高中解析几何简化计算之点乘双根法
“双根法”在解析几何运算中的运用
待定系数法的应用范围非常广，要判断一个问题能
否可以使用待定系数法来解决，主要看该问题中给定的
已知条件是否可以转化为确定的数学表达式 . 假如可以
转换为确定的表达式，那么就可以用待定系数法求解 .
笔者挑选几道可以用待定系数法解答的有代表性的题
目，供各位同行参考 .
一、题目引入及问题剖析
【例 1】（2017 年 湖 北 省 高 考 模 拟 题）已 知 y =
求 k 的值 .
传统解法：（1）易得椭圆的方程为
x2 3
+
y2 2
= 1.
（2）设点 C（x1，y1），D（x2，y2），由 F（-1，0）得直线 CD
的方程为 y=k（x+1），
ìy = k( x + 1),
由
方
程组ïí来自x2ïî
3
+
y2 2
= 1 , 消去 y，整理得（2+3k2）x2+
6k2x+3k2-6=0.
5 4
+y1 y2= m2
y1 +
5 4m
y2 +
5 4m
+ y1 y2.
ì x = my - 1,
由
ï
í
x2
ï
î4
+
y2 2
得（m2+2）y2-2my-3=0，所以，由双 = 1,
根法可得：
( m2 + 2 ) y2 - 2my - 3 = ( m2 + 2 ) ( y - y1 ) ( y - y2 )，
( x1 + 1 ) ( x2 + 1 ) = 8. 因为 x1，x2 是方程 ( 2 + 3k2 ) x2 + 6k2 x + 3k2 - 6 = 0 的
圆锥曲线大题11，向量内积为定值，点乘双根法更便捷
圆锥曲线大题11，向量内积为定值，点乘双根法更便捷
这里的计算使用点乘双根法更便捷哦：
【方法点睛】本题的关键点就在于
【方法点睛】证明向量内积为定值的方法与前面的题目中证明方法大同小异：
（1）对于较为复杂的问题，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直线等）求出定值，进而给后面一般情况的处理提供一个方向.
（2）在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢
（3）巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算
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圆锥曲线齐次式与点乘双根法
+ = y 圆锥曲线齐次式与点乘双根法一，圆锥曲线齐次式与斜率之积（和）为定值x 2 y 2例 1：Q 1 , Q 2 为椭圆 2b 2 + b2 线OD ，求 D 的轨迹方程.= 1上两个动点，且OQ 1 ⊥ OQ 2 ，过原点O 作直线Q 1Q 2 的垂解法一（常规方法）：设Q 1 (x 1 , y 1 ),Q 2 (x 2 , y 2 ) ， D (x 0 , y 0 ) ,设直线Q 1Q 2 方程为 y = kx + m ，⎧ y = kx + m⎪联立⎨ x 2 ⎪⎩ 2b 2 y 2b2 1 化简可得:(2b 2k 2 + b 2 )x 2 + 4kmb 2 x + 2b 2 (m 2 - b 2 ) = 0 ，所以x 1x 2 = 2b 2 (m 2 + b 2 ) 2b 2k 2 + b 2, y 1 y 2 = b 2 (m 2 - 2b 2k 2 ) 2b 2k 2 + b 2因为OQ 1 ⊥ OQ 2 所以2b 2 (m 2 + b 2 ) b 2 (m 2 - 2b 2k 2 ) 2(m 2 - b 2 )m 2 - 2b 2k 2x 1x 2 + y 1 y 2 = 2b 2k 2 + b 2 + 2b 2k 2 + b 2 = 2k 2+1 + 2k 2 +1 =0∴3m 2 = 2b 2 (1+ k 2 ) *又因为直线 Q Q 方程等价于为 y - y = - x0 (x - xx x 2) ， 即 y = - 0 x + 0 + y对比于1 2 0y 0 y 0⎨ 20 00 0y y ⎧- x 0 = k y = kx + m ，则⎪ y 0x 代入* 中，化简可得： x 2 + y 2= 2b 2. 3 ⎪ 0 + y = m ⎪ y 0 ⎩ 0解法二（齐次式）：⎧ mx + ny= 1 ⎧ mx + ny = 1 ⎪ ⎪ 设直线Q 1Q 2 方程为 mx + ny = 1，联立⎨ x 2 + y 2 =⇒ ⎨ x 2 + y 2- =⎪⎩ 2b2b21⎪⎩ 2b2 b21 0x 2 y22x 2 y 2 2 2 2 22b 2 + (m x + ny ) b 2= 0 化简可得: 2b 2 + m x b 2- n y- 2mnxy = 0 整理成关于 x , y x , y 的齐次式： (2 - 2b 2n 2 ) y 2 + (1- 2m 2b 2 ) x 2 - 4mnb 2xy = 0 ，进而两边同时除以 x 2，则2 2 2 2 2 21- 2m 2b 2(2 - 2b n )k - 4mnb k +1- 2m b= 0 ⇒ k 1k 2 =2 - 2b 2n 21- 2m 2b 2因为OQ 1 ⊥ OQ 2 OQ 1 ⊥ OQ 2 所以 k 1k 2 = -1，2 - 2b 2n2= -1∴3 = 2b 2 (m 2 + n 2 ) *又因为直线 Q Q 方程等价于为 y - y = - x0 (x - xx x 2) ， 即 y = - 0 x + 0 + y 对比于1 2⎧x 0= my 0 y 0⎪ x 2 + y 22mx + ny = 1，则⎨ 0 0y 代入* 中，化简可得： x 2+ y 2= b 2 .3 0 = n ⎪ x 2 + y 2 ⎩ 0 0例 2：已知椭圆 x 2 + 24= 1，设直线l 不经过点P (0,1) 的直线交于 A , B 两点，若直线 PA , PB 的斜率之和为-1，证明：直线l 恒过定点.⎩ ⎩解：以点 P 为坐标原点，建立新的直角坐标系 x ' py ' ，如图所示：旧坐标 新坐标(x , y ) ⇒ (x ', y ')即(0,1) ⇒ (0, 0)⎧ x ' = x ⎧ A → A ' 所以⎨ y ' = y -1 ⇒ ⎨B → B '原来 k + k = -1⇒y 1 -1 + y 2 -1 = -1 则转换到新坐标就成为： y 1 ' + y 2 '= -1PAPBx x x ' x ' 1 21 2即k 1 '+ k 2 ' = -1设直线l 方程为： mx '+ ny ' = 1原方程： x 2 + 4 y 2 = 4 则转换到新坐标就成为： x '2 + 4( y '+1)2= 4展开得： x '2 + 4 y '2+ 8 y ' = 0⎨⎪x' ⎩ ⎩ 构造齐次式： x '2 + 4 y '2+ 8 y '(mx '+ ny ') = 0整理为： (4 + 8n ) y '2 + 8mx ' y '+ x '2= 0两边同时除以 x '2 ，则(4 + 8n )k '2+ 8mk '+1 = 0所以 k '+ k ' = -8m= -1 所以 2m - 2n = 1 ⇒ m = n + 1124 + 8n 21 x '而 mx '+ ny ' = 1 ∴(n + )x '+ ny ' = 1 ⇒ n (x '+ y ') + -1 = 0 对于任意 n 都成立.2 2⎧x '+ y ' = 0则： ⎪⇒ -1 = 0 ⎩ 2⎧ x ' = 2 ⎨ y ' = -2，故对应原坐标为⎧ x = 2 ⎨ y = -1所以恒过定点(2, -1) .x 2例 3：已知椭圆y 2+ = 1，过其上一定点 P (2,1) 作倾斜角互补的两条直线，分别交于椭 8 2圆于 A , B 两点，证明：直线 AB 斜率为定值.