解直角三角形(2)
2015年人教版28.2_解直角三角形(二)(三)提高训练(含答案)
28.2 解直角三角形（二）1.如图1，在△ABC中,∠C=90°,点D在BC上，CD=3，AD=BC,且cos∠ADC=3/5，则BD的长是( ) A.4 B.3 C.2 D.1a图1 图２图3 图42，图2在离地面高度5 m处引拉线固定电线杆，拉线与地面成60°角，则AC=____，AD=____.（用根号表示）3.如图3，初三年级某同学要测量校园内的旗杆AB的高度.在地面上C点用测角仪测得旗杆顶A 点的仰角为∠AFE=60°，再沿着直线BC后退8米到D，在D点又测得旗杆顶A的仰角∠AGE=45°.已知测角仪的高度为1.6米，求旗杆AB的高度.（3的近似值取1.7，结果保留1位小数）4.如图4，在比水面高2 m的A地，观测河对岸有一直立树BC的顶部B的仰角为30°，它在水中的倒影B′C顶部B′的俯角是45°，求树高BC.（结果保留根号）5.如图5，两建筑物的水平距离为a米，从A点测得D点的俯角为α，测得C点的俯角为β，则较低建筑物CD的高度为( ) A.a B.atanα C.a(s inα－cosα) D.a(tanβ－tanα)图5 图6 图7 图86.有人说，数学家就是不用爬树或把树砍倒就能够知道树高的人.小敏想知道校园内一棵大树的高度（如图6），他测得CB=10米，∠ACB=50°，请你帮他算出树高AB,约为________________米.（注：①树垂直于地面；②供选用数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2）7.如图7，塔AB和楼CD的水平距离为80米，从楼顶C处及楼底D处测得塔顶A的仰角分别是45°和60°.求塔高与楼高.（精确到0.01米）（参考数据2=1.414 21，3=1.732 05）8.如图8,某船向正东方向航行,在A处望见某岛C在北偏东60°方向，前进6海里到B点，测得该岛在北偏东30°方向.已知该岛周围6海里内有暗礁,若该船继续向东航行,有无触礁危险?请说明理由.(参考数据:3≈1.732)9.如图9，武当山风景管理区，为提高游客到某景点的安全性，决定将到达该景点的步行台阶进行改善，把倾角由44°减至32°，已知原台阶AB的长为5米（BC所在地面为水平面）.（1）改善后的台阶会加长多少？（2）改善后的台阶多占多长一段地面？（精确到0.01米）(sin44°= 0.6946 ,sin32°)= 0.5299, tan32° = 0.6248)图910.如图10,某海关缉私艇巡逻到达A处时接到情报，在A处北偏西60°方向的B处发现一艘可疑船只正以24海里/时的速度向正东方向前进，上级命令要对可疑船只进行检查，该艇立即沿北偏西45°的方向快速前进，经过1个小时的航行，恰好在C处截住可疑船只，求该艇的速度.(结果保留整数,6=2.449,3=1.732,2=1.414)图1028.2 解直角三角形（三）一、课前预习 (5分钟训练)1.在下列情况下，可解的直角三角形是( ) A.已知b=3，∠C=90° B.已知∠C=90°,∠B=46°C.已知a=3,b=6,∠C=90°D.已知∠B=15°,∠A=65°2.如图1，用测倾仪测得校园内旗杆顶点A 的仰角α＝45°，仪器高CD ＝1.2 m ，测倾仪底部中心位置D 到旗杆根部B 的距离DB=9.8 m ，这时旗杆AB 的高为________ m.3.有一大坝其横截面为一等腰梯形，它的上底为6 m ，下底为10 m ，高为32 m,则坡角为_______. 二、课中强化(10分钟训练)1树被风折断，折断部分与地面夹角为30°，树尖着地处与树根的距离是35米，则原树高是____ m. 2.一等腰三角形顶角为100°,底边长为12，则它的面积是______________ (tan40° = 0.8391). 3.如图2，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB,CD=3，BD=32,求AB 及∠B.4.如图3，已知线段AB 、CD 分别表示甲、乙两幢楼的高，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，从甲楼顶部A 处测得乙楼顶部C 的仰角α=30°，测得乙楼底部D 的俯角β=60°，已知甲楼高AB=24 m ， 求乙楼CD 的高.三、课后巩固(30分钟训练)1.菱形ABCD 的对角线AC 长为10 cm,∠BAC=30°,那么AD 为( ) A.3310B.33C.3315 D.32.Rt △ABC 中,∠C=90°,CD 是斜边AB 上的中线，BC=4，CD=3，则∠A≈_________. sinA≈0.666 73.如图4所示，为了测量河流某一段的宽度，在河北岸选了一点A ，在河南岸选相距200米的B 、C 两点，分别测得∠ABC=60°，∠ACB=45°.求这段河的宽度.（精确到0.1米）4.如图4，高速公路路基的横断面为梯形，高为4 m ，上底宽为16 m ，路基两边斜坡的坡度分别为i=1∶1，i′=1∶2,求路基下底宽.图45.为缓解“停车难”问题，某单位拟建造地下停车库，建筑设计师提供了该地下停车库的设计示意图（图5）.按规定，地下停车库坡道口上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶入，为标明限高，请你根据该图计算CE.（精确到0.1 m ）(，，）图56.如图6，某校九年级3班的学习小组进行测量小山高度的实验活动.部分同学在山脚下点A 测得山腰上一点D 的仰角为30°，并测得AD 的长度为180米；另一部分同学在山顶点B 测得山脚点A 的俯角为45°，山腰点D 的俯角为60°，请你帮助他们计算出小山的高度BC.