模态叠加法算法理论及其编程实现
lanzos方法 模态叠加法
“Lanzos方法模态叠加法”是一种用于计算谐响应的方法。
其基本原理是通过对振型（由模态分析得到）乘以因子并求和来计算谐响应。
在运用“Lanzos方法模态叠加法”进行瞬态动力学分析时，需要注意以下几点：- 获取模态分析解的方法：模态提取方法应该使用子空间法、分块Lanczos法、缩减法或PowerDynamics法中的一种。
另外，只有当没有初始的静态解时，才可以使用PowerDynamics法。
务必提取出对动力学响应有奉献的所有模态。
- 在获取模态叠加法瞬态分析解这一步中：程序将根据模态分析所得到的振型来计算瞬态响应。
注意振型文件（Jobname.MODE）必须存在，且数据库中必须包含和模态分析求解过程所有模型一样的模型。
通过使用“Lanzos方法模态叠加法”，可以有效地计算出谐响应，并为进一步分析和优化提供参考。
workbench模态叠加
+ 在谐响应分析时可以设置求 解向模态频率集中
± 需要模态解中的特征向量
– 只用于线性分析,不能有非 线性性质
– 决定要使用多少个模态是比 较困难的,很少几个模态可 能得到良好的位移结果,但 只能得到很差的应力结果
直接积分法
– 完全耦合的运动方程,求 解很费时间
+ 对大多数问题都有效
DYNAMICS 11.0
模态叠加法建模
Training Manual
DYNAMICS 11.0
• 模型
– 与模态分析所考虑的问题相同； – 只能用线性单元和材料 忽略各种非线性性质； – 必须定义密度； – 若有与材料相关的阻尼，必须此时定义； – 参见《动力学分析总论》。
获得模态解
Training Manual
• 这些方程yi(t)可以通过‘undamped’ 求解器求解 ( 如波前法).
• 如果定义了非比例阻尼，则‘m’ 个单自由度是 通过阻尼矩阵相互耦合的. 这时要通过QR阻 尼法来求解.
模态叠加法与直接积分法比较
Training Manual
DYNAMICS 11.0
模态叠加法
+ 运动方程是去耦的,求解速 度很快
• 其替代方法是直接积分方法，但需要较多计 算时间。
DYNAMICS 11.0
模态叠加总论
• 运动学方程:
Mu Cu Ku f (t)
Training Manual
模态叠加法假定U(t)可以由结构的各阶模态的线性组合来表示.
u(t) []{y}
这里[] 是结构的振型矩阵f1, f2, f3,... fm,
[]TJ C[]J 2JJ
matlab模态叠加法求应变
matlab模态叠加法求应变
在MATLAB中，模态叠加法是一种求解应变的方法。
该方法通过将物体的运动分解为一系列的模态，并对每个模态进行求解，最后将各个模态的解叠加起来得到物体的应变。
具体而言，模态叠加法首先需要确定物体的模态。
这些模态是物体在特定频率下的振动形态，可以通过对物体进行振动测试来获得。
在确定了模态之后，可以通过对每个模态进行有限元分析来求解其在不同频率下的响应。
在MATLAB中，可以使用以下步骤来实现模态叠加法求应变：
1. 定义物体的几何模型和材料属性。
2. 对物体进行模态分析，获得其模态参数。
3. 对每个模态进行有限元分析，得到其在不同频率下的响应。
4. 将各个模态的响应叠加起来，得到物体在不同频率下的总响应。
5. 根据总响应计算物体的应变。
需要注意的是，模态叠加法是一种近似方法，其精度取决于所选择的模态数量和有限元模型的精度。
因此，在实际应用中，需要对模型进行适当的简化并进行足够的模态测试和有限元分析来获得准确的应变结果。
模态叠加法原理
模态叠加法原理模态叠加法原理是一种基于计算机辅助设计技术的工程分析方法。
该方法基于前置分析模型和前置边界条件，在对某个系统进行分析时，将多个模态分析结果进行组合，从而得到该系统最终的响应结果。
这个方法广泛应用于航空航天领域、汽车工业、建筑工业等领域的设计和分析。
在模态叠加法中，每一个模态都代表了系统的一种振动形态。
通过对每个模态的振幅和相位进行叠加，可以获得系统的总体响应。
而叠加的系数则由前置分析模型中的边界条件所决定。
模态叠加法的原理主要基于下面两个方面：第一，模态是独立的。
不同的模态代表了系统的不同振动形态，彼此之间是独立的。
这意味着当系统受到外部刺激时，每个模态都会独立地产生振动响应，且这些响应之间不会相互干扰。
