数学乘法公式的拓展与常见题型

乘法公式的拓展及常见题型

一．公式拓展：

拓展一：ab b a b a 2)(222-+=+ ab b a b a 2)(222+-=+ 2)1(1222-+=+a a a a 2)1(1222+-=+a

a a a 拓展二：a

b b a b a 4)()(22=--+ ()()222222a b a b a b ++-=+

ab b a b a 4)()(22+-=+ ab b a b a 4)()(22-+=-

拓展三：bc ac ab c b a c b a 222)(2222---++=++

拓展四：杨辉三角形

3223333)(b ab b a a b a +++=+ 4322344464)(b ab b a b a a b a ++++=+ 拓展五： 立方和与立方差

))((2233b ab a b a b a +-+=+ ))((2233b ab a b a b a ++-=-

二．基本考点

例1：已知：32

a b +=

，1ab =，化简(2)(2)a b --的结果是 ． 例2：化简与计算 221999922011（）；（）()()()()222x 3y 3m n 42x+32x 3-+----；（）；（）；（）。

练习：

1、（a+b －1）（a －b+1）= 。

2．若x 2－y 2=30，且x －y=－5，则x+y 的值是（ ）

A ．5

B ．6

C ．－6

D ．－5

3、已知 2()16,4,a b ab +==求22

3a b +与2()a b -的值.

4、试说明不论x,y 取何值，代数式22

6415x y x y ++-+的值总是正数。

5、(a －2b +3c )2－(a +2b －3c )2= 。

6、已知0136422=+-++y x y x ，y x 、都是有理数，求y x 的值。

7、2

200720092008⨯-（运用乘法公式）

题型一：乘法公式在解方程和不等式组中的应用

解方程：()()()()()()2x 12x 13x 2x 27x 1x 1+-+-+=+-

题型二：应用完全平方公式求值

设m+n=10，mn=24，求()2

22m n m n +-和的值。

题型三：巧用乘法公式简算

计算：（1）()()()

24832121211++++； （2）9910110001⨯⨯

题型四：利用乘法公式证明

对任意整数n ，整式()()()()3n 13n 13n 3n +---+是不是10的倍数？为什么？

题型五：乘法公式在几何中的应用

已知△ABC 的三边长a ，b ，c 满足222a b c ab bc ac 0++---=，试判断△ABC 的形状。 三．常见题型：

（一）公式倍比

例题：已知b a +=4，求ab b a ++2

2

2。

⑴如果1,3=-=-c a b a ，那么()()()2

22a c c b b a -+-+-的值是 ⑵1=+y x ，则222

121y xy x ++= ⑶已知xy ２y x ，y x x x -+-=---2

222)()1(则=

(二）公式组合

例题：已知(a+b)2=7,(a-b)2=3, 求值: (1)a 2+b 2 (2)ab

⑴若()()a b a b -=+=22713，，则a b 22

+=____________，a b =_________

⑵设（5a ＋3b ）2=（5a －3b ）2＋A ，则A=

⑶若()()x y x y a -=++22

，则a 为 ⑷如果2

2)()(y x M y x +=+-，那么M 等于

⑸已知(a+b)2=m ，(a —b)2=n ，则ab 等于

⑹若N b a b a ++=-22)32()32(，则N 的代数式是 ⑺已知,3)(,7)(2

2=-=+b a b a 求ab b a ++22的值为 。 ⑻已知实数a,b,c,d 满足53=-=+bc ，ad bd ac ，求))((2

222d c b a ++

（三）整体代入

例1：242

2=-y x ，6=+y x ，求代数式y x 35+的值。

例2：已知a=

201x ＋20，b=201x ＋19，c=20

1x ＋21，求a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ac 的值

⑴若499,7322=-=-y x y x ，则y x 3+=

⑵若2=+b a ，则b b a 422+-= 若65=+b a ，则b ab a 3052++=

⑶已知a 2＋b 2=6ab 且a ＞b ＞0，求 b

a b a -+的值为 ⑷已知20042005+=x a ，20062005+=x b ，20082005+=x c ，则代数式ca bc ab c b a ---++222的值是 ．

（四）步步为营

例题：3⨯(22+1)⨯(24+1)⨯(28+1)⨯(162+1)

6⨯)17(+⨯(72+1)⨯(74+1)⨯(78+1)+1 ()()()()()224488a b a b a b a b a b -++++

1)12()12()12()12()12()12(3216842++⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+

222222122009201020112012-++-+-ΛΛ ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2211⎪⎭⎫ ⎝⎛-2311⎪⎭⎫ ⎝⎛-2411…⎪⎭⎫ ⎝⎛-2201011 （五）分类配方 例题：已知0341062

2=++-+n m n m ，求n m +的值。

⑴已知：x ²+y ²+z ²-2x+4y-6z+14=0，则x+y+z 的值为 。

⑵已知x ²+y ²-6x-2y+10=0，则11x y

+的值为 。 ⑶已知x 2+y 2-2x+2y+2=0,求代数式20032004x y +的值为 . ⑷若x y x y 2246130++-+=，x ，y 均为有理数，求y

x 的值为 。 ⑸已知a 2+b 2+6a-4b+13=0，求(a+b)2的值为

（六）首尾互倒

例1：已知

242411112,1;(2);(3)x a a a x a a a +=++-求：（）

例2：已知a 2－7a ＋1＝0．求a a 1+、221a a +和21⎪⎭⎫ ⎝

⎛-a a 的值； ⑴已知0132=--x x ，求①221x x += ②221x

x -= ⑵若x 2－ 2

19x ＋1=0，求441x x + 的值为 （3）已知

31=-x x ，则221x x +的值是 ⑸若12a a

+= 且0

a 1+和a － a 1和221

a a +的值为