（计算过程和结果不取近似值）图628.2 解直角三角形（二）参考答案1.如图1，在△ABC 中,∠C=90°,点D 在BC 上，CD=3，AD=BC,且cos ∠ADC=53，则BD 的长是()图1A.4B.3C.2D.1解析：求BD 需求BC,而BC=AD,在Rt △ADC 中,已知一角一边,可求出AD. 在Rt △ADC 中，CD=3，且cos ∠ADC=53，∴AD=5,∴BC=AD=5.∴BD=2. 答案：C2.如图２，在离地面高度 5 m 处引拉线固定电线杆，拉线与地面成60°角，则AC=______，AD=__________.（用根号表示）图２解析：在Rt △ABD 中,∠A=60°，CD=5，∴AC=331060sin =︒CD ,AD=33560tan =︒CD .答案:33103353.如图3，初三年级某同学要测量校园内的旗杆AB 的高度.在地面上C 点用测角仪测得旗杆顶A 点的仰角为∠AFE=60°，再沿着直线BC 后退8米到D ，在D 点又测得旗杆顶A 的仰角∠AGE=45°.已知测角仪的高度为1.6米，求旗杆AB 的高度.（3的近似值取1.7，结果保留1位小数）图3解：设EF 为x 米， 在Rt △AEF 中,∠AFE=60°， ∴AE=EF·tan60°=3x ，在Rt △AGE 中,∠AGE=45°， ∴AE=GE·tan45°=GE=8+x. ∴3x=8+x.解之,得x=4+43.∴AE=12+43≈18.8.∴AB=20.4(米). 答:旗杆AB 高20.4米.4.如图4，在比水面高2 m 的A 地，观测河对岸有一直立树BC 的顶部B 的仰角为30°，它在水中的倒影B′C 顶部B′的俯角是45°，求树高BC.（结果保留根号）图4解Rt △AEB 与Rt △AEB′,得AE 与BE 、EB′的关系，解关于x 的方程可求得答案. 解：设树高BC=x(m)，过A 作AE ⊥BC 于E ，在Rt △ABE 中，BE=x －2,∠BAE=30°,cot ∠BAE=BEAE,∴AE=BE·cot ∠BAE=(x －2)·3=3 (x －2).∵∠B′AE=45°,AE ⊥BC. ∴B′E=AE=3(x －2).又∵B′E=B′C+EC=BC+AD=x+2, ∴3(x －2)=x+2.∴x=(4+23)(m).答：树高BC 为(4+23) m.5.如图5，两建筑物的水平距离为a 米，从A 点测得D 点的俯角为α，测得C 点的俯角为β，则较低建筑物CD 的高度为()图5A.aB.atanαC.a(sinα－cosα)D.a(tanβ－tanα) 解析:过D 点作AB 的垂线交AB 于E 点，在 Rt △ADE 中,∠ADE=α,DE=a, ∴AE=a·tanα.在Rt △ABC 中,∠ACB=β,BC=a, ∴AB=a·tan β.∴CD=AB －AE=a·tan β－a·tan α. 答案:D6.有人说，数学家就是不用爬树或把树砍倒就能够知道树高的人.小敏想知道校园内一棵大树的高度（如图6），他测得CB=10米，∠ACB=50°，请你帮他算出树高AB,约为________________米. （注：①树垂直于地面；②供选用数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2）图6解析:AB=BC·tanC=12(米). 答案:127.如图7，塔AB 和楼CD 的水平距离为80米，从楼顶C 处及楼底D 处测得塔顶A 的仰角分别是45°和60°.求塔高与楼高.（精确到0.01米）（参考数据2=1.414 21，3=1.732 05）图7解：在Rt △ABD 中,BD=80米，∠BDA=60°，∴AB=BD·tan60°=803≈138.56（米）. Rt △AEC 中,EC=BD=80,∠ACE=45°， ∴AE=CE=80(米).∴CD=AB －AE≈58.56（米）.答:塔高与楼高分别为138.56米、58.56米.8.如图8,某船向正东方向航行,在A 处望见某岛C 在北偏东60°方向，前进6海里到B 点，测得该岛在北偏东30°方向.已知该岛周围6海里内有暗礁,若该船继续向东航行,有无触礁危险?请说明理由.(参考数据:3≈1.732)图8解:继续向东行驶,有触礁的危险. 过点C 作CD 垂直AB 的延长线于D,∵∠CAB=30°,∠CBD=60°,∴∠BCD=30°. 设CD 的长为x,则tan ∠CBD=BDxBD CD =,∴BD=33x. ∴tan ∠CAB=tan30°=x x AD CD 33633+==.∴x=33.∴x≈5.2<6.∴继续向东行驶,有触礁的危险.9.如图9，武当山风景管理区，为提高游客到某景点的安全性，决定将到达该景点的步行台阶进行改善，把倾角由44°减至32°，已知原台阶AB 的长为5米（BC 所在地面为水平面）. （1）改善后的台阶会加长多少？（精确到0.01米） （2）改善后的台阶多占多长一段地面？（精确到0.01米）图9解：（1）如图，在Rt △ABC 中，AC=AB·sin44°=5sin 44°≈3.473. 在Rt △ACD 中，AD=︒=︒32sin 473.332sin AC ≈6.554.∴AD －AB=6.554－5≈1.55.即改善后的台阶会加长1.55米, （2）如图，在Rt △ABC 中， BC=ABcos44°=5cos44°≈3.597. 在Rt △ACD 中，CD=︒=︒32tan 473.332tan AC ≈5.558，∴BD=CD －BC=5.558－3.597≈1.96,即改善后的台阶多占1.96米长的一段地面.10.如图10,某海关缉私艇巡逻到达A 处时接到情报，在A 处北偏西60°方向的B 处发现一艘可疑船只正以24海里/时的速度向正东方向前进，上级命令要对可疑船只进行检查，该艇立即沿北偏西45°的方向快速前进，经过1个小时的航行，恰好在C 处截住可疑船只，求该艇的速度.