人教A版高中数学高二选修1-1试题 1.4.1-2全称量词与存在量词

选修1-1第一章 1.4 1.4.1、2
一、选择题
1．下列命题中，全称命题的个数为()
①平行四边形的对角线互相平分；②梯形有两边平行；
③存在一个菱形，它的四条边不相等．
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] C
[解析]①②是全称命题，③是特称命题．
2．下列特称命题中真命题的个数是()
①∃x∈R，x≤0；②至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数；③∃x∈{x|x是整数}，x2是整数．
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] D
[解析]①②③都是真命题．
3．以下量词“所有”“任何”“一切”“有的”“有些”“有一个”“至少”中是存在量词的有()
A．2个B．3个
C．4个D．5个
[答案] C
[解析]“有的”“有些”“有一个”“至少”都是存在量词．
4．下列命题：
①至少有一个x使x2＋2x＋1＝0成立
②对任意的x都有x2＋2x＋1＝0成立
③对任意的x都有x2＋2x＋1＝0不成立
④存在x使得x2＋2x＋1＝0成立
其中是全称命题的有()
A．1个B．2个
C．3个D．0个
[答案] B
[解析] ②③含有全称量词，所以是全称命题．
5．下列命题中，真命题是( )
A ．∃m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是偶函数
B ．∃m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是奇函数
C ．∀m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是偶函数
D ．∀m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是奇函数
[答案] A
[解析] 显然当m ＝0时，f (x )＝x 2为偶函数，故选A ．
6．下列命题中，既是真命题又是特称命题的是( )
A ．存在一个角α，使得tan(90°－α)＝tan α
B ．存在实数x 0，使得sin x 0＝π2
C ．对一切α，sin(180°－α)＝sin α
D ．sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β
[答案] A
[解析] ∵α＝45°时，tan(90°－45°)＝tan45°，∴A 为真命题，且为特称命题，故选A ．B 中对∀x
∈R ，有sin x ≤1<π2
；C 、D 都是全称命题． 二、填空题
7．(2015·北京四中质量检测)已知函数f (x )＝x 2＋mx ＋1，若命题“∃x 0>0，f (x 0)<0”为真，则m 的取值范围是__________ ________.
[答案] (－∞，－2)
[解析] 由条件知⎩⎪⎨⎪⎧
－m 2>0，m 2－4>0，
∴m <－2. 8．下列命题中真命题为__________ ________，假命题为__________ ________.
①末位是0的整数，可以被2整除；②角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；③有的实数是无限不循环小数；④有些三角形不是等腰三角形；⑤所有的菱形都是正方形
[答案] ①②③④ ⑤
9．四个命题：①∀x ∈R ，x 2－3x ＋2>0恒成立；②∃x ∈Q ，x 2＝2；③∃x ∈R ，x 2＋1＝0；④∃x ∈R,4x 2>2x －1＋3x 2.其中真命题的个数为__________ ________.
[答案] 0
[解析] x 2－3x ＋2>0，Δ＝(－3)2－4×2>0，∴当x >2或x <1时，x 2－3x ＋2>0才成立，∴①为假
命题．
当且仅当x＝±2时，x2＝2，∴不存在x∈Q，使得x2＝2，∴②为假命题，
对∀x∈R，x2＋1≠0，∴③为假命题，
4x2－(2x－1＋3x2)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，
即当x＝1时，4x2＝2x－1＋3x2成立，
∴④为假命题．
∴①②③④均为假命题．
三、解答题
10.判断下列命题是否为全称命题或特称命题，若是，用符号表示，并判断其真假．
(1)对任意实数α，有sin2α＋cos2α＝1；
(2)存在一条直线，其斜率不存在；
(3)对所有的实数a、b，方程ax＋b＝0都有唯一解；
(4)存在实数x0，使得1
x20－x0＋1
＝2.
