2019年中考数学复习题方法技巧专题十最短距离训练新版浙教版

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初中数学——最短路径问题常见题型及解题方法

初中数学——最短路径问题常见题型及解题方法
两点在直线同侧的最短路径问题
给出一条直线，A、B两点在直线的同侧，要在直线上找到一个点，使这个点到A点和到B点的距离最短。

步骤：
①找到A（或B）关于直线的对称点P
②连接PB（PA）交直线于O，点O就是所要找的点
造桥选址问题
A、B在一条河的两岸，要在河上造一座桥MN，使A到B的路径AMNB最短。

步骤：
①作出河的宽度M′N′
②将M′N′平移，使M′向A点平移，N′向A′点平移，即AA′=M′N′
③连接A′B与河岸b交于N点
④过N点作直线a的垂线，垂足为M 。

则MN就是桥的位置.
涉及到两个动点的最短路径问题
给出一个正方形，已知两个定点和两个动点，
要在直线上找到这两个动点，使这四个点所围的四边形周长最小。

步骤：
①找到两个定点关于正方形的边的对称点，
②连接两个对称点，和正方形边的两边有两个交点。

③交点就是动点的位置
例题：
（2015，广西玉林、防城港）如图，已知正方形ABCD边长为3，点E在AB边上且BE=1，点P，Q分别是边BC，CD的动点（均不与顶点重合），当四边形AEPQ的周长取最小值时，四边形AEPQ的面积是．
思路：。

中考总复习专题--最短距离

中考总复习专题最短距离一、最短距离中的解题依据及解题思路：1、考查知识点：两点之间线段最短” 垂线段最短” 点关于直线对称”，。

2、原型：考题较多的是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。

3、解题总思路：找点关于动点所在直线为对称轴的对称点，实现折”转直” 其中，一个动点折线”转直”通常找一个对称点、两个动点中折线”转直”通常找两个对称点。

最终转化为两点之间的距离。

即建立最短距离数学模型是解题的关键。

二、例题讲解1、在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P,使BP+PE 的值最小.则BP+PE的最小值为1、如图正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点.连结BD,由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称.连结ED交AC于P,则PB+PE的最小值为3、一次函数y=kx+b的图象与x、y轴分别交于点A ( 2，0)，B (0，4).(1)求该函数的解析式；(2)0为坐标原点，设OA AB的中点分别为C、D, P为0B上一动点，求PO PD的最小值，并求取得最小值时P点坐标.4、已知O O的直径CD为4,弧AD的度数为60°点B是弧AD的中点，在直径CD上找一点P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值.PO=1Q Q R分别是OA OB上的动点，求△ PQRP是/ AOB内一点,课后练习题1. （2016 •苏州）矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（3, 4），D是OA的中点，点E在AB 上,当厶CDE的周长最小时，点E的坐标为。

yi2.（2015玉林）已知正方形ABCD边长为3,点E在AB边上且BE=1，点P，Q分别是边BC CD的动点（均不与顶点合），当四边形AEPC的周长取最小值时，四边形AEPQ勺面积是________.第2题3、（2016雅安）如图，在矩形ABCD中，AD = 6，AE丄BD，垂足为E，ED = 3BE，1 24.如图，抛物线y= 2X + bx —2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A( —1, 0).（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标;尸护—芬 2 = 2x2 —3x—2=（要求：画出图形即可）2（x—2）2—¥，二顶点D的坐标为（2，—25）⑵点M是x轴上的一个动点，当厶DCM的周长最小时，求点M的坐标;(3)点N是对称轴上的一个动点,当厶NCA的周长最小时，求点N的坐标;点N是对称轴上的一个动点,当|PC -PB|的值最大时，求点P的坐图（3）图（3）⑷(4)。