(结果保留整数,6=2.449,3=1.732,2=1.414)图10解：设OA 的长为x ，由于点C 在点A 的北偏西45°的方向上，∴OC=OA=x.根据题意,得tan30°=312243324=⇒+==⇒+x xxx x x +12.AC 2=x 2+x 2⇒AC=22x x +,∴AC≈46（海里）.答：该艇的速度是46海里/时.28.2 解直角三角形（三）参考答案一、课前预习 (5分钟训练)1.在下列情况下，可解的直角三角形是( )A.已知b=3，∠C=90°B.已知∠C=90°,∠B=46°C.已知a=3,b=6,∠C=90°D.已知∠B=15°,∠A=65°解析：一般地，已知两边、已知一个锐角一边、已知一个锐角和两个边的关系或已知三边的关系的直角三角形可解.∴C 正确. 答案：C2.如图-1，用测倾仪测得校园内旗杆顶点A 的仰角α＝45°，仪器高CD ＝1.2 m ，测倾仪底部中心位置D 到旗杆根部B 的距离DB=9.8 m ，这时旗杆AB 的高为________ m.图1解：过C 点作ＡＢ的垂线，垂足为Ｅ点，在Rt △ACE 中,∠ACE=α=45°,BD=9.8,∴AE=9.8.∴AB=AE+CD=11(m). 答案：113.有一大坝其横截面为一等腰梯形，它的上底为6 m ，下底为10 m ，高为32m,则坡角为_______.解：设坡角为α,则坡度=tanα=3)610(2132=-，∴坡角为60°.答案：60°二、课中强化(10分钟训练)1.有一棵树被风折断，折断部分与地面夹角为30°，树尖着地处与树根的距离是35米，则原树高是_______________ m.解析：如图，在Rt △ABC 中,∠A=30°,∠C=90°,AC=35,∴AB=AACcos =10,BC=AC·tanA=5.∴原树高为15米.答案：152.一等腰三角形顶角为100°,底边长为12，则它的面积是_________________.解析：如图所示，作CD ⊥A B ,在Rt △ADC 中,得AD=6,∠ACD=50°，∴CD≈5.03，∴面积为30.18.答案：30.183.如图28-2-3-2，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB,CD=3，BD=32,求AB 及∠B.图2解：过D 点作DE ⊥AB 于E 点，设AC=x ，则AE=x.在Rt △BED 中，得到BE=3,又由AB 2=AC 2+BC 2，得（3+x ）2=x 2+27,解得x=3,AB=6, sinB=21,∴∠B=30°.4.如图3，已知线段AB 、CD 分别表示甲、乙两幢楼的高，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，从甲楼顶部A 处测得乙楼顶部C 的仰角α=30°，测得乙楼底部D 的俯角β=60°，已知甲楼高AB=24 m ，求乙楼CD 的高.图3解：过点A 作AE ⊥CD ，在Rt △ABD 中，∠ADB=β，AB=24,∴BD=38.在Rt △AEC中,∠CAE=α,BD=38,∴CE=8.∴CD=CE+AB=32(米).三、课后巩固(30分钟训练)1.菱形ABCD 的对角线AC 长为10 cm,∠BAC=30°,那么AD 为( )A.3310 B.33 C.3315 D.3解析:如图，∵AC ⊥BD,∴AD=331030cos 5=︒. 答案：A2.在Rt △ABC 中,∠C=90°,CD 是斜边AB 上的中线，BC=4，CD=3，则∠A≈_________.解析:由CD=3,得AB=6,∴sinA≈0.666 7.∴∠A≈41.8°. 答案：41.8°3.如图4所示，为了测量河流某一段的宽度，在河北岸选了一点A ，在河南岸选相距200米的B 、C 两点，分别测得∠ABC=60°，∠ACB=45°.求这段河的宽度.（精确到0.1米） 解：过A 作BC 的垂线，垂足为D. 在Rt △ADB 中，∠B=60°， ∴∠BAD=30°.∴BD=AD·tan30°=33AD. 在Rt △ADC 中，∠C=45°，∴CD=AD. 又∵BC=200，∴BD+CD=33AD+AD=200. ∴AD=331200≈126.8(米).答：这段河宽约为126.8米.4.如图4，高速公路路基的横断面为梯形，高为4 m ，上底宽为16 m ，路基两边斜坡的坡度分别为i=1∶1，i′=1∶2,求路基下底宽.图4解：作高AE 、DF ，则BE=4,CF=8. ∴CB=28（米）.5.为缓解“停车难”问题，某单位拟建造地下停车库，建筑设计师提供了该地下停车库的设计示意图（图5）.按规定，地下停车库坡道口上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶入，为标明限高，请你根据该图计算CE.（精确到0.1 m ）图5解：在Rt △ABD 中,AB=9,∠BAD=18°， ∴BD≈2.9.∴CD=2.4.在Rt △CDE 中,∠DCE=18°, ∴CE≈2.3(米). 答：略.6.如图6，某校九年级3班的学习小组进行测量小山高度的实验活动.部分同学在山脚下点A 测得山腰上一点D 的仰角为30°，并测得AD 的长度为180米；另一部分同学在山顶点B 测得山脚点A 的俯角为45°，山腰点D 的俯角为60°，请你帮助他们计算出小山的高度BC.（计算过程和结果不取近似值）图6解：如图，作DE ⊥AC 于E,DF ⊥BC 于F,设山高为x 米，在Rt △ADE 中，DE=90，AE=390,∴DF=x-390,BF=x-90.在Rt △BFD 中，DF ∶BF=tan30°, ∴x=90+390（米）.。
