4.3.3余角与补角(二)
人教版七年级数学上册：4.3.3余角和补角优秀教学案例
2.各小组通过讨论、实验、观察等方法，共同完成研究任务，并展示研究成果；
3.鼓励小组成员相互评价、交流心得，培养学生的合作意识和团队精神。
（四）反思与评价
1.教师在课后及时反思教学过程，关注学生的学习效果，针对存在的问题调整教学策略；
4.小组合作：组织学生进行小组讨论，共同探究余角和补角的性质及应用；
5.总结提升：对本节课的主要内容进行总结，强调余角和补角在实际问题中的应用价值；
6.课后作业：布置适量作业，巩固学生对余角和补角的理解和运用。
五、教学反思
本节课结束后，教师应认真反思教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略，以提高学生对余角和补角的掌握程度。同时，关注学生在学习过程中的情感态度与价值观的培养，确保学生全面发展。
2.组织学生进行自我评价，让学生认识到自己的优点和不足，明确改进方向；
3.鼓励学生积极参与课堂评价，提出宝贵意见和建议，促进教学相长。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.利用校园里的景观，如花园、篮球场等，引导学生关注角度的概念，提出问题：“你能找出校园里的一些特殊角度吗？”；
2.学生思考后，教师揭示本节课的主题：“今天我们将学习一种特殊的角——余角和补角。”
（二）讲授新知
1.教师通过多媒体展示余角和补角的定义，让学生直观地理解这两个概念；
2.讲解余角和补角的性质，如互为余角的两个角的和为90度，互为补角的两个角的和为180度；
3.举例说明如何运用余角和补角的性质解决实际问题，如在几何图形中找出所有的互为余角或补角的对。
（三）学生小组讨论
1.教师提出讨论任务：“请你们小组合作，探究余角和补角的性质，并尝试找出生活中的实例。”；
4.3.3余角和补角(2)
C.180°
D.140°
练习
(1)电视塔在学校的东北方向，那么学校在电视塔的 西南 ______ 方向. (2)已知点O在点A的南偏东65 °方向，那么点A应在点O的 （ ） A.南偏东65 °方向； B. 北偏东65 °方向； C.北偏西65 °方向； D.北偏西25 °方向； (3)如图，邮局和商店分别在学校的北偏西方向，邮局又在商 邮局 店的北偏东方向.那么，图中A点应该是________，B点应该 学校 商店 是_______，C点应该是______.
C
北 西 东
.B
.A
.C
南
例题
海上，缉私艇发现离它500海里处停着一 艘 可疑船只（如图），立即赶往检查.现请你确定缉 私艇的航线，画出示意图.
北
.A
80 ° 点A在点B的北偏东80°方向
东
点C在点B的南偏东60°方向
可疑船
西
缉私艇
B.
60 °
南
.C
可疑船
灯塔A在灯塔B的南偏西60 ° ，A、B两灯塔相距20 海里.现有一艘轮船C在灯塔B的正北方向、 灯塔A的 北偏东30 °方向.试画图确定 轮船的位置（每10海里 用1厘米长的线段表示）
C ● 10°
●
南
练习
(3)学校、公园和商店在平面图上的标点分别是A、B、C 三点.若公园在学校的南偏西42 ° ，商店在学校的 北偏东50 ° ，请画出图形，并求∠BAC.
北
C. 50 °
西
A. . B
东
42 °解：∠BAC= 42°+90 °+40 °=172 °
南
解：
北
.C
西
A.
.B
4.3.3余角和补角 (第2课时)
教师：提出问题，引导、画图并举例 说明. 学生：根据已有知识思考、回答、认 识理解，学会画图，认识始边，终边. 总结:谁在前谁为始边， 后为终边， 如： 东偏南 60°，即东为始边，向南旋转 确定角的度数为 60°.不能弄错角.
尝 中，发现灯塔 A 在它南偏 东 60°的方向上。同时，在它北偏东 40°、南偏 西 10°、西北方向上又分别发现了客轮 B、货轮 C 和海岛 D。仿照表示灯塔方位的方法，画出表示客 轮 B 、货轮 C 和海岛 D 方向的射线． 解：
自 主 探 究
【问题１】 如图： ∠1 与∠2 互补， ∠3 与∠4 互补 ， 教师：提出问题， 如果∠1＝∠3,那么∠2 与∠4 相等吗？为什么？ 学生：尝试分析，怎样说明、验证∠2 与∠4 的关系？组内讨论、分析. 师：根据学生阐述情况，引导学生证 明得出结论. 2 1 说明：验证方法是多样的，注意倾听 分析：怎么验证∠2 与∠4 相等？测量、叠合、理 学生的方法，评判、鼓励. 论验证. （ 组织学生讨论解决。 ） 结论：补角性质：等角（或同角）的补角相等 【问题 2】 如图： ∠1 与∠2 互余， ∠3 与∠4 互余 ，
认识角的互余、互补关系及其性质，确定方位 1.通过简单的推理，归纳出余角、补角的性质，并能用规范的语言描述性质. 2.方位角的实际应用.