浙江省中考数学一轮复习专题练习10 压轴题(1) 浙教版-浙教版初中九年级全册数学试题

压轴题（1）班级某某学号一、选择题1.在△ABC中，AB＝10，AC＝210，BC边上的高AD＝6，则另一边BC等于( )A．10 B．8 C．6或10 D．8或102.若x0是方程ax2+2x+c=0（a≠0）的一个根，设M=1﹣ac，N=（ax0+1）2，则M与N的大小关系正确的为（）A．M＞N B．M=N C．M＜N D．不确定3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分线交BC于D，DE是AB的垂直平分线，垂足为E．若BC=3，则DE的长为（）A．1 B．2 C．3 D．44.如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=45°，把△ADC沿着直线AD对折，点C落在点E的位置．如果BC=6，那么线段BE的长度为（）A．6 B．6C．2D．35.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）和正比例函数y=x的图象如图所示，则方程ax2+（b﹣）x+c=0（a≠0）的两根之和（）A ．大于0B ．等于0C ．小于0D ．不能确定6.如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 边的中点，BE ⊥AC ，垂足为点F ，连接DF ，分析下列四个结论：①△AEF ∽△CAB ；②CF ＝2AF ；③DF ＝DC ；④tan∠CAD ＝2．其中正确的结论有( ) A.4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个第10题图FEDB CA7.如图，在Rt △AOB 中，两直角边OA 、OB 分别在x 轴的负半轴和y 轴的正半轴上，将△AOB 绕点B 逆时针旋转90°后得到△A ′O ′B．若反比例函数的图象恰好经过斜边A ′B 的中点C ，S △ABO =4，tan ∠BAO =2，则k 的值为（）A ．3B ．4C ．6D ．88.有3个正方形如图所示放置，阴影部分的面积依次记为S 1，S 2，则S 1：S 2等于（）A ．1：B ．1：2C ．2：3D ．4：99.如图，用黑白两种颜色的菱形纸片，按黑色纸片数逐渐增加1的规律拼成下列图案，若第n 个图案中有2017个白色纸片，则n 的值为（）A ．671B ．672C ．673D ．67410.如图，抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）的对称轴为直线x =1，与x 轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论： ①4ac ＜b 2；②方程ax 2+bx +c =0的两个根是x 1=﹣1，x 2=3； ③3a +c ＞0④当y ＞0时，x 的取值X 围是﹣1≤x ＜3 ⑤当x ＜0时，y 随x 增大而增大其中结论正确的个数是（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个二、填空题11.如图，在Rt△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝4，BC ＞AB ，点D 在BC 上，以AC 为对角线的所有平行四边形ADCE 中，DE 的最小值是_____________．第14题图EOBCD12.如图，直线y ＝x ＋b 与直线y ＝kx ＋6交于点P (3，5)，则关于x 的不等式x ＋b ＞kx ＋6的解集是_____________．13.在矩形ABCD中，∠B的角平分线BE与AD交于点E，∠BED的角平分线EF与DC交于点F，若AB=9，DF=2FC，则BC=．（结果保留根号）14.如图，已知点A（1，2）是反比例函数y=图象上的一点，连接AO并延长交双曲线的另一分支于点B，点P是x轴上一动点；若△PAB是等腰三角形，则点P的坐标是．15.如图，在平面直角坐标系中，矩形AOCB的两边OA、OC分别在x轴和y轴上，且OA=2，OC=1．在第二象限内，将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的倍，得到矩形A1OC1B1，再将矩形A1OC1B1以原点O为位似中心放大倍，得到矩形A2OC2B2…，以此类推，得到的矩形A n OB n的对角线交点的坐标为．三、解答题16.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若OB=10，CD=8，求BE的长．17.某段工程建设中，甲队单独完成这项工程需要150天，甲队单独施工30天后增加乙队，两队又共同工作了15天，共完成总工程的．（1）求乙队单独完成这项工程需要多少天？（2）为了加快工程进度，甲、乙两队各自提高工作效率，提高后乙队的工作效率是，甲队的工作效率是乙队的m倍（1≤m≤2），若两队合作40天完成剩余的工程，请写出a关于m的函数关系式，并求出乙队的最大工作效率是原来的几倍？18.已知在关于x的分式方程①和一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0②中，k、m、n 均为实数，方程①的根为非负数．（1）求k的取值X围；（2）当方程②有两个整数根x1、x2，k为整数，且k=m+2，n=1时，求方程②的整数根；（3）当方程②有两个实数根x1、x2，满足x1（x1﹣k）+x2（x2﹣k）=（x1﹣k）（x2﹣k），且k为负整数时，试判断|m|≤2是否成立？请说明理由．19.如图，直线y=﹣x+2与x轴，y轴分别交于点A，点B，两动点D，E分别从点A，点B同时出发向点O运动（运动到点O停止），运动速度分别是1个单位长度/秒和个单位长度/秒，设运动时间为t秒，以点A为顶点的抛物线经过点E，过点E作x轴的平行线，与抛物线的另一个交点为点G，与AB相交于点F．（1）求点A，点B的坐标；（2）用含t的代数式分别表示EF和AF的长；（3）当四边形ADEF为菱形时，试判断△AFG与△AGB是否相似，并说明理由．（4）是否存在t的值，使△AGF为直角三角形？若存在，求出这时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．20.阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的“特征线”．例如，点M（1，3）的特征线有：x=1，y=3，y=x+2，y=﹣x+4．问题与探究：如图，在平面直角坐标系中有正方形OABC，点B在第一象限，A、C分别在x轴和y轴上，抛物线经过B、C两点，顶点D在正方形内部．（1）直接写出点D（m，n）所有的特征线；（2）若点D有一条特征线是y=x+1，求此抛物线的解析式；（3）点P是AB边上除点A外的任意一点，连接OP，将△OAP沿着OP折叠，点A落在点A′的位置，当点A′在平行于坐标轴的D点的特征线上时，满足（2）中条件的抛物线向下平移多少距离，其顶点落在OP上？21.如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A（1，1），且与直线y=x﹣2交于B，C两点．（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；（2）求证：△ABC是直角三角形；（3）若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．22.已知四边形ABCD是菱形，AB=4，∠ABC=60°，∠EAF的两边分别与射线CB，DC相交于点E，F，且∠EAF=60°．（1）如图1，当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE，EF，AF之间的数量关系；（2）如图2，当点E是线段CB上任意一点时（点E不与B、C重合），求证：BE=CF；（3）如图3，当点E在线段CB的延长线上，且∠EAB=15°时，求点F到BC的距离．角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，点A、C的坐标分别是(0，4)、（－1，0），将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′．(1)若抛物线过点C、A、A′，求此抛物线的解析式；(2)点M是第一象限内抛物线上的一动点，问：当点M在何处时，△AMA′的面积最大？最大面积是多少？并求出此时M的坐标；(3)若P为抛物线上的一动点，N为x轴上的一动点，点Q坐标为(1，0)，当P、N、B、Q构成平行四边形时，求点P的坐标，当这个平行四边形为矩形时，求点N的坐标．24.如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC，四边形ADEF是正方形，点B、C分别在边AD、AF上，此时BD＝CF，BD⊥CF成立．(1)当△ABC绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD＝CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．(2)当△ABC绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长DB交CF于点H.①求证：BD⊥CF；②当AB＝2，AD＝32时，求线段DH的长．答案详解一、选择题【考点】一元二次方程的解．【分析】把x0代入方程ax2+2x+c=0得ax02+2x0=﹣c，作差法比较可得．【解答】解：∵x0是方程ax2+2x+c=0（a≠0）的一个根，∴ax02+2x0+c=0，即ax02+2x0=﹣c，则N﹣M=（ax0+1）2﹣（1﹣ac）=a2x02+2ax0+1﹣1+ac=a（ax02+2x0）+ac=﹣ac+ac=0，∴M=N，故选：B．3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分线交BC于D，DE是AB的垂直平分线，垂足为E．若BC=3，则DE的长为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由角平分线和线段垂直平分线的性质可求得∠B=∠CAD=∠DAB=30°，【解答】解：∵DE垂直平分AB，∴DA=DB，∴∠B=∠DAB，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠DAB，∵∠C=90°，∴3∠CAD=90°，∴∠CAD=30°，∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，CD⊥AC，∴CD=DE=BD，∵BC=3，∴CD=DE=1，故选A．4.如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=45°，把△ADC沿着直线AD对折，点C落在点E的位置．如果BC=6，那么线段BE的长度为（）A．6 B．6C．2D．3【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】根据折叠的性质判定△EDB是等腰直角三角形，然后再求BE．【解答】解：根据折叠的性质知，CD=ED，∠CDA=∠ADE=45°，∴∠CDE=∠BDE=90°，∵BD=CD，BC=6，∴BD=ED=3，即△EDB是等腰直角三角形，∴BE=BD=×3=3，故选D．5.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）和正比例函数y=x的图象如图所示，则方程ax2+（b﹣）x+c=0（a≠0）的两根之和（）A ．大于0B ．等于0C ．小于0D ．不能确定【考点】抛物线与x 轴的交点．【分析】设ax 2+bx +c =0（a ≠0）的两根为x 1，x 2，由二次函数的图象可知x 1+x 2＞0，a ＞0，设方程ax 2+（b ﹣）x +c =0（a ≠0）的两根为a ，b 再根据根与系数的关系即可得出结论．【解答】解：设ax 2+bx +c =0（a ≠0）的两根为x 1，x 2，∵由二次函数的图象可知x 1+x 2＞0，a ＞0，∴﹣＞0．设方程ax 2+（b ﹣）x +c =0（a ≠0）的两根为a ，b ，则a +b =﹣=﹣+，∵a ＞0，∴＞0， ∴a +b ＞0．故选C ．6.如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 边的中点，BE ⊥AC ，垂足为点F ，连接DF ，分析下列四个结论：①△AEF ∽△CAB ；②CF ＝2AF ；③DF ＝DC ；④tan∠CAD ＝2．其中正确的结论有( )A.4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个第10题图F D B A【知识点】特殊平行四边形——矩形的性质、相似三角形——相似三角形的判定与性质、锐角三角函数——锐角三角函数值的求法【答案】B. 【解析】∵矩形ABCD 中，∴AD ∥BC .∴△AEF ∽△CAB ….......................①正确；∵△AEF ∽△CAB ，∴AF CF ＝AE BC ＝12，∴CF ＝2AF ……………………………②正确；过点D 作DH ⊥AC 于点H .易证△ABF ≌△CDH (AAS ).∴AF ＝CH .∵EF ∥DH ,∴AF FH ＝AEED ＝1.∴AF ＝FH .∴FH ＝CH .∴DH 垂直平分CF .∴DF ＝DC . ……………………………………………③正确；第10题答案图G HF E D ACB设EF ＝1，则BF ＝2.∵△ABF ∽△EAF .∴AF EF ＝BFAF .∴AF ＝EF •BF ＝1×2＝ 2.∴tan∠ABF ＝AF BF ＝22.∵∠CAD ＝∠ABF ，∴tan∠CAD ＝tan∠ABF ＝22.…………④错误. 故选择B.7.如图，在Rt △AOB 中，两直角边OA 、OB 分别在x 轴的负半轴和y 轴的正半轴上，将△AOB 绕点B 逆时针旋转90°后得到△A ′O ′B．若反比例函数的图象恰好经过斜边A ′B 的中点C ，S △ABO =4，tan ∠BAO =2，则k 的值为（）A ．3B ．4C ．6D ．8【分析】先根据S △ABO =4，tan ∠BAO =2求出AO 、BO 的长度，再根据点C 为斜边A ′B 的中点，求出点C 的坐标，点C 的横纵坐标之积即为k 值．【解答】解：设点C 坐标为（x ，y ），作CD ⊥BO ′交边BO ′于点D ，∵tan ∠BAO =2，∴=2，∵S△ABO=•AO•BO=4，∴AO=2，BO=4，∵△ABO≌△A′O′B，∴AO=A′0′=2，BO=BO′=4，∵点C为斜边A′B的中点，CD⊥BO′，∴CD=A′0′=1，BD=BO′=2，∴x=BO﹣CD=4﹣1=3，y=BD=2，∴k=x•y=3•2=6．故选C．．8.有3个正方形如图所示放置，阴影部分的面积依次记为S1，S2，则S1：S2等于（）A．1：B．1：2 C．2：3 D．4：9【考点】正方形的性质．【分析】设小正方形的边长为x，再根据相似的性质求出S1、S2与正方形面积的关系，然后进行计算即可得出答案．【解答】解：设小正方形的边长为x，根据图形可得：∵=，∴=，∴=，∴S1=S正方形ABCD，∴S1=x2，∵=，∴=，∴S2=S正方形ABCD，∴S2=x2，∴S1：S2=x2：x2=4：9；故选D．9.如图，用黑白两种颜色的菱形纸片，按黑色纸片数逐渐增加1的规律拼成下列图案，若第n个图案中有2017个白色纸片，则n的值为（）A．671 B．672 C．673 D．674【分析】将已知三个图案中白色纸片数拆分，得出规律：每增加一个黑色纸片时，相应增加3个白色纸片；据此可得第n个图案中白色纸片数，从而可得关于n的方程，解方程可得．【解答】解：∵第1个图案中白色纸片有4=1+1×3X；第2个图案中白色纸片有7=1+2×3X；第3个图案中白色纸片有10=1+3×3X；…∴第n个图案中白色纸片有1+n×3=3n+1（X），根据题意得：3n+1=2017，解得：n=672，故选：B．10.如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3；③3a+c＞0④当y＞0时，x的取值X围是﹣1≤x＜3⑤当x＜0时，y随x增大而增大其中结论正确的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】利用抛物线与x轴的交点个数可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），则可对②进行判断；由对称轴方程得到b=﹣2a，然后根据x=﹣1时函数值为负数可得到3a+c＜0，则可对③进行判断；根据抛物线在x轴上方所对应的自变量的X围可对④进行判断；根据二次函数的性质对⑤进行判断．【解答】解：∵抛物线与x轴有2个交点，∴b2﹣4ac＞0，所以①正确；∵抛物线的对称轴为直线x=1，而点（﹣1，0）关于直线x =1的对称点的坐标为（3，0），∴方程ax 2+bx +c =0的两个根是x 1=﹣1，x 2=3，所以②正确；∵x =﹣=1，即b =﹣2a ，而x =﹣1时，y ＜0，即a ﹣b +c ＜0，∴a +2a +c ＜0，所以③错误；∵抛物线与x 轴的两点坐标为（﹣1，0），（3，0），∴当﹣1＜x ＜3时，y ＞0，所以④错误；∵抛物线的对称轴为直线x =1，∴当x ＜1时，y 随x 增大而增大，所以⑤正确．故选B ．二、填空题11.如图，在Rt△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝4，BC ＞AB ，点D 在BC 上，以AC 为对角线的所有平行四边形ADCE 中，DE 的最小值是_____________．第14题图EO B A CD【知识点】直线射线和线段——垂线段最短、图形的相似——平行线分线段成比例定理、平行四边形——平行四边形的性质、【答案】4.【解析】根据“垂线段最短”，可知：当OD ⊥BC 时，OD 最短，DE 的值最小.当OD ⊥BC 时，OD ∥AB .∴CD BD ＝CO OA ＝1.∴OD 是△ABC 的中位线.∴OD ＝12AB ＝2.∴DE 的最小值＝2OD ＝4.第14题答案图EOCABD12.如图，直线y＝x＋b与直线y＝kx＋6交于点P(3，5)，则关于x的不等式x＋b＞kx＋6的解集是_____________．【知识点】一次函数——一次函数与一元一次不等式【答案】x＞3.【解析】由图象得到直线y＝x＋b与直线y＝kx＋6的交点P(3，5)，在点P(3，5)的右侧，直线y ＝x＋b落在直线y＝kx＋6的上方，该部分对应的x的取值X围为x＞3,即不等式x＋b＞kx＋6的解集是x＞3．13.在矩形ABCD中，∠B的角平分线BE与AD交于点E，∠BED的角平分线EF与DC交于点F，若AB=9，DF=2FC，则BC=．（结果保留根号）【考点】矩形的性质；等腰三角形的判定；相似三角形的判定与性质．【分析】先延长EF和BC，交于点G，再根据条件可以判断三角形ABE为等腰直角三角形，并求得其斜边BE的长，然后根据条件判断三角形BEG为等腰三角形，最后根据△EFD∽△GFC得出CG与DE的倍数关系，并根据BG=BC+CG进行计算即可．【解答】解：延长EF和BC，交于点G∵矩形ABCD中，∠B的角平分线BE与AD交于点E，∴∠ABE=∠AEB=45°，∴AB=AE=9，∴直角三角形ABE中，BE==，又∵∠BED的角平分线EF与DC交于点F，∴∠BEG=∠DEF∵AD∥BC∴∠G=∠DEF∴∠BEG=∠G∴BG=BE=由∠G=∠DEF，∠EFD=∠GFC，可得△EFD∽△GFC∴设CG=x，DE=2x，则AD=9+2x=BC∵BG=BC+CG∴=9+2x+x解得x=∴BC=9+2（﹣3）=故答案为：14.如图，已知点A（1，2）是反比例函数y=图象上的一点，连接AO并延长交双曲线的另一分支于点B，点P是x轴上一动点；若△PAB是等腰三角形，则点P的坐标是（﹣3，0）或（5，0）或（3，0）或（﹣5，0）．【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；等腰三角形的性质．【分析】由对称性可知O为AB的中点，则当△PAB为等腰三角形时只能有PA=AB或PB=AB，设P点坐标为（x，0），可分别表示出PA和PB，从而可得到关与x的方程，可求得x，可求得P点坐标．【解答】解：∵反比例函数y=图象关于原点对称，∴A、B两点关于O对称，∴O为AB的中点，且B（﹣1，﹣2），∴当△PAB为等腰三角形时有PA=AB或PB=AB，设P点坐标为（x，0），∵A（1，2），B（﹣1，﹣2），∴AB==2，PA=，PB=，当PA=AB时，则有=2，解得x=﹣3或5，此时P点坐标为（﹣3，0）或（5，0）；当PB=AB时，则有=2，解得x=3或﹣5，此时P点坐标为（3，0）或（﹣5，0）；综上可知P点的坐标为（﹣3，0）或（5，0）或（3，0）或（﹣5，0），故答案为：（﹣3，0）或（5，0）或（3，0）或（﹣5，0）．15.如图，在平面直角坐标系中，矩形AOCB的两边OA、OC分别在x轴和y轴上，且OA=2，OC=1．在第二象限内，将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的倍，得到矩形A1OC1B1，再将矩形A1OC1B1以原点O为位似中心放大倍，得到矩形A2OC2B2…，以此类推，得到的矩形A n OB n的对角线交点的坐标为（﹣，）．【考点】位似变换；坐标与图形性质；矩形的性质．【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k，即可求得B n的坐标，然后根据矩形的性质即可求得对角线交点的坐标．【解答】解：∵在第二象限内，将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的倍，∴矩形A1OC1B1与矩形AOCB是位似图形，点B与点B1是对应点，∵OA=2，OC=1．∵点B的坐标为（﹣2，1），∴点B1的坐标为（﹣2×，1×），∵将矩形A1OC1B1以原点O为位似中心放大倍，得到矩形A2OC2B2…，∴B2（﹣2××，1××），∴B n（﹣2×，1×），∵矩形A n OB n的对角线交点（﹣2××，1××），即（﹣，），故答案为：（﹣，）．三、解答题16.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若OB=10，CD=8，求BE的长．【考点】切线的判定．【专题】计算题；与圆有关的位置关系．【分析】（1）连接OD，由BD为角平分线得到一对角相等，根据OB=OD，等边对等角得到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，进而确定出OD与BC平行，利用两直线平行同位角相等得到∠ODA 为直径，即可得证；（2）由OD与BC平行得到三角形OAD与三角形BAC相似，由相似得比例求出OA的长，进而确定出AB的长，连接EF，过O作OG垂直于BC，利用勾股定理求出BG的长，由BG+GC求出BC的长，再由三角形BEF与三角形BAC相似，由相似得比例求出BE的长即可．【解答】（1）证明：连接OD，∵BD为∠ABC平分线，∴∠1=∠2，∵OB=OD，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴OD∥BC，∵∠C=90°，∴∠ODA=90°，则AC为圆O的切线；（2）解：过O作OG⊥BC，∴四边形ODCG为矩形，∴GC=OD=OB=10，OG=CD=8，在Rt△OBG中，利用勾股定理得：BG=6，∴BC=BG+GC=6+10=16，∵OD∥BC，∴△AOD∽△ABC，∴=，即=，解得：OA=，∴AB=+10=，连接EF，∵BF为圆的直径，∴∠BEF=90°，∴∠BEF=∠C=90°，∴EF∥AC，∴=，即=，解得：BE=12．17.某段工程建设中，甲队单独完成这项工程需要150天，甲队单独施工30天后增加乙队，两队又共同工作了15天，共完成总工程的．（1）求乙队单独完成这项工程需要多少天？（2）为了加快工程进度，甲、乙两队各自提高工作效率，提高后乙队的工作效率是，甲队的工作效率是乙队的m倍（1≤m≤2），若两队合作40天完成剩余的工程，请写出a关于m的函数关系式，并求出乙队的最大工作效率是原来的几倍？【考点】一次函数的应用；分式方程的应用．【分析】（1）设乙队单独完成这项工程需要x天，根据题意得方程即可得到结论；（2）根据题意得（+）×40=，即可得到a=60m+60，根据一次函数的性质得到=，即可得到结论．【解答】解：（1）设乙队单独完成这项工程需要x天，根据题意得×（30+15）+×15=，解得：x=450，经检验x=450是方程的根，答：乙队单独完成这项工程需要450天；（2）根据题意得（+）×40=，∴a=60m+60，∵60＞0，∴a随m的增大增大，∴当m=1时，最大，∴=，∴÷=7.5倍，18.已知在关于x的分式方程①和一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0②中，k、m、n 均为实数，方程①的根为非负数．（1）求k的取值X围；（2）当方程②有两个整数根x1、x2，k为整数，且k=m+2，n=1时，求方程②的整数根；（3）当方程②有两个实数根x1、x2，满足x1（x1﹣k）+x2（x2﹣k）=（x1﹣k）（x2﹣k），且k为负整数时，试判断|m|≤2是否成立？请说明理由．【分析】（1）先解出分式方程①的解，根据分式的意义和方程①的根为非负数得出k的取值；（2）先把k=m+2，n=1代入方程②化简，由方程②有两个整数实根得△是完全平方数，列等式得出关于m的等式，由根与系数的关系和两个整数根x1、x2得出m=1和﹣1，分别代入方程后解出即可．（3）根据（1）中k的取值和k为负整数得出k=﹣1，化简已知所给的等式，并将两根和与积代入计算求出m的值，做出判断．【解答】解：（1）∵关于x的分式方程的根为非负数，∴x≥0且x≠1，又∵x=≥0，且≠1，∴解得k≥﹣1且k≠1，又∵一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0中2﹣k≠0，∴k≠2，综上可得：k≥﹣1且k≠1且k≠2；（2）∵一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0有两个整数根x1、x2，且k=m+2，n=1时，∴把k=m+2，n=1代入原方程得：﹣mx2+3mx+（1﹣m）=0，即：mx2﹣3mx+m﹣1=0，∴△≥0，即△=（﹣3m）2﹣4m（m﹣1），且m≠0，∴△=9m2﹣4m（m﹣1）=m（5m+4），∵x1、x2是整数，k、m都是整数，∵x1+x2=3，x1•x2==1﹣，∴1﹣为整数，∴m=1或﹣1，∴把m=1代入方程mx2﹣3mx+m﹣1=0得：x2﹣3x+1﹣1=0，x2﹣3x=0，x（x﹣3）=0，x1=0，x2=3；把m=﹣1代入方程mx2﹣3mx+m﹣1=0得：﹣x2+3x﹣2=0，x2﹣3x+2=0，（x﹣1）（x﹣2）=0，x1=1，x2=2；（3）|m|≤2不成立，理由是：由（1）知：k≥﹣1且k≠1且k≠2，∵k是负整数，∴k=﹣1，（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0且方程有两个实数根x1、x2，∴x1+x2=﹣==﹣m，x1x2==，x1（x1﹣k）+x2（x2﹣k）=（x1﹣k）（x2﹣k），x12﹣x1k+x22﹣x2k=x1x2﹣x1k﹣x2k+k2，x12+x22═x1x2+k2，（x1+x2）2﹣2x1x2﹣x1x2=k2，（x1+x2）2﹣3x1x2=k2，（﹣m）2﹣3×=（﹣1）2，m2﹣4=1，m2=5，m=±，∴|m|≤2不成立．19.如图，直线y=﹣x+2与x轴，y轴分别交于点A，点B，两动点D，E分别从点A，点B同时出发向点O运动（运动到点O停止），运动速度分别是1个单位长度/秒和个单位长度/秒，设运动时间为t秒，以点A为顶点的抛物线经过点E，过点E作x轴的平行线，与抛物线的另一个交点为点G，与AB相交于点F．（1）求点A，点B的坐标；（2）用含t的代数式分别表示EF和AF的长；（3）当四边形ADEF为菱形时，试判断△AFG与△AGB是否相似，并说明理由．（4）是否存在t的值，使△AGF为直角三角形？若存在，求出这时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）在直线y=﹣x+2中，分别令y=0和x=0，容易求得A、B两点坐标；（2）由OA、OB的长可求得∠ABO=30°，用t可表示出BE，EF，和BF的长，由勾股定理可求得AB 的长，从而可用t表示出AF的长；（3）利用菱形的性质可求得t的值，则可求得AF=AG的长，可得到=，可判定△AFG与△AGB 相似；（4）若△AGF为直角三角形时，由条件可知只能是∠FAG=90°，又∠AFG=∠OAF=60°，由（2）可知AF=4﹣2t，EF=t，又由二次函数的对称性可得到EG=2OA=4，从而可求出FG，在Rt△AGF中，可得到关于t的方程，可求得t的值，进一步可求得E点坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式．【解答】解：（1）在直线y=﹣x+2中，令y=0可得0=﹣x+2，解得x=2，令x=0可得y=2，∴A为（2，0），B为（0，2）；（2）由（1）可知OA=2，OB=2，∴tan∠ABO==，∴∠ABO=30°，∵运动时间为t秒，∴BE=t，∴在Rt△BEF中，EF=BE•tan∠ABO=BE=t，BF=2EF=2t，在Rt△ABO中，OA=2，OB=2，∴AB=4，∴AF=4﹣2t；（3）相似．理由如下：当四边形ADEF为菱形时，则有EF=AF，即t=4﹣2t，解得t=，∴AF=4﹣2t=4﹣=，OE=OB﹣BE=2﹣×=，如图，过G作GH⊥x轴，交x轴于点H，则四边形OEGH为矩形，∴GH=OE=，又EG∥x轴，抛物线的顶点为A，∴OA=AH=2，在Rt△AGH中，由勾股定理可得AG2=GH2+AH2=（）2+22=，又AF•AB=×4=，∴AF•AB=AG2，即=，且∠FAG=∠GAB，∴△AFG∽△AGB；（4）存在，∴∠GFA=∠BAO=60°，又G点不能在抛物线的对称轴上，∴∠FGA≠90°，∴当△AGF为直角三角形时，则有∠FAG=90°，又∠FGA=30°，∴FG=2AF，∵EF=t，EG=4，∴FG=4﹣t，且AF=4﹣2t，∴4﹣t=2（4﹣2t），解得t=，即当t的值为秒时，△AGF为直角三角形，此时OE=OB﹣BE=2﹣t=2﹣×=，∴E点坐标为（0，），∵抛物线的顶点为A，∴可设抛物线解析式为y=a（x﹣2）2，把E点坐标代入可得=4a，解得a=，∴抛物线解析式为y=（x﹣2）2，即y=x2﹣x+．20.阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的“特征线”．例如，点M（1，3）的特征线有：x=1，y=3，y=x+2，y=﹣x+4．问题与探究：如图，在平面直角坐标系中有正方形OABC，点B在第一象限，A、C分别在x轴和y轴上，抛物线经过B、C两点，顶点D在正方形内部．（1）直接写出点D（m，n）所有的特征线；（2）若点D有一条特征线是y=x+1，求此抛物线的解析式；（3）点P是AB边上除点A外的任意一点，连接OP，将△OAP沿着OP折叠，点A落在点A′的位置，当点A′在平行于坐标轴的D点的特征线上时，满足（2）中条件的抛物线向下平移多少距离，其顶点落在OP上？【分析】（1）根据特征线直接求出点D的特征线；（2）由点D的一条特征线和正方形的性质求出点D的坐标，从而求出抛物线解析式；（2）分平行于x轴和y轴两种情况，由折叠的性质计算即可．【解答】解：（1）∵点D（m，n），∴点D（m，n）的特征线是x=m，y=n，y=x+n﹣m，y=﹣x+m+n；（2）点D有一条特征线是y=x+1，∴n﹣m=1，∴n=m+1∵抛物线解析式为，∴y=（x﹣m）2+m+1，∵四边形OABC是正方形，且D点为正方形的对称轴，D（m，n），∴B（2m，2m），∴（2m﹣m）2+n=2m，将n=m+1带入得到m=2，n=3；∴D（2，3），∴抛物线解析式为y=（x﹣2）2+3（3）如图，当点A′在平行于y轴的D点的特征线时，根据题意可得，D（2，3），∴OA′=OA=4，OM=2，∴∠A′OM=60°，∴∠A′OP=∠AOP=30°，∴MN==，∴抛物线需要向下平移的距离=3﹣=．乳头，当点A′在平行于x轴的D点的特征线时，∵顶点落在OP上，∴A′与D重合，∴A′（2，3），设P（4，c）（c＞0），由折叠有，PD=PA，∴=c，∴c=，∴P（4，）∴直线OP解析式为y=，∴N（2，），∴抛物线需要向下平移的距离=3﹣=，即：抛物线向下平移或距离，其顶点落在OP上．21.如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A（1，1），且与直线y=x﹣2交于B，C两点．（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；（2）求证：△ABC是直角三角形；（3）若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）可设顶点式，把原点坐标代入可求得抛物线解析式，联立直线与抛物线解析式，可求得C点坐标；（2）分别过A、C两点作x轴的垂线，交x轴于点D、E两点，结合A、B、C三点的坐标可求得∠ABO=∠CBO=45°，可证得结论；（3）设出N点坐标，可表示出M点坐标，从而可表示出MN、ON的长度，当△MON和△ABC相似时，利用三角形相似的性质可得=或=，可求得N点的坐标．【解答】解：（1）∵顶点坐标为（1，1），∴设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+1，又抛物线过原点，∴0=a（0﹣1）2+1，解得a=﹣1，∴抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）2+1，即y=﹣x2+2x，联立抛物线和直线解析式可得，解得或，∴B（2，0），C（﹣1，﹣3）；（2）如图，分别过A、C两点作x轴的垂线，交x轴于点D、E两点，则AD=OD=BD=1，BE=OB+OE=2+1=3，EC=3，∴∠ABO=∠CBO=45°，即∠ABC=90°，∴△ABC是直角三角形；（3）假设存在满足条件的点N，设N（x，0），则M（x，﹣x2+2x），∴ON=|x|，MN=|﹣x2+2x|，由（2）在Rt△ABD和Rt△CEB中，可分别求得AB=，BC=3，∵MN⊥x轴于点N∴∠ABC=∠MNO=90°，∴当△ABC和△MNO相似时有=或=，①当=时，则有=，即|x||﹣x+2|=|x|，∵当x=0时M、O、N不能构成三角形，∴x≠0，∴|﹣x+2|=，即﹣x+2=±，解得x=或x=，此时N点坐标为（，0）或（，0）；②当=时，则有=，即|x||﹣x+2|=3|x|，∴|﹣x+2|=3，即﹣x+2=±3，解得x=5或x=﹣1，此时N点坐标为（﹣1，0）或（5，0），综上可知存在满足条件的N点，其坐标为（，0）或（，0）或（﹣1，0）或（5，0）．22.已知四边形ABCD是菱形，AB=4，∠ABC=60°，∠EAF的两边分别与射线CB，DC相交于点E，F，且∠EAF=60°．（1）如图1，当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE，EF，AF之间的数量关系；（2）如图2，当点E是线段CB上任意一点时（点E不与B、C重合），求证：BE=CF；（3）如图3，当点E在线段CB的延长线上，且∠EAB=15°时，求点F到BC的距离．【考点】四边形综合题．【分析】（1）结论AE=EF=AF．只要证明AE=AF即可证明△AEF是等边三角形．（2）欲证明BE=CF，只要证明△BAE≌△CAF即可．（3）过点A作AG⊥BC于点G，过点F作FH⊥EC于点H，根据FH=CF•cos30°，因为CF=BE，只要求出BE即可解决问题．【解答】（1）解：结论AE=EF=AF．理由：如图1中，连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∠B=60°，∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠D=60°，∴△ABC，△ADC是等边三角形，∴∠BAC=∠DAC=60°∵BE=EC，∴∠BAE=∠CAE=30°，AE⊥BC，∵∠EAF=60°，∴∠CAF=∠DAF=30°，∴AF⊥CD，∴AE=AF（菱形的高相等），∴△AEF是等边三角形，∴AE=EF=AF．（2）证明：如图2中，∵∠BAC=∠EAF=60°，∴∠BAE=∠CAE，在△BAE和△CAF中，，∴△BAE≌△CAF，∴BE=CF．（3）解：过点A作AG⊥BC于点G，过点F作FH⊥EC于点H，∵∠EAB=15°，∠ABC=60°，∴∠AEB=45°，在RT△AGB中，∵∠ABC=60°AB=4，∴BG=2，AG=2，在RT△AEG中，∵∠AEG=∠EAG=45°，∴AG=GE=2，∴EB=EG﹣BG=2﹣2，∵△AEB≌△AFC，∴AE=AF，EB=CF=2﹣2，∠AEB=∠AFC=45°，∵∠EAF=60°，AE=AF，∴△AEF是等边三角形，∴∠AEF=∠AFE=60°∵∠AEB=45°，∠AEF=60°，∴∠CEF=∠AEF﹣∠AEB=15°，在RT△EFH中，∠CEF=15°，∴∠EFH=75°，∵∠AFE=60°，∴∠AFH=∠EFH﹣∠AFE=15°，∵∠AFC=45°，∠CFH=∠AFC﹣∠AFH=30°，在RT△CHF中，∵∠CFH=30°，CF=2﹣2，∴FH=CF•cos30°=（2﹣2）•=3﹣．∴点F到BC的距离为3﹣．，平行四边形ABOC如图放置，点A、C的坐标分别是(0，4)、（－1，0），将此平行四边形绕点O 顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′．(1)若抛物线过点C、A、A′，求此抛物线的解析式；(2)点M是第一象限内抛物线上的一动点，问：当点M在何处时，△AMA′的面积最大？最大面积是多少？并求出此时M的坐标；(3)若P为抛物线上的一动点，N为x轴上的一动点，点Q坐标为(1，0)，当P、N、B、Q构成平行四边形时，求点P的坐标，当这个平行四边形为矩形时，求点N的坐标．【知识点】平行四边形——平行四边形的性质、旋转——旋转的性质、二次函数——确定二次函数的表达式（待定系数法）、函数与几何动态——运动产生的面积问题及运动产生的特殊四边形问题、分类讨论思想、实际问题与数学建模——函数模型【思路分析】（1）先由OA ′＝OA 得到点A ′的坐标，再用点C 、A 、A ′的坐标即可求此抛物线的解析式；（2）连接AA ′, 过点M 作MN ⊥x 轴，交AA ′于点N ,把△AMA ′分割为△AMN 和△A ′MN , △AMA ′的面积＝△AMA ′的面积＋△AMN 的面积＝12OA ′•MN ,设点M 的横坐标为x ，借助抛物线的解析式和AA ′的解析式，建立MN 的长关于x 的函数关系式，再据此建立△AMA ′的面积关于x 的二次函数关系式，再求△AMA ′面积的最大值以及此时M 的坐标；（3）在P 、N 、B 、Q 这四个点中，B 、Q 这两个点是固定点，因此可以考虑将BQ 作为边、将BQ 作为对角线分别构造符合题意的图形，再求解.【解答】解：(1)∵ ABOC 绕点O 顺时针旋转90°，得到平行四边形A ′B ′OC ′，点A 的坐标是(0，4)，∴点A ′的坐标为(4，0)，点B 的坐标为(1，4).∵抛物线过点C ，A ，A ′，设抛物线的函数解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0),可得： ⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝0c ＝416a ＋ 4b ＋c ＝0. 解得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝3c ＝4.∴抛物线的函数解析式为y ＝－x 2＋3x ＋4.(2)连接AA ′，设直线AA ′的函数解析式为y ＝kx ＋b ，可得⎩⎨⎧0＋b ＝414k ＋b ＝0.解得：⎩⎨⎧k ＝－1b ＝4.∴直线AA '的函数解析式是y ＝－x ＋4.设M (x ，－x 2＋3x ＋4)，S △AMA ′＝12×4×[－x 2＋3x ＋4一(一x ＋4)]＝一2x 2＋8x ＝一2(x －2)2＋8.∴x ＝2时，△AMA ′的面积最大S △AMA ′＝8．∴M (2，6).(3)设P 点的坐标为（x ，－x 2＋3x ＋4），当P 、N 、B 、Q 构成平行四边形时，①当BQ 为边时，PN ∥BQ 且PN ＝BQ ，∵BQ ＝4，∴一x 2＋3x ＋4＝±4.当一x 2＋3x ＋4＝4时，x 1＝0，x 2＝3，即P 1(0,4)，P 2(3，4)；当一x 2＋3x ＋4＝一4时，x 3＝3＋412，x 4＝3－412，即P 3(3＋412,－4)，P 4(3－412，－4)； ②当BQ 为对角线时，PB ∥x 轴，即P 1(0，4)，P 2(3，4);当这个平行四边形为矩形时，即P l (0，4)，P 2(3，4)时，N 1(0，0)，N 2(3，0).综上所述，当P 1(0，4)，P 2(3，4)，P 3(3＋412,－4)，P 4(3－412，－4)时，P 、N 、B 、Q 构成平行四边形；当这个平行四边形为矩形时，N 1(0，0)，N 2(3，0).24.如图1，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC ＝ 90°，AB ＝AC ，四边形ADEF 是正方形，点B 、C 分别在边AD 、AF 上，此时BD ＝CF ，BD ⊥CF 成立．(1)当△ABC 绕点A 逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD ＝CF 成立吗？若成立，请。