第七章第6课时 解直角三角形(2)
BCD第6课时 解直角三角形（2）班级 姓名 学号 ［学习目标］1、能综合应用直角三角形边角关系的知识解直角三角形，进一步体会三角函数的意义与作用；2、经历研讨直角三角形边角关系以及利用这些关系解直角三角形的过程，发展归纳整理知识的能力和计算能力。
［学习过程］问题1、（1）如图，AB 表示地面上一段斜坡的坡面，BC 表示斜面上点B 相对于水平地面AC 的垂直高度，∠A ＝30°，AB=240m ，（1）求sinA 和cosA 的值；（2）求点B 相对于水平地面的高度。
练习：如图是引拉线固定电线杆的示意图，已知：CD ⊥AB ，CD ＝33m ，∠CAD ＝∠CBD ＝60°，求拉线AC 的长。
问题2、小明正在放风筝，风筝线与水平线成30°角时，小明的手离地面1m ，若把放出的风筝线看成一条线段，长95m ，求风筝此时的高度。
（精确到1m ）问题3、如图，求半径为10的圆的内接正五边形的边长（结果精确到0.1）。
（sin36°=0.59, cos 36°=0.81, tan36°=0.73）练习：求半径为20的圆的内接正三角形的边长和面积（结果保留根号）．问题4、在△ABC 中，∠B=30°，AB=10，BC=63，求AC 的长。
练习：在△ABC 中，∠A=75°，∠B=45°， BC=3+1，求AC 和AB 的长。
问题5、在梯形ABCD 中，DC ∥AB ，AD=23，DC=2，∠DAB=30°，∠C BA=60°，求AB 的长。
练习：等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=2，BC=8，面积为A DB 三、课后作业：1．正三角形边长为a ，则其外接圆半径等于 （ ）A ．a 3 B.a 33 C.a 23 D.a 21第七章 锐角三角函数BAAOBH D E CA CBB C2．如图，两条宽度均为40 m 的公路相交成α角，那么这两条公路在相交处的公共部分(图中阴影部分)的路面面积是（ ）m 2A ．αsin 1600 B 。
1.4解直角三角形(2)
3.如图3,一灯柱AB被一钢缆CD固定. CD与地面成400夹角,且DB=5m.现再 在CD上方2m处加固另一根钢缆ED, 那么,钢缆ED的长度为多少? (结果精确到0.01m).源自C图2图3
在直角三角形BCD和直角三角形 BED中，
点拔（10分钟）
h 坡度 i tan l
东
一.坡度（坡比）、坡角 如图，坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度（坡比）
在直角三角形ACD和直角三角形 BCD中，
7.（2012湖北黄冈）新星小学门口有一直线马路，为方便 学生过马路，交警在门口设有一定宽度的斑马线，斑马 线的宽度为4米，为安全起见，规定车头距斑马线后端 的水平距离不得低于2米，现有一旅游车在路口遇红灯 刹车停下，汽车里司机与斑马线前后两端的视角分别为 ∠FAE＝15°和∠FAD=30°.司机距车头的水平距离为 0.8 米，试问该旅游车停车是否符合上述安全标准?(E、 D、C、B 四点在平行于斑马线的同一直线上.)
当堂训练（15分钟）
2 x 5.（2010 四川南充）如果方程 4 x 3 0 的两个根分
别是Rt△ABC的两条边，△ABC最小的角为∠A，那 1 2 或 么tanA的值为＿＿＿＿＿＿＿． 3 4 6.（2011山东）校车安全是近几年社会关注的重大问题， 安全隐患主要是超载和超速.某中学数学活动小组设计 了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路l 旁边选取一点C，再在笔直的车道上确定点D，使CD与 l垂直，测得CD的长等于21米，在l上点D的同侧取点A、 B，使∠CAD=30°，∠CBD =60° (1)求AB的长（精确到0.1米， 参考数据： 3 1.73 ， 2 1.41 ）； (2)已知本路段对校车限速为 40千米/小时，若测得某辆校车从 A到B用时2秒，这辆校车是否超 速？说明理由.
解直角三角形(2)
Ａ
b 20
Ｃ
b c b 20 20 c 3 5.1 sin B sin 3 5 0 .5 7
如图 在△ABC中，∠Ｂ＝９０ ° ∠ADB=45 °, ∠ACB=60 ° , DC=10cm 求AB
A
D
C
B
1、在下列直角三角形中不能求解的是（ D）
A、已知一直角边一锐角 B、已知一斜边一锐角 C、已知两边 D、已知两角
A
6
C B
2
例在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=35°,b=20, 解这个直角三角形.(精确到0.1)
参考值
Ｂ
tan35≈0.70 解: ∵
B 35
sin35 ≈0.57
Cos35≈0.82
c
35° a
A 90 B 90 35 55 b tan B a b 20 20 a 28.6 tan B tan35 0.70
30°
20 B
20 E B
D 10 C
2、在Rt△ABC中，∠C=90°，根据下列条件解直 角三角形： （1）a=3,c= 3√2 （2）∠B=60°, b=3．
4、在Rt△ABC中，∠C为直角，AC=6
，
的平分线AD=4 BAC
A
30 60
4 3
3 ，解此直角三角形。
12
30
6 C
60
6 3
D
B
5、在直角△ABC中，∠C=900，cosA= ， ∠B的平分线BD=16，求AB。
6、如图，在ΔABC中，∠A＝6，求AB的长．
如图，在△ABC中，已知AC=6，∠C=75°， ∠B=45°，求:AB的长；
第23章 解直角三角形复习(2)
3 tanB= ，AC= 2 2
B
3 ，求AB的长.
