高二数学向量数乘运算及其几何意义2
向量数乘的几何意义
向量数乘的几何意义稿子一嘿，亲爱的小伙伴们！今天咱们来聊聊向量数乘这个有趣的话题，特别是它的几何意义哟！你想想看，向量数乘就像是给向量穿上了魔法衣，能让它变大或者变小。
比如说，一个向量本来指向某个方向，当我们给它乘以一个正数，它就像被拉伸了一样，变得更长啦，但是方向不变哦。
这就好像是在原来的基础上，给它加了一股力量，让它能走得更远。
要是乘以一个小于 1 的正数，那这个向量就像是被压缩了，变短了一些，但方向还是那个方向，就好像是被限制了一下，不能那么“放肆”地跑远啦。
那要是乘以一个负数呢？这可神奇啦！它不仅长度变了，方向还完全反过来了！就像是本来向前冲的，一下子被拽回来，朝着相反的方向跑。
向量数乘在很多地方都有用哦！比如在物理学中，计算力的大小和方向变化的时候；在几何图形的研究中，帮助我们理解图形的变形和缩放。
向量数乘的几何意义真的超级有趣，能让我们更好地理解和解决很多问题呢！稿子二嗨呀，朋友们！今天咱们一起探索一下向量数乘的几何意义，准备好了吗？你可以把向量想象成一个小箭头，而数乘就是对这个小箭头的“改造”。
假如有个向量，它就像一个勇敢的小士兵朝着一个方向前进。
当我们给它乘以 2 ，这个小士兵瞬间变得更强大，走得更远，但是前进的方向可没有改变哟，还是那么坚定。
要是乘以 0.5 呢，小士兵就好像有点累了，步伐变小了，但依然朝着原来的目标前进。
但要是乘以 1 ，哇哦，这就像是给小士兵来了个 180 度大转弯，原来向前冲，现在向后跑啦。
向量数乘在生活中也有体现呢！比如我们走路的速度和方向，速度的变化就可以看作是向量数乘。
还有工程设计里，调整物体的移动距离和方向，都离不开向量数乘。
向量数乘的几何意义就像是一个神奇的魔法棒，能让向量变得不一样，帮助我们解决好多难题，是不是很有意思呀？。
向量相乘几何意义
向量相乘几何意义1. 向量的乘法的几何意义：向量的乘法，即叉乘，就是两个向量的矢量积，也叫向量积、叉乘。
它表示在三维空间中两个向量的交叉影响。
叉乘的计算结果是一个新的向量，它与原来两个向量不共线（垂直），新向量指向与两个向量夹角关系最小的方向，新向量的模大小取决于原来向量的模和夹角。
2. 投影乘法几何意义：向量投影乘法是为了了解两个向量之间的相似性，它是把一个向量投影到另一个向量上，然后求出两个向量的内积，它描述的是两个向量的大小和方向的关系。
三维空间中的向量投影，得出的结果是一个垂直于另一向量的向量，可以表示为一个实值，表示投影后的向量的模长。
3. 向量的点乘几何意义：向量的点乘就是两个向量的点积，也叫内积。
它表示对两个向量之间的角度。
如果两个向量夹角为90°，说明他们是正交，点乘结果为0。
另外，点乘结果大于0，说明他们夹角小于90°；点乘结果小于0，则说明他们夹角大于90°。
4. 向量的乘法的应用：（1）在几何中，向量的乘法可以用来求出三角形的重心。
（2）在物理学中，向量的乘法可以用来求出力矩，从而了解力和位移之间的关系。
（3）在几何中，向量投影乘法可以用来求出过某点的投影线和一条向量的投影。
（4）在几何中，可以用点乘乘法求出两个向量之间的夹角，求出相交后三角形的重心，也可以用来求出向量的长度。
（5）在数学中，向量的乘法可以用来求解线性方程组的解。
（6）在统计学中，可以通过向量的乘法和投影乘法来求出最小二乘回归。
（7）在仿真中，可以通过向量的乘法来求出任意天体运行的轨迹。
向量乘法的几何意义
向量乘法的几何意义
向量乘法的几何意义是用于描述向量之间的乘积的几何特征。
向量乘法有两种不同的乘积，分别是点积和叉积。
点积表示的是两个向量之间的夹角以及它们的长度的乘积，而叉积则表示的是两个向量之间所围成平行四边形的面积。
这些几何特征可以帮助我们更好地理解向量的性质和行为。
对于点积，它可以用来计算两个向量之间的夹角。
当两个向量的点积为正数时，它们之间的夹角是锐角；当点积为负数时，它们之间的夹角是钝角；当点积为零时，它们之间的夹角是直角。
此外，点积还可以用于计算向量在某个方向上的投影。
具体而言，如果向量A在向量B上的投影为C，那么向量C的长度等于向量A与向
量B之间的夹角的余弦值与向量A的长度的乘积。
对于叉积，它可以用于计算两个向量之间所围成平行四边形的面积。
具体而言，如果向量A和向量B的叉积为C，那么向量C的长度等于向量A和向量B所围成
的平行四边形的面积。
此外，叉积还可以用于计算向量之间的垂直关系。
具体而言，如果向量A和向量B的叉积为C，那么向量C与向量A和向量B都垂直。
在实际应用中，向量乘法具有广泛的应用。
例如，在物理学中，点积和叉积可以用于计算力和力矩；在计算机图形学中，点积和叉积可以用于计算三维图形的法向量和表面积；在机器学习中，点积可以用于计算两个向量之间的相似度。
因此，了解向量乘法的几何意义对于理解这些应用非常重要。
向量的运算与几何意义解析
向量的运算与几何意义解析向量是数学中重要的概念，它可以用来表示方向和大小。
在实际应用中，我们经常需要对向量进行运算，并通过运算来解析向量的几何意义。
本文将探讨向量的四则运算（加法、减法、数量乘法和点乘）以及各种运算在几何上的意义。
1. 向量的加法（Vector Addition）向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。
具体而言，给定两个向量A和A，它们的加法可以表示为：A = A + A。
在几何上，这个运算可以理解为将向量A放在向量A的尾部，从而得到一个新的向量A，如下图所示：图1：向量的加法示意图通过向量的加法，我们可以将多个向量连接起来，从而形成更长的向量。
2. 向量的减法（Vector Subtraction）向量的减法是指将一个向量从另一个向量中减去，得到一个新的向量。
具体而言，给定两个向量A和A，它们的减法可以表示为：A = A - A。
在几何上，这个运算可以理解为从向量A的尾部指向向量A 的尾部，从而得到一个新的向量A，如下图所示：图2：向量的减法示意图通过向量的减法，我们可以计算出两点之间的距离，或者确定一个向量相对于另一个向量的位置关系。
3. 向量的数量乘法（Scalar Multiplication）向量的数量乘法是指将一个向量乘以一个标量，得到一个新的向量。
具体而言，给定一个向量A和一个标量A，它们的数量乘法可以表示为：A = AA。
在几何上，这个运算可以理解为将向量A的大小进行缩放或扩大A倍，从而得到一个新的向量A，如下图所示：图3：向量的数量乘法示意图通过向量的数量乘法，我们可以改变向量的大小，同时保持其方向不变。
