统计量与抽样分布
数理统计基础公式详解样本统计量与抽样分布
数理统计基础公式详解样本统计量与抽样分布数理统计作为一门重要的学科，为我们分析和理解数据提供了基础和方法。
在数理统计中，样本统计量和抽样分布是两个关键概念。
本文将详细解释这些概念，并介绍相关的公式和定理。
一、样本统计量样本统计量是从数据样本中计算得到的数值，用于描述总体的特征。
常用的样本统计量有平均值、方差、标准差、相关系数等。
下面我们将详细介绍这些统计量以及它们的计算公式。
1. 平均值平均值是一组数据的总和除以观测数量，用于衡量数据的集中趋势。
样本平均值的计算公式如下：\[ \overline{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n} \]其中，\( \overline{x} \) 表示样本平均值，\( x_i \) 表示第 i 个观测值，n 表示观测数量。
2. 方差方差衡量了一组数据的离散程度，它表示各观测值与平均值之差的平方和的平均值。
样本方差的计算公式如下：\[ S^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \overline{x})^2}{n-1} \]其中，\( S^2 \) 表示样本方差，\( x_i \) 表示第 i 个观测值，\( \overline{x} \) 表示样本平均值，n 表示观测数量。
3. 标准差标准差是方差的平方根，用于衡量数据的离散程度。
样本标准差的计算公式如下：\[ S = \sqrt{S^2} \]其中，S 表示样本标准差，\( S^2 \) 表示样本方差。
4. 相关系数相关系数衡量了两个变量之间的线性关系的强弱和方向。
样本相关系数的计算公式如下：\[ r = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \overline{x})(y_i -\overline{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \overline{x})^2 \sum_{i=1}^{n} (y_i - \overline{y})^2}} \]其中，r 表示样本相关系数，\( x_i \) 和 \( y_i \) 分别表示第 i 个观测值的两个变量，\( \overline{x} \) 和 \( \overline{y} \) 分别表示两个变量的样本平均值，n 表示观测数量。
概率论与数理统计(06)第6章 统计量及其抽样分布
σx =
σ
n
当样本容量足够 大时( 大时(n ≥ 30) ， 样本均值的抽样 分布逐渐趋于正 态分布
6 - 11
µx = µ
xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x 的分布趋 于正态分布 的过程
6 - 12
6.4 正态总体 6.3.1 χ2分布 6.3.2 t 分布 6.3.3 F 分布
6 - 13
χ2 分布
第六章 样本与统计量
6.1引言 6.1引言
数理统计学： 运用概率论的基础知识，对要研究的随机现象进行 多次观察或试验，研究如何合理地获得数据资料， 建立有效的数学方法，根据所获得的数据资料，对 所关心的问题作出估计与检验。
6-1
§6.2总体与样本 6.2总体与样本
对某一问题的研究对象全体称为总体。 组成总体的某个基本单元，称为个体。 总体可以是具体事物的集合，如一批产品。 也可以是关于事物的度量数据集合，如长度测量。 总体可以包含有限个个体，也可以包含无限个个体。 有限总体在个体相当多的情况下，可以作为无限 总体进行研究。 总体中的个体，应当有共同的可观察的特征。该 特征与研究目的有关。
6 - 16
χ2分布
(图示) 图示)
n=1 n=4 n=10
n=20
6 - 17 不同容量样本的抽样分布
χ2
t 分布
6 - 18
t 分布
1. 高 塞 特 (W.S.Gosset) 于 1908 年 在 一 篇 以 (W. “Student”(学生)为笔名的论文中首次提出 Student”(学生)
X ~ N(µ,σ ) ，则
2
χ2分布
2. 3.
z=
X −µ
Y=z
(概率论与数理统计 茆诗松) 第5章 统计量及其分布
均匀分布，分布列为
x0 1 2
p 1/3 1/3 1/3
现从中抽取容量为3的样本，其一切可能取值有 33=27种， (表5.3.6)
x0 1 2
p 1/3 1/3 1/3
P(x(1)=0) = ?
