等差数列与等比数列性质对比
等差数列与等比数列性质对比
等差数列 等比数列
定义
)1(;211nddaanddaannnn为常数，
为常数，
d 叫公
差
1211nqqaanqqaannnn为不为零的常数，
为不为零的常数，
q 叫公比
通项公式
dnaan)1(1
11n
n
qaa
递推公式
daann
1
qaann1
变式
dmnaamn)(
mnmnqaa
前n项和
dnnnanaaSnn2)1(2)(11
1)1(1111qq
q
a
qna
S
n
n
中项 a,A,b成等差数列2A=a+b,A叫做a与b的等差中项 a,G,b成等比数列 G2=ab,G叫做a与b
的等比中项
性质 d>o等差数列递增； d=0等差数列为常数列； d<0等差数列递减 q>1，a1>0时，等比数列递增；
a1>0时，等比数列递减；
0
a1>0时，等比数列递增；
q<0 等比数列为摆动数列；
11,,aaann是公差-d的等差数列 11,,aaann
是公比q-1的等比数列
从第二项起，每一项是它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项； 从第二项起，每一项是它相邻两项的等比
中项，也是与它等距离的前后两项的等比
中项；
若 k+t=m+n,则 ak + at = am + an 若 k+t=m+n,则 ak · at = am · an
序号成等差数列的项仍为等差数列 序号成等差数列的项仍为等比数列
对任一n∈N*,Sn,S2n－Sn,S3n－S2n,…,仍成对差数列； 对任一n∈N*,Sn,S2n－Sn,S3n－S
2n
,…,仍成
对比数列；
项数m=2n时，;,1nnaaSSndSS奇偶奇偶 项数m=2n+1时，;1,1nnSSaSSn奇偶奇偶 奇数项符号相同；
偶数项符号相同。
若{an},{bn}是项数相同的两个等差数列，则{pan + qbn}是等差数列（p,q是常数）。 若{an},{bn}是项数相同的两个等比数列，
则{pan /qbn}是等比数列（p,q是常数）。
等差数列和等比数列的性质PPT教学课件(1)
nm
n
m
a a 前n项和—Sn= a1(1- qn)
或 Sn=
1
q
n (q 1)
1-q
1 q
sn na1(q 1)
几何意义 — 等比数列各项对应的点都在类指数函数
图象上
巩固练习：判定下列数列是否是 等差数列？如果是请指出公差。
(1). 1，0，1，0，1，0，…；
不是
(2). 0，0，0，0，0，0，…；
O
x
x+y+1=0
得A（ 3k 2 , 4k 1 ） k 1 k 1
解方程组 y=k（x-得3）B+（13k 7 x+y+6=0 k 1
θ A1
， 9k 1 ） B1
k 1
由|AB|=5得 (3k 2 3k 7)2 ( 4k 1 9k 1)2 52
k 1 k 1
k 1 k 1
解之，得k=0，即所求的直线方程为y=1
3、等差数列前n项和公式：Sn= (a1+an) n
2
或Sn
= na1+
n (n-1) 2
d
4、几何意义：等差数列各项对应的点( n、an )都
在一次函 数图象上
3、3 等 比 数 列
定义— 如果一个数列从第2项起，每一项与
它前一项的比等于同一个常数.
.
