计算机组成原理 No4 数据的表示和运算-3

因为 A–B= A+(–B )，所以有补码减法：
整数 [A – B]补= [A+(–B )]补= [A]补 + [ – B]补 (mod 2n+1) 小数 [A – B]补= [A+(–B )]补= [A]补 + [ – B]补 (mod 2)
从[Y]补求[-Y]补的法则是： 对[Y]补包括符号位“求反且最末位加1”
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补 码 右 移
2.2.2 定点数的运算
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① 乘积的符号位 x0 ② 数值部分的运算
y0 = 0
1=1
x*• y* = 0. 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 则 [x • y]原 = 1. 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 特点 绝对值的补码运算 用移位的次数判断乘法是否结束 算术移位
每次用乘数的2位判断原部分积是否加和 如何加 被乘数
2.2.2 定点数的运算

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两位乘数共有4种状态，对应这4种状态可得下表。 乘数yn-1 yn 00 01 10 11 新的部分积 加 “0” 2 加 1 倍的被乘数 加 2 倍的被乘数 加 3 倍的被乘数 2 2 2
2.2.2 定点数的运算
为 y 的绝对值
y0
数值部分为绝对值相乘 x* • y*
2.2.2 定点数的运算

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原码一位乘递推公式
x*• y* = x*(0.y1y2 … yn) = x*(y12-1+y22-2+ … + yn2-n) = 2-1(y1x*+2-1(y2x*+ … 2-1(ynx* + 0)… )) z0 …… z0 = 0 z1 = 2-1(ynx*+z0) z2 = 2-1(yn-1x*+z1) … zn z1
2.2.2 定点数的运算

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2） 补码乘法
（1）补码与真值的关系

设 [x]补 = x0.x1x2 … xn 当X≥0时，x0=0，[x]补 = 0.x1x2 … xn=∑xi2-i = x
i=1 n


当x<0时，x0=1，[x]补 = 1.x1x2 … xn=2+ x
得出 x = - x0 +∑xi2-i

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原码两位乘运算规则
标志位Cj 0
0 0 0 1 1 1 1
乘数判断位yn-1yn 00
01 10 11 00 01 10 11
操作内容 z 2, y* 2, Cj 保持“0” z+x* 2, y* 2, Cj 保持“0”
z+2x* 2, y* 2, Cj 保持“0” z–x* z+x* 2, y* 2, 置“1” Cj 2, y* 2, 置“0” Cj
回顾
4、反码加减法运算

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（1）反码加法运算 反码加法运算遵循 [X]反+[Y]反=[X+Y]反 规则。符号位参加运算。 符号位相加后，如果有进位，则把该进位的数字加到数的最低位， 即循环进位。 （2）反码减法 两个反码表示的数相减，类似于补码减法，将减数变符号，并 根据变号后的减数取反，按反码加法进行。

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2.2.2 点数的运算

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原码一位乘的硬件配置
0 A 加 法 器 n 0 Q 右移 n
移位和加控制
控 制 门
0
X
n
计数器 C
S
GM
A、X、Q 均 n+1 位 移位和加受末位乘数控制
2.2.2 定点数的运算

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(2)原码两位乘 原码两位乘与原码一位乘一样，符号位的运算和数值部 分是分开进行的，但原码两位乘是用两位乘数的状态来 决定新的部分积如何形成，因此可提高运算速度。 一位乘 两位乘 符号位和数值位部分分开运算
乘积的位数扩大一倍
2.2.2 定点数的运算

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笔算乘法改进
A • B = A • 0.1011 = 0.1A + 0.00A + 0.001A +0.0001A = 0.1A + 0.00A + 0.001( A +0.1A) = 0.1A + 0.01[0 • A + 0. 1( A +0.1A)] = 0.1{A +0.1[ 0 • A+0.1(A + 0.1A)]} 右移一位 = 2-1{A +2-1[ 0 • A+2-1(A + 2-1(A+0))]} 第一步 被乘数A + 0 第二步 1，得新的部分积 第三步 部分积 + 被乘数 第八步 … 1，得结果