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
可给出的 x(1) , x(2), x(3) 分布列如下 ：
n
(x x ) 0. i i1
定理5.3.2 数据观测值与均值的偏差平方和 最小，即在形如 (xic)2 的函数中，
(xi x)2最小，其中c为任意给定常数。
样本均值的抽样分布：
定理5.3.3 设x1, x2, …, xn 是来自某个总体的样本，
x 为样本均值。
(1) 若总体分布为N(, 2)，则
是将样本观测值由小到大排列后得到的第 i 个 观测值。
其中， x(1)=minx1, x2,…, xn称为该样本的最小次序统计量， 称 x(n)=maxx1,x2,…,xn为该样本的最大次序统计量。
在一个样本中，x1, x2,…,xn 是独立同分布的，而 次序统计量 x(1), x(2),…, x(n) 则既不独立，分布也 不相同，看下例。
则
p R ( r ) 0 1 r n ( n 1 ) [ ( y r ) y ] n 2 d y n ( n 1 ) r n 2 ( 1 r )
这正是参数为(n1, 2)的贝塔分布。
5.3.6 样本分位数与样本中位数
样本中位数也是一个很常见的统计量，它也是 次序统计量的函数，通常如下定义：
在n
不大时，常用
s2
1 n n1i1
(xi
x)2
第6章-统计量及其抽样分布
对应于每个数值的相对出现频数排成另一列， 由此，全部可能的样本统计量值形成了一个概 率分布，这个分布就是我们想要得到的抽样分 布。
样本均值的抽样分布 与中心极限定理
当总体服从正态分布N(μ,σ2)时，来自该总体的所有 容量为n的样本的均值x也服从正态分布，x 的数
1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 x
样本均值的抽样分布
所有样本均值的均值和1.0 1.5 4.0 16
2.5 m
n
(xi mx )2
s
2 x
i 1
M
M为样本数目
(1.0 2.5)2
(4.0 2.5)2
s2
0.625
16
n
1. 样本均值的均值（数学期望）等于总体均值 2. 样本均值的方差等于总体方差的1/n
从检查一部分得知全体。
复习 抽样方法
抽样方式
概率抽样
非概率抽样
简单随机抽样 整群抽样
多阶段抽样
分层抽样 系统抽样
方便抽样 自愿样本 配额抽样
判断抽样 滚雪球抽样
6.2.1 抽样分布 (sampling distribution)
1. 样本统计量的概率分布，是一种理论分布
在重复选取容量为n的样本时，由该统计量的所有可 能取值形成的相对频数分布
2. 随机变量是 样本统计量
样本均值, 样本比例，样本方差等
3. 结果来自容量相同的所有可能样本
4. 提供了样本统计量长远而稳定的信息，是进行推 断的理论基础，也是抽样推断科学性的重要依据
抽样分布的形成过程 (sampling
distribution)
统计学 统计量及其抽样分布
定义：设随机变量X1，X2，…Xn相互独立，且Xi
服从标准正态分布N（0，1），则它们的平方和 n
X
2 i
服从自由度为n的c2分布。
i 1
c2分布主要适用于拟合优度的检验、独立性检 验以及对总体方差的估计和检验。
卡尔·皮尔逊(Karl Pearson)是英国著名的统 计学家、生物统计学家、 应用数学家,又是名副其 实的历史学家、科学哲学 家、伦理学家、民俗学家 、人类学家、宗教学家、 优生学家、弹性和工程问 题专家、头骨测量学家, 也是精力充沛的社会活动 教育改革家、社会主义 家、律师、自由思想者、 者、妇女解放的鼓吹者、 婚姻和性问题的研究者, 亦是受欢迎的教师、编 辑、文学作品和人物传 记的作者.
即
(n 1)s 2 ~ c 2 (n 1) 2
6.7.2 两个样本方差比的分布
1. 两 个 总 体 都 为 正 态 分 布 ， 即 X1~N(μ1 ,σ12) ， X2~N(μ2 ,σ22 )
2. 从两个总体中分别抽取容量为n1和n2的独立样本
3. 两个样本方差比的抽样分布，服从分子自由度为 (n1-1)，分母自由度为(n2-1) 的F分布，即
复抽样条件下，共有42=16个样本。所有样本的 结果如下表
所有可能的n = 2 的样本（共16个）
第一个
第二个观察值
观察值
1
2
3
4
1
1，1 1，2 1，3 1，4
2
2，1 2，2 2，3 2，4
3
3，1 3，2 3，3 3，4
4
4，1 4，2 4，3 4，4
计算出各样本的均值，如下表。并给出样 本均值的抽样分布
n
x
三大抽样分布及常用统计量的分布.