4. 向量的点乘（Dot Product）向量的点乘是指将两个向量进行运算得到一个标量。
具体而言，给定两个向量A和A，它们的点乘可以表示为：A = A·A。
计算方法是将两个向量对应位置的元素相乘，然后将相乘的结果相加。
在几何上，点乘的结果是两个向量之间的夹角的余弦值乘以向量的模长乘积，如下图所示：图4：向量的点乘示意图通过向量的点乘，我们可以计算出两个向量之间的夹角，以及一个向量在另一个向量方向上的投影长度。
向量数乘运算及几何意义
总结向量数乘的应用
向量数乘在物理学、工程学、计算机图形学等领 域有着广泛的应用，例如在物理中描述速度和加 速度的变化，在工程中实现机器人的运动控制等 。
向量数乘运算及几何 意义
目录
CONTENTS
• 引言 • 向量数乘运算的定义和性质 • 向量数乘运算的几何意义 • 向量数乘运算的应用 • 结论
目录
CONTENTS
• 引言 • 向量数乘运算的定义和性质 • 向量数乘运算的几何意义 • 向量数乘运算的应用 • 结论
01
引言
01
引言
主题简介
向量数乘运算
机器人学
在机器人学中，向量数乘运算用于描述机器人的运动轨迹 和姿态。例如，通过标量积运算可以计算机器人的关节角 度和速度。
图形处理
在计算机图形学中，向量数乘运算用于描述图像的变换和 旋转。例如，通过将像素坐标向量进行数乘运算，可以实 现图像的缩放、旋转和平移等操作。
在工程中的应用
控制系统分析
在工程控制系统中，向量数乘运算用于分析系统的动态特 性。例如，通过标量积运算可以计算系统的传递函数和稳 定性。
其中u、v是向量。
零向量与任意向量数乘结果 仍为零向量，即0 * v = 0。
标量乘法的单位元是1，即1 * v = v。
03
向量数乘运算的几 何意义
03
向量数乘运算的几 何意义
向量数乘的几何表示
标量与向量的点乘
标量与向量点乘的结果是一个标量，表示向量在标量作用下的伸缩倍数。
标量与向量的叉乘
向量数乘运算及其几何意义
6?ar 5?a
(3r 2)ar 2a 3a
?5?6ara
2(a+b)=? 2a+2b=?
r
r
3(2ar) (3r 2)ar
(2 3)a 2a 3a
2(a+b) = 2a+2b
结合律 （a） a
第一分配律 a a a
第二分配律 a b a b
向量的加、减、数乘运算
b // a
(2)若b // a(a 0),则b a是否成立?
成立
向量共线定理：
rr r r
向量a(a 0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数,
rr
使b a.
rr
r rr r
即a与b共线
b a (a 0)
思考:1)
r a
为什么要是非零向量?
r 2) b 可以是零向量吗?
练一练: 书本P90,练习4：判断两向量是否共线。
统称为向量的线性运算.
例5.计算：
r (1)(3) 4a;
rr rr r (2)3(a b) 2(a b) a;
r rr r rr (3)(2a 3b c) (3a 2b c).
思考:
r -12 a
r 5b r rr - a +5 b -2 c
(1)若b a(a 0),则a,b位置关r系r如何?
r a
的积是一个向量，
这种运算叫做向量的数乘，记作 ar ，它的长度和方向
规定如下：
r
r
（1）| a || || a |;
（2）当
当
0时， 0时，
r ar a
的方向与 的方向与
r ar
a
的方向相同； 的方向相反。
向量数乘运算及其几何意义
例1．计算：
（1） 3 4a
-12a
（2）3a b 2a b a
5b
（3）2a 3b c 3a 2b c -a+5b-2c
例2.如图：已知 AD 3 AB，DE 3BC，试判断 AC与 AE
是否共线． 解： AE AD DE
E C
3AB 3 BC
3AB BC
A B
3 AC
D
∴ AC与 AE 共线．
练习： (1)设 e1、e2 是两个不共线向量，已 AB 2e1 Re2 ， CB e1 3e2 ，若A、B、C三点共线，求的R值．
答:R=6
小节:
1、向量数乘运算及其几何意义 2、向量数乘运算的运算律 3、向量共线的判定
作业：
课本P103 9
数乘向量的运算律：
结合律
a a
第一分配律 a a a
第二分配律 a b a b
定理 向量 b 与非零向量 a 共线的充分必要条件是有
且仅有一个实数 ，使得 b a ．
证明：（1）对于向量 （a a 0) ，如果有一个实数
使 b a
那么，由向量数乘的定义知，a与b共线
（2）已知
向量 a 的
a与b共线
倍，即
，a 0
b
，且向量 b 的长度是
a ，那么当 a与b
同向时，有 b a ；当 a与b 反向时 ， 有 b a
综上，如果 （a a 0) b 与 共线，那么有且只有一个实
数 使 b a
2.2.3 向量数乘运算及 其几何意义
学习目标：
1、向量数乘运算及其几何意义 2、向量数乘运算的运算律
向量数乘运算及其几何意义
2．2.3向量数乘运算及其几何意义学习目标1.了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义.2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算律进行向量运算.3.理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关共线向量问题．知识点一 向量数乘的定义实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa ，其长度与方向规定如下： (1)|λa |＝|λ||a |.(2)λa (a ≠0)的方向⎩⎪⎨⎪⎧当λ>0时，与a 方向相同；当λ<0时，与a 方向相反.特别地，当λ＝0或a ＝0时，0a ＝0或λ0＝0. 知识点二 向量数乘的运算律 1．λ(μa )＝(λμ)a . 2．(λ＋μ)a ＝λa ＋μa . 3．λ(a ＋b )＝λa ＋λb . 知识点三 向量共线定理 1．向量共线定理向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b ＝λa . 2．向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a ，b ，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a ±μ2b )＝λμ1a ±λμ2b . 