高中数学 探究导学课型 第二章 平面向量 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课件 新人教版必修4
(3)当x1x2+y1y2<0时, <θ≤π.
【探究总结】 知识归纳:
方法总结:解决向量夹角问题的方法及注意事项 (1)先利用平面向量的坐标表示求出这两个向量的数量
ab 积a·b以及|a||b|,再由cosθ = 求出cosθ ,也可 | a || b | x1x 2 y1 y 2
3.若a=(1,1),b=(-3,4).则a·b=
.
【解析】a·b=1×(-3)+1×4=1.
答案:1
4.已知a=(3,2),b=(5,-7),则(a+b)·(a-b)= 【解析】a+b=(8,-5),a-b=(-2,9),
.
所以(a+b)·(a-b)=8×(-2)+(-5)×9=-61.
答案:-61
向量坐标满足的等量关系,利用数量积的坐标运算列出
方程(组)来进行求解.
2.求向量的模的两种基本策略 (1)字母表示下的运算. 利用|a|2=a2,将向量的模的运算转化为向量与向量的数 量积的问题.
(2)坐标表示下的运算.
若a=(x,y),则a·a=a2=|a|2=x2+y2, 于是有|a|= x 2 y 2 .
)
【解析】选A.设a与b的夹角为θ ,
ab 15 48 63 . 则cosθ = | a | | b | 5 13 65
2.已知a=(x,1),b=(1,-2),若a⊥b,则x= (
A.2 B.1 C.3 D.-2
)
【解析】选A.因为a⊥b,所以x+1×(-2)=0,即x=2.
故向量夹角的坐标公式及垂直的坐标公式都成立的前 提条件是a≠0且b≠0.
5.如何利用向量数量积的坐标形式的运算,确定两个非 零向量夹角的范围?
提示:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ,
则:(1)当x1x2+y1y2>0时,0≤θ< . (2)当x1x2+y1y2=0时,θ= .
a0 = (
x x y
2 2
,
y x y
2 2
) .
(2)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),由于向量b在向量a方向上
b a ,从而向量b在向量a方向上的 a x1x 2 y1 y 2 投影的坐标表示为 . 2 2 x1 y1
的投影为|b|cosθ =
【补偿训练】(2016·石家庄高一检测)已知点A(-1,1), B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),则向量 AB在CD 方向上的投影
为
(
)
3 15 B. 2 3 2 C. 2 3 15 D. 2
3 2 A. 2
【解析】选A.由条件知 AB 2,1 ,CD 5,5 ,
AB CD 10 5 15.
｜ CD ｜ 52 52 5 2, 则 AB在CD 方向上的投影为:
AB CD 15 3 2 . 2 ｜ CD ｜ 5 2
所以|2a-3b|= 42 82 4 5.
【规律总结】 1.数量积坐标运算的技巧
(1)进行数量积运算时,要正确使用公式a·b=x1x2+y1y2,
并能灵活运用以下几个关系: |a|2=a·a.(a+b)(a-b)=|a|2-|b|2.
(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2.
(2)利用数量积的条件求平面向量的坐标,一般来说应 当先设出向量的坐标,然后根据题目中已知的条件找出
因为E为CD的中点,所以 DE 1 BA,
所以 AE AD DE BC 1 BA.
2 2 2 2 1 1 BC BA 22 22 2. 2 2 2
所以 AE BD (BC 1 BA) BA BC
答案:2
方法二:以点B为原点,以 BC， BA的方向为x轴,y轴的正方
AE BD =
.
【解题指南】(1)由a∥b利用向量共线的坐标表示求x 的值.再利用向量模的坐标公式求|a+b|的模.
(2)方法一:用 BA, BC 分别表示向量 AE, BD， 用数量积的定
义计算 AE BD.方法二:坐标运算.首先要建立坐标系,确 定各关键点的坐标,再求得数量积 AE BD.
且cosθ≠-1,θ为钝角;cosθ>0且cosθ≠1,θ为锐角.
的夹角为锐角.
【解题指南】(1)先求出a+b,(a+b)⊥b⇒(a+b)·b=0,建 立关于m的方程求解.
(2)由于两个非零向量a,b的夹角θ满足0°≤θ≤180°,
所以用cosθ= a b 来判断,可将θ分五种情况:cosθ=1,
| a || b |
θ=0°;cosθ=0,θ=90°;cosθ=-1,θ=180°;cosθ<0
向量垂直的坐标表示:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b
x1x2+y1y2=0 ⇔__________. ⇓
两向量夹角的坐标表示:设a,b都是非零向量,a=(x1,y1),
x1x 2 y1 y 2
2 2 2 2 x y x y 1 1 2 2 b=(x2,y2),θ 是a与b的夹角,则cosθ =______________
2.向量有几种表示方法?由于表示方法的不同,计算数 量积的方法有什么不同?
提示:向量有几何表示法、代数表示法和坐标表示法三
种方法.几何表示法、代数表示法表示向量时,用数量 积的定义计算数量积,坐标表示法表示向量时,用数量
积的坐标运算求数量积.
3.已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),求|a+b|时可用哪些方法? 提示:方法一:可先求a+b的坐标,再求|a+b|;方法二:
以由坐标表示cosθ =
x y
2 1
2 1
x y
2 2
2 2
直接求出cosθ .
由三角函数值cosθ 求角θ 时,应注意角θ 的取值范围是
0≤θ ≤π .