解：以点 P 为坐标原点，建立新的直角坐标系 x ' py ' ，如图所示：旧坐标新坐标(x , y ) ⇒ (x ', y ')即(2,1) ⇒ (0, 0)所以⎧x ' =x - 2⇒⎧A →A '⎨y '=y -1⎨B →B '⎩⎩原来k +k = 0 ⇒ y1-1+y2-1= 0 则转换到新坐标就成为：y1'+y2'= 0PA PB x - 2 x -1 x ' x '1 2 1 2即k1 '+k2' = 0设直线 AB 方程为： mx '+ny ' = 1原方程： x2 + 4 y2 = 8 则转换到新坐标就成为： (x '+ 2)2 + 4( y '+1)2 = 8 展开得： x '2 + 4 y '2 + 4x '+ 8 y ' = 0构造齐次式： x '2 + 4 y '2 + 4x '(mx '+ny ') + 8 y '(mx '+ny ') = 0整理为： y '2 (4 + 8n) +x ' y '(4n + 8m) + (1 + 4m)x '2 = 0两边同时除以 x '2 ，则(4 + 8n)k '2 + (4n + 8m)k '+1+ 4m = 0所以 k '+k ' =-4n + 8m= 0 所以 n =-2m1 2 4 +8n1而mx '+ny ' = 1 ∴mx '+ (-2m) y ' = 1 ⇒mx - 2my -1 = 0 .所以k =21平移变换，斜率不变，所以直线AB 斜率为定值.21 2 1 1 2 2 1 2 1 21 二，点乘双根法例 4：设椭圆中心在原点O ，长轴在 x 轴上，上顶点为 A ，左右顶点分别为 F 1 , F 2 ，线段OF 1 ,OF 2 中点分别为 B 1 , B 2 ，且△AB 1B 2 是面积为 4 的直角三角形.（1） 求其椭圆的方程（2） 过 B 1 作直线l 交椭圆于 P , Q 两点，使 PB 2 ⊥ QB 2 ，求直线l 的方程.x 2y 2解：（1） + = 20 4（2）易知：直线l 不与轴垂直，则设直线l 方程为： y = k (x + 2) ， P (x 1, y 1 ), Q (x 2 , y 2 )因为 PB ⊥ QB，则，22PB 2 QB 2 =0所以(x - 2, y )(x - 2, y ) = 0 ⇒ (x - 2)(x - 2) + k 2(x + 2)(x + 2) = 0 *⎧ y = k (x + 2) ⎪2 2 2现联立⎨ x 2+ y 2 = ⇒ x ⎩ 20 4+ 5k (x + 2) - 20 = 0则方程 x 2 + 5k 2 (x + 2)2 - 20 = 0 可以等价转化(1+ 5k 2)( x - x )( x - x ) = 012即 x 2 + 5k 2 (x + 2)2 - 20 = (1+ 5k 2)(x - x )(x - x )令 x = 2 ， 4 + 80k 2- 20 = (1+ 5k 2)( x 1 - 2)( x 2 - 2) ⇒ ( x 1 - 2)( x 2 - 2) =80k 2 -16 1+ 5k 2令 x = -2 ， 4 + 0 - 20 = (1+ 5k 2)( x + 2)( x + 2) ⇒ ( x + 2)( x + 2) = -161 2 1 21+ 5k 21结合(x1 - 2)(x2- 2) +k (x1 + 2)(x2 + 2) = 0 *化简可得：80k 2 -161+ 5k 2+-16= 01+ 5k 280k 2 -16k 2 -16 = 0 ⇒ 64k 2 =16 ⇒k 2 =1∴k =±1 4 2所以直线l 方程为： y =± 1(x + 2) . 22。
第11讲 点乘双根法(解析几何)(解析版)
第11讲 点乘双根法知识与方法在计算两个向量的数量积（即点乘）时，会遇到 (x 1−x 0)(x 2−x 0)+(y 1−y 0)(y 2−y 0) 的结构, 常规 方法是将它展开, 再结合韦达定理化简整理, 也可以利用“点乘双根法”进行整体处理, 达到简化运算, 快速解题的目的.1.方法介绍所谓的“点乘双根法”, 是指构建双根式，整体处理含 (x 1−x 0)(x 2−x 0) 或 (y 1−y 0)(y 2−y 0) 等类似结构的计算问题.2.理论基础二次函数 f(x)=ax 2+bx +c 的双根式. 若一元二次方程 ax 2+bx +c =0(a ≠0) 有两根 x 1,x 2, 则f(x)=a (x −x 1)(x −x 2), 取 x =x 0, 可得 f (x 0)=a (x 1−x 0)(x 2−x 0).3.适用类型x 1x 2, y 1y 2,(x 1−m )(x 2−m ),(y 1−m )(y 2−m ), 或 PA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 等形式. 4.解题步骤化双根式 → 赋值 → 整体代入.典型例题下面以一个例题来说明点乘双根法的解题步骤.【例1】 已知点 M (x 0,y 0) 是拋物线 y 2=2px(p >0) 上一定点, 以 M 为直角顶点作该抛物线的内接直角三角形 △MAB , 则动直线 AB 过定点 (x 0+2p,−y 0).【证明】设 A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 由 MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 得 (x 1−x 0)(x 2−x 0)+(y 1−y 0)(y 2−y 0)=0（∗) 显然直线 AB 不与 x 轴平行，设其方程为 x =my +t . 步骤 1: 化双根式联立 {y 2=2px x =my +t, 得 y 2−2pmy −2pt =0, 方程两根为 y 1,y 2, 则 (y 1−y )(y 2−y )=y 2−2pmy −2pt (1)联立 {y 2=2px x =my +t , 得 x 2−(2t +2m 2p )x +t 2=0, 则 (x 1−x )(x 2−x )=x 2−(2t +2m 2p )x +t 2 (2)步骤 2: 赋值在(1)中, 令 y =y 0, 则 (y 1−y 0)(y 2−y 0)=y 02−2pmy 0−2pt (4) 在(2)中, 令 x =x 0, 则 (x 1−x 0)(x 2−x 0)=x 02−(2t +2m 2p )x 0+t 2 (5)步骤 3: 整体代入即 t 2−(2p +2x 0)t +x 02−m 2y 02+y 02−2pmy 0=0,即 [t −(x 0−my 0)]⋅[t −(x 0+my 0+2p )]=0, 所以 t =x 0−my 0 或 t =x 0+my 0+2p ,情形一：当 t =x 0−my 0, 即 x 0=my 0+t 时, 说明点 M 在直线 AB 上, 不合题意;情形二：当 t =2p +x 0+my 0, 即 x 0+2p =m (−y 0)+t 时, 直线 x =my +t 过定点 (x 0+2p,−y 0). 综上所述：直线 AB 恒过定点 (x 0+2p,−y 0).通过本例可以看到，利用点乘双根法处理这类问题时，看起来式子仍然不少, 实际上运算量已经減少了很多.【例2】 设椭圆中心在原点 O , 长轴在 x 轴上，上顶点为 A , 左右顶点分别为 F 1,F 2,线段 OF 1,OF 2 中点分别为 B 1,B 2, 且 △AB 1B 2 是面积为 4 的直角三角形. (1) 求椭圆的方程;(2) 过 B 1 作直线 l 交椭圆于 P,Q 两点, 使 PB 2⊥QB 2, 求直线 l 的方程.【解析】（1）设所求椭圆的标准方程为x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0), 右焦点为 F 2(c,0).因为 △AB 1B 2 是直角三角形, 又 |AB 1|=|AB 2|, 故 ∠B 1AB 2 为直角, 因此 |OA|=|OB 2|, 得 b =c2.结合 c 2=a 2−b 2 得 4b 2=a 2−b 2, 故 a 2=5b 2,c 2=4b 2 , 所以离心率 e =c a =25√5 . 在 2Rt ABB ∆ 中, 12OA B B ⊥, 故 22,1221||||22MBB B cS B B OA OB OA b b =⋅=⋅=⋅= 由题设条件 2,4AB B S ∆=, 得 24b =, 从而 22520a b ==.