浙江省2019届中考数学复习微专题训练(打包10套,Word版,含答案)

微专题一数形结合与实数的运算姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟1．两个实数互为相反数，在数轴上的对应点分别是点A 、点B ，则下列说法正确的是( ) A ．原点在点A 的左边 B ．原点在线段AB 的中点处 C ．原点在点B 的右边D ．原点可以在点A 或点B 上2．(2018·浙江绍兴模拟)计算－(2)2＋(2＋π)0＋(－12)－2的结果是( )A ．1B ．2C.114D ．33．定义一种新运算☆，其规则为a☆b＝1a ＋1b ，根据这个规则，计算2☆3的值是( )A.56B.15C ．5D ．64．如图，数轴上的A ，B ，C ，D 四点中，与表示数－3的点最接近的是( )A ．点AB ．点BC ．点CD ．点D5．若实数a 满足|a －12|＝32，则a 对应于图中数轴上的点可以是A ，B ，C 三点中的点______.6．计算：8－|2－22|＋2tan 45°＝______．7．(2019·创新题)按所给程序计算：输入x ＝3，则输出的答案是________.输入x →立方→－x →÷2→答案8．观察下列各式： 11×2＝1－12＝12； 11×2＋12×3＝1－12＋12－13＝23； 11×2＋12×3＋13×4＝1－12＋12－13＋13－14＝34； …按以上规律，写出第n 个式子的计算结果(n 为正整数)____．(写出最简计算结果即可) 9．设S 1＝1＋112＋122，S 2＝1＋122＋132，S 3＝1＋132＋142，…，S n ＝1＋1n 2＋1（n ＋1）2.设S ＝S 1＋S 2＋…＋S n ，则S ＝____(用含n 的代数式表示，其中n 为正整数). 10．设a n 为正整数n 4的末位数，如a 1＝1，a 2＝6，a 3＝1，a 4＝6.则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 017＋a 2 018＋a 2 019＝______________．11．(2019·创新题)有一数值转换器，原理如图所示，若开始输入x 的值是5，可发现第1次输出的结果是8，第2次输出的结果是4…则第2 018次输出的结果是______.12．(2019·改编题)计算：2－2＋(327－146)÷6－3sin 45°.13．计算：(13)－1－|－2＋3tan 45°|＋(2－2 018)0－(2－3)(2＋3)．14．如图，点A ，B 在数轴上分别表示有理数a ，b ，且A ，B 两点之间的距离表示为AB ，在数轴上A ，B 两点之间的距离AB ＝|a －b|.回答下列问题：(1)在数轴上表示2和5的两点之间的距离是________，在数轴上表示1和－3的两点之间的距离是________；(2)在数轴上表示x 和－5的两点之间的距离是________；(3)若x 表示一个有理数，则|x －1|＋|x ＋3|有最小值吗？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由．15．我们知道，一元二次方程x 2＝－1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于－1.若我们规定一个新数“i ”，使其满足i 2＝－1(即方程x 2＝－1有一个根为i )，并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有i 1＝i ，i2＝－1，i 3＝i 2·i ＝(－1)·i ＝－i ，i 4＝(i 2)2＝(－1)2＝1，从而对于任意正整数n ，我们可以得到i4n ＋1＝i 4n ·i ＝(i 4)n ·i ＝i ，同理可得i4n ＋2＝－1，i4n ＋3＝－i ，i 4n ＝1.求i ＋i 2＋i3＋i 4＋…＋i 2 018＋i 2 019的值．参考答案1．D 2.D 3.A 4.B5．B 6.4 7.12 8.nn＋19.n2＋2nn＋110．6 666 11.412．解：原式＝4＋3276－14－3×22＝4＋922－14－322＝154＋3 2.13．解：原式＝3－(2－3)＋1－(2－3)＝3－2＋3＋1－(－1)＝3＋ 3.14．解：(1)3 4(2)|x＋5|(3)根据绝对值的定义知|x－1|＋|x＋3|可表示点x到表示1与－3的两点的距离之和．根据几何意义分析可知当x在－3与1之间时，|x－1|＋|x＋3|有最小值4.15．解：由题意得，i1＝i，i2＝－1，i3＝－i，i4＝1，i5＝i4·i＝i，i6＝i5·i＝－1，故可发现4个一循环，一个循环内的和为0.∵2 019÷4＝504 (3)∴i＋i2＋i3＋i4＋…＋i2 018＋i2 019＝504×0＋(i－1－i)＝－1.微专题二代数式的化简与求值姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟1．下列运算正确的是( ) A ．x －2x ＝－x B ．2x －y ＝－xy C ．x 2＋x 2＝x 4D ．(x －1)2＝x 2－12．(2018·浙江丽水模拟)已知1a －1b ＝13，则2aba －b 的值是( )A.16B ．－16C ．6D ．－63．实数a 在数轴上的位置如图所示，则（a －4）2＋（a －11）2化简后为( )A ．7B ．－7C ．2a －15D ．无法确定4．已知m ＝1＋2，n ＝1－2，则代数式m 2＋n 2－3mn 的值为( ) A ．9B ．±3C ．3D ．55．已知2a －3b ＝7，则8＋6b －4a ＝________. 6．已知a<0，化简：4－（a ＋1a）2－4＋（a －1a）2＝________.7．若1（2n －1）（2n ＋1）＝a 2n －1＋b2n ＋1，对任意自然数n 都成立，则a ＝____，b ＝______；计算：m ＝11×3＋13×5＋15×7＋…＋119×21＝____.8．(2019·改编题)若m 2＝n ＋2，n 2＝m ＋2(m≠n)，则m 3－2mn ＋n 3的值为________. 9. 先化简，再求值：(x ＋2)(x －2) ＋x(1－x)，其中x ＝－1.10．化简：(a ＋1a －1－a a ＋1)÷3a ＋1a 2＋a11．已知A ＝x 2＋2x ＋1x －1－xx －1.(1)化简A.(2)当x 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －3<0，且x 为整数时，求A 的值．12．先化简，再求值：m 2－4m ＋4m －1÷(3m －1－m －1)，其中m ＝2－2.13．为鼓励学生努力学习，某校拿出了b 元资金作为奖学金，其中一部分作为奖学金发给了n 个学生．奖金分配方案如下：首先将n 个学生按学习成绩、思想道德评价(假设n 个学生的综合评分均不相同)从高到低，由1到n 排序，第1位学生得奖金bn 元，然后再将余额除以n 发给第2位学生，按此方法将奖金逐一发给了n 个学生．(1)假设第k 个学生得到的奖金为a k 元(1≤k≤n)，试用k ，n 和b 表示a k .(2)比较a k 和a k ＋1的大小(k ＝1，2，…，n －1)，并解释此结果就奖学金设置原则的合理性．参考答案1．A 2.D 3.A 4.C 5．－6 6.－2 7.1021 8.－29．解：原式＝x 2－4＋x －x 2＝x －4. 当x ＝－1时，原式＝－1－4＝－5. 10．解：原式＝[（a ＋1）2（a －1）（a ＋1）－a （a －1）（a －1）（a ＋1）]·a 2＋a 3a ＋1 ＝a 2＋2a ＋1－a 2＋a （a －1）（a ＋1）·a （a ＋1）3a ＋1＝3a ＋1（a －1）（a ＋1）·a （a ＋1）3a ＋1＝aa －1. 11．解：(1)A ＝x 2＋2x ＋1x 2－1－xx －1＝（x ＋1）2（x ＋1）（x －1）－xx －1 ＝x ＋1x －1－x x －1＝1x －1. (2)解x －1≥0，得x≥1；解x －3<0，得x<3，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －3<0的解为1≤x<3. ∵x 为整数，∴x＝1，2. 当x ＝1时，分式无意义．当x ＝2时，A ＝12－1＝1. 12．解：原式＝（m －2）2m －1÷3－m 2＋1m －1＝（m －2）2m －1÷（2＋m ）（2－m ）m －1＝（m －2）2m －1×m －1（2＋m ）（2－m ）＝2－m 2＋m .当m ＝2－2时，原式＝2－2＋22＋2－2＝4－22＝22－1.13．解：(1)a k ＝b n (1－1n )k －1.(2)∵a k ＝b n (1－1n )k －1，a k ＋1＝b n (1－1n )k，∴a k ＋1＝(1－1n)a k <a k ，说明排名越靠前获得的奖学金越多．微专题三列方程(组)解应用题姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟1．某商品连续两次降价10%后的价格是81元，则该商品原来的价格是( ) A ．100元 B ．90元C ．810元D ．819元2．一商店在某一时间以每件120元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利20%，另一件亏损20%，在这次买卖中，这家商店( ) A ．不盈不亏 B ．盈利20元 C ．亏损10元D ．亏损30元3．中央电视台2套“开心辞典”栏目中，有一期的题目如图所示，两个天平都平衡，则三个球体的重量等于( )个正方体的重量．A ．2B ．3C ．4D ．54．夏季来临，某超市试销A ，B 两种型号的风扇，两周内共销售30台，销售收入5 300元，A 型风扇每台200元，B 型风扇每台150元，问A ，B 两种型号的风扇分别销售了多少台？若设A 型风扇销售了x 台，B 型风扇销售了y 台，则根据题意列出方程组为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝5 300200x ＋150y ＝30B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝5 300150x ＋200y ＝30 C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝30200x ＋150y ＝5 300 D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝30150x ＋200y ＝5 300 5．滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如表：费相同，那么这两辆滴滴快车的行车时间相差( ) A ．10分钟 B ．13分钟 C ．15分钟D ．19分钟6．七、八年级学生分别到雷锋、毛泽东纪念馆参观，共589人，到毛泽东纪念馆的人数是到雷锋纪念馆人数的2倍多56人．设到雷锋纪念馆的人数为x人，可列方程为__________________________．7．我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样一道题：一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托．如果1托为5尺，那么索长为________尺，竿子长为________尺．8．《孙子算经》中有这样一道题，原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三家共一鹿，适尽，问：城中家几何？大意为：今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完，问：城中有多少户人家？请解答上述问题．9．在端午节来临之际，某商店订购了A型和B型两种粽子，A型粽子28元/千克，B型粽子24元/千克，若B型粽子的数量比A型粽子的2倍少20千克，购进两种粽子共用了2 560元，求两种型号粽子各多少千克．10．在美丽乡村建设中，某县通过政府投入进行村级道路硬化和道路拓宽改造．(1)原计划今年1至5月，村级道路硬化和道路拓宽的里程数共50千米，其中道路硬化的里程数至少是道路拓宽的里程数的4倍，那么，原计划今年1至5月，道路硬化的里程数至少是多少千米？(2)到今年5月底，道路硬化和道路拓宽的里程数刚好按原计划完成，且道路硬化的里程数正好是原计划的最小值.2017年通过政府投入780万元进行村级道路硬化和道路拓宽的里程数共45千米，每千米的道路硬化和道路拓宽的经费之比为1∶2，且里程数之比为2∶1.为加快美丽乡村建设，政府决定加大投入．经测算：从今年6月起至年底，如果政府投入经费在2017年的基础上增加10a%(a ＞0)，并全部用于道路硬化和道路拓宽，而每千米道路硬化、道路拓宽的费用也在2017年的基础上分别增加a%，5a%，那么道路硬化和道路拓宽的里程数将会在今年1至5月的基础上分别增加5a%，8a%，求a 的值．参考答案1．A 2.C 3.D 4.C 5.D 6．2x ＋56＝589－x 7.20 15 8．解：设城中有x 户人家．依题意得x ＋x3＝100，解得x ＝75.答：城中有75户人家．9．解：设订购了A 型粽子x 千克，B 型粽子y 千克，根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －20，28x ＋24y ＝2 560，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝40，y ＝60.答：订购了A 型粽子40千克，B 型粽子60千克．10．解：(1)设道路硬化的里程数是x 千米，则道路拓宽的里程数是(50－x)千米．根据题意得x≥4(50－x)，解得x≥40.答：原计划今年1至5月，道路硬化的里程数至少是40千米．(2)设2017年通过政府投人780万元进行村级道路硬化和道路拓宽的里程数分别为2x 千米，x 千米，2x ＋x ＝45，x ＝15，2x ＝30，设每千米的道路硬化和道路拓宽的经费分别为y 万元，2y 万元， 30y ＋15×2y＝780，y ＝13， 2y ＝26，由题意得13(1＋a%)·40(1＋5a%)＋26(1＋5a%)·10(1＋8a%)＝780(1＋10a%)，设a%＝m ，则520(1＋m)(1＋5m)＋260(1＋5m)(1＋8m)＝780(1＋10m)， 10m 2－m ＝0，m 1＝0.1，m 2＝0(舍去)， ∴a＝10.微专题四反比例函数、二次函数图象与性质的综合应用姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟1．如图，若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)图象的对称轴为x ＝1，与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A ，点B(－1，0)，则 ①二次函数的最大值为a ＋b ＋c ； ②a－b ＋c ＜0； ③b 2－4ac ＜0；④当y ＞0时，－1＜x ＜3.其中正确的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．42．如图，点D 为矩形OABC 的AB 边的中点，反比例函数y ＝kx (x ＞0)的图象经过点D ，交BC边于点E.若△BDE 的面积为1，则k ＝______．3．如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y(单位：m )与飞行时间x(单位：s )之间具有函数关系y ＝－5x 2＋20x ，请根据要求解答下列问题：(1)在飞行过程中，当小球的飞行高度为15 m 时，飞行时间是多少？ (2)在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？ (3)在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？4．参照学习函数的过程与方法，探究函数y ＝x －2x 的图象与性质．因为y ＝x －2x ＝1－2x ，即y ＝－2x ＋1，所以我们对比函数y ＝－2x 来探究．列表：描点：在平面直角坐标系中，以自变量x 的取值为横坐标，以y ＝x －2x 相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示：(1)请把y 轴左边各点和右边各点，分别用一条光滑曲线顺次连结起来； (2)观察图象并分析表格，回答下列问题：①当x ＜0时，y 随x 的增大而________；(填“增大”或“减小”) ②y＝x －2x 的图象是由y ＝－2x 的图象向______平移______个单位而得到；③图象关于点______________中心对称．(填点的坐标)(3)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)是函数y ＝x －2x 的图象上的两点，且x 1＋x 2＝0，试求y 1＋y 2＋3的值．5.为了支持大学生创业，某市政府出台了一项优惠政策：提供10万元的无息创业贷款．小王利用这笔贷款，注册了一家淘宝网店，招收5名员工，销售一种火爆的电子产品，并约定用该网店经营的利润，逐月偿还这笔无息贷款．已知该产品的成本为每件4元，员工每人每月的工资为4千元，该网店还需每月支付其他费用1万元．该产品每月销售量y(万件)与销售单价x(元)之间的函数关系如图所示．(1)求该网店每月利润w(万元)与销售单价x(元)之间的函数表达式；(2)小王自网店开业起，最快在第几个月可还清10万元的无息贷款？6．如图，四边形ABCD 的四个顶点分别在反比例函数y ＝m x 与y ＝nx (x ＞0，0＜m ＜n)的图象上，对角线BD∥y 轴，且BD⊥AC 于点P.已知点B 的横坐标为4. (1)当m ＝4，n ＝20时．①若点P 的纵坐标为2，求直线AB 的函数表达式；②若点P 是BD 的中点，试判断四边形ABCD 的形状，并说明理由；(2)四边形ABCD 能否成为正方形？若能，求此时m ，n 之间的数量关系；若不能，试说明理由．参考答案1．B 2.43．解：(1)当y ＝15时，15＝－5x 2＋20x ，解得x 1＝1，x 2＝3，答：在飞行过程中，当小球的飞行高度为15 m 时，飞行时间是1 s 或3 s. (2)当y ＝0时，0＝－5x 2＋20x ，解得x 1＝0，x 2＝4 ∵4－0＝4，∴在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是4 s. (3)y ＝－5x 2＋20x ＝－5(x －2)2＋20， ∴当x ＝2时，y 取得最大值，此时，y ＝20，答：在飞行过程中，小球飞行高度在第2 s 时最大，最大高度是20 m. 4．解：(1)画出函数图象如图所示．(2)①增大 ②上 1 ③(0，1) (3)∵x 1＋x 2＝0，∴x 1＝－x 2.∴A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)关于(0，1)对称， ∴y 1＋y 2＝2， ∴y 1＋y 2＋3＝5.5．解：(1)设直线AB 的表达式为y ＝kx ＋b ，代入A(4，4)，B(6，2)得⎩⎪⎨⎪⎧4k ＋b ＝4，6k ＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝8，∴直线AB 的表达式为y ＝－x ＋8.同理代入B(6，2)，C(8，1)可得直线BC 的表达式为y ＝－12x ＋5.∵工资及其他费用为0.4×5＋1＝3(万元)，∴当4≤x≤6时，w 1＝(x －4)(－x ＋8)－3＝－x 2＋12x －35，当6<x≤8时，w 2＝(x －4)(－12x ＋5)－3＝－12x 2＋7x －23.(2)当4≤x≤6时，w 1＝－x 2＋12x －35＝－(x －6)2＋1， ∴当x ＝6时，w 1取最大值是1. 当6<x≤8时，w 2＝－12x 2＋7x －23＝－12(x －7)2＋32，当x ＝7时，w 2取最大值是32.∴1032＝203＝623，即最快在第7个月可还清10万元的无息贷款． 6．解：(1)①∵m＝4，∴反比例函数为y ＝4x .当x ＝4时，y ＝1，∴B(4，1)．当y ＝2时，2＝4x ，∴x＝2，∴A(2，2)．设直线AB 的表达式为y ＝kx ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋b ＝2，4k ＋b ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－12，b ＝3，∴直线AB 的表达式为y ＝－12x ＋3.②四边形ABCD 是菱形．理由如下：如图，由①知，B(4，1)．∵BD∥y 轴，∴D(4，5)．∵点P 是线段BD 的中点，∴P(4，3)．当y ＝3时，由y ＝4x 得x ＝43，由y ＝20x 得x ＝203，∴PA＝4－43＝83，PC ＝203－4＝83，∴PA＝PC.∵PB＝PD ，∴四边形ABCD 为平行四边形． ∵BD⊥AC，∴四边形ABCD 是菱形． (2)四边形ABCD 能是正方形．理由如下：当四边形ABCD 是正方形时， PA ＝PB ＝PC ＝PD ＝t(t≠0)．当x ＝4时，y ＝m x ＝m4，∴B(4，m4)，∴A(4－t ，m 4＋t)，∴(4－t)(m4＋t)＝m ，∴t＝4－m 4，∴点D 的纵坐标为m 4＋2t ＝m 4＋2(4－m 4)＝8－m4，∴D(4，8－m 4)，∴4(8－m4)＝n ，∴m＋n ＝32.微专题五以特殊三角形为背景的计算与证明姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟1．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，E 为AB 边的中点，以BE 为边作等边△BDE，连结AD ，CD. (1)求证：△ADE≌△CDB；(2)若BC ＝3，在AC 边上找一点H ，使得BH ＋EH 最小，并求出这个最小值．2．如图，在等边△ABC 中，点D ，E ，F 分别同时从点A ，B ，C 出发，以相同的速度在AB ，BC ，CA 上运动，连结DE ，EF ，DF. (1)证明：△DEF 是等边三角形；(2)在运动过程中，当△CEF 是直角三角形时，试求S △DEFS △ABC的值．3．从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．(1)如图1，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，求证：CD为△ABC的完美分割线；(2)在△ABC中，∠A＝48°，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB 的度数；(3)如图2，在△ABC中，AC＝2，BC＝2，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．4．如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点P为射线BD，CE的交点．(1)求证：BD＝CE；(2)若AB＝2，AD＝1，把△ADE绕点A旋转，当∠EAC＝90°时，求PB的长．5．如图，直角△ABC中，∠A为直角，AB＝6，AC＝8.点P，Q，R分别在AB，BC，CA边上同时开始作匀速运动，2秒后三个点同时停止运动，点P由点A出发以每秒3个单位的速度向点B运动，点Q由点B出发以每秒5个单位的速度向点C运动，点R由点C出发以每秒4个单位的速度向点A运动，在运动过程中：(1)求证：△APR，△BPQ，△CQR的面积相等；(2)求△PQR面积的最小值；(3)用t(秒)(0≤t≤2)表示运动时间，是否存在t，使∠PQR＝90°？若存在，请直接写出t 的值；若不存在，请说明理由．6．问题：(1)如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点(不与点B，C重合)，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连结EC，则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为________；探索：(2)如图2，在Rt△ABC与Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，使点D落在BC边上，试探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论；应用：(3)如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠A DC＝45°.