第二章 拉伸压缩3--强度条件和变形计算
材料力学(机械类)第二章 轴向拉伸与压缩
二
章
拉伸压缩与剪切
1
பைடு நூலகம்
§2-1
轴向拉伸与压缩的概念和实例
轴向拉伸——轴力作用下，杆件伸长 （简称拉伸） 轴向压缩——轴力作用下，杆件缩短 （简称压缩）
2
拉、压的特点：
1.两端受力——沿轴线，大小相等，方向相反 2. 变形—— 沿轴线
3
§2-2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
1 、横截面上的内力
A3
2
l1 l2 y AA3 A3 A4 sin 30 tan 30 2 1.039 3.039mm
A
A A4
AA x2 y2 0.6 2 3.039 2 3.1mm
40
目录
例 2—5 截面积为 76.36mm² 的钢索绕过无摩擦的定滑轮 F=20kN，求刚索的应力和 C点的垂直位移。 （刚索的 E =177GPa，设横梁ABCD为刚梁）
16
§2-4
材料在拉伸时的力学性能
材料的力学性能是指材料在外力的作用下表现出的变 形和破坏等方面的特性。
现在要研究材料的整个力学性能（应力 —— 应变）：
从受力很小
破坏
理论上——用简单描述复杂
工程上——为（材料组成的）构件当好医生
17
一、 低碳钢拉伸时的力学性能 （含碳量<0.3%的碳素钢）
力均匀分布于横截面上，σ等于常量。于是有：
N d A d A A
A A
得应力：
N A
F
FN
σ
10
例题2-2
A 1
45°
C
2
机械设计基础第2章拉伸与压缩
x
轴பைடு நூலகம்将杆件从位置坐标为x的C截面处截开。
由BC受力图建立平衡方程：
Fx 0
FN F qx 0
（0≤x≤2）
FN F qx 4 2 x
由轴力FN的表达式可知，轴力FN与横截面位置坐标x成线性关系，轴力 图为一斜直线。当x＝0时，FN＝4 kN；当x＝2m时，FN＝8 kN。画出轴力 图如图所示，FN.max＝8 kN，发生在截面A上。 .
知h＝25mm，h0=10mm，b=20mm。求杆内最大正应力。 解: （1）计算轴力。用截面法 求得各截面上的轴力均为
FN F 20 kN
(2) 计算最大正应力。 开槽部分的横截面面积为
A (h h0 )b (25 10) 20 300mm 则杆件内的最大正应力 max为
解：（1）计算D端 支座反力。由整体受力 图建立平衡方程：
Fx 0
FD F1 F2 F3 0
FD F2 F3 F1 14kN
(2）分段计算轴力 将杆件分为三段。用截面法截取如图b，c，d所示的研究对象，分 别用FN1、FN2、FN3替代另一段对研究对象的作用，一般可先假设 为拉力，由平衡方程分别求得：
第三节 应力的概念 拉（压）杆横截面上的应力
一、应力的概念：杆件的强度不仅取决于内力的大 小，还与构件截面的面积有关，即与内力在截面上 的分布密度有关。单位面积上的内力称为应力。 应力：正应力σ 切应力τ 应力的单位：1Pa=1N/m2 1GPa=109Pa 帕-Pa 千帕-kPa 兆帕-MPa 吉帕-GPa 1kPa=103Pa=1kN/m2 1MPa=106Pa=1N/mm2
第二章 拉压3
P 133.5 kN
显然，与前一种方法解出的 P = 97.1 kN 不同。
为什么？ 哪一种方法不正确？ 错在哪里？
第二种方法不正确。 两杆中的内力，并不一定
同时达到最大允许轴力。
14
§2. 8 轴向拉伸或压缩时的变形
l 直杆轴向拉压时变形的特点
1. 轴向变形
轴向变形量
l l1 l
下面建立变形与力之间的关系
3 许用应力与安全系数
u 塑性材料
[] s
ns
u 脆性材料
[] b
nb
ns 塑性材料的 安全系数
nb 脆性材料的 安全系数
3
3 许用应力与安全系数
u 塑性材料 [] s
ns
l 安全系数的确定
u 脆性材料 [] b
nb
u 材料素质（质量、均匀性、塑性、脆性）； u 载荷情况（峰值载荷、动静、不可预见性)； u 构件简化过程和计算方法的精确度； u 零件的重要性、制造维修的难易程度； u 减轻重量（飞机、手提设备等）。
73.2 MPa
[ ] 160MPa
(3) 计算杆的变形
BC杆变形 l1
BB1
FN1l1 EA1
0.86103
m
24
(3) 计算杆的变形
BC杆变形
l1
BB1
FN1l1 0.86103m EA1
BD杆变形 l2 DB 2m
l2
BB2
FN 2l2 EA2
P1 154.5 kN
0.732P 113.1 kN
(2) N2 A2 [ ] 50.3 kN
0.518P 50.3 kN
第2章、杆件的变形和强度分析.
