等差数列与等比数列类比
类比思想是最基本最重要的数学思想方法
类比思想是最基本最重要的数学思想方法内容概述类比思想就是由已知两个（类）事物具有某些相似性质，从而推断它们在其他性质上也可能相似的推理思想（由特殊到特殊）。
类比思想是串联新旧知识的纽带，同时也是培养学生探究能力和创新能力的有力工具．类比往往是猜想的前提，猜想又往往是发现的前兆，类比是数学发现的重要源泉，数学中许多定理、公式和法则都是用类比推理提出的。
在高中数学中，类比是最基本、最重要的数学思想方法之一，它不仅能由已知解决未知，由简单问题解决复杂问题，更能体现数学思想方法之奇妙．恰当的运用类比思想，可以帮助学生举一反三、触类旁通，提高解题能力，也可以引导学生去探索获取新知识，提高学生的创新思维能力．类比思想存在于解决数学问题的过程中，是帮助我们寻找解题思路的一种重要的思想方法．当我们遇到一个“新”的数学问题时，如果有现成的解法，自不必说．否则解决问题的关键就是寻找合适的解题策略，看能否想办法将之转化到曾经做过的、熟悉的、类似的问题上去思考。
通过联系已有知识给我们的启发，将已有知识迁移到新问题中来，把解决已有问题的方法移植过来，为所要解决的问题指引了方向．例题示范例1：等差数列{n a }中，若100a =，则有12n a a a +++1219n a a a -=+++(19,)n n N +<∈成立，类比上述性质，在等比数列{n b }中，若9b =1，则_______.解：在等差数列中，100a =，那么以10a 为中心，前后间隔相等的项和为0，即9118120,0a a a a +=+=，…所以有121219(19,)n n a a a a a a n n N -++++=+++<∈成立．类比过来：同样在等比数列{n b }中，若9b =1，则以9b 为中心，前后间隔相等的项的积为1，即8107111,1b b b b ==，所以有下列结论成立：121217(17,)n n b b b b b b n n N -+=<∈评析：在等差数列和等比数列的性质类比中，常见的运算类比有：和类比为积，差类比为商，算术平均类比几何平均等等。
等差数列与等比数列的类比题的有效解法
等差数列和等比数列是数学中的两种常见的数列，它们都有自己的特点和性质。
等差数列是一种公差相等的数列，它的前两项差值相等，即 d = a2 - a1 = a3 - a2 = a4 - a3 = ... ，常见的等差数列有等差级数、等差数列的和等。
等比数列是一种公比相等的数列，它的各项比值相等，即q = a2/a1 = a3/a2 = a4/a3 = ... ，常见的等比数列有等比级数、等比数列的和等。
在解决类比题时，需要注意以下几点：
1、明确问题的类型：是等差数列的类比题还是等比数列的类比题。
2、找出等差数列或等比数列的公差或公比：通过观察题目中给出的数列信息，找出数列的公差或公比。
3、利用找出的公差或公比解决问题：根据题目的要求，利用找出的公差或公比进行计算，得出问题的答案。
4、检查答案的正确性：最后，检查自己的答案是否正确，如果不正确，则要再次检查自己的计算过程是否有误。
例如，有一道类比题，要求求出等差数列{a1, a2, a3, ...}中第10项的值，已知a1 = 2，a2 = 4，a3 = 6，a4 = 8，则可以进行如下计算：
d = a2 - a1 = 4 - 2 = 2
a10 = a1 + (10-1)d = 2 + (10-1)2 = 20
所以，等差数列{a1, a2, a3, ...}的第10项的值为20。
以上就是等差数列和等比数列的类比题的有效解法。
2023_2024学年高中数学第一章第2课时等比中项及等比数列的性质课件北师大版选择性必修第二册
自主预习 新知导学
一、等比数列的性质
【问题思考】
1.类比等差数列的性质,试分析等比数列有何性质.
答案:略.
2.等比数列的性质
(1)“子数列”性质
对于无穷等比数列{an},若将其前k项去掉,剩余各项仍为等比数列,首项为
ak+1,公比为 q ;若取出所有的k的倍数项,组成的数列仍为等比数列,首项为
a5·a8=
.