若BD＝9，CD＝3，求AD的长．参考答案1．(1)证明：在Rt△ABC 中，∠BAC＝30°，E 为AB 边的中点， ∴BC＝EA ，∠ABC＝60°. ∵△DEB 为等边三角形，∴DB＝DE ，∠DEB＝∠DBE＝60°， ∴∠DEA＝120°，∠DBC＝120°， ∴∠DEA＝∠DBC， ∴△ADE≌△CDB.(2)解：如图，作点E 关于直线AC 对称点E′，连结BE′交AC 于点H ，连结EH ，AE′，则点H 即为符合条件的点．由作图可知，EH ＝HE′，AE′＝AE ，∠E′AC＝∠BAC＝30°， ∴∠EAE′＝60°，∴△EAE′为等边三角形， ∴EE′＝EA ＝12AB ，∴∠AE′B＝90°.在Rt△ABC 中，∠BAC＝30°，BC ＝3， ∴AB＝23，AE′＝AE ＝3，∴BE′＝AB 2－AE′2＝（23）2－（3）2＝3， ∴BH＋EH 的最小值为3.2．(1)证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB ＝BC ＝CA. ∵AD＝BE ＝CF ，∴BD＝CE ＝AF. 在△ADF，△BED 和△CFE 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝BE ＝CF ，∠A＝∠B＝∠C，AF ＝BD ＝CE ，∴△ADF≌△BED≌△CFE， ∴FD＝DE ＝EF ， ∴△DEF 是等边三角形．(2)解：∵△ABC 和△DEF 是等边三角形，∴△DEF∽△ABC.当DE⊥BC 时(EF⊥BC 时，同理)，∠BDE＝30°， ∴BE＝12BD ，即BE ＝13BC ，CE ＝23BC.∵EF＝EC·sin 60°＝23BC·32＝33BC ，∴S △DEF S △ABC ＝(EF BC )2＝(33)2＝13. 3．(1)证明：∵∠A＝40°，∠B＝60°， ∴∠ACB＝80°，∴△ABC 不是等腰三角形． ∵CD 平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝12∠ACB＝40°，∴∠ACD＝∠A＝40°， ∴△ACD 为等腰三角形．∵∠DCB＝∠A＝40°，∠CBD＝∠ABC， ∴△BCD∽△BAC，∴CD 是△ABC 的完美分割线． (2)解：①当AD ＝CD 时，如图，则∠ACD＝∠A＝48°.∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD＝∠A＝48°， ∴∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝96°. ②当AD ＝AC 时，如图，则∠ACD＝∠ADC＝180°－48°2＝66°.∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD＝∠A＝48°， ∴∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝114°. ③当AC ＝CD 时，如图，则∠ADC ＝∠A＝48°.∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD＝∠A＝48°. ∵∠ADC＝∠BCD＝48°与∠ADC>∠BCD 矛盾， ∴AC＝CD 不成立．综上所述，∠ACB＝96°或114°. (3)解：由已知得AD ＝AC ＝2. ∵△BCD∽△BAC，∴BC BA ＝BD BC ＝CDAC .设BD ＝x(x>0)，则(2)2＝x(x ＋2)，解得x ＝3－1(负值舍去)， ∴CD AC ＝BD BC ＝3－12， ∴CD＝3－12×2＝6－ 2. 4．(1)证明：∵△ABC 和△ADE 是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴AB＝AC ，AD ＝AE ，∠DAB＝∠EAC， ∴△ADB≌△AEC，∴BD＝CE.(2)解：如图，①当点E 在AB 上时，BE ＝AB －AE ＝1.∵∠EAC＝90°，∴CE＝AE 2＋AC 2＝ 5. 同(1)可证△ADB≌△AEC， ∴∠DBA＝∠ECA.∵∠PEB＝∠AEC，∴△PEB∽△AEC， ∴PB AC ＝BE CE ，∴PB 2＝15，∴PB＝255. ②如图，当点E 在BA 延长线上时，BE ＝3.∵∠EAC＝90°，∴CE＝AE 2＋AC 2＝ 5. 同(1)可证△ADB≌△AEC， ∴∠DBA＝∠ECA.∵∠BEP＝∠CEA，∴△PEB∽△AEC， ∴PB AC ＝BE CE ，∴PB 2＝35，∴PB＝655. 综上所述，PB 的长为255或655.5．(1)证明：在Rt△ABC 中，AB ＝6，AC ＝8， ∴BC＝10，sin∠B＝AC BC ＝810＝45，sin∠C＝35.如图，过点Q 作QE⊥AB 于点E ，作QD⊥AC 于点D.在Rt△BQE 中，BQ ＝5t ， ∴sin∠B＝QE BQ ＝45，∴QE＝4t.在Rt△CDQ 中，CQ ＝BC －BQ ＝10－5t ， ∴QD＝CQ·sin∠C＝35(10－5t)＝3(2－t)，QE ＝BQ·sin∠B＝5t·45＝4t.由运动知AP ＝3t ，CR ＝4t ，∴BP＝AB －AP ＝6－3t ＝3(2－t)，AR ＝AC －CR ＝8－4t ＝4(2－t)， ∴S △APR ＝12AP·AR＝12×3t×4(2－t)＝6t(2－t)，S △BPQ ＝12BP·QE＝12×3(2－t)×4t＝6t(2－t)，S △CQR ＝12CR·QD＝12×4t×3(2－t)＝6t(2－t)，∴S △APR ＝S △BPQ ＝S △CQR ，∴△APR，△BPQ，△CQR 的面积相等．(2)解：由(1)知，S △APR ＝S △BPQ ＝S △CQR ＝6t(2－t)． ∵AB＝6，AC ＝8，∴S △PQR ＝S △ABC －(S △APR ＋S △B PQ ＋S △CQR ) ＝12×6×8－3×6t(2－t)＝24－18(2t －t 2) ＝18(t －1)2＋6.∵0≤t≤2，∴当t ＝1时，S △PQR 最小＝6.(3)解：存在．由(1)知QE ＝4t ，QD ＝3(2－t)，AP ＝3t ，CR ＝4t ，AR ＝4(2－t)， ∴BP＝AB －AP ＝6－3t ＝3(2－t)， AR ＝AC －CR ＝8－4t ＝4(2－t)． ∵∠A＝90°，∴四边形AEQD 是矩形， ∴AE＝DQ ＝3(2－t)，AD ＝QE ＝4t ， ∴DR＝|AD －AR|＝|4t －4(2－t)| ＝|4(2t －2)|，PE ＝|AP －AE|＝|3t －3(2－t)| ＝|3(2t －2)|.∵∠DQE＝90°，∠PQR＝90°， ∴∠DQR＝∠EQP， ∴tan∠DQR＝tan∠EQP. 在Rt△DQR 中，tan∠DQR＝DR DQ ＝4|2t －2|3（2－t ），在Rt△EQP 中，tan∠EQP＝PE QE ＝3|2t －2|4t ，∴4|2t －2|3（2－t ）＝3|2t －2|4t ， ∴t＝1825或1.6．解：(1) BC ＝DC ＋EC (2)BD 2＋CD 2＝2AD 2，理由如下：如图，连结CE.∵∠BAC＝∠BAD＋∠DAC＝90°，∠DAE＝∠CAE＋∠DAC＝90°， ∴∠BAD＝∠CAE. 在△BAD 与△CAE 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠BAD＝∠CAE，AD ＝AE ， ∴△BAD≌△CAE， ∴BD＝CE ，∠ACE＝∠B， ∴∠DCE＝90°，∴CE 2＋CD 2＝ED 2. 在Rt△ADE 中，AD 2＋AE 2＝ED 2，AD ＝AE ， ∴BD 2＋CD 2＝ED 2，ED ＝2AD ， ∴BD 2＋CD 2＝2AD 2.(3)如图，作AE⊥AD，使AE ＝AD ，连结CE ，DE.∵∠BAC＋∠CAD＝∠DAE＋∠CAD，即∠BAD＝∠CAE. 在△BAD 与△CAE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠BAD＝∠CAE，AD ＝AE ，∴△BAD≌△CAE(SAS)，∴BD＝CE ＝9. ∵∠ADC＝45°，∠EDA＝45°，∴∠EDC＝90°，∴DE＝CE 2－CD 2＝6 2. ∵∠DAE＝90°，∴AD ＝AE ＝22DE ＝6.微专题六以特殊四边形为背景的计算与证明姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟1．如图，在四边形ABCD中，BC＝CD，∠C＝2∠BAD.O是四边形ABCD内一点，且OA＝OB＝OD.求证：(1)∠BOD＝∠C；(2)四边形OBCD是菱形．2．如图，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，且AF＝CD，连结CF.(1)求证：△AEF≌△DEB；(2)若AB＝AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．3．如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E，F分别在AB，BC上(AE＜BE)，且∠EOF＝90°，OE，DA的延长线交于点M，OF，AB的延长线交于点N，连结MN.(1)求证：OM＝ON；(2)若正方形ABCD的边长为4，E为OM的中点，求MN的长．4．如图，点E，F分别是矩形ABCD的边AD，AB上一点，若AE＝DC＝2ED，且EF⊥EC.(1)求证：点F为AB的中点；(2)延长EF与CB的延长线相交于点H，连结AH，已知ED＝2，求AH的值．5．问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的剪拼”为主题开展数学活动．如图1，将矩形纸片ABCD沿对角线AC剪开，得到△ABC和△ACD.并且量得AB＝2 cm，AC＝4 cm.操作发现：(1)将图1中的△ACD以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转∠α，使∠α＝∠BAC，得到如图2所示的△AC′D，过点C作AC′的平行线，与DC′的延长线交于点E，则四边形ACEC′的形状是________；(2)创新小组将图1中的△ACD以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转，使B，A，D三点在同一条直线上，得到如图3所示的△AC′D，连结CC′，取CC′的中点F，连结AF并延长至点G，使FG＝AF，连结CG，C′G，得到四边形ACGC′，发现它是正方形，请你证明这个结论；实践探究：(3)缜密小组在创新小组发现结论的基础上，进行如下操作：将△ABC沿着BD方向平移，使点B与点A重合，此时A点平移至A′点，A′C与BC′相交于点H，如图4所示，连结CC′，试求tan∠C′CH的值．参考答案1．证明：(1)如图，延长AO 到E. ∵OA＝OB ，∴∠ABO＝∠BAO. 又∠BOE＝∠ABO＋∠BAO， ∴∠BOE＝2∠BAO. 同理∠DOE＝2∠DAO，∴∠BOE＋∠DOE＝2∠BAO＋2∠DAO＝2(∠BAO＋∠DAO)，即∠BOD＝2∠BAD.又∠C＝2∠BAD，∴∠BOD＝∠C.(2)如图，连结OC.∵OB＝OD ，CB ＝CD ，OC ＝OC ， ∴△OBC≌△ODC，∴∠BOC＝∠DOC，∠BCO＝∠DCO. ∵∠BOD＝∠BOC＋∠DOC， ∠BCD＝∠BCO＋∠DCO，∴∠BOC＝12∠BOD，∠BCO＝12∠BCD.又∠BOD＝∠BCD，∴∠BOC＝∠BCO，∴BO＝BC. 又OB ＝OD ，BC ＝CD ， ∴OB＝BC ＝CD ＝DO ， ∴四边形OBCD 是菱形．2．证明：(1)∵E 是AD 的中点，∴AE＝DE. ∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，∠EAF＝∠EDB， ∴△AEF≌△DEB (AAS)． (2)如图，连结DF.∵AF∥CD，AF＝CD，∴四边形ADCF是平行四边形．∵△AEF≌△DEB，∴BE＝FE.∵AE＝DE，∴四边形ABDF是平行四边形，∴DF＝AB.∵AB＝AC，∴DF＝AC，∴四边形ADCF是矩形．3．(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴OA＝OB，∠DAO＝45°，∠OBA＝45°，∴∠OAM＝∠OBN＝135°.∵∠EOF＝90°，∠AOB＝90°，∴∠AOM＝∠BON，∴△OAM≌△OBN(ASA)，∴OM＝ON. (2)解：如图，过点O作OH⊥AD于点H.∵正方形的边长为4，∴OH＝HA＝2.∵E为OM的中点，∴HM＝4，则OM＝22＋42＝25，∴MN＝2OM＝210.4．(1)证明：∵EF⊥EC，∴∠CEF＝90°，∴∠AEF＋∠DEC＝90°.∵四边形ABCD是矩形，∴∠AEF＋∠AFE＝90°，∠DEC＋∠DCE＝90°，∴∠AEF＝∠DCE，∠AFE＝∠DEC.∵AE＝DC ，∴△AEF≌△DCE. ∴ED＝AF.∵AE＝DC ＝AB ＝2DE ，∴AB＝2AF ，∴F 是AB 的中点． (2)解：由(1)得AF ＝FB ，且AE∥BH， ∴∠FBH＝∠FAE＝90°，∠AEF＝∠FHB， ∴△AEF≌△BHF，∴HB＝AE. ∵ED＝2，且AE ＝2ED ，∴AE＝4， ∴HB＝AB ＝AE ＝4，∴AH 2＝AB 2＋BH 2＝16＋16＝32， ∴AH＝4 2. 5．解：(1)菱形(2)在图1中，∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB∥CD，∴∠CAD＝∠ACB，∠B＝90°， ∴∠BAC＋∠ACB＝90°.在图3中，由旋转知，∠DAC′＝∠DAC， ∴∠ACB＝∠DAC′， ∴∠BAC＋∠DAC′＝90°. ∵点D ，A ，B 在同一条直线上， ∴∠CAC′＝90°. 由旋转知，AC ＝AC′.∵点F 是CC′的中点，∴AG⊥CC′，CF ＝C′F. ∵AF＝FG ，∴四边形ACGC′是平行四边形． ∵AG⊥CC′，∴四边形ACGC′是菱形． ∵∠CAC′＝90°， ∴菱形ACGC′是正方形．(3)在Rt△ABC 中，AB ＝2，AC ＝4， ∴BC′＝AC ＝4，BD ＝BC ＝23， sin ∠ACB＝AB AC ＝12，∴∠ACB＝30°.由(2)结合平移知，∠CHC′＝90°.在Rt△BCH 中，∠ACB＝30°， ∴BH＝BC·sin 30°＝3， ∴C′H＝BC′－BH ＝4－ 3. 在Rt△ABH 中，AH ＝12AB ＝1，∴CH＝AC －AH ＝4－1＝3，在Rt△CHC′中，tan ∠C′CH＝C′H CH ＝4－33.微专题七与圆有关的计算与证明姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟1．若将半径为12 cm 的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径是( ) A ．2 cmB ．3 cmC ．4 cmD ．6 cm2．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，若将△AOC 绕点O 顺时针旋转90°得到△BOD，则AB ︵的长为( )A ．πB.32πC ．3πD ．6π3. 如图，已知⊙O 的半径是2，点A ，B ，C 在⊙O 上，若四边形OABC 为菱形，则图中阴影部分的面积为( )A.23π－2 3 B.23π－ 3 C.43π－2 3D.43π－ 3 4．一般地，如果在一次试验中，结果落在区域D 中每一个点都是等可能的，并用A 表示“试验结果落在区域D 中的某个小区域M 中”这个事件，那么事件A 发生的概率为P A ＝MD .如图，现在往等边三角形ABC 内投入一个点，则该点落在△ABC 的内切圆中的概率是______.5．如图，分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为勒洛三角形．若等边三角形的边长为a ，则勒洛三角形的周长为________．6．我国魏晋时期的数学家刘徽创立了“割圆术”，认为圆内接正多边形边数无限增加时，周长就越接近圆周长，由此求得了圆周率π的近似值．设半径为r 的圆内接正n 边形的周长为L ，圆的直径为d.如图所示，当n ＝6时，π≈l d ＝6r 2r ＝3，那么当n ＝12时，π≈ld ＝____________．(结果精确到0.01，参考数据：sin 15°＝cos 75°≈0.259)7．如图，⊙O 的半径是2，直线l 与⊙O 相交于A ，B 两点，M ，N 是⊙O 上的两个动点，且在直线l 的异侧，若∠AMB＝45°，则四边形MANB 面积的最大值是______.8．如图1是小明制作的一副弓箭，点A ，D 分别是弓臂BAC 与弓弦BC 的中点，弓弦BC ＝60cm .沿AD 方向拉动弓弦的过程中，假设弓臂BAC 始终保持圆弧形，弓弦不伸长．如图2，当弓箭从自然状态的点D 拉到点D 1时，有AD 1＝30 cm ，∠B 1D 1C 1＝120°. (1)图2中，弓臂两端B 1，C 1的距离为________cm .(2)如图3，将弓箭继续拉到点D 2，使弓臂B 2AC 2为半圆，则D 1D 2的长为______________cm .9．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 为直径，∠BAC 的平分线交⊙O 于点D ，过点D 作DE⊥AC 分别交AC 、AB 的延长线于点E ，F.(1)求证：EF 是⊙O 的切线；(2)若AC ＝4，CE ＝2，求BD ︵的长度．(结果保留π)10.如图，已知AB 是圆O 的直径．弦CD⊥AB，垂足为H.与AC 平行的圆O 的一条切线交CD 的延长线于点M ，交AB 的延长线于点E ，切点为F ，连结AF 交CD 于点N.(1)求证：CA ＝CN ；(2)连结DF ，若cos ∠DFA＝45，AN ＝210，求圆O 的直径的长度．11.如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝3x －23与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，P 是直线AB 上一动点，⊙P 的半径为1.(1)判断原点O与⊙P的位置关系，并说明理由；(2)当⊙P过点B时，求⊙P被y轴所截得的劣弧的长；(3)当⊙P与x轴相切时，求出切点的坐标．参考答案1．D 2.B 3.C 4.39π 5.πa 6.3.11 7.4 2 8．(1)30 3 (2)105－10 9．解：(1)证明：如图，连结OD.∵OA＝OD ，∴∠OAD＝∠ODA. ∵AD 平分∠EAF，∴∠DAE＝∠DAO， ∴∠DAE＝∠ADO，∴OD∥AE. ∵AE⊥EF，∴OD⊥EF， ∴EF 是⊙O 的切线．(2)如图，作OG⊥AE 于点G ，连结BD ，则AG ＝CG ＝12AC ＝2，∠OGE＝∠E＝∠ODE＝90°，∴四边形ODEG 是矩形，∴OA＝OB ＝OD ＝CG ＋CE ＝2＋2＝4，∠DOG＝90°. ∵∠DAE＝∠BAD，∠AED＝∠ADB＝90°， ∴△ADE∽△ABD， ∴AE AD ＝AD AB ，即6AD ＝AD 8， ∴AD 2＝48.在Rt△ABD 中，BD ＝AB 2－AD 2＝4. 在Rt△ABD 中，∵AB＝2BD ， ∴∠BAD＝30°， ∴∠BOD＝60°，则BD ︵的长度为60·π·4180＝4π3.10．(1)证明：如图，连结OF. ∵ME 与圆O 相切于点F ，∴OF⊥ME，即∠OFN＋∠MFN＝90°.∵∠OFN＝∠OAN，∠OAN＋∠ANH＝90°， ∴∠MFN＝∠ANH.(等量代换) 又∵ME∥AC，∴∠MFN＝∠NAC， ∴∠ANH＝∠NAC.∴CA＝CN.(2)解：如图，连结OC ， ∵cos ∠DFA＝45，∴cos C＝45.在直角△AHC 中，设AC ＝5a ，HC ＝4a ，则AH ＝3a.由(1)知，CA ＝CN ，∴NH＝a.在直角△ANH 中，利用勾股定理得AH 2＋NH 2＝AN 2，即(3a)2＋a 2＝(210)2，解得a ＝2.如图，连结OC ，在直角△OHC 中，利用勾股定理得OH 2＋HC 2＝OC 2. 设圆O 的半径为R ，则(R －6)2＋82＝R 2，解得2R ＝503，∴圆O 的直径长度为2R ＝503.11．解：(1)原点O 在⊙P 外．理由：∵直线y ＝3x －23与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点， ∴点A(2，0)，点B(0，－23)．在Rt△OAB 中，tan∠OBA＝OA OB ＝33，∴∠OBA＝30°.如图，过点O 作OH⊥AB 于点H.在Rt△OBH 中，OH ＝OB·sin∠OBA＝ 3. ∵3>1，∴原点O 在⊙P 外．(2)如图，当⊙P 过点B 时，点P 在y 轴右侧时，∵PB＝PC ，∴∠PCB＝∠OBA＝30°，∴⊙P 被y 轴所截得的劣弧所对的圆心角为180°－30°－30°＝120°， ∴弧长为120π×1180＝2π3.同理，当⊙P 过点B 时，点P 在y 轴左侧时，弧长同样为2π3.∴当⊙P 过点B 时，⊙P 被y 轴所截得的劣弧长为2π3.(3)如图，当⊙P 与x 轴相切时，且位于x 轴下方时，设切点为D ，连结DP ，则PD⊥x 轴，∴PD∥y 轴，∴∠APD＝∠ABO＝30°，∴在Rt△DAP中，AD＝DP·tan ∠DPA＝1×tan 30°＝33，∴OD＝OA－AD＝2－33，∴此时点D的坐标为(2－33，0)．当⊙P与x轴相切时，且位于x轴上方时，根据对称性可以求得此时切点的坐标为(2＋33，0)．综上所述，当⊙P与x轴相切时，切点的坐标为(2－33，0)或(2＋33，0)．微专题八巧用图形变换进行计算与证明姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟1．已知如图1所示的四张牌，若将其中一张牌旋转180°后得到图2，则旋转的牌是( )2．如图，在边长为4的等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，点E，F是AD上的两点，则图中阴影部分的面积是( )A. 3 B．2 3 C．3 3 D．4 33．如图，已知⊙O的半径为3，∠AOB＋∠COD＝150°，则阴影部分的面积为_________.4．如图是一个台阶的纵切面图，∠B＝90°，AB＝3 m，BC＝5 m，现需在台阶从点A到点C 处铺上红地毯，则该地毯的长度为______m.5．将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形，若AB＝6 cm，则AC＝______cm.6．如图①，四边形CFDE是正方形，且点E，D，F分别在三角形ABC的三边上，观察图①和图②，请回答下列问题：(1)请简述由图①变成图②的形成过程：______________________________________________________.(2)若AD＝3，DB＝4，则△ADE和△BDF的面积之和为______.7．如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，AB＝1，将它沿AB翻折得到△ABD，则四边形ADBC的形状是______形，点P，E，F分别为线段AB，AD，DB的任意点，则PE＋PF的最小值是_________．8．如图，把正方形铁片OABC置于平面直角坐标系中，顶点A的坐标为(3，0)，点P(1，2)在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90°，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置…，则正方形铁片连续旋转2 019次后，点P的坐标为______________________.9．如图，在正方形ABCD中，点M，N分别是AD，CD边上的动点(含端点)，且∠MBN＝45°.求证：AM＋CN＝MN.10．问题背景：如图1，点A，B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C，使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于l的对称点B′，连结AB′与直线l交于点C，则点C即为所求．(1)实践运用：如图2，已知，⊙O的直径CD为4，点A在⊙O上，∠ACD＝30°，B为弧AD的中点，P为直径CD上一动点，则BP＋AP的最小值为________．(2)知识拓展：如图3，在Rt△ABC中，AB＝10，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，E，F分别是线段AD和AB上的动点，求BE＋EF的最小值，并写出解答过程．。