因此，在模态叠加法中，可以将每个模态的响应独立计算，并将它们组合起来得到总体响应。
第二，模态可以叠加。
模态叠加法中，每个模态的振幅和相位都可以被叠加在一起，以形成系统的总体响应。
这是因为模态之间的相对幅值和相位差可以通过前置分析模型和边界条件来确定，并且是独立于外部刺激的。
因此，可以根据分析需求对各个模态进行合理的叠加，得到系统的总体响应。
在实际应用中，模态叠加法通常涉及到大量的计算和分析。
因此，必须用适当的计算机软件和硬件进行支持。
以有限元方法为例，模态分析通常是有限元分析的一部分。
有限元分析是一种通过将复杂结构分解为简单单元并针对每个单元进行分析来预测其表现的方法。
在模态分析中，结构被建模为许多离散的单元，并分析每个单元的振动特性。
利用这些振动特性，可以将每个模态的响应计算出来，并对它们进行叠加，以获得最终的响应结果。
总之，模态叠加法是一种基于模态分析理论的工程分析方法。
它通过将每个模态的响应进行叠加，并结合前置分析模型和前置边界条件，从而计算出系统的总体响应。
尽管在实际应用中可能涉及到大量的计算和分析，但是这种方法的灵活性和可靠性使得它成为了航空航天领域、汽车工业、建筑工业等领域的设计和分析的有力工具。
full法和模态叠加法
Full法和模态叠加法1. 引言在工程领域中，我们经常需要对结构物进行分析和设计。
为了保证结构的安全性和可靠性，我们需要进行不同类型的分析。
其中，full法和模态叠加法是两种常用的结构分析方法。
本文将详细介绍这两种方法的原理、应用场景以及比较优劣。
2. Full法Full法是一种基于有限元理论的结构动力学分析方法。
它可以用来计算结构在外部载荷作用下的响应，包括位移、速度、加速度等。
Full法将结构划分为许多小的单元，通过求解线性方程组来得到每个单元的位移响应，并进而得到整个结构的响应。
2.1 Full法原理Full法基于以下假设：•结构可以看作由许多小单元组成；•每个小单元内部满足线性弹性力学关系；•结构整体满足动力学平衡方程。
Full法的求解过程主要包括以下几个步骤：1.网格划分：将结构划分为许多小单元，并建立节点与单元之间的连接关系。
2.单元刚度矩阵的计算：根据单元的几何形状和材料性质，计算每个单元的刚度矩阵。
3.总刚度矩阵的组装：将所有单元的刚度矩阵按照节点自由度的顺序组装成总刚度矩阵。
4.边界条件处理：根据结构的边界条件，将总刚度矩阵进行修正。
5.求解位移：通过求解线性方程组，得到结构的位移响应。
6.计算其他响应：利用位移响应，可以计算出结构的速度、加速度等其他响应。
2.2 Full法应用场景Full法适用于以下情况：•结构较为复杂，无法简化为简单的解析模型；•考虑了结构内部各个小单元之间相互作用的影响；•需要考虑非线性效应或动力学效应。
Full法在工程领域中广泛应用于建筑、桥梁、航空航天等领域。
它可以帮助工程师评估结构在不同载荷下的响应情况，并优化设计方案。
3. 模态叠加法模态叠加法是一种基于结构的固有振动特性进行分析的方法。
它通过将结构的响应表示为各个模态振型的叠加，来计算结构在外部载荷作用下的响应。
3.1 模态叠加法原理模态叠加法基于以下假设：•结构的振动可以由一组正交模态振型来表示；•每个模态振型都是一个固有形状，与载荷大小无关；•结构的响应可以看作各个模态振型响应的线性叠加。
ansys模态叠加法
ansys模态叠加法
ANSYS模态叠加法是一种结构动力学分析方法，其基本原理是将结构的自由振动模态按照一定的比例相加，从而得到结构在外力作用下的响应。
该方法通常用于求解结构的自由振动响应、地震响应以及材料疲劳寿命等问题。
在ANSYS中，模态叠加法可通过建立有限元模型、求解结构的固有频率和振动模态、以及进行模态叠加计算等步骤实现。
具体而言，该方法包括以下步骤：
1. 建立有限元模型：将结构分割成若干个有限元，并对其进行网格剖分和材料属性定义。
2. 求解结构的固有频率和振动模态：在ANSYS中，利用求解器求解结构的固有频率和振动模态。
3. 进行模态叠加计算：将结构的不同振动模态按照一定的比例相加，得到结构在外力作用下的响应。
ANSYS模态叠加法具有计算精度高、计算速度快等优点，可以广泛应用于结构动力学分析和相关工程领域。
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重叠相加法和重叠保留法的原理与实现