解析:∵等比数列{an}的项a3,a10是方程x2-3x-5=0的两根,
∴a3·a10=-5,∴a5·a8=a3·a10=-5.
答案:-5
二、等比中项
【问题思考】
1.若a,G,b三个数成等比数列,则数a,b应满足什么条件?
提示:a与b同正或同负.
2.如果在 a 与 b 之间插入一个数 G,使得 a,G,b 成等比数列,那么根据等比数列
5
2
1
2
又 q>0,∴q= 2.∵a2=1,∴a1= =
= .
2
2
答案:B
D.2
).
3.“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半
音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程
分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与
它的前一个单音的频率的比都等于
则 G2=ab,∴G= .
13
答案:(1)
16
(2)
探究二
等比数列的性质
【例2】 已知数列{an}为等比数列,
1
(1)若 a2a4= ,求 a132 a5;
2
(2)若an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,求a3+a5;
等比数列
2 、等差数列的通项公式 ： a n = a1 + ( n - 1) d
用什么方法推出的呢？其图像怎样？
设置情境：
① 如下图是某种细胞分裂的模型：
细胞分裂个数可以组成下面的数列：
1
2
4
8 16 …
设置情境：
②我国古代一些学者提出：“一尺之棰， 日取其半，万世不竭。”用现代语言叙述 为：一尺长的木棒，每日取其一半，永远 也取不完。这样，每日剩下的部分都是前 一日的一半。如果把“一尺之棰”看成单 位“1”，那么，得到的数列是：
选做题
在等比数列中，a1+a2=3，a4+a5=24， 求q和a1
欢迎大家提出宝贵意见！
谢
谢
当a=0时，是常数列，不是等比数列，因为 an =0, a≠0时，为非零常数列，也是等比数列。
有没有既是等差又是等比的数列？
例1:已知数列
an 的通项公式为
an = 3 2
n
试问这个数列是等比数列吗？ 解：因为当n
2时
n
an 3 2 = =2 n -1 an -1 3 2
所以数列
an - a1 = (n -1)d
类比
等 比 数 列
a2 =q a1
a4 =q a3 ……
a3 =q a2
共n – 1 项
an =q ×） an -1
an = q n -1 a1
写出下列等比数列的通项公式 （1） 1，2，4，8，16，… (2) 1 ，1 ，1 ，1 ， 1 ，„ 2 4 8 16 (3) 1，20，202，203，… an=2n-1
an 是等比数列，且公比为2
2.4等比数列的概念及通项公式(高中数学人教A版必修五)
(1)an am (n m)d
a1 0, q 0
通项 公式
an a1q
n 1
(1)an amqnm
则 am· n=as· r . a a
(3) an2=an-1· n+1 . a （等比中项）
主要 性质
(2)若m+n=s+r (m,n,s,r∈N*) (2)若m+n=s+r (m,n,s,r∈N*)
其中，a1与q均不为0。由于当n=1时上面等式两边均为a1， 即等式也成立，说明上面公式当n∈N*时都成立，因此它 就是等比数列｛an｝的通项公式。
(1)等比数列的通项公式
通项公式一:
an a1 q
n1
(a1 , q 0)
an a1q n 1、不要错误地写成
2、每一项都可以用a1和q表示，等比数列 由首项和公比确定
1 变式训练 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，Sn＝ 3 (an－1)(n∈N*)． (1)求 a1，a2； (2)求证：数列{an}是等比数列． 1 解：(1)由 S1＝ (a1－1)， 3 1 1 得 a1＝ (a1－1)，∴a1＝－ . 3 2 1 又 S2＝ (a2－1)， 3 1 1 即 a1＋a2＝ (a2－1)，得 a2＝ . 3 4
an am qn m
(1)等比数列的通项公式 如果数列 an }是等比数列，首项为 1 , 公比为q， { a
①.不完全归纳法 a2=a1q a3=a2q=a1q2 a4=a3q=a1q3 … an=a1qn1
②.叠乘法（累乘法） a2/a1=q a3/a2=q a4/a3=q … an/an-1=q 这n-1个式子相乘得an/a1=qn-1 所以 an=a1qn-1
等比数列的概念及通项公式
思考3：
已知数列 3，6，12，24，…
在练习1中我们已经判断过此数列是等比数列。 a1=3，q=2
三、探究等比数列通项公式 此数列的第50项 a50=？我们该如何 求解呢？ 已知等比数列{an} , 首项是a1，公比是q 通项公式是___________;
探究:等比数列的通项公式
法一：递推法
（1）1，1，1，1，1；
（2）0，1，2，，4，8；
1 1 1 1 （3）1, , , , 2 4 8 16
例2 求出下列等比数列中的未知项：
(1)2, a,8;
1 (2) 4, b, c, 2
1~3
练习：课本 P48
三、等比数列的通项公式：
设 a n 是首项为a1，公比为q的等比数列，则有： a2 a1q a3 a2 q a1q 2 a1 n n 1 an a1q 或 an q 3 a4 a3 q a1q q 所以等比数列a n 的通项公式为：a n a1q 其中a1为首项，q为公比.