A
C
例题分析
例3、 如图湖泊的中央有一个建筑物AB，某人在地面C 处测得其顶部 A 的仰角为 60°，然后，自 C 处沿 BC 方向 行100m到D点，又测得其顶部A的仰角为30°，求建筑 物的高（结果保留根号）
A的对边 a tan A A的邻边 b
解直角三角形的类型及其解法
已 知 条 件 解 法 步 骤
由 tan A a 求A; B 90 A; b a 求A; B 90 A; c c a 2 b2
两
边 一 边 一 角
两条直角边a,b
斜边，一直角边（如c，a）
A
解：设AB=x
在RtABC中， tan60 AB AB 3 BC x BC tan60 3
30° D 100 C 60° B
在Rt ABD 中， tan 30
BD BC 100 ， 3x
AB AB BD 3x BD tan 30
A B
C
练习
如图，在小山的西侧A处有一热气球，以30米/分钟的速度沿 着与垂直方向所成夹角为30°的方向升空，40分钟后到达C处， 这时热气球上的人发现，在A处的正东方向有一处着火点B，10分 钟后，在D处测得着火点B的俯角为15°，求热气球升空点A与着 火点B的距离.（结果保留根号，参考数据：
6 2 cos15 ， sin 15 4
在解决实际问题时，常用到的一些概念
(1)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的 叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角。（如图1） (2)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母 表示。 坡度（坡比）：坡面的铅垂高度h和水平宽度i的比叫做坡度， h i tg 。（如图2） 即
解直角三角形2(仰角、俯角)[(1)湘教版
=220 1.20 22.7
2、在山脚C处测得山顶A的仰角为45°。问 题如下： 1）沿着水平地面向前300米到达D点，在D点 测得山顶A的仰角为600 , 求山高AB。
A
3x
45° 60°
C
D
x B
2、在山脚C处测得山顶A的仰角为450。问题如下：
变式： 沿着坡角为30 °的斜坡前进300米到达D 点，在D点测得山顶A的仰角为600 ,求山高AB。
10m
F
4 3m
1.5m
A
0.9m
E D C
1、解直角三角形的关键是找到与已知和未知相关联
的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过 作辅助线构筑直角三角形（作某边上的高是常用的辅 助线）；当问题以一个实际问题的形式给出时，要善 于读懂题意，把实际问题化归为直角三角形中的边角 关系。 2、一些解直角三角形的问题往往与其他知识联系， 所以在复习时要形成知识结构，要把解直角三角形作 为一种工具，能在解决各种数学问题时合理运用。
P
A
B
4、如图，为了测量高速公路的保护石堡坎与地面 的倾斜角∠BDC是否符合建筑标准，用一根长为 10m的铁管AB斜靠在石堡坎B处，在铁管AB上量 得AF长为1.5m，F点离地面的距离为0.9m，又量 出石堡坎顶部B到底部D的距离为 m ，这样能计 算出∠BDC吗？若能，请计算出∠BDC的度数，若 不能，请说明理由。 B
α
2. 两座建筑AB及CD，其 地面距离AC为50.4米，从 AB的顶点B测得CD的顶 部D的仰角β ＝250,测得 其 底 部 C 的 俯 角 a ＝ 500, 求两座建筑物AB及CD的 高.（精确到0.1米）
A
C
B
课本P92 例4
解直角三角形2
C
本题是已 知一直角边和一 锐角，求其他的 边和角。
6
则，AC=√AB2﹣BC2=√（4√3）2﹣62 =2√3 ∴∠A=90°﹣∠B=90°﹣ 30°=60°
：如图，在△ABC中 ，∠ACB=90°，CD⊥AB于D， ∠B=30° CD=6，求AB的长。
解：∵CD⊥AB ∴∠CDB=90°
C
又∵ ∠B = 30 ° CD = 6 ∴BC = 2CD = 2×6 =12 在Rt △ACB中∠ACB=90°， ∠B=30 °
1.4 解直角三角形2
9.11 辛庄初中 孙健
教学目标： 是学生能够熟练的解直角三角形
• 教学重难点 • 重点：会利用一边，一角解直角三角形 • 难点：利用所学知识解直角三角形
(1)直角三角形的三边有什么关系?
(2)直角三形的锐角之间有什么关系?
A B 90 (3)直角三角形的边和锐角之间有什么关系 ?
B
24
D
课后作业
课后作业
配套练习册
解直角三角形的依据 在Rt△ABC中，若∠C=90°， ∠A 、 ∠B 、 ∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，AB边上的高为h (1) 三边间的关系:a2+b2=c2(勾股定理) (2) 锐角间的关系:∠A+ ∠B=90° (3) 边角间的关系:
a b ; cos A ; t an A c c b a sin B ; cos B ; t an B c c sin A a ; cot A b b ; cot B a b ; a a . b
A D
B
BC 那么 cosB = —— AB BC 12 ∴ AB = —— = —— =8√3 cosB cos30°
解直角三角形(二)