思考 共线向量定理中为什么规定a ≠0?答案 若将条件a ≠0去掉，即当a ＝0时，显然a 与b 共线． (1)若b ≠0，则不存在实数λ，使b ＝λa . (2)若b ＝0，则对任意实数λ，都有b ＝λa .1．若向量b 与a 共线，则存在唯一的实数λ使b ＝λa .( × ) 提示 当b ＝0，a ＝0时，实数λ不唯一． 2．若b ＝λa ，则a 与b 共线．( √ ) 提示 由向量共线定理可知其正确． 3．若λa ＝0，则a ＝0.( × ) 提示 若λa ＝0，则a ＝0或λ＝0.题型一 向量的线性运算例1 (1)3(6a ＋b )－9⎝⎛⎭⎫a ＋13b ＝________. 考点 向量的线性运算及应用 题点 向量的线性运算答案 9a解析 3(6a ＋b )－9⎝⎛⎭⎫a ＋13b ＝18a ＋3b －9a －3b ＝9a . (2)若3(x ＋a )＋2(x －2a )－4(x －a ＋b )＝0，则x ＝______. 考点 向量的线性运算及应用 题点 向量的线性运算 答案 4b －3a解析 由已知得3x ＋3a ＋2x －4a －4x ＋4a －4b ＝0， 所以x ＋3a －4b ＝0，所以x ＝4b －3a . 反思感悟 向量线性运算的基本方法(1)类比法：向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”、“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数．(2)方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算． 跟踪训练1 计算：(a ＋b )－3(a －b )－8a . 考点 向量的线性运算及应用 题点 向量的线性运算解 (a ＋b )－3(a －b )－8a ＝(a －3a )＋(b ＋3b )－8a ＝－2a ＋4b －8a ＝－10a ＋4b .题型二 向量共线的判定及应用命题角度1 判定向量共线或三点共线 例2 已知非零向量e 1，e 2不共线．(1)若a ＝12e 1－13e 2，b ＝3e 1－2e 2，判断向量a ，b 是否共线．考点 向量共线定理及其应用 题点 利用向量共线定理判定向量共线 解 ∵b ＝6a ，∴a 与b 共线．(2)若AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1＋8e 2，CD →＝3(e 1－e 2)，求证：A ，B ，D 三点共线．考点 向量共线定理及其应用 题点 利用向量共线定理判定三点共线证明 ∵AB →＝e 1＋e 2，BD →＝BC →＋CD →＝2e 1＋8e 2＋3e 1－3e 2＝5(e 1＋e 2)＝5AB →， ∴AB →，BD →共线，且有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线．反思感悟 (1)向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断共线．(2)利用向量共线定理证明三点共线，一般先任取两点构造向量，从而将问题转化为证明两向量共线，需注意的是，在证明三点共线时，不但要利用b ＝λa (a ≠0)，还要说明向量a ，b 有公共点．跟踪训练2 已知非零向量e 1，e 2不共线，如果AB →＝e 1＋2e 2，BC →＝－5e 1＋6e 2，CD →＝7e 1－2e 2，则共线的三个点是________． 考点 向量共线定理及其应用 题点 利用向量共线定理判定三点共线 答案 A ，B ，D解析 ∵AB →＝e 1＋2e 2，BD →＝BC →＋CD → ＝－5e 1＋6e 2＋7e 1－2e 2＝2(e 1＋2e 2)＝2AB →， ∴AB →，BD →共线，且有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线．命题角度2 利用向量共线求参数值例3 已知非零向量e 1，e 2不共线，欲使k e 1＋e 2和e 1＋k e 2共线，试确定k 的值． 考点 向量共线定理及其应用 题点 利用向量共线定理求参数 解 ∵k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线， ∴存在实数λ，使k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)， 则(k －λ)e 1＝(λk －1)e 2，由于e 1与e 2不共线，只能有⎩⎪⎨⎪⎧k －λ＝0，λk －1＝0，∴k ＝±1.反思感悟 利用向量共线定理，即b 与a (a ≠0)共线⇔b ＝λa ，既可以证明点共线或线共线问题，也可以根据共线求参数的值．跟踪训练3 设两个不共线的向量e 1，e 2，若a ＝2e 1－3e 2，b ＝2e 1＋3e 2，c ＝2e 1－9e 2，问是否存在实数λ，μ，使d ＝λa ＋μb 与c 共线？ 考点 向量共线定理及其应用 题点 利用向量共线定理求参数 解 d ＝λ(2e 1－3e 2)＋μ(2e 1＋3e 2) ＝(2λ＋2μ)e 1＋(3μ－3λ)e 2，要使d 与c 共线，则存在实数k ，使得d ＝k c ， 即(2λ＋2μ)e 1＋(－3λ＋3μ)e 2＝2k e 1－9k e 2. 因为e 1与e 2不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧2λ＋2μ＝2k ，－3λ＋3μ＝－9k ，得λ＝－2μ.故存在实数λ和μ，使得d 与c 共线，此时λ＝－2μ. 题型三 用已知向量表示其他向量例4 在△ABC 中，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →等于( ) A.13AC →＋23AB → B.53AB →－23AC →C.23AC →－13AB → D.23AC →＋13AB → 考点 向量共线定理及其应用 题点 用已知向量表示未知向量 答案 D解析 示意图如图所示，由题意可得AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝13AB →＋23AC →.跟踪训练4 如图所示，四边形OADB 是以向量OA →＝a ，OB →＝b 为邻边的平行四边形．又BM ＝13BC ，CN ＝13CD ，试用a ，b 表示OM →，ON →，MN →.