因比, 所求椭圆的标准方程为221204x y +=; (2) 显然直线 l 不与 x 轴垂直，设 l 的方程为 ()()1122(2),,,,y k x P x y Q x y =+, 因为 22PB QB ⊥, 则 220PB QB ⋅=,所以 ()()()()()()2112212122,2,022220(*)x y x y x x kx x -⋅-=⇒--+++=联立 22222(2)5(2)2001204y k x x k x x y =+⎧⎪⇒++-=⎨+=⎪⎩因为 12,x x 是方程的两根, 所以 ()()()2222125(2)2015x k x k x x xx ++-=+--,令 2x =, 得 ()()()()()2221212280164802015222215k k k x x x x k-+-=+--⇒--=+, 令 2x =-, 得 ()()()()()21212216402015222215k x xx x k -+-=+++⇒++=+,代入 (*), 得 22280161601515k k k--+=++, 化简可得: 22221801616064164k k k k --=⇒=⇒=, 所以 12k =±, 故直线 l 方程为: 1(2)2y x =±+. 【例3】 设 ,A B 分别为椭圆 22132x y += 的左、右顶点, 过左焦点 F 且斜率为 k 的直线与椭圆交于 ,C D 两点. 若 8AC DB AD CB ⋅+⋅=, 求 k 的值. 【答案】k =【解析】设点 ()()1122,,,C x y D x y , 由 (1,0)F - 得直线 CD 的方程为 (1)y k x =+,由方程组 22(1)12y k x y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩, 消去 y , 整理得 ()2222236360k x k x k +++-=. 由韦达定理可得 22121222636,2323k k x x x x k k-+=-=++. 因为(A B , 所以AC DB AD CB ⋅+⋅())())11222211,,x y x y x y x y =⋅-++⋅-1212622x x y y =--()()2121262211x x k x x =--++8=由 8AC DB AD CB ⋅+⋅=, 得 ()()21212111x x k x x +++=-.因为 12,x x 是方程 ()2222236360k x k x k +++-= 的两根, 所以()()()()()()()2222221212236362323k xk x k k x x x x k x x xx +++-=+--=+--令 0x =, 则 ()22123623k kx x -=+, 所以 21223623k x x k -=+ 令 1x =-, 则 ()()()()222212236362311k k k k x x+-+-=+++所以 ()()12241123x x k ++=-+因为 ()()21212111x x kx x +++=-,所以 222223641,22323k k k k k--=-=++, 解得k = 【例4】设 ,A B 为曲线 2:4x C y = 上两点, A 与 B 的横坐标之和为 4 .(1) 求直线 AB 的斜率;(2) 设 M 为曲线 C 上一点, C 在 M 处的切线与直线 AB 平行, 且 AM BM ⊥, 求直线 AB 的方程.【答案】 (1) 1； (2) 7y x =+【解析】(1) 设 ()()1122,,,A x y B x y , 则 2212121212,,,444x x x x y y x x ≠==+= 于是直线 AB 的斜率 12121214y y x x k x x -+===-.(2) 由 24x y =, 得 2xy '=.设 ()33,M x y , 由題设知312x =, 解得 32x =, 于是 (2,1)M 因为 AM BM ⊥, 所以 0MA MB ⋅=, 即 ()()()()121222110x x y y --+--=. 设直线 AB 的方程为 y x m =+, 因为点 ,A B 在直线 AB 上, 所以 1122,y x m y x m =+=+,所以 ()()()()121222110x x x m x m --++-+-=.由 24y x m x y =+⎧⎪⎨=⎪⎩得 2440x x m --=. 由 16(1)0m ∆=+>, 得 1m >-.()()21244x x m x x x x --=--在 (1) 式中, 令 2x =, 得 ()()212242422m x x -⨯-=--在(1)式中, 令 1x m =-, 得 ()()212(1)4(1)411m m m x m x m --⨯--=+-+-∴()()()()12122211x x x m x m --++-+-222424(1)4(1)40m m m m =-⨯-+--⨯--=,解得 7m =, 或 1m =- (舍）, 所以直线 AB 的方程为 7y x =+.强化训练1. 椭圆 22:143x x C +=, 若直线 :l y kx m =+ 与椭圆 C 交于 ,A B 两点 (,A B 不是左右顶点）, 且以直线 AB 为直径的圆恒过椭圆 C 的右顶点. 求证：直线 l 恒过定点, 并求出该点的坐标. 【答案】 2,07⎛⎫⎪⎝⎭【解析】设椭圆的右顶点为 ()()1122(2,0),,,,C A x y B x y , 则 ()()1212220,(*)CA CB x x y y ⋅=--+=联立 22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩, 整理得: ()()222348430k x mkx m +++-=, 因为 12,x x 是方程 ()()222348430k x mkx m +++-= 的两个根, 所以()()()()()2222123484334(1)k xmkx m k x x x x +++-=+--取 2x =, 得 ()()()()()2221243416433422k mk m k x x +++-=+--,所以 ()()22122161642234k mk m x x k++--=+ (2). 取 m x k =-, 并两边同时乘以 2k , 可得 2221212231234m m m k y y k x x k k k -⎛⎫⎛⎫=++= ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭ (3). 将（2和(3)整体代入 (*), 得2222221616431203434k mk m m k k k ++-+=++, 即 2241670k mk m ++=, 即 (72)(2)0,2m k m k m k ++=∴=- 或 27m k =-, 当 2m k =- 时, 直线 :(2),l y kx m k x l =+=- 过点 (2,0)C , 不合题意; 当 27m k =- 时, 直线 2:7l y kx m k x ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭, 显然 l 恒过定点2,07⎛⎫⎪⎝⎭.2. 已知椭圆 2222:1(0)x y E a b a b+=>> 的右焦点为 (1,0)F , 过 F 且与 x 轴垂直的弦长为 3 .(1) 求椭圆标准方程;(2) 直线 l 过点 F 与满圆交于 ,A B 两点, 问 x 轴上是否存在点 P , 使 PA PB ⋅ 为定值?若存在, 求出 P 的坐标; 若不存在, 说明理由.