解直角三角形（二）主讲：黄冈中学数学高级教师 知识归纳:李平友仰角与俯角：在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫仰角；从 上往下看，视线与水平线的夹角叫俯角．如图所示：精讲精练： 例 1、如图所示，一位同学在高为 40m 的建筑物的顶端 A 处，测得另一建筑物的 顶部 D 点的俯角α 为 50°，测得底部 C 点的俯角β 为 65°，试求另一建筑物的 高 CD（精确到 0.1m）．解： 延长 CD 交过 A 点的水平线于 E，则∠E=90°．设 AE 的长为 x m，在 Rt△ADE 中， ∴ED=AE·tanα =tan50°·x．，在 Rt△ACE 中，，∴CE=tanβ ·AE=tan65°·x．∵CE=40m，∴tan65°·x=40， ∴DE=tan50°·x=18.65×tan50°≈22.23（m） ∴DC=CE－DE=40－22.23≈17.8（m） 答：另一建筑物 CD 的高约为 17.8m． 变式练习 1：．如图，为测量建筑物 AB 的高度，先测标杆 CD 的高度为 2m，并分别在 C、D 处测得建筑物 AB 的顶点处的仰角为β =60°，α =45°，求建筑物 AB 的高度．解： 过 D 作 DE⊥AB 于 E，则四边形 EBCD 为矩形， ∴DE=CB，BE=CD，设 DE=BC=x m．（视频中应加括号）例 2、汶川地震后，抢险队派一架直升机去 A、B 两个村庄抢险，飞机在距地面 450 米的上空 P 点，测得 A 村的俯角为 30°，B 村的俯角为 60°，如图所示，求 A、B 两个村庄之间的距离．（精确到 1m．参考数据 ）解： 如图，过 P 作 PC⊥AB 于 C，依题意∠DPA=30°，∠DPB=60°， ∵PD∥AC，∴∠A=30°，∠PBC=60°．变式练习 2： 如图，B、C 是河岸边两点，A 是对岸岸边一点，小明测得∠ABC=45°，∠ ACB=30°，BC=60m，他很快求出了河的宽度，你知道他是怎样求出来的吗？变式练习 3： 如图，河两岸 a，b 互相平行，C，D 为河岸 a 上间隔 50m 的两根电线杆，某 人在河岸 b 上的 A 处测得∠DAB=30°，然后沿河岸走了 100m 到达 B 处，测得∠ CBF=60°．求河流的宽（精确到 1m）．答案： 如图，过 C 作 CE∥AD 交 b 于 E，过 C 作 CF⊥AB 于 F， 则∠CEB=30°，∵∠CBF=60°，∴∠ECB=30°=∠CEB， ∴CB=BE=100－50=50（m）即河宽为 43m． 例 3、如图所示，A、B 两地间有一条河，原来从 A 地到 B 地需要经过 D、C，沿 折线 A→D→C→B 到达，现在新建了桥 EF，可直接沿直线 AB 从 A 地到 B 地．已 知 BC=11km，∠A=45°，∠B=37°，桥 DC 与 AB 平行，则现在从 A 地到达 B 地可 比原来少走多少路程？（精确到 0.1km， 0.80） ，sin37°≈0.60，cos37°≈答案： 分别过 D、C 作 DH⊥AB 于 H，CG⊥AB 于 G． 在 Rt△CBG 中，CG=sin37°×11（km），∴DH=sin37°×11（km）， 在 Rt△ADH 中，AH=DH=sin37°×11≈6.60（km），， 在 Rt△CBG 中，BG=BCcos37°=11cos37°≈8.80（km）． ∴少走 9.33＋11－6.60－8.80≈4.9（km） 1、桥头堡高 10 米，在堡顶发现附近有一可疑点，测得其俯角为 40°，则可疑 物距堡底__________米（精确到 0.1 米）． 2、如图，太阳光线与地面成 60°角，一棵倾斜的大树与地面成 30°角，这时测 得大树在底面的影长为 10 米， 则大树的长约为__________ （保留两个有效数字） ．3、如图，小明在操场上距离旗杆 AB 的距离为 9m 的 C 处，用测角仪测得旗杆顶 端 A 的仰角为 30°，测角仪高 CD=1.2 米，则旗杆 AB 的高为__________米．4、把一块三角形草地记为△ABC，量得∠A=60°，AB=6m，AC=4m，则△ABC 的面 积为__________m ．25、一架飞机在空中 A 处测得地面 B 处的俯角为 30°，飞行高度 AC=1200m，则飞 机在 A 处距 B 处水平距离__________m． 6、 一架飞机在高为 1000m 的高空， 在前进的方向上同时测得桥头的俯角为 30°， 桥尾的俯角为 60°，由此算出桥长为__________m．隐藏答案1、11.9 2、17 米 3、4、5、6、二、选择题 7、王师傅在楼顶的 A 处测得楼前一棵树 CD 的顶端 C 的俯角为 60°，又知水平 距离 BD 为 10m，楼高 AB 为 24m，则树高 CD 为（ ）m．8、 如图， 在高为 60m 的小山上， 测得山底一建筑物顶端与底部的俯角分别为 30°， 60°，则这个建筑物的高度为（ ）m．A．20 三、综合题B．30C．40D．509、某市在迎接奥运圣火活动中，在一教学楼上悬挂着宣传条幅 DC，如图．小明 同学在点 A 处，测得条幅顶端 D 的仰角为 30°，再向条幅方向前进 10 米后，又 在点 B 处测得条幅顶端 D 的仰角为 45°， 已知测点 A、 B 和 C 离地面高度都为 1.44 米，求条幅顶端 D 点距离地面的高度．（结果精确到 0.1 米，参考数据 ）隐藏答案10、如图，小明为测量一氢气球离地的高度 CD，他在地面上相距 80 米的 A、B 两点，测得∠CAD=43.8°，∠CBD=39.2°，已知 A、D、B 三点在同一条直线上，求氢气球离地面的高度．