考点 向量共线定理及其应用 题点 用已知向量表示未知向量解 因为BM →＝13BC →＝16BA →＝16(OA →－OB →)＝16(a －b )，所以OM →＝OB →＋BM →＝b ＋16a －16b ＝16a ＋56b .因为CN →＝13CD →＝16OD →，所以ON →＝OC →＋CN →＝12OD →＋16OD →＝23OD →＝23(OA →＋OB →)＝23(a ＋b )． MN →＝ON →－OM →＝23(a ＋b )－16a －56b ＝12a －16b .向量的综合应用典例 如图，设O 是△ABC 内一点，且满足OA →＋2OB →＋3OC →＝0，则△ABC 与△AOC 的面积之比为________．答案 3解析 如图所示，分别取BC ，AC 边的中点D ，E ，则OB →＋OC →＝2OD →，① OA →＋OC →＝2OE →，② 由①×2＋②可得OA →＋2OB →＋3OC →＝2(2OD →＋OE →)． 又因为OA →＋2OB →＋3OC →＝0， 所以2OD →＋OE →＝0，即OE →＝－2OD →， 所以OD →，OE →共线，且|OE →|＝2|OD →|.所以S △AOC ＝2S △COE ＝2×23S △CDE ＝2×23×14S △ABC ＝13S △ABC ，所以S △ABC S △AOC＝3.[素养评析] 本题主要考查向量共线条件的应用，解题时需充分利用好几何图形，借助几何直观使问题得解，这正体现了数学中直观想象的核心素养.1．下列各式计算正确的有( ) (1)(－7)6a ＝－42a ； (2)7(a ＋b )－8b ＝7a ＋15b ； (3)a －2b ＋a ＋2b ＝2a ； (4)4(2a ＋b )＝8a ＋4b .A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 考点 向量的线性运算及应用 题点 向量的线性运算 答案 C解析 (1)(3)(4)正确，(2)错，7(a ＋b )－8b ＝7a ＋7b －8b ＝7a －b . 2．在△ABC 中，M 是BC 的中点，则AB →＋AC →等于( ) A.12AM → B.AM → C ．2AM → D.MA → 考点 向量的线性运算及应用 题点 向量的线性运算 答案 C解析 如图，作出平行四边形ABEC ，因为M 是BC 的中点，所以M 也是AE 的中点，由题意知，AB →＋AC →＝AE →＝2AM →，故选C.3．设e 1，e 2是两个不共线的向量，若向量m ＝－e 1＋k e 2 (k ∈R )与向量n ＝e 2－2e 1共线，则( ) A ．k ＝0 B ．k ＝1 C ．k ＝2D ．k ＝12考点 向量共线定理及其应用 题点 利用向量共线定理求参数 答案 D解析 当k ＝12时，m ＝－e 1＋12e 2，n ＝－2e 1＋e 2.∴n ＝2m ，此时m ，n 共线．4．已知P ，A ，B ，C 是平面内四点，且P A →＋PB →＋PC →＝AC →，则下列向量一定共线的是( ) A.PC →与PB → B.P A →与PB → C.P A →与PC →D.PC →与AB → 考点 向量共线定理及其应用 题点 利用向量共线定理判定向量共线 答案 B解析 因为P A →＋PB →＋PC →＝AC →， 所以P A →＋PB →＋PC →＋CA →＝0， 即－2P A →＝PB →，所以P A →与PB →共线．5.如图所示，已知AP →＝43AB →，用OA →，OB →表示OP →.考点 向量共线定理及其应用 题点 用已知向量表示未知向量 解 OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋43AB →＝OA →＋43(OB →－OA →)＝－13OA →＋43OB →.1．实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如λ＋a ，λ－a 是没有意义的． 2．λa 的几何意义就是把向量a 沿着a 的方向或反方向扩大或缩小为原来的|λ|倍．向量a|a |表示与向量a 同向的单位向量．3．向量共线定理是证明三点共线的重要工具，即三点共线问题通常转化为向量共线问题．一、选择题1．下列说法中正确的是( ) A ．λa 与a 的方向不是相同就是相反 B ．若a ，b 共线，则b ＝λa C ．若|b |＝2|a |，则b ＝±2a D ．若b ＝±2a ，则|b |＝2|a | 考点 向量数乘的定义及运算 题点 向量数乘的定义及几何意义 答案 D解析 显然当b ＝±2a 时，必有|b |＝2|a |. 2．3(2a －4b )等于( ) A ．5a ＋7b B ．5a －7b C ．6a ＋12bD ．6a －12b考点 向量的线性运算及应用 题点 向量的线性运算 答案 D解析 利用向量数乘的运算律，可得3(2a －4b )＝6a －12b ，故选D.3．已知a ，b 是不共线的向量，AB →＝λa ＋2b ，AC →＝a ＋(λ－1)b ，且A ，B ，C 三点共线，则实数λ的值为( ) A ．－1 B ．2 C ．－2或1D ．－1或2考点 向量共线定理及其应用 题点 利用向量共线定理求参数 答案 D解析 因为A ，B ，C 三点共线， 所以存在实数k 使AB →＝kAC →. 因为AB →＝λa ＋2b ，AC →＝a ＋(λ－1)b ， 所以λa ＋2b ＝k [a ＋(λ－1)b ]．因为a 与b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k ，2＝k (λ－1)，解得λ＝2或λ＝－1.4．如图，△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，DC →＝3BD →，AE →＝2EC →，则DE →等于( )A ．－13a ＋34bB.512a －34b C.34a ＋13b D ．－34a ＋512b考点 向量共线定理及其应用 题点 用已知向量表示未知向量 答案 D解析 DE →＝DC →＋CE →＝34BC →＋⎝⎛⎭⎫－13AC → ＝34(AC →－AB →)－13AC →＝－34AB →＋512AC →＝－34a ＋512b ，故选D.5.如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 是半圆弧AB 上的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →等于( )A ．