类比
等 比 数 列
a2 q a1
a4 q a3 ……
a3 q a2
共n – 1 项
an q ×） an 1
an q n 1 a1
等比数列的通项公式： 若等比数列{an}的首项是a1，公比是q，则
an a1q
例1. 在等比数列{an}中，
n 1
注: 等比数列的通项公式中 ，an , a1 , n,q这四个变 量 ， 知道其中三个量就可以求余下的一个量 。 （1）已知a1=3，q=2，n=50，求an （2）已知a3=12，a4=18，求a1和a2
(1) 6
(2) 13
等差数列与等比数列性质总结
a1 q
qn
cqn
{an}为常数数列⇔q＝1； {an}为摆动数列⇔q<0．
{an}递增⇔
a1>0或 q>1
a1<0 {an}递减⇔ 0<q<1
a0<1>q0<点1击进或入aq相1><应10模块
知识梳理
（3）.等比数列前n项和公式
Sn a1 a2 a3 a4 ....... an2 an1 an ① 错位相 qSn a1q a2q a3q a4q ....... an2q an1q anq qSn a2 a3 a4 a5 ....... an1 an anq ② 减法 ①-② (1- q)Sn a1 anq
则Sm , S2m Sm , S3m S2m ,...... 成等差数列。
(3)中项比性质:等差数列anbn 中，Sn Tn 是其前n项和，
an S 2n1
bn
T2 n 1
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知识梳理
3.等差数列的性质
(4)奇数项和与偶数项和性质:等差数列an 中，奇数项有n+1项，
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上式都成立，因而它就是等差数列{an}的通项公式。
知识梳理
（2）.等差数列通项公式常用结论
结论1.等差数列{an}中,首项为a1，公差d an=am+(n-m)d (其中，m，n N*,n m)
结论2：等差数列通项公式 an － a1= (n－1)d函数性：
直线的一般形式： y kx b
a3 － a2=d， a4 …－…a3=d， an－1－an－2=d, an －an－1=d. 这（n－1）个式子迭加
高考数学一轮总复习 5.34 等差、等比数列的性质及综合应用课件 理
三、等差、等比数列综合
例3已知等差数列{an}前三项的和为－3，前三项的
积为 8.
(1)求等差数列{an}的通项公式； (2)若 a2，a3，a1 成等比数列，求数列{|an|}的前 n 项和．
【解析】(1)设等差数列{an}的公差为 d， 则 a2＝a1＋d，a3＝a1＋2d，
第十七页，共40页。
当 n≥3 时，Sn＝S2＋|a3|＋|a4|＋…＋|an| ＝5＋(3×3－7)＋(3×4－7)＋…＋(3n－7)
＝5＋（n－2）[2＋2 （3n－7）]＝23n2－121n＋10. 当 n＝2 时，满足此式．
4, n 1,
综上，Sn＝
3 2
n2
11 2
n
10,
n
2.