通项 —
an=
或a a q a qn1 1
〖思维由点上拨可知〗，；直要线l的求倾直斜线角为方00程或9只00，要有：点和 斜又率由直（线可l过有点P倾（斜3，角1）算，，故所也求可l的以方先程为找x两=3或点y=）1。。
对称问题
P(4例, 03)、点 5x关于4直y线 21 0
等差数列与等比数列例题和知识点梳理
等差数列及其前n 项和 等比数列及其前n 项和等差数列及其前n 项和1．等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示． 2．等差数列的通项公式如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d . 3．等差中项由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列．这时，A 叫做a 与b 的等差中项．4．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．(6)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…构成等差数列．(7)若{a n }是等差数列，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列，其首项与{a n }的首项相同，公差为12d .5．等差数列的前n 项和公式设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2或S n ＝na 1＋n (n －1)2d .6．等差数列的前n 项和公式与函数的关系 S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n . 数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)．7．等差数列的前n 项和的最值在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最大值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最小值． 概念方法微思考1．“a ，A ，b 是等差数列”是“A ＝a ＋b2”的什么条件？提示 充要条件．2．等差数列的前n 项和S n 是项数n 的二次函数吗？提示 不一定．当公差d ＝0时，S n ＝na 1，不是关于n 的二次函数．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( )(2)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．( )(3)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数．( )(4)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.( ) 题组二 教材改编2．设数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 6＝2且S 5＝30，则S 8等于( ) A ．31 B ．32 C ．33 D ．343．在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8＝________.题组三 易错自纠4．一个等差数列的首项为125，从第10项起开始比1大，则这个等差数列的公差d 的取值范围是( ) A ．d >875B ．d <325C.875<d <325D.875<d ≤3255．(多选)设{a n }是等差数列，S n 是其前n 项的和，且S 5<S 6，S 6＝S 7>S 8，则下列结论正确的是( ) A ．d <0 B ．a 7＝0C ．S 9>S 5D ．S 6与S 7均为S n 的最大值6．若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝____时，{a n }的前n 项和最大．7．一物体从1 960 m 的高空降落，如果第1秒降落4.90 m ，以后每秒比前一秒多降落9.80 m ，那么经过________秒落到地面．等差数列基本量的运算1．(2018·全国Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5等于( ) A ．－12 B ．－10 C ．10 D ．122．(2019·全国Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 4＝0，a 5＝5，则( ) A ．a n ＝2n －5 B ．a n ＝3n －10 C ．S n ＝2n 2－8n D ．S n ＝12n 2－2n3．(2019·江苏)已知数列{a n }(n ∈N *)是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 2a 5＋a 8＝0，S 9＝27，则S 8的值是________．4．(2019·全国Ⅲ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 1≠0，a 2＝3a 1，则S 10S 5＝________.等差数列的判定与证明例1 (2020·日照模拟)已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，a n ＋1＝1－14a n ，b n ＝22a n －1，其中n ∈N *.求证：数列{b n }是等差数列，并求出数列{a n }的通项公式．跟踪训练1 在数列{a n }中，a 1＝2，a n 是1与a n a n ＋1的等差中项．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是等差数列，并求{}a n 的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1n 2a n 的前n 项和S n .等差数列性质的应用命题点1 等差数列项的性质例2 (2019·江西师范大学附属中学模拟)已知数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，2＋a 5＝a 6＋a 3，则S 7等于( ) A ．2 B ．7 C ．14 D ．28命题点2 等差数列前n 项和的性质例3 (1)(2020·漳州质检)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n .若S 5＝7，S 10＝21，则S 15等于( )A ．