2
2
~ (n 1)
2
(4.1)
与以下补充性质的结论比较： 性质 设(X1，X2，…，Xn)为取自正态总体
X～N( ， 2)的样本，则
(X i ) i 1
n
2
2
~ (n)
2
2分布的上侧分位点
定义2：设 2～ 2 (n), 对于给定的正数 （0 1 ） ,称
2 1 n X X i ~ N , n i 1 n
——分布
2
定义
设总体 X ~ N 0,1 ， X1, X 2 ,..., X n 是 X
2 服从自 Xn
2 的一个样本, 则称统计量 2 X12 X 2
由度为n的 2 分布，记作 2 ~ 2 (n) 自由度是指独立随机变量的个数， df
X n X T ~ t(n 1) 2 S n (n 1)S (n 1) 2
设(X1，X2，…，Xn)为来自正态总体 X～N( ， 2)的样本，则统计量
由定义3得
别是来自正态总体N(1 ，2)和N(2 ，2)的样本，且 它们相互独立，则统计量
定理5 设(X1，X2，…，Xn1)和(Y1，Y2，…，Yn2) 分
例如，当n=21，=0.05时，由附表3(P254)可查得，
(21) 32.67
2 0.05
即 P
(21) 32.67 0.05.
2
定义3
二、t分布 设随机变量X～N(0，1)，Y～ 2(n) ，
且X与Y相互独立，则称统计量 记作 服从自由度为n的t分布， t分布的概率密度函数为
定理1 设(X1，X2，…，Xn)为取自正态总体X～N( ， 2)
概率论与数理统计教案统计量和抽样分布
概率论与数理统计教案-统计量和抽样分布一、教学目标1. 理解统计量的概念，掌握常见统计量的计算方法。
2. 了解抽样分布的定义，掌握正态分布、t分布、卡方分布等常见抽样分布的特点及应用。
3. 学会使用抽样分布进行假设检验和置信区间的估计。
二、教学内容1. 统计量的概念及计算方法统计量的定义样本均值、样本方差、样本标准差等常见统计量2. 抽样分布的定义及特点抽样分布的定义正态分布、t分布、卡方分布等常见抽样分布的特点3. 抽样分布的应用假设检验置信区间的估计三、教学方法1. 讲授法：讲解统计量的概念、计算方法，抽样分布的定义及特点。
2. 案例分析法：通过具体案例，让学生学会使用抽样分布进行假设检验和置信区间的估计。
3. 互动教学法：引导学生参与课堂讨论，提问、解答问题，提高学生的积极性和主动性。
四、教学步骤1. 引入统计量的概念，讲解样本均值、样本方差、样本标准差等常见统计量的计算方法。
2. 讲解抽样分布的定义，介绍正态分布、t分布、卡方分布等常见抽样分布的特点及应用。
3. 通过具体案例，让学生学会使用抽样分布进行假设检验和置信区间的估计。
五、课后作业1. 复习本节课的内容，整理笔记。
2. 完成课后习题，加深对统计量和抽样分布的理解。
3. 选择一个感兴趣的话题，运用抽样分布进行实际问题的分析。
六、教学评估1. 课堂提问：通过提问了解学生对统计量和抽样分布的理解程度。
2. 课后习题：检查学生对课堂内容的掌握情况。
3. 实际案例分析：评估学生运用抽样分布解决实际问题的能力。
七、拓展与延伸1. 引导学生探讨抽样分布在其他领域的应用，如经济学、生物学等。
2. 介绍与抽样分布相关的高级主题，如非参数统计、贝叶斯统计等。
3. 鼓励学生参加相关竞赛、研究项目，提高实践能力。
八、教学资源1. 教材：概率论与数理统计相关教材。
2. 课件：PPT课件，辅助学生理解统计量和抽样分布的概念及应用。
3. 案例资料：提供具体案例，方便学生学会使用抽样分布进行假设检验和置信区间的估计。
数理统计学：统计量与抽样分布
1.1 总体和样本 1.2 统计量与估计量 1.3 抽样分布 1.4 次序统计量 1.5 充分统计量 1.6 常用的概率分布族