(2)由于0≤θ ≤π ,利用cosθ =
ab 来判断角θ 时,要 | a || b |
注意cosθ <0有两种情况:一是θ 是钝角,二是θ =π ;
【解析】(1)选B.因为a=(x,1),b=(1,-2),且a∥b,
所以-2x-1×1=0,解得x=- 1 .
2 1 1 所以a+b= ( ,1) 1, 2 ( , 1)， 2 2 1 2 5 2 |a+b|= ( ) 1 . 2 2
(2)方法一:因为四边形ABCD是正方形, 所以 BD BA BC， BA BC 0，
|a | 4 3 5,|b |
2 2 2 1 2 5， 2
所以cosθ= a b 2 2 5 .
| a || b | 5 5 25
【互动探究】 1.向量数量积的坐标公式适用于任何两个向量吗? 提示:适用.无论是零向量,还是非零向量,均可使用向 量数量积的坐标公式.
2.若向量a的起点与终点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
x 2 x1 y2 y1 则|a|=__________________.
2 2
主题3:平面向量垂直与夹角余弦值的坐标表示 1.设a=(x1,y1),b=(x2,y2),若a⊥b,则如何寻找x1,y1,
x2,y2之间的关系?
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【自主预习】 主题1:平面向量数量积的坐标表示 已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2).据此回答下列 问题: (1)若i,j是两个互相垂直且分别与x轴,y轴的正向同向
的单位向量,则a,b如何用i,j表示?
提示:a=x1i+y1j,b=x2i+y2j.
主题2:平面向量模的坐标表示 1.若a=(x,y),怎样利用平面向量数量积的坐标表示|a|?
提示:由数量积的定义及性质即可.
2.若已知向量a的起点和终点的坐标,则|a|如何表示? 提示:可先求出a的坐标然后再求|a|.
总结以上探究,试着写出向量模的坐标表示: 1.若a=(x,y),则|a|= x 2 y 2 .
可利用|a+b|2=a2+2a·b+b2求解.
4.对任意的向量a与b,向量夹角的坐标公式及垂直的坐 标公式都成立吗?
提示:不一定.当a=(0,0)时,|a|=0,此时,cosθ=
x1x 2 y1 y 2 x y
2 1 2 1
x y
2 2
2 2பைடு நூலகம்
无意义,但夹角为0°;同时,a·b=
x1x2+y1y2=0,但向量a与b不垂直,而是a∥b.
提示:由a⊥b得a·b=0.从而得到关系.
2.设a·b都是非零向量,a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ 是a与 b的夹角,那么cosθ 如何用坐标表示?
ab 提示:由cosθ = ,再将模及数量积分别用坐标表示 | a || b |
即可.
结合以上探究,试着写出向量垂直与向量夹角的余弦的 坐标表示
cosθ >0也有两种情况:一是θ 为锐角,二是θ =0.
【题型探究】
类型一:平面向量数量积与模的坐标运算
【典例1】(1)(2016·石家庄高一检测)设x∈R,向量 a=(x,1),b=(1,-2),且a∥b,则|a+b|= ( A. 5 B. 5
2
) D.5
C.2 5
(2)已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则
5.若A(4,-4),B(1,3),则| AB |=
.
【解析】AB =(-3,7),则 AB 32 7 2 58.
高中数学 第二章 平面向量 2.4 平面向量的数量积 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.已知=(21,21)，AC =(-2,y),若⊥，则y 的值为( ) A.21- B.-2 C.21D.2解析：∵AB ⊥，∴21·(-2)+21·y=0,解得y=2.答案：D2.向量｜a ｜=9,｜b ｜=12,则｜a +b ｜的最大值和最小值分别为___________________. 解析：由||a |-|b ||≤|a +b |≤|a |+|b |可得结果. 答案：21和33.(2006高考天津卷，理12)设向量a 与b 的夹角为θ，且a =(3,3),2b -a =(-1,1)，则cos θ=____.解析：设b =(x,y)，则2b -a =(2x,2y)-(3,3)=(-1,1)， ∴⎩⎨⎧=--=-132132y x ⇒⎩⎨⎧==.2,1y x ∴b =(1,2). ∴cos θ=101035233213||||=⨯⨯+⨯=∙b a b a . 答案：10103 4.已知向量a 与b 同向，b =(1,2),a ·b =10. (1)求向量a 的坐标；(2)若c =(2,-1)，求(b ·c )a .解：(1)∵向量a 与b 同向，b =(1,2),∴a =λb =(λ,2λ).又∵a ·b =10， ∴有λ+4λ=10.解得λ=2＞0.符合向量a 与b 同向的条件. ∴a =(2,4).(2)∵b ·c =1×2+2×(-1)=0, ∴(b ·c )a =0.10分钟训练(强化类训练，可用于课中) 1.已知平面上直线l 的方向向量e=(53,54-)，点O(0,0)和A(1,-2)在l 上的射影分别是O 1、A 1，则11A O =λe ，其中λ等于( ) A.511 B.511- C.2 D.