35B ．42C ．49D ．63(2)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2 018，S 2 0192 019－S 2 0132 013＝6，则S 2 020＝________.跟踪训练2 (1)已知等差数列{a n }、等差数列{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若S n T n ＝n ＋2n ＋1，则a 6b 8的值是( )A.1316B.1314C.1116D.1115(2)(2019·莆田质检)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 13>0，S 14<0，则S n 取最大值时n 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．131．在等差数列{a n }中，a 1＝2，a 5＝3a 3，则a 3等于( ) A ．－2 B ．0 C ．3 D ．62．(2019·晋城模拟)记等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 6＝16，S 5＝35，则{a n }的公差为( ) A ．3 B ．2 C ．－2 D ．－33．在等差数列{a n }中，已知a 1 011＝1，则该数列前2 021项的和S 2 021等于( ) A ．2 020 B ．2 021 C ．4 040 D ．4 0424．已知数列{a n }是公差不为0的等差数列，前n 项和为S n ，满足a 1＋5a 3＝S 8，给出下列结论：①a 10＝0；②S 10最小；③S 7＝S 12；④S 20＝0. 其中一定正确的结论是( )A ．①②B ．①③④C ．①③D ．①②④5．程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠．次第每人多十七，要将第八数来言．务要分明依次弟，孝和休惹外人传．”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止．分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为( )A ．65B ．176C ．183D ．1846．(2019·宁夏银川一中月考)在等差数列{a n }中，若a 10a 9<－1，且它的前n 项和S n 有最大值，则使S n >0成立的正整数n 的最大值是( ) A ．15 B ．16 C ．17 D ．147．(多选)已知数列{a n }是公差不为0的等差数列，前n 项和为S n ，满足a 1＋5a 3＝S 8，下列选项正确的有( ) A ．a 10＝0 B ．S 10最小 C ．S 7＝S 12 D ．S 20＝08．(多选)设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则( ) A ．a n ＝－12n－1B ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，1n －1－1n，n ≥2，n ∈N *C ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 为等差数列D.1S 1＋1S 2＋…＋1S 100＝－5 0509．(2019·全国Ⅲ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 3＝5，a 7＝13，则S 10＝________.10．等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，且S n T n ＝3n －12n ＋3，则a 10b 10＝________.11．已知数列{a n }满足(a n ＋1－1)(a n －1)＝3(a n －a n ＋1)，a 1＝2，令b n ＝1a n －1.(1)证明：数列{b n }是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．12．已知等差数列{a n }的公差d >0，设{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 2S 3＝36. (1)求d 及S n ；(2)求m ，k (m ，k ∈N *)的值，使得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝65.13．(2020·大连模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，b n ＝2n a且b 1＋b 3＝17，b 2＋b 4＝68，则S 10等于( )A ．90B ．100C ．110D ．12014．已知数列{a n }与⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 2n n 均为等差数列(n ∈N *)，且a 1＝2，则a 20＝________.15．(2020·黑龙江省哈尔滨市第三中学模拟)已知x 2＋y 2＝4，在这两个实数x ，y 之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为( ) A ．210 B.1210 C.10 D.321016．记m ＝d 1a 1＋d 2a 2＋…＋d n a nn ，若{}d n 是等差数列，则称m 为数列{a n }的“d n 等差均值”；若{}d n 是等比数列，则称m 为数列{a n }的“d n 等比均值”．已知数列{a n }的“2n －1等差均值”为2，数列{b n }的“3n－1等比均值”为3.记c n ＝2a n＋k log 3b n ，数列{}c n 的前n 项和为S n ，若对任意的正整数n 都有S n ≤S 6，求实数k 的取值范围．等比数列及其前n 项和1．等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q (n ∈N *，q 为非零常数)． (2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即G 是a 与b 的等比中项⇒a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab . 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －1. (2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1(q ＝1)，a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q (q ≠1).3．