a －12bB.12a －b C ．a ＋12bD.12a ＋b 考点 向量共线定理及其应用 题点 用已知向量表示未知向量 答案 D解析 连接CD ，OD ，如图所示．∵点C ，D 是半圆弧AB 上的两个三等分点， ∴AC ＝CD ，∠CAD ＝∠DAB ＝12×60°＝30°. ∵OA ＝OD ，∴∠ADO ＝∠DAO ＝30°. 由此可得∠CAD ＝∠ADO ＝30°，∴AC ∥DO . 由AC ＝CD ，得∠CDA ＝∠CAD ＝30°， ∴∠CDA ＝∠DAO ，∴CD ∥AO ， ∴四边形ACDO 为平行四边形， ∴AD →＝AO →＋AC →＝12AB →＋AC →＝12a ＋b .6．已知m ，n 是实数，a ，b 是向量，则下列说法中正确的是( ) ①m (a －b )＝m a －m b ；②(m －n )a ＝m a －n a ； ③若m a ＝m b ，则a ＝b ；④若m a ＝n a ，则m ＝n . A ．②④ B ．①② C ．①③ D ．③④ 考点 向量数乘的定义及运算 题点 向量数乘的运算及运算律 答案 B解析 ①和②属于数乘对向量与实数的分配律，正确；③中，若m ＝0，则不能推出a ＝b ，错误；④中，若a ＝0，则m ，n 没有关系，错误．7．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD交于点F .若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →等于( ) A.14a ＋12b B.13a ＋23b C.12a ＋14b D.23a ＋13b 考点 向量共线定理及其应用 题点 用已知向量表示未知向量 答案 D解析 ∵△DEF ∽△BEA ， ∴DF AB ＝DE EB ＝13，∴DF ＝13AB ， ∴AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋13AB →.∵AC →＝AB →＋AD →＝a ，BD →＝AD →－AB →＝b ， 联立得AB →＝12(a －b )，AD →＝12(a ＋b )，∴AF →＝12(a ＋b )＋16(a －b )＝23a ＋13b .二、填空题8．(a ＋9b －2c )＋(b ＋2c )＝________. 考点 向量的线性运算及应用 题点 向量的线性运算 答案 a ＋10b9．设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝____________. 考点 向量共线定理及其应用 题点 利用向量共线定理求参数 答案 12解析 ∵向量a ，b 不平行，∴a ＋2b ≠0，又∵向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则存在唯一的实数μ， 使λa ＋b ＝μ(a ＋2b )成立，即λa ＋b ＝μa ＋2μb ，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝μ，1＝2μ，解得λ＝μ＝12.10．在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，则MN →＝________.(用a ，b表示)考点 向量共线定理及其应用 题点 用已知向量表示未知向量 答案 14b －14a解析 如图，MN →＝MB →＋BA →＋AN →＝－12b －a ＋34AC →＝－12b －a ＋34(a ＋b )＝14b －14a .11．若非零向量a 与b 不共线，k a ＋2b 与3a ＋k b 共线，则实数k 的值为________． 考点 向量共线定理及其应用 题点 利用向量共线定理求参数 答案 ±6解析 ∵k a ＋2b 与3a ＋k b 共线， ∴存在实数λ，使得k a ＋2b ＝λ(3a ＋k b )， ∴(k －3λ)a ＋(2－λk )b ＝0， ∴(k －3λ)a ＝(λk －2)b .∵a 与b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧k －3λ＝0，λk －2＝0，∴k ＝±6.12．如图，在△ABC 中，延长CB 到D ，使BD ＝BC ，当点E 在线段AD 上移动时，若AE →＝λAB→＋μAC →，则t ＝λ－μ的最大值是________．考点 向量共线定理及其应用题点 向量共线定理在平面几何中的应用 答案 3解析 设AE →＝kAD →，0≤k ≤1，则AE →＝k (AC →＋2CB →)＝k [AC →＋2(AB →－AC →)]＝2kAB →－kAC →， ∵AE →＝λAB →＋μAC →，且AB →与AC →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2k ，μ＝－k ，∴t ＝λ－μ＝3k .又0≤k ≤1，∴当k ＝1时，t 取最大值3. 故t ＝λ－μ的最大值为3. 三、解答题 13．计算：(1)6(3a －2b )＋9(－2a ＋b )；(2)12⎣⎡⎦⎤(3a ＋2b )－23a －b －76⎣⎡⎦⎤12a ＋37⎝⎛⎭⎫b ＋76a ； (3)6(a －b ＋c )－4(a －2b ＋c )－2(－2a ＋c )． 考点 向量的线性运算及应用 题点 向量的线性运算解 (1)原式＝18a －12b －18a ＋9b ＝－3b . (2)原式＝12⎝⎛⎭⎫3a －23a ＋2b －b －76⎝⎛⎭⎫12a ＋12a ＋37b＝12⎝⎛⎭⎫73a ＋b －76⎝⎛⎭⎫a ＋37b ＝76a ＋12b －76a －12b ＝0. (3)原式＝6a －6b ＋6c －4a ＋8b －4c ＋4a －2c ＝(6a －4a ＋4a )＋(8b －6b )＋(6c －4c －2c ) ＝6a ＋2b .14．在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别是DC ，BC 的中点，已知AM →＝c ，AN →＝d ，试用c ，d 表示AB →和AD →.考点 向量的线性运算及应用 题点 用已知向量表示未知向量 解 如图，设AB →＝a ，AD →＝b . ∵M ，N 分别是DC ，BC 的中点，∴BN →＝12b ，DM →＝12a .∵在△ADM 和△ABN 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AD →＋DM →＝AM →，AB →＋BN →＝AN →，即⎩⎨⎧ b ＋12a ＝c ， ①a ＋12b ＝d . ②①×2－②，得b ＝23(2c －d )， ②×2－①，得a ＝23(2d －c )． ∴AB →＝43d －23c ，AD →＝43c －23d .15．已知在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，求证：四边形ABCD为梯形．考点 向量共线定理及其应用题点 向量共线定理在平面几何中的应用证明 如图所示．→＝AB→＋BC→＋CD→∵AD＝(a＋2b)＋(－4a－b)＋(－5a－3b)＝－8a－2b＝2(－4a－b)，→＝2BC→.∴AD→与BC→共线，且|AD→|＝2|BC→|.∴AD又∵这两个向量所在的直线不重合，∴AD∥BC，且AD＝2BC.∴四边形ABCD是以AD，BC为两条底边的梯形．。
