具有高程抵偿面的任意带高斯投影变形计算
基于某山区铁路抵偿任意带高斯投影坐标系选择的研究
基于某山区铁路抵偿任意带高斯投影坐标系选择的研究摘要：坐标系统的选择是工程测量中的一个基础问题,在铁路建设过程中,涉及从大比例尺地形图的测绘到各专业的勘测、设计、施工放样、运营维护的全过程。
本文基于某山区铁路坐标系统的选择及计算实践,探讨非南北走向且高落差的线路工程中平面坐标系的选择问题。
关键词：山区地形、铁路勘察设计、高斯投影、抵偿任意带中图分类号：[tu198+.1]文献标识码： a 文章编号：某山区铁路位于晋冀两省的交界地区，正线长约130km,东西走向。
线路经过地区地貌可分为中低山区、低山丘陵区、丘陵与平原过渡区、河北平原区。
测区内从西向东在1985国家高程系统下从1450米降至70米左右，起点、终点高程落差约1380米。
测区位于东经113°30′～114°30′,北纬37°05′～37°18′。
本文基于某山区铁路坐标系统的选择及计算实践,探讨非南北走向且高落差的线路工程中平面坐标系的多投影面、多投影带的选择问题，可为类似线路工程提供参考。
高斯投影变形理论高斯投影是国内国际上普遍采用的投影方法,它具有保角映射之特点,长度变形随投影边地面高度和地理位置而异。
在铁路工程实践中控制网观测成果进行平差前需要进行两次投影归化，即先将实测长度归算到参考椭球，再将归算后的成果归算至高斯平面，在两个归算过程中，都存在投影变形，计算过程如下：地面水平边长归算到参考椭球面上的变形：(式1)参考椭球面边长投影至高斯投影面上的变形： (式2)长度投影变形等于两次投影变形之和：(式3)式(1)至式(3)中，：地面基线归算至参考椭球面引起的归算边改正数；：实地水平边长；：归算边高出归化面的平均高程；：归算边方向参考椭球弧法截弧的曲率半径；：由椭球平面上归算至高斯平面上的距离改正数；：投影到椭球平面上的长度；：基线边两端点横坐标平均值；：椭球面平均曲率半径。
由上可知，值是跟投影面高程有关，值跟测区选用的中央子午线有关，在长距离线路工程中，线路两端跨度较大，端点处横坐标值会比较大。
线路工程控制测量投影变形问题分析和探讨
线路工程控制测量投影变形问题分析和探讨摘要：介绍了线路工程控制测量中应考虑的变形因素，以及减少长度变形的几种常用手段，举例分析了某原水管道连通工程控制测量在地方城建坐标系下采用建立“抵偿高程面”的具体方法，并以实际数据验证其有效性。
关键词：控制测量长度变形抵偿变形投影带抵偿高程面1.问题的提出依据我国的工程测量规范规定，建立平面控制网的坐标系统应该保证长度综合变形不超过2.5cm/km.（相对变形不超过1/40000）。
在线路工程控制测量中，长度变形是一个不可以避免的问题，我们可以采取一些技术手段来使长度变形减弱，将长度变形控制在允许的范围之内，使平面控制点坐标反算边的长度与实地量测的长度相符，以满足工程测量规范的要求。
2.长度投影变形分析由参考文献：2可知，投影变形主要由于以下两种因素引起的：2.1参考椭球面归算变形因素：（1）式中，为平均高程面高程（相对于参考投影面），为地面上的实际长度，为高斯投影归算边长，为归算边两端点横坐标平均值。
2.2高斯投影归算变形因素：（2）式中，≈，一般可以将参考椭球视为圆球，取圆球半径≈6371km。
由公式（1）看出，将实地距离由较高的高程面归化算至较低的参考椭球面时，长度总是缩短的；值与成正比，随增大而增大。
由公式（2）看出，将参考椭球面上的距离化算至高斯平面时，长度总是增长的。
值随增大而增大，离中央子午经线越远变形越大。
理论上，当两项改正值大小相等时，长度变形为零。
（3）由上述分析可知，减少投影长度变形问题的主要思路为以下三种：（1）建立“抵偿变形投影带”高斯投影坐标系“抵偿变形投影带” 高斯投影坐标系的建立是在保持国家统一的椭球投影面不变的基础上，选择合适的中央子午线，使长度高斯投影变形恰好抵偿其投影到归化椭球面所产生的变形。
为了确定“抵偿变形投影带”的中央子午线的位置，取高斯投影坐标正算公式，同时由，。
可算出。