等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n －m (n ，m ∈N *)．(2)若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k. (3)若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n bn (λ≠0)仍然是等比数列．(4)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n ＋3k ，…为等比数列，公比为q k .4．在等比数列{a n }中，若S n 为其前n 项和，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 也成等比数列(n 为偶数且q ＝－1除外)． 概念方法微思考1．将一个等比数列的各项取倒数，所得的数列还是一个等比数列吗？若是，这两个等比数列的公比有何关系？提示 仍然是一个等比数列，这两个数列的公比互为倒数．2．任意两个实数都有等比中项吗？提示 不是．只有同号的两个非零实数才有等比中项． 3．“b 2＝ac ”是“a ，b ，c ”成等比数列的什么条件？提示 必要不充分条件．因为b 2＝ac 时不一定有a ，b ，c 成等比数列，比如a ＝0，b ＝0，c ＝1.但a ，b ，c 成等比数列一定有b 2＝ac .题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *，q 为常数)的数列{a n }为等比数列．( ) (2)如果数列{a n }为等比数列，则数列{ln a n }是等差数列．( ) (3)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n，则其前n 项和为S n ＝a (1－a n )1－a.( )(4)数列{a n }为等比数列，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列．( ) 题组二 教材改编2．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则公比q ＝______.3．公比不为1的等比数列{a n }满足a 5a 6＋a 4a 7＝18，若a 1a m ＝9，则m 的值为( ) A ．8 B ．9 C ．10 D ．11题组三 易错自纠4．(多选)已知数列{a n }是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n B ．log 2a 2nC ．{a n ＋a n ＋1}D ．{a n ＋a n ＋1＋a n ＋2}5．若1，a 1，a 2，4成等差数列，1，b 1，b 2，b 3，4成等比数列，则a 1－a 2b 2的值为________．6．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2＝________.7．一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存1 MB ，然后每3秒自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机________秒，该病毒占据内存8 GB.(1 GB ＝210 MB)等比数列基本量的运算1．(2020·晋城模拟)设正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝3，S 4＝15，则公比q 等于( )A ．5B ．4C ．3D ．22．(2019·全国Ⅲ)已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15，且a 5＝3a 3＋4a 1，则a 3等于( )A ．16B ．8C ．4D ．23．(2019·全国Ⅰ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，S 3＝34，则S 4＝________.4．(2018·全国Ⅲ)等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3. (1)求{a n }的通项公式；(2)记S n 为{a n }的前n 项和，若S m ＝63，求m .等比数列的判定与证明例1 (2019·四川省名校联盟模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足2S n ＝－a n ＋n (n ∈N *)．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －12为等比数列；(2)求数列{a n －1}的前n 项和T n .跟踪训练1 设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2. (1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明：数列{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．等比数列性质的应用例2 (1)(2019·黑龙江省大庆第一中学模拟)在各项不为零的等差数列{a n }中，2a 2 019－a 22 020＋2a 2 021＝0，数列{b n }是等比数列，且b 2 020＝a 2 020，则log 2(b 2 019·b 2 021)的值为( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．8(2)(2020·长春质检)各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 6＝30，S 9＝70，则S 3＝________.跟踪训练2 (1)(2019·安徽省江淮十校月考)已知等比数列{a n }的公比q ＝－12，该数列前9项的乘积为1，则a 1等于( ) A ．8 B ．16 C ．32 D ．64(2)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3S 6＝89，则a n ＋1a n －a n －1＝________(n ≥2，且n ∈N *)．对于数列通项公式的求解，除了我们已经学习的方法以外，根据所给递推公式的特点，还有以下几种构造方式．