计
1.轴向拉伸和压缩变形；2.剪切变形；
算
3.扭转变形；4.弯曲变形。
两种或两种以上的基本变形组合而成的，称为组 合变形。
2.1 变形体静力学分析基础
杆
1.轴向拉伸和压缩变形；
件
的
变
形
及
强
度
3.扭转变形
计
算
2.剪切变形； 4.弯曲变形。
2.2 杆件的内力分析
杆 件
内力的概念： 内力是指构件内部两相邻部分之间的
及
强
度
计
算
2.3 轴向拉伸与压缩变形
杆 推断：杆件在变形过程中横截面始终保持为平面。进一步可 件 推断：轴力在横截面上的分布是均匀的，且方向垂直于横截 的 面。得出横截面的正应力σ计算公式为：
变
mn
形 及 强 度
σ= FN
A
MPa
F
mn
F
计
算 FN 表示横截面轴力（N） F
A 表示横截面面积（mm2）
2.3 轴向拉伸与压缩变形
杆 件
轴力: 拉(压)杆的内力。
的
用截面法求内力:截、弃、
m
变
代、平
F
F
形 及
由平衡方程可求出轴力 的大小 ：
强
m
度 计
FN F
F
FN
算
规定：FN的方向离开截面为
F`N
F
正(受拉),指向截面为负(受
压)。
2.3 轴向拉伸与压缩变形
杆 件
截面法是求内力最基本的方法。 选在外力作用点处的截面上。
的应力下工作，且变形很小，故可近似地认
为符合虎克定律。通常以割线Oa的斜率作为
材料力学2-第二章拉伸、压缩与剪切
材料力学2-第二章拉伸、压缩与剪切第二章拉伸、压缩与剪切§2－1 拉伸与压缩的概念等直杆的两端作用一对大小相等、方向相反、作用线与杆件轴线重合的力，这种变形叫轴向拉伸或压缩。
一、工程实例悬索桥，其拉杆为典型受拉杆件；桁架，其杆件受拉或受压。
二、受力特点杆件受到的外力或其合力的作用线沿杆件轴线。
三、变形特点发生轴线方向的伸长或缩短。
§2－2 拉伸或压缩时横截面上的内力和应力一、轴力（1）对于轴向拉伸（压缩）杆件，用截面法求横截面m-m上的内力。
（2）轴力正负规定：拉力为正（方向背离杆件截面）；压力为负（方向指向杆件截面）。
二、轴力图（1）轴力图：轴力沿轴线方向变化的图形，横坐标表示横截面位置，纵坐标表示轴力的大小和方向。
（2）轴力图作用：通过它可以快速而准确地判断出最大内力值及其作用截面所在位置，这样的截面称为危险截面。
轴向拉（压）变形中的内力图称为轴力图，表示轴力沿杆件轴线方向变化的情况。
（3）作下图所示杆件的轴力图三、横截面上的应力（1）平面假设：变形前原为平面的横截面，变形后仍保持为平面且仍垂直于轴线，只是各横截面间发生沿杆轴的相对平移。
通过对称性原理，平面假设可得以证明。
（2）由平面假设可得，两截面间所有纵向纤维变形相同，且横截面上有正应力无切应力。
（3）由材料的均匀连续性假设，可知所有纵向纤维的力学性能相同。
所以，轴向拉压时，横截面上只有正应力，且均匀分布。
即 N AF dA A σσ==? ANF =σ ，（2-1）为拉（压）杆横截面上的正应力计算公式。
正应力的正负号与轴力正负号相同，拉应力为正，压应力为负。
当轴力与横截面的尺寸沿轴线变化时，只要变化缓慢，外力与轴线重合，外力与轴线重合，如左图，式（2-1）也可使用。
这时某一横截面上的正应力为()()x A x x N F =）（σ （2-2）例题一等直杆受力情况如图a 所示，试作杆的轴力图。