方法技巧专题十最短距离问题

CD方法技巧专题十最短距离问题探究平面内最短路径的原理主要有以下两种：一是“垂线段最短”，二是“两点之间，线段最短”．立体图形上的最短路径问题需借助平面展开图转化为平面问题．求平面内折线的最短路径通常用轴对称变换、平移变换或旋转变换等转化为两点之间的线段．一、典例解析例1. [2017·乌鲁木齐] 如图F 10－6，点A (a ，3)、B (b ，1)都在双曲线y ＝3x 上，点C ，D分别是x 轴、y 轴上的动点，则四边形ABCD 周长的最小值为( )A ．5 2B ．6 2C ．2 10＋2 2D ．82例2．如图，△ABC 是等边三角形，AB ＝3，E 在AC 上且AE ＝AC ，D 是直线BC 上一动点，线段ED 绕点E 逆时针旋转90°，得到线段EF ，当点D 运动时，则线段AF 的最小值是．例3．我们发现：若AD 是△ABC 的中线，则有AB 2+AC 2＝2（AD 2+BD 2），请利用结论解决问题：如图，在矩形ABCD 中，已知AB ＝20，AD ＝12，E 是DC 中点，点P 在以AB 为直径的半圆上运动，则CP 2+EP 2的最小值是．例4. 如图，菱形ABCD 的对角线AC 上有一动点P ，BC =6, ∠ABC ＝150°，则AP +BP +PD的最小值为_____．二、巩固练习1．[2016·苏州] 矩形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B 的坐标为(3，4)，D 是OA 的中点，点E 在AB 上，当△CDE 的周长最小时，点E 的坐标为( )A ．(3，1)B ．(3，43)C ．(3，53) D ．(3，2)2．[2015·遵义] 如图，在四边形ABCD 中，∠C ＝50°，∠B ＝∠D ＝90°，E ，F 分别是BC ，DC 上的点，当△AEF 的周长最小时，∠EAF 的度数为( )A ．50°B ．60°C ．70°D ．80°3．[2016·安徽] 如图，在Rt △ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝4，P 是△ABC 内部的一个动点，且满足∠PAB ＝∠PBC ，则线段CP 长的最小值为( )A.32 B ．2 C.8 1313 D .12 13134.（2017•南通选压）如图，矩形ABCD 中，AB ＝10，BC ＝5，点E ，F ，G ，H 分别在矩形ABCD 各边上，且AE ＝CG ，BF ＝DH ，则四边形EFGH 周长的最小值为（）A ．5B ．10C ．10D ．155. [扬州市江都市一模]如图，△ABC 中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，D 是线段BC 上的一个动点，以AD 为直径画⊙O 分别交AB ，AC 于E ，F ，连接EF ，则线段EF 长度的最小值为（）A 、2BC 、36.如图，在直角△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AC ＝4，D 、E 分别是AC 、BC 上的一点，且DE ＝3．若以DE 为直径的圆与斜边AB 相交于M 、N ，则MN 的最大值为（）A ．B ．2C ．D ．7．（2014•徐州二模）如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝2，点A 、C 分别在x 轴、y 轴上，当点A 在x 轴上运动时，点C 随之在y 轴上运动，在运动过程中，点B 到原点的最大距离是（） A ．6 B ． C ． D ．8．（2018•惠山区校级二模）如图，已知矩形ABCD ，AB ＝4，BC ＝6，点M 为矩形内一点，点E 为BC 边上任意一点，则MA +MD +ME 的最小值为（） A ．3+2 B ．4+3 C ．2+2 D ．107.2016·东营]如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC>AB，点D在BC上，以AC 为对角线的平行四边形ADCE中，DE的最小值是________．37．（2017•惠山区模拟）已知，在平面直角坐标系中，点A（4，0），点B（m，m），点C为线段OA上一点（点O为原点），则AB+BC的最小值为．8.[泰兴市二模]如图，定长弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动（点C、D与点A、B不重合），M是CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P，若CD=3，AB=8，则PM的最大值是9.如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（13，0），直线y=kx －3k+4与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为________．10.如图，正方形 ABCD 中，AB=3cm，以 B 为圆心，1cm 长为半径画☉B，点 P 在☉B 上移动，连接 AP，并将 AP 绕点 A 逆时针旋转90°至 AP'，连接 BP'，在点 P 移动过程中，BP' 长度的最小值为cm。