重叠相加法与重叠保存法的原理实现侯凯（吉林大学 通信工程学院 吉林 长春 130012）0概述线性卷积是求离散系统响应的主要方法之一，许多重要应用都建立在这一理论基础上，如卷积滤波等。
用圆周卷积计算线性卷积的方法归纳如下:将长为N 2的序列x(n)延长到L,补L -N 2个零，将长为N 1的序列h(n)延长到L,补L -N 1个零。
如果L ≥N1+N2-1,则圆周卷积与线性卷积相等，此时,可有FFT 计算线性卷积，方法如下：a.计算X(k)=FFT[x(n)]b.求H(k)=FFT[h(n)]c.求Y(k)=H(k)Y(k) k=0～L -1d.求y(n)=IFFT[Y(k)] n=0～L -1可见，只要进行二次FFT,一次IFFT 就可完成线性卷积计算。
上述结论适用于x(n)、h(n)两序列长度比较接近或相等的情况，如果x(n)、h(n)长度相差较多。
例如，h(n)为某滤波器的单位脉冲响应,长度有限，用来处理一个很长的输入信号x(n)，或者处理一个连续不断的信号，按上述方法，h(n)要补许多零再进行计算，计算量有很大的浪费，或者根本不能实现。
为了保持快速卷积法的优越性，可将x(n)分为许多段后处理，每小段的长与h(n)接近，其处理方法有两种：重叠相加法和重叠保留法。
1重叠相加法——由分段卷积的各段相加构成总的卷积输出假定x i (n)表示图中第i 段x(n)序列如下图：22()(1)1()0i x n iN n i N x n ≤≤+-⎧=⎨⎩则输入序列可表为：()()i i x n x n ∞=-∞=∑图1 长序列分段滤波于是输出可分解为： ()()*()()*()()i i i i i y n x n h n x n h n y n ∞∞=-∞=-∞===∑∑其中 ()()*()i i y n x n h n =由此表明，只要将x(n)的每一段分别与h(n)卷积，然后再将这些卷积结果相加起来就可得到输出序列，这样，每一段的卷积都可用上面讨论的快速卷积来计算。
optistruct模态叠加法
optistruct模态叠加法
OptiStruct是一种用于结构分析和优化的有限元分析软件。
在OptiStruct中，模态叠加法是一种用于计算结构的模态响应的方法。
模态叠加法基于模态分析的原理，通过计算结构的固有频率、振型和阻尼比来确定结构的模态响应。
在模态叠加法中，结构的响应可以表示为各个模态振型的线性组合。
模态叠加法的基本步骤包括：
1. 模态分析：使用OptiStruct进行模态分析，计算结构的固有频率、振型和阻尼比。
2. 模态叠加：将结构的响应表示为各个模态振型的线性组合。
通常，前几个固有频率较低的模态对结构的响应起主导作用，因此可以选择使用较少的模态进行叠加。
3. 叠加系数：确定每个模态振型的叠加系数。
可以使用初始条件、边界条件或外部激励来确定叠加系数。
4. 响应计算：根据叠加系数和模态振型计算结构的响应。
可以计算结构的位移、速度、加速度或其他感兴趣的响应。
5. 结果分析：分析计算得到的响应结果，评估结构的性能和安全性。
模态叠加法在结构分析和优化中广泛应用，可以用于研究结构的动
力响应、模态超验、共振、振动幅值等问题。
通过模态叠加法，可以更好地理解和预测结构在不同工况下的响应行为，从而优化结构设计和改进结构性能。
模态叠加法算法理论及其编程实现
模态叠加法算法理论及其编程实现模态叠加法（Modal Superposition Method）是一种广泛应用于结构动力学计算中的数值分析方法，用于求解结构物的自由振动和响应。
该方法基于弹性力学原理，将结构物的振动模态进行叠加求解，得到结构物的整体振动响应。
模态叠加法的理论基础是振动理论和线性时变系统的特性。
在模态叠加法中，首先需要进行模态分析，即求解结构物的固有振动模态。
固有振动模态是结构物在无外界扰动的情况下自发振动的模式，可以通过有限元方法等手段进行求解。
固有振动模态是结构物的基础振动形态，通过线性组合这些基础振动形态，可以得到任意时刻结构物的振动情况。
在模态叠加法中，结构物的振动可以表示为各个模态振动的叠加。
每个模态表示一个固有振动模态，由振形函数和频率确定。
假设有n个模态，则结构物的振动响应可以表示为：\[u(t)=\sum_{i=1}^{n} A_{i}\sin(\omega_{i}t+\phi_{i})\]其中，A_i为振幅，\omega_i为频率，\phi_i为初始相位。