构造法1 形如a n ＋1＝ca n ＋d (c ≠0，其中a 1＝a )型 (1)若c ＝1，数列{a n }为等差数列； (2)若d ＝0，数列{a n }为等比数列；(3)若c ≠1且d ≠0，数列{a n }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．例1 在数列{a n }中，若a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2，则通项a n ＝________.构造法2 形如 a n ＋1＝pa n ＋q ·p n ＋1(p ≠0,1，q ≠0)型a n ＋1＝pa n ＋q ·p n ＋1(p ≠0,1，q ≠0)的求解方法是两端同时除以p n ＋1，即得a n ＋1pn ＋1－a n p n ＝q ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n p n 为等差数列． 例2 (1)已知正项数列{a n }满足a 1＝4，a n ＋1＝2a n ＋2n ＋1，则a n 等于( ) A ．n ·2n －1 B ．(n ＋1)·2n C ．n ·2n ＋1 D ．(n －1)·2n(2)(2019·武汉市二中月考)已知正项数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ＋3×5n ，则数列{a n }的通项a n 等于( ) A ．－3×2n －1 B ．3×2n －1 C ．5n ＋3×2n －1 D ．5n －3×2n －1构造法3 相邻项的差为特殊数列(形如a n ＋1＝pa n ＋qa n －1，其中a 1＝a ，a 2＝b 型) 可化为a n ＋1－x 1a n ＝x 2(a n －x 1a n －1)，其中x 1，x 2是方程x 2－px －q ＝0的两根． 例3 数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝23a n ＋1＋13a n ，求数列{a n }的通项公式．构造法4 倒数为特殊数列(形如a n ＝pa n －1ra n －1＋s 型)例4 已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a na n ＋2，求数列{a n }的通项公式．1．(2020·韶关模拟)若等比数列{a n }的各项均为正数，a 2＝3,4a 23＝a 1a 7，则a 5等于( ) A.34 B.38 C ．12 D ．242．等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝32n －1＋r ，则r 的值为( ) A.13 B ．－13 C.19 D ．－193．(2019·天津市河西区月考)设{a n }是公比为q 的等比数列，则“q >1”是“{a n }为递增数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知递增的等比数列{a n }中，a 2＝6，a 1＋1，a 2＋2，a 3成等差数列，则该数列的前6项和S 6等于( )A ．93B ．189 C.18916 D ．3785．(2020·永州模拟)设等比数列{a n }的公比为q ，则下列结论正确的是( ) A ．数列{a n a n ＋1}是公比为q 的等比数列 B ．数列{a n ＋a n ＋1}是公比为q 的等比数列 C ．数列{a n －a n ＋1}是公比为q 的等比数列D ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是公比为1q 的等比数列6．若正项等比数列{a n }满足a n a n ＋1＝22n (n ∈N *)，则a 6－a 5的值是( ) A. 2 B ．－162 C ．2 D ．1627．(多选)在等比数列{a n }中，a 5＝4，a 7＝16，则a 6可以为( ) A ．8 B ．12 C ．－8 D ．－128．(多选)在等比数列{a n }中，公比为q ，其前n 项积为T n ，并且满足a 1＞1，a 99·a 100－1＞0，a 99－1a 100－1＜0，下列选项中，结论正确的是( ) A ．0＜q ＜1 B ．a 99·a 101－1＜0C ．T 100的值是T n 中最大的D ．使T n ＞1成立的最大自然数n 等于1989．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝2 020，a 2＋a 4＝－2a 3，则S 2 021＝________.10.如图所示，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，…，如此继续下去得到一个树状图形，称为“勾股树”．若某勾股树含有1 023个正方形，且其最大的正方形的边长为22，则其最小正方形的边长为________．11．(2018·全国Ⅰ)已知数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝2(n ＋1)a n .设b n ＝a nn .(1)求b 1，b 2，b 3；(2)判断数列{b n }是否为等比数列，并说明理由； (3)求{a n }的通项公式．12．(2019·淄博模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝34，S n ＝S n －1＋a n －1＋12(n ∈N *且n ≥2)，数列{b n }满足：b 1＝－374，且3b n －b n －1＝n ＋1(n ∈N *且n ≥2)．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：数列{b n －a n }为等比数列．13．各项均为正数的数列{a n }和{b n }满足：a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1 成等比数列，且a 1＝1，a 2＝3，则数列{a n }的通项公式为________．14．已知在等比数列{a n }中，a n >0，a 22＋a 24＝900－2a 1a 5，a 5＝9a 3，则a 2 020的个位数字是____．15．在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“扩展”．将数列1,2进行“扩展”，第一次得到数列1,2,2；第二次得到数列1,2,2,4,2，….设第n 次“扩展”后得到的数列为1，x 1，x 2，…，x t ，2，并记a n ＝log 2(1·x 1·x 2·…·x t ·2)，其中t ＝2n －1，n ∈N *，求数列{a n }的通项公式．16．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是首项为3，公差为2的等差数列，若b n ＝2n a ，数列{b n }的前n 项和为T n ，求使得S n ＋T n ≥268成立的n 的最小值．。