当y>0 时，y0=0 [x. y]补 = [x]补. y 当y<0 时，y0=1 [x.y]补= [ x]补 (0.y1y2 … yn) +[– x]补
补码比较法（Booth 算法）
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设[x]补 = x0.x1x2 … xn [x ·y]补
[y]补 = y0.y1y2 …yn
–[x]补= +[–x]补
设 被乘数 [x]补 = x0.x1x2 … xn 乘数 [y]补 = y0.y1y2 … yn

均为任意符号，则有补码乘法算式：[x.y]补=[x]补.y


证明： ① 被乘数任意，乘数为正
根据补码定义，有 [x]补=2+x=2 n+1+x (mod 2) 所以， [x]补. [y]补 = 2 n+1 .y +x.y=2(y1y2 … yn)+x.y 由于 (y1y2 … yn)是大于0的正整数，所以， 2(y1y2 … yn)=2 （mod 2） 故 [x]补. [y]补 = 2 +x.y =[x.y]补 即 [x. y]补 =[x]补. [y]补 =[x]补. y [y]补=y
i=1 n
所以 x = 1.x1x2 … xn – 2= -1+ 0.x1x2 … xn= -1+∑xi2-i
i=1
n
2.2.2 定点数的运算

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（2）补码的右移 正数右移一位，相当于乘1/2。负数用补码表示，右移 一位，是否也相当于乘1/2？
设 [x]补 = x0.x1x2 … xn
因为 x = - x0 +∑ xi2-i
-1 -2 -n
= [x]补( 0.y1 … yn ) – [x]补 ·y0 = [x]补(y1 2 +y22 + … +yn2 ) – [x]补 ·y0 2-1 = 20 – 2-1 2-2 = 2-1 – 2-2
z+2x* 2, y* 2, 置“0” Cj z–x* 2, y* 2, Cj 保持“1” z
–x* +[–x* ]补
2, y* 2, Cj 保持“1”
2 2 补码移
共有操作 +x* +2x* 实际操作 +[x*]补 +[2x*]补
2.2.2 定点数的运算
例：已知 x = 0.111111 y = – 0.111001 求[x· y] 原
2.2.2 定点数的运算

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运算规律：
乘数[y]补，去掉符号位，操作同 ① 最后 加[–x]补，校正
2.2.2 定点数的运算

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③ 被乘数、乘数符号任意 设[x]补 = x0.x1x2 … xn [y]补 = y0.y1y2 … yn 综合① ② ，得到补码乘法统一算式 [x ·y]补= [x]补( 0.y1 … yn ) +[– x]补 ·y0
Principles of Computer Composition
计算机组成原理
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第二部分 数据的表示和运算



2.1 数制与编码 2.2 定点数表示和运算 2.3 浮点数表示和运算 2.4 算术逻辑单元ALU
2.2 定点数表示和运算
2.2.1 定点数的表示 1、无符号数的表示； 2、有符号数的表示。 2.2.2 定点数的运算 1、定点数的位移运算； 2、原码定点数的加/减运算； 3、补码定点数的加/减运算； 4、定点数的乘法运算
2.2.2 定点数的运算

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7、定点数的乘法运算 分析笔算乘法 A = – 0.1101 B = 0.1011 A×B = – 0.10001111 0.1101 ×0 . 1 0 1 1 1101 1101 0000 1101 0.10001111 乘积的符号心算求得 符号位单独处理 乘数的某一位决定是否加被乘数 ？ 4个位积一起相加
2.2.2 定点数的运算

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原码两位乘和原码一位乘比较
符号位 操作数 移位 移位次数 最多加法次数
原码一位乘 x0 y0 绝对值 逻辑右移 n n
原码两位乘 x0 y0 绝对值的补码 算术右移 n（n为偶数） 2 n +1（n为偶数） 2 最多加 n/2 +1次
n 为奇数时，原码两位乘移 n/2 +1次
2.2.2 定点数的运算

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改进后的笔算乘法过程
2.2.2 定点数的运算
1）定点原码乘法 (1) 原码一位乘运算规则（以小数为例） 设[x]原 = x0.x1x2 [y]原 = y0.y1y2 … … xn yn
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[x • y]原 = (x0 y0).(0.x1x2 … xn)(0.y1y2 … yn) = (x0 y0). x*y* 式中 x*= 0.x1x2 … xn y*= 0.y1y2 … yn 乘积的符号位单独处理 x0 为 x 的绝对值
位乘法。