[解析](1)是全称命题，用符号表示为“∀α∈R，sin2x＋cos2α＝1”，是真命题．
(2)是特称命题，用符号表示为“∃直线l，l的斜率不存在”，是真命题．
(3)是全称命题，用符号表示为“∀a、b∈R，方程ax＋b＝0都有唯一解”，是假命题．
(4)是特称命题，用符号表示为“∃x0∈R，1
x20－x0＋1
＝2”，是假命题．
一、选择题
1．下列命题为特称命题的是()
A．偶函数的图象关于y轴对称
B．正四棱柱都是平行六面体
C．不相交的两条直线是平行直线
D．存在大于等于3的实数
[答案] D
[解析]选项A，B，C是全称命题，选项D含有存在量词．故选D．2．下列命题是真命题的是()
A．∀x∈R，(x－2)2>0 B．∀x∈Q，x2>0
C ．∃x 0∈Z,3x 0＝812
D ．∃x 0∈R,3x 20－4＝6x 0
[答案] D [解析] A 中当x ＝2时不成立，B 中由于0∈Q ，故B 不正确，C 中满足3x 0＝812的x 0不是整数，故只有D 正确．
3．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( )
A ．锐角三角形的内角是锐角或钝角
B ．至少有一个实数x ，使x 2≤0
C ．两个无理数的和必是无理数
D ．存在一个负数x ，使1x
>2 [答案] B
[解析] A ，C 为全称命题；对于B ，当x ＝0时，x 2＝0≤0，正确；对于D ，显然错误．
4．下列命题中，真命题是( )
A ．∃x 0∈R ，ex 0≤0
B ．∀x ∈R,2x >x 2
C ．a ＋b ＝0的充要条件是a b
＝－1 D ．a >1，b >1是ab >1的充分条件
[答案] D
二、填空题
5．下列特称命题是真命题的序号是__________ ________.
①有些不相似的三角形面积相等；
②存在一实数x 0，使x 20＋x 0＋1<0；
③存在实数a ，使函数y ＝ax ＋b 的值随x 的增大而增大；
④有一个实数的倒数是它本身．
[答案] ①③④
[解析] ①为真命题，只要找出等底等高的两个三角形，面积就相等，但不一定相似；②中对任
意x ∈R ，x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34
>0，所以不存在实数x 0，使x 20＋x 0＋1<0，故②为假命题；③中当实数a 大于0时，结论成立，为真命题；④中如1的倒数是它本身，为真命题，故选①③④.
6．给出下列语句：①所有的偶数都是素数；②有些二次函数的图象不过坐标原点；③|x －1|<2；④对任意的实数x >5，都有x >3.其中是全称命题的是__________ ________.(填序号)
[答案] ①④
[解析] ②是特称命题；③不是命题．
三、解答题
7．指出下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假：
(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x ，y )，都对应一点P ；
(2)存在一个函数，既是偶函数又是奇函数；
(3)每一条线段的长度都能用正有理数表示；
(4)存在一个实数，使等式x 2＋x ＋8＝0成立．
[解析] (1)全称命题，真命题；(2)特称命题，真命题；(3)全称命题，假命题；(4)特称命题，假命题．
8．判断下列命题的真假：
(1)任给x ∈Q ，13x 2＋12
x ＋1是有理数； (2)存在α、β∈R ，sin(α＋β)＝sin α＋sin β；
(3)存在x 、y ∈Z,3x －2y ＝10；
(4)任给a 、b ∈R ，方程ax ＋b ＝0恰有一个解．
[解析] (1)∵x ∈Q ，∴13x 2与12x 均为有理数，从而13x 2＋12
x ＋1是有理数，∴(1)真； (2)当α＝0，β＝π3
时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立， ∴(2)真；
(3)当x ＝4，y ＝1时，3x －2y ＝10，∴(3)真；
(4)当a ＝0，b ＝1时，0x ＋1＝0无解，∴(4)假．。