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6．等差数列的证明方法
定义法：若 an an1 d 或 an1 an d (常数 n N ) an 是等差数列．
7.提醒：
（1）等差数列的通项公式及前 n 和公式中，涉及到 5 个元素： a1 、 d 、 n 、 an 及 Sn ，其中 a1 、 d 称作
为基本元素。只要已知这 5 个元素中的任意 3 个，便可求出其余 2 个，即知 3 求 2。 （2）设项技巧：
①一般可设通项 an a1 (n 1)d ②奇数个数成等差，可设为…， a 2d , a d , a, a d , a 2d …（公差为 d ）； ③偶数个数成等差，可设为…， a 3d , a d , a d , a 3d ,…（注意；公差为 2 d ）
8..等差数列的性质：
（1）当公差 d 0 时，
5．等差数列的判定方法
（1） 定义法：若 an an1 d 或 an1 an d (常数 n N ) an 是等差数列． （2） 等差中项：数列 an 是等差数列 2an an-1 an1 (n 2) 2an1 an an2 ． ⑶数列 an 是等差数列 an kn b （其中 k, b 是常数）。 （4）数列 an 是等差数列 Sn An2 Bn ,（其中A、B是常数）。
即 当 a1 0，d 0，由 aann1 00 可得 Sn 达到最小值时的 n 值．
或求 an中正负分界项
法三：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数，故n取离二次函数对
称轴最近的整数时， Sn 取最大值（或最小值）。若S
p
=
S
q则其对称轴为 n
pq 2
注意：解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：
S奇 S偶
n 1 n
等差、等比数列公式总结
一、等差数列1.定义：)(1常数d a a n n =-+2.通项公式：d n a )1(a 1n -+=3.变式：d m n a m n )(a -+= m n a a d m n --=4.前n 项和：2)(1n a a S n n += 或 d n n n a S n 2)1(1-+= 5.几何意义：①d dn a d n a a n -+=-+=11)1(即q pn a n += 类似 q px y += ②n d a n d S n )2(212-+= 即 Bn An S n +=2 类似 Bx Ax y +=2 6.}{n a 等差d a a a a a Bn An S q pn a n n n n n n n =-⇔+=⇔+=⇔+=⇔++-11122 7.性质① q p n m +=+则 q p n m a a a a +=+② p n m 2=+ 则 p n m a a a 2=+③ Λ=+=+=+--23121n n n a a a a a a④ m S 、m -m 2S 、2m -m 3S 等差⑤ }{n a 等差,有12+n 项,则n S S 1n +=偶奇 ⑥ 1212-=-n S a n n 二、等比数列1.定义：常数）(a 1q a n n =+ 2.通项公式：11a -=n n q a3.变式： m n m n q a -=a m n mn q a a -= 4. ⎪⎩⎪⎨⎧≠--==)1( 1)1()1( 11q qq a q na S n n 前n 项和：n a S n 1= )1(=q 或 qq a S n n --=11()1 )1(≠q5.变式：mn m n q q S S --=11 )1(≠q 6.性质：① r p n m +=+则 r p n m a a a a ⋅=⋅② p n m 2=+ 则 2p n m a a a =⋅③ Λ=⋅=⋅=⋅--23121n n n a a a a a a④ m S 、m -m 2S 、2m -m 3S 等比⑤ }{n a 等比,有12+n 项偶奇qS a a a a q a a a a S n n +=++++=++++=+1242112531)(a ΛΛ三、等差与等比的类比{}n a 等差{}n b 等差 和积 差商 系数指数 “0”“1”1.分组求和 本数列的和公式求和．进行拆分，分别利用基，则可或等比数列的和的形式数列，但通项是由等差通项虽不是等差或等比项的和：前如求n n n )}1({+)2)(1(31 )1(21)12)(1(61 )321()321( )()22()11(])1(22222222++=++++=++++++++=++++++=∴+=+n n n n n n n n n n n n S n n n n n ΛΛΛΘ).11(11}{1 111+++-=⋅⋅n n n n n n n a a d a a a n a a 为等差数列，项和，其中的前项为用于通从而计算和的方法，适别裂开后，消去一部分把数列和式中的各项分).2()7(!)!1(!)6()5()(11)4(])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1)3()121121(21)12)(12(1)2(111)1(1)1(111≥-=-+=⋅-=--=+++-+=+++--=+-+-=+-+-n S S a n n n n C C C b a b a ba n n n n n n n n n n n n n n n n n n m n m n m n ；；；；；；列的求和．数列对应项相乘所得数列和一个等比可解决形如一个等差数的推导方法求解，一般利用等比数列求和公式 项和公式的推导：前如：等比数列n a n }{11132321)1(++-=-⇒⎩⎨⎧++++=++++=n n n n n n n a a S q a a a a qS a a a a S ΛΛ.)1(11)1()1( 111⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--=⇒q q q a a qq a q na n n THANKS !!!致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习课件等等打造全网一站式需求欢迎您的下载，资料仅供参考。
等差等比数列的性质总结