（结果精确到 0.1 米．参考数据：sin43.8°=0.69， tan43.8°=0.96，sin39.2°=0.63，tan39.2°=0.82）隐藏答案11、如图，某海滨浴场的岸边可以近似地看成直线，位于岸边 A 处的救生员发现 海中 B 处有人求救，1 号救生员没有直接从 A 处游向 B 处，而是在岸边自 A 处跑 300 米到距离 B 最近的 D 处，然后游向 B 处．假若所在救生员在岸边跑的速度为 6m/s，在海中游的速度为 2m/s，∠BAD=45°． （1）根据以上条件分析 1 号救生员的选择是否正确； （2） 若 2 号救生员同时从 A 处在岸边跑到 C 处， 再游向 B 处， 且∠BCD=65°， 问哪名救生员先赶到 B 处救人（本题计算过程中的数值均可精确到 0.1）？隐藏答案解：（1）依题意△ABD 为等腰直角三角形，∴BD=AD=300（m）．，∴1 号救生员直接由 A 游到 B 的时间为：，1 号救生员由 A 到 D 再游到 B 的时间为 ∵210s＞200s，∴1 号救生员选择正确． （2）在 Rt△BCD 中，，∴AC=AD－CD=300－142.9=157.1（m）∴2 号救生员由 A 到 C 再游到 B 的时间为 而 1 号救生员到 B 处时间为 200s，200s＞192.9s， ∴2 号救生员先赶到 B 处救人．．如图 1 是一个三棱柱包装盒，它的底面是边长为 10cm 的正三角形，三个侧面都 是矩形．现将宽为 15cm 的彩色矩形纸带 AMCN 裁剪成一个平行四边形 ABCD（如 图 2），然后用这条平行四边形纸带按如图 3 的方式把这个三棱柱包装盒的侧面 进行包贴（要求包贴时没有重叠部分），纸带在侧面缠绕三圈，正好将这个三棱 柱包装盒的侧面全部包贴满．在图 3 中，将三棱柱沿过点 A 的侧棱剪开，得到如 图 4 的侧面展开图.为了得到裁剪的角度,我们可以根据展开图拼接出符合条件 的平行四边形进行研究. （1）请在图 4 中画出拼接后符合条件的平行四边形； （2）请在图 2 中，计算裁剪的角度（即∠ABM 的度数）.分析： （1）将三棱柱侧面展开，通过平移拼成平行四边形． 解： （1）将图 4 中的△ABE 向左平移 30cm，△CDF 向右平移 30cm，拼成如图下 中的平行四边形，此平行四边形即为图 2 中的□ABCD．（2）由图 2 的包贴方法知：AB 的长等于三棱柱的底边周长，∴AB=30． ∵纸带宽为 15，∴ sin∠ABM= ∴∠AMB=30°．．点评：如图，某航天飞机在地球表面点P的正上方A处，从A处观测到地球上的最远点Q，若∠QAP＝α，地球半径为R，则航天飞机距地球表面的最近距离AP，以及P、Q两点间的地面距离分别是（）A、B、C、D、分析：由题意，连接OQ，则OQ垂直于AQ，在直角三角形OQA中，利用三角函数解得．解：由题意，连接OQ，则OQ垂直于AQ，如图,则在直角△OAQ中有，即．在直角△OAQ中,则∠O＝90°－∠A＝90°－α，由弧长公式得PQ为．故选B．例2、（宁德）图1是安装在斜屋面上的热水器，图2是安装该热水器的侧面示意图.已知，斜屋面的倾斜角为25°，长为2.1米的真空管AB与水平线AD的夹角为40°，安装热水器的铁架水平横管BC长0.2米，求（1）真空管上端B到AD的距离（结果精确到0.01米）；（2）铁架垂直管CE的长（结果精确到0.01米）.分析：（1）过B作BF⊥AD于F．构建Rt△ABF中，根据三角函数的定义与三角函数值即可求出答案．（2）根据BF的长可求出AF的长，再判定出四边形BFDC是矩形，可求出AD与ED的长，再用CD的长减去ED的长即可解答．解：（1）过B作BF⊥AD于F．在Rt△ABF中，∵sin∠BAF＝，∴BF＝ABsin∠BAF＝2.1sin40°≈1.350．∴真空管上端B到AD的距离约为1.35米．（2）在Rt△ABF中，∵cos∠BAF＝，∴AF＝ABcos∠BAF＝2.1cos40°≈1.609．∵BF⊥AD，CD⊥AD，又BC∥FD，∴四边形BFDC是矩形．∴BF＝CD，BC＝FD．在Rt△EAD中，∵tan∠EAD＝，∴ED＝ADtan∠EAD＝1.809tan25°≈0.844．∴CE＝CD－ED＝1.350－0.844＝0.506≈0.51 ∴安装铁架上垂直管CE的长约为0.51米．。
1.3 解直角三角形(2)
S= ab sina
探究活动
如图, ABC中 ∠A为锐角 为锐角,sina= 如图, △在ABC中, ∠A为锐角,sina= 2 , AB+AC=6cm,设AC=xcm, △ABC的面积为ycm . AB+AC=6cm,设 ABC的面积为ycm 的面积为 (1)求 关于x的函数关系式和自变量x的取值范围; (1)求y关于x的函数关系式和自变量x的取值范围; C (2)何时 ABC的面积最大 最大面积为多少? 何时△ 的面积最大, (2)何时△ABC的面积最大,最大面积为多少?
i1＝1∶3 ∶ i2=1∶2.5 ∶
E F
如图所示，某水库大坝的横断面 如图所示， 是等腰梯形，坝顶宽6 m，坝高1 0m， 是等腰梯形，坝顶宽6 m，坝高1 0m， 斜坡AB的坡度为 的坡度为1 现要加高2m， 斜坡AB的坡度为1：2．现要加高2m， 在坝顶宽和斜坡坡度均不变的情况下， 在坝顶宽和斜坡坡度均不变的情况下， 加高一条长为50 m的大坝 的大坝， 加高一条长为50 m的大坝，需要多少 土方? 土方?
