣x2+2x的最大值．参考答案：1.利用1个a×a的正方形，1个b×b的正方形和2个a×b的矩形可拼成一个正方形（如图所示），从而可得到因式分解的公式a2+2ab+b2=（a+b）2．【考点】因式分解-运用公式法．【分析】根据提示可知1个a×a的正方形，1个b×b的正方形和2个a×b的矩形可拼成一个正方形，利用面积和列出等式即可求解．【解答】解：两个正方形的面积分别为a2，b2，两个长方形的面积都为ab，组成的正方形的边长为a+b，面积为（a+b）2，所以a2+2ab+b2=（a+b）2．【点评】本题考查了运用完全平方公式分解因式，关键是理解题中给出的各个图形之间的面积关系．2.如图，有正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果用这三类卡片拼一个长为2a+b、宽为a+2b的大长方形，通过计算说明三类卡片各需多少张？【考点】多项式乘多项式．【分析】根据长乘以宽，表示出大长方形的面积，即可确定出三类卡片的张数．【解答】解：∵（2a+b）（a+2b）=2a2+4ab+ab+2b2=2a2+5ab+2b2，∴需要A类卡片2张，B类卡片2张，C类卡片5张．3.已知a、b、c是△ABC的三条边，且满足a2+bc=b2+ac，则△ABC是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．等边三角形【考点】因式分解的应用．【分析】已知等式左边分解因式后，利用两数相乘积为0两因式中至少有一个为0得到a=b，即可确定出三角形形状．【解答】解：已知等式变形得：（a+b）（a﹣b）﹣c（a﹣b）=0，即（a﹣b）（a+b﹣c）=0，∵a+b﹣c≠0，∴a﹣b=0，即a=b，则△ABC为等腰三角形．故选：C．4.在日历上，我们发现某些数会满足一定的規律，比如2016年1月份的日历，我们设计这样的算法：任意选择其中的2×2方框，将方框中4个位置上的数先平方，然后交叉求和，再相减请你按照这个算法完成下列计算，并回答以下问题[2016年1月份的日历]日一二三四五六1 23 4 5 6 7 8 910 11 12 13 14 15 1617 18 19 20 21 22 2324 25 26 27 28 29 3031（1）计算：（12+92）﹣（22+82）= 14 ，﹣= 14 ，自己任选一个有4个数的方框进行计算14（2）通过计算你发现什么规律，并说明理由．【考点】整式的混合运算．【分析】（1）先算乘法，再合并即可；（2）设最小的数字为n，则其余三个分别为n+8，n+1，n+7，根据题意得出算式[n2+（n+8）2]﹣[（n+1）2+（n+7）2]，求出即可．【解答】解：（1）（12+92）﹣（22+82）=1+81﹣4﹣64=14，﹣=100+324﹣121﹣289=14，（32+112）﹣（42+102）=9+121﹣16﹣100=14，故答案为：14；（2）计算结果等于14，理由是：设最小的数字为n，则其余三个分别为n+8，n+1，n+7，所以[n2+（n+8）2]﹣[（n+1）2+（n+7）2]=n2+n2+16n+64﹣n2﹣2n﹣1﹣n2﹣14n﹣49=14．5.已知（x+y）2=25，xy=，求x﹣y的值．【考点】完全平方公式．【分析】根据完全平方公式即可求出答案．【解答】解：∵（x+y）2=x2+2xy+y2，∴25=x2+y2+，∴x2+y2=∵（x﹣y）2=x2﹣2xy+y2，∴（x﹣y）2=﹣=16∴x﹣y=±46. 已知，则（a+b）2﹣（a﹣b）2的值为 1 ．考点：因式分解-运用公式法．分析：首先利用完全平方公式展开进而合并同类项，再将已知代入求出即可．