等差等比数列的性质总结一、等差数列1、等差数列的定义：（d为常数）（）；2、等差数列通项公式：，首项:，公差:d，末项: 推广：、从而；3、等差中项（1）如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项、即：或（2）等差中项：数列是等差数列4、等差数列的前n项和公式：（其中A、B是常数，所以当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0）特别地，当项数为奇数时，是项数为2n+1的等差数列的中间项（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）5、等差数列的判定方法（1）定义法：若或(常数)是等差数列、（2）等差中项：数列是等差数列、⑶数列是等差数列（其中是常数）。
（4）数列是等差数列,（其中A、B是常数）。
6、等差数列的证明方法定义法：若或(常数)是等差数列、7、提醒：（1）等差数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：、、、及，其中、称作为基本元素。
只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
（2）设项技巧：①一般可设通项②奇数个数成等差，可设为…，…（公差为）；③偶数个数成等差，可设为…，,…（注意；公差为2）8、、等差数列的性质：（1）当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；前和是关于的二次函数且常数项为0、（2）若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。
（3）当时,则有，特别地，当时，则有、注：，（4）若、为等差数列，则都为等差数列(5) 若{}是等差数列，则，…也成等差数列（6）数列为等差数列,每隔k(k)项取出一项()仍为等差数列（7）设数列是等差数列，d为公差，是奇数项的和，是偶数项项的和，是前n项的和1、当项数为偶数时，2、当项数为奇数时，则（其中是项数为2n+1的等差数列的中间项）、（8）、的前和分别为、，且，则、（9）等差数列的前n项和，前m项和，则前m+n项和(10)求的最值法一：因等差数列前项是关于的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性。
等比等差数列的所有公式
等比等差数列的所有公式等差数列和等比数列是数学领域里比较基础且常见的两种数列。
它们不仅在高中阶段的数学学习中出现，同时也在大学的高级数学科目中应用广泛。
本文将会全面介绍等差数列和等比数列的定义、公式以及应用，以期为读者提供一个全面且清晰的了解。
一、等差数列等差数列是指一种数列，其任意两个相邻项之间的差值是相等的，这个相等的差值叫做公差。
举个例子，1，3，5，7，9....，就是一个公差为2的等差数列。
等差数列的通项公式对于任意一个等差数列，其通项公式可以表示为an=a1+(n-1)d，其中an表示该数列的第n项，a1表示该数列的首项，d表示该数列的公差。
这个公式用起来非常方便，读者只需要知道该数列的首项和公差，就可以轻松地得出该数列的任意一项。
等差数列的和公式等差数列的和公式就是数列的所有数值之和，它能够帮助我们快速计算数列中所有数值之和。
韦达定理是该公式的基础，韦达定理是指求等差数列和时将数列上下颠倒，在叠加两个相同的数列使其首项与末项分别相加后，其中的所有项均相等，其和是所求等差数列的和的两倍。
求和公式： Sn=n(a1+an)/2其中n表示项数，a1表示首项，an表示末项。
（特殊情况下）如果公差为1，那么求和公式可以变为：Sn=n(a1+an)/2=n(a1+1)/2 。
二、等比数列等比数列是指一种数列，其任意两个相邻项之间的比值是相等的，这个相等的比值叫做公比。
例如，1，2，4，8，16....就是一个公比为2的等比数列。
等比数列的通项公式对于任意一个等比数列，其通项公式可以表示为an=a1×r^(n-1)，其中an表示该数列的第n项，a1表示该数列的首项，r表示该数列的公比。
与等差数列的情况类似，知道等比数列的首项和公比，就可以很容易地得出该数列的任意一项。
等比数列的和公式等比数列的和公式可以帮助我们快速计算数列中所有数值之和。
其中，如果公比r=1，那么求和公式就是Sn=na1，这个公式表示如果公比为1的等比数列中有n个元素，那么这个数列的和就是该数列第一个元素的值与这n 个元素数值之和相等。
第五章 第3节 等差、等比数列的片段和性质-解析版
第3节 等差、等比数列的片段和性质知识与方法1.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则m S ，2m m S S -，32m m S S -，…，也构成等差数列，公差为2m d .2.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则m S ，2m m S S -，32m m S S -，…，也构成等比数列，公比为m q ，其中m 为偶数且公比1q =-这种情况除外.典型例题【例1】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若41S =，84S =，则17181920a a a a +++的值为（ ） A.9 B.12 C.16 D.7【解析】{}n a 为等差数列4S ⇒，84S S -，128S S -，…也成等差数列，41S =，843S S -=⇒其公差为2，所以1718192020161429a a a a S S +++=-=+⨯=. 【答案】A变式 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3614S S =，则159S S =______.【解析】{}n a 为等差数列3S ⇒，63S S -，96S S -，…也成等差数列，设3S m =，64S m =， 则3S m =，633S S m -=，965S S m -=，1297S S m -=，15129S S m -=，从而()()9363969S S S S S S m =+-+-=，()()159129151297925S S S S S S m m m m =+-+-=++=，故159259S S =. 【答案】259【例2】设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若6312S S =，则93SS =_______. 【解析】解法1：显然1q ≠，否则632S S =， 所以693369333311113112214S S q q q q S q S q --==+=⇒=-⇒==--.解法2：设6S m =，32S m =，则63S S m -=-，由题意，3S ，63S S -，96S S -也成等比数列，所以962m S S -=，从而()()93639632mS S S S S S =+-+-=，故9334S S =.