第2章 计算机中数据信息的表示和运算-浮点表示

EX=+7=(+00111)2，MX=－0. 111101101 [EX]补=000111， [ MX ]补=1. 000010011 则：[X]浮= 1 000111 000010011 （2）Y＝（34/128 ） 10 ＝（0.010001）2 ＝0. 10001×2－1 EY=－00001，MY=0. 100010000 [EY]补=111111， [ MY ]补=0. 100010000 则：[Y]浮= 0 111111 100010000
课堂练习


1、已知[X]补＝1.1010，求X＝ ？ 1.0110 [X]原＝ ？ [X]反＝ ？ 1.1001 [X]移＝ ？ 0.1010 2、求以下各机器数的十进制真值：
－0.0110
[X]原 = 1,0000000 ，则X = ？ [X]补 = 1,0000000 ，则X = ？ [X]反 = 1,0000000 ，则X = ？ [X]移 = 1,0000000 ，则X = ？ [X]原 = 1,1101 ，则X = ？ [X]补 = 1,1101 ，则X = ？ [X]反 = 1,1101 ，则X = ？ [X]移 = 1,1101 ，则X = ？ [X]原 = 0,1000 ，则X = ？ [X]补 = 1,1000 ，则X = ？ [X]反 = 0,1000 ，则X = ？ [X]移 =0,1000 ，则X = ？

X= (-1)s*1.M*2E-127 =+(1.011011)* 23 =+1011.011
=11.375
例2：将数（20.59375）10转换成754标准的32位浮点数二进 制存储格式。 解： 首先转换为二进制数 20.59375=10100.10011 移动小数点，使其在1，2位之间 10100.10011=1.010010011 * 24 ， e=4 于是：S=0， E=4+127=131，M=010010011 于是得到32位浮点数的二进制存储格式为： 0 100 0001 1010 0100 1100 0000 0000 0000 =（41A4C000）16


数值范围：一种数据类型所能表示的最大值和最 小值 数据精度：实数所能表示的有效数字位数。
2、浮点机器数的规格化表示
规格化方法：调整阶码使尾数满足下列关系：

尾数为原码表示时，无论正பைடு நூலகம்应满足1/2<|M |<1
即：小数点后的第一位数一定要为1。
正数的尾数应为0.1x….x
负数的尾数应为1.1x….x 尾数用补码表示时，小数最高位应与数符符号位相反。 正数应满足 1/2≦M<1，即 0.1x….x 负数应满足 -1/2 > M≥ -1，即 1.0x….x(M=-1/2除外)
定点数的表示范围

一个字长为32位的定点整数机器，最高位为符 号位，机器中的数采用补码表示形式，则该机 器所能表示的数的范围如下：
-231
0
231-1
数轴
浮点数的表示范围

32位字长的机器中，数采用浮点表示，符号位占1位， 尾数位占23位，阶符占1位，阶码占7位。阶码用移 码表示，尾数用原码表示，采用规格化浮点数表示形 式，则其表数范围：
5 机器零

定义：当一个浮点数的尾数为0，不论阶码为何 值，或者当阶码的值比能表示的最小值还小时， 不论尾数为何值，都把浮点数看作零。
例:阶码,尾数都用补码表示时： 1000000000000000000000000000000 当采用移码表示时： 0000000000000000000000000000000 与定点数判别“0”一致。
求： [X/2]补，[X/4]补 ，[Y/2]补，[Y/4]补
[X]补 =0.1011
[Y]补=1.1011
[Y/2]补=1.11011
[X/2]补=0.01011
[X/4]补=0.001011
[Y/4]补=1.111011
四、浮点机器数的表示方法
十进制数的科学表示法（scientific notation) 例如： 156,000,000=1.56*108 -0.000,000,28=-0.28*10-6
二进制的科学记数表示法，即：小数点的 位置根据需要而浮动，这就是浮点数。
1、浮点机器数的格式
1 、浮点数的一般形式
阶符Ef 阶码E1..m 尾符Mf 尾数M1..n N=+/-RE x M 其中，N：要表示的浮点数的真值； R（Radix）：基数为2的整数次幂，常取2； M（Mantissa）：尾数，一般为定点小数； E（Exponent）：阶码，一般为定点整数。 Mf ：表示浮点数的正负
X=-0 X =（- 128）10 X = （-127）10 X=0 X = - 1101B X = - 0011B X = - 0010 B X = +1101B X = +1000 B X = - 1000 B X = +1000B X = -1000 B
例：已知：X=0.1011 Y=-0.0101
例1：若浮点数X的754标准存储格式（41360000）16 ，求其 浮点数的十进制数值。 解：将16进制数展开后，可得到二进制格式： 0 100 0001 0011 0110 0000 0000 0000 0000 e=E-127=100 0001 0-01111111=00000011=3 包括一位隐含位的尾数 1.M=1. 011 0110 0000 0000 0000 0000 = 1.011011 于是：
1、浮点机器数的格式
可见，一个浮点数在机器中是用两个定点数来
表示的。 例：[ N ]补=1101；1.110101
N=-2（-0011）*0.001011 即：N=-0.000001011
2、浮点机器数的规格化表示

