等差数列与等比数列的同构性
第16卷第6期
1995年12月吉安师专学报(自然科学)
Journa
lofJi`an
Teae
hers,
oCl
lege
(Natu
arlSe
ienee
)Vo
l16
E随cNo
6
1995
等差数列与等比数列的同构性
肖如栋
(江西吉安市四中吉安343000)
摘要从同构的观点研究等差数列与等比数列,
得出它们在本质上一致的结果
关键词同构等差数列等比数列
高等代数中关于两个线性空间的同构的定义是:
数域P上两个线性空间V
与护称为同构的,
如果存在一个V到功的一一映射口,
具有以
下性质:
1)d
(a
+夕)=。
(a
)+。
(夕)
2)口
(ka
)~k口
(a
)
其中a、
夕是V中的任意向量,
k是P中任意的数,。
也叫同构映射
同构映射还有一些性质比如V
中零元素o
的象武0)是V’中的零元素;V中元素a
的负
元素一a
的象。
(一a
)是a
的象。
(a
)的负元素,
即a
(一a
)=一。
(a
)
在同构的意义下,
两个同构的线性空间,
抽象地看是没有什么区别,
一个线性空间有一个
只与这个集合的运算有关的性质那么另一个线性空间也有一个完全类似的性质
一
这样,
同构映射是比较两个线性空间时最有效的工具下面我们就用这一工具来看中学教
材中的等差数列与等比数列
实数集R对于通常数的加法与乘法构成一个R上的线性空间它的零元素为数。,a
的负
元素为一.a
在正实数集R一
中,
规定
a
ob=ab,
kOa
~a去,
则R一
对于这样规定的加法与数量乘法也构成R上的一个线性空间,
它的零元素为1,a
的负元
素为生
X
se叫卜
显然d
是R到R一
的一个映射,
下面证明
若x:
护二:
则2`
护2’,,
因而。
是单射2才
。
是同构映射中R
一R
口“
令
任取yeR一,
存在x=logyz任R使得武x)=2吮户二y,
即。
是满射
所以。
是一一映射
收稿日期,5一,一190t.4
吉安师专学报(自然科学)1995
年
任取“
b任R则以u
+l,)二o2一`
一2`
2`
一以a)叭b)二以a)①以l,)
任取k任Ra
任R则。
(ka
)=2去`
二(2
)`
=(。
(a
))`
=k。
(a
)
所以。
是线性空间(R+,
)到线性空间(R一,
④,。
)的同构映射
这样R
中只与运算“
+”、“”
有关的性质,
在R一
中就有对应的关于“
①”、“。”
的性质,
反
之亦然
在R中设a:aZ
…a,
…是一等差数列,
则气一,
一a
~dd为常数,。
一1,
2,
…那么
叮
(a二十:
一a。
)=口
(d)
因为。
是同构映射,
有
。
(a
一,
)①。
(一a
)=。
(d)
因而2。一、
~ZJ
即2、,
2、,
…,
o2,
…构成R,
中一个公比为2甘
的等比数列
_、____
__
二…
…`~
…__b_
反之
攻b,,
bZ,
…,
b,
…是尺一
甲一个公比为q
的等比数刘,
则气一~q,
q为帝数,n
一1,
2,
.U
因为同构映射的逆映射仍然是同构映射,
则
。
一
{
毕卜。一(。),
即;。g:
毕一!。gZ
q
\叽l吟
那么logZ
b。一,
一109:
认一109:
9因而109:
b,,
109:
bZ,
…,
logZ
b,
…构成R中一个公差为logZ
q的等
差数列
因此,
R中的等差数列与R一
中的等比数列一一对应R
中等差数列只与“
+”、
气”
有关的
性质R一
中的等比数列也有与“
①”、“。”
有关的对应的性质,
反之也如此具体地说,
只要等差
数pI]性质中的“
+”、“
一”、“”、“
0”
对应地换成“”、“
一”、“
幕”、“
1”
就得到等比数列对应的性
质下面列出它们一些常用的性质进行对比检验
数列定义式通项公式求和(积)公式
=a、
十(n
一1)d
等差数列几一,
一a
一d二a.