-2 解析：方法一：由向量在已知向量上的射影的定义知λ=||cos 〈e ，〉=5·5)2,1()53,54(-∙-=54--56=-2.方法二：利用数形结合的思想，作图可得.令向量e 过原点,故11A O 与e 方向相反.排除A 、C ，检验B 、D 可知D 正确.答案：D2.(2006高考江苏卷，理6)已知两点M(-2,0)、N(2,0)，点P 为坐标平面内的动点，满足｜｜·｜｜+·=0，则动点P(x,y)的轨迹方程为( )A.y 2=8x B.y 2=-8x C.y 2=4x D.y 2=-4x 解析：=(4,0),=(x-2,y)⇒·=4(x-2). 由已知有22)2(4y x +++4(x+2)=0，整理得y 2=-8x. 答案：B3.A 、B 、C 、D 四点的坐标依次是(-1，0)、(0，2)、(4，3)、(3，1)，则四边形ABCD 为( ) A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.平行四边形 解析：∵=(1,2),=(1,2),∴=.又线段AB 与线段DC 无公共点， ∴AB∥DC 且|AB|=|DC|.∴四边形ABCD 为平行四边形.又|AB|=5，|BC|=17，∴|AB|≠|DC|.∴平行四边形ABCD 不是菱形也不是正方形. 又·=4+2=6≠0，∴AB 与BC 不垂直.∴平行四边形ABCD 不是矩形. 答案：D4.已知｜a ｜=132,b =(-2,3)且a ⊥b ，则a 的坐标为_______________________. 解析：设a =(x,y)，则x 2+y 2=52.由a ⊥b 得-2x+3y=0. 由以上两个条件得⎩⎨⎧==,4,6y x ⎩⎨⎧-=-=.4,6y x答案：(6，4)或(-6，-4)5.已知A 、B 、C 、D 四点的坐标分别为A(1,0)、B(4,3)、C(2,4)、D(m,n).当m 、n 满足什么条件时，四边形ABCD 分别是平行四边形、菱形、矩形、正方形、梯形(A 、B 、C 、D 按逆时针方向排列)?解：由条件知AB =(3,3),BC =(-2,1),AD=(m-1,n),DC =(2-m,4-n).(1)若四边形ABCD 为平行四边形，则=，∴(3,3)=(2-m,4-n),解得m=-1,n=1. ∴当m=-1,n=1时,四边形ABCD 为平行四边形. (2)当m=-1,n=1时，AB =(3,3),AD =(-2,1).则|AB |=23,|AD |=5,|AB |≠|AD |.因此，使四边形ABCD 为菱形的m 、n 不存在. (3)当m=-1,n=1时，·=(3,3)·(-2,1)=-3≠0，即AB 、CD 不垂直.因此使四边形ABCD 为距形的m 、n 不存在.(4)由(2)、(3)知，使四边形ABCD 为正方形的m 、n 不存在.(5)若四边形ABCD 为梯形，则DC =λ或=λBC ，其中λ为实数，且λ＞0,λ≠1. 所以⎩⎨⎧=-=-λλ34,32n m (λ＞0,λ≠1)或⎩⎨⎧=-=-λλn m ,21(λ＞0,λ≠1).整理得m 、n 的取值条件为n=m+2(m ＜2,m≠-1)或n=221m-(m ＜1,m≠-1). 30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.若向量b 与向量a =(1,-2)的夹角是180°，且｜b ｜=53，则b 等于( ) A.(-3，6) B.(3，-6) C.(6，-3) D.(-6，3) 解析：方法一：设b =λ(-1,2)，且λ＞0，有(-λ)2+(2λ)2=(53)2⇒b =(-3，6).方法二：由题意可知，向量a ,b 共线且方向相反.故可由方向相反排除B ，C ；由共线可知b =-3a . 答案：A2.已知平面向量a =(3，1)，b =(x ，-3)，且a ⊥b ，则x 等于( ) A.3 B.1 C.-1 D.-3 解析：由3x+1×(-3)=0,得x=1. 答案：B3.已知m =(1，0)，n =(1，1)，且m +k n 恰好与m 垂直，则实数k 的值为( ) A.1 B.-1 C.1或-1 D.以上都不对 解析：m +k n =(1，0)+k(1，1)=(1+k ，k)，∵m +k n 与m 垂直，∴(m +k n )·m =0，即(1+k ，k)·(1，0)=0. ∴(1+k)×1+k×0=0， 得k=-1. 答案：B4.设m 、n 是两个非零向量，且m =(x 1，y 1)，n =(x 2，y 2)，则以下等式中与m ⊥n 等价的个数有( )①m ·n =0 ②x 1x 2=-y 1y 2 ③｜m +n ｜=｜m -n ｜ ④｜m +B ｜=22n m +A.1B.2C.3D.4 解析：由两非零向量垂直的条件可知①②正确，由模的计算公式与向量垂直的条件可知③④也正确. 答案：D5.(2006高考湖南卷，理5)已知｜a ｜=2｜b ｜≠0,且关于x 的方程x 2+｜a ｜x+a ·b =0有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是( ) A.［0,6π］ B.［3π,π］ C.［3π,32π］ D.［6π,π］解析：方程x 2+|a |x+a ·b =0有实根可推出|a |2-4a ·b ≥0.设a 与b 的夹角为θ，则cos θ=2||21||||a b a b a b a ∙=∙≤21， ∴θ∈［3π,π］.答案：B6.已知向量a 和b 的夹角为120°，且｜a ｜=2，｜b ｜=5，则(2a -b )·a =________________. 解析：(2a -b )·a =2a 2-b ·a =2×22-5×2×cos120°=8+5×2×21=13. 