浮点数可以表示成多种形式：
0.11 026 => 1.10 25 => 0.000110 29 ……

例:

32位浮点二进制数，8位为补码表示的阶 码，24位（含1位符号位）为补码表示的规格 化尾数，试指出它所表示的最大正数与最小正 数数据格式。 最大正数：0111 1111 0.111…11 最小正数：1000 0000 0.100…00


3 机器数的移(增)码表示法
定义：设定点整数移码序列Xn Xn-1„„ X0,则, [X]移 = 2n + X 2n>X≥-2n 即无论X是正还是负，一律加上2n，称2n为基数 移码就是在真值X上加一个常数（偏置值），相当于X在数 轴上向正方向平移了一段距离，这就是“移码”一词的 来由。 [X]移=偏置值+X 传统上，对于字长8位的定点整数，偏置值为27。 在IEEE754中，偏置值为（27-1）
IEEE 754格式参数
参数 字宽(位数) 指数宽(位数) 指数偏移 最大指数 最小指数 数的范围 有效尾数 指数数目 分数数目 值的数目 单精度 32 8 127 127 -126 10-38,10+38 23 254 223 1.98*231 双精度 64 11 1023 1023 -1022 10-308,10+308 52 2046 252 1.99*263
（用16进制表示此结果则为：9B4H）


练习：一浮点数的阶码为6位（包括一位 阶符），尾数为10位（包括一位数符）， 阶码与尾数均采用补码表示，阶码的底 为2。写出X与Y的规格化浮点数。 （1）X＝－123.25 （2）Y＝34/128 （1）X＝（－123.25）10 ＝（－1111011.01）2 ＝－0. 111101101×2＋7
根据IEEE 754 国际标准，常用的浮点数格式有3种，阶码的底隐含 为2。 短实数又称为单精度浮点数，长实数又称为双精度浮点数，临时实 数主要用于进行浮点数运算时保存临时的计算结果。
数据类型 短实数 长实数
总位数 32 64
尾数位数 24 53
阶码位数 8 11
临时实数
80
65
15
4 IEEE 754浮点数标准

为了简化浮点数的操作，需要对其进行规 格化，规格化后的浮点数具有下列形式：
±0.1bbb…bb*R±E
2、浮点机器数的规格化表示
若上述浮点数N的尾数M在如下范围内1/R ≤ |M| < 1(1/2 ≤|M| < 1) 则N叫做规格化的浮点数，一般机 器中以此形式存储、运算。 在字长一定的情况下，规格化的浮点数精度最 高。
3 机器数的移(增)码表示法
例1：X=1011101 [X]移=27+X=10000000+1011101=11011101 [X]补=01011101 例2：X=-1011101 [X]移= 27 +X=10000000-1011101=00100011 [X]补=10100011
4 IEEE 754浮点数标准
练习: 将X=-19/64表示成浮点规格化数（阶码3位，阶 符1位，尾数7位，尾符1位），阶码采用原码，尾数 用规格化，用补码的形式表示。 定点数：[X]补=1.1011010； X=-19/64=(-10011*2-110)2=-0.010011=2-01*-0.10011 E=-01,E 原=1001； M=-0.1001100,M补=1.0110100 浮点数： 1,001; 1.0110100

开发该标准是为了程序从一个处理器移植到另一个处理器。 IEEE标准定义了32位的单精度和64位的双精度两种格式。它们的 指数段分别为8位和11位，隐含的基值是2。
0 1 89 阶码 尾数 （23） 11 12 11位阶码 52位尾数 63 31
数符号位
01
4 IEEE 754浮点数标准