十(二
一爪)d
=1)
(”
>1)s
一an,
十竺
远于卫d
乙.a.a
.S一S。_1_刀工
一万、u,
宁a产.a及
=a,q一1
“
=
}刀二a一
q’一
(,:
二l)扭一1)
。
一成qse了se
=(a,a
),
。
/及_.
(n
>l)
从上表我们可以看到如何从等差数列的性质很快得到对应的等比数列的性质下面再举
几个例子
例1在等差数列中,
若,`
十m=P+q,
则
+。
=,
+`(,,
爪,,
任N)aaa:
Pg
第6期肖如栋等差数列与等比数列的同构性
这一结论是容易证明的因此在等比数列中无需证明便可得到:
a,
a-=a,a.
(,:,
mP叮任N,,
+。=P+叮)
例2已知等比数列中,
若第P项是M,
第q项是N第r
项是K,
则
M,一r
N一户
Kp一,
=1
因此在等差数列中,
若第p项是M.
第q项是N,
第r
项是K则
(叼一r
)M+(r
一P)N+(P一g)K=0
例3已知等差数列共有l3J项,
前,:
项的和为A,
中间n
项的和为B末n
项的和为C,
则
A、
B、
C成等差数列
证明因为a,
+a、一:
=a
一:
+a
一:
=Za
一:
a.
+a.a
=aZ。
Za:
所以,
+c
必告兰
一
普`2几一`十生竺2+凡.
~
+a3.
—,王a,
+a:,一:
十a.
+as
)
+2a2
,一2
晋`a
一+a.2
,一ZB
所以A、
B、
C成等差数列
因此,
若等比数列共有枷项,
前”
项的积为A,
中间。
项的积为B,
末,
项的积为C,
则A、
B、
C成等比数列
综上所述从同构的观点来看,
等差数列和正项等比数列本质上是相同的因此中学数列
中的教学中,
重点应放在等差数列,
只要把等差数列中的代数性质搞清楚了,
等比数列的代数
性质也就清楚了至于非正项等比数列,
只需对符号稍加处理就是了
参考文献
吴品山近世代数第2版北京:
j、
民教育出版社1981
等差数列与等比数列
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■ ▓ 等差数列与等比数列
数列是高中数学中的一个重要课题，也是数学竞赛中经常出现的问题。数列中最基本的是等差数列与等比数列。
从函数角度看，数列可以看作是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1，2，…n})的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式。
为了解数列竞赛题，首先要深刻理解并熟练掌握两类基本数列的定义、性质有关公式，把握它们之间的(同构)关系。
一、 等差数列
等差数列 an是n的一次数函(d≠0)或常数函数(d=0)，(n，an)排在一条直线上，由(2)式知，Sn是n的二次函数(d≠0)或一次函数(d=0，a1≠0)，且常数项为0。
从等差数列的定义、通项公式，前n项和公式还可推出：
a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1，k∈{1,2,…,n}
若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有
am+an=ap+aq Sm-1=(2n-1)an，S2n+1=(2n+1)an+1
Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…，Snk-S(n-1)k…或等差数列，等等。
二、 等比数列
如果等比数列的公比q满足0＜∣q∣＜1，这个数列就叫做无穷递缩等比数列，它的各项的和(又叫所有项的和)的公式为：
从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：
a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…,n}
若m，n，p，q∈N*，则有：
ap·aq=am·an，
记πn=a1·a2…an，则有
等差数列、等比数列的证明及数列求和
1 等差数列、等比数列的证明
例1．已知数列na满足11a，13232nnaann，
（Ⅰ）求证：数列nan是等比数列；
（Ⅱ）求数列na的通项公式。
例2．已知数列na满足12a，112nnnaaa，
（Ⅰ）求证：数列1na是等差数列；
（Ⅱ）求数列na的通项公式。
例3．已知数列na，nS是它的前n项和，且*142nnSanN，11a
（Ⅰ）设*12nnnbaanN，求证：数列nb是等比数列；
（Ⅱ）设2nnnac，求证：数列nc是等差数列；
（Ⅲ）求数列na的通项公式。
2
练习1．已知数列na满足15a，*123nnnaanN，
（Ⅰ）求证：数列3nna是等比数列；
（Ⅱ）求数列na的通项公式。
2．已知数列na满足11a，1222nnnaan，
（Ⅰ）求证：数列2nna是等差数列；
（Ⅱ）求数列na的通项公式。
3．数列na的前n项和nS，且131nnaS ,（1）证明数列na等比数列；（2）求通项公式.
