交通路径分配

总结1、排版较好，建模思路清晰，过程合理，结论明确。

2、速度和车流量如果用反比例函数，操作过程会更简单点。

3、小标题前的空格最好能保持一致，其他没什么问题。

交通量优化配置的非线性规划模型摘要本文针对两点之间的交通量优化配置问题，利用非线性规划建立了最优化行驶方案的模型，使交通流量达到最优化配置以解决部分由流量不均而导致的交通堵塞问题。

问题一中，将车辆的有效行驶路径定义为向右向下行驶的路径，基于此建立有效路径搜索算法并求解得7条有效路径。

分别为路径一：1->2->3->4->7->0；路径二：1->2->3->6->7->0；路径三：1->2->3->6->10->0；路径四：1->2->5->6->7->0；路径五：1->2->5->6->10->0；路径六：1->2->5->9->10->0；路径七：1->8->9->10->0。

问题二中，假设车子单辆行驶且所有有效路径都被利用，首先建立密度与速度、速度与路段车辆数的基本函数，并由此得到各路段行驶时间关于各路段车辆数的模型。

按优化方案中要求各条路径行驶时间最短的目标，并且以每条路径耗时相等和各节点总流入车辆数与总流出车辆数相等为约束条件，建立非线性规划模型。

问题三中，基于问题二中建立的模型，根据已知的车辆数条件，并对最大速度、最大车辆密度和路段长度进行合理假设代入模型中，并用MATLAB编程求得近似最优分配方案：路径一1981辆；路径二1000辆；路径三611辆；路径四1379辆；路径五819辆；路径六28辆；路径七4182辆。

在上述模型中，仅考虑了路段单位长度车辆数对速度的影响，而忽略了横向路段宽度对通行速度的影响，且实际生活中有效路径往往不会被同时利用。

由此本文又考虑了路段最大车流量，并引入了美国BPR函数，得到路段出行时间关于实际车流量的函数，并以各条路径行驶时间最短为目标，根据用户均衡分配原理，以流量平衡为约束条件，建立一个非线性规划模型，并对路段最大车流量和路段无任何车辆时的行驶时间进行合理假设，运用Lingo软件得到一个近似最优分配方案：路径一2264辆；路径二437辆；路径三357辆；路径四2248辆；路径五325辆；路径六0辆；路径七4369辆。

关键词：非线性规划模型车流量车辆密度用户均衡分配MATLAB Lingo一、问题重述某区域道路网络如图1所示，每条道路等级完全相同，某时间段内，有N 辆车要从节点1出发，目的地是节点0（假设该时间段内，路网中没有其它车辆）。

在该时间段内，道路截面经过的车辆数越多，车辆在该路段行驶的速度就越慢。

（1）确定有效的行驶路径及其算法；（2）确定每条路径上的通过的车辆数，使N 辆车从节点1到节点0的总行驶时间最小；（3）N=10000，请给出具体的计算结果。

注：横向路段长度是纵向路段长度的2倍，如节点1到节点2的长度为2，节点2到节点5的长度为1。

16599328074图1 某区域道路网络图二、模型的假设（1）在每个路段上车辆都为单辆路道行驶，无并排车辆，且不允许超车； （2） 源点1是以最大流量向两条路发车； （3）假设每一条有效行驶路径上都有车通过；（4）假设车辆的最大行驶速度为120km/h ，纵向路段长为200km ，每公里最大车辆密度为200辆/km ；（5）假设速度v 是密度 的线性函数。

三、符号说明a，b：路网中节点的标号（其中0,1,2,10和取值都为，且节点b为节点a的a b后继节点）a：第a个节点的横坐标xa：第a个节点的众坐标yb：第b个节点的横坐标xb：第b个节点的众坐标ys x：第b个节点的横坐标与第a个节点的横坐标之差()s y：第b个节点的众坐标与第a个节点的众坐标之差()i：第i个路段j：第j条有效行驶路径T：路段i的自由流出行时间，即当路段无任何车辆时的行驶时间（通常为已知，i可根据问题合理假设）；N：从节点1出发的车辆数；t：车辆在路段i上的行驶时间；il：路段i的长度；iL：纵向路段的长度；v：车辆在路段i上的行驶速度；i：路段i的密度；in：路段i的车流量；ik：路段i的交通通行能力，即路段的最大交通流量（通常为已知，可根据问题i合理假设）；I：所有路段的集合；j f ：路径j 的车流量；J ：从起讫点间所有有效路径的集合；j i ,δ：0-1开关变量，当路段i 为路径j 的一部分时1,=j i δ，否则0,=j i δ；j H ：车辆在路径j 上的行驶时间；H ：起讫点间最短路径的行驶时间；i K ：路段i 的车辆比例系数四、模型的分析与建立4.1问题一 4.1.1 问题的分析问题所要解决的是定义有效行驶路径，并给出相应的算法确定有效的行驶路径。

在一个较大的网络中，每一个OD 对之间都有很多的行驶路径，但是在实际网络配流中，有很多路径是明显不会被出行者考虑的，出行者只在一部分“合理”路径（有效行驶路径）中进行选择。