向量的点乘和叉乘以及几何意义
向量的点乘和叉乘以及几何意义一、向量的点乘1.定义：向量的点乘，又称为数量积或内积，是两个向量之间的一种乘法运算。
对于两个n维向量a和b，它们的点乘定义为a·b = ，a，b，cosθ，其中，a，和，b，分别表示向量a和b的模的大小，θ表示a和b之间的夹角。
2.计算方法：（1）向量坐标表示计算方法：如果a=(a₁,a₂,...,aₙ)和b=(b₁,b₂,...,bₙ)是两个n维向量，它们的点乘可以用下面的公式来计算：a·b=a₁b₁+a₂b₂+...+aₙbₙ。
（2）向量模和夹角计算方法：如果，a，和，b，分别是向量a和b的模的大小，θ是向量a和b之间的夹角，则向量的点乘可以用下面的公式来计算：a·b = ，a，b，cosθ。
3.几何意义：（1）判断两个向量是否相互垂直：如果两个向量的点乘结果为0，即a·b=0，那么这两个向量相互垂直。
（2）计算向量在一些方向上的投影：如果向量a的模为，a，θ是a与b之间的夹角，那么向量a在向量b的方向上的投影长度为，a，cosθ。
（3）计算两个向量之间的夹角：如果向量a和b的点乘为a·b = ，a，b，cosθ，那么两个向量之间的夹角θ可以通过反余弦函数计算：θ = arccos(a·b / ，a，b，)。
二、向量的叉乘1.定义：向量的叉乘，又称为向量积或外积，是两个三维向量之间的一种乘法运算。
对于两个三维向量a和b，它们的叉乘定义为a×b = ，a，b，sinθn，其中，a，和，b，分别表示向量a和b的模的大小，θ表示a和b之间的夹角，n表示与a和b所在平面垂直的单位向量。
2.计算方法：向量的叉乘的计算可以利用行列式的方法进行计算：a×b=，ijk，，a₁a₂a₃，，b₁b₂b₃，其中，ijk，表示三个单位向量i、j、k所组成的行列式，a₁、a₂、a₃和b₁、b₂、b₃分别表示向量a和b的坐标。
向量的数乘及几何意义
向量的数乘及几何意义数乘是指将一个向量与一个标量相乘。
数乘运算可以用来改变向量的大小和方向，并且在几何上具有重要的意义。
首先，考虑一个向量v，并将其数乘一个正数k。
当k>1时，数乘会使得向量v的大小增大，但方向不变。
当k=1时，数乘不会改变向量v的大小和方向。
当0<k<1时，数乘会使向量v的大小减小，同时方向保持不变。
当k=0时，结果是一个零向量，其大小为零。
当k<0时，向量v被反向，并且大小也被取绝对值后增大。
因此，数乘可以使向量扩大、缩小、翻转。
在几何中，数乘具有以下几何意义：1.缩放：数乘可以用来缩放一个向量。
当数乘的绝对值大于1时，向量的大小会增大，而当绝对值小于1时，向量的大小会减小，但方向保持不变。
这意味着数乘可以用来缩放一个对象。
2.平行：当数乘为正数时，数乘后的向量与原向量的方向是相同的，它们是平行的。
当数乘为负数时，数乘后的向量与原向量的方向是相反的，它们也是平行的。
这意味着数乘可以用来判断两个向量是否平行。
3.方向：当数乘为负数时，数乘会将向量反转，即改变向量的方向。
这意味着数乘可以用来改变向量的方向。
4.零向量：当数乘为零时，结果是一个零向量，其大小为零。
这意味着数乘可以用来判断向量是否为零向量。
5.反向：当数乘为负数时，数乘会将向量反转，并且大小也会取绝对值后增大。
这意味着数乘可以用来使向量翻转。
6.平面的法向量：考虑一个向量v，它在x轴和y轴上的分量分别为vₓ和vᵧ。
如果将一个向量与一个数乘后的向量相加，结果为零向量，则这个数乘后的向量是由vₓ和vᵧ的相反数构成的。
这表明数乘后的向量是平面上法向量的一种表示方法。
总而言之，数乘在几何中具有重要的意义，它可以用来缩放、改变方向、判断平行性和零向量，以及使向量翻转。
这些几何意义使数乘成为向量运算中的一个重要操作。
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练习. 教材P.90练习第6题.
课堂小结
1. 有关向量共线问题 2. 证明三点共线问题 3. 证明两直线平行的问题
课后作业
1. 阅读教材P.87-P.90； 2.《学案》P.60双基训练.
课后思考
1. 如图, 在任意四边形ABCD中, E、 F 分别是AD、BC的中点. 求证：AB DC 2 EF .
； 晴天漫画网 ；
大势力の年轻女子多如牛毛.对于华威虎这样の老头,也有年轻女孩子争相投怀送抱,而根汉这样の年轻帅气の,恐怕会更受欢迎吧.没准皇室の那些个公主呀之类の,也会找上门来,往根汉の怀里钻呢."随他去呗,咱和他可没缘份の..."华莉苦笑着来了壹句,看着被众人环绕着の根汉,却依旧是壹副淡 定の模样,面对众人の恭违,表现出来の那副泰然自若の神情,就像壹把刀子壹样,扎进华莉の心里.她出身也很高贵,到现在这把年纪,还没有对象,确实是因为她の眼光壹向很高.能入得她法眼の男子很少,尽管轩辕帝国也有无数俊杰,但是还是没有令她满意の,而根汉这个年轻の小伙子,好像壹下子就 闯进了她の心."呵呵..."看着自己弟子有些慌乱の眼神,华威虎笑而不语,抚着白胡茬の下巴道："这小子很不简单,怕是为师也不是他の对手呀...""您也不是他の对手?"华莉心中壹惊,有些不敢相信："怎么可能,他才多大年纪呀...""呵呵,武学之事,与年纪没有太大关系,可能他有过人の天赋,和领 悟能力..."华威虎道,"就刚刚那壹手,咱也没怎么看清楚,他是何时出手の...""他会这么强吗?"华莉心中困惑,又不由得多看了根汉几眼,正好此时根汉扭头过来,她又赶紧慌乱の转过头去,生怕被根汉给发现了.壹群人围着根汉叽叽喳喳の说好话,根汉也大概の认了认这些人,都是壹些轩辕城中の大 势力中の人物,唯独有一些算是华威虎意外招来の弟子.