解：（1）先求约束力直杆受力如图b 所示，由杆的平衡方程0F =∑x 得()k Nk N RA F =+-=50104020 （2）求杆中各段轴力AB 段：沿任意截面1-1将杆截开，取左段为研究对象，1-1截面上的轴力为N1F ，设N1F 为正，由左段的平衡方程0F =∑x 得：σ()x σ0F F RA N1=-, N1RA F F 20kN ==BC 段：沿任意截面2-2将杆截开，取左段为研究对象，设轴力N2F 为正，由左段的平衡方程0F =∑x 得：N2RA F F kN 0-+=50， N2F 0kN =-3 结果为负，说明N2F 的指向与所设方向相反，实为压力。
第二章-拉伸和压缩-PPT课件
式中： max 称为最大工作应力
[ ] 称为材料的许用应力
根据上述强度条件，可以进行三种类型 的强度计算： 一、校核杆的强度 已知Nmax、A、[σ]，验算构件是否满足 强度条件
二、设计截面 已知Nmax、[σ],根据强度条件，求A 三、确定许可载荷
已知A、[σ]，根据强度条件,求Nmax
例1：一直径d=14mm的圆杆，许用应力
[σ]=170MPa，受轴向拉力P=2.5kN作 用，试校核此杆是否满足强度条件。
解：
N 2 . 51 0 m a x 1 6 2 M P a < [ ] m a x A 2 6 1 4 1 0 4
3
满足强度条件。
例2：图示三角形托架,其杆AB是由两根
等边角钢组成。已知P=75kN, [σ]=160MPa, 试选择等边角钢的型号。
N 1 0 k N 1
N 5 k N 2
N 2 0 k N 3
CL2TU3
N 1 10 kN N 2 5 kN N 3 20 kN
§2-3 轴向拉伸或压缩杆件的应力
一、横截面上的应力
N P
CL2TU2
平面假设：变形前为平面的横截面变形后 仍为平面
N A
或
E
μ称为横向变形系数或泊松(Poisson)比
l
Pl l EA
N(x) dl dx EA(x)
N(x) l d x EA ( x ) l
x
N ( x)
dx
N ( x)
dx
CL2TU7
M 0 , 得 :NP 7 5 k N 解：由 C A B
3
第02章 拉伸压缩、剪切
第二章拉伸、压缩与剪切§2-1 轴向拉压的概念及实例§2-2 轴向拉压的内力§2-3 应力及强度条件§2-4 材料在拉伸和压缩时的力学性能§2-5 拉压杆的变形计算§2-6 拉压超静定问题§2-7 剪切与挤压1§2-1轴向拉压的概念及实例一、工程实例234三、变形特点二、受力特点四、计算简图FFFF轴向压缩轴向拉伸外力的合力作用线与杆的轴线重合。
沿轴向伸长或缩短。
5mmFF一、求内力设一等直杆在两端轴向拉力F 的作用下处于平衡，欲求杆件横截面m -m 上的内力.§2–2轴向拉压的内力在求内力的截面m-m 处，假想地将杆截为两部分.取左部分部分作为研究对象。
弃去部分对研究对象的作用以截开面上的内力代替，合力为FN 。
mmF F N1、截面法求内力（1）截开mmF F （2）代替67对研究对象列平衡方程F N = F式中：F N 为杆件任一横截面m -m 上的内力.与杆的轴线重合，即垂直于横截面并通过其形心,称为轴力。
（3）平衡mm FFm mFF N若取右侧为研究对象，则在截开面上的轴力与部分左侧上的轴力数值相等而指向相反.mmF FmmF F NmFmNF′892.轴力符号的规定mFFm mFF NmFm（1）若轴力的方向背离截面，则规定为正的，称为拉力。
（2）若轴力的方向指向截面，则规定为负的，称为压力。
NF ′以拉为正m10二、轴力图用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置，用垂直于杆轴线的坐标表示横截面上的轴力数值，从而绘出表示轴力与横截面位置关系的图线,称为轴力图。