答案：137.在△ABC 中，∠A=90°，=(k,1),AC =(2,3)，则k 的值是___________________. 解析：∵∠A=90°，∴⊥.∴·=2k+3=0.∴k=-23. 答案：-23 8.设两向量e 1、e 2满足｜e 1｜=2，｜e 2｜=1，e 1、e 2的夹角为60°，若向量2t e 1+7e 2与向量e 1+t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围. 解：∵21e =4，22e =1，e 1·e 2=2×1×cos60°， ∴(2t e 1+7e 2)·(e 1+t e 2)=2t 21e +(2t 2+7)e 1·e 2+7t 22e =2t 2+15t+7.∴2t 2+15t+7＜0.∴-7＜t ＜21-. 设2t e 1+7e 2=λ(e 1+t e 2)(λ＜0)， 则2t=λ，且7=t λ，∴2t 2=7. ∴t=214-，λ=14-.∴t=214-时， 2t e 1+7e 2与e 1+t e 2的夹角为π，故t 的取值范围是(-7，214-)∪(214-，21-). 9.平面内有向量OA =(1,7),OB =(5,1),OP =(2,1)，点X 为直线OP 上的一动点. (1)当XA ·XB 取最小值时，求OX 的坐标；(2)当点X 满足(1)的条件和结论时，求cos∠AXB 的值.解：(1)设OX =(x,y)，因为点X 在直线OP 上，所以向量OX 与共线. 又OP =(2,1)，所以x·1-y·2=0,x=2y.所以OX =(2y,y).又OX -=且=(1,7)，所以=(1-2y,7-y). 同理，OX -==(5-2y,1-y).于是有·=(1-2y)(5-2y)+(7-y)(1-y)=5(y-2)2-8.所以当y=2时，·=5(y-2)2-8有最小值-8，此时OX =(4,2).(2)当OX =(4,2)，即y=2时，有XA =(-3,5),XB =(1,-1),|XA |=34,|XB |=2,·=-3×1+5×(-1)=-8.所以||||XB XA 171742348-=⨯-. 10.如图2-4-3所示，以原点和A(5，2)为顶点作等腰直角三角形ABC ，使∠B=90°，求点B 和向量AB 的坐标.图2-4-3解：设B 点坐标(x ，y)，则OB =(x ，y)，=(x-5，y-2), ∵OB ⊥AB ,∴x(x -5)+y(y-2)=0,即x 2+y 2-5x-2y=0.又∵||=||，∴x 2+y 2=(x-5)2+(y-2)2，即10x+4y=29.由⎩⎨⎧=+=--+2941002522y x y x y x ⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==23,2711y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.27,2322y x∴B 点坐标为(27，-23)或(23，27)，AB =(-23，-27)或(-27，23).11.平面内三点A 、B 、C 在一条直线上，=(-2,m)，=(n,1),=(5,-1),且⊥，求实数m 、n 的值.解析：因为A 、B 、C 三点共线，所以=λ.因为-==(7,-1-m)，-==(n+2,1-m), 所以(7,-1-m)=λ(n+2,1-m),即⎩⎨⎧-=++=).1(1),2(7m m n λλ所以mn-5m+n+9=0. ① 由OA ·OB =0，得m-2n=0. ② 由①②得m=6,n=3或m=3,n=23. 快乐时光偶像与起床小明总是睡懒觉，有一天，小明妈妈批评他说：“你看隔壁小华每天天还没亮就起床了，你就不能早起一点？”小明理直气壮地回答：“妈妈！我跟他不一样，人家小华崇拜的偶像是黎明！我崇拜的偶像是作家卧龙生.”。
高中数学第二章平面向量2.4平面向量的数量积2.4.2平面向量数量积的坐标表示模夹角导学案无答案新人
12.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角学习目标：1.掌握平面向量数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；2.掌握平面向量的模的坐标公式以及平面内两点间的距离公式；3.掌握两个平面向量的夹角的坐标公式；4.能用平面向量数量积的坐标公式判断两个平面向量的垂直关系； 学习重点：平面向量数量积及运算规律. 平面向量数量积的应用 预习案：回忆上节课所学知识思考问题1 ： 什么是与的数量积（内积）？与的数量积的公式中a 、b 、θ各是什么意思？θ＝0时有什么重要结论？阅读课本P 106—107思考问题2： 两个非零向量a ＝(x 1,x 2), b ＝(x 2,y 2),怎样用a 与b 的坐标表示数量积a ·b 呢？问题3： ＝(x ,y )，如何计算向量的模||呢？问题4：A (x 1,x 2),B (x 2,y 2)，如何计算向量AB 的模，也就是两点A 、B 间的距离呢？问题5 已知、都是非零向量，＝(x 1,y 1), ＝(x 2,y 2),如何判定⊥或计算与的夹角＜,＞呢？问题6 已知a 、b 都是非零向量，a ＝(x 1,y 1), b ＝(x 2,y 2),如何判定a ∥b 或计算a 与b 的夹角＜a ,b ＞呢？探究案例题1、已知(1,2),(3,2)a b ==-，求a 、·、cos a b <>、的值。
例题2、在△ABC 中，＝(2,3)，＝(1,k )，且△ABC 的一个内角为直角，求k 值。