解答：解：∵（a+b）2﹣（a﹣b）2=（a2+2ab+b2）﹣（a2﹣2ab+b2）=4ab，∴将，代入上式可得：原式=4ab=4××=1．故答案为：1．点评：此题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式的形式是解题关键．7. ①一个多项式除以2m得1﹣m+m2，这个多项式为2m﹣2m2+2m3．②6x2+5x﹣6 ÷（2x+3）=（3x﹣2）．③小玉和小丽做游戏，两人各报一个整式，小玉报一个被除式，小丽报一个除式，要求商必须是3ab．若小玉报的是3a2b﹣ab2，则小丽报的是a﹣b ；若小丽报的是9a2b，则小玉报的整式是27a3b2．④如图甲、乙两个农民共有4块地，今年他们决定共同投资搞饲养业，为此他们准备将这4块地换成宽为（a+b）cm的地，为了使所换到的面积与原来地的总面积相等，交换之后的地的长应为a+c m．考点：整式的混合运算．分析：①利用2m乘1﹣m+m2计算即可；②把除式和商相乘即可；③根据被除式÷商=除式，被除式=除式×商列式计算即可；④利用4块土地换成一块地后的面积与原来4块地的总面积相等，而原来4块地的总面积=a2+bc+ac+ab，得到4块土地换成一块地后面积为（a2+bc+ac+ab）米，又此块地的宽为（a+b）米，根据矩形的面积公式得到此块地的长=（a2+bc+ac+ab）÷（a+b），把被除式分解后再进行除法运算即可得到结论．解答：解：①2m（1﹣m+m2）=2m﹣2m2+2m3；②（2x+3）（3x﹣2）=6x2+5x﹣6；③（3a2b﹣ab2）÷3ab=a﹣b，3ab?9a2b=27a3b2；④∵原来4块地的总面积=a2+bc+ac+ab，∴将这4块土地换成一块地后面积为（a2+bc+ac+ab）米，而此块地的宽为（a+b）米，∴此块地的长=（a2+bc+ac+ab）÷（a+b）=（a2+ac+bc+ab）÷（a+b）=[a（a+c）+b（a+c）÷（a+b）]=（a+b）（a+c）÷（a+b）=a+c．故答案为：2m﹣2m2+2m3；6x2+5x﹣6；a﹣b，27a3b2；a+c．点评：此题考查整式的混合运算，掌握计算方法是解决问题的关键．8. 阅读下面的解答过程，求y2+4y+8的最小值．解：y2+4y+8=y2+4y+4+4=（y+2）2+4≥4，∵（y+2）2≥０即（y+2）2的最小值为0，∴y2+4y+8的最小值为4．仿照上面的解答过程，求m2+m+4的最小值和4﹣x2+2x的最大值．考点：因式分解的应用．专题：阅读型．分析：（1）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最小值；（2）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值．解答：解：（1）m2+m+4=（m+）2+，∵（m+）2≥0，∴（m+）2+≥．则m2+m+4的最小值是；（2）4﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+5，∵﹣（x﹣1）2≤0，∴﹣（x﹣1）2+5≤5，则4﹣x2+2x的最大值为5．点评：此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．。
初中数学整式的乘法与因式分解例题解析