数理统计学 是探讨随机现象统计规律性的一门学科, 它以概率论为理论基础,研究如何以有效的方式收集、 整理和分析受到随机因素影响的数据,从而对所研究对 象的某些特征做出判断。
1.1.2 样本
(2) 抽样, 即从总体抽取若干个个体进行检查或观察,用所 获得的数据对总体进行统计推断。 由于抽样费用低,时间 短,实际使用频繁。本书将在简单随机抽样的基础上研究各 种合理的统计推断方法,这是统计学的基本内容。应该说, 没有抽样就没有统计学
1.1.2 样本
• 从总体中抽出的部分(多数场合是小部分)个体组成的集合 称为样本。
(2)
(n 1)s2
2
~χ2(n-1);
(3) x与s2相互独立。
1.3.2 样本方差的抽样分布
例1.3.3
分别从正态总体N(μ1,σ2)和N(μ2,σ2)中抽取容
量为n1和n2的两个独立样本,其样本方差分别
为
s2 1
和
s2 2
。
(1)证明:对α∈(0,1),
s s s 2 2 (1) 2
Fn(x)依概率收敛于F(x)
1.2.3 样本的经验分布函数及样本矩
定理1.2.1(格里汶科定理)
对任给的自然数n,设x1,x2,…,xn是取自总体分布函数F(x) 的一组样本观察值,Fn(x)为其经验分布函数,记
则有
Dn sup Fn x F x
x
P
lim
n
Dn
0
1
1.2.3 样本的经验分布函数及样本矩
0
Fn x k / n
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联合概率函数为
n
f ( X1, X2,, Xn为来自总体 X ~ N (, 2 ) 的样本,
则样本的联合密度为
n
f (x1,, xn)
i 1
1
e
(xi
2 2
)2
2统计量与抽样分布
(
1
2 )n
e
1 2
2
i
n
( 1
xi
)2
第二节 统计量
样本均值
(2)S2n11i n1(Xi X)2
样本方差；
(3)S
1n n1i1(Xi
X)2
样本标准差
(4)Mk n 1i n1Xik,k1,2,
样本k阶(原点)矩
(5)M k n 1i n1(XiX)k,k1,2, 样本k阶中心矩 k2时M ， 2 1 ni n1(XiX)2称 统计量为 与抽样分样 布 本的 ，未 记 Sn 2修 为 nn 1正 S2 方
样本是随机的，样本观测值是确定的。 • 如果样本满足同分布、独立性（iid）则为简单随
机样本。 • 样本所包含的总体单位个数称为样本容量，一般
用ｎ表示。在实际工作中，人们通常把ｎ≥30的 样本称为大样本，而把n<30的样本称为小样本。
统计量与抽样分布
设 X1, X 2 ,是,来X n自总体
的X 样~ F本(x)
( C ) X 1 2 X 2 2 3( D ) X 1 2 X 2
统计量与抽样分布
推断统计研究的重点——寻找统计量及其分布 ——利用概率论对总体进行推断
• 统计量通常是随机变量，但统计量的观测值是确 定的，没有随机性。比如，如果（x1,x2,…,xn） 是样本（X1，X2，…,Xn）的观测值，那么 T(x1,x2,…,xn）为统计量T(X1,X2…Xn)的观测值。 则T(X1,X2…Xn)是随机变量。
由引例：每批麦子 每批麦子的每单位出酒量的
数值
编制变量的分布数列
实物总体 数值总体 分布总体
总体的含义可抽象为统所计感量与兴抽样趣分的布 变量及其分布。
第6章 统计量与抽样分布
二、统计推断中的样本及其性质 按照随机原则，通过观测或实验的方法所获
得的总体中一部分个体的取值称为样本。每个个 体的取值称为样本点或样品。
是用样本统计量的性
质推断总体参数的特
征。
统计量与抽样分布
样本
第6章 统计量与抽样分布
统计量与抽样分布
主要内容
• 总体和样本的统计分布 • 统计量 • 抽样分布
统计量与抽样分布
