统计量与抽样分布【精选】
数理统计基础公式详解样本统计量与抽样分布
数理统计基础公式详解样本统计量与抽样分布数理统计作为一门重要的学科，为我们分析和理解数据提供了基础和方法。
在数理统计中，样本统计量和抽样分布是两个关键概念。
本文将详细解释这些概念，并介绍相关的公式和定理。
一、样本统计量样本统计量是从数据样本中计算得到的数值，用于描述总体的特征。
常用的样本统计量有平均值、方差、标准差、相关系数等。
下面我们将详细介绍这些统计量以及它们的计算公式。
1. 平均值平均值是一组数据的总和除以观测数量，用于衡量数据的集中趋势。
样本平均值的计算公式如下：\[ \overline{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n} \]其中，\( \overline{x} \) 表示样本平均值，\( x_i \) 表示第 i 个观测值，n 表示观测数量。
2. 方差方差衡量了一组数据的离散程度，它表示各观测值与平均值之差的平方和的平均值。
样本方差的计算公式如下：\[ S^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \overline{x})^2}{n-1} \]其中，\( S^2 \) 表示样本方差，\( x_i \) 表示第 i 个观测值，\( \overline{x} \) 表示样本平均值，n 表示观测数量。
3. 标准差标准差是方差的平方根，用于衡量数据的离散程度。
样本标准差的计算公式如下：\[ S = \sqrt{S^2} \]其中，S 表示样本标准差，\( S^2 \) 表示样本方差。
4. 相关系数相关系数衡量了两个变量之间的线性关系的强弱和方向。
样本相关系数的计算公式如下：\[ r = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \overline{x})(y_i -\overline{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \overline{x})^2 \sum_{i=1}^{n} (y_i - \overline{y})^2}} \]其中，r 表示样本相关系数，\( x_i \) 和 \( y_i \) 分别表示第 i 个观测值的两个变量，\( \overline{x} \) 和 \( \overline{y} \) 分别表示两个变量的样本平均值，n 表示观测数量。
统计量及抽样分布-64页精选文档
6.1.1 6.1.2 6.1.3 6.1.4
统计量的概念 常用统计量 次序统计量 充分统计量
统计学
STATISTICS (第三版)
Hale Waihona Puke 参数和统计量1.参数(parameter)
描述总体特征的概括性数字度量，是研究者想要了解的 总体的某种特征值
一个总体的参数：总体均值()、标准差()、总体比例() ；两个总体参数：(1 -2)、(1-2)、(1/2)
常用统计量
VS X
mk
1 n
n i1
Xik
vk
1 n
n
(Xi
i1
X)k
4-4
2008年8月
次序统计量
哪些是次序统计量： 中位数、分位数、四分位数、极差和均值
充分统计量
统计计量加工过程中一点信息都不损 失的统计量通常称为充分统计量。
6.2 关于分布的几个概念
6.2.1 抽样分布 6.2.2 渐近分布 6.2.3 随机模拟获得的近似分布
语法：CHIDIST(x,degrees_freedom) ，其中df为自 由度，x,是随机变量的取值
2. 利用【CHIINV】函数则可以计算给定右尾概率和 自由度时相应的反函数值
语法：CHIINV(probability,degrees_freedom)
用Excel计算2 分布的概率
4 - 15
α
t1-α=-t α
4 - 19
α tα(n)
2008年8月
统计学
STATISTICS (第三版)
两个重要结论
结论1:
设总体X服从正态分布N（μ，σ2）, σ2未 知.(x1,x2,…xn)为来自该总体的样本,则统计量
第九章统计量和抽样分布
2
Xi X
样本方差
1 n
x n i1 xi
观 察 值
s2 1 n n i1
2
xi x
S
1n n i1
2
Xi X
样本标准差
s
1n n i1
2
xi x
S 2 1 n n 1 i1
Xi X
2
样本方差(修正)
样本相关系数
样本相关系数:
n
(xi x)( yi y)
rxy i1
SxSy
其中 x, y 分别为数据{xi}，{yi}的样本均值,而Sx，Sy则
分别为样本标准差
|rxy|≤1 当rxy=±1时 称数据极大相关；当rxy=0时 称数据不相关；
当rxy>0时 称数据为正相关；当rxy<0时 称数据为负相关.