初中数学整式的乘法与因式分解例题解析一、整式的乘法例题例1：计算：a2·(－a)3·(－a)；x n·x n＋1·x n－1·x；(x－2y)2·(2y－x)3解：原式＝a2·(－a)3·a1＝－a2·a3·a4＝－a9；原式＝x n＋n＋1＋n－1＋1＝x3n＋1；方法一：原式＝(x－2y)2·[－(x－2y)]3＝－(x－2y)5方法二：原式＝(2y－x)2·(2y－x)3＝(2y－x)5例2：下列运算中正确的是（）A.a2＋a3＝a5B.a2·a3＝a6C.a2＋a3＝aD.(a2)3＝a6解析：a2与a3不是同类项,不能合并,A错误；a2·a3＝a2＋3＝a5≠a6,B错误；a3与a2不是同类项,不能合并,C错误；D正确；(a2)3＝a2×3＝a6。
答案：D例3：已知a m＝4,a n＝10,求a2m＋n的值。
解析：将代数式a2m＋n变形为含a m、a n的代数式,依据是幂的运算法则。
解：a2m＋n＝a2m·a n＝(a m)2·a n＝42×10＝160.例4：计算：(－x2y)3·3xy2·(2xy2)2；－6m2n·(x－y)3·mn2(y－x)2.解：原式＝－x6y3×3xy2×4x2y4＝－x9y9.原式＝－6×m3n3(x－y)5＝－2m3n3(x－y)5.例5：计算：(－2ab)(3a2－2ab－4b2)；5ax(a2＋2a＋1)－(2a ＋3)(a－5)解：原式＝－6a3b＋4a2b2＋8ab3原式＝5a3x＋10a2x＋5ax－(2a2－10a＋3a－15)＝5a3x＋10a2x＋5ax－2a2＋7a＋15例6：计算：(5mn2－4m2n)(－2mn)；(x＋7)(x－6)－(x－2)(x＋1)解：原式＝－10m2n3＋8m3n2.原式＝x2－6x＋7x－42－x2－x＋2x＋2＝2x－40二、因式分解例题例7：下列式子中,从左到右变形属于因式分解的是（）A.a2＋4a－21＝a(a＋4)－21B.a2＋4a－21＝(a－3)(a＋7)C.(a－3)(a＋7)＝a2＋4a－21D.a2＋4a－21＝(a＋2)2－25解析：根据因式分解的概念,只有B选项满足：等号左边是多项式,等号右边是几个整式的积的形式,并且经检验运算过程正确,故选B.答案 B例8：若代数式x2＋ax可以分解因式,则常数a不可以取( )解析：因为代数式x2＋ax可以分解因式,所以常数a不可以取0.例9：下面分解因式正确的是（）A.x2＋2x＋1＝x(x＋2)＋1B.(x2－4)x＝x3－4xC．ax＋bx＝（a＋b）xD.m2－2mn＋n2＝(m＋n)2解析：根据因式分解的概念,A项、B项不是分解因式；C项是提公因式法分解因式；D项虽是分解因式,但错误,应是m2－2m ＋n2＝(m－n)2答案：C例10：把下列各式分解因式：－16x4y6＋24x3y5－9x2y4；4(x＋y)2－4(x＋y) ·z＋z2；(a－b)3－2(b－a)2＋(a－b)；9(x＋a)2＋30(x＋a)(x＋b)＋25(x＋b)2解：原式＝－x2y4(16x2y2－24xy＋9)＝－x2y4(4xy－3)2；原式＝[2(x＋y)]2－2×2(x＋y)·z＋z2＝[2(x＋y)－z]2＝（2x＋2y－z）2；原式＝(a－b)[(a－b)2－2(a－b)＋1]＝(a－b)[(a－b)－1]2＝(a－b)(a－b－1)2；原式＝[3(x＋a)]2＋2·3(x＋a)·5(x＋b)＋[5(x＋b)]2＝[3(x＋a)＋5(x＋b)]2＝(3x＋3a＋5x＋5b)2＝(8x＋3a＋5b)2.关键提醒：因式分解的步骤：(1)先看各项有没有公因式,若有公因式,则先提取公因式.(2)再看能否使用公式法.(3)用分组分解法,即通过分组后再提出公因式或运用公式法来达到分解的目的.(4)因式分解的最后结果,必须是几个整式的积.(5)因式分解的结果必须进行到每个因式不能再分解为止。