水平面的夹角叫做坡角， 坡面与 水平面的夹角叫做坡角，记 作a，有 ， h tan a＝ ＝ｉ.
l
铅垂 高水平长度
坡角
显然，坡度越大，坡角 就越大 坡面就越陡. 就越大， 显然，坡度越大，坡角a就越大，坡面就越陡
一水库大坝的横断面为梯形ABCD， ， 一水库大坝的横断面为梯形 坝顶宽6米 斜坡CD 坝顶宽 米，斜坡 长为60米，斜坡 的 米 斜坡AB的 坡度i 的坡度i ∶ 求 坡度 1＝1∶3，斜坡 的坡度 2=1∶2.5.求： ∶ ，斜坡CD的坡度 的坡角与坝底AD的宽度 （1）斜坡 的坡角与坝底 的宽度；(长 ）斜坡CD的坡角与坝底 的宽度； 长 度精确到0.1米 度精确到 米） 若堤坝长150米 。 问建造这个堤坝需用 （ 2)若堤坝长 若堤坝长 米 多少土石方(精确到 立方米)？ 精确到1立方米 多少土石方 精确到 立方米 ？
人教版九年级下册数学作业课件 第28章解直角三角形 (2)
(2)∠A＝22°，AB＝10.(sin22°≈0.37，cos22°≈0.93， tan22°≈0.40，其中结果精确到 0.1) 解：在 Rt△ABC 中，∠B＝90°－∠A＝90°－22°＝68°. ∵∠A＝22°，AB＝10， ∴AC＝cosA·AB＝cos22°·10≈0.93×10＝9.3， BC＝AB·sinA＝10·sin22°≈0.37×10＝3.7.
又∵∠CDE＝90°，CD＝4，sinE＝CD，∠E＝30°， CE
∴CE＝sCinDE＝sin430°＝41＝8. 2
∴BC＝BE－CE＝6 3－8.
(2)若 sinA＝45，求 AD 的长． 解：∵∠ABE＝90°，AB＝6，sinA＝45＝BAEE， ∴设 BE＝4x，AE＝5x，则 AB＝3x. ∴3x＝6，得 x＝2. ∴BE＝8，AE＝10.
10．如图，在四边形 ABCD 中，AB＝2，BC＝CD＝ 2 3 ， ∠B ＝ 90°， ∠C ＝ 120°， 则 线 段 AD 的 长 为 7. 解析：如图，连接 AC. 在 Rt△ABC 中， ∵∠B＝90°，AB＝2，BC＝2 3， ∴tan∠ACB＝BACB＝223＝ 33.
∴∠ACB＝30°. ∴AC＝2AB＝4. ∵∠BCD＝120°. ∴∠ACD＝∠BCD－∠ACB＝120°－30°＝90°. 在 Rt△ADC 中， ∵∠ACD＝90°，AC＝4，CD＝2 3， ∴AD＝ AC2＋CD2＝ 42＋（2 3）2＝2 7.
解：在
Rt△ABC
中，∠C＝90°，tanA＝
3， 3
∴∠A＝30°，∠ABC＝60°.
∵BD 是∠ABC 的平分线，
∴∠CBD＝∠ABD＝30°.
又∵CD＝ 3， ∴BC＝taCn3D0°＝3. 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30°， ∴AB＝siBn3C0°＝6.
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一、知识准 解直角三角形的依据： 备
二、情景导 航
提出问题，引起学 生学习兴趣
如上图，王英同学从 A 地沿北偏西 60º 方向走 100m 到 B 地，再从 B 地向正南方向走 200m 到
C 地，此时王英同学离 A 地 的距离是多少？
三、探究新 知 如图，在△ABC 中，已知∠A=60º，∠B=45 º，AC=20 厘米，求 AB 的 长. 温馨提示：先动 手试一试，你能把△ABC 通过做辅助线构造成 直角三角吗？
C
组内讨论交流，找 生分析
A
B
四、巩固练 习
1.如下图，在 Rt△ABC 中，∠A=900，AD⊥BC， 垂足为 D，∠B=600，AD=3，求 BC 的长.
A
自主练习，合作交 流
B
D
C
2.在等腰三角形中，AB=AC，且一腰长与底边 的比为 5：8，求 sinB，cosB 的值 3、在△ABC 中，∠ACB=118°，BC=4，求 BC 边 上的高.
莘县翰林中学数学组 第3 周 课 时 教 案
2015 年 9 月 25 日 课 题 备课人 苗雨 课型
第5 节 解直角三角形（2）新授课
总第 15 课时 课时 1 课时
教 学 目 标
1.会把一些非直角三角形的图形转化成直角三角形，从而灵活利用 知 识 与 能 解直角三角形的有关知识解决几何问题. 2. 经历探索通过做辅助线构造直角三角形的转化过程， 体会转化的 力 数学思想. 过 程 经历探索通过做辅助线构造直角三角形的转化过程，体会转化的数 与 方 学思想. 法 情 感 培养学生积极的思考、动手、观察的能力，使学生感悟几何知识在 态 度 生活中的价值． 价 值 观
独立完成，巩固所 学
六 ． 自 我 _______________________________________ 小结
__________ 本节课知识的关键是： _______________________________________ ____ 解直角三角形（二）
畅所欲言，发表观 点
板书 设计 教学 反思
本节课，以学生自己动手测量为主线，让学生经历数学知识的形成 与应用过程，加深对所学知识的理解，从而突破重难点。整节课是一个 动脑猜想、动眼观察、动手测量、巩固应用的动态生成过程，充分发挥 了学生的主观能动性，激发了学生学习数学的积极性。
五．当堂测 试
1.已知正方形的边长是 2cm，对角线的长 为:__________________ 2.等腰梯形，上底长是 1cm，高是 2cm，底角 4 的正弦是 ，求下底长和腰长 5 3.在锐角三角形 ABC 中，∠C=450，AC= 6 ， AB=2，求这个三角形的未知的边和未知的角？ 这节课学习了：
课标要求 重点 难点 教法
教学程序
会把一些非直角三角形的图形转化成直角三角形，从而灵活利用解 直角三角形的有关知识解决几何问题. 准确做辅助线并选择适当的关系解直角三角形. 准确做辅助线并选择适当的关系解直角三角形。 “引导探索法” 教具 学具 小镜子、标杆、皮尺等测量工 （自主探究，合作学 具各 3 套 习，采用小组合作的方 法） 教师活动 学生活动 （1）三边之间的关系： （2）锐角之间的关系： （3）边角之间的关系： 复习回顾旧知识