第一节 总体和样本的统计分布
• 一、统计推断中的总体及总体分布
• 总体的概念
总体是根据一定的目的确定的所要研究的事物 的全体，它是由客观存在的、具有某种共同性质 的众多个体构成。总体中的各个单位称为个体。
• 一、统计量与统计量的分布
1 、统计量定义 设(X1,X2…,Xn)是总体X的样本,则由样本 （X1,X2…Xn）构成的且不含任何未知参数的函数 T(X1,X2…Xn)称为统计量。 例：设(X1,X2)是总体N(,2) 的一个样本,其中 已知， 未知参数,则下列哪个不是统计量：
(A)X1/
(B) X1 X2 2
最大顺序统计量X(n)=max X1，X2，…，Xn
最小顺序统计量X(1)=min统X计1量，与X抽2样，分…布，Xn
• 统计量是随机变量，那么它应该有概率分布。统 计量的分布也称抽样分布。
– 统计量的分布不一定和总体分布一致。
• 在统计推断中，一个重要的工作就是寻找统计量， 导出统计量的抽样分布或渐近分布。
统计量与抽样分布
2、常用统计量
设（X1，X2，…,Xn）为总体X的样本，则
(1)X__1 n ni1
Xi
引例
• 1899年，戈塞特进入都柏林A.吉尼斯父子酿酒公司担任酿 酒化学技师，从事统计和试验工作。他发现，供酿酒的每 批麦子质量相差很大，而同一批麦子仲能抽样供试验的麦 子又很少，每批样本在不同的温度下做式样其结果相差很 大，这决定了不同批次和温度的麦子样本是不同的，不能 进行样本合并，这样一来实际上取得的麦子样本不可能是 大样本，只能是小样本。小样本得出的结果和正态分布有 较大差异，特别是尾部比正态分布高……
此外，还有
• 1、顺序统计量
(X1，X2，…，Xn)是总体X的一个简单随机样本，(x1， x2，…，xn)是一个样本观察值，将它由小到大的顺序排 列，得到x(1)≤x(2)≤…≤x(n) ，取x(i)作为X(i)的观测值， 由此得到的统计量X(1)，X(2)，…，X(n)称为样本(X1， X2，…，Xn)的一组顺序统计量，X(i)称为第i个顺序统计 量．其中，
• 大样本和小样本有什么差异？如何用样本推断总体？
统计量与抽样分布
• 统计方法
描述统计
推断统计
参数估计
假设检验
统计量与抽样分布
所谓统计推断，就是根据概率论所揭示的随机变 量的一般规律性，利用抽样调查所获得的样本信息， 对总体的某些性质或数量特征进行推断。
统计推断
参数估计 假设检验
这两类问题的基本原理是一致的，只是侧重点不同 而已。 参数估计问题侧重于用样本统计量估计总体的某一 未知参数； 假设检验问题侧重于用样本资料验证总体是否具有 某种性质或数量特征。
随机变量N(,2) 随机变量N(,2)的值
统计量与抽样分布
2、样本的联合分布
设 X1 , X2 ,, Xn 为来自总体 X ~ F(x)的样本，则样本的
联合分布函数为
n
F (x1, x2 ,, xn) F (xi )
i 1
设 X1, X2,, Xn 为来自总体 X ~ f (x) 的样本，则样本的
统计量与抽样分布
• 由于统计推断是根据观察到的部分数据对总体作 出推测，因此推测就不可能绝对准确，有一定的 不确定性。这种不确定性的程度可以用概率的大 小来表示。
统计量与抽样分布
总体与样本
总体
由样本信息作为总体信值息估 计
X ?
这个企业员工的月
信
息
x
n i 1
xi
/n
平均收入是多少？
x 统计学的重要意义就 抽取一小部分
X1, X2,, Xn 是一堆“杂乱无章”的数据 X1, X2,, Xn 包含了有关总体的“信息” X1, X2,, Xn 是对总体进行推断的依据
在观察前 X1, X2,是, 一Xn组独立同分布r.v 在观察后 x1, x2,是, 一xn 组具体的数据
统计量与抽样分布
对象：某大学新生的身高
总体X 观察值