【点评】本例(2)小问求解的关键是确定项的正负取值情况 (qíngkuàng)，以去掉绝对值，化归为等差数列的和．
第十三页，共40页。
②证法一：对任意 k∈N＋， Sk＋2＋Sk＋1－2Sk＝(Sk＋2－Sk)＋(Sk＋1－Sk) ＝ak＋1＋ak＋2＋ak＋1 ＝2ak＋1＋ak＋1·(－2) ＝0， 所以，对任意 k∈N＋，Sk＋2，Sk，Sk＋1 成等差数列． 证法二：对任意 k∈N＋，2Sk＝2a1（11－－qqk），
【点评】本例第(3)小问题的求解，实质上是探究数列{dn}的 通项公式，然后(ránhòu)依通项公式确定其为等比数列．
第二十三页，共40页。
〔备选题〕例5在等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝84， a9＝73.
(1)求数列{an}的通项公式； (2)对任意 m∈N*，将数列{an}中落入区间(9m，92m) 内的项的个数记为 bm，求数列{bm}的前 m 项和 Sm.
等比数列的性质
类比等差数列的性质，等比数列可能有哪 些性质呢？
由等差数列的性质，猜想等比数列的性质
{an}是公差为d的等差数列
性质1： an=am+(n-m)d 性质2：若an-k,an,an+k 是{an}中的三项 ， 则2an=an+k+ an-k 性质3： 若n+m=p+q, 则am+an=ap+aq
{bn}是公比为q的等比数列
在等比数列中，首末两项除外，每一项都是它前后两
项的等比中项．
注意：关于等比数列中项的理解应注意体会以下几点：
(1) a、b异号时，没有等比中项；
(2)在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末 项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项； (3)“a、G、b成等比数列”等价于G 2＝ab(ab>0) ，可以用 它来判断或证明三数成等比数列．
猜想1： 若bn-k,bn,bn+k 猜想2： 是{bn}中的三项,则
猜想3：若n+m=p+q，则 bn·bm=bp·bq
猜想1
例1：在等比数列{an}中，若a4＝27，q＝-3，求a7； 解：方法1：由a4＝a1·q3得27＝a1· (－3)3，得
a1＝－1，∴a7＝a1·q6＝(－1)·(－3)6＝－729.
n 1
a n a m q
试比较
n m
a n a1q
n 1
与上式
例2：在等比数列{an}中，若 a6＝6，a9＝9，则a3等 于( )
a9 3 9 6 3 q q a6 2 a 6 a 3q 3 a6 a3 3 4 q
猜想3
在等比数列中， 若m+n=p+k (m,n,p,k为正整数） 则am+an=ap+ak
等比数列的概念(第一课时)课件-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
a2
a3
以上各式相乘得：
a 2 a 3 a4
a1 a2 a3
an 1 an
q q q
a n 2 a n 1
an
q n1，an a1q n1
a1
q q n 1
n-1个
又a1=a1q0=a1q1-1，即当n=1时上式也成立.
an=a1qn-1 (n∈ ∗ )
所以 5 =± 576=±24
因此， 的第5项是24或-24
典例分析
例2 已知等比数列{an}的公比为q，试用{an}的第m项am表示an.
n 1
a
a
q
①
n
1
解:由题意,得
，
m 1
am a1q ②
①的两边分别除以②的两边,得
an
q n m ,即an am q n m .
常数列一定是等差数列，公差为0；
非零常数列是等比数列，公比为1.
追问3：是否存在既是等差数列又是等比数列的数列？
非零常数列既是等差数列又是等比数列，公差为0，公比为1.
新知探究二：等比中项
问题3 类比等差中项的概念，你能抽象出等比中项的概念吗？
等比中项
等差中项
定
义
关
系
如果三个数a，A，b组成等
如果三个数a，G，b组成等
q 3
解 2 :由题意,得a22 a1a3 36,∴a2 6.
a4
2
当a2 6时,a4 54,∴q
第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132. 求这个数列.
解：设前三项的公比为q,后三项的公差为d ,则数列的各项的各项依次为