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初一数学乘法公式、因式分解拓展题1．已知（x﹣2015)2+（x﹣２0１7)2=３4,则(x﹣２01６)２的值是( )A．4ﻩB.8 C.１2ﻩD.162.已知:a=2014x+２０15，ｂ=2０14x+201６，c＝2014x+2０1７,则ａ2+b2+c2﹣aｂ﹣ac﹣ｂc的值是（)Ａ．０ﻩＢ.1ﻩＣ．2ﻩD．33.已知甲、乙、丙均为ｘ的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘为x2﹣4，乙与丙相乘为ｘ2+15ｘ﹣34，则甲与丙相加的结果与下列哪一个式子相同?(）A.2x＋19ﻩB．2x﹣19ﻩC．2x+15ﻩＤ．２ｘ﹣1５４.若x２+ｍx＋k是一个完全平方式，则k等于（）A.m2ﻩＢ．m2 C.m2ﻩD．m2５．ｎ是整数，式子[1﹣（﹣1）n］（n2﹣１）计算的结果（)Ａ．是0ﻩ B.总是奇数 C.总是偶数ﻩD.可能是奇数也可能是偶数6.已知ａ+b=３，ab=﹣2，则a2＋b2的值是．7．分解因式:a3﹣4ａ2b+4ab2＝.８.分解因式：x3﹣xy2＝.9．如果(x2＋p)（x2+7)的展开式中不含有x2项,则p= .10．已知a＋ｂ=８,a2b2=4，则﹣ab= ．11.观察下列各式的规律:(ａ﹣ｂ）（ａ+b)＝a2﹣b２（ａ﹣ｂ)（ａ2+aｂ+b2)=a3﹣b3（a﹣b)（a3+a2ｂ＋ab2＋b3)＝ａ4﹣b４…可得到(a﹣b)（ａ２016+a2０15ｂ＋…+aｂ2０１5+ｂ２016）=_____＿___＿＿____＿．１2．我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”.这个三角形给出了（a+b）n(n＝1，2，3，4…)的展开式的系数规律(按ａ的次数由大到小的顺序)：请依据上述规律，写出(x﹣)2016展开式中含x2014项的系数是________＿.13．观察下列等式：1+2+3+4+…+ｎ＝n(ｎ+1);1+3+６+10＋…+n(ｎ+1)=n（ｎ＋１）(n+２);1+4+１0＋２0+…＋ｎ(n+1)（ｎ+2)=n(ｎ＋1)（n+2）（n+3)；则有:１+5+15+35+…n（n+1)（ｎ＋2）(ｎ＋3)＝.14．如图中的四边形均为矩形，根据图形，写出一个正确的等式＿___＿____ ．15．在一次数学课上，李老师对大家说:“你任意想一个非零数,然后按下列步骤操作,我会直接说出你运算的最后结果.”操作步骤如下:第一步：计算这个数与1的和的平方，减去这个数与1的差的平方；第二步：把第一步得到的数乘以２5;第三步：把第二步得到的数除以你想的这个数.(1)若小明同学心里想的是数9.请帮他计算出最后结果.[（9＋１）2﹣(9﹣1)２]×25÷9(2）老师说:“同学们,无论你们心里想的是什么非零数，按照以上步骤进行操作，得到的最后结果都相等.”小明同学想验证这个结论,于是,设心里想的数是ａ(a≠0）.请你帮小明完成这个验证过程．16．若我们规定三角“”表示为:aｂc；方框“”表示为：(x m+ｙn)．例如：=1×19×3÷（24+3１)=３．请根据这个规定解答下列问题：（1)计算:= ；（２）代数式为完全平方式，则k= ；(３）解方程:=6x2+7.17.把一张正方形桌子改成长方形，使长比原边长增加2米,宽比原边长短1米.设原桌面边长为x米（x<1.5),问改变后的桌子面积比原正方形桌子的面积是增加了还是减少了？说明理由.18.阅读与观察：我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，如图1的“杨辉三角”就是其中的一例.杨辉，字谦光，南宋时期杭州人,在他所著的《详解九章算法》艺术中,揖录了如图1所示的三角形数表,称之为“开方作法本源”图，经观察研究发现,在两腰上的数位１的前提下，杨辉三角有许多重要的特点,例如：每个数都等于它上方两数之和等等．