模态叠加法的关键是确定各个模态的振幅和初始相位。
确定各个模态的振幅和初始相位可以通过结构物的初始条件和激励情况来确定。
当结构物受到初始条件的影响时，振动模态的振幅和初始相位可以由初始条件确定。
当结构物受到外界激励时，振动模态的振幅和初始相位可以由结构物的动态响应计算得到。
根据叠加原理，结构物的振动响应可以表示为各个模态响应的叠加。
通过求解每个模态的振动响应，再进行叠加，可以得到结构物的整体振动响应。
在进行模态叠加法的编程实现时，一般可以采用以下步骤：1.进行结构物的模态分析，求解固有振动模态。
2.根据激励情况和初始条件，确定各个模态的振幅和初始相位。
3.对每个模态进行振动响应分析，求解振动模态的振动响应。
4.将各个模态的振动响应进行叠加，得到结构物的整体振动响应。
在实际编程实现中，可以利用数值计算软件或编程语言来实现模态叠加法。
ansys workbench 瞬态动力学 模态叠加法
ansys workbench 瞬态动力学模态叠
加法
模态叠加法是通过对模态分析得到的振型乘上因子并求和来计算结构的响应，是ANSYS/Professional程序中唯一可用的瞬态动力学分析法。
其优点为：对于许多问题，它比缩减法或完全法更快、开销更小；只要模态分析不采用PowerDynamics方法，通过LVSCALE 命令将模态分析中施加的单元载荷引入到瞬态分析中；允许考虑模态阻尼（阻尼比作为振型号的函数）。
模态叠加法的缺点为：整个瞬态分析过程中时间步长必须保持恒定，不允许采用自动时间步长；唯一允许的非线性是简单的点点接触（间隙条件）；不能施加强制位移（非零）位移。
在进行瞬态动力学分析时，需要根据具体问题选择合适的方法。
如果有需要，可以咨询专业的工程师或查阅相关文献资料来获取更详细的信息。
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模态叠加法算法理论及其编程实现作者：谢胜龙以下是本人硕士期间学习总结，供大家学习参考，如有错误，请多包涵。
参考资料： 陈奎孚《机械振动基础》、《少齿差星轮型减速器弹性动力学分析》一、系统动力学方程的解耦——坐标变换，将物理坐标x 通过坐标变换=x Φq 转换到模态空间对系统原振动微分方程进行解耦，转换为模态坐标q 下的（用模态坐标表示的）系统振动微分方程。
对于系统的振动微分方程：++=MxCx Kx f （1） 这里质量矩阵和刚度矩阵均为实对称矩阵，阻尼矩阵也为实对称矩阵。
由于此常微分方程组中各个微分方程相互耦合，无法单独求解。
因此，要想办法通过坐标变换，将此微分方程组解耦——即各个微分方程相互独立，可以单独求解。
令=x Φq 带入上式有：++=M ΦqC Φq K Φq f （2） 两边同乘以TΦ得：++=T T T T ΦM ΦqΦC Φq ΦK Φq Φf （3） 当方程可以解耦时，应有=T p ΦM ΦM （4） =T p ΦC ΦC （5） =T p ΦK ΦK （6）式中p M 、p C 和p K 均为如下形式的对角阵：120000=0n m m m ⎛⎫ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭p M ，120000=00n c c c ⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭p C，120000=0n k k k ⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭p K（7）即：++=p p p p M qC q K q f （8） 其中=T p f Φf （9）公式（8）为n 阶微分方程组，各个坐标i q （1,2,,i n = ）之间相互独立，可以单独求解，即实现了原方程组的解耦。
问题是，如何求得此Φ？二、坐标变换矩阵Φ的求解——求解广义特征值问题将（4）式变为11--=T p ΦM ΦM，带入（6）式得11--=p p M ΦM K ΦK （10）1-=p p K ΦM ΦM K （11）其中p M 和p K 均为对角阵，1-p p M K 可合并为一个对角阵：121000000n λλλ-⎛⎫⎪ ⎪Λ==⎪⎪⎝⎭p p M K（12）其中对角线上元素为ii ik m λ=（1,2,,i n = ）（13） 于是式（11）变为=ΛK ΦM Φ（14）式（14）为矩阵理论中的广义特征值问题。