式中，B，L为测区中心位置的维度和经度，为标准分带经度与抵偿变形投影带中央子午线经度之差。
高程归化改正和高斯投影改正计算公式
高程归化改正和高斯投影改正计算公式
高程归化。
归化到城市轨道交通线路测区平均高程面上的测距边长度D，应按下式计算：
式中：
：测距两端点平均高程面上的水平距离（m）；
Ra：参考椭球体在测距边方向法截弧的曲率半径（m）；
Hp：现有城市坐标系统投影面高程或城市轨道交通工程线路
的平均高程（m）；
Hm：测距两端点的平均高程（m）；
地铁工程精密导线网高程归化的影响非常小，基本可以忽略不计... 5、投影改化：测距边在高斯投影面上的长度Dz，按下式计算：
式中：
Ym：测距边两端点横坐标平均值（m）；Rm：测距边中点的平均曲率半径（m）;
：测距边两端点近似横坐标的增量（m）。
控制测量学试题六及参考答案
控制测量学试题六及参考答案一、名词解释：1、子午圈2、卯酉圈3、椭圆偏心率4、大地坐标系5、空间坐标系6、法截线7、相对法截线8、大地线9、垂线偏差改正10、标高差改正11、截面差改正12、起始方位角的归算13、勒让德尔定理14、大地元素15、地图投影16、高斯投影17、平面子午线收敛角18、方向改化19、长度比20、参心坐标系21、地心坐标系二、填空题：1、旋转椭球的形状和大小是由子午椭圆的个基本几何参数来决定的，它们分别是。
2、决定旋转椭球的形状和大小，只需知道个参数中的个参数就够了，但其中至少有一个。
3、传统大地测量利用天文大地测量和重力测量资料推算地球椭球的几何参数，我国1954年北京坐标系应用是椭球，1980年国家大地坐标系应用的是椭球，而全球定位系统（GPS）应用的是椭球。
4、两个互相垂直的法截弧的曲率半径，在微分几何中统称为主曲率半径，它们是指和。
5、椭球面上任意一点的平均曲率半径R等于该点和的几何平均值。
6、克莱洛定理(克莱洛方程)表达式为。
7、拉普拉斯方程的表达式为。
8、若球面三角形的各角减去，即可得到一个对应边相等的平面三角形。
9、投影变形一般分为、和变形。
10、地图投影中有、和投影等。
11、高斯投影是投影，保证了投影的的不变性，图形的性，以及在某点各方向上的的同一性。
12、采用分带投影，既限制了，又保证了在不同投影带中采用相同的简便公式进行由于引起的各项改正数的计算。
13、长度比只与点的有关，而与点的无关。
14、高斯—克吕格投影类中，当m0=1时，称为，当m0=0.9996时，称为。
15、写出工程测量中几种可能采用的直角坐标系名称（写出其中三种）：、、。
16、所谓建立大地坐标系，就是指确定椭球的，以及。
17、参考椭球的定位和定向，就是依据一定的条件，将具有确定参数的椭球与确定下来。
18、参考椭球的定位和定向，应选择六个独立参数，即表示参考椭球定位的三个参数和表示参考椭球定向的三个参数。
《大地测量学》试题参考答案
《大地测量学》试题参考答案一、名词解释：1、子午圈：过椭球面上一点的子午面同椭球面相截形成的闭合圈。
2、卯酉圈：过椭球面上一点的一个与该点子午面相垂直的法截面同椭球面相截形成的闭合的圈。
3、椭园偏心率：第一偏心率a ba e2 2-=第二偏心率b ba e2 2-='4、大地坐标系：以大地经度、大地纬度和大地高来表示点的位置的坐标系。
P35、空间坐标系：以椭球体中心为原点，起始子午面与赤道面交线为X轴，在赤道面上与X 轴正交的方向为Y轴，椭球体的旋转轴为Z轴，构成右手坐标系O-XYZ。
P46、法截线：过椭球面上一点的法线所作的法截面与椭球面相截形成圈。
P97、相对法截线：设在椭球面上任意取两点A和B，过A点的法线所作通过B点的法截线和过B点的法线所作通过A点的法截线，称为AB两点的相对法截线。
P158、大地线：椭球面上两点之间的最短线。
9、垂线偏差改正：将以垂线为依据的地面观测的水平方向观测值归算到以法线为依据的方向值应加的改正。
P1810、标高差改正：由于照准点高度而引起的方向偏差改正。
P19 11、截面差改正：将法截弧方向化为大地线方向所加的改正。