如图２，某同学发现杨辉三角给出了(a+b)n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如,在三角形中第三行的三个数１,2,1，恰好对应（a＋b）2=a2＋2ａb+b2展开式中各项的系数；第四行的四个数1,3，3,1,恰好对应着（a＋b）３＝a3+3a２b+3aｂ２+b３展开式中各项的系数等等．(1)通过观察，请你写出杨辉三角具有的任意两个特点;（阅读材料中的特点除外)（2)计算：９93+3×９92+3×９9+1；(3）请你直接写出（ａ＋b)4的展开式．1９．如果一个自然数可以表示为两个连续奇数的立方差，那么我们就称这个自然数为“麻辣数”．如：2=13﹣（﹣1)3，26=33﹣13,所以2、26均为“麻辣数”．【立方差公式ａ３﹣b3＝(ａ﹣ｂ)(ａ2＋ab+ｂ2）】(1)请判断98和１6９是否为“麻辣数”,并说明理由；（2）在小组合作学习中,小明提出新问题:“求出在不超过2016的自然数中，所有的‘麻辣数’之和为多少？”小组的成员胡图图略加思索后说:“这个难不倒图图,我们知道奇数可以用２ｋ+1表示…,再结合立方差公式…”,请你顺着胡图图的思路,写出完整的求解过程．20.若一个正整数能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“智慧数”.如:3＝22﹣12,7=42﹣32,8=32﹣1２，因此3,７,8都是“智慧数”.(1)18“智慧数”,2017“智慧数”(填“是”或“不是”）;（2）除1外的正奇数一定是“智慧数”吗?说明理由．21．在一次数学课上，李老师对大家说：“你任意想一个非零数，然后按下列步骤操作，我会直接说出你运算的最后结果.”（1）若小明同学心里想的是数9，请帮他计算出最后结果:［（９+１）2﹣（9﹣1）2]×25÷9（２）老师说:“同学们，无论你们心里想的是什么非零数，按照以上步骤进行操作,得到的最后结果都相等．”小明同学想验证这个结论，于是,设心里想的数是ａ(a≠0),请你帮小明完成这个验证过程.22．阅读与计算：对于任意实数a，b，规定运算@的运算过程为：a@ｂ=a2+aｂ.根据运算符号的意义,解答下列问题．（１）计算（x﹣１）@（x+1)；（2)当m＠（m+2）=(m+2）@m时，求m的值.２３．已知多项式A=（ｘ+2）2+ｘ(1﹣x）﹣9（1）化简多项式A时,小明的结果与其他同学的不同，请你检査小明同学的解题过程.在标出①②③④的几项中出现错误的是;正确的解答过程为．(2）小亮说:“只要给出x２﹣2ｘ+ｌ的合理的值，即可求出多项式Ａ的值．”小明给出x２﹣2ｘ+l值为4，请你求出此时A的值．２４．(1）因式分解：（x﹣y）(3ｘ﹣y）+2x(3x﹣y）;（2)设ｙ=kx，是否存在实数ｋ，使得上式的化简结果为x２？求出所有满足条件的k的值．若不能，请说明理由.25.“十字相乘法”能把二次三项式分解因式,对于形如ａx2+bｘy＋cy2的关于x,y的二次三项式来说，方法的关键是把x2项系数a分解成两个因数ａ,a2的积，即１a=ａ1•a2，把y2项系数ｃ分解成两个因数ｃ1,c２的积，即c=ｃ１•ｃ2，并使a1•c2+a •c1正好等于ｘｙ项的系数b,那么可以直接写成结果：ａx２+bｘy+cy2＝(a1x＋ｃ２1y)（a２ｘ+c２y)．例：分解因式:x2﹣2xy﹣8y2.解：如图1,其中1=1×１，﹣8=（﹣4)×2,而﹣２=1×2＋1×（﹣4）．