4.已知数列na的前n项和为nS，11a ，数列nnSa是公差为2的等差数列.
（1）证明2na是等比数列；（2）求通项公式.
5. 已知数列na的前n项和为nS，11a ，正整数n对应的nnSan,,成等差数列.
（1）证明2nSn成等比数列；（2）求nS
求通项公式 3 （一） 给出递推公式求通项公式
类型一、，可利用累加法已知关系式)(1nfaann
例1中在数列na，已知,11a当2n时，有)2(121nnaann，求数列的通项公式.
变式：中在数列na，,11a)2(311naannn，求通项.
类型二、)(1nnfaan•已知关系式，可利用累乘法
数列的等差与等比性质知识点总结
数列的等差与等比性质知识点总结
数列是由一系列数字按照一定规律排列组成的序列，而等差与等比性质是数列中常见的两种规律。在数学中，掌握数列的等差与等比性质对于解题和推导数学公式都具有重要意义。本文将对数列的等差与等比性质进行详细总结。
一、等差数列
1. 定义：若数列中相邻两项之差保持不变，则称该数列为等差数列。
2. 通项公式：设等差数列的首项为a1，公差为d，则第n项的通项公式为an = a1 + (n-1)d。
3. 性质：
a) 任意一项与它的前一项的差等于公差，即an - an-1 = d。
b) 等差数列的前n项和为Sn = (a1 + an) * n / 2。
c) 等差数列的任意一项可以表示为前一项与公差之和，即an = an-1 + d。
d) 若等差数列的前两项之和等于第三项，即a1 + a2 = a3，则该等差数列为等差数列。
二、等比数列
1. 定义：若数列中相邻两项之比保持不变，则称该数列为等比数列。 2. 通项公式：设等比数列的首项为a1，公比为r，则第n项的通项公式为an = a1 * (r^(n-1))。
3. 性质：
a) 任意一项与它的前一项的比等于公比，即an / an-1 = r。
b) 等比数列的前n项和为Sn = (a1 * (1 - r^n)) / (1 - r)。
c) 等比数列的任意一项可以表示为前一项与公比之积，即an = an-1 * r。
d) 若等比数列的前两项之积等于第三项，即a1 * a2 = a3，则该等比数列为等比数列。
三、等差与等比的联系与区别
1. 联系：等差与等比数列都是按照一定规律排列的数列，且都有其通项公式和前n项和的公式。
2. 区别：
a) 等差数列的相邻项之差相等，等比数列的相邻项之比相等。
b) 等差数列的公差为常数d，等比数列的公比为常数r。
c) 等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，等比数列的通项公式为an = a1 * (r^(n-1))。
数列和级数中的等差数列与等比数列
数列和级数中的等差数列与等比数列
数列是数学中一个重要的概念，它是由一系列数字按照一定规律排列而成的。在数列中，等差数列和等比数列是两种常见的形式。本文将详细介绍等差数列和等比数列的定义、性质以及它们在数学和实际生活中的应用。
一、等差数列
等差数列是指数列中的每个数与它的前一个数之差都相等的数列。这个公差可以是任意实数，我们用d来表示。等差数列的通项公式可以表示为：
an = a1 + (n-1)d
其中，an表示等差数列的第n个数，a1表示首项，d表示公差，n表示项数。
等差数列的性质有：
1. 首项和末项的和等于中间各项的和的两倍。
2. 等差数列的前n项和可以表示为Sn = (a1 + an)n/2。
3. 如果等差数列的公差为正数，则数列是递增的；若公差为负数，则数列是递减的。