【答案】 (1) 22143x y +=; (2) 见解析 【解析】 (1)易得椭圆标准方程为 22143x y +=; (2) 当直线 l 的斜率存在时, 设为 k , 则直线 l 的方程为 (1)y k x =-, 设 ()()1122(,0),,,,P m A x y B x y , 则 ()()()22221234(1)1234x k x k x x x x +--=+-- (1).()()1122,,,PA x m y PB x m y =-=-()()()()()()21212121211(2)PA PB x m x m y y x m x m k x x ⋅=--+=--+--在(1)中令 x m =, 得 ()()22212234(1)1234m k m x m x m k+----=+, (3) 在(1)中令 1x =, 得 ()()12291134x x k---=+, (4) 把(3)4代入(2)并整理得()()22224(1)931243m k m PA PB k --+-⋅=+所以()224(1)931243m m---=, 得 118m =, 此时 13564PA PB ⋅=-.当直线 l 的斜率不存在时, 33111,,1,,,0228A B P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 仍有 13564PA PB ⋅=-. 综上所述, P 的坐标为 11,08P ⎛⎫⎪⎝⎭. 3. 已知椭圆 2222:1(0)x y E a b a b+=>> 的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点, 直线 :3l y x =-+ 与椭圆 E 有且只有一个公共点 T . (1) 求椭圆 E 的方程及点 T 的坐标;(2) 设 O 是坐标原点, 直线 l 平行于 OT , 与椭圆 E 交于不同的两点 ,A B , 且与直线 l 交于点P . 证明: 存在常数 λ, 使得 2||||||PT PA PB λ=⋅, 并求 λ 的值.【答案】 (1) (2,1); (2) 45λ=, 【解析】 (1) 22163x y +=, 点 T 坐标为 (2,1), 过程路.(2) 由已知可设直线 l 的方程为 1(0)2y x m m =+≠, 由方程组 1,23y x my x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩ 可得 223213m x m y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩所以 P 点坐标为 222282,1,||339m m PT m ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭, 设点 ,A B 的坐标分别为, ()()1122,,,A x y B x y , 由方程组 2216312x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩, 可得 ()22344120x mx m ++-= (1) 而 12,x x 是 ()22344120x mx m ++-= 的两根, 所以()()()2212344123x mx m x x x x ++-=-- (2)方程(2)的判别式为 ()21692m ∆=-, 由 0∆>, 解得22m -<<. 由(2)得 212124412,33m m x x x x -+=-= 所以1122|||2323m m PA x x ==--=-同理22||3m PB x =--, 所以 1252222433m m PA PB x x ⎛⎫⎛⎫=----⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ②中令223mx =-，得()2212222232424123223333m m m m m m x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-=---- ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭得 得21222822339m m x x m ⎛⎫⎛⎫----= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 2109PA PB m =，故存在54λ=，使得2||||||. {PT PA PB λ=⋅。
高考数学中的解析几何中的运算法则
高考数学中的解析几何中的运算法则解析几何是数学的一个分支，它涉及了空间中的点、直线和平面等几何图形，并且通过坐标系将这些几何图形与代数方程联系起来。
在高考数学考试中，解析几何是一个非常重要的主题，通常会涉及到一些基本的运算法则。
本文将探讨高考数学中的解析几何中的运算法则。
一、向量的加减法解析几何中，向量通常用箭头表示，箭头代表了向量的大小和方向。
向量的加法和减法是指将两个向量相加或相减得到一个新的向量。
向量的加法和减法可以用尾部对齐的方法进行，即让向量的起点重合，然后将向量的终点连成一个新的向量。
例如，向量a和向量b的加法可以用如下公式表示：a +b = (a1+b1,a2+b2,a3+b3)其中，a1、a2和a3分别代表了向量a的x、y和z分量，b1、b2和b3分别代表了向量b的x、y和z分量。
向量的减法也可以采用类似的方法，只需要让b变成-b即可。
二、向量的数量积向量的数量积是指两个向量的乘积，通常用符号“·”表示。
向量的数量积的大小等于两个向量长度的乘积再乘以它们之间的夹角的余弦值。
向量的数量积也可以用向量的分量表示：a·b = a1b1 + a2b2 + a3b3例如，如果向量a和向量b的夹角为θ，则它们的数量积可以表示为：a·b = |a||b|cosθ其中，|a|和|b|分别代表向量a和向量b的长度。
另外，如果两个向量垂直，则它们的数量积为0，因为它们之间的夹角是90度，cos90度等于0。
三、向量的叉积向量的叉积是指两个向量的乘积，通常用符号“×”表示。
向量的叉积得到的是一个新的向量，这个向量垂直于原来的两个向量，并且大小等于原来两个向量的大小之积再乘以它们之间的夹角的正弦值。
向量的叉积也可以用向量的分量表示：a×b = (a2b3-a3b2,a3b1-a1b3,a1b2-a2b1)例如，如果向量a和向量b的夹角为θ，则它们的叉积可以表示为：|a×b| = |a||b|sinθ其中，|a×b|表示向量a和向量b的叉积的大小。
【经典高考】高考数学 圆锥曲线齐次式与点乘双根法
一，圆锥曲线齐次式与斜率之积（和）为定值例1：12,Q Q 为椭圆222212x y b b+=上两个动点，且12OQ OQ ⊥，过原点O 作直线12Q Q 的垂线OD ，求D 的轨迹方程.解法一（常规方法）：设111222(,),(,)Q x y Q x y ，00(,)D x y ,设直线12Q Q 方程为y kx m =+，联立222212y kx mx y bb =+⎧⎪⎨+=⎪⎩化简可得: 22222222(2)42()0b k b x kmb x b m b +++-=，所以 222222212122222222()(2),22b m b b m b k x x y y b k b b k b+-==++ 因为12OQ OQ ⊥所以2222222222221212222222222()(2)2()2=0222121b m b b m b k m b m b k x x y y b k b b k b k k +---+=+=+++++ 22232(1)m b k ∴=+*又因为直线12Q Q 方程等价于为0000()x y y x x y -=--，即200000x x y x y y y =-++对比于y kx m =+，则00200x k y x y my ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩代入*中，化简可得：2220023x y b +=.