i 1
X1, X 2 ,, X n 相互独立,
则
E(Xi ) 0,
D(Xi ) 1,
E(
X
2 i
)
1
EU E
n
X
2 i
n
i1
E
(
X
4 i
)
1
x
4e
x2 2
dx
3
2
D(
X
2 i
)
E(
X
4 i
)
E
2
(
X
2 i
)
2
DU D
第二节 常用统计量
样本均值
常 描述数据的中心位置 用 统 计 量
统计量及其抽样分布
E
X
n
n
2
,
n
2D
X
2n2 m n 2 mn 2n 4
,
n
4
6.4 样本均值的分布与中心极限定理
当总体分布为正态分布N , 2 时，可以
得到下面的结果：X 的抽样分布仍为正态分布，
数学期望为 ，方 差为 ， 则2 n
X : N , 2 n
当用样本均值估计总体均值时，平均来
说没有偏差（无偏性）；当n越来越大时，X 的 分散程度越来越小，估计越来越准确。
（1）计算样本均值小于9.9的近似概率
（2）计算样本均值超过9.9的近似概率
（3）计算样本均值在总体均值附近0.1范围内 的近似概率
根据中心极限定理，不论总体分布是什么形 状，当n充分大时，样本均值的分布近似服从 正态分布 X : N 10，0.62 36
PX
9.9
P
X 10 0.1
9.9 10 0.1
布，记为 t : t n
n 2时，E t 0
n 3时，D t n
n2
如果X : N , 2
则 n X
, , , X
1 n
n i 1
Xi
S2
1 n 1
n i 1
(Xi
X )2
: t n 1
S
如果X,Y是两个相互独立的总体，
X :
N
1, 2
，Y :
N
2, 2
，X
【例】设一个总体，含有4个元素（个体）， 即总体单位数N=4。4 个个体分别为X1=1、 X2=2、X3=3 、X4=4 。
总体的均值、方差及分布如下
1 N
n i 1
Xi
统计量与抽样分布【精选】
联合分布函数为
n
F (x1, x2 ,, xn) F (xi )
i 1
设 X1, X2,, Xn 为来自总体 X ~ f (x) 的样本，则样本的
联合概率函数为 n f (x1, x2 ,, xn) f (xi ) i 1
设 X1, X2,, Xn为来自总体 X ~ N (, 2 ) 的样本,
1
2
x t2
e 2 dt
4． 2(n)分布的上 分位点：
设 2~ 2(n)，对于给定的正数 (0 1)，
称满足条件
P{ 2 2 (n)}
f (x)dx
2 (n)
的点
2
(n)为
2(n)
分布的上
分位点．
例如 取 0.1, n 25，则查表有
t (n) t1 (n), t (n) u ．
5.t分布自由度越小，分布的方差越大，分布比较平坦。 当自由度较大时，方差较小，越接近标准正态分布。
最大顺序统计量X(n)=max X1，X2，…，Xn
最小顺序统计量X(1)=min X1，X2，…，Xn
2、样本中位数
Me
X (m1) ,
1 2
(
X
(
m)
X (m1) )
当n 2m 1 ,当n 2m
3、样本极差
R=X(n)- X(1)
4、样本p阶分位数
Mp
X [ np ]
2
3．分布的性质：
性质1：设 ~2 (2n)，则E( 2)=n，D( 2)=2n．
证：因Xi~N(0,1)，E(Xi2)=1 ，D(Xi)=1．
概率与统计中的统计量与抽样分布
概率与统计中的统计量与抽样分布在概率与统计学中，统计量与抽样分布是两个重要的概念。