4. 若等差数列的公差为0，则数列中的所有项都相等，即为常数数列。
等差数列在数学中有广泛的应用，例如在代数学中，等差数列是多项式函数中的一种特殊情况，它可以用来研究多项式的性质。在几何学中，等差数列可以用来描述等差数列的和。此外，在物理学和经济学等领域，等差数列也有着重要的应用。
二、等比数列
等比数列是指数列中的每个数与它的前一个数之比都相等的数列。这个公比可以是任意实数，我们用q来表示。等比数列的通项公式可以表示为： an = a1 * q^(n-1)
其中，an表示等比数列的第n个数，a1表示首项，q表示公比，n表示项数。
等比数列的性质有：
1. 首项和末项的比等于中间各项的比的n-1次方。
2. 等比数列的前n项和可以表示为Sn = a1 * (q^n - 1) / (q - 1)，其中q不等于1。
3. 如果等比数列的公比大于1，则数列是递增的；若公比在0和1之间，则数列是递减的。
4. 若等比数列的公比为1，则数列中的所有项都相等，即为常数数列。
等比数列在数学中也有广泛的应用。在几何学中，等比数列可以用来描述等比数列的和。在金融学和生物学等领域，等比数列也有着重要的应用。
等差数列与等比数列的性质
等差数列与等比数列的性质
1. 等差数列的性质
等差数列是指数列中相邻元素之间的差值保持不变的数列。它具有以下几个重要的性质。
1.1 公差
对于等差数列a₁, a₂, a₃, ..., an，相邻两项之间的差值称为公差，用d表示。即d = a₂ - a₁ = a₃ - a₂ = ... = an - a(n-1)。
等差数列的公差决定了其增长或减小的速度。当公差为正数时，数列递增；当公差为负数时，数列递减。
1.2 通项公式
等差数列的通项公式可用来表示其任意一项。设等差数列的首项为a₁，公差为d，第n项为an，则通项公式为an = a₁ + (n - 1)d。
利用通项公式，可以快速计算等差数列中任意一项的值。
1.3 前n项和
等差数列的前n项和表示为Sn，可用来求等差数列前n项的和。求解前n项和的公式为Sn = (n/2)(a₁ + an) = (n/2)(2a₁ + (n - 1)d)。
利用前n项和公式，可以快速计算等差数列前n项的和。
1.4 等差数列的性质
等差数列具有以下一些重要的性质： - 等差数列的中项为首项与末项的算术平均数。
- 等差数列的前n项和与后n项和相等。
- 若两个数列的差构成一个等差数列，那么两个数列分别也是等差数列。
2. 等比数列的性质
等比数列是指数列中相邻元素之间的比值保持不变的数列。它具有以下几个重要的性质。
2.1 公比
对于等比数列a₁, a₂, a₃, ..., an，相邻两项之间的比值称为公比，用r表示。即r = a₂/a₁ = a₃/a₂ = ... = an/a(n-1)。
等比数列的公比决定了其增长或减小的速度。当公比大于1时，数列递增；当公比大于0且小于1时，数列递减。
2.2 通项公式
等比数列的通项公式可用来表示其任意一项。设等比数列的首项为a₁，公比为r，第n项为an，则通项公式为an = a₁ * r^(n-1)。
利用通项公式，可以计算等比数列中任意一项的值。
等比数列与等差数列测试题及答案
数列（出题人黄渠桃）
一、选择题
1.等差数列{an}为递增数列，若a2
1+a2
10=101，a
5+a
6=11，则数列{a
n}的公差d等于()
A.1B.2C.9D.10
2.已知数列的通项公式为an=n2−8n+15，则()
A.3不是数列{an}中的项B.3只是数列{a
n}中的第2项
C.3只是数列{an}中的第6项D.3是数列{a
n}中的第2项和第6项