【教学环节安排】
环 节 情 境 引 入 教 学 问 题 设 计 教学活动设计
教师提出问题，学生回顾回答．为本 节课的学习做准备.
【问题】 什么是互余的角？什么是互补的角？两 角互补，两角互余与位置有关吗？
教师：出示例 4，引导学生分析，板 演出所求方位角并标明． 学生：理解，认识，尝试画出． 师：出示题目，鼓励学生分析，写出 过程．
解：
展 示 作 业 设 计
2023-2024学年人教部编版初中数学七年级上册课时练《4.3.3 余角和补角》02(含答案)
人教版七年级数学上册《4.3.3余角和补角》课时练班级：___________姓名：___________得分：___________一、选择题1．已知∠A＝55°，则它的余角是（）A．25° B．35° C．45° D．55°2．若两个角互补，则（）A．这两个角都是锐角B．这两个角都是钝角C．这两个角一定是一个锐角，一个钝角D．以上答案都不对3．如图，一艘轮船在O处同时测得小岛A，B的方向分别为北偏西30°和东北方向，则∠AOB的度数是（）A．135° B．115° C．105° D．75°4．如图所示，∠AOC＝∠BOC＝90°，∠AOD＝∠COE，则图中互为余角的共有（）A．5对B．4对C．3对D．2对5．已知岛P位于岛Q的正西方，由岛P，Q分别测得船R位于南偏东30°和南偏西45°方向上，符合条件的示意图是（）A．B．C．D．6．一个锐角的补角比它的余角大（）A．45° B．60° C．90° D．120°7．如图，将一副三角尺按不同的位置摆放，下列方式中∠α与∠β互余的是（）A．图1 B．图2 C．图3 D．图4 8．已知∠α和∠β互补，且∠α＞∠β，则有下列式子：①90°－∠β；②∠α－90°；③12（∠α＋∠β）；④12（∠α－∠β）；⑤12（∠α－90°），其中表示∠β的余角的式子有（）A．4个B．3个C．2个D．1个二、填空题9．如图，过直线AB上一点O作射线OC，∠BOC＝29°18′，则∠AOC的度数为．10．若∠A与∠B互为余角，∠A＝30°，则∠B的补角是。
11．若∠1与∠2互余，且∠1∶∠2＝3∶2，则∠1＝，∠2＝．12．若∠α＝∠β，且∠α＋∠1＝180°，∠β＋∠2＝180°，则∠1与∠2的大小关系是，理由是．13．已知∠α＝59°20′，若∠α与∠β互余，且∠β与∠γ互余，则∠γ的度数为．14．如图，根据点A，B，C，D，E在图中的位置填空．（1）射线OA表示；（2）射线OB表示；（3）射线OC表示；（4）射线OD表示；（5）射线OE表示．15．下列说法中正确的有（填序号）．①钝角与锐角互补；②∠α的余角是90°－∠α；③∠β（0°<∠β<180°）的补角是180°－∠β；④若∠1＋∠2＋∠3＝90°，则∠1，∠2，∠3互余．三、解答题16．如图，点A，O，E在同一直线上，∠AOB＝40°，∠EOD＝25°，OD平分∠COE.（1）求∠COB的度数；（2）写出图中所有互补的角．17．如图，O点是学校所在位置，A村位于学校南偏东42°方向，B村位于学校北偏东25°方向，C村位于学校北偏西65°方向，在B村和C村间的公路OE （射线）平分∠BOC.（1）求∠AOE的度数；（2）公路OE上的车站D相对于学校O的方位是什么？（以正北、正南方向为基准）18．已知∠AOB＝35°，与∠AOC互为余角，与∠BOD互为补角，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD。
人教版数学七上4.3.3余角和补角(共2课时)(最新课件)
课堂导入
将一张长方形纸片，沿一个角折叠后，折痕与长方形 的边形成了4个角.
1. ∠1 与∠2 有什么数量关系？
2
∠1+∠2 = 90°
1
2. ∠3与∠4有什么数量关系？ 3 4
∠3+∠4 = 180°
新知探究 知识点1 余角和补角
一般地，如果两个角的和等于90°( 直角 )，就说这两 个角互为余角 ，即其中每一个角是另一个角的余角. 两个角互为余角简称为两个角互余.