如果将矩阵Φ按列分开12[,,,]n φφφ=Φ （15）其中12r r r rn φφφφ⎧⎫⎪⎪⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭（1,2,,r n = ）（16） 由分块矩阵乘法1212120000[,,,][,,,]00n n n λλφφφφφφλ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭K K K M M M（17） 121122[,,,][,,,]n n n φφφλφλφλφ=K K K M M M （18）则式（14）就变为如下熟悉的特征值形式：111222n n nφλφφλφφλφ===K M K M K M（19）之所以叫“广义”是因为M 的存在。
如果矩阵M 为单位阵，那么就是常规的特征值问题。
于是，原方程（1）的解耦问题最终归结为求解特征值问题（14），相应的特征值方程为0λ-=K M （20）一旦求出这个多项式的根λ，带回式（14），便可以确定变换矩阵Φ。
三、归一化——关于主质量归一化习惯上我们让方程的第一项系数为1，即==Tp M ΦM ΦE问题是，如何找到这样的Φ，使得=p M E ，我们令此时的Φ为N Φ，则有==Tp N N M ΦM ΦE 问题是N Φ如何求？ 首先引入振型的正交性 方法一： 由前面的论述11112122122212121122[,,,]000000T T T T n T T TTn n T T TTn nn n n T TTn n φφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦T p M M M M M M M ΦM ΦM M M M M M M可见，若i j λλ≠，则有0Ti j φφ=M ，因为j j j φλφ=K M ，两边左乘T i φ可得T T i j j i j φφλφφ=K M ，因此有0Ti j φφ=K 。
由这两个式子可见：任意2个振型之间，既有对M 的正交性，又有对K 的正交性，它们统称为振型的正交性。
方法二：设振系的第i 个与第j 个振型向量分别为i φ和j φ，按照振型方程（19）有i i i φλφ=K M （3-1） j j j φλφ=K M （3-2）用Tj φ左乘式（3-1）有：T Tj i i j i φφλφφ=K M （3-3）用Ti φ左乘式（3-2）有：T T i j j i j φφλφφ=K M （3-4）因为M 和K 都是对称矩阵，故将式（3-4）转置后得：T T j i j j i φφλφφ=K M （3-5）式（3-3）减式（3-4）得()0T i j j i λλφφ-=M若i j λλ≠，则有正交关系0Ti j φφ=M 将其带入式（3-3）得正交关系0T i j φφ=K由这两个式子可见：任意2个振型之间，既有对M 的正交性，又有对K 的正交性，它们统称为振型的正交性。
因此，由振型的正交性有：1111212212221212111222[,,,]000000000000T T T T n T T T Tn n T T TTn n nn n T TTn n n m m m φφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦T p M M M M M M M ΦM ΦM M M M M M M即Tr r r m φφ=M 故对于N Φ，有11112122122212121122[,,,]000000T T T TN N N N N N Nn T T T TN N N N N N Nn N N Nn T T T TNn Nn N Nn N Nn Nn T N N TNN TNn Nn φφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦T p N N M M M M M M M ΦM ΦM M M M M M ME因此，必须有1TNr Nr φφ=M （1,2,,r n = ）令Nr r r φμφ=带入上式有1Tr r r r μφμφ=M ，即21r r m μ=因此，r μ==因此，121122[,,,][,,,]N N Nn n n φφφμφμφμφ==N Φ此时，由式（14）=ΛK ΦM Φ得===TTp N N N N K ΦK ΦΦM ΦΛΛ。
