2009年高考数学压轴试题精选(63页)

2009年高考数学压轴试题精选AAA. 【青岛市2009年高三教学统一质量检测（理）22．】（本小题满分14分）已知等比数列{}n a 的前n 项和为23(R,N )n n S k k n *=⋅+∈∈ （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n b 满足4(5)n na b n a k =+，n T 为数列{}n b 的前n 项和，试比较316n T -与 14(1)n n b ++的大小，并证明你的结论．【解析】：（Ⅰ）由23(R,N )n n S k k n *=⋅+∈∈得:2n ≥时，1143n n n n a S S --=-=⨯………………………2分{}n a 是等比数列，1164a S k ∴==+=2k ∴=-，得 143(N )n n a n -*=⨯∈……4分（Ⅱ）由4(5)n na b n a k =+和143n n a -=⨯得1143n n n b --=⋅……………………6分12312212321221(1)43434343123213(2)443434343n n n n n n n n n n T b b b b b n n T -------∴=++++=++++⋅⋅⋅⋅--=+++++⋅⋅⋅⋅2321111111(2)(1):244343434343n n n n n T ----∴-=+++++-⋅⋅⋅⋅⋅232111111113218838383838316163n n n n n n n T -----+∴=+++++-=-⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ……10分 11(1)21(1)3(21)4(1)(316)333n n n n nn n n n n n n b T +-+++-++--=-=2(1)3(21)53n n n n n +-+=-- ………………………11分∴当2n >或02n <<时有(1)3(21)n n n +>+，所以当5n >(N )n *∈时有13164(1)n n T n b +-<+那么同理可得：当22n <<时有(1)3(2n n n +<+，所以当15n ≤≤(N )n *∈时有13164(1)n n T n b +->+………………………13分 综上：当5n >(N )n *∈时有13164(1)n n T n b +-<+；当15n ≤≤(N )n *∈时有13164(1)n n T n b +->+………………………14分1.【皖东十校09届第一次联考试卷数学（理）22】已知椭圆22122:1(0)x y C a b ab+=>>的离心率为3，直线l :2y x =+与以原点为圆心、以椭圆1C 的短半轴长为半径的圆相切.（I ）求椭圆1C 的方程；（II ）设椭圆1C 的左焦点为1F ，右焦点2F ，直线1l 过点1F 且垂直于椭圆的长轴，动直线2l 垂直1l 于点P ，线段2PF 垂直平分线交2l 于点M ，求点M 的轨迹2C 的方程；（III ）设2C 与x 轴交于点Q ，不同的两点S R ,在2C 上，且满足0,QR RS ⋅=求QS的取值范围.【解析】：（Ⅰ）∵222222221,2333c a b e e a b ac-=∴===∴=∵直线22202:b y x y x l =+=--与圆相切， ∴2,2,222==∴=b b b ∴32=a …………3分 ∵椭圆C 1的方程是12322=+y x ………………6分（Ⅱ）∵MP=MF 2，∴动点M 到定直线1:1-=x l 的距离等于它到定点F 1（1，0）的距离， ∴动点M 的轨迹是C 为l 1准线，F 2为焦点的抛物线 ………………6分 ∴点M 的轨迹C 2的方程为 x y 42= …………9分 （Ⅲ）Q （0，0），设),4(),,4(222121y y S y y R∴),4(),,4(122122121y y y y RS y yQR --==∵0=⋅RS QR∴0)(16)(121212221=-+-y y y y y y∵0,121≠≠y y y ，化简得∴)16(112y y y +-= ………………11分∴6432256232256212122=+≥++=yy y当且仅当 4,16,2561212121±===y y yy 时等号成立 …………13分∵6464)8(41)4(||2222222222≥-+=+=y y y y QS ，又∴当||58||8,64m in 222QS QS y y ，故时，=±==的取值范围是),58[+∞……14分2.【江苏省姜堰中学高三数学阶段调研试卷】（本小题满分16分）函数(),()ln ln ,xf x aeg x x a ==-其中a 为常数，且函数()y f x =和()y g x =的图像在其与坐标轴的交点处的切线互相平行（1）、求函数()y g x =的解析式（2）、若关于x 的不等式()x m g x ->m 的取值范围。

【解析】：（1）//1(),()xf x aeg x x==------2()y f x =的图像与坐标轴的交点为(0,)a ，()y g x =的图像与坐标轴的交点为(,0)a由题意得//(0)(),f g a =即1a a=， ------3又01a a >∴=()ln g x x ∴= ------4（2）由题意()00,1g x x x ≠∴>≠当(1,)x ∈+∞时，ln x m m x x x->⇔<--------6令()x x x ϕ=/()x ϕ∴=------7令()h x =/ln 2,()x h x-∴=-------9当(1,)x ∈+∞时，/()0()h x h x >∴单调递增。

()(1)0h x h ∴>= ------10由m x x <在(1,)x ∈+∞上恒成立，得(1)1m ϕ≤= ------12当(0,1)x ∈时，ln x m m x x x->⇔>- ------13可得/()0x ϕ=>()x ϕ∴单调递增。