角
4.3.3余角和补角（共2课时）
初中数学 七年级上册 RJ
角
4.3.3 余角和补角 第1课时
初中数学 七年级上册 RJ
知识回顾
角的比较 角的比较 与运算
角的运算
度量法 叠合法 角的和差倍分关系
角的平分线
学习目标
1. 了解余角、补角的概念.
2. 掌握余角和补角的性质，并能利用余角、补角的知 识解决相关问题.
(2) 如图(2)所示，直线 MN 与 PQ 相交于点 E，∠1与 ∠2相等吗？为什么？ 解：(2) 相等. 因为点 M，E，N 在同一条直线上， 所以∠MEN=180°，即∠2+∠PEN= 180°. 因为点 P，E，Q 在同一条直线上， 所以∠PEQ=180°，即∠l +∠PEN= 180°， 所以∠1=∠2.
3.如图所示，点 O 为直线 AB 上一点， ∠AOC=∠DOE=90°. (2) 图中互补的角有几对？各是哪些？
解：(2) 由已知得，∠1+∠BOD=180°， ∠4+∠AOE=180°，∠AOC+∠BOC= 180°， ∠AOC+∠DOE=180°， 由(1)可知，∠1=∠ 3，∠2=∠4，∠BOC=90°， 所以∠3+∠BOD=180° ，∠2+∠AOE= 180°， ∠BOC+∠DOE=180°.
4.3.3余角与补角(2)方位角(教案)-2021-2022学年人教版七年级数学上册
在课堂总结时，我强调了方位角在日常生活中的应用，希望学生们能够将所学知识运用到实际中。但从课后作业的完成情况来看，部分学生在应用方面还存在一定的困难。为此，我计划在下一节课中增加一些与实际生活紧密相关的例题，让学生们更好地掌握方位角的应用。
其次，在计算方位角的过程中，部分学生对于坐标轴的正方向记忆不够牢固，导致计算错误。针对这个问题，我会在接下来的课堂中，通过反复强调和练习，帮助他们巩固记忆。同时，我将总结一些计算技巧，让学生们在计算时能够更加得心应手。
此外，实践活动和小组讨论的环节，学生们表现得非常积极。他们在讨论中提出了很多有创意的想法，也解决了实际问题。这说明学生们在合作学习的过程中，能够更好地发挥自己的潜能。今后，我会继续增加这种形式的课堂活动，激发学生们的学习兴趣。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。通过使用指南针和地图，学生可以直观地观察和计算方位角。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“方位角在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解方位角的基本概念。方位角是表示从正北方向顺时针旋转到目标方向的角度。它在地图导航、建筑设计等领域有重要作用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。假设地图上的A点指向正北，我们需要找到从A点到B点的方向。通过计算方位角，我们可以轻松确定这个方向。
4.3.3余角和补角(二)
2、 一般地，如果两个角的和等于
180°（平角），就说这两个角互为补 角．即其中一个是另一个角的补角。
几何语言表示为：
若∠1+∠2=18080°—∠2
反过来说也成立：若∠1与∠2互为 补角，那么∠1+∠2=180°
练一练
判断题： 1、如果一个角有补角，那么这个角一定 是钝角（ ）
所以， ∠COD 和∠COE互为余角， 同理， ∠AOD +∠BOE， ∠AOD +∠COE ， ∠COD +∠BOE也互为余角.