例题3、已知，(1,2),(3,2)a b ==-，当k 为何值时，（1）3ka b a b +-与垂直？（2）3ka b a b +-与平行吗？平行时它们是同向还是反向？本堂小结：1、两个非零向量＝(x 1,x 2), ＝(x 2,y 2)的数量积·＝_______________或_____________.2、两个非零向量＝(x 1,x 2), ＝(x 2,y 2)的夹角的余弦值cos a b <>、＝____________或_____________.3、两个非零向量＝(x 1,x 2), ＝(x 2,y 2)垂直，则_____________或_____________.4、两个非零向量＝(x 1,x 2), ＝(x 2,y 2)平行，则_____________或______________. 当堂检测：1、已知()()a=2,1,b=3a b λ⊥，且则λ＝__________。
高中数学 第二章 平面向量 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角教案 新人教A版必修4(
内蒙古开鲁县高中数学第二章平面向量2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角教案新人教A版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（内蒙古开鲁县高中数学第二章平面向量2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角教案新人教A版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为内蒙古开鲁县高中数学第二章平面向量2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角教案新人教A版必修4的全部内容。
2.4。
2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角教学目标知识目标（学习目标）1．掌握平面向量数量积的坐标表示；2．能利用平面向量数量积解决有关长度、角度的问题.能力目标渗透数形结合的数学思想方法，培养学生转化问题的能力;借助物理背景,感知数学问题，探究知识的来龙去脉；培养学生转化问题的能力.情感态度价值观培养对现实世界中的数学现象的好奇心,学习从数学角度发现和提出问题;树立学科之间相互联系、相互促进的辩证唯物主义观点。
高考链接（高考考点）本节是高考向量考点的重点,应用教学重点向量的数量积的坐标表示、模、夹角教学难点求向量的模与夹角教学方法与教学准备学生参与为主，讲练结合多媒体，三角板教学设计教学内容教学策略学生活动和效果预测一、复习回顾1．平面向量的数量积的物理背景及几何意义数量积的几何意义:数量积a b等于a的长度｜a｜与b在a提出问题，的方向上的投影｜b |c os 的乘积. 2． 平面向量数量积的运算律。
(1)ab = b a ；（2)（a ）b =（ a b ）=a（b ）；（3）(a +b ）c =ac +b c3．两个向量的数量积的性质：1)θcos ||a e a a e =⋅=⋅ 2）0=⋅⇔⊥b a b a3）当a 与b 同向时,a ·b =｜a |·｜b ｜;当a 与b 反向时,a ·b =—|a ｜·｜b ｜。
高中数学第二章平面向量2.4平面向量的数量积2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
设 Q(a，b)，因为P→Q＝B→A，③
所以(a－1，b)＝(－1，－1)，所以ba＝＝－0，1. …………………………………11 分
B→Q·A→Q＝(0，－2)·(1，－1)＝2. …………………………………………12 分
12/9/2021
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[规范与警示] 1.通过利用点在直线上消元，在①处用配方法证明P→A·P→B＞0 是解 答第一问的关键；解题时，易认为 cos∠APB＞0，则∠APB 恒为锐角，漏掉②处 方程无解说明∠APB≠0，导致失分；若忽视由四边形 ABPQ 为菱形，则无法由 向量相等、相等向量的几何意义推出③处|A→B|＝|B→P|，P→Q＝B→A，是又一易失分点． 2．(1)解答向量坐标运算问题时，要注意函数、方程有关知识的应用． (2)在解答向量问题时，恰当利用向量及其运算的几何意义可以达到建立向量模型 解题的目的．
1．若向量 b 与向量 a＝(1，－2)的夹角为 180°，且|b|＝3 5，则 b＝( )
A．(－3,6)
B．(3，－6)
C．(6，－3)
D．(－6,3)
解析：设向量 b＝(x，y)，因为 a＝(1，－2)，
所以|a|＝
5，cos 180°＝|aa|·|bb|＝
x－2y 5×3
5＝－1，
所以 x－2y＝－15①，又|b|＝ x2＋y2＝3 5，
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3．已知△ABC 中，A(2,4)，B(－1，－2)，C(4,3)，BC 边上的高为 AD. (1)求证：AB⊥AC； (2)求点 D 和向量A→D的坐标； (3)设∠ABC＝θ，求 cos θ. 解析：(1)A→B＝(－1，－2)－(2,4)＝(－3，－6)， A→C＝(4,3)－(2,4)＝(2，－1)． ∵A→B·A→C＝－3×2＋(－6)×(－1)＝0，∴AB⊥AC.
高中数学 第二章 平面向量 2.4 平面向量的数量积 2.4.