P2012、起始方位角的归算：将天文方位角以测站垂线为依据归算到椭球面以法线为依据的大地方位角。
P2213、勒让德尔定理：如果平面三角形和球面三角形对应边相等，则平面角等于对应球面角减去三分之一球面角超。
P2714、大地元素：椭球面上点的大地经度、大地纬度，两点之间的大地线长度及其正、反大地方位角。
P2815、大地主题解算：如果知道某些大地元素推求另外一些大地元素，这样的计算称为大地主题解算。
P2816、大地主题正算：已知P１点的大地坐标，P１至P２的大地线长及其大地方位角，计算P２点的大地坐标和大地线在P２点的反方位角。
17、大地主题反算：如果已知两点的大地坐标，计算期间的大地线长度及其正反方位角。
18、地图投影: 将椭球面上各个元素（包括坐标、方向和长度）按一定的数学法则投影到平面上。
基于某山区铁路抵偿任意带高斯投影坐标系选择的研究
基于某山区铁路抵偿任意带高斯投影坐标系选择的研究作者：刘文吾来源：《城市建设理论研究》2013年第13期摘要：坐标系统的选择是工程测量中的一个基础问题,在铁路建设过程中,涉及从大比例尺地形图的测绘到各专业的勘测、设计、施工放样、运营维护的全过程。
本文基于某山区铁路坐标系统的选择及计算实践,探讨非南北走向且高落差的线路工程中平面坐标系的选择问题。
关键词：山区地形、铁路勘察设计、高斯投影、抵偿任意带中图分类号：[TU198+.1]文献标识码： A 文章编号：某山区铁路位于晋冀两省的交界地区，正线长约130km,东西走向。
线路经过地区地貌可分为中低山区、低山丘陵区、丘陵与平原过渡区、河北平原区。
测区内从西向东在1985国家高程系统下从1450米降至70米左右，起点、终点高程落差约1380米。
测区位于东经113°30′～114°30′,北纬37°05′～37°18′。
本文基于某山区铁路坐标系统的选择及计算实践,探讨非南北走向且高落差的线路工程中平面坐标系的多投影面、多投影带的选择问题，可为类似线路工程提供参考。
高斯投影变形理论高斯投影是国内国际上普遍采用的投影方法,它具有保角映射之特点,长度变形随投影边地面高度和地理位置而异。
在铁路工程实践中控制网观测成果进行平差前需要进行两次投影归化，即先将实测长度归算到参考椭球，再将归算后的成果归算至高斯平面，在两个归算过程中，都存在投影变形，计算过程如下：地面水平边长归算到参考椭球面上的变形：(式1)参考椭球面边长投影至高斯投影面上的变形： (式2)长度投影变形等于两次投影变形之和：(式3)式(1)至式(3)中，：地面基线归算至参考椭球面引起的归算边改正数；：实地水平边长；：归算边高出归化面的平均高程；：归算边方向参考椭球弧法截弧的曲率半径；：由椭球平面上归算至高斯平面上的距离改正数；：投影到椭球平面上的长度；：基线边两端点横坐标平均值；：椭球面平均曲率半径。
投影于抵偿高程面上的坐标换算
投影于抵偿高程面上的坐标换算摘要：讨论、分析投影于（任意）抵偿高程面上的平面坐标计算方法及其计算公式的推导。
供同行们讨论与参考。
关键词：交通工程；公路控制测量；投影于（任意）抵偿高程面上的平面坐标计算方法。
0 前言国家有关规范规定，在大、中型工程测量中，其控制网必须与国家控制点联测，或采用国家坐标系统，以达到测量资源共享、成果共用的目的。
国家坐标系统是采用高斯－克吕格正形投影（简称“高斯投影”），即先由大地面投影到参考椭球面，再由参考椭球面投影到高斯平面；而高程面则是投影到大地水准面上。
公路测量常用的处理方法是，采用分带形式，以减小高斯投影产生的长度变形；而高程面的投影，因为测区平均高程面与大地水准面的差值和地球曲率半径相比微不足道，故忽略不计。
然而，随着公路建设的不断扩大与发展，公路（特别是高速公路）从平原微丘区向山岭重丘区（乃至高原地区）延伸，测区高程面由数10m 增加到数百米乃至数千米；由于高程面的不同所产生的长度变形对工程建设的影响是我们必须考虑的问题。
如，据有关计算表明，当大地高程面H＝700m时，其长度变形为11cm/km，远大于规范允许值，这对于重要工程的测量是一个不可忽略的小数。