2019中考数学试题分类考点训练及中考冲刺集训-题型二-函数的实际应用-试题及解析

题型二函数的实际应用类型1 最优方案问题1．(2019·宁波)某风景区内的公路如图1所示，景区内有免费的班车，从入口处出发，沿该公路开往草甸，途中停靠塔林(上下车时间忽略不计)．第一班车上午8点发车，以后每隔10分钟有一班车从入口处发车．小聪周末到该风景区游玩，上午7︰40到达入口处，因还没到班车发车时间，于是从景区入口处出发，沿该公路步行25分钟后到达塔林．离入口处的路程y(米)与时间x(分)的函数关系如图2所示．(1)求第一班车离入口处的路程y(米)与时间x(分)的函数表达式．(2)求第一班车从入口处到达塔林所需的时间．(3)小聪在塔林游玩40分钟后，想坐班车到草甸，则小聪最早能够坐上第几班车？如果他坐这班车到草甸，比他在塔林游玩结束后立即步行到草甸提早了几分钟？(假设每一班车速度均相同，小聪步行速度不变)(第24题图)类型2 分段函数问题2．(2019·淮安)快车从甲地驶向乙地，慢车从乙地驶向甲地，两车同时出发并且在同一条公路上匀速行驶，途中快车休息1.5小时，慢车没有体息．设慢车行驶的时间为x小时，快车行驶的路程为y1千米，慢车行驶的路程为y2千米，下图中折线OAEC表示y1与x之间的函数关系，线段OD表示y2与x之间的函数关系，请解答下列问题:(1)求快车和慢车的速度；(2)求图中线段EC所表示的y1与x之间的函数表达式；(3)线段OD与线段EC相交于点F，直接写出点F的坐标，并解释点F的实际意义．3．(2019·无锡)“低碳生活，绿色出行”是一种环保，健康的生活方式，小丽从甲地出发沿一条笔直的公路骑行前往乙地，她与乙地之间的距离y(km)与出发时间t(h)之间的函数关系式如图①中线段AB所示，在小丽出发的同时，小明从乙地沿同一条公路骑车匀速前往甲地，两人之间的距离x(km)与出发时间t(h)之间的函数关系式如图①中折线段CD-DE-EF所示．(1)小丽和小明骑车的速度各是多少？(2)求点E坐标，并解释点E的实际意义．类型3 利润最值问题4．(2019·广元)某水果商计划购进甲、乙两种水果进行销售，经了解，甲种水果的进价比乙种水果的进价每千克少4元，且用800元购进甲种水果的数量与用1000元购进乙种水果的数量相同．(1)求甲、乙两种水果的单价分别是多少元？(2)该水果商根据该水果店平常的销售情况确定，购进两种水果共200千克，其中甲种水果的数量不超过乙种水果数量的3倍，且购买资金不超过3420元，购回后，水果商决定甲种水果的销售价定为每千克20元，乙种水果的销售价定为每千克25元，则水果商应如何进货，才能获得最大利润，最大利润是多少？5．(2019·通辽)当今，越来越多的青少年在观看影片《流浪地球》后，更加喜欢同名科幻小说，该小说销量也急剧上升．书店为满足广大顾客需求，订购该科幻小说若干本，每本进价为20元．根据以往经验：当销售单价是25元时，每天的销售量是250本；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10本．书店要求每本书的利润不低于10元且不高于18元．(1)直接写出书店销售该科幻小说时每天的销售量y(本)与销售单价x(元)之间的函数关系式及自变量的取值范围；(2)书店决定每销售1本该科幻小说，就捐赠a(0＜a≤6)元给困难职工，每天扣除捐赠后可获得最大利润为1960元，求a的值．类型4 抛物线型问题6．(2019·广安)在广安市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y(米)与水平距离x(米)之间的关系为y＝－112x2＋23x＋53，由此可知该生此次实心球训练的成绩为________米．7．（2019•襄阳）如图，若被击打的小球飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有的关系为h＝20t﹣5t2，则小球从飞出到落地所用的时间为s．8．(2019·临沂)从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位:m)与小球的运动时间t(单位:s)之间的函数关系如图所示，下列结论:①小球在空中经过的路程是40 m；①小球抛出3秒后，速度越来越快；①小球抛出3秒时速度为0；①小球的高度h＝30 m时，t＝1.5 s.其中正确的是()A．①① B．①① C．①①① D．①①类型5 图形面积问题9．(2019·连云港)如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD，其中①C＝120°.若新建墙BC与CD总长为12 m，则该梯形储料场ABCD的最大面积是()A．18 m2B．18 3 m2C．24 3 m2 D.4532m210．(2019·绍兴)有一块形状如图的五边形余料ABCDE，AB＝AE＝6，BC＝5，①A＝①B＝90°，①C＝135°，①E＞90°.要在这块余料中截取一块矩形材料，其中一条边在AE上，并使所截矩形材料的面积尽可能大．(1)若所截矩形材料的一条边是BC或AE，求矩形材料的面积．(2)能否截出比(1)中更大面积的矩形材料？如果能，求出这些矩形材料面积的最大值；如果不能，说明理由．题型二函数的实际应用答案1．思路分析：本题考查了用待定系数法求一次函数解析式，一次函数的生活应用，一元一次不等式，主要考查学生能否把实际问题转化成数学问题．在第(1)小题中，根据(20，0)，(38，2700)这两个特殊点，利用待定系数法可以求出y 关于x 的函数关系式．在第(2)小题中，已知函数值求自变量．第(3)小题中，利用一元一次不等式求出最早可以坐的班车，进而求出时差．解题过程：解：(1)由题意得，可设函数表达式为：y ＝kx ＋b (k ≠0)．把(20，0)，(38，2700)代入y ＝kx ＋b ，得020270038k b k b，解得1503000k b．①第一班车离入口处的路程y (米)与时间x (分)的函数表达式为 y ＝150x －3000(20≤x ≤38)．(注：x 的取值范围可省略不写) (2)把y ＝1500代入，解得x ＝30，则30－20＝10(分)． ①第一班车到塔林所需时间10分钟． (3)设小聪坐上第n 班车．30－25＋10(n －1)≥40，解得n ≥4.5， ①小聪最早坐上第5班车．等班车时间为5分钟，坐班车所需时间：1200÷150＝8(分)，步行所需时间：1200÷(1500÷25)＝20(分)，20－(8＋5)＝7(分)． ①小聪坐班车去草甸比他游玩结束后立即步行到达草甸提早7分钟． 2．思路分析：（1）根据函数图象中的数据可以求得快车和慢车的速度；（2）根据函数图象中的数据可以求得点E 和点C 的坐标，从而可以求得1y 与x 之间的函数表达式；（3）根据图象可知，点F 表示的是快车与慢车行驶的路程相等，从而以求得点F 的坐标，并写出点F 的实际意义．解题过程：解：(1)快车速度＝1802＝90(千米/小时)，慢车速度＝1803＝60(千米/小时)．(2)点E 坐标(3.5，180)，点C 坐标(5.5，360)．设直线EC 的表达式为y 1＝kx ＋b (k ≠0)，⎩⎪⎨⎪⎧3.5k ＋b ＝180，5.5k ＋b ＝360，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝90，b ＝－135，即y 1与x 之间的函数表达式为y 1＝90x －135. (3)F (4.5，270)，F 点的实际意义是出发了4.5小时后两车都行驶了270千米．点拨:直线OD 的表达式为y 2＝60x ，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝60x ，y ＝90x －135，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4.5，y ＝270.3．思路分析：（1）由点A ，点B ，点D 表示的实际意义，可求解；（2）理解点E 表示的实际意义，则点E 的横坐标为小明从甲地到乙地的时间，点E 纵坐标为小丽这个时间段走的路程，即可求解．解题过程：解：（1）由题意可得：小丽速度3616(/)2.25km h == 设小明速度为/xkm h 由题意得：1(16)36x ⨯+= 20x ∴=答：小明的速度为20/km h ，小丽的速度为16/km h ．（2）由图象可得：点E 表示小明到了甲地，此时小丽没到，∴点E 的横坐标369205==，点E 的纵坐标91441655=⨯=∴点9(5E ，144)54．思路分析：（1）根据题意可以列出相应的分式方程，求出甲、乙两种水果的单价分别是多少元；（2）根据题意可以得到利润和购买甲种水果数量之间的关系，再根据甲种水果的数量不超过乙种水果数量的3倍，且购买资金不超过3420元，可以求得甲种水果数量的取值范围，最后根据一次函数的性质即可解答本题．解题过程：解:(1)设乙种水果的单价是x 元/千克，则甲种水果的单价是(x －4)元/千克．根据题意，得800x －4＝1000x ，解得x ＝20.经检验，x ＝20是原方程的解，当x ＝20时，x －4＝20－4＝16.答:甲、乙两种水果的单价分别是16元/千克，20元/千克． (2)设水果商购进乙种水果m 千克，获得的利润为w 元．⎩⎪⎨⎪⎧200－m ≤3m ，16（200－m ）＋20m ≤3420，解得50≤m ≤55， w ＝(20－16)(200－m )＋(25－20)m ，即w ＝m ＋800. ①1＞0，①w 随m 的增大而增大．①50≤m ≤55，①当m ＝55时，w 有最大值，此时，200－m ＝200－55＝145，w ＝55＋800＝855. 答:水果商应购进乙种水果55千克，购进甲种水果145千克，才能获得最大利润，最大利润是855元．5．思路分析：（1）根据题意列函数关系式即可；（2）设每天扣除捐赠后可获得利润为w 元．根据题意得到2(20)(10500)10(10700)50010000(3038)w x a x x a x a x =---+=-++--求得对称轴为1352x a =+，若06a <<，则130352a <+，则当1352x a =+时，w 取得最大值，解方程得到12a =，258a =，于是得到2a =．解题过程：解：①当销售单价是25元时，每天的销售量是250本；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10本，①销售量y (本)与销售单价x (元)之间的函数关系式为：y ＝250－10×x －251，①y ＝－10x ＋500.①书店要求每本书的利润不低于10元且不高于18元， ①10≤x －20≤18，①30≤x ≤38，即为所求自变量的取值范围． (2)设每天扣除捐赠后可获得的利润为W 元，则W ＝(x －20－a )(－10x ＋500)＝－10x 2＋(10a ＋700)x －500a －1000. ①对称轴为x ＝12a ＋35，且0＜a ≤6，①30＜12a ＋35≤38，①当x ＝12a ＋35时，W 有最大值，①1960＝⎝⎛⎭⎫12a ＋35－20－a ⎣⎡⎦⎤－10⎝⎛⎭⎫12a ＋35＋500， ①a 1＝2，a 2＝58(不符合题意，舍去)． ①a ＝2.6．答案：10．解析：当0y =时，212501233y x x =-++=，解得，2x =（舍去），10x =．故答案为：10． 7．答案：4．解析：依题意，令h ＝0得 0＝20t ﹣5t 2 得t （20﹣5t ）＝0 解得t ＝0（舍去）或t ＝4即小球从飞出到落地所用的时间为4s 故答案为4．8．答案：D ．解析：由图象可知小球竖直向上达到最大高度40 m 后再下落回来，因此小球在空中经过的路程是80 m ，故①错误；小球抛出3秒时，速度为0，然后落回地面，速度越来越快，故①与①均正确；当小球的高度h ＝30 m 时，即y ＝30，此时函数图象对称轴两侧各有一点纵坐标为30，也就是说存在两个时间点使小球的高度为30 m(小球上升与回落)，故①错误，设抛物线的解析式为y ＝a (x －3)2＋40，把(6，0)代入，得0＝9a ＋40，解得a ＝－409，①y ＝－409(x －3)2＋40，当y ＝30时，－409(x －3)2＋40＝30，解得x 1＝1.5，x 2＝4.5，即当t ＝1.5 s 或t ＝4.5 s 时，小球的高度h ＝30 m ． 9．答案：C ．解析：如图，过点C 作CE AB ⊥于E ，则四边形ADCE 为矩形，CD AE x ==，90DCE CEB ∠=∠=︒，则30BCE BCD DCE ∠=∠-∠=︒，12BC x =-，在Rt CBE ∆中，90CEB ∠=︒， 11622BE BC x ∴==-，AD CE x ∴==， 116622AB AE BE x x x =+=+-=+，∴梯形ABCD 面积221113()(6)(63)4)222S CD AB CE x x x x =+=++-=++-+，∴当4x =时，S =最大．即CD 长为4m 时，使梯形储料场ABCD 的面积最大为2；故选：C ．10．思路分析：（1）①若所截矩形材料的一条边是BC ，过点C 作CF AE ⊥于F ，得出16530S AB BC ==⨯=；①若所截矩形材料的一条边是AE ，过点E 作//EF AB 交CD 于F ，FG AB ⊥于G ，过点C 作CH FG ⊥于H ，则四边形AEFG 为矩形，四边形BCHG 为矩形，证出CHF ∆为等腰三角形，得出6AE FG ==，5HG BC ==，BG CH FH ==，求出1BG CH FH FG HG ===-=，5AG AB BG =-=，得出26530S AE AG ==⨯=；（2）在CD 上取点F ，过点F 作FM AB ⊥于M ，FN AE ⊥于N ，过点C 作CG FM ⊥于G ，则四边形ANFM 为矩形，四边形BCGM 为矩形，证出CGF ∆为等腰三角形，得出5MG BC ==，BM CG =，FG DG=，设AM x =，则6BM x =-，11FM GM FG GM CG BC BM x =+=+=+=-，得出2(11)11S AM FM x x x x =⨯=-=-+，由二次函数的性质即可得出结果．解题过程：解:(1)①若所截矩形材料的一条边是BC ，如图①所示: 过点C 作CF ①AE 于点F ，S 1＝AB ·BC ＝6×5＝30； ①若所截矩形材料的一条边是AE ，如图①所示:过点E 作EF ①AB 交CD 于点F ，过点F 作FG ①AB 于点G ，过点C 作CH ①FG 于点H ，则四边形AEFG 为矩形，四边形BCHG 为矩形， ①①C ＝135°，①①FCH ＝45°， ①①CHF 为等腰直角三角形，①AE ＝FG ＝6，HG ＝BC ＝5，BG ＝CH ＝FH ， ①BG ＝CH ＝FH ＝FG －HG ＝6－5＝1， ①AG ＝AB －BG ＝6－1＝5， ①S 2＝AE ·AG ＝6×5＝30； (2)能；理由如下:在CD 上取点F ，过点F 作FM ①AB 于点M ，FN ①AE 于点N ，过点C 作CG ①FM 于点G ，则四边形ANFM 为矩形，四边形BCGM 为矩形， ①①C ＝135°， ①①FCG ＝45°，①①CGF 为等腰直角三角形， ①MG ＝BC ＝5，BM ＝CG ，FG ＝CG ，设AM ＝x ，则BM ＝6－x ，①FM ＝GM ＋FG ＝GM ＋CG ＝BC ＋BM ＝11－x ，①S ＝AM ×FM ＝x (11－x )＝－x 2＋11x ＝－(x －5.5)2＋30.25， ①当x ＝5.5时，S 的最大值为30.25.。