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角互动课堂疏导引导1.向量内积的坐标运算建立正交基底{e 1,e 2},已知a =(a 1,a 2),b =(b 1,b 2),则a ·b =(a 1e 1+a 2e 2)(b 1e 1+b 2e 2)=a 1b 1e 12+(a 1b 2+a 2b 1)·e 1·e 2+a 2b 2e 22.因为e 1·e 1=e 2·e 2=1,e 1·e 2=e 2·e 1=0,故a ·b =a 1b 1+a 2b 2. 疑难疏引(1)两个向量的数量积等于它们对应的坐标的乘积的和,并且此式是在正交基底{e 1,e 2}下实现的.(2)引入坐标后,实现了向量的数量积和向量坐标间运算的转化.2.用向量的坐标表示两个向量垂直的条件,设a =(a 1,a 2),b =(b 1,b 2),如果a ⊥b ,则a 1b 1+a 2b 2=0,反之,若a 1b 1+a 2b 2=0,则a ⊥b .当a ⊥b 时,若b 1b 2≠0,则向量(a 1,a 2)与(-b 2,b 1)平行,这是因为a ⊥b ,a 1b 1+a 2b 2=0,即a 1b 1=-a 2b 2,1221b ab a =-.两向量平行的条件是相应坐标成比例,所以(a 1,a 2)与(-b 2,b 1)平行,特别地,向量k(-b 2,b 1)与向量(b 1,b 2)垂直,k 为任意实数.例如向量(3,4)与向量(-4,3)、(-8,6)、(12,-9)、…都垂直. 疑难疏引设a =(a 1,a 2),b =(b 1,b 2),a 1b 1+a 2b 2=0⇒a ⊥b 且a ⊥b ⇒a 1b 1+a 2b 2=0. 3.向量的长度、距离和夹角公式(1)已知a =(a 1,a 2),则|a |2=a 2=a 12+a 22,即|a |=2221a a +.语言描述为向量的长度等于它的坐标平方和的算术平方根.若A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则AB =(x 2-x 1,y 2-y 1),|AB |=212212)()(y y x x -+-. 此式可视为A 、B 两点的距离公式.(2)设向量a =(a 1,a 2),b =(b 1,b 2),故cos 〈a ,b 〉=222122212211||||b b a a b a b a b a ba +++=•.特别提示:该处夹角公式是非零向量的夹角公式. 活学巧用1.设a =(4,-3),b =(2,1),若a +t b 与b 的夹角为45°,求实数t 的值. 解析：利用a ·b =|a |·|b |·cosθ建立方程,解方程即可. a +t b =(4,-3)+t(2,1)=(4+2t,t-3), (a +t b )·b =(4+2t,t-3)·(2,1)=5t+5, |a +t b |=20)1(52++t ,由(a +t b )·b =|a +t b |·|b |·cos45°得5t+5=4)1(2252++t , 即t 2+2t-3=0,∴t=-3或t=1.经检验t=-3不合题意,舍去,只取t=1.2.已知点A(2,3),若把向量OA 绕原点O 按逆时针旋转90°得向量OB ,求点B 的坐标.解析：要求点B 的坐标,可设为B(x,y),利用⊥,| |=||列方程解决之. 设点B 坐标为(x,y),因为⊥,| |=||,所以⎩⎨⎧=+=+.13,03222y x y x 解得⎩⎨⎧=-=2,3y x 或⎩⎨⎧-==2,3y x (舍去). 所以B 点坐标为(-3,2).3.已知a =(2,32-4),b =(1,1),求a 与b 的夹角θ. 解析：向量坐标已知,可利用夹角坐标公式解决. a ·b =(2,32-4)·(1,1)=2+32-4=32-2,|a |·|b |=).13(42)32(1611)432(22222-=•-=+•-+ ∴cosθ=21)13(4232=--. 又0°≤θ≤180°,∴θ=60°.4.已知a +b +c =0,|a |=3,|b |=5,|c |=7,求〈a ,b 〉的值. 解析：∵a +b +c =0,∴a +b =-c .∴|a +b |=|c |.∴(a +b )2=c 2,即a 2+2a ·b +b 2=c 2.∴a ·b =2152925492||||||2222222=--=--=--b a c b a c . ∴cos〈a ,b 〉=215||||=•b a b a ÷(3×5)= 21.∴〈a ,b 〉=3π.。
2019_2020学年高中数学第二章平面向量2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课件新人教A版必修4
－1)，则|a＋b|＝( )
A．1
B． 5
C．5
D．25
【答案】C
2．(2019 年安徽马鞍山模拟)已知向量 a＝(1，m)，b＝(3，
3)，若 a·b＝6，则实数 m＝( )
A．0
B． 3
C．3
D．0 或 3
【答案】B
3．已知a＝(－2,1)，b＝(x，－2)且a⊥b，则x＝________.
与向量模、夹角有关的问题
【例 2】 (2018 年辽宁沈阳二模)已知向量 a＝(1,3)，a＋b
＝(－2,6)，向量 a 与 b 的夹角为 θ，则 cos θ＝( )
A．
5 5
B．
3 3
C．12
D．
2 2
【解题探究】根据a和a＋b的坐标即可求出b的坐标，即可
求出a·b，|a|，|b|，根据向量夹角的余弦公式即可求出cos θ的
(2018 年福建三明模拟)已知平面向量 a＝(1,1)，b
＝(x，－3)且 a⊥b，则|2a＋b|＝( )
A． 26
B．3 2
C．3 5
D． 17
【答案】A
【解析】∵平面向量 a＝(1,1)，b＝(x，－3)且 a⊥b，∴a·b
＝x－3＝0，解得 x＝3.∴2a＋b＝(5，－1)，|2a＋b|＝ 25＋1＝ 26.故选 A．
【答案】－1 4 ． 若 a ＝ (3,0) ， b ＝ ( － 5 ， － 5) ， 则 a 与 b 的 夹 角 为 ________．
【答案】34π
数量积的坐标运算
【例1】 已知a＝(1,0)，b＝(2,1)． (1)求|a＋3b|； (2)若(a－kb)·(a＋3b)＝－10，求实数k的值． 【解题探究】(1)先求a＋3b的坐标，再由模长公式求模； (2)同理可得a－kb＝(1－2k，－k)，由数量积列方程解k.
2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
探究点二
平面向量模的坐标形式及两点间的距离公式
问题 1 若 a＝(x，y)，试用 x，y 表示|a|.
|a|＝ x ＋y .