本文通过分析讨论，提出在（任意）选定的抵偿高程面上的平面坐标的计算方法来解决长度变形问题。
1 独立坐标系中投影于抵偿高程面上的坐标换算在独立坐标系中，原有坐标X、Y投影高程面为H0，测区平均高程面为H，为使实测边长与成图平面上的边长相一致，不致产生过大的长度投影变形，需将测区平均高程面H作为抵偿高程面（简称投影面），从而建立新的地方独立坐标系统。
利用原有坐标X、Y换算成新的投影面（抵偿高程面）上的独立坐标Xˊ、Yˊ，一般取测区中心或附近点为投影原点（X0、Y0），换算过程中不考虑椭球面正形投影到高斯平面上长度改化变形因素对坐标换算的影响，公式推导如下。
如图1所示：图1R-投影区地球平均曲率半径H0-原坐标投影面高程H-新坐标投影面（抵偿高程面）高程X0、Y0-投影原点坐标X、Y-原坐标Xˊ、Yˊ-投影于抵偿高程面上的新坐标因为：(Xˊ- X0) /（R+H）= （X- X0）/（R+H0）Xˊ=X0+（X-X0）（R+H）/（R+H0）所以：Xˊ=X0+(X-X0) 〔1+（H-H0）/(R+H0) （1）同理：Yˊ=Y0+(Y-Y0) 〔1+（H-H0）/(R+H0) 〕以上（1）式即为新老坐标投影换算公式2 投影于抵偿高程面上的高斯平面坐标换算将1954年北京坐标换算为投影于地方独立抵偿高程面上的高斯平面坐标，按以下两种方法考虑：2.1 方法一该方法是以抵偿高程面作为地方独立参考椭球面，通过计算任一实测边长D0投影于地方独立参考椭球面(即抵偿高程面)并经高斯正形投影改化后，得到新的地方独立坐标系抵偿高程Hp上的高斯平面边长度D2ˊ，与该实测边长在1954年北京坐标系统高斯平面上长度D2（实测边长D0投影于克氏参考椭球上经高斯正形投影改化后在高斯平面上的长度）的比值D2ˊ/ D2关系式，推导出新旧投影面上的高斯平面坐标换算公式。
关于高斯投影及其长度变形处理方法的探讨
二、高斯 - 克吕格投影及其变形情况
我国日常测绘项目中多采用高斯 - 克吕格投影。高斯 - 克 吕格投影，又称横轴墨卡托投影是一种等角横轴切椭圆柱投影， 这种投影的中央经线无变形，是一条与球面实际长度相等的直 线，除中央经线和赤道为直线外，其他经线均为对称于中央经 线的曲线。这种投影没有角度变形，在长度和面积上变形也很小， 中央经线无任何变形，自中央经线向投影带边缘，变形逐渐增加， 变形最大处在投影带内赤道的两端。通常采用分带法控制变形， 即按一定经差将地球椭球面划分成若干投影带。分带时既要控 制长度变形使其不大于测图误差，又要使带数不致过多以减少 换带计算工作，据此原则将地球椭球面沿子午线划分成经差相 等的瓜瓣形地带 , 以便分带投影。我国各种大、中比例尺地形 图采用了不同的分带方法，例如大于 1:1 万的地形图多采用 3° 间隔分带；1:1 万到 1:50 万的地形图多采用 6°间隔分带。
此种方法计算简单，基本继承了原坐标系的绝大多数参数， 在海拔较低地区，多使用此种方法解决投影变形问题。
２、投影于抵偿高程面上高斯正形投影 ３°带的平面直 角坐标系。
由上文可知实测边长归算到参考椭球面时的改正数随着
2018/25 CHENGSHIZHOUKAN 城市周刊 95
综合信息
高程的增加而逐渐加大，在海拔较高地区使 4.1 中方法以无法 满足规范要求，此时可采用投影与抵偿高程面的方法有效的解 决这个问题。
首先我们假定实测边长归算到参考椭球面时和参考椭球 面上边长投影到高斯平面上两者变形值完全抵消及得出下式：
经推导上式可简化为：
理论上在测区任意选择一条边，取其两端横坐标（自然值） 的平均值，即可按上式计算出一个投影变形值为 0 的高程。通 过这个高程值和这个边所在的高程面就可以求出这条边的抵 偿高程面。但是实际作业时在一个测区通过一条边求取的抵偿 高程，基本上不可能抵偿所有边的高斯投影变形值。通常实际 作业时可分别应用测区东西两端的 y 和地区的平均曲率半径求 得两个抵偿高程面，以这两个高程面为参考值，并充分考虑项 目区的实际情况、发展远景和已有成果的利用，综合取舍进而 确定最终抵偿高程面。