统计量是用来描述样本数据的特征，而抽样分布则是研究统计量在重复取样过程中的概率分布。
本文将介绍统计量和抽样分布的基本概念，并对其在概率与统计学中的应用进行讨论。
一、统计量的定义与分类统计量是用于对样本数据进行总结和描述的量。
它通过计算样本数据的函数得到，可以是一个数值、一个向量或一个矩阵。
常见的统计量包括样本均值、样本方差、样本标准差等。
样本均值是最常用的统计量之一，表示样本数据的平均水平。
对于一个具有n个观测值的样本，样本均值的计算公式为：1/n样本均值= Σ xi * -------i=1其中，xi表示第i个观测值。
样本方差是衡量样本数据分散程度的统计量。
它的计算公式为： 1/n样本方差 = Σ(xi - x)^2 * -------i=1其中，xi表示第i个观测值，x表示样本均值。
除了样本均值和样本方差，还有许多其他的统计量，如样本中位数、样本偏度、样本峰度等。
这些统计量在实际问题中起着重要的作用，可以帮助我们理解和分析数据。
二、抽样分布的基本概念抽样分布是指在某一总体中，从中抽取样本的所有可能组合，并计算其统计量的概率分布。
抽样分布的性质是概率论和数理统计中的重要内容。
它与样本容量、样本分布以及统计量的选择有关。
常见的抽样分布包括正态分布、t分布和F分布。
其中，正态分布是最重要和最常用的抽样分布，具有许多重要的性质。
对于均值为μ、方差为σ^2的正态总体，样本均值的抽样分布也服从正态分布，其均值为μ，方差为σ^2/n。
这一性质被称为中心极限定理，是许多统计推断方法的基础。
t分布是在样本容量较小、总体标准差未知的情况下使用的抽样分布。
t分布的形状与样本容量有关，当样本容量较大时，t分布逼近于标准正态分布。
F分布是用于比较两个样本方差是否显著不同的抽样分布。
F分布的形状取决于两个样本容量的大小，具有非对称的特点。
统计量和抽样分布
( Ｘ i ) 2 当 为 已 知 时 ,是 统 计 量 ,未 知 时 不 是 统 计 量 .
i 1
二、常用的统 计量
样本均值
样本方差与标 准差
样本中位数， 分位数
样本相关系数
EX4 x4
1
x2
e 2dx3
2
D X 2 E X 4 (E X 2 )2 3 1 2 2
D2=Dn X2n DX22n i=1 i=1
Chapter 8 统计量和抽样
分布
• 概率统计: 概率论&数理统计? • Chapter 1~ Chapter 7.
• Chapter 8~ Chapter 12.
• 两个常见的统计分析软件
(1)SAS(Statistical Analysis System) (2)SPSS.
01
概率与统计在研究形式及研 究方法上的不同之处:
(数理)统计学就是使用有效方法收集并整理数据、分析 数据, 进而得出结论的一门学科.
统计学的主要内容: 抽样调查、试验设计、点估计、区 间估计和假设检验.
统计方法的特点
数据推理. “一切由数据说话”.
结果具有随机性.
研究和揭示现象之间在数量层面上的 相关关系，但不肯定有因果关系;
例：吸烟有害健康？
第一节 统计 与统计学
一、统计的研究对象
• 例1 某厂生产的元件是否合格. • 例2 总统选举之民意测验. • 统计的研究对象是(1)大量现象中(2)总
体的数量特征.
•
统计特征：1、大量的现象？
社会经济现象， 自然现象
2、数量特征
（二者都具有客观性，与纯粹的数 学相区别）
从一个层面看, 总体就是统计问题所要研究的对象全体, 其中每 个对象就是个体.