因此，对原系统振动微分方程做如下变换： （1）令=N N x Φq 带入上式有：++=N N N N N N M ΦqC Φq K Φq f （2）两边同乘以TN Φ得：++=T T T TN N N N N N N N N N ΦM Φq ΦC Φq ΦK Φq Φf即：++=N p N N Np qC q Λq f 上式中N q 称为正则坐标，Np f 为正则激励力。
四、解耦方程的求解对于动力学方程++=p p p p M qC q K q f ，当阻尼矩阵p C 可对角化时，其分量形式为： i i i i i i pi m qc q k q f ++= （1,2,,i n =……） 两边同除以i m 有：pi i i i i i i i if c kqq q m m m ++= 其中2i ni i k m ω=，令2i i ni ic m ξω=，则有2i i i ni c m ξω==（之所以这样做是仿效一元二次方程的形式）上式化为22pi i i ni i ni i if q q q m ξωω++=当采用正则振型解耦时，++=N p N N Np q C q Λq f ，22pi i i ni i ni i if q q q m ξωω++=可化为：22Ni i ni Ni ni Ni Ni q q q f ξωω++= （注意：由于已经关于质量正则化，故这里的i m =1）上述方程的解为：()0(0)(0)1()[(0)cos sin ()sin ()]i ni i ni tt t Ni i ni Ni Ni Ni di di Ni di didiqq q t e q t t f e t d ξωξωτξωωωτωττωω---+=++-⎰其中，di ni ω=利用=N N x Φq 可求得物理坐标下的响应。
注意，我们已知的初始条件是物理坐标下的，而解耦方程是模态坐标下的方程，因此，需要将物理坐标下的初始条件转换到模态坐标下去。
如何将初始条件变换到模态坐标（正则坐标）下？我们知道=N N x Φq ，因此，利用=-1N N q Φx 似乎可以直接进行变换。
但实际上，由于进行矩阵的求逆运算计算量非常大，而且数值计算中会产生误差，因此，我们不采用此方法进行变换。
将其两端同时左乘-1TN N M ΦM ，则有=-1T-1TN N N N N N M ΦMx M ΦM Φq由于=-1N M E ，=TN N N ΦM ΦM ，因此有=TN N q ΦMx 。
五、模态叠加法步骤1、求解广义特征值问题，求得特征值r λ和特征向量r φ。
广义特征值问题为=ΛK ΦM Φ，其特征方程为：0λ-=K M在MATLAB 中利用如下语句求得特征值和特征向量： [V ,D]=eig(K,M); %特征向量矩阵和特征值矩阵 其中D 为特征值矩阵（对角阵），V 为对应的特征向量矩阵。
2、对特征值和特征向量进行排序，求固有频率i ω和振型i φ，进而得到振型矩阵Φ（习惯上令振型i φ中第一个元素为1）。
我们习惯上对特征值按从小到大的顺序进行排序，这就要求对得到的特征值进行排序，其对应的特征向量也要进行相应的排序。
关于排序的算法，有很多，这里采用冒泡法进行排序。
利用i ω=2ii f ωπ=求得固有频率。
V1=zeros(n,n); VN=zeros(n,n); for i=1:nV1(:,i)=V(:,i)/V(1,i); %求振型矩阵，各列除以各列的第一个元素 end3、振型矩阵Φ关于主质量归一化，得到正则振型矩阵N Φ。
由前面论述，可利用Nr r r φμφ=，r μ==N Φ。
Mp=V1'*M*V1; %主质量矩阵Kp=V1'*K*V1; %主刚度矩阵 Cp=V1'*C*V1; for i=1:nVN(:,i)=V1(:,i)/sqrt(Mp(i,i)); %求正则振型矩阵 end验证程序：MNp=VN'*M*VN; %结果为1对角阵，与理论相符合 KNp=VN'*K*VN; %结果为特征值对角阵，与理论相符合 CNp=VN'*C*VN; %若CNp 为对角阵，则原方程组可以解耦 4、将初始条件变换到正则坐标上。