------14由()m x x x ϕ>-=在(0,1)x ∈上恒成立，得(1)1m ϕ≥= ------15综上，可知1m = ------163.【湖南省长沙一中2008-2009学年高三第八次月考数学（文科）21．】（本小题满分13分）如图，在矩形ABCD 中，已知A （2，0）、C （－2，2），点P 在BC 边上移动，线段OP 的垂直平分线交y 轴于点E ，点M 满足.EP EO EM += （Ⅰ）求点M 的轨迹方程； （Ⅱ）已知点F （0，21），过点F 的直线l 交点M 的轨迹于Q 、R 两点，且,FR QF λ=求实数λ的取值范围.【解析】：（I ）依题意，设P （t,2）（－2≤t≤2），M （x ，y ）. 当t =0时，点M 与点E 重合，则M =（0，1）；当t ≠0时，线段OP 的垂直平分线方程为：).2(21tx ty --==)1(4,.442)442,()44,0()44,()44,0(,44,02222222--=⎪⎩⎪⎨⎧+-==∴+-++-⋅+-+=++==y x t t y t x t t t t y x EP EO EM t E t y x 得消去得由即得令显然，点（0，1）适合上式 .故点M 的轨迹方程为x 2=－4(y －1)( －2≤x ≤2) （II ）设),1(4),4141(21:2--=≤≤-+=y x k kx y l 代入得x 2+4k －2=0.设Q （x 1,y 1）、R （x 2,y 2），则⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+>+=∆24081621212x x kx x k21,x x FR QF λλ-==得,⎩⎨⎧-=--=-∴24)1(222x k x λλ.消去x 2，得228)1(k =-λλ. ).0(0252,21)1(0,1610222>≤+-≤-≤∴≤≤λλλλλ即k 解得221≤≤λ4. 【湖北省2009届高三八校联考第二次（理）21.】（本小题满分14分）已知数列{}n a 中，13a =，25a =，其前n 项和n S 满足()121223n n n n S S S n ---+=+≥.令11n n n b a a +=⋅.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若()12x f x -=，求证：()()()121126n n T b f b f b f n =+++< （1n ≥）；（Ⅲ）令()2312312n n n T b a b a b a b a =++++ （0a >），求同时满足下列两个条件的所有a 的值：①对于任意正整数n ，都有16n T <；②对于任意的10,6m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，均存在0n N *∈，使得0n n ≥时，n T m >.【解】（Ⅰ）由题意知()111223n n n n n S S S S n -----=-+≥即()1123n n n a a n --=+≥……1′ ∴()()()112322n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+()1221222225222212213n n n n n n ----=++++=++++++=+ ≥……2′检验知1n =、2时，结论也成立，故21n n a =+.…………3′ （Ⅱ）由于()()()()()()()11111212111111222212121212121n n n n n n nn nn b f n +-++++-+⎛⎫=⋅=⋅=- ⎪++++++⎝⎭故()()()1222311111111122121212122121n n n n T b f b f b f n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1111111212212126n +⎛⎫=-<⋅= ⎪+++⎝⎭.…………6′（Ⅲ）（ⅰ）当2a =时，由（Ⅱ）知：16n T <，即条件①满足；又106m <<，∴1211113321110212211616n n n T m m n log m m ++⎛⎫⎛⎫>⇔->⇔>-⇔>--> ⎪ ⎪++--⎝⎭⎝⎭. 取0n 等于不超过23116log m ⎛⎫- ⎪-⎝⎭的最大整数，则当0n n ≥时，n T m >.…9′（ⅱ）当2a >时，∵1n ≥，222nn n a a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭≥，∴22n n aa ⋅≥，∴2222n n n n n n a ab a b b ⋅⋅⋅=⋅⋅≥.∴()11111111222221221nni i n i i n i i a a T b a b -+==⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭∑∑≥.由（ⅰ）知存在0n N *∈，当0n n ≥时，11111212213n a+⎛⎫->⎪++⎝⎭， 故存在0n N *∈，当0n n ≥时，111111*********n n a a T a +⎛⎫=⋅->⋅= ⎪++⎝⎭，不满足条件. …12′ （ⅲ）当02a <<时，∵1n ≥，222nnn a a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭≤，∴22n n a a ⋅≤，∴2222n n n n n n a a b a b b ⋅⋅⋅=⋅⋅≤.∴()()11111111222221221nnii n iin i i a a T b a b -+==⎛⎫==⋅- ⎪++⎝⎭∑∑≤. 取10,126am ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，若存在0n N *∈，当0n n ≥时，n T m >，则111122122112n a a+⎛⎫⋅->⎪++⎝⎭. ∴111112213n +->++矛盾. 