【优秀文档】统计量及其抽样分布 PPT
2分布
(图示)
n=1 n=4
n=10
n=20
2
当n→∞，2分布的极限分布是正态分布
t分布 （Students 分布）
设随机变量X服从标准正态分布，随机 变量Y服从自由度为n的 χ 2分布，且X与Y 相互独立，则称随机变量：
T X Y /n
服从自由度为n的t分布，
记为T～t（n）
(学生) t 分布 Student’s t Distribution
例：某厂商声称其生产的电瓶具有均值为 质的检抽部 样门分为布检服验从该自厂由的度说为法(n是-1否) 正2确分，布随，机即抽取50个该厂生产的电瓶进行寿命实验。
中心极限定理：设从均值为 ，方差为 2的一个任意总体中抽取容量为n的样本，当n充分大时，样本均值的抽样分布近似服从均值 为(cμe、nt方ral差lim为it theorem的)正态分布。
（称2F为）服：从假自定由该度厂n商和声m称的是F分正布确，的记，为50个样本的平均寿命不超过57个月的概率是多少？ 当2样分本布容量足够大时(n 30) ，样本均值的抽样分布逐渐趋于正态分布
(在性简质单和随特机点抽) 样中，样本具有随机性，样本的参数 , s2等也会随着样本不同而不同，故它们是样本的函数，记为T（x1, x2,……, xn）
60个月、标准差为6个月的寿命分布。质检 两t (个df样=本13均) 值之差
的抽样分布服从正态分布，其分布的数学期望为两个总体均值之差
设当随x服机从变t（量nX）服分从布标，准x正2服态从分F布（，1，随n机）变分量布Y服从自由度为n的 分布，且X与Y相互独立，则称随机变量：
称设F随为机服变从量自X由服度从n标和准m正的态F分分布布，，记随为机变量Y服从自由度为n的 分布，且X与Y相互独立，则称随机变量：
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对象：某大学新生的身高
总体X 观察值
随机变量N(,2) 随机变量N(,2)的值
2、样本的联合分布
设 X1 , X2 ,, Xn 为来自总体 X ~ F(x)的样本，则样本的
(2)S 2
1 n 1
n i 1
(Xi
X
)2
样本方差；
(3)S
1 n 1
n i 1
(Xi
X
)2
样本标准差
(4)M k
1 n
n i 1
Xik, k
1,2,
样本k阶(原点)矩
(5)M k
1 n
n i 1
(Xi
X )k ,k
1,2,
样本k阶中心矩
k
联合分布函数为
n
F (x1, x2 ,, xn) F (xi )
i 1
设 X1, X2,, Xn 为来自总体 X ~ f (x) 的样本，则样本的
联合概率函数为 n f (x1, x2 ,, xn) f (xi ) i 1
设 X1, X2,, Xn为来自总体 X ~ N (, 2 ) 的样本,
• 统计量是随机变量，那么它应该有概率分布。统 计量的分布也称抽样分布。
– 统计量的分布不一定和总体分布一致。
• 在统计推断中，一个重要的工作就是寻找统计量， 导出统计量的抽样分布或渐近分布。
2、常用统计量
设（X1，X2，…,Xn）为总体X的样本，则
__
(1) X
1 n
n i 1
Xi
样本均值
机样本。
• 样本所包含的总体单位个数称为样本容量，一般 用ｎ表示。在实际工作中，人们通常把ｎ≥30的 样本称为大样本，而把n<30的样本称为小样本。
设 X1, X 2,, X n 是来自总体 X ~ F(x) 的样本 X1, X2,, Xn 是一堆“杂乱无章”的数据 X1, X2,, Xn 包含了有关总体的“信息” X1, X2,, Xn 是对总体进行推断的依据
2时，M 2
1 n
n i 1
(Xi
X
)
2
称为样本的未修正方差
，记为
S
2 n
n 1S2 n
此外，还有
• 1、顺序统计量
(X1，X2，…，Xn)是总体X的一个简单随机样本，(x1， x2，…，xn)是一个样本观察值，将它由小到大的顺序排 列，得到x(1)≤x(2)≤…≤x(n) ，取x(i)作为X(i)的观测值， 由此得到的统计量X(1)，X(2)，…，X(n)称为样本(X1， X2，…，Xn)的一组顺序统计量，X(i)称为第i个顺序统计 量．其中，
• 由于统计推断是根据观察到的部分数据对总体作 出推测，因此推测就不可能绝对准确，有一定的 不确定性。这种不确定性的程度可以用概率的大 小来表示。
总体与样本
总体
由样本信息作为总体信息估 计
X ?
