第6章 树1

满二叉树的定义： 满二叉树的定义： 一棵高度为k的满二叉树， 一棵高度为k的满二叉树，是具有 2k+1－1个结点且高度为k的二叉树。 个结点且高度为k的二叉树。 1 2 4 8 9 10 5 11 6 12 13 3 7 14 15
完全二叉树的定义： 完全二叉树的定义： 是一棵具有n个结点，高度为k的二叉树， 是一棵具有n个结点，高度为k的二叉树， 且树中所有结点对应高度为k的满二叉树中编号 且树中所有结点对应高度为k的满二叉树中编号 对应高度为 的那些结点。 由1至n的那些结点。 1 2 4 8 9 10 5 6 3 7
树的表示 1.集合嵌套表示法 1.集合嵌套表示法 2.凹入表示法 2.凹入表示法 3.广义表表示法 3.广义表表示法 4.树形表示法 4.树形表示法
2 A B C 3 A(B,C(D,E)) D E
1
B
Hale Waihona Puke ADCE
4 B
A C D E
树的基本操作
1、判树空：TREEEMPTY(T) 判树空： 2、求根：ROOT(T) 求根： 3、求树的深度：TREEDEPTH(T) 求树的深度： 4、 求某结点的兄弟: BROTHERS(T) 求某结点的兄弟: 5、求结点的双亲：PARENT(T) 求结点的双亲： 6、求结点的孩子：CHILD(T,e,i) 求结点的孩子： 7、建立树：CREATE_TREE(T, T1 , T2 , … , Tm ) 建立树： 8、遍历树：TRAVERSAL(T) 遍历树：
引理6.2 高度为k的二叉树中至多 引理6.2 高度为k的二叉树中至多有2k+1－1 至多有 (k≧0)个结点。 (k≧0)个结点 个结点。 根据引理 根据引理6.1 引理6.1 层上至多有2 个结点， 第0层上至多有20个结点， 层上至多有2 个结点, 第1层上至多有21个结点, ……， ……， 层上至多有2 个结点, 第k层上至多有2k个结点, 因此，高度为k的二叉树中至多 至多有 因此，高度为k的二叉树中至多有 20＋ 21＋……+ 2k= 2k+1－1 个结点。 个结点。
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二叉树的五种不同形态
二叉树的性质 引理6.1 二叉树中层数为i的结点至多 至多有 i≧0。 引理6.1 二叉树中层数为i的结点至多有2i个，i≧0。 证明：用数学归纳法。 证明：用数学归纳法。 仅有一个根结点，其层数为0 因此i=0 当 i=0 时，仅有一个根结点，其层数为0，因此i=0 时引理成立。 时引理成立。 (j≥0)时 引理成立， 层上至多有2 假定当 i=j (j≥0)时，引理成立，即第 j 层上至多有2j个 结点。 结点。 对于二叉树的任意结点，其子结点个数最大为2 对于二叉树的任意结点，其子结点个数最大为2，故 j+1层上至多有 个结点， i=j+1时 第j+1层上至多有 2*2j= 2j+1 个结点，因此当 i=j+1时， 引理成立。 引理成立。 由数学归纳法可知，对于所有的i≥0，均有“ 由数学归纳法可知，对于所有的i≥0，均有“第 i 层上 个结点” 至多有 2i 个结点”。 证毕。 证毕。
合作管理结构
树在计算机领域也有广泛的应用， 树在计算机领域也有广泛的应用，如: • • • • 在编译中， 用树来表示源程序的语法结构 在编译中 ， 用树来表示源程序的 语法结构 ； 语法结构； 在数据库系统中，可用树来组织信息 组织信息； 在数据库系统中，可用树来组织信息； 在分析算法时， 可用树来描述其执行过程 执行过程； 在分析算法时 ， 可用树来描述其 执行过程 ； 操作系统中， 文件及文件夹的存储， 操作系统中 ， 文件及文件夹的存储 ， 软件 工程中，软件的菜单等都是树 等都是树。 工程中，软件的菜单等都是树。
树结构在客观世界中大量存在，如家谱、行 树结构在客观世界中大量存在， 家谱、 政组织机构等都可用树形象地表示。 政组织机构等都可用树形象地表示。 等都可用树形象地表示
[合作机构] 合作机构] 在层次中地位最高的人（此处为总裁） 在层次中地位最高的人（此处为总裁）在图 中位置最高。在层次中地位次之的（即副总裁） 中位置最高。在层次中地位次之的（即副总裁） 在图中位于总裁之下等等。副总裁为总裁的下属， 在图中位于总裁之下等等。副总裁为总裁的下属， 总裁是他们的上级。每个副总裁都有自己的下属， 总裁是他们的上级。每个副总裁都有自己的下属， 而其下属又有自己的下属。 而其下属又有自己的下属。
A B E F C I D
层次0 层次 层次1 层次 层次2 层次 层次3 层次
G
H
图6.1 树
与线性结构的比较 线性结构
第一个数据元素 无前驱) (无前驱) 最后一个数据元素 无后继) (无后继)
树结构
根结点 (无前驱 无前驱) (无前驱) 多个叶子结点 (无后继 无后继) (无后继)
其它数据元素 树中其它结点 一个前驱、一个后继) (一个前驱 多个后继) 一个前驱、 (一个前驱、一个后继) (一个前驱、多个后继)