2
2
问题 2 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)为平面内任意两 点，试推导平面内两点间的距离公式．
答 → ∵AB＝ (x2，y2)－(x1，y1)
＝(x2－x1，y2－y1)， → ∴|AB|＝ x2－x12＋y2－y12.
；
3 π 4 例如，(1)若 a＝(3,0)，b＝(－5,5)，则 a 与 b 的夹角为_____．
直角 (2)已知 A(1,2)，B(2,3)，C(－2,5)，则△ABC 的形状是_____
三角形．
【典型例题】 例1 已知 a 与 b 同向，b＝(1,2)，a· b＝10. (1)求 a 的坐标；(2)若 c＝(2，－1)，求 a· (b· c)及(a· b) · c.
3．平面向量的模
2 2 x ＋ y 1 1 . (1)向量模公式：设 a＝(x1，y1)，则|a|＝__________
(2)两点间距离公式：若 A(x1，y1)，B(x2，y2)， → x2－x12＋y2－y12 则|AB|＝_________________________. 4．向量的夹角公式 设两非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a 与 b 的夹角为 θ，
探究点三
平面向量夹角的坐标表示
设 a，b 都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ 是 a 与
x1x2＋y1y2 a· b 2 2 2 2 x ＋ y · x ＋ y cos θ＝ ＝ 1 1 2 2. |a||b|
b 的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得：
高中数学必修四 第二章平面向量 2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【做一做1】 向量m=(1,0),n=(2,-5),则m·n等于 ( )
A.-2 B.0 C.2 D.7
解析:m·n=1×2+0×(-5)=2.
答案:C
【做一做 2】 已知������������ = (3, −4), 则|������������|等于( )
A.3
B.4
C. 5D. 5
解析: |������������| = 32 + (-4)2 = 5.
答案:D 【做一做3】 若向量a=(4,2),b=(6,m),且a⊥b,则m的值是( )
A.12 B.3 C.-3 D.-12
解析:∵a⊥b,∴4×6+2m=0,解得m=-12.
答案:D
【做一做 4】 已知 a=(3,0),b=(-5,5),则 a 与 b 的夹角
坐标表示
数量积 a·b=x1x2+y1y2
|a|= ������12 + ������12或|a|2= ������12 + ������12 模
设 P1(x1,y1),P2(x2,y2),则|������1������2| =
(������2-������1)2 + (������2-������1)2
正解:∵a与b的夹角θ为锐角, ∴cos θ>0,且cos θ≠1,即a·b>0,且a与b方向不同,
即
a·b=1-2λ>0,且
a≠mb(m>0),解得
λ∈(-∞,-2)∪
-2,
1 2
, 故选A.
答案:A 反思对非零向量a与b,设其夹角为θ,则θ为锐角⇔cos θ>0,且cos θ≠1⇔a·b>0,且a≠mb(m>0);θ为钝角⇔cos θ<0,且cos θ≠-1⇔a·b<0, 且a≠mb(m<0);θ为直角⇔cos θ=0⇔a·b=0.
高一数学《2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角》
2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角教学目的：1.掌握平面向量数量积运算规律；2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明向量垂直，以及能解决一些简单问题. 教学重点：平面向量数量积及运算规律.教学难点：平面向量数量积的应用教学过程：一、复习引入：1．平面向量数量积（内积）的定义：2．两个向量的数量积的性质： 设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量. 1︒ e ⋅a = a ⋅e =|a |cos θ； 2︒ a ⊥b ⇔ a ⋅b = 03︒ a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |； a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |. 特别的a ⋅a = |a |2或a a a ⋅=|| 4︒cos θ =||||b a b a ⋅ ； 5︒|a ⋅b | ≤ |a ||b | 3．练习： （1）已知|a |=1，|b |=2，且(a -b )与a 垂直，则a 与b 的夹角是（ ）A.60° B .30° C.135° D.４５°（2）已知|a |=2，|b |=1，a 与b 之间的夹角为3π，那么向量m =a -4b 的模为（ ） A.2 B .23 C.6 D.12二、讲解新课：探究：已知两个非零向量),(11y x a =，),(22y x b =，怎样用a 和b 的坐标表示b a ⋅？.1、平面两向量数量积的坐标表示两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即b a ⋅2121y y x x +=2. 平面内两点间的距离公式（1）设),(y x a =，则222||y x a +=或22||y x a +=.（2）如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ， 那么221221)()(||y y x x a -+-=(平面内两点间的距离公式)3． 向量垂直的判定设),(11y x a =，),(22y x b =，则b a ⊥ ⇔02121=+y y x x4． 两向量夹角的余弦（πθ≤≤0）co s θ =||||b a b a ⋅⋅222221212121y x y x y y x x +++=二、讲解范例：例1 已知A (1， 2)，B (2， 3)，C (-2， 5)，试判断△ABC 的形状，并给出证明.例2 设a = (5， -7)，b = (-6， -4)，求a ·b 及a 、b 间的夹角θ(精确到1o )分析：为求a 与b 夹角，需先求a ·b 及｜a ｜·｜b ｜，再结合夹角θ的范围确定其值.例3 已知a ＝（１，3），b ＝（3＋１，3－１），则a 与b 的夹角是多少?评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定.三、课堂练习：1、P107面1、2、3题2、已知A (3，2)，B (-1，-1)，若点P (x ，-21)在线段AB 的中垂线上，则x = . 四、小结： 1、b a ⋅2121y y x x +=2、平面内两点间的距离公式 221221)()(||y y x x a -+-=3、向量垂直的判定：设),(11y x a =，),(22y x b =，则b a ⊥ ⇔02121=+y y x x五、课后作业：作业二十四。
第二章 2.4 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