这个企业员工的月
值
信
息
x
n i 1
xi
/n
平均收入是多少？
x 统计学的重要意义就 抽取一小部分
则样本的联合密度为
n
f (x1,, xn )
i 1
1
2
e (xi )2 2 2
1
e
1 2
2
i
n
( 1
xiFra bibliotek)2( 2 )n
第二节 统计量
• 一、统计量与统计量的分布
1 、统计量定义 设(X1,X2…,Xn)是总体X的样本,则由样本 （X1,X2…Xn）构成的且不含任何未知参数的函数 T(X1,X2…Xn)称为统计量。 例：设(X1,X2)是总体N(,2) 的一个样本,其中 已 知，未知参数,则下列哪个不是统计量：
由引例：每批麦子 每批麦子的每单位出酒量的
数值
编制变量的分布数列
实物总体 数值总体 分布总体
总体的含义可抽象为所感兴趣的变量及其分布。
第6章 统计量与抽样分布
二、统计推断中的样本及其性质 按照随机原则，通过观测或实验的方法所获
得的总体中一部分个体的取值称为样本。每个个 体的取值称为样本点或样品。
样本是随机的，样本观测值是确定的。 • 如果样本满足同分布、独立性（iid）则为简单随
是用样本统计量的性 质推断总体参数的特 征。
样本
第6章 统计量与抽样分布
主要内容
• 总体和样本的统计分布 • 统计量 • 抽样分布
第一节 总体和样本的统计分布
• 一、统计推断中的总体及总体分布
• 总体的概念
总体是根据一定的目的确定的所要研究的事物
的全体，它是由客观存在的、具有某种共同性质 的众多个体构成。总体中的各个单位称为个体。
最大顺序统计量X(n)=max X1，X2，…，Xn
最小顺序统计量X(1)=min X1，X2，…，Xn
• 大样本和小样本有什么差异？如何用样本推断总体？
• 统计方法
描述统计
推断统计
参数估计
假设检验
所谓统计推断，就是根据概率论所揭示的随机 变量的一般规律性，利用抽样调查所获得的样本信 息，对总体的某些性质或数量特征进行推断。
统计推断
参数估计 假设检验
这两类问题的基本原理是一致的，只是侧重点不同 而已。 参数估计问题侧重于用样本统计量估计总体的某一 未知参数； 假设检验问题侧重于用样本资料验证总体是否具有 某种性质或数量特征。
引例
• 1899年，戈塞特进入都柏林A.吉尼斯父子酿酒公司担任酿 酒化学技师，从事统计和试验工作。他发现，供酿酒的每 批麦子质量相差很大，而同一批麦子仲能抽样供试验的麦 子又很少，每批样本在不同的温度下做式样其结果相差很 大，这决定了不同批次和温度的麦子样本是不同的，不能 进行样本合并，这样一来实际上取得的麦子样本不可能是 大样本，只能是小样本。小样本得出的结果和正态分布有 较大差异，特别是尾部比正态分布高……
( A) X1 /
(C
)
X
2 1
X
2 2
3
(B) X1 X 2 2
(D) X1 2X 2
推断统计研究的重点——寻找统计量及其分布 ——利用概率论对总体进行推断
• 统计量通常是随机变量，但统计量的观测值是确 定的，没有随机性。比如，如果（x1,x2,…,xn） 是样本（X1，X2，…,Xn）的观测值，那么 T(x1,x2,…,xn）为统计量T(X1,X2…Xn)的观测值。 则T(X1,X2…Xn)是随机变量。