2019年中考数学真题分类训练——专题十：三角形含答案

2019年中考数学真题分类训练——专题十：三角形一、选择题1．（2019滨州）如图，在OAB △和OCD △中，,,,40OA OB OC OD OA OC AOB COD ==>∠=∠=︒，连接,AC BD 交于点M ，连接OM ．下列结论：①AC BD =；②40AMB ∠=︒；③OM 平分BOC ∠；④MO 平分BMC ∠．其中正确的个数为A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B2．（2019陕西）如图，在△ABC 中，∠B =30°，∠C =45°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，DE ⊥AB ，垂足为E ．若DE =1，则BC 的长为A ．B +C2 D ．3【答案】A3．（2019衢州）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA ，OB 组成，两根棒在O 点相连并可绕O 转动，C 点固定，OC =CD =DE ，点D 、E 可在槽中滑动．若∠BDE =75°，则∠CDE 的度数是A．60°B．65°C．75°D．80°【答案】D4．（2019重庆A卷）如图，在△ABC中，D是AC边上的中点，连接BD，把△BDC′沿BD翻折，得到BDC'△，DC与AB交于点E，连接AC'，若AD=AC′=2，BD=3则点D到BC的距离为A．2B．3217C．7D．13【答案】B5．（2019南通）小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作AB⊥OA，使AB=3（如图）．以O为圆心，OB的长为半径作弧，交数轴正半轴于点P，则点P所表示的数介于A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间【答案】C6．（2019宁波）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出A．直角三角形的面积B．最大正方形的面积C．较小两个正方形重叠部分的面积D．最大正方形与直角三角形的面积和【答案】C7．（2019青岛）如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，垂足为F．若∠ABC=35°，∠C=50°，则∠CDE的度数为A．35°B．40°C．45°D．50°【答案】C9．（2019天水）如图，等边OAB△的边长为2，则点B的坐标为A．(11)，B．(1C ．1)D ．【答案】B10．（2019宁波）已知直线m ∥n ，将一块含45°角的直角三角板ABC 按如图方式放置，其中斜边BC 与直线n 交于点D ．若∠1=25°，则∠2的度数为A ．60°B ．65°C ．70°D ．75°【答案】C11．（2019宿迁）一副三角板如图摆放（直角顶点C 重合），边AB 与CE 交于点F ，DE BC ∥，则BFC ∠等于A ．105︒B ．100︒C ．75︒D ．60︒【答案】A12．（2019临沂）如图，D 是AB 上一点，DF 交AC 于点E ，DE FE =，FC AB ∥，若4AB =，3CF =，则BD 的长是A ．0.5B ．1C ．1.5D ．2【答案】B13．（2019绍兴）如图，墙上钉着三根木条a ，b ，c ，量得∠1=70°，∠2=100°，那么木条a ，b 所在直线所夹的锐角是A ．5°B ．10°C ．30°D ．70°【答案】B14．（2019潍坊）如图，已知AOB ∠．按照以下步骤作图：①以点O 为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交AOB ∠的两边于C ，D 两点，连接CD ．②分别以点C ，D 为圆心，以大于线段OC 的长为半径作弧，两弧在AOB ∠内交于点E ，连接CE ，DE ．③连接OE 交CD 于点M ．下列结论中错误的是A ．CEO DEO ∠=∠B ．CM MD =C ．OCD ECD ∠=∠D ．12OCED S CD OE =⋅四边形【答案】C15．（2019梧州）如图，DE 是ABC △的边AB 的垂直平分线，D 为垂足，DE 交AC 于点E ，且85AC BC ==，，则BEC △的周长是A ．12B ．13C ．14D ．15【答案】B16．（2019杭州）在△ABC 中，若一个内角等于另外两个内角的差，则 A ．必有一个内角等于30° B ．必有一个内角等于45°C ．必有一个内角等于60°D ．必有一个内角等于90° 【答案】D17．（2019河南）如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠D =90°，AD =4，BC =3．分别以点A ，C 为圆心，大于12AC 长为半径作弧，两弧交于点E ，作射线BE 交AD 于点F ，交AC 于点O ．若点O 是AC 的中点，则CD 的长为A ．B ．4C ．3D 【答案】A18．（2019张家界）如图，在ABC △中，90C ∠=︒，8AC =，13DC AD =，BD 平分ABC ∠，则点D 到AB 的距离等于A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C19．（2019台州）下列长度的三条线段，能组成三角形的是 A ．3，4，8 B ．5，6，10 C ．5，5，11D ．5，6，11【答案】B20．（2019台湾）如图，△ABC 中，AC =BC <AB ．若∠1、∠2分别为∠ABC 、∠ACB 的外角，则下列角度关系何者正确A ．∠1<∠2B ．∠1=∠2C ．∠A +∠2<180°D ．∠A +∠1>180°【答案】C21．（2019长春）如图，在ABC △中，ACB ∠为钝角．用直尺和圆规在边AB 上确定一点D ．使2ADC B ∠=∠，则符合要求的作图痕迹是A ．B ．C ．D ．【答案】B22．（2019金华）若长度分别为a ，3，5的三条线段能组成一个三角形，则a 的值可以是 A ．1 B ．2C ．3D ．8【答案】C23．（2019广西）如图，在ABC ∆中，,40AC BC A =∠=︒，观察图中尺规作图的痕迹，可知BCG ∠的度数为A ．40︒B ．45︒C ．50︒D ．60︒【答案】C24．（2019大庆）如图，在△ABC 中，BE 是∠ABC 的平分线，CE 是外角∠ACM 的平分线，BE 与CE 相交于点E ，若∠A =60°，则∠BEC 是A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°【答案】B25．（2019荆门）将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，使得它们的直角边互相垂直，则1∠的度数是A ．95︒B ．100︒C ．105︒D ．110︒【答案】C26．（2019百色）三角形的内角和等于 A ．90︒B ．180︒C ．270︒D ．360︒【答案】B27．（2019徐州）下列长度的三条线段，能组成三角形的是 A ．2，2，4 B ．5，6，12 C ．5，7，2 D ．6，8，10【答案】D 二、填空题28．（2019临沂）如图，在ABC △中，120ACB ∠=︒，4BC =，D 为AB 的中点，DC BC ⊥，则ABC △的面积是__________．【答案】29．（2019南京）如图，在△ABC 中，BC 的垂直平分线MN 交AB 于点D ，CD 平分∠ACB ．若AD =2，BD =3，则AC 的长为__________．30．（2019威海）如图，在四边形ABCD 中，AB CD ∥，连接AC ，BD ．若90ACB ∠=︒，AC BC =，AB BD =，则ADC ∠=__________︒．【答案】10531．（2019北京）如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB +∠PBA =__________°（点A ，B ，P 是网格线交点）．【答案】4532．（2019成都）如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D ，E 都在边BC 上，∠BAD =∠CAE ，若BD =9，则CE 的长为__________．【答案】933．（2019黄冈）如图，AC BD ，在AB 的同侧，288AC BD AB ===，，，点M 为AB 的中点，若120CMD ∠=︒，则CD 的最大值是__________．【答案】1434．（2019舟山）如图，一副含30°和45°角的三角板ABC 和EDF 拼合在一个平面上，边AC 与EF 重合，AC =12cm ．当点E 从点A 出发沿AC 方向滑动时，点F 同时从点C 出发沿射线BC 方向滑动．当点E 从点A 滑动到点C 时，点D 运动的路径长为__________cm ；连接BD ，则△ABD 的面积最大值为__________cm 2．【答案】（24–），（）35．（2019长沙）如图，要测量池塘两岸相对的A ，B 两点间的距离，可以在池塘外选一点C ，连接AC ，BC ，分别取AC ，BC 的中点D ，E ，测得DE =50 m ，则AB 的长是__________m ．【答案】10036．（2019南京）在△ABC 中，AB =4，∠C =60°，∠A >∠B ，则BC 的长的取值范围是__________．【答案】4<BC 37．（2019枣庄）把两个同样大小含45︒角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点A ，且另外三个锐角顶点B C D ，，在同一直线上．若AB =2，则CD =__________．38．（2019兰州）在△ABC 中，AB =AC ，∠A =40°，则∠B =__________．【答案】70°39．（2019盐城）如图，在ABC △中，BC =，45C ∠=︒，AB =，则AC 的长为__________．【答案】240．（2019伊春）一张直角三角形纸片ABC ，90ACB ∠=︒，10AB =，6AC =，点D 为BC 边上的任一点，沿过点D 的直线折叠，使直角顶点C 落在斜边AB 上的点E 处，当BDE △是直角三角形时，则CD 的长为__________．【答案】3或24741．（2019襄阳）如图，已知ABC DCB ∠=∠，添加下列条件中的一个：①A D ∠=∠，②AC DB =，③AB DC =，其中不能确定ABC △≌△DCB △的是__________（只填序号）．【答案】②42．（2019南通）如图，△ABC 中，AB =BC ，∠ABC =90°，F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，且AE =CF ，若∠BAE =25°，则∠ACF =__________度．【答案】7043．（2019哈尔滨）在ABC △中，50A ∠=︒，30B ∠=︒，点D 在AB 边上，连接CD ，若ACD △为直角三角形，则BCD ∠的度数为__________．【答案】60︒或10︒44．（2019怀化）若等腰三角形的一个底角为72︒，则这个等腰三角形的顶角为__________．【答案】36°45．（2019通辽）腰长为5，高为4的等腰三角形的底边长为__________．【答案】6或25546．（2019大庆）如图，在△ABC 中，D 、E 分别是BC ，AC 的中点，AD 与BE 相交于点G ，若DG =1，则AD =__________．【答案】347．（2019江西）如图，在ABC △中，点D 是BC 上的点，40BAD ABC ∠=∠=︒，将ABD △沿着AD 翻折得到AED △，则CDE ∠=__________°．三、证明题48．（2019南京）如图，D是△ABC的边AB的中点，DE∥BC，CE∥AB，AC与DE相交于点F．求证：△ADF ≌△CEF．证明：∵DE∥BC，CE∥AB，∴四边形DBCE是平行四边形，∴BD=CE，∵D是AB的中点，∴AD=BD，∴AD=EC，∵CE∥AD，∴∠A=∠ECF，∠ADF=∠E，∴△ADF≌△CEF．49．（2019益阳）已知，如图，AB=AE，AB∥DE，∠ECB=70°，∠D=110°，求证：△ABC≌△EAD．证明：由∠ECB=70°得∠ACB=110°，又∵∠D=110°，∴∠ACB=∠D，∴∠CAB=∠E，∴在△ABC和△EAD中，==ACB DCAB E AB AE∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩，∴△ABC≌△EAD．50．（2019山西）已知：如图，点B，D在线段AE上，AD=BE，AC∥EF，∠C=∠F．求证：BC=DF．证明：∵AD=BE，∴AD-BD=BE-BD，∴AB=ED，∵AC∥EF，∴∠A=∠E，在△ABC和△EDF中，C FA E AB ED∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC≌△EDF（AAS），∴BC=DF．51．（2019兰州）如图，AB=DE，BF=EC，∠B=∠E，求证：AC∥DF．证明：∵BF=EC，∴BF +FC =EC +FC ， ∴BC =EF ，在△ABC 和△DEF 中，AB DE B E BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△DEF （SAS ）， ∴∠ACB =∠DFE ， ∴AC ∥DF ．52．（2019广州）如图，D 是AB 上一点，DF 交AC 于点E ，DE =FE ，FC ∥AB ，求证：ADE CFE △≌△．证明：∵FC ∥AB ，∴∠A =∠FCE ，∠ADE =∠F ，所以在△ADE 与△CFE 中，A FCE ADE F DE EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADE ≌△CFE ．53．（2019泸州）如图，AB CD ∥，AD 和BC 相交于点O ，OA OD =．求证：OB OC =．证明：∵AB CD ∥，∴A D ∠=∠，B C ∠=∠，在AOB △和DOC △中，A D B C OA OD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴AOB DOC △≌△，∴OB OC =．54．（2019重庆A 卷）如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 边上的中点，连结AD ，BE 平分∠ABC 交AC 于点E ，过点E 作EF ∥BC 交AB 于点F ．（1）若∠C =36°，求∠BAD 的度数．（2）若点E 在边AB 上，EF ∥AC 叫AD 的延长线于点F ．求证：FB =FE ．证明：（1）∵AB AC =，∴C ABC ∠=∠， ∵36C ∠=︒， ∴36ABC ∠=︒，∵D 为BC 的中点，∴AD BC ⊥，∴90903654BAD ABC ∠=-∠=-︒=︒︒︒．（2）∵BE 平分ABC ∠，∴ABE EBC ∠=∠，又∵EF BC ∥，∴EBC BEF ∠=∠， ∴EBF FEB ∠=∠， ∴BF EF =．55．（2019桂林）如图，AB =AD ，BC =DC ，点E 在AC 上．（1）求证：AC 平分∠BAD ；（2）求证：BE =DE ．证明：（1）在△ABC 与△ADC 中，AB AD AC AC BC DC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△ADC （SSS ）， ∴∠BAC =∠DAC ，即AC 平分∠BAD ．（2）由（1）∠BAE =∠DAE ，在△BAE 与△DAE 中，得BA DA BAE DAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAE ≌△DAE （SAS ）， ∴BE =DE ．56．（2019黄石）如图，在ABC △中，90BAC ∠=︒，E 为边BC 上的点，且AB AE =，D 为线段BE 的中点，过点E 作EF AE ⊥，过点A 作AF BC ∥，且AF 、EF 相交于点F ．（1）求证：C BAD ∠=∠；（2）求证：AC EF =．证明：（1）如图，∵AB AE =，∴ABE △是等腰三角形，又∵D 为BE 的中点，∴AD BE ⊥，在Rt ABC △和Rt DBA △中，∵B Ð为公共角，90BAC BDA ∠=∠=︒， ∴C BAD ∠=∠．（2）∵AF BC ∥，∴EAF AEB ∠=∠， ∵AB AE =，∴ABE AEB ∠=∠， ∴EAF ABC ∠=∠，又∵90BAC AEF ∠=∠=∠︒， ∴BAC AEF △≌△， ∴AC EF =．57．（2019重庆）如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD ⊥BC 于点D ．（1）若∠C =42°，求∠BAD 的度数；（2）若点E 在边AB 上，EF ∥AC 交AD 的延长线于点F ．求证：AE =FE ．证明：（1）∵AB =AC ，AD ⊥BC 于点D ， ∴∠BAD =∠CAD ，∠ADC =90°，又∠C =42°，∴∠BAD =∠CAD =90°-42°=48°．（2）∵AB =AC ，AD ⊥BC 于点D ， ∴∠BAD =∠CAD ， ∵EF ∥AC ， ∴∠F =∠CAD ， ∴∠BAD =∠F ，∴AE =FE ．58．（2019苏州）如图，ABC △中，点E 在BC 边上，AE AB =，将线段AC 绕点A 旋转到AF 的位置，使得CAF BAE ∠=∠，连接EF ，EF 与AC 交于点G ．（1）求证：EF BC =；（2）若65ABC ∠=︒，28ACB ∠=︒，求FGC ∠的度数．证明：（1）∵CAF BAE ∠=∠， ∴BAC EAF ∠=∠，∵AE AB AC AF ==，， ∴BAC EAF △≌△， ∴EF BC =．（2）∵65AB AE ABC =∠=︒，， ∴18065250BAE ∠=︒-︒⨯=︒， ∴50FAG ∠=︒， ∵BAC EAF △≌△， ∴28F C ∠=∠=︒， ∴502878FGC ∠=︒+︒=︒．59．（2019无锡）如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 、E 分别在AB 、AC 上，BD =CE ，BE 、CD 相交于点O ．求证：（1）DBC ECB △≌△；（2）OB OC =．证明：（1）∵AB =AC ， ∴∠ECB =∠DBC ，在DBC △与ECB △中，BD CE DBC ECB BC CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴DBC △≌ECB △．（2）由（1）DBC △≌ECB △， ∴∠DCB =∠EBC ， ∴OB =OC ．60．（2019枣庄）在ABC △中，90BAC ∠=︒，AB AC =，AD BC ⊥于点D ．（1）如图1，点M ，N 分别在AD ，AB 上，且90BMN ∠=︒，当30AMN =︒∠，2AB =时，求线段AM 的长；（2）如图2，点E ，F 分别在AB ，AC 上，且90EDF ∠=︒，求证：BE AF =；（3）如图3，点M 在AD 的延长线上，点N 在AC 上，且90BMN ∠=︒，求证：AB AN +=．证明：（1）∵90BAC ∠=︒，AB AC =，AD BC ⊥，∴AD BD DC ==，45ABC ACB ∠=∠=︒，45BAD CAD ∠=∠=︒， ∵2AB =，∴AD BD DC ===，∵30AMN ∠=︒，∴180903060BMD ∠=︒-︒-︒=︒，∴30BMD ∠=︒，∴2BM DM =，由勾股定理得，222BM DM BD -=，即222(2)DM DM -=，解得DM =∴AM AD DM =-=．（2）∵AD BC ⊥，90EDF ∠=︒，∴BDE ADF ∠=∠，在BDE △和ADF △中，B DAF DB DA BDE ADF ∠=∠=∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩，∴BDE ADF △≌△， ∴BE AF =．（3）如图，过点M 作//ME BC 交AB 的延长线于E ，∴90AME ∠=︒，则AE =，45E ∠=︒，∴ME MA =，∵90AME ∠=︒，90BMN ∠=︒， ∴BME AMN ∠=∠，在BME △和AMN △中，E MAN ME MA BME AMN ∠=∠=∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩，∴BME AMN △≌△，∴BE AN =，∴AB AN AB BE AE +=+==．61．（2019温州）如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AB 边上一点，过点C 作CF ∥AB 交ED 的延长线于点F ．（1）求证：△BDE ≌△CDF ；（2）当AD ⊥BC ，AE =1，CF =2时，求AC 的长．证明：（1）∵CF AB ∥， ∴B FCD BED F ∠=∠∠=∠，， ∵AD 是BC 边上的中线，∴BD CD =， ∴△BDE ≌△CDF ．（2）∵△BDE ≌△CDF ， ∴2BE CF ==，∴123AB AE BE =+=+=． ∵AD BC BD CD ⊥=，， ∴3AC AB ==．62．（2019杭州）如图，在△ABC 中，AC ＜AB ＜BC ．（1）已知线段AB 的垂直平分线与BC 边交于点P ，连接AP ，求证：∠APC =2∠B ．（2）以点B 为圆心，线段AB 的长为半径画弧，与BC 边交于点Q ，连接AQ ．若∠AQC =3∠B ，求∠B 的度数．证明：（1）∵线段AB 的垂直平分线与BC 边交于点P ， ∴PA =PB ， ∴∠B =∠BAP ，∵∠APC=∠B+∠BAP，∴∠APC=2∠B；（2）根据题意可知BA=BQ，∴∠BAQ=∠BQA，∵∠AQC=3∠B，∠AQC=∠B+∠BAQ，∴∠BQA=2∠B，∵∠BAQ+∠BQA+∠B=180°，∴5∠B=180°，∴∠B=36°．四、解答题63．（2019河北）已知：整式A=（n2-1）2+（2n）2，整式B>0．尝试化简整式A．发现A=B2，求整式B．联想由上可知，B2=（n2-1）2+（2n）2，当n>1时，n2-1，2n，B为直角三角形的三边长，如图．填写下表中B的值：解：A=（n2-1）2+（2n）2=n4-2n2+1+4n2=n4+2n2+1=（n2+1）2，∵A=B2，B>0，∴B=n2+1，当2n =8时，n =4，∴n 2+1=42+1=15；当n 2-1=35时，n 2+1=37．64．（2019大庆）如图，一艘船由A 港沿北偏东60°方向航行10 km 至B 港，然后再沿北偏西30°方向航行10 km 至C 港．（1）求A ，C 两港之间的距离（结果保留到0.1 km≈1.414≈1.732）；（2）确定C 港在A 港的什么方向．解：（1）由题意可得，∠PBC =30°，∠MAB =60°， ∴∠CBQ =60°，∠BAN =30°，∴∠ABQ =30°， ∴∠ABC =90°．∵AB =BC =10，∴AC≈14.1．答：A 、C 两地之间的距离为14.1 km ．（2）由（1）知，△ABC 为等腰直角三角形， ∴∠BAC =45°，∴∠CAM =15°， ∴C 港在A 港北偏东15°的方向上．65．（2019金华）如图，在76⨯的方格中，ABC △的顶点均在格点上，试按要求画出线段EF （E ，F 均为格点），各画出一条即可．【答案】如图所示：。

浙江省中考数学复习题方法技巧专题十最短距离训练新版浙教版

方法技巧专题(十) 最短距离训练【方法解读】探究平面内最短路径的原理主要有以下两种:一是“垂线段最短”,二是“两点之间,线段最短”.立体图形上的最短路径问题需借助平面展开图转化为平面问题.求平面内折线的最短路径通常用轴对称变换、平移变换或旋转变换等转化为两点之间的线段.1.矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图F10-1,点B的坐标为(3,4),D是OA的中点,点E在AB上,当△CDE的周长最小时,点E的坐标为 ()图F10-1A.(3,1)B.C.D.(3,2)2.[2018·宜宾] 在△ABC中,若O为BC边的中点,则必有:AB2+AC2=2AO2+2BO2成立.依据以上结论,解决如下问题:如图F10-2,在矩形DEFG中,已知DE=4,EF=3,点P在以DE为直径的半圆上运动,则PF2+PG2的最小值为()图F10-2A BC.34D.103.[2017·天津] 如图F10-3,在△ABC中,AB=AC,AD,CE是△ABC的两条中线,P是AD上的一个动点,则下列线段的长等于BP+EP最小值的是()图F10-3A.BCB.CEC.ADD.AC4.[2017·莱芜] 如图F10-4,菱形ABCD的边长为6,∠ABC=120°,M是BC边的一个三等分点,P是对角线AC上的动点,当PB+PM的值最小时,PM的长是()图F10-4A B C D5.[2017·乌鲁木齐] 如图F10-5,点A(a,3),B(b,1)都在双曲线,点C,D分别是x轴、y轴上的动点,则四边形ABCD 周长的最小值为()图F10-5A.B.C.D.6.[2018·泰安] 如图F10-6,☉M的半径为2,圆心M的坐标为(3,4),点P是☉M上的任意一点,PA⊥PB,且PA,PB与x轴分别交于A,B两点,若点A,B关于原点O对称,则AB的最小值为 ()图F10-6A.3B.4C.6D.87.[2018·滨州] 如图F10-7,∠AOB=60°,点P是∠AOB内的定点且若点M,N分别是射线OA,OB上异于点O的动点,则△PMN周长的最小值是()图F10-7A BC.6D.38.[2018·遵义] 如图F10-8,抛物线y=x2+2x-3与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点P是抛物线对称轴上任意一点,若点D,E,F分别是BC,BP,PC的中点,连结DE,DF,则DE+DF的最小值为.图F10-89.[2018·黑龙江龙东] 如图F10-9,已知正方形ABCD的边长为4,点E是AB边上一动点,连结CE.过点B作BG⊥CE于点G.点P是AB边上另一动点,则PD+PG的最小值为.图F10-910.[2018·广安改编] 如图F10-10,已知抛物线2+bx+c与直线3相交于A,B两点,交x轴于C,D两点,连结AC,BC,已知A(0,3),C(-3,0).(1)求此抛物线的解析式;(2)在抛物线的对称轴l上找一点M,使|MB-MD|的值最大,并求出这个最大值.图F10-1011.[2018·广州] 如图F10-11,在四边形ABCD中,∠B=∠C=90°,AB>CD,AD=AB+CD.(1)利用尺规作∠ADC的平分线DE,交BC于点E,连结AE(保留作图痕迹,不写作法);(2)在(1)的条件下,①证明:AE⊥DE;②若CD=2,AB=4,点M,N分别是AE,AB上的动点,求BM+MN的最小值.图F10-11参考答案1.B[解析] 如图,作点D关于直线AB的对称点H,连结CH与AB的交点为E,此时△CDE的周长最小.∵D A(3,0),∴H可求得直线CH的解析式为4.当x=3时,∴点E的坐标为.故选B.2.D[解析] 取GF的中点O,连结PO,则根据材料可知PF2+PG2=2PO2+2OG2=2PO2+2×22=8+2OP2,若使PF2+PG2的值最小,则必须OP的值最小,所以PO垂直于GF时PO的值最小,此时PO=1,所以PF2+PG2的最小值为10.故选D.3.B[解析] 连结PC.由AB=AC,可得△ABC是等腰三角形,根据“等腰三角形的三线合一性质”可知点B与点C关于直线AD对称,BP=CP,因此BP+EP的最小值为CE.故选B.4.A[解析] 如图,连结BD,DM,BD交AC于点O,DM交AC于点P,则此时PB+PM的值最小.过点D作DF⊥BC于点F,过点M 作ME∥BD交AC于点E.∵∠ABC=120°,∴∠BCD=60°.又∵DC=BC,∴△BCD是等边三角形.∴3.∴MF=CF-CM=3-2=1,∴∵ME∥BD,∴△CEM∽△COB.又∵OB=OD,∵ME∥BD,∴△PEM∽△POD.∴故选A.5.B[解析] ∵点A(a,3),B(b,1)都在双曲线,∴a=1,b=3,∴A(1,3),B(3,1),则作点A关于y轴的对称点A1,作点B关于x轴的对称点B1,连结A1B1,交y轴于点D,交x轴于点C,则A1(-1,3),B1(3,-1),A1B1根据轴对称的性质,四边形ABCD周长的最小值是AB+A1B1=故选B.6.C[解析] 连结OP,∵PA⊥PB,∴∠APB=90°.∵AO=BO,∴AB=2PO.若要使AB取得最小值,则PO需取得最小值,如图,连结OM,交☉M于点P',当点P位于点P'位置时,OP'取得最小值,过点M作MQ⊥x轴于点Q,则OQ=3,MQ=4,∴OM=5.又∵MP'=2,∴OP'=3,∴AB=2OP'=6.故选C.7.D[解析] 如图,分别以OA,OB为对称轴作点P的对称点P1,P2,连结P1P2,OP1,OP2,P1P2分别交射线OA,OB于点M,N,则此时△PMN的周长有最小值,△PMN周长等于=PM+PN+MN=P1M+P2N+MN,根据轴对称的性质可知,OP1=OP2∠P1OP2=120°,∠OP1M=30°,过点O作MN的垂线段,垂足为Q,在△OP1Q中,可知P1所以P1P2=2P1Q=3,故△PMN周长的最小值为3.故选D.8[解析] 因为点D,E,F分别是BC,BP,PC的中点,所以DE,DF是△PBC的中位线,所以,,所以PC+PB),即求PC+PB的最小值.因为B,C为定点,P为对称轴上一动点,点A,B关于对称轴对称,所以连结AC,与对称轴的交点就是点P的位置,PC+PB的最小值等于AC的长度,由抛物线的解析式可得,A(-3,0),C(0,-3),AC=所以PC+PB)9.2[解析] 由问题“PD+PG的最小值”考虑到“最短路径问题”,由于点D为定点,因此考虑作点D关于AB轴对称的点M,如图①,连结PM,GM,则MP=DP.根据两点之间线段最短,当M,P,G三点不在同一条直线上时,PM+PG>MG,即DP+PG>MG;当M,P,G三点在同一条直线上时,PM+PG=MG,即DP+PG=MG,因此,当PD+PG取最小值时,M,P,G三点在同一条直线上,此时DP+PG=MG.进一步得到:当MG取得最小值时,DP+PG随之取得最小值.下面分析MG何时取得最小值.注意到问题与点G有关,点G是△BCG的直角顶点,△BCG的斜边为定值,因此,其斜边的一半也为定值,因此取BC中点N,连结GN,则GN的长为2.连结MN,结合定点M,可知MN也为定值.再分析点G,无论点E怎样变化,点G始终在以N为圆心,NG长为半径的圆上.根据三角形两边之差小于第三边,可知,当点M,G,N不在同一直线上时,MG>MN-GN,进一步可知,当点G在线段MN上时,MG=MN-GN,此时MG最小,最小值为MN-GN.如图②,易知MN的长,进一步可得结果.如图②,作点D关于AB轴对称的点M,取BC中点N,连结MN,交AB于点P,以BC为直径画圆,交MN于点G,则DP=MP,∴DP+PG=MP+PG=MG=MN-GN.作NQ⊥AD于Q,则∴MN-GN=2,∴PD+PG的最小值为2.10.解:(1)∵抛物线2+bx+c经过点A(0,3),C(-3,0),∴抛物线的解析式为23.(2)根据二次函数图象的对称性可知MD=MC,要求|MB-MD|的值最大,就是使|MB-MC|的值最大,由三角形两边之差小于第三边,得当点B,C,M在同一条直线上时,|MB-MD|的值最大.由一次函数和二次函数的图象交于A,B两点,得233,解得x=-4或x=0.当x=-4时,y=1,即点B(-4,1).∵点C(-3,0),∴∴|MB-MD|11.解:(1)如图:(2)①证明:如图,延长DE,AB相交于点F.∵∠ABC=∠C=90°,∴∠ABC+∠C=180°.∴AB∥CD.∴∠CDE=∠F.∵DE平分∠ADC,∴∠ADE=∠CDE.∴∠ADE=∠F.∴AD=AF=AB+BF.又AD=AB+CD,∴AB+BF=AB+CD.∴BF=CD.最新中小学教案、试题、试卷在△CED和△BEF中∴△CED≌△BEF.∴DE=EF.又AD=AF,∴AE⊥DE.②如图,作DH垂直AB于点H,作点N关于AE的对称点N',连结MN',则MN=MN'.∴BM+MN=BM+MN'.由①可得AE平分∠DAB,∴点N'在AD上.∴当点B,M,N'共线且BN'⊥AD时,BM+MN'有最小值,即BM+MN有最小值.在Rt△ADH中,AD=AB+CD=6,AH=AB-BH=2,由勾股定理可得,∵∠DHA=∠BN'A=90°,∠DAH=∠BAN',∴△DAH∽△BAN',∴∴BM+MN。