活学活用 加深理解
1、如图，OD平分∠COA ，OE平分
∠COB， 则①∠ EOD=__ 90 °
②图中互余角有 4 对，互补角有__ 5
对。
C D B
O
A
2、 如图， O是直线AB上一 AOE FOD 90，OB平 点， 分COD ，图中与DOE 互余的角 有哪些？ 与 DOE 互补的角 有哪些？
课堂小结
余角、补角的概念：
（1） 和为90°的两个角称互为余角； （2） 和为180°的两个角称互为补角；
余角、补角的性质：
（1） 等角的余角相等；
（2） 等角的补角相等；
3.图中有哪几对互余的角？
(∠A+∠B=90°, ∠A+∠C=90°) (∠BOE+∠B=90°, ∠COD+∠C=90°) (∠COD+∠B=90°, ∠BOE +∠C=90°)
4.图中哪几对角是相等的角(直角除外)？ 为什么? C
(∠B=∠C) （同角的余角相等） (∠A=∠BOE) (∠A=∠COD) (∠BOE=∠COD) O (∠BOC=∠EOD)
D
人教版七年级上册数学4.3.3余角、补角的概念与性质教案
4.3.3 余角和补角教学目标1．知识与技能（1）在具体的现实情境中，认识一个角的余角与补角.（2）．掌握余角和补角的性质．2．过程与方法进一步提高学生的抽象概括能力，发展空间观念和知识运用能力，学会简单的逻辑推理，并能对问题的结论进行合理的猜想．3．情感态度与价值观体会观察、归纳、推理对数学知识中获取数学猜想和论证的重要作用，初步数学中推理的严谨性和结论的确定性，能在独立思考和小组交流中获益．教学重点：认识角的互余、互补关系及其性质.教学难点：通过简单的推理，归纳出余角、补角的性质，并能用规范的语言描述性质．关键：了解推理的意义和推理过程，是掌握性质的关键．教具准备：三角板、多媒体设备．教学过程一、引入新课1．（图片引入）比萨斜塔，从数学角度来看比萨斜塔最奇特的地方在于本应于地面垂直的塔身变倾斜了，图中的∠1与∠2有什么关系？二、新授1. 在一副三角板中，每块都有一个角是90°，那么其余两个角的和是多少？学生活动：独立思考，小组交流，得出结论：都是90°．板书：如果两个角的和等于90°，那么这两个角叫做互为余角，其中一个角是另一个角的余角。
2．观察图形，类比互余，得出互补的概念．如果两个角的和等于180°，那么这两个角叫做互为补角，其中一个角是另一个角的补角。
3.问题讨论问题1：以上定义中的“互为”是什么意思？问题2：若∠1+∠2+∠3 =180°，那么∠1、∠2、∠3互为补角吗？问题3：互为余角、互为补角的两个角是否一定有公共顶点？小结：互余、互补是两角之间的数量关系，只与他们的度数和有关，与位置无关。
互余、互补概念中的角是成对出现的。
三、试炼考验试炼1:：余角与补角．试炼2：例1：一个角的补角是它的余角的4倍，求这个角的余角是多少度？教师活动：巡视学生完成练习的情况，并给予适当的评价．四、余角与补角的性质．1. 利用三角尺,只画一条线，画出∠1的余角同角的余角相等∵∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°∴∠2=∠32. 已知∠1与∠2互为余角,∠3与∠4互为余角,若∠1=∠3则∠2与∠4是什么关系?等角的余角相等∵∠1与∠2互余，∠3与∠4互余又∵∠1=∠3∴∠2=∠4 同（等）角的余角相等3. 师生互动：类比余角的性质，得出补角的性质：同（等）角的补角相等五、挑战大挑战1.如图，直线CD经过点O，且OC平分∠AOB。
人教版数学七年级上册4.3.3余角和补角优秀教学案例
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.利用生活实例引入余角和补角的概念。展示一幅道路上的交通标志图，让学生观察并解释直角、锐角和钝角在实际生活中的应用。引导学生思考：除了这些角之外，还有哪些角是我们需要了解的呢？
（四）总结归纳
1.引导学生进行总结归纳，巩固所学知识。例如，让学生回顾并总结余角和补角的概念、性质以及求解方法。
2.讲解求解余角和补角的方法。引导学生运用数余角和补角。
（三）学生小组讨论
1.设计小组讨论活动，鼓励学生相互交流、分享想法。例如，将学生分成小组，让他们讨论并解释余角和补角的概念，以及它们在实际问题中的应用。
2.组织小组合作项目，让学生共同解决实际问题。例如，让学生分组设计一个游戏，其中一个游戏目标是找到特定角度的余角和补角。
3.利用多媒体手段，如PPT、视频等，为学生提供丰富的学习资源。通过展示不同形状的物体，让学生观察并找出它们的余角和补角。
（二）问题导向
1.引导学生提出问题，激发他们的探究欲望。例如，鼓励学生思考：余角和补角之间有什么关系？它们在实际问题中有何作用？
2.设计具有挑战性的数学题目，让学生独立思考并解决问题。例如，给出一个实际问题：一个三角形的两个角分别是30度和60度，求第三个角的度数。引导学生运用余角和补角的知识解决问题。