解法二（齐次式）：设直线12Q Q 方程为1mx ny +=，联立222222221111022mx ny mx ny x y x y b b b b+=+=⎧⎧⎪⎪⇒⎨⎨+=+-=⎪⎪⎩⎩ 22222()02x y mx ny b b +-+=化简可得:22222222202x y m x n y mnxy b b+---= 整理成关于,x y ,x y 的齐次式：2222222(22)(12)40b n y m b x mnb xy -+--=，进而两边同时除以2x ，则22222222122212(22)412022m b b n k mnb k m b k k b n---+-=⇒=- 因为12OQ OQ ⊥12OQ OQ ⊥所以121k k =-，222212122m b b n-=-- 22232()b m n ∴=+*又因为直线12Q Q 方程等价于为0000()x y y x x y -=--，即200000x x y x y y y =-++对比于1mx ny +=，则0220002200x m x y y n x y ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩代入*中，化简可得：2220023x y b +=.例2：已知椭圆2214x y +=，设直线l 不经过点(0,1)P 的直线交于,A B 两点，若直线,PA PB的斜率之和为1-，证明：直线l 恒过定点.解：以点P 为坐标原点，建立新的直角坐标系''x py ，如图所示：旧坐标 新坐标(,)(',')x y x y ⇒即(0,1)(0,0)⇒所以'''1'x x A A y y B B =→⎧⎧⇒⎨⎨=-→⎩⎩原来12121111PA PB y y k k x x --+=-⇒+=-则转换到新坐标就成为：1212''1''y y x x +=- 12''1k k +=-即设直线l 方程为：''1mx ny +=原方程：2244x y +=则转换到新坐标就成为：22'4('1)4x y ++=展开得：22'4'8'0x y y ++=构造齐次式：22'4'8'('')0x y y mx ny +++=整理为：22(48)'8'''0n y mx y x +++=两边同时除以2'x ，则2(48)'8'10n k mk +++=所以128''148m k k n +=-=-+所以12212m n m n -=⇒=+而''1mx ny +=1'()''1('')1022x n x ny n x y ∴++=⇒++-=对于任意n 都成立. 则：''0'2''2102x y x x y +=⎧=⎧⎪⇒⎨⎨=--=⎩⎪⎩，故对应原坐标为21x y =⎧⎨=-⎩所以恒过定点(2,1)-. 例3：已知椭圆22182x y +=，过其上一定点(2,1)P 作倾斜角互补的两条直线，分别交于椭圆于,A B 两点，证明：直线AB 斜率为定值.解：以点P 为坐标原点，建立新的直角坐标系''x py ，如图所示：旧坐标 新坐标(,)(',')x y x y ⇒即(2,1)(0,0)⇒所以'2''1'x x A A y y B B =-→⎧⎧⇒⎨⎨=-→⎩⎩原来1212110021PA PB y y k k x x --+=⇒+=--则转换到新坐标就成为：1212''0''y y x x += 12''0k k +=即设直线AB 方程为：''1mx ny +=原方程：2248x y +=则转换到新坐标就成为：22('2)4('1)8x y +++=展开得：22'4'4'8'0x y x y +++=构造齐次式：22'4'4'('')8'('')0x y x mx ny y mx ny +++++=整理为：22'(48)''(48)(14)'0y n x y n m m x +++++=两边同时除以2'x ，则2(48)'(48)'140n k n m k m +++++=所以1248''048n mk k n++=-=+所以2n m =-而''1mx ny +='(2)'1210mx m y mx my ∴+-=⇒--=.所以1=2k 平移变换，斜率不变，所以直线AB 斜率为定值12.二，点乘双根法例4：设椭圆中心在原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左右顶点分别为12,F F ，线段12,OF OF 中点分别为12,B B ，且12AB B △是面积为4的直角三角形.（1）求其椭圆的方程（2）过1B 作直线l 交椭圆于,P Q 两点，使22PB QB ⊥，求直线l 的方程.解：（1）221204x y +=（2）易知：直线l 不与轴垂直，则设直线l 方程为：(2)y k x =+，1122(,),(,)P x y Q x y 因为22PB QB ⊥，则22=0PB QB ，所以211221212(2,)(2,)0(2)(2)(2)(2)0x y x y x x k x x --=⇒--+++=*现联立22222(2)5(2)2001204y k x x k x x y =+⎧⎪⇒++-=⎨+=⎪⎩则方程2225(2)200x k x ++-=可以等价转化212(15)()()0k x x x x +--= 即2222125(2)20(15)()()x k x k x x x x ++-=+--令2x =，22212122801648020(15)(2)(2)(2)(2)15k k k x x x x k -+-=+--⇒--=+令2x =-，212122164020(15)(2)(2)(2)(2)15k x x x x k -+-=+++⇒++=+结合21212(2)(2)(2)(2)0x x k x x --+++=*化简可得：22280161601515k k k --+=++2222118016160641642k k k k k --=⇒=⇒=∴=±所以直线l 方程为：1(2)2y x =±+.。
第607期：抛砖引玉——圆锥曲线齐次式与点乘双根法
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●抛砖引玉——圆锥曲线的第三定义
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其次式、点乘双根算法是解决解析几何问题的一种简便算法，多见于解析几何与向量相结合的题目中，与传统方法相比，它可以神奇的大幅减少计算量。
一：圆锥曲线齐次式与斜率之积（和）为定值
解法一：通解
解法二：其次法
二，点乘双ห้องสมุดไป่ตู้法
解析几何中的向量运算技巧——线性代数知识要点
解析几何中的向量运算技巧——线性代数知识要点在解析几何中，向量运算是非常重要的一部分内容。
通过运用线性代数的知识，我们可以更加高效地进行向量的计算和分析。
本文将介绍几何中的向量运算技巧，包括向量的加法、减法、数量乘法以及点乘、叉乘等运算。
一、向量的加法和减法向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。
假设有两个向量a和b，它们的加法运算表示为a + b。
向量的加法满足交换律和结合律，即a + b = b + a和(a + b) + c = a + (b + c)。
向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。
假设有两个向量a和b，它们的减法运算表示为a - b。
向量的减法可以通过向量的加法来进行计算，即a - b = a + (-b)，其中-b表示向量b的反向量。
二、向量的数量乘法向量的数量乘法是指将一个向量与一个实数相乘得到一个新的向量。
假设有一个向量a和一个实数k，它们的数量乘法运算表示为ka。
向量的数量乘法满足分配律和结合律，即k(a + b) = ka + kb和(kl)a = k(la)。
三、向量的点乘向量的点乘，也称为内积或数量积，是指将两个向量的对应分量相乘再相加得到一个实数。
假设有两个向量a和b，它们的点乘运算表示为a · b。