中考最短距离专题新

最短距离专题复习1. 如图1，若点A 、B 在直线l 同侧，在直线l 上找一点P ，使AP +BP 的值最小，做法是：作点B 关于直线l 的对称点B′，连接AB′，与直线l 的交点就是所求的点P ，线段AB′的长度即为AP +BP 的最小值．（1）如图2，在等边三角形ABC 中，AB =2，点E 是AB 的中点，AD 是高，在AD 上找一点P ，使BP +PE 的值最小．做法是：作点B 关于AD 的对称点，恰好与点C 重合，连接CE 交AD 于一点，这点就是所求的点P ，故BP +PE 的最小值为；（2）如图3，已知⊙O 的直径CD 为2，AC 的度数为60°，点B 是AC 的中点，在直径CD 上作出点P ，使BP +AP 的值最小，则BP +AP 的最小值为；（3）如图4，点P 是四边形ABCD 内一点，BP =m ，ABC α∠=，分别在边AB 、BC 上作出点M 、N ，使PMN ∆的周长最小，求出这个最小值（用含m 、α的代数式表示）．图4P DCBA图3图2图1ODCB AP DECBAlPB'BA2.（1）如图，正方形ABCD 的边长为2，E 为BC 的中点，P 是BD 上一动点．连结EP ，CP ，则EP +CP 的最小值是__________；(2)如图，若四边形ABCD 是菱形， AB=10cm ，∠ABC=45°，E 为边BC 上的一个动点，P 为BD 上的一个动点，则PC+PE 的最小值是(3)如图，若四边形ABCD 是矩形， AB = 10cm ，BC = 20cm ，E 为边BC 上的一个动点，P 为BD 上的一个动点，则PC+PE 的最小值是；(4)如图所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD ＋PE 的和最小，则这个最小值为A B CD PEEPA3.（1）如图，A 是锐角MON 内部任意一点，在∠MON 的两边OM ，ON 上各求作一点B ，C ，组成△ABC ，使△ABC 周长最小；（不写作法，保留作图痕迹）（2）如图，平面直角坐标系中有两点A （6，4）、B （4，6），在y 轴上找一点C ，在x 轴上找一点D ，使得四边形ABCD 的周长最小，则点C 的坐标是，点D 的坐标是4.已知：如图，D 为AB 上一动点，分别过点A 、B 作AB CA ⊥于点A ，AB EB ⊥于点B ，联结CD 、DE .（1）请问：点D 满足什么条件时，DE CD +的值最小？（2）若8=AB ，4=AC ，2=BE ，设x AD =.用含x 的代数式表示DE CD +的长（直接写出结果）.(3)参考上述问题解决的方法，请构造图形，并求出代数式()22144x x ++-+的最小值.5. （1）如图，等腰直角三角形ABC 的直角边长为2，E 是斜边AB 的中点，P 是AC 边上的一动点，则PB+PE 的最小值为；OM ANA B CDE（第24题图）图 2图 1CB A E PC B A（2）如图, △ABC 中，AB=2，∠BAC=300,若在AC 、AB 上各取一点M 、N 使BM+MN 的值最小，求这个最小值；6.如图，村庄A 、B 位于一条小河的两侧，若河岸a 、b 彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥CD ，问桥址应如何选择，才能使A 村到B 村的路程最近？7.如图，A 、B 是直线a 同侧的两定点，定长线段PQ 在a 上平行移动，问PQ 移动到什么位置时，AP+PQ+QB 的长最短？8.如图，在平面直角坐标系中，直线l是第一、三象限的角平分线．实验与探究：（1）由图观察易知A（0，2）关于直线l的对称点A′的坐标为（2，0），请在图中分别标明B（5，3）、C（－2，5）关于直线l的对称点B′、C′的位置，并写出他们的坐标：B′、C′；归纳与发现：（2）结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P（a，b）关于第一、三象限的角平分线l的对称点P′的坐标为（不必证明）；运用与拓广：（3）已知两点D（1，－3）、E（－1，－4），试在直线l上确定一点Q，使点Q到D、E两点的距离之和最小，并求出Q点坐标．9.如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC＝10千米，BD＝30千米，且CD＝30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？。

2019中考数学专题练习-点到直线的距离(含解析)

备战2019中考数学专题练习-点到直线的距离（含解析）一、单选题1.如图所示，点P到直线l的距离是（）A. 线段PA的长度B. 线段PB的长度C. 线段PC的长度D. 线段PD 的长度2.在同一平面内，已知线段AB的长为10厘米，点A，B到直线l的距离分别为6厘米和4厘米，则符合条件的直线l的条数为（）A. 2条B. 3条C. 4条D. 无数条3.如图，能表示点到直线（线段）的距离的线段有（）A. 3条B. 4条C. 5条D. 6条4.如图，PO⊥OR，OQ⊥PR，能表示点到直线（或线段）的距离的线段有（）A. 五条B. 二条C. 三条D. 四条5.如图，PO⊥OR，OQ⊥PR，则点O到PR所在直线的距离是线段（）的长．A. POB. ROC. OQD. PQ6.定义：直线l1与l2相交于点O，对于平面内任意一点M，点M到直线l1、l2的距离分别为p、q，则称有序实数对（p，q）是点M的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是（1，2）的点的个数是（）A. 2B. 3C. 4D. 57.同一平面内，三条不同直线的交点个数可能是（）个．A. 1或3B. 0、1或3C. 0、1或2D. 0、1、2或38.如图，点A在直线l1上，点B，C分别在直线l2上，AB⊥l2于点B，AC⊥l1于点A，AB=4，AC=5，则下列说法正确的是（）A. 点B到直线l1的距离等于4B. 点A到直线l2的距离等于5C. 点B到直线l1的距离等于5D. 点C到直线l1的距离等于59.如图，PO⊥OR，OQ⊥PR，则点O到PR所在直线的距离是线段的长．（）A. POB. ROC. OQD. PQ10.如图所示，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足分别为A，D，下列说法不正确的是（）A. 点A到BC的垂线段为ADB. 点C到AD的垂线段为CDC. 点B到AC的垂线段为ABD. 点D到AB的垂线段为BD11.在下列语句中，正确的是（）A. 在平面上，一条直线只有一条垂线B. 过直线上一点的直线只有一条C. 在同一平面内，过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条D. 垂线段就是点到直线的距离二、填空题12.如图所示，若∠ACB=90°，BC=8cm，AC=6cm，则B点到AC边的距离为________ cm．13.如图，BC⊥AC，CB=8cm，AC=6cm，AB=10cm，那么点B到AC的距离是________ cm，点A到BC的距离是________ cm，C到AB的距离是________ cm．14.如图，过A点画与直线BC垂直的线段，A点到BC的距离是线段________的长，过B点画直线AC的垂线段，B点到AC的距离是线段________的长．15.如图，想在河堤两岸搭建一座桥，搭建方式最短的是________，理由________；三、解答题16.如图，有两堵围墙，有人想测量地面上两堵围墙内所形成的∠AOB的度数，但人又不能进入围墙，只能站在墙外，请问该如何测量？四、综合题17.如图所示，在正方形ABCD的对角线AC上有一只蚂蚁P从点A出发，沿AC匀速行走，蚂蚁从A点到C点行进过程中：（1）所经过的点P到AD，BC边的距离是怎么变化的？（2）所经过点P到CD，BC边距离有何数量关系？为什么呢？18.阅读理解：已知点P（x0，y0）和直线y=kx+b，则点P到直线y=kx+b的距离，可用公式d= 计算．例如：求点P（﹣1，2）到直线y=3x+7的距离．解：因为直线y=3x+7，其中k=3，b=7．所以点P（﹣1，2）到直线y=3x+7的距离为：d= = = = ．根据以上材料，解答下列问题：（1）求点P（1，﹣1）到直线y=x﹣1的距离；（2）已知⊙Q的圆心Q坐标为（0，5），半径r为2，判断⊙Q与直线y= x+9的位置关系并说明理由；（3）已知直线y=﹣2x+4与y=﹣2x﹣6平行，求这两条直线之间的距离．答案解析部分一、单选题1.【答案】B【考点】点到直线的距离【解析】【解答】解：∵PB⊥直线l于点B∴点P到直线l的距离是线段PB的长度故答案为：B【分析】根据点到直线的距离（直线外一点到这条直线的垂线段的长度）的定义，即可求解。

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方法技巧专题(十) 最短距离训练【方法解读】探究平面内最短路径的原理主要有以下两种:一是“垂线段最短”,二是“两点之间,线段最短”.立体图形上的最短路径问题需借助平面展开图转化为平面问题.求平面内折线的最短路径通常用轴对称变换、平移变换或旋转变换等转化为两点之间的线段.1.矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图F10-1,点B的坐标为(3,4),D是OA的中点,点E在AB上,当△CDE的周长最小时,点E的坐标为()图F10-1A.(3,1)B. (3,)C.(3,)D.(3,2)2.[2018·宜宾] 在△ABC中,若O为BC边的中点,则必有:AB2+AC2=2AO2+2BO2成立.依据以上结论,解决如下问题:如图F10-2,在矩形DEFG中,已知DE=4,EF=3,点P在以DE为直径的半圆上运动,则PF2+PG2的最小值为()图F10-2A.B.C.34D.103.[2017·天津] 如图F10-3,在△ABC中,AB=AC,AD,CE是△ABC的两条中线,P是AD上的一个动点,则下列线段的长等于BP+EP最小值的是()图F10-3A.BCB.CEC.ADD.AC4.[2017·莱芜] 如图F10-4,菱形ABCD的边长为6,∠ABC=120°,M是BC边的一个三等分点,P是对角线AC上的动点,当PB+PM的值最小时,PM的长是 ()图F10-4A.B.C.D.5.[2017·乌鲁木齐] 如图F10-5,点A(a,3),B(b,1)都在双曲线y=上,点C,D分别是x轴、y轴上的动点,则四边形ABCD周长的最小值为()图F10-5A.5B.6C.2+2D.86.[2018·泰安] 如图F10-6,☉M的半径为2,圆心M的坐标为(3,4),点P是☉M上的任意一点,PA⊥PB,且PA,PB与x轴分别交于A,B两点,若点A,B关于原点O对称,则AB的最小值为()图F10-6A.3B.4C.6D.87.[2018·滨州] 如图F10-7,∠AOB=60°,点P是∠AOB内的定点且OP=,若点M,N分别是射线OA,OB 上异于点O的动点,则△PMN周长的最小值是()图F10-7A.B.C.6D.38.[2018·遵义] 如图F10-8,抛物线y=x2+2x-3与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点P是抛物线对称轴上任意一点,若点D,E,F分别是BC,BP,PC的中点,连结DE,DF,则DE+DF的最小值为.图F10-89.[2018·黑龙江龙东] 如图F10-9,已知正方形ABCD的边长为4,点E是AB边上一动点,连结CE.过点B 作BG⊥CE于点G.点P是AB边上另一动点,则PD+PG的最小值为.图F10-910.[2018·广安改编] 如图F10-10,已知抛物线y=x2+bx+c与直线y=x+3相交于A,B两点,交x轴于C,D两点,连结AC,BC,已知A(0,3),C(-3,0).(1)求此抛物线的解析式;(2)在抛物线的对称轴l上找一点M,使|MB-MD|的值最大,并求出这个最大值.图F10-1011.[2018·广州] 如图F10-11,在四边形ABCD中,∠B=∠C=90°,AB>CD,AD=AB+CD.(1)利用尺规作∠ADC的平分线DE,交BC于点E,连结AE(保留作图痕迹,不写作法);(2)在(1)的条件下,①证明:AE⊥DE;②若CD=2,AB=4,点M,N分别是AE,AB上的动点,求BM+MN的最小值.图F10-11参考答案1.B[解析] 如图,作点D关于直线AB的对称点H,连结CH与AB的交点为E,此时△CDE的周长最小.∵D(,0),A(3,0),∴H(,0),可求得直线CH的解析式为y=-x+4.当x=3时,y=,∴点E的坐标为(3,).故选B.2.D[解析] 取GF的中点O,连结PO,则根据材料可知PF2+PG2=2PO2+2OG2=2PO2+2×22=8+2OP2,若使PF2+PG2的值最小,则必须OP的值最小,所以PO垂直于GF时PO的值最小,此时PO=1,所以PF2+PG2的最小值为10.故选D.3.B[解析] 连结PC.由AB=AC,可得△ABC是等腰三角形,根据“等腰三角形的三线合一性质”可知点B 与点C关于直线AD对称,BP=CP,因此BP+EP的最小值为CE.故选B.4.A[解析] 如图,连结BD,DM,BD交AC于点O,DM交AC于点P,则此时PB+PM的值最小.过点D作DF⊥BC于点F,过点M作ME∥BD交AC于点E.∵∠ABC=120°,∴∠BCD=60°.又∵DC=BC,∴△BCD是等边三角形.∴BF=CF=BC=3.∴MF=CF-CM=3-2=1,DF=BF=3.∴DM==2.∵ME∥BD,∴△CEM∽△COB.∴===.又∵OB=OD,∴=.∵ME∥BD,∴△PEM∽△POD.∴==,∴PM=DM=×2=.故选A.5.B[解析] ∵点A(a,3),B(b,1)都在双曲线y=上,∴a=1,b=3,∴A(1,3),B(3,1),则AB===2.作点A关于y轴的对称点A1,作点B关于x轴的对称点B1,连结A1B1,交y 轴于点D,交x轴于点C,则A1(-1,3),B1(3,-1),A1B1===4,根据轴对称的性质,四边形ABCD周长的最小值是AB+A1B1=2+4=6.故选B.6.C[解析] 连结OP,∵PA⊥PB,∴∠APB=90°.∵AO=BO,∴AB=2PO.若要使AB取得最小值,则PO需取得最小值,如图,连结OM,交☉M于点P',当点P位于点P'位置时,OP'取得最小值,过点M作MQ⊥x轴于点Q,则OQ=3,MQ=4,∴OM=5.又∵MP'=2,∴OP'=3,∴AB=2OP'=6.故选C.7.D[解析] 如图,分别以OA,OB为对称轴作点P的对称点P1,P2,连结P1P2,OP1,OP2,P1P2分别交射线OA,OB 于点M,N,则此时△PMN的周长有最小值,△PMN周长等于=PM+PN+MN=P1M+P2N+MN,根据轴对称的性质可知,OP1=OP2=OP=,∠P1OP2=120°,∠OP1M=30°,过点O作MN的垂线段,垂足为Q,在△OP1Q中,可知P1Q=,所以P1P2=2P1Q=3,故△PMN周长的最小值为3.故选D.8.[解析] 因为点D,E,F分别是BC,BP,PC的中点,所以DE,DF是△PBC的中位线,所以DE=PC,DF=PB,所以DE+DF=(PC+PB),即求PC+PB的最小值.因为B,C为定点,P为对称轴上一动点,点A,B关于对称轴对称,所以连结AC,与对称轴的交点就是点P的位置,PC+PB的最小值等于AC的长度,由抛物线的解析式可得,A(-3,0),C(0,-3),AC=3,所以DE+DF=(PC+PB)=.9.2-2[解析] 由问题“PD+PG的最小值”考虑到“最短路径问题”,由于点D为定点,因此考虑作点D关于AB轴对称的点M,如图①,连结PM,GM,则MP=DP.根据两点之间线段最短,当M,P,G三点不在同一条直线上时,PM+PG>MG,即DP+PG>MG;当M,P,G三点在同一条直线上时,PM+PG=MG,即DP+PG=MG,因此,当PD+PG取最小值时,M,P,G三点在同一条直线上,此时DP+PG=MG.进一步得到:当MG取得最小值时,DP+PG随之取得最小值.下面分析MG何时取得最小值.注意到问题与点G有关,点G是△BCG的直角顶点,△BCG的斜边为定值,因此,其斜边的一半也为定值,因此取BC中点N,连结GN,则GN的长为2.连结MN,结合定点M,可知MN也为定值.再分析点G,无论点E怎样变化,点G始终在以N为圆心,NG长为半径的圆上.根据三角形两边之差小于第三边,可知,当点M,G,N不在同一直线上时,MG>MN-GN,进一步可知,当点G在线段MN上时,MG=MN-GN,此时MG最小,最小值为MN-GN.如图②,易知MN的长,进一步可得结果.如图②,作点D关于AB轴对称的点M,取BC中点N,连结MN,交AB于点P,以BC为直径画圆,交MN于点G,则DP=MP,∴DP+PG=MP+PG=MG=MN-GN.作NQ⊥AD于Q,则MN==2,∴MN-GN=2-2,∴PD+PG的最小值为2-2.10.解:(1)∵抛物线y=x2+bx+c经过点A(0,3),C(-3,0),∴解得∴抛物线的解析式为y=x2+x+3.(2)根据二次函数图象的对称性可知MD=MC,要求|MB-MD|的值最大,就是使|MB-MC|的值最大,由三角形两边之差小于第三边,得当点B,C,M在同一条直线上时,|MB-MD|的值最大.由一次函数和二次函数的图象交于A,B两点,得x2+x+3=x+3,解得x=-4或x=0.当x=-4时,y=1,即点B(-4,1).∵点C(-3,0),∴BC==,∴|MB-MD|的最大值为.11.解:(1)如图:(2)①证明:如图,延长DE,AB相交于点F.∵∠ABC=∠C=90°,∴∠ABC+∠C=180°.∴AB∥CD.∴∠CDE=∠F.∵DE平分∠ADC,∴∠ADE=∠CDE.∴∠ADE=∠F.∴AD=AF=AB+BF.又AD=AB+CD,∴AB+BF=AB+CD.∴BF=CD.在△CED和△BEF中,∴△CED≌△BEF.∴DE=EF.又AD=AF,∴AE⊥DE.②如图,作DH垂直AB于点H,作点N关于AE的对称点N',连结MN',则MN=MN'.∴BM+MN=BM+MN'.由①可得AE平分∠DAB,∴点N'在AD上.∴当点B,M,N'共线且BN'⊥AD时,BM+MN'有最小值,即BM+MN有最小值.在Rt△ADH中,AD=AB+CD=6,AH=AB-BH=2,由勾股定理可得,DH===4.∵∠DHA=∠BN'A=90°,∠DAH=∠BAN',∴△DAH∽△BAN',∴=,∴=.∴BN'=.∴BM+MN的最小值为.。