将正的轴力画在x 轴上侧,负的画在x 轴下侧.xF NOFFF ⊕11例题1一等直杆其受力情况如图所示，作杆的轴力图。
CABD 600300500400E40kN55kN 25kN 20kN12CABD 600300500400E40kN55kN 25kN 20kN CABDE40kN 55kN 25kN 20kN F R A解: 求支座反力202555400R =+−+−−=∑A xF FkN10R =A F13求AB 段内的轴力F R A F N1CABDE40kN 55kN 25kN 20kN F R A1R 1N =−A F F )()kN (10R 1N ++==A F F14求BC 段内的轴力F R A40kNF N220kN CABDE40kN 55kN 25kN F R A2040R 2N =−−A F F )()kN (5040R 2N ++=+=A F F15F N3求CD 段内的轴力20kN25kNCABDE40kN55kN 25kN20kN F R A3020253=+−−N F )()kN (53N −−=F16求DE 段内的轴力20kNF N440kN55kN 25kN20kN F R A4)((kN)204N ++=F CABDE17F N1=10kN （拉力）F N2=50kN （拉力）F N3= -5kN （压力）F N4=20kN （拉力）发生在BC 段内任一横截面上5010520++CABD 600300500400E40kN55kN 25kN 20kN (kN)50Nmax =F185kN8kN4kN1kNO练习：作图示杆的轴力图。
材料力学-2-拉伸与压缩杆件的应力变形分析与强度计算
FN
+
－
FN
第2章 拉伸与压缩杆件的应力变形分析与强度计算
轴力与轴力图
绘制轴力图的方法与步骤如下：
首先，确定作用在杆件上的外载荷与约束力； 其次，根据杆件上作用的载荷以及约束力，轴力图的分段点： 在有集中力作用处即为轴力图的分段点； 第三，应用截面法，用假想截面从控制面处将杆件截开，在 截开的截面上，画出未知轴力，并假设为正方向；对截开的部分 杆件建立平衡方程，确定轴力的大小与正负：产生拉伸变形的轴 力为正，产生压缩变形的轴力为负； 最后，建立 FN－ x坐标系，将所求得的轴力值标在坐标系中， 画出轴力图。
第2章 拉伸与压缩杆件的应力变形分析与强度计算
拉、压杆件横截面上的应力
2．计算直杆横截面上绝对 值最大的正应力
横截面上绝对值最大的正 应力将发生在轴力绝对值最大 的横截面，或者横截面面积最 小的横截面上。本例中，AD段 轴力最大；BC段横截面面积最 小。所以，最大正应力将发生 在这两段杆的横截面上：
拉、压杆件横截面上的应力
在很多情形下，杆件在轴力作用下产生均匀的伸长或缩 短变形，因此，根据材料均匀性的假定，杆件横截面上的应 力均匀分布，这时横截面上的正应力为 FN A 其中FN——横截面上的轴力，由截面法求得；A——横截面面 积。
第2章 拉伸与压缩杆件的应力变形分析与强度计算
拉、压杆件横截面上的应力
轴力与轴力图
FA
A
B" B l l
F1
FN B' '
B" B
F1
3. 应用截面法求控制面上的轴力 用 假 想 截面 分 别 从 控 制 面 A 、 B' 、B"、C处将杆截开，假设横截 面上的轴力均为正方向（拉力）， 并考察截开后下面部分的平衡，求 得各截面上的轴力：
工程力学 第二章 轴向拉伸与压缩.