3.√
2+1与√
2−1两数的等比中项是()
A.1B.−1C.±1D.1
2
4.若等差数列{an}的公差d=0，前n项和为S
n，若∀n∈N∗，都有S
n⩽S
10，则()
A.∀n∈N∗，都有a
n
n−1B.a9·a
10>0
C.S2>S
17D.S19⩾0
5.数列{an}中，a
1=1
2，a
n+1=a
n+1
n2+3n+2(n∈N
+)，则()
A.an=1
n+1B.an=−n
n+1C.an=n
n+1D.an=−1
n+1
6.在数列{an}中，若a
n+1+(−1)na
n=2n−1，则数列{a
n}的前12项和等于()
A.76B.78C.80D.82
7.已知数列{an}中，a
1=1，当n⩾2时，a
n=2a
n−1+1，则a
n=()
A.n2−1B.n2−2n+2C.2n−1D.2n−1+1
8.等比数列{an}满足a
1=3，a
1+a
3+a
5=21，则a
3+a
5+a
7=()
A.21B.42C.63D.84
9.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝
才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二
天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”问此人第4天和第5天共走了()
A.60里B.48里C.36里D.24里
10.已知数列{an}：1
2，1
3+2
3，1
4+2
4+3
4，···，1
10+2
10+3
10+···+9
10，···，若b
n=1
a
n·a
n+1，那么数
列{b
等差数列的前 n 项和与等比数列
等差数列的前 n 项和与等比数列
1、等差数列前n项和Sn的表示形式：
可见：
（1）当d≠0时，Sn是关于序号n的二次函数，且二次函数的常数项c=0，其公差d=2a（二次项系数的二倍），点（n，Sn）分布在过原点，对称轴垂直于x轴的抛物线上.
（2）∵，∴ 数列为等差数列且公差d=a，点均匀分布在直线y=ax＋b上.
2、当n为奇数时，Sn=na中 （a中 为前 n项中的中间项），
S奇－S偶=a中（S奇为前n项中所有奇数项的和），
.
当 n为偶数时，为中间两项），
3、等比数列的定义可用递推公式表示为：（n∈N*，q为常数）.
可见：
（1）等比数列中每一项不为零（即an≠0）.
（2）等比数列公比q≠0.
（3）非零常数列既是等差数列，又是等比数列，其公差d=0，公比q=1. 4、等比数列通项公式：an=a1qn－1.
5、等比中项：若a、G、b为等比数列，则G为a、b的等比中项.
可见：
（1）G为a、b的等比中项（G≠0）.
（2）仅当a、b同号时，才存在等比中项.
（3）等比中项G不唯一，即.
（4）G2=ab是a、G、b成等比数列的必要条件，并不是充分条件.
6、等比数列的相关结论
（1）任两项之间的关系：am=anqm－n.
（2）相邻三项之间的关系：an＋1·an－1=an2.
（3）若q≠1，则.
难点知识剖析
1、等差数列前n项和Sn是关于n的二次函数（d≠0），而且常数项为零，这是等差数列前n项和公式的形式特征，我们可以根据这个特征，判断不可能是等差数列的前n项和，利用Sn=an2＋bn有时可使计算更简便.
2、在解决等差数列、等比数列有关问题时，涉及的五个量an，n，d，a1，Sn通过方程组知三可求二.
3、前n项和Sn与通项an的关系是：Sn=a1＋a2＋…＋an
由 Sn求an一定要讨论n=1，然后进行综合.