故不存在0n N *∈，当0n n ≥时，n T m >.不满足条件.综上所述：只有2a =时满足条件，故2a =.…………14′5.【河南省普通高中2009年高中毕业班教学质量调研考试（文）22.】（本小题满分12分）已知点A 是抛物线y 2＝2px （p>0）上一点，F 为抛物线的焦点，准线l 与x 轴交于点K ，已知｜AK ｜AF ｜，三角形AFK 的面积等于8． （1）求p 的值；（2）过该抛物线的焦点作两条互相垂直的直线l 1，l 2，与抛物线相交得两条弦，两条弦的中点分别为G ，H.求｜GH ｜的最小值．【解析】：22．解：（Ⅰ）设()00,A x y ，因为抛物线的焦点,0,,,0,222p p p F l x K AM l M ⎛⎫⎛⎫=--⊥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭准线的方程为：作于，则0,2p AM x AF =+=.……………………………1分AK AK AKM ==∆又得，即为等腰直角三角形，………2分00000,,222p pp KM AM x y x A x x ⎛⎫∴==+∴=++ ⎪⎝⎭,即，而点A 在抛物线上， 20002,,.222p p p x px x A p ⎛⎫⎛⎫∴+=∴= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,于是.……………………………………4分又20118, 4.222AFK p S KF y p p p ∆=⋅=⋅⋅==∴= 故所求抛物线的方程为28y x =.6分（2）由x y 82=，得)0,2(F ，显然直线1l ，2l 的斜率都存在且都不为0. 设1l 的方程为)2(-=x k y ，则2l 的方程为)2(1--=x ky .由 28,(2),y x y k x ⎧=⎨=-⎩得244(2,)G k k +，同理可得2(24,4)H k k +-.……………8分则222244(4)(4)GHk k k k =-++ =42421116()k k kk+++64≥.（当且仅当221kk =时取等号）GH的最小值是8.……………………………………12分所以||6.【河南省普通高中2009年高中毕业班教学质量调研考试（理）22.】（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足()()()11121,.24n n n n a n a a n N a n*++-==∈+（1）求234,,a a a ； （2）已知存在实数α，使n n a n a n α⎧⎫+⎨⎬+⎩⎭为公差为1-的等差数列，求α的值；（3）记()22213n n n b n N a *++=∈，数列{}nb 的前n 项和为n S，求证：12n S >-【解析】：22．解：（1）112a = ，由数列{}n a 的递推公式得20a =，334a =-，485a =-.……………………………………………………3分（2）11(1)1n n n n a n a n a n a nαα+++++-+++=(1)(2)(1)4(1)(2)14n n n n n n n a n n a n a nn a n a nn a nαα+-++++-+-++++=(2)(41)33n n n n a na n a na nααα++-+-++=13α-.……………………5分∴数列n n a n a n α⎧⎫+⎨⎬+⎩⎭为公差是13α-的等差数列.由题意，令113α-=-，得2α=-.……………………7分（3）由（2）知112(1)(1)1n n a n a n n a na α+-=+--=-++，所以221n n n a n -+=+.……………………8分此时2221(1)2(2)33n n b n n n +=-+++⋅+=12-，……………………10分∴12n S =+-+-⋅⋅⋅-=11[26++>111()2612=-.……………………12分7.【河北省石家庄市2009年高中毕业班复习教学质量检测（一）22．】（本题满分12分）【理科】已知函数.,ln 1)(R ∈+-=a xxa x f（I ）求)(x f 的极值；（II ）若k kx x 求上恒成立在,),0(0ln +∞<-的取值范围； （III ）已知.:,,0,021212121x x x x e x x x x >+<+>>求证且【解析】：（Ⅰ）/2ln (),a x f x x -=令/()0f x =得a x e = ……………2分当/(0,),()0,()ax e f x f x ∈>为增函数； 当/(,),()0,()ax e f x f x ∈+∞<为减函数， 可知()f x 有极大值为()aaf e e-=…………………………..4分（Ⅱ）欲使ln 0x kx -<在(0,)+∞上恒成立，只需ln x k x<在(0,)+∞上恒成立，设ln ()(0).x g x x x=>由（Ⅰ）知，1()g x x e e=在处取最大值，1k e∴>……………………８分（Ⅲ）1210e x x x >+>> ，由上可知ln ()x f x x=在(0,)e 上单调递增，121112112112ln()ln ln()ln x x x x x x x x x x x x ++∴>>++即①，同理212212ln()ln x x x x x x +>+ ②…………………………..10分两式相加得121212ln()ln ln ln x x x x x x +>+=1212x x x x ∴+> ……………………………………12分8.【河北省石家庄市2009年高中毕业班复习教学质量检测（一）22．】（本题满分12分）【文科】已知椭圆22)2(122的离心率为>=+a ay ax ，双曲线C 与已知椭圆有相同的焦点，其两条渐近线与以点)2,0(为圆心，1为半径的圆相切。