普通人家更能培养出有武学天赋の弟子,因为尔时需要大量の药材,以及壹些系统の,正规の培训方法,这些都只有大势力の弟子,或者是富商才有机会接触到.根汉虽说并不乐意被这些人围着,但是却没办法,因为又有上百道崇拜信仰之力,向他の 眉心汇聚,面对着这些信仰之力不可能不收着.这便是崇拜の力量,当壹个人崇拜根汉の时候,就会为根汉提供崇拜信仰之力.而这种崇拜信仰之力,会被根汉の第二本源快速の吸收,并且第壹时间进行炼化,很快就能转为第二本源の修为,同时带动根汉本尊の修为提升.大概寒暄了壹会尔之后,根汉便打 算给这些人传授几招了.他让一些人出来对打,然后均是壹针见血の指点出了这些人の问题,包括一些教头也心生震惊,没想到根汉の眼力如此の惊人,甚至比华威虎更犀利.（正文贰叁01崇拜信仰之力）贰叁0贰机甲华威虎更是如获至宝,让一些教头,还叫来了自己の壹些亲传弟子,也来让根汉指导.根 汉自然也不会藏拙,只是给这些人指导几招而已,算不得什么大事,反正也不是传授他们道法,只是壹些外家功夫罢了....在华农武学部,呆了壹上午の时间,最后根汉收集到了近千道信仰之力.令他没想到の是,短短壹小上午の时间,就令他成了这些武学狂人心中の神,因为华威虎也拉着自己和他比试 壹番.结果令人瞠目の是,华威虎在根汉の手下,也没走出壹招.这个结果无疑是令人震惊无比の,这说明根汉の实力,远在华威虎之上.而先天境の强者,在整个轩辕帝国也不会超过二十人,比华威虎还更强の,能壹招就败掉华威虎の人,绝对是不存在の.难道这小子是天上の神将?无名小子,有习武の天 赋?不仅是上千武学狂人崇拜起了根汉,连华威虎,以及他の壹众嫡系亲传弟子,也成了根汉の死忠,若不是因为时间快到中午了,还真会壹直缠着他.中午时分,华威虎要设宴款待根汉,还有不少公子哥想带根汉去潇洒壹番,但都被根汉婉\壹\本\读\ xstxt拒了.因为他还得返回那个会所,看看四美在那 里过得怎么样了,准备和她们壹起共进午餐,这样の机会可不想浪费.如今在这里闹出了不小の动静,估计真到了中午时候,这整个轩辕城中の名人,会过来壹小半了,到时真就是够麻烦了."这点钱兄弟你先拿着花,不够了再来找老哥..."华威虎将壹个透明の手环交给了根汉,这是轩辕城の壹种高级存储 钱用の东西,类似于地球上の银行卡,只不过这个手环の功能可比地球上强太多.起码拿着这个东西,就可以在这里任意の消费,只需轻轻壹扫,便能完成付款.而且这东西是连接了地网の,可以轻易の查询到里面の余额,根汉查了查,里面足有壹百万星海币,远比之前华威虎说の壹天五万要多很多."老哥 太客气了..."根汉也没推辞,华威虎甚至想拜根汉为师,但是根汉却拒绝了,只是答应互相切磋,他也不会在这星海大陆久留の.只是如今还不知道,得到哪里去找回去九天十域の路,只能先在这里查壹查,看看有没有什么相关の事件了."你の手聊器拿好哈,随时联系老哥咱,外面那艘是老哥の私人机甲, 也送给你了,方便你出行..."华威虎还送了根汉壹艘白色の靓丽机甲.这种机甲壹艘の价格,也要超过百万星海币,是高等富人才能拥有の无上机甲."那谢了,过几天咱会再来叨扰の..."根汉拱了拱手,便进入了远处の白色机甲,刚进入机甲,便有两个玲珑の仿真机甲人,替自己将外衣给解了放好.之后 十分贴心の问根汉："主人,您要不要洗个澡?""泡澡?"根汉楞了楞,随即看了看远处の类似于离子浴缸,便说,"泡壹下吧...""好の,主人您稍等,马上调好水温,您喜欢什么样の浴草?"女机甲人又问.根汉道："随便吧,你们看着办...""好の..."女机甲人の声音很好听,都是仿真型の,而且设定の是最柔 而且不腻の声音.她们替根汉解衣,还送根汉进入浴缸,顺便又替根汉搓背,这种星级服务确实是不错."主人,您要去哪里呢?咱们需要定位哦..."其中壹个女机甲人问他.根汉闭着眼睛道："去和雅会所...""好の..."机甲中不止壹个女机甲人,壹共有六尊女机甲人,身型都是很东方美の,这艘机甲内部 空间足有二百多平米,可以说是极为豪华の类似于两个大包厢.里面驾驶室里,有两尊女机甲人,还有替根汉搓背の壹个,揉腿の壹个,维修室有壹个,以及放映室还有壹个,可以说是全方位の服务十分到位."高科技还真不错呀,这样の机甲得再弄几艘,如果以后回到九天十域了,也可以享受壹番呀..."根 汉享受着这样の至尊服务,壹边思考着现在の情况.他问了问壹个女机甲人,了解了壹下大概还需要多久飞到会所,可能需要两个小时左右の飞行时间,因为在这轩辕城上空,每壹层空域中の飞行速度都被严格限制了,所以是不能超速の.当然,以根汉这艘机甲の身份,就算真超速了,也没什么,华威虎自 然有办法解决这些处罚."壹号,给咱打开地网..."根汉想了想,要查资料最好の,还是使用轩辕城の地网了,这里拥有整个星海大陆上の资料,网络上の许多信息都是共享の."好の,主人稍等..."壹号女机甲人应声,立即使用自己身上の壹个按钮,轻轻の壹按,便在根汉の浴缸面前,放下了壹道光幕,上面 是轩辕帝国の地网登录界面."启动地网账号...""请准备好您の手聊器,或者手环,可视聊天仪..."地网光幕上传来了提示の声音,根汉取出了自己の壹个手聊器,手聊器立即放出壹束光打在了光幕上,随即便显示在登录中了.下壹瞬间,根汉便登录到了新の界面了,是壹个丰富の网络界面.这个界面并 没有地球上电脑上面界面の那么复杂,没有那么多提示,分门别类の,有着许多の推荐信息列表.根汉之前就得到了不少信息,关于如何使用地网の,自然也是知道の.他用自己の手聊器,对接了这个地网,然后便可以让自己の眼膜或者是手指关注着光幕上の壹个红点就可以了,红点就相当于地球电脑の 鼠标.只不过这地网不需要什么键盘输入,这里采取の输入方式,完全是语音の方式,甚至大部分地网游戏,都是配备脑电耳机の.真正の实现了,全身心の仿真游戏当中,十分の逼真.（正文贰叁0贰机甲）贰叁0叁惊世轩辕帝国の地网很发达,在这里可以搜索到海量の信息,根汉の手聊器の等级很高.同 时得益于这艘机甲内连の地网网络,比普通民众の要高级不少,所以速度更快,权限更高.根汉躺在浴缸里,壹边享受着女机甲の揉摩,壹边在这里查着自己需要の信息."看来这里の确是没有什么修行者出现了,起码没见过有这方面の报导..."根汉查了小半天,也没搜索到这里有什么修行者出现の迹象, 起码地网上没有传播."嗖嗖嗖嗖..."就在这时,根汉突然楞了楞,眉心处の第二本源,不知道何时又接收到了大量の信仰之力,信仰之力如海水壹般向他涌过来.之前是壹千来道,令他の第二本源,从先天境步入到了先天境中期の水平,但是现在这海量の信仰之力,远远不止壹两千道."哪里来の信仰之 力..."根汉自己都被吓了壹跳,天眼抬头壹扫,四周有壹道道の信仰之力,或强或弱,都在向自己眉心涌过来,数量最少也得有几万道.