2 sin ( 2 cos 1 )ctg 3.9 103 m
B1 B B1 B3 B3 B
B B
B B12 B1 B 2 4.45 10 3 m
[例2-11] 薄壁管壁厚为,求壁厚变化和直径变化D。
解：1）求横截面上的正应力
dx
N ( x) l dx EA( x) l
例[2-4] 图示杆，1段为直径 d1=20mm的圆杆，2 段为边长a=25mm的方杆，3段为直径d3=12mm的圆杆。 已知2段杆内的应力σ 2=-30MPa，E=210GPa，求整个 杆的伸长△L
解: P 2 A2
30 25 18.75KN
N 1l Pl l1 l2 EA 2 EA cos l1 Pl cos 2 EA
[例2-8]求图示结构结点A 的垂直位移和水平位移。
解:
N1 P, N 2 0
Pl l1 , l2 0 EA Pl y l1 EA
N1
N2
Pl x l1ctg ctg EA
F
FN
FN F
F
F
CL2TU2
2.实验现象：
平截面假设
截面变形前后一直保持为平面，两个平行的截面之 间的纤维伸长相同。 3.平面假设：变形前为平面的横截面变形后仍为平面。 4.应力的计算 轴力垂直于横截面，所以其应力也仅仅是正应力。按 胡克定律：变形与力成正比。同一截面上各点变形相 同，其应力必然也相同。 FN （2-1） A 式中： A横截面的面积；FN该截面的轴力。 应力的符号：拉应力为正值应力，压缩应力为负 值应力。
1. 截面法的三个步骤 切: 代: 平:
F F F F
材料力学 第二章拉伸、压缩与剪切
根据轴力图可以显示各段轴力的大小以及各段的变形是拉伸或压缩
9
§2-2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力与应力
2.应力
轴力的大小并不能用来判断杆件是否有足够的强度，如：
F
F
F
F
细杆先被拉断，说明拉杆的强度不仅与轴力的大小有关，还 与拉杆的的横截面有关，所以必须用横截面上的应力来度量 杆件的受力程度。
3
§2-1 轴向拉伸与压缩的概念与实例
1.轴向拉伸与压缩的实例
2.拉伸压缩动画示范
5
§2-1 轴向拉伸与压缩的概念与实例
3.拉伸与压缩的受力特点
作用于杆件上的外力合力的作用线与杆件的轴 线重合，杆件变形是沿轴线方向伸长或缩短的。
6
§2-2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力与应 力
F1 FN1 0 FN1 F1 2.62 KN (压力)
F1 F2 FN2 0 FN2 F1 F2 1.32KN(压力)
FN 2 F3 0 FN 2 F3 1.32 KN (压力)
8
§2-2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力与应力
轴力图:用平行于杆件轴线的坐标表示横截面的位置， 用垂直于杆件轴线的坐标表示横截面上轴力的数值，从 而绘出表示轴力沿杆轴变化规律的图线。
铸铁压缩时，仍在较小在变形下
突然破裂，破坏断面的法线与轴
线大致成45°角。表明沿斜截面
相对错动而破坏。抗压强度约比
抗拉强度高4－5倍。
24
§2-7 失效、安全因数和强度计算
一、失效 构件因强度、刚度、稳定性等原因不能正常工作。 强度条件引起的失效： 脆性材料制成的构件在拉应力下，当变形很小时就突然断裂； 塑性材料制成的构件在拉断之前已经出现塑性变形，由于不 能保持原有的形状和尺寸，它已经不能正常工作。断裂与出现 塑性变形统称为失效。