向量的点乘满足交换律和分配律，即a · b = b · a和a · (b + c) = a · b + a · c。
向量的点乘有一些重要的性质。
首先，如果两个向量的点乘结果为0，则它们是垂直的。
其次，如果两个向量的点乘结果大于0，则它们的夹角为锐角；如果点乘结果小于0，则夹角为钝角。
四、向量的叉乘向量的叉乘，也称为外积或向量积，是指将两个向量的长度与夹角的正弦值相乘得到一个新的向量。
假设有两个向量a和b，它们的叉乘运算表示为a × b。
向量的叉乘满足反交换律和分配律，即a × b = -b × a和a × (b + c) = a × b + a × c。
第11讲 点乘双根法(解析几何)(解析版)
第11讲 点乘双根法知识与方法在计算两个向量的数量积（即点乘）时，会遇到 (x 1−x 0)(x 2−x 0)+(y 1−y 0)(y 2−y 0)的结构, 常规 方法是将它展开, 再结合韦达定理化简整理,也可以利用“点乘双根法”进行整体处理, 达到简化运算, 快速解题的目的.1.方法介绍所谓的“点乘双根法”, 是指构建双根式，整体处理含 或 (x 1−x 0)(x 2−x 0)(y 1−y 0) 等类似结构的计算问题.(y 2−y 0)2.理论基础二次函数 的双根式. 若一元二次方程 f (x )=ax 2+bx +c ax 2+bx +c =0(a ≠0)有两根 , 则, 取 , 可得 x 1,x 2f (x )=a (x−x 1)(x−x 2)x =x 0f (x 0)=a (x 1−x 0)(x 2−x 0).3.适用类型, 或 等形式.x 1x 2, y 1y 2,(x 1−m )(x 2−m ),(y 1−m )(y 2−m )PA ⋅PB 4.解题步骤化双根式 赋值 整体代入.→→典型例题下面以一个例题来说明点乘双根法的解题步骤.【例1】 已知点 是拋物线 上一定点, 以M (x 0,y 0)y 2=2px (p >0)M 为直角顶点作该抛物线的内接直角三角形 , 则动直线 过定点 △MAB AB .(x 0+2p,−y 0)【证明】设 , 由 , 得 A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)MA ⋅MB =0(x 1−x 0)(x 2−x 0)+(y 1−y 0)(y 2−y 0)=0（∗)显然直线 不与 轴平行，设其方程为 .AB x x =my +t 步骤 1: 化双根式联立 , 得 , 方程两根为 , 则 {y 2=2px x =my +ty 2−2pmy−2pt =0y 1,y 2(y 1−y )(y 2−y )=y 2−2pmy (1)−2pt 联立 , 得, 则 {y 2=2px x =my +t x 2−(2t +2m 2p )x +t 2=0(x 1−x )(x 2−x )=x 2−(2t +2m 2p )x +t 2(2)步骤 2: 赋值在(1)中, 令 , 则 (4)y =y 0(y 1−y 0)(y 2−y 0)=y 20−2pmy 0−2pt 在(2)中, 令 , 则 (5)x =x 0(x 1−x 0)(x 2−x 0)=x 20−(2t +2m 2p )x 0+t 2步骤 3: 整体代入即 ,t 2−(2p +2x 0)t +x 20−m 2y 20+y 20−2pmy 0=0即 ,[t−(x 0−my 0)]⋅[t−(x 0+my 0+2p )]=0所以 或 ,t =x 0−my 0t =x 0+my 0+2p 情形一：当 , 即 时, 说明点 在直线 上, 不合题意;t =x 0−my 0x 0=my 0+t M AB 情形二：当 , 即 时, 直线 过定点 t =2p +x 0+my 0x 0+2p =m (−y 0)+t x =my +t .(x 0+2p,−y 0)综上所述：直线 恒过定点 .AB (x 0+2p,−y 0)通过本例可以看到，利用点乘双根法处理这类问题时，看起来式子仍然不少, 实际上运算量已经減少了很多.【例2】 设椭圆中心在原点 , 长轴在 轴上，上顶点为 , 左右顶点分别为 O x A F 1,F 2,线段 中点分别为 , 且 是面积为 4 的直角三角形.OF 1,OF 2B 1,B 2△AB 1B 2(1) 求椭圆的方程;(2) 过 作直线 交椭圆于 两点, 使 , 求直线 的方程.B 1l P ,Q PB 2⊥QB 2l【解析】（1）设所求椭圆的标准方程为 , 右焦点为 .x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)F 2(c ,0)因为 是直角三角形, 又 , 故 为直角, 因此 ,△AB 1B 2|AB 1|=|AB 2|∠B 1AB 2|OA |=|OB 2|得 .b =c2 结合 c2=a 2−b 2 得 4b 2=a 2−b 2, 故 a 2=5b 2,c 2=4b 2 , 所以离心率 e =在 中, , 故 2Rt ABB ∆12OA B B ⊥22,1221||||22MBB B cS B B OA OB OA b b =⋅=⋅=⋅=由题设条件 , 得 , 从而 .2,4AB B S ∆=24b =22520a b ==因比, 所求椭圆的标准方程为 ;221204x y +=(2) 显然直线 不与 轴垂直，设 的方程为 ,l x l ()()1122(2),,,,y k x P x y Q x y =+因为 , 则 ,22PB QB ⊥220PB QB ⋅=所以 ()()()()()()2112212122,2,022220(*)x y x y x x k x x -⋅-=⇒--+++=联立 22222(2)5(2)2001204y k x x k x x y =+⎧⎪⇒++-=⎨+=⎪⎩因为 是方程的两根, 所以 ,12,x x ()()()2222125(2)2015x k x k x x xx ++-=+--令 , 得 ,2x =()()()()()2221212280164802015222215k k k x x x x k -+-=+--⇒--=+令 , 得 ,2x =-()()()()()21212216402015222215k x xx x k -+-=+++⇒++=+代入 (*), 得,22280161601515k k k --+=++化简可得: , 所以 ,22221801616064164k k k k --=⇒=⇒=12k =±故直线 方程为: .l 1(2)2y x =±+【例3】 设 分别为椭圆 的左、右顶点, 过左焦点 且斜率为 ,A B 22132x y +=F 的直线与椭圆交于 两点. 若 , 求 的值.k ,C D 8AC DB AD CB ⋅+⋅=k 【答案】 k =【解析】设点 , 由 得直线 的方程为 ()()1122,,,C x y D x y (1,0)F -CD (1)y k x =+,由方程组 , 消去 , 整理得 .22(1)12y k x y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩y ()2222236360k x k x k +++-=由韦达定理可得 .22121222636,2323k k x x x x k k -+=-=++因为,(A B 所以AC DB AD CB⋅+⋅()()11222211,,x y x y xy x y =+⋅-+⋅--1212622x x y y =--()()2121262211x x k x x =--++8=由 , 得 .8AC DB AD CB ⋅+⋅=()()21212111x x k x x +++=-因为 是方程 的两根, 所以12,x x ()2222236360k x k x k +++-=()()()()()()()2222221212236362323k xk x k k x x x x k x x xx +++-=+--=+--令 , 则 , 所以 0x =()22123623k kx x -=+21223623k x x k -=+令 , 