∴ｘ2﹣2ｘy﹣８y２=（ｘ﹣4y)(ｘ＋２y）而对于形如ax2＋bxy+cｙ２＋ｄx+ey＋f的ｘ,y的二元二次式也可以用十字相乘法来分解，如图2，将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成ｊｋ乘积作为第三列,如果mｑ+np=ｂ,pk+ｑｊ=ｅ，mk＋ｎj=ｄ，即第1，2列、第2,3列和第1，3列都满足十字相乘规则,则原式=(mx＋py+j)(nx＋qy+ｋ);例：分解因式：x2+2xｙ﹣３ｙ2+3x＋ｙ+2解:如图3,其中1=1×１,﹣3=（﹣1）×3，2=1×2;而2=１×3+1×(﹣1)，１=（﹣1)×2+３×1，3=１×2+1×1;∴ｘ２＋2ｘｙ﹣3ｙ２+3x+y+2＝（ｘ﹣y+1)(x+３y+2）请同学们通过阅读上述材料,完成下列问题：(１)分解因式：①６x2﹣17xy+12ｙ2=②２x2﹣xy﹣6y2＋2x＋17ｙ﹣1２＝③x２﹣xy﹣6y２+２x﹣6y＝（2）若关于ｘ，y的二元二次式x2+7xy﹣1８y２﹣5x+mｙ﹣24可以分解成两个一次因式的积，求ｍ的值.26．通过对《因式分解》的学习，我们知道可以用拼图来解释一些多项式的因式分解．如图１中１、2、3号卡片各若干张,如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张，你能通过拼图２形象说明a２+３ab+2b２=(a+b)（a+２b)的分解结果吗?请在画出图形.２７.把一个自然数所有数位上的数字先平方再求和得到一个新数,叫做第一次运算，再把所得新数所有数位上的数字先平方再求和又将得到一个新数,叫做第二次运算，…如此重复下去,若最终结果为1，我们把具有这种特征的自然数称为“快乐数”.例如:32→32＋2２＝13→12+32=10→12＋０2=1,70→72+0２=49→４2+92=97→92+７2=1３0→１2＋32+0２=1０→12+02＝1,所以3２和７０都是“快乐数”．(1）写出最小的两位“快乐数”；判断19是不是“快乐数”；请证明任意一个“快乐数”经过若干次运算后都不可能得到4;(2）若一个三位“快乐数”经过两次运算后结果为1，把这个三位“快乐数”与它的各位上的数字相加所得的和被8除余数是2,求出这个“快乐数”.2８.村料一：我们可以将任意三位数记为,（其中a、b、c分别表示该数的百位数字,十位数字和个位数字，且a≠０）.显然＝１00a+1０b+ｃ．材料二:若一个三位数的百位数字,十位数字和个位数字均不为0，则称之为原始数,比如123就是一个原始数,将原始数的三个数位上的数字交换顺序,可产生出5个新的原始数，比如由１23可以产生出132,213、２31、３12、321这５个新原始数，将这6个数相加,得到的和1３32称为由原始数12３生成的终止数．问题：(1）分别求出由下列两个原始数生成的终止数：2４7，63８；（2)若由一个原始数生成的终止数为1110，求满足条件的所有原始数．29．大家一定熟知杨辉三角（Ⅰ），观察下列等式(Ⅱ）根据前面各式规律，则(ａ+ｂ）5=.30．我们知道,对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图１可以得到（ａ+2b）（a+ｂ）=a2+３aｂ+2b2.请解答下列问题：(1）写出图２中所表示的数学等式;（2)利用（1）中所得到的结论,解决下面的问题:已知a+b+c=１1，ab＋bｃ+ａc=３８，求a2+b2+c2的值;(３）小明同学用3张边长为a的正方形，4张边长为b的正方形，7张边长分别为ａ、b的长方形纸片拼出了一个长方形，那么该长方形较长一边的边长为多少?（4)小明同学又用x张边长为a的正方形,y张边长为b的正方形,z张边长分别为ａ、b的长方形纸片拼出了一个面积为（25ａ+7b）(18a+４5b）长方形,那么x＋y+z= .。