树的特点： 树的特点： ① 有一个总根。 有一个总根。 ② 没有分枝相交。 没有分枝相交。 树有层次。 ③ 树有层次。
基本术语
结点(node) 结点(node) 结点的度(degree) 结点的度(degree) 分支(branch)结点 分支(branch)结点 叶子(leaf)结点 叶子(leaf)结点 孩子(child)结点 孩子(child)结点 双亲(parent)结点 双亲(parent)结点
图6.1为一棵由根结点A出发的树，其中，A有三 6.1为一棵由根结点 出发的树，其中， 为一棵由根结点A 个子结点B 有一个子结点E 个子结点B、C和D；B有一个子结点E；E有一个子 结点F 有两个子结点G 有一个子结点I 结点F；C有两个子结点G和H；D有一个子结点I； F， G，H，I是叶子结点，因为它们没有子结点。 是叶子结点，因为它们没有子结点。 的路径为A 路径长度为3 从A到F的路径为A-B-E-F，路径长度为3。
6.1 6.2 6.3 6.4 6.5
基本概念 二叉树 线索二叉树 树和森林 压缩与哈夫曼树
定义6.1 定义6.1 树（t r e e） e） 树是由唯一的起始结点“根结点” 树是由唯一的起始结点“根结点” 出发的 结点集合，其中， 结点集合，其中，任何非根结点都有且仅有一 个前趋结点，称之为该结点的父结点 父结点； 个前趋结点，称之为该结点的父结点；任何结 点都可能有多个后继结点，称之为该结点的子 点都可能有多个后继结点，称之为该结点的子 结点；若某结点没有后继结点，则称之为叶子 结点；若某结点没有后继结点，则称之为叶子 结点。 结点。 若存在路径v 其中v 若存在路径vm-vm+1-…-vn，其中vi+1是vi的后 继结点，则称v 子孙结点， 继结点，则称vn为vm的子孙结点，称vm为vn的祖 先结点，该路径所经历的边的个数被称为路径 先结点，该路径所经历的边的个数被称为路径 的长度。 的长度。一个结点到它的某个子孙结点有且仅 有一条路径。 有一条路径。
引理6.3 引理6.3 设T是由n个结点构成的二叉树，其 是由n个结点构成的二叉树， 中,叶子结点个数为n0，度为2的结点个数 叶子结点个数为n 度为2 为n2，则有：n0＝ n2＋1 则有： 证明：若设度为1的结点有n 证明：若设度为1的结点有n1个，总结点个 数为n 总边数为e 数为n，总边数为e，则 n = n0 + n1 + n2 e=n–1 (子结点与父结点的连接) 子结点与父结点的连接) e = 2n2 + n1 (所有发出分支的结点) 所有发出分支的结点) 因此， 因此，有 2n2 + n1 = n0 + n1 + n2 - 1 n2 = n0 - 1 n0 = n2 + 1
6.1 6.2 6.3 6.4 6.5
基本概念 二叉树 线索二叉树 树和森林 压缩与哈夫曼树
6.2 二叉树
6.2.1 二叉树的性质和定义 6.2.2 二叉树的实现 6.2.3 二叉树的遍历 6.2.4 遍历二叉树的应用
6.2.1 二叉树的主要性质和定义
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二叉树的定义：二叉树是结点的有限集合， 二叉树的定义：二叉树是结点的有限集合，它 必须满足下述条件： 必须满足下述条件： 它是空集； （1）它是空集； 它由一个根结点、 （2）它由一个根结点、根结点的左右子 树构成，且其左右子树满足二叉树定义。 树构成，且其左右子树满足二叉树定义。 二叉树的特征 二叉树每个结点最多有2个子结点； （1） 二叉树每个结点最多有2个子结点； 二叉树的子树有左右之分。 （2） 二叉树的子树有左右之分。
用归纳法证明 i=1，如果n≥2，则左孩子的编号显然为2 若i=1，如果n≥2，则左孩子的编号显然为2. 假定对所有满足j≤i的 假定对所有满足j≤i的j，知j的左孩子编号为 2j. 那么对结点i+1，我们证明其左孩子编号为 那么对结点i+1 2(i+1). (i+1 如果2(i+1)≤n， 则由层次次序得知， i+1 如果 2(i+1)≤n ， 则由层次次序得知 ， i+1 的 左孩子之前的两个结点是i的左孩子和右孩子， 左孩子之前的两个结点是i的左孩子和右孩子， 因为i的左孩子编号为2i(归纳假设 归纳假设) 因为i的左孩子编号为2i(归纳假设)，故i的右孩 子编号为2i+1 从而i+1 的左孩子编号为2i+2 子编号为 2i+1 ， 从而 i+1 的左孩子编号为 2i+2= 2(i+1). (i+1
（A） ） B （B） ） G （C） ） C
G E
H
F
图6.2 子树
定义6.2 定义6.2 从根结点到某个结点的路径长度被称为 结点的层数 树的高度是指树中结点的最 层数。 结点的层数。树的高度是指树中结点的最 大层数。 大层数。 对于根结点的层数，目前有两种规定， 对于根结点的层数，目前有两种规定， 一种规定根结点的层数为0 一种规定根结点的层数为0，另一种规定根 结点的层数为1 本书采纳前者。 结点的层数为1，本书采纳前者。 非根结点的层数 = 其父结点的层数 + 1