则 1x =-()()()()222212236362311k k k k x x+-+-=+++所以 ()()12241123x x k ++=-+因为 ,()()21212111x x k x x +++=-所以 , 解得222223641,22323k k k k k--=-=++k =【例4】设 为曲线 上两点, 与 的横坐标之和为 4 .,A B 2:4x C y =A B (1) 求直线 的斜率;AB(2) 设 为曲线 上一点, 在 处的切线与直线 平行, 且 , M C C M AB AM BM ⊥求直线 的方程.AB 【答案】 (1) 1； (2) 7y x =+【解析】(1) 设 , 则 ()()1122,,,A x y B x y 2212121212,,,444x x x x y y x x ≠==+=于是直线 的斜率 .AB 12121214y y x x k x x -+===-(2) 由 , 得 .24x y =2x y '=设 , 由題设知, 解得 , 于是 ()33,M x y 312x =32x =(2,1)M 因为 , 所以 , 即 .AM BM ⊥0MA MB ⋅=()()()()121222110x x y y --+--=设直线 的方程为 , 因为点 在直线 上,AB y x m =+,A B AB 所以 ,1122,y x m y x m =+=+所以 .()()()()121222110x x x m x m --++-+-=由 得 . 由 , 得 .24y x m x y =+⎧⎪⎨=⎪⎩2440x x m --=16(1)0m ∆=+>1m >-()()21244x x m x x x x --=--在 式中, 令 , 得 (1)2x =()()212242422m x x -⨯-=--在(1)式中, 令 , 得 1x m =-()()212(1)4(1)411m m m x m x m --⨯--=+-+-∴()()()()12122211x x x m x m --++-+-,222424(1)4(1)40m m m m =-⨯-+--⨯--=解得 , 或 (舍）, 所以直线 的方程为 .7m =1m =-AB 7y x =+强化训练1. 椭圆 , 若直线 与椭圆 交于 两点 22:143x x C +=:l y kx m =+C ,A B (,A B 不是左右顶点）, 且以直线 为直径的圆恒过椭圆 的右顶点. 求证：直线AB C 恒过定点, 并求出该点的坐标.l【答案】 2,07⎛⎫⎪⎝⎭【解析】设椭圆的右顶点为 ,()()1122(2,0),,,,C A x y B x y 则 ()()1212220,(*)CA CB x x y y ⋅=--+=联立 , 整理得: ,22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩()()222348430k x mkx m +++-=因为 是方程 的两个根, 所以12,x x ()()222348430k x mkx m +++-=()()()()()2222123484334(1)k xmkx m k x x x x +++-=+--取 , 得 ,2x =()()()()()2221243416433422k mk m k x x +++-=+--所以 (2).()()22122161642234k mk m x x k++--=+取 , 并两边同时乘以 , 可得 m x k =-2k 2221212231234m m m k y y k x x k k k -⎛⎫⎛⎫=++= ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭(3).将（2和(3)整体代入 (*), 得,2222221616431203434k mk m m k k k ++-+=++即 , 即 或 ,2241670k mk m ++=(72)(2)0,2m k m k m k ++=∴=-27m k =-当 时, 直线 过点 , 不合题意;2m k =-:(2),l y kx m k x l =+=-(2,0)C 当 时, 直线 , 显然 恒过定点 .27m k =-2:7l y kx m k x ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭l 2,07⎛⎫⎪⎝⎭2. 已知椭圆 的右焦点为 , 过 且与2222:1(0)x y E a b a b+=>>(1,0)F F x 轴垂直的弦长为 3 .(1) 求椭圆标准方程;(2) 直线 过点 与满圆交于 两点, 问 轴上是否存在点 , 使 l F ,A B x P PA PB ⋅为定值?若存在, 求出 的坐标; 若不存在, 说明理由.P【答案】 (1) ; (2) 见解析22143x y +=【解析】 (1)易得椭圆标准方程为 ;22143x y +=(2) 当直线 的斜率存在时, 设为 , 则直线 的方程为 ,l k l (1)y k x =-设 , 则()()1122(,0),,,,P m A x y B x y ()()()22221234(1)1234x k x k x x x x +--=+--(1).()()1122,,,PA x m y PB x m y =-=-()()()()()()21212121211(2)PA PB x m x m y y x m x m k x x ⋅=--+=--+--在(1)中令 , 得 , (3)x m =()()22212234(1)1234m k m x m x m k+----=+在(1)中令 , 得 , (4)1x =()()12291134x x k ---=+把(3)4代入(2)并整理得()()22224(1)931243m k m PA PB k --+-⋅=+ 所以, 得 , 此时 .()224(1)931243m m---=118m =13564PA PB ⋅=- 当直线 的斜率不存在时, , 仍有 .l 33111,,1,,,0228A B P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭13564PA PB ⋅=- 综上所述, 的坐标为 .P 11,08P ⎛⎫⎪⎝⎭3. 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点, 直线 与椭圆 有且只有一个公共点 .:3l y x =-+E T (1) 求椭圆 的方程及点 的坐标;E T (2) 设 是坐标原点, 直线 平行于 , 与椭圆 交于不同的两点 , O l OT E ,A B 且与直线 交于点 . 证明: 存在常数 , 使得 , 并求 l P λ2||||||PT PA PB λ=⋅λ的值.【答案】 (1) (2) ,(2,1);45λ=【解析】 (1) , 点 坐标为 , 过程路.22163x y +=T (2,1)(2) 由已知可设直线 的方程为 ,l 1(0)2y x m m =+≠由方程组 可得 1,23y x m y x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩223213m x m y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩所以 点坐标为 , 设点 的坐标分别为, P 222282,1,||339m m PT m ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭,A B ,()()1122,,,A x y B x y 由方程组 , 可得 (1)2216312x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩()22344120x mx m ++-=而 是 的两根, 所以12,x x ()22344120x mx m ++-= (2)()()()2212344123x mx m x x x x ++-=--方程(2)的判别式为 , 由 , 解得 .()21692m ∆=-0∆>m <<由(2)得 212124412,33m m x x x x -+=-=所以1122||233m m PA x x ==-=-同理, 所以22||3m PB x =-1252222433m m PA PB x x ⎛⎫⎛⎫=----⎪⎪⎝⎭⎝⎭②中令，得223mx =-得()2212222232424123223333m m m m m m x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-=---- ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭得 21222822339m m x x m ⎛⎫⎛⎫----= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故存在，使得2109PA PB m =54λ=2||||||.{PT PA PB λ=⋅。