（二）过程与方法
1.通过生活实例引入余角和补角的概念，让学生感受数学与生活的紧密联系。
2.采用启发式教学，引导学生主动探索、发现和解决问题。
3.设计小组讨论、互动交流等活动，激发学生的学习兴趣，提高他们的合作意识和团队精神。
4.3.3 余角和补角
80︒65︒46︒44︒25︒10︒课题：§4.3.3 余角和补角备课人： 教学目标： 知识与技能:⑴、在具体的现实情境中，认识一个角的余角和补角掌握余角和补角的性质。
⑵、了解方位角，能确定具体物体的方位。
过程与方法：进一步提高学生的抽象概括能力，发展空间观念和知识运用能力，学会简单的逻辑推理，并能对问题的结论进行合理的猜想。
情感、态度与价值观：体会观察、归纳、推理对数学知识中获取数学猜想和论证的重要作用，初步数学中推理的严谨性和结论的确定性，能在独立思考和小组交流中获益。
教学重点：认识角的互余、互补关系及其性质，确定方位是本节课的重点。
教学难点：通过简单的推理，归纳出余角、补角的性质，并能用规范的语言描述性质是难点。
教学方法：疑探展评用 教 具：多媒体 教学流程： 一设疑：让学生观察意大利著名建筑比萨斜塔。
比萨斜塔建于1173年，工程曾间断了两次很长的时间，历经约二百年才完工。
设计为垂直建造，但是在工程开始后不久便由于地基不均匀和土层松软而倾斜。
2.提出问题形成自探提纲( 预设)。
（1）、探究互为余角、互为补角的定义； （2）余角、补角的性质； （3）怎样确定方位角。
二、探究：⑴：图中给出的各角，那些互为余角？南北西170︒120︒100︒150︒80︒10︒30︒60︒⑵：图中给出的各角，那些互为补角？（3）填下列表：4、如图.货轮O 在航行过程中,发现灯塔A 在它南偏东60°的方向上,同时,在它北偏东40°,南偏西10°,西北(即北偏西45°)方向上又分别发现了客轮B,货轮C 和海岛D.仿照表示灯塔方位的方法画出表示客轮B,货轮C 和海岛D 方向的射线.（二）小组合探。
对于自探问题中解决不了的问题在小组内合探解决。
三、展示：板书展示，主要展示计算过程。
四、评价：1、学生评价：主要评价展示题的优点与不足。
2、教师点评：在学生评价的基础上不重复评价，适当补充重点地方加以强调。
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看谁画得快
北
●
B
40° 45°
●
西
C
●
O
60°
东
A
射 线 OD 的 方 向 就 是 南 偏 西 45°，即海岛D所在的方向。
南
10°
●
练一练
灯塔A在灯塔B的南偏西60 °，A、B两灯塔 相距20海里.现有一艘轮船C在灯塔B的正北方向、 灯塔A的北偏东30 °方向.试画图确定轮船的位 置（每10海里用1厘米长的线段表示）.
60°的方向上 , 同时, 在它北偏东 40°, 南偏西 10°, 西 北 ( 即北偏西 45°) 方向上又分别发现了客轮 B, 货轮 C 和海岛D.仿照表示灯塔方位的方法画出表示客轮B,货 轮C和海岛D方向的射线.
答：射线 OA 的方向就是南偏 东60°，即灯塔A所在的方向。 ● D 射 线 OB 的 方 向 就 是 北 偏 东 40°，即客轮B所在的方向。 射 线 OC 的 方 向 就 是 南 偏 西 10°，即货轮C所在的方向。
解：
北
.C ∴如图的点C 就是轮船的 位置.
西
A.
.B
东
60° 30° 20海里
南
畅所欲言
● ●
本节课你学到了哪些知识？ 你还有什么疑问吗?
通过这节课的学习后,你有什么 感受?
●
（C）南偏东30° （D）南偏西30° 北
北
B
东
2 1 A
东
练一练
2、如图，OA表示北偏东 32°方向线， OB 表示南偏东43°方向线，则∠AOB等于 105° .
画一画
请画出表示以下方位的射线.
（1）北偏东70° （2）南偏西25°
北
（3）西北方向
C
45°
西
70° B
东
O
25°
A 南
例1:如图.货轮O在航行过程中,发现灯塔A在它南偏东
情景创设
在地图上,我国首都北京位于路桥的什 么方向?
情景创设
你现在所在位置的东、南、西、北是什么 方向？ 地图上的东、南、西、北又是什么方向？
北
西 南
东
认识方位角
北
D E 45° 45°
（1）正东，正南，正西，正北 射线OA
H
OB
OC
OD
射线OE （2）西北方向:_________
西
C O
东
射线OF 西南方向:__________
A
射线OG 东南方向:__________
F B
南
G
射线OH 东北方向:__________
起始线：南北线
说一说
说出B在A的 北偏东40° 那么A在B的
南偏西40°
北
●
B
●
西
Hale Waihona Puke B●40° 70°
●
B
东
A
65°
●B
●
B
南
练一练
1、A看B的方向是北偏东30°，那么B看 A的方向是（ D ） （A）南偏东60°（B）南偏西60°