6.4二元函数的极值与最值

z=f(x, y0) z=f(x0, y)
问题：如何判定一个驻点是否为极值点？
定理6.4.2（充分条件） 设函数z=f (x, y)在(x0, y0)的某邻域内 有定义，且具有一阶及二阶偏导数，M0(x0, y0) 为f(x,y)的驻 点，令
A= f’’xx (x0, y0) ，B= f’’xy (x0, y0) ，C= f’’yy (x0, y0) （1）当AC-B2>0时，具有极值；
根据已知条件，有 xy 2 yz 2xz 27
则
z 27 xy ,
2( x y)
带人V有
27 xy 27 xy x2 y2
V xy
2( x y) 2( x y)
而
V y2 (27 2xy x2 ) V y2(27 2xy y2 )
x
2( x y)2
, y
2( x y)2
令
V x
0,
V
0,
解得x=y=3,从而 z 3 ,这时V 27 m3 .
2
2
y
3 木箱即有当最木大箱体的积长为、2宽7 m、3高. 分别为3m，3m，2 m 时，
2
作业 求函数 f(x,y)=xy2 –y2 +xy 的极值点和极值。
9
在边界上的任一点处，都有
f (x, y) 1 1 2 2 1
因此，在 x2
y2
1
93
上，f(x,y)的最大值为1，最小值为
2
2
9
3
例6.4.3 做一个无盖的长方体箱子共用去27m2 的木板，求此箱 的最大体积。
解：设箱的长、宽、高分别为 x m，ym，zm，则木箱的体积为
V xyz( x, y, z 0),
(1)在空心邻域内，当 x x0 时f '(x) 0, x x0 时 f '(x) 0, 则f (x0 ) 是函数的极大值， x0是极大值点.
(2)在空心邻域内，当 x x0 时f '(x) 0, x x0 时 f '(x) 0, 则f (x0 ) 是函数的极小值， x0是极小值点. (3)在空心邻域内，f '(x) 的符号保持不变，那么x0不是函数的 极值点.
例如：z = xy 有驻点(0, 0)，但(0, 0)不是极值点。
fx(x0, y0)=[ f(x, y0)]x是截线z=f(x, y0)在点(x0, y0)处的切线Tx对x 轴的斜率.
fy(x0, y0)=[ f(x0, y)]y是截线z=f(x0, y)在点(x0, y0)处的切线Ty对y 轴的斜率.
3
y2
3x
0,
得驻点(0, 0) , (1, 1) ；
求二阶偏导数得
f ''xx ( x, y) (3x2 3 y)'x 6x f ''xy ( x, y) (3x2 3 y)'y 3, f ''yy ( x, y) (3 y2 3x)'y 6 y.
4. 列表讨论驻点是否为极值点
-72 非极值点
-6
72 极大值点
6
72 极小值点
-6
-72 非极值点
由f 表''x可x ( x知, y（) -3(,32x）2 为 6极x 大 9值)'x点，6x极大6,值是 f (3, 2) 31 ， （1,0）f '是'xy 极( x,小y)值点(3，x2极 小6x值 为9)'fy (1,00), 5.
当A>0时， f (x0, y0)为极小值；当A<0时， f (x0, y0) 为极 大值；
（2）当AC-B2<0时， f (x0, y0)不是极值； （3）当AC-B2=0时， f (x0, y0)可能是极值，也可能不是极值。
例6.4.1 求函数 f ( x, y) x3 y3 3x2 3 y2 9x 的极值。
驻点
A
B
C AC-B2
结论
（0,0） 0
-3
0
-9 非极值点
（1,1） 6
-3
6
27 极小值点
由表可知（1,1）为极小值点，极小值是 f (1,1) 1 .
二.二元函数的最值
f 在有界闭域上连续 依 据 f 在有界闭域上可达到最值
最 值
驻点；
可
疑 点
边界上的最值点。
求最值的一般方法： （1）先求出函数f(x,y)在D内的极值； （2）求出f(x,y)在D的边界上的最值； （3）比较（1）和（2）的结果，即可得到最大值和最小值。
函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取 得极值的点称为极值点.
y
a o x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8
b
x
定理3.2.2（必要条件）如果点x0是函数y=f(x)的极值点， 则是x0是f(x)的驻点 ( f '(x0 ) 0) 或一阶导数不存在的点.