因此，在分配前必须先确定每一对OD 之间的有效行驶路径。

本文认为有效行驶路径应为无重复、折回的行驶路径，即行驶方向始终朝向目的地，即向右向下行驶的路径。

要找到有效行驶路径，可以利用图建立直角坐标系，以节点1为原点，向右为x 轴的正方向，向下为y 轴的正方向，这样路网中的每一个节点都可以用相应的坐标来表示。

因此，有效行驶路径通俗的解释是：从路段的起始节点走到终止节点后，终止节点离起点更远，同时离终点更近。

[3]如某一路段(,)a b 是否位于有效路径上可以用()s x 和()s y 来判断，当满足()0s x >（其中()x x s x b a =-）或者()0s y >（其中()y y s y b a =-）时，路段(,)a b 即位于有效行驶路径上。

综上，如果OD 对(1,0)之间的路径j 满足以下两个条件，则称路径j 为有效行驶路径：（1） 路径j 上的路段(,)a b 满足()0s x >或者()0s y >； （2） 路径j 是无环简单路径。

4.1.2 有效行驶路径算法步骤根据上述的分析，本文定义的寻找有效行驶路径的算法步骤如下： Step1：建立一个以节点1为原点，向右为x 轴的正方向，向下为y 轴的正方向的直角坐标系；Step2：将路网中的每一个节点按照建立的直角坐标系，在遵循题目中“横向路段长度是纵向路段长度的2倍” 的原则下表示出每一个节点的坐标；Step3：找到节点a 所有的后继节点b ，判断节点a 与节点b 是否满足()0s x >或者()0s y >。

如果满足，则该路段(,)a b 位于有效行驶路径上，如果不满足，则该路段不位于有效行驶路径上；Step4：将所有在有效行驶路径上的路段在路网中标注出来，能够从节点1连通到节点0的路径就是有效行驶路径。

4.1.3 确定有效行驶路径本文以节点5为例，找出所有经过节点5的在有效行驶路径上的路段。

根据上述的算法可得节点5的坐标为(2,1)，节点5 的所有的后继节点有节点2，节点6和节点9，坐标分别为(2,0)、(4,1)和(2,2)。

节点5与节点2的()220s x =-=、()0110s y =-=-<，不满足条件，因此该路段不位于有效路径上；节点5与节点6的()4220s x =-=>、()110s y =-=，满足条件，因此该路段位于有效行驶路径上；节点5与节点9的()220s x =-=，()2110s y =-=>，满足条件，因此该路段也位于有效行驶路径上。

综上，可得出经过各节点的且在有效行驶路径上的路段，如表4.1所示。

表4.1 经过各节点且在有效路径上的路段节点 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 路段n1,n4 n2,n5 n3,n6 n7 n8,n10 n9,n11 n12 n13 n14 n15将表4.1中的路段在路网中标注出来，如图4.1所示。

图4.1 标有路段的路网图根据算法第四步，可以确定从节点1出发到达节点0的所有有效行驶路径，一共有7条，分别为：（1）1->2->3->4->7->0；（2）1->2->3->6->7->0；（3）1->2->3->6->10->0；（4）1->2->5->6->7->0；（5）1->2->5->6->10->0；（6）1->2->5->9->10->0；（7）1->8->9->10->0；4.2问题二4.2.1 问题二的分析在问题一所确定的7条有效行驶路径的基础上，需要对每一条有效行驶路径上行驶的车辆数进行合理地优化配置，使N辆车从节点1到节点0的总行驶时间最小。

根据最优化理论，当系统总的行驶时间最小时，每辆车走7条路径中的任意一条所用去的时间都是相等的，否则车辆必然会选择时间最短的那条路径，从而使那条路径上的车流密度变大，车速下降，走完路程所需的的时间就会相应上升，进而车辆又会选择其它路径，这一过程必定会达到一种动态平衡，此时就可近似认为，走任意一条路径所花的时间是相等的。

问题二的目标是使得N 辆车从节点1到节点0的总行驶时间最小，由于车辆在7条有效行驶路径所花费的时间都是相等的，因此只需要求出每一个路段车辆所花费的时间，然后再计算出车辆在某一条有效路径上花费的时间，将该时间和车辆的总数相乘，即为N 辆车从节点1到节点0的总行驶时间。

因此，目标函数为：j min H N ⨯ (4-1)其中j H 为7条有效路径中的任意一条有效行驶路径车辆所花费的时间，N 为从节点1出发的车辆数。

假设现在是第1N +辆车准备从节点1出发到节点10，前N 辆车所组成交通流的配流结果应该使得对第1N +辆车而言，它在所有的7条路径行使时间应该严格相等。

也就是说第1N +辆车通过第j 条有效行驶路径的时间和前N 辆车通过第j 条有效行驶路径的时间是相等的。

为了求得j H ，就必须先求出第1N +辆车在每个路段i 上的行驶时间。

根据交通流理论可知，对于各路段而言，当车辆密度达到最大值max ρ时，车辆速度为0；当车辆密度趋向于0时，车辆速度达到最大值max v 。

假设i v 与i ρ为线性关系，即格林希尔治模型：1ii max maxv v ρρ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(4-2) 同时本文还引入路径车辆比例系数i K （ii in K l =），（其中i n 表示第i 个路段上的车流量，i l 表示路段i 的长度），并且令其等于每个路段的车流量密度i ρ，即：ii i in K l ρ== (4-3) 由公式(4-2)和公式(4-3)可以求得每个路段的车辆速度i v 与该路段经过的车辆数之间的函数表达式，即：max max (1)ii in v v l ρ=-(4-4)则第1N +辆车通过第i 路段的时间为：2()i i maxi i max max i i l l t v v l n ρρ==- (4-5) 通过公式(4-5)可以求出每个路段车辆行驶所花费的时间，从而求出车辆在每一条有效行驶路径上所花费的时间j H 。