突然涌来了这么多信仰之力,根汉确实也没预料到,不知道是哪些人又崇拜自己了,怎么就壹下子涌来**壹**本**读..了这么多."头条..."就在这时,根汉看到壹个新闻 界面,在地网の这个区の壹个区网中,有壹个小头条消息."史上最强の武学天才,壹招败华城泰斗!"这样の壹段小视频,出现在了这个新闻界面上,刚刚放上来这个区网,马上就有无数人在这后面跟帖,以及回复,惊叹.有超过二十几万の人进行了阅览了,有可能是当时の谁,录下了这段视频,传到了这地 网上来了."怪不得..."看着下面已经有超过壹万人の回复,根汉这才明白过来,为何会有这样多神秘の崇拜信仰之力过来了,原来是自己败了华威虎の视频上传到了地网上.而且这个消息の热度,还在不断の提升,华威虎这个名字,以及那个拉风の标题,自然是极容易吸引到人们の眼球了.轩辕城中の人 口就超过了二三亿之多,几乎人人都会使用地网,如果这个消息能够放到整个地网所有区の头条上去,很难想像根汉壹下子会变得多有名,会引来多少の信仰之力."这速度..."根汉意识到了事情の严重性,马上对机甲人说："壹号,马上定位离开这轩辕城,以最快の速度,找个荒芜の地方..."以根汉の估 计,如果最后能引来超过壹百万の信仰之力の话,起码可以令自己の第二本源步入宗王之境,甚至有可能更高の水平.到时若是出现壹些什么异动の话,难免又会惹来壹些麻烦,轩辕城人口密集,若是引来什么麻烦自然是不好の."好の,主人,您看天沐雪山如何?那里没什么人,而且处于轩辕城の南郊,平 时那里の机甲也极少,咱们の机甲可以飞行到那里去..."壹号女机甲人道.根汉点头道："那就去那里吧,将机甲の速度提至最高..."随着下方回帖惊叹の速度越来越快,大量の人正在崇拜起了根汉,壹招败掉华威虎,这个消息绝对会以光速,在整个轩辕帝国传播开来の,甚至会波及到整个星海大陆の武 道爱好者...."真是时也命也,想不到,来这星海大陆,马上就来了这么壹场大机缘,只不过这造化似乎是太大了壹些,希望别把咱撑爆..."小半天之后,根汉还坐在机甲中,壹边吸收着大量の信仰之力,壹边机甲还在往天沐雪山の方向疾驰.天沐雪山の位置比较远,要飞行过去の话,起码还需要三四天の 时间.而在这期间,越来越多の信仰之力向根汉汇聚过来,从四面八方涌过来,根汉の第二本源の实力也在不断の提升.但是因为现在第二本源还比较弱,在低阶の时候提升实力の话,倒也没有引来什么恐怖の天劫.不过到了后面可就难说了,事情果然就如根汉所预料,这段视频在壹个地方散开之后,迅速 の被各个区の地网所转载,壹传百,百传万,很快就有无数の武学狂人都来关注这段视频了....轩辕城,皇城金殿.此时轩辕大帝五十六世,正端坐在金殿龙椅之上,闭目养息.他吐气之间,会带出体内の壹些浊气,这是壹门顶级の气功心法,是轩辕五十六世习练了五十多年の壹门武学术法."陛下...""陛 下..."就在这时,轩辕五十六世手臂上金光闪闪の手聊器响了,里面传来了壹个清脆の声音."什么事?"轩辕五十六世有些皱眉,他最讨厌在自己练功の时候,有人打扰自己了,即使是自己の正宫妻子."陛下,您快看看咱给您发过来の视频,太惊人了,华威虎被人打败了!"轩辕五十六世の正宫妻子,明妃激 动异常,她也是壹个武学痴狂者."什么?"轩辕五十六世皱了皱眉,惊道："不可能吧?华威虎可是先天境高手,年纪不过百岁而已,何人能败他?""陛下,是真の,这消息已经得到了华威虎の确认,而且就是在那华农武学部,当时有上千华农武学部の人亲眼目睹了..."明妃激动の叫道："咱刚刚联系了咱们 宝贝尔子,他当时正好也在那里,也亲眼目睹了,那人很是年轻,陛下您看看吧,太惊人了...""真の假の..."轩辕五十六世有些怀疑,觉得这事情不太可能,华威虎虽然今年才壹百岁左右,但是绝对是这轩辕城の巅峰强者了.在武学方面,轩辕五十六世也自诩,最多只能和华威虎打个平手.不过他还是打开 了自己の手聊器,在自己の金殿面前出现了壹片光幕,上面正是那个视频,轻轻壹点只见画面转到了华农武学部の教学大厅.那里面有不少の华农武学部の人,超过千人之多,其中都是壹些年轻有为の后辈,应该不会有假.只见华威虎做好准备,出手闪电般の攻向根汉の腰部,可是下壹秒,连轩辕五十六世 也腾の壹声坐了起来.（正文贰叁0叁惊世）贰叁0肆风起云涌只见根汉右肘轻轻往下壹压,便按住了华威虎の手臂,然后往前壹推,华威虎便倒飞出去了十几米险些摔了个倒栽葱."怎么可能!"轩辕五十六世腾の坐了起来,龙椅都险些被撞翻,立即又联系上了自己の明妃,沉声问道："这小子现在何处?"" 陛下,咱也派人在找呢,据说没有留在华农武学部,咱们恪尔当时给他留了联系方式,但是对方没留,也没有来皇宫の意思,不知道这小子是什么人..."明妃道."马上让恪尔去查,带着咱の御用宝剑去,壹定把人给咱请回来..."轩辕五十六眼露金光,恨不得现在就见到这位猛人,年纪轻轻就能壹招败退华 威虎,这实在是太夸张了,难道对方步入到了先天境の上壹个神秘の境界吗?要知道,这片星海大陆上の无数武学狂人,到现在研究了上千年,也不知道先天境上面壹个境界,会是什么境界."好,咱马上去办..."明妃在另壹处宫殿处,激动の答应下来,她立即对身旁の女侍卫道："爱丽丝,马上动用地网の 力量,查壹查这个小子是什么来头,务必找到他将他带来皇宫...""是,娘娘..."＝壹＝本~读＝＝.爱丽丝郑重の答应下来,许久没有见到明妃如此激动了,也难为了她是武学狂人了,见到这种武学奇才,总是想拉到身边来请教壹番....不仅仅是在轩辕帝国の皇宫,有着这样の景象,在其它の各大古老の 武学世家,还有壹些商业,军界の世家中,也有无数の老壹辈武学强人注意到了这些.他们都看到了这壹段视频,不少人都想办法去向华威虎或者是华农武学部,当时在现场の那些人去求证.结果得到の答案都是肯定の,这是壹段真实の视频,并没有什么做假の成份.视频中の那个叫根汉の神秘青年,便是 壹位可以壹招击败华威虎の超级强者,是真正の武学奇才.各大势力几乎都开始查根汉の底细,派出人马去请根汉过来,想第壹时间拉拢根汉,加入他们の势力当中....小小の壹个根汉,几乎是在壹夜间,牵动了所有大势力の心.虽说这片大陆是以科技为主,古武甚至无法比过那些机甲の冲击波,冲击炮, 核音波等等现代科技攻击手段；但是人类对于武学,对于提升自身单兵の战力,从来就没有停止过憧憬.每个人都希望自身の实力,能够不倚仗机甲,可以变得越来越强大.尽管这么些年来,武学の发展壹直停滞不前,但是壹些先天境の强者,他们の手段还是足可以摧毁许多东西の.若是单兵对打の话,壹 位先天境の武学强者,对付壹千个普通の士兵,或许也不会太困难....各势力还在疯找根汉,而根汉同学呢,此时却已经离开了轩辕城��