等差数列与等比数列的性质 2
1 等差数列的性质与应用 姓名_______
1.已知等差数列na满足244aa，3510aa，则它的前10项的和10S（ ）
A．138 B．135 C．95 D．23
2.若等差数列{}na的前5项和525S，且23a，则7a（ ）
（A）12 （B）13 （C）14 （D）15
3.设等差数列na的前n项和为nS,若111a,466aa,则当nS取最小值时,n等于（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
4数列na的首项为3，nb为等差数列且1(*)nnnbaanN．若则32b，1012b，则8a
（ ）
A．0 B．3 C．8 D．11
5.已知na为等差数列，其公差为-2，且7a是3a与9a的等比中项，nS为na的前n项和，*nN，则10S的值为（ ）
A．-110 B．-90 C．90 D．110
6设nS为等差数列}{na的前n项和。已知)6(144,324,3666nSSSnn，则n等于( )
A.16 B.17 C.18 D.19
7等差数列na的前n项和记为nS，345aaa++若的值是一个确定的常数，则数列{nS}中也为常数的项是 （ ）
A7 .S B.8S C.13S D.15S
8设等差数列{}na的前n项和为nS，若39S，636S，则789aaa（ ）
A．63 B．45 C．36 D．27
等差、等比数列以及数列求和专题
1 §6.2 等差数列
一．课程目标
1.理解等差数列的概念；
2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式；
3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题；
4.了解等差数列与一次函数的关系.
二．知识梳理
1.定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示.
数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)，或an－an－1＝d(n≥2，d为常数).
2.通项公式
若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d.
3.前n项和公式
等差数列的前n项和公式：22111)()(nnaandnnnaS其中n∈N*，a1为首项，d为公差，an为第n项).
3.等差数列的常用性质
已知数列{an}是等差数列，Sn是{an}的前n项和.
(1)通项公式的推广：*),()(Nmndmnaamn
(2)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则有qpnmaaaa。特别的，当pnm2时，pnmaaa2
(3)等差数列{an}的单调性：当d＞0时，{an}是递增数列；当d＜0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列.
(4)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列.
(5)若}{},{nnba是等差数列，则}{nnqbpa仍是等差数列.
4.与等差数列各项和相关的性质 2 （1）若}{na是等差数列，则}{nSn也是等差数列，其首项与}{na的首项相同，公差为}{na的公差的21。
（2）数列mmmmmSSSSS232,,…也是等差数列.
（3）关于非零等差数列奇数项与偶数项的性质。
等差数列与等比数列 2
等差数列与等比数列
数列是数学中常见且重要的概念，它是由一串按照特定规律排列的数字组成的序列。其中，等差数列和等比数列是最为常见和基础的两类数列。本文将依次介绍等差数列和等比数列的定义、性质以及相关的应用。
一、等差数列
等差数列是指数列中的相邻两项之差保持恒定的数列。其一般形式如下：
an = a + (n-1)d
其中，an表示数列的第n项，a为首项，d为公差，n为正整数。
与等差数列相关的主要性质有以下几点：
1. 公差d的意义：
公差d决定了等差数列中每一项与前一项之间的差异，也可以看作是数列的“步长”。
2. 通项公式：
等差数列的通项公式能够直接求得数列中任意一项的值。通项公式为an = a + (n-1)d，通过该式子可以快速计算出数列中的任意项。
3. 前n项和公式： 前n项和公式是指等差数列前n项之和的计算公式。若首项为a，则前n项和Sn可以表示为Sn = n/2 * [2a + (n-1)d]。
4. 性质应用：
等差数列的性质在实际问题中有广泛的应用。例如，等差数列可以用来描述数学、物理中的连续变化过程，也可以用于计算等距离等场景下的数据。
二、等比数列
等比数列是指数列中的相邻两项之比保持恒定的数列。其一般形式如下：
an = ar^(n-1)
其中，an表示数列的第n项，a为首项，r为公比，n为正整数。
与等比数列相关的主要性质有以下几点：
1. 公比r的意义：
公比r代表等比数列中相邻两项的比值，也可以看作是数列的“放大倍数”。
2. 通项公式：
等比数列的通项公式能够直接求得数列中任意一项的值。通项公式为an = ar^(n-1)，通过该式子可以快速计算出数列中的任意项。
3. 前n项和公式： 前n项和公式是指等比数列前n项之和的计算公式。若首项为a，并且公比不等于1，则前n项和Sn可以表示为Sn = a(1-r^n)/(1-r)。