「高中数学技巧提升篇」圆锥曲线中点乘双根法具体步骤及典型例题
「高中数学技巧提升篇」圆锥曲线中点乘双根法具体步骤及典
型例题
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下面是我们先来熟悉一下点乘双根法的具体步骤：
例题和两个解法。
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（ Ⅰ）
设 P（ m，0）
则→PA = （ →PA·P→B
x1 =（
，－Am（ ，xy1 ，1 ）y1，）P→，BB=（
x1 － m） （ x2 －
x2 ，y2 ） ， （ x2 － m，y2 m） + y1 y2
）， =（
x1
－
m）
（
x2
－
m） + k2 （ x1 － 1） （ x2 － 1） ．
解题技巧与方法
JIETI JIQIAO YU FANGFA
131
高中解析几何简化计算之点乘双根法
◎陈俊健 （ 广西南宁市第三中学（ 青山校区） ，广西 南宁 530021）
【摘要】高中解析几何在求解圆锥曲线与直线问题的时 候，通常需要联立方程，利用韦达定理去求解． 利用韦达定 理进行运算求解时，稍不注意就容易出错． 在求解点乘或者 斜率乘积为定值，甚至求 x1 x2 ，y1 y2 的时候，我们可以改进 解法，引入 点 乘 双 根 法，避 开 韦 达 定 理，简 化 计 算，减 少 失误．
C：
x2 a2
+
y2 b2
= 1 （ a ＞ b ＞ 0） 上，且椭圆的
离心率为
1 2
．
（ 1） 求椭圆 C 的方程．
（ 2） 若 M 为椭圆 C 的右顶点，点 A，B 是椭圆 C 上不同
的两点（
均异于
M）
且满足直线
MA
与
MB
斜率之积为
1 4
．
试判断直线 AB 是否过定点？ 若是，求出定点坐标； 若不是，
定理进行繁杂计算的过程，达到简化计算、提高解题速度的
效果，下面举例说明．
例 1 （ 2018 年西南四省名校高三第一次大联考） 已知
椭圆
E：
x2 a2
+
y2 b2
= 1（ a ＞ b ＞ 0） 的右焦点为 F（ 1，0） ，过 F 且
与 x 轴垂直的弦长为 3．
（ 1） 求椭圆标准方程．
（ 2） 直线 l 过点 F 与椭圆交于 A，B 两点，问 x 轴上是否
（ Ⅰ）
由题意有 M（ 2，0） ，设 A（ x1 ，y1 ） ，B（ x2 ，y2 ） ，则
kMA kMB
=
y1 y2 （ x1 － 2） （ x2 － 2）
= （ kx1 + m） （ kx2 + m） （ x1 － 2） （ x2 － 2）
=
( )( ) k2
x1
+
m k
x2
+
m k
（ x1 － 2） （ x2 － 2）
（ Ⅱ）
在（ Ⅰ） 中令 x = m 得
（ x1
－ m） （ x2 － m）
= 3m2
+ 4k2 （ m － 1） 3 + 4k2
2
－ 12．
（ Ⅲ）
在（ Ⅰ） 中令 x = 1 得（ x1 － 1） （ x2 － 1）
=
3
－9 + 4k2
．
（ Ⅳ）
把（ Ⅲ） （ Ⅳ） 代入（ Ⅱ） 并整理得
→PA·P→B
{ x2 a2
+
y2 b2
= 1， 可得
b2 x2
+ a2 （
kx
+
m） 2
－ a2 b2
=
（
a2 k2
+
y = kx + m，
b2 ） （ x 或者（
－ x1
x1 +
）（ t）
x－ （ x2
x2 +
） t）
，，接代着入对→PAx·用P→B赋的值等法式即求可解得即到可x．1
x2
，y1
y2
点乘双根法对比常规解法，其优点在于，避开利用韦达
=
（
4（
m
－ 1）
2
－ 9） 4k2
k2 + +3
（
3m2
－ 12）
，
所以（
4（
m
－ 1） 4
2
－ 9）
=
3m2 － 3
12，得
m
=
11 8
，
此时→ PA·P→B = － 16345．
( ) ( ) 当直 线 l 的 斜 率 不 存 在－
3 2
，
( ) P
11 8
，0
，仍有→ PA·P→B =
说明理由．
解
（
1）
易得椭圆标准方程为
x2 4
+
y2 3
= 1；
（ 2） 当直线 AB 的斜率存在，可设直线 AB 的方程为 y =
{ kx + m（ k≠0） ，联立
x2 4
+
y2 3
= 1，得（ 3
+ 4k2 ）
x2
+ 8kmx
+
y = kx + m，
4m2 － 12 = （ 3 + 4k2 ） （ x － x1 ） （ x － x2 ） ．
－ 135． 64
( ) 综上所述，P 的坐标为 P
11 8
，0
．
评析 在（ Ⅰ） 式中联立直线与圆锥曲线方程消 y 后，
一定要把 式 子 写 成 双 根 的 形 式，才 能 接 着 往 后 进 行 赋 值
求解．
例 2 （ 2018 年桂林市、贺州市高三联合调研考试） 已
( ) 知点 1，32
在椭圆
存在点 P，使→PA·P→B为定值？ 若存在，求出 P 的坐标； 若不
存在，说明理由．
解
（
1）
易得椭圆标准方程为
x2 4
+
y2 3
= 1；
（ 2） 当直线 l 的斜率存在时，设为 k，则直线 l 的方程为
{ y = k（ x － 1） ，联立
x2 4
+
y2 3
= 1，
y = k（ x － 1） ，
得 3x2 + 4k2 （ x － 1） 2 － 12 = （ 3 + 4k2 ） （ x － x1 ） （ x － x2 ） ．
值法得到（ kx1 + m） （ kx2 + m） ． 因此需要把 x1 和 x2 的系数 k
( )( ) 提到括号前面，得到 y1 y2 = k2
当 m = － 2k 时，直线 AB 的方程为 y = k（ x － 2） 过定点
（ 2，0） ，与点 M 重合，不符合题意，舍掉．
当 m = 4k 时，直线 AB 的方程为 y = k （ x + 4 ） 过 定 点
（ － 4，0） ． 综上所述，直线 AB 过定点（ － 4，0） ．
评析 例 2（ Ⅱ） 中需要求 y1 y2 ，但在（ Ⅰ） 式没法用赋
=
1 4
．
（ Ⅱ）
在（ Ⅰ） 中令 x = 2 得
（ x1 － 2） （ x2 － 2）
=
16
km
+ 3
16k2 + 4k2
+
4
m2
．
（ Ⅲ）
在（
Ⅰ）
中令 x
=
－
m k
得
( )( ) x1
+
m k
x2
+
m k
=
3
m2 k2
3+
－ 12 4k2
．
（ Ⅳ）
把（ Ⅲ） （ Ⅳ） 代入（ Ⅱ） 并解得 m = － 2k 或者 m = 4k．
【关键词】解析几何； 点乘双根法； 简化计算
我们知道当二 次 函 数 有 两 个 零 点 的 时 候，可 以 写 成 双
根中的，出形现式→ P：Ay·=P→aBx2等+于bx常+数c =，可a（用x 点－ x乘1 ）双（ 根x －法x（2
）．在 其中
解 P
析几何 为已知
点，A，B 为 直 线 与 圆 锥 曲 线 的 交 点 ） ． 方 法 如 下： 联 立