2．4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角1．两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示已知两个非零向量，向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.数量积两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即a·b＝x1x2＋y1y2向量垂直a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0[点睛]记忆口诀：数量积的坐标表示可简记为“对应相乘计算和”．2．与向量的模、夹角相关的三个重要公式(1)向量的模：设a＝(x，y)，则|a|＝x2＋y2.(2)两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2.(3)向量的夹角公式：设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则cos θ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22.平面向量数量积的坐标运算[典例](1)向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝()A．－1B．0C．1 D．2(2)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，AB＝(1，－2)，AD ＝(2,1)，则AD·AC＝()A．5 B．4C．3 D．2[活学活用]已知向量a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10.(1)求向量a的坐标；(2)若c＝(2，－1)，求(b·c)·a.向量的模的问题[典例] (1)设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |＝( )A. 5B.10 C ．2 5D ．10(2)已知点A (1，－2)，若向量AB 与a ＝(2,3)同向，|AB |＝213，则点B 的坐标是________．[活学活用]1．已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，向量b ＝(3，0)，则|2a －b |的最大值为________．2．已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |＝________.向量的夹角和垂直问题[典例] (1)已知a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，(a ＋λb )⊥b ，则实数λ＝________.(2)已知a ＝(2,1)，b ＝(－1，－1)，c ＝a ＋kb ，d ＝a ＋b ，c 与d 的夹角为π4，则实数k 的值为________．[活学活用]已知平面向量a ＝(3,4)，b ＝(9，x )，c ＝(4，y )，且a ∥b ，a ⊥c . (1)求b 与c ；(2)若m ＝2a －b ，n ＝a ＋c ，求向量m ，n 的夹角的大小．求解平面向量的数量积[典例] 已知点A ，B ，C 满足|AB |＝3，|BC |＝4，|CA |＝5，求AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB 的值．[活学活用]如果正方形OABC 的边长为1，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，那么cos ∠DOE 的值为________．层级一 学业水平达标1．已知向量a ＝(0，－23)，b ＝(1，3)，则向量a 在b 方向上的投影为( ) A.3 B ．3 C ．－ 3D ．－32．设x ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，－2)，且a ⊥b ，则|a ＋b |＝( ) A. 5 B.10 C ．2 5D ．103．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－1，k )，a ·(2a －b )＝0，则k ＝( ) A ．－12 B ．－6 C ．6 D ．12 4．a ，b 为平面向量，已知a ＝(4,3)，2a ＋b ＝(3,18)，则a ，b 夹角的余弦值等于( )A ．865B ．－865C ．1665D ．－16655．已知A (－2,1)，B (6，－3)，C (0,5)，则△ABC 的形状是( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形D ．等边三角形6．设向量a ＝(1,2m )，b ＝(m ＋1,1)，c ＝(2，m )．若(a ＋c )⊥b ，则|a|＝________. 7．已知向量a ＝(1，3)，2a ＋b ＝(－1，3)，a 与2a ＋b 的夹角为θ，则θ＝________. 8．已知向量a ＝(3，1)，b 是不平行于x 轴的单位向量，且a·b ＝3，则向量b 的坐标为________．9．已知平面向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )，x ∈R. (1)若a ⊥b ，求x 的值； (2)若a ∥b ，求|a －b |.10．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (1,4)，B (－2,3)，C (2，－1)． (1)求AB ·AC 及|AB ＋AC |；(2)设实数t 满足(AB －t OC )⊥OC ，求t 的值．层级二 应试能力达标1．设向量a ＝(1,0)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，12，则下列结论中正确的是( ) A ．|a |＝|b | B ．a ·b ＝22C ．a －b 与b 垂直D ．a ∥b2．已知向量OA ＝(2,2)，OB ＝(4,1)，在x 轴上有一点P ，使AP ·BP 有最小值，则点P 的坐标是( )A ．(－3,0)B ．(2,0)C ．(3,0)D ．(4,0) 3．若a ＝(x,2)，b ＝(－3,5)，且a 与b 的夹角是钝角，则实数x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，103 B.⎝⎛⎦⎤－∞，103 C.⎝⎛⎭⎫103，＋∞D.⎣⎡⎭⎫103，＋∞4．已知OA ＝(－3,1)，OB ＝(0,5)，且AC ∥OB ，BC ⊥AB (O 为坐标原点)，则点C 的坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫－3，－294 B.⎝⎛⎭⎫－3，294 C.⎝⎛⎭⎫3，294 D.⎝⎛⎭⎫3，－294 5．平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝ma ＋b (m ∈R)，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝________.6．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE ·CB 的值为______；DE ·DC 的最大值为______．7．已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1,2)． (1)若|c |＝25，且c ∥a ，求c 的坐标； (2)若|b |＝52，且a ＋2b 与2a －b 垂直，求a 与b 的夹角θ.8．已知OA＝(4,0)，OB＝(2,23)，OC＝(1－λ)OA＋λOB(λ2≠λ)．(1)求OA·OB及OA在OB上的投影；(2)证明A，B，C三点共线，且当AB＝BC时，求λ的值；(3)求|OC|的最小值．。