定理3.2.3（第一充分条件）设函数y=f(x)在x0处连续，且 在x0的某邻域内可导.
M0(x0, y0)称为函数f (x, y)的极大值点(极小值点)。
极大值与极小值统称为极值；极大值点 与极小值点统称为极值点；
注意：极大值(或极 小值)是局部的最大 值(或最小值)。
例1 函数 z 3x2 4 y2
在 (0,0) 处有极小值．
(1)
例2 函数 z x2 y2
(2)
在 (0,0) 处有极大值．
例3 函数 z xy
在 (0,0) 处无极值．
(3)
2.二元函数取得极值的条件
定理 1（必要条件）如果函数 z=f(x, y) 在点 M(x0, y0)处 的两个偏导数存在，且在该点处取得极值，则
f’x (x0, y0) = 0， f’y (x0, y0) = 0
注意: 使偏导数都为 0 的点称为驻点。但驻点不一 定是极值点。
求出二阶偏导数的值 A、B、C。
第四步 由AC-B2的符号判定是否是极值，并 求出相应的极大值或极小值。
练习 求函数 f(x,y)=x3 +y3 -3xy 极值点和极值。
解: 求偏导数，得 f 'x (x, y) 3x2 3 y, f 'y(x, y) 3 y2 3x.
解方程组 3x2 3 y 0,
解: 1. 求偏导数，得
f 'x (x, y) 3x2 6x 9, f 'y( x, y) 3 y2 6 y.
2. 解方程组
3x2 6x 9 0,
3 y2 6 y 0,
得驻点(–3, 0) , (–3, 2) , (1, 0) , (1, 2) ；
3. 求二阶偏导数得 f ''xx ( x, y) (3x2 6x 9)'x 6x 6, f ''xy ( x, y) (3x2 6x 9)'y 0,
注：可能极值点的左右两侧 f '(x)异号，则x0必定是f(x)的极值 点；否则x0不是极值点.
定理3.2.4（第二充分条件）设函数y=f(x)在x0处具有二阶 导数且 f '(x0 ) 0, f ''(x0 ) 0, 那么
(1) 当 f ''(x0 ) 0 时，函数f(x)在点 x0处有极大值. (2) 当 f ''(x0 ) 0 时，函数f(x)在点 x0处有极小值.
f ''yy ( x, y) (3 y2 6 y)'y 6 y 6.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
求函数 z=f (x, y)极值的一般步骤：
第一步 求偏导数 f 'x (x, y), f 'y (x, y);
第二步
解方程组
f 'x (x, y) 0
f
'y (x,
y)
0
求得驻点。
第三步 对于每一个驻点 (x0 , y0 )
第六章 多元函数微积分
二元函数的极值与最值
6.4.1 二元函数的极值 6.4.2 二元函数的最值
复习：函数的极值
定义3.2.1 设函数f(x)在x0的某邻域 N (x0 , )内有定义，对 于任意的 x N (x0 , )，有 f (x) f (x0 )(或 f (x) f (x0 ) )，则 称 f (x0 )是函数f(x)的一个极大值(或极小值).
一、二元函数的极值
1.定义
定义6.4.1 设函数z=f (x, y)在M0(x0, y0)的某邻域 N (M0 , )内有定
义，如果在N (M0 , ) 内，除M0以外的任一点M(x,y)有
f (x, y)<f(x0, y0)（或f (x, y)>f(x0, y0)）
xy z ex2 y2
则称f(x0, y0)为函数f (x, y)的极大值（极小值）
f ''yy ( x, y) (3 y2 6 y)'y 6 y 6.
驻点(–3, 0) , (–3, 2) , (1, 0) , (1, 2) ； 4. 列表讨论驻点是否为极值点
驻点
A
B
（-3,0） -12 0
（-3,2） -12 0
（1,0） 12
0
（1,2） 12
0
C AC-B2
结论
6
特别, 当区域内部最值存在, 且只有一个极值点P 时, 则 f (P)就是最值。
例6.4.2 求函数 f ( x, y) 1 x2 y2 在圆域D: x2 y2 1上的
最值。
9
解由
f
'x (x,
y)
f
'y (x,
y)
x 0, 1 x2 y2
y 0 1 x2 y2