【答案】34变式 设等比数列{}n a 中，前n 项和为n S ，已知38S =，67S =，则789a a a ++=（ ）A.18B.18-C.578D.558【解析】显然{}n a 的公比1q ≠-，否则60S =，所以3S ，63S S -，96S S -成等比数列， 由题意，38S =，631S S -=-，所以9618S S -=，即78918a a a ++=.【答案】A强化训练l.（★★★）已知n S 表示等差数列{}n a 的前n 项和，且51013S S =，那么520SS 等于（ ） A.110 B.19 C.18 D.13 【解析】设5S k =，103S k =，{}n a 是等差数列5S ⇒，105S S -，1510S S -，…也构成等差数列，所以5S k =，1052S S k -=，15103S S k -=，20154S S k -=，四式相加得2010S k =，故52011010S k S k ==.【答案】A2.（★★★）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10512S S =，则1510SS =_______. 【解析】解法1：{}1052n S a S ≠⇒的公比1q ≠，由题意，()()101105105551111111211a q S q q q S qa q q---===+=---，所以512q =-，从而31515210101113212112S q S q ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭===-⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 解法2：由题意，可设10S m =，52S m =，则105S S m -=-，因为{}n a 为等比数列，所以5S ，105S S -，1510S S -也成等比数列，故()2105151052S S mS S S --==， 从而()()()15510515103222m mS S S S S S m m =+-+-=+-+=，故151032S S =. 【答案】323.（★★★）设{}n a 是任意等差数列，它的前n 项和、前2n 项和与前4n 项和分别为X 、Y 、Z ，则下列等式中恒成立的是（ ） A.23X Z Y += B.44X Z Y += C.237X Z Y += D.86X Z Y +=【解析】由题意，n S X =，2n S Y =，4n S Z =，因为{}n a 是等差数列，所以n S ，2n n S S -，32n n S S -，…也成等差数列，其公差()22n n n d S S S Y X =--=-，故n S X =，2n n S S Y X -=-，()322223n n S S X Y X Y X -=+-=-，()433235n n S S X Y X Y X -=+-=-，以上四式相加得：()()()4233568n S X Y X Y X Y X Y X =+-+-+-=-，又4n S Z =，所以68Y X Z -=，从而86X Z Y +=. 【答案】D4.（★★★）各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2n S =，314n S =，则4n S 等于（ ） A.80 B.30 C.26D.16【解析】设2n S x =，则22n n S S x -=-，3214n n S S x -=-，因为{}n a 是正项等比数列，所以n S ，2n n S S -，32n n S S -也成等比数列，故()()22214x x -=-， 解得：6x =或4-（舍去），从而24n n S S -=，328n n S S -=，4316n n S S -=， 所以()()()42324330n n n n n n n n S S S S S S S S =+-+-+-=. 【答案】B。
等差、等比数列性质总结
等差数列性质总结1.等差数列的定义式：d a a n n =--1(d 为常数）（2≥n ）； 2．等差数列通项公式：*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ , 首项:1a ，公差：d ，末项：n a 推广： d m n a a m n )(-+=． 从而mn a a d mn --=； 3．等差中项（1)如果a ，A ,b 成等差数列,那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2b a A +=或b a A +=2 （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列+-112(2,n N )n n n a a a n +⇔=+≥∈212+++=⇔n n n a a a 4．等差数列的前n 项和公式：1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+211()22d n a d n =+-2An Bn =+ (其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0）特别地，当项数为奇数21n +时,1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项()()()12121121212n n n n a a S n a +++++==+（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项)5．等差数列的判定方法（1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列． （2) 等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a ． ⑶数列{}n a 是等差数列⇔b kn a n +=（其中b k ,是常数)。
(4）数列{}n a 是等差数列⇔2n S An Bn =+，（其中A 、B 是常数）。
6．等差数列的证明方法定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列 等差中项性质法：-112(2n )n n n a a a n N ++=+≥∈，． 7。
等差等比数列求解技巧
等差等比数列求解技巧等差数列和等比数列是在数学中经常遇到的一类数列，对于求解等差等比数列的问题，我们可以用到一些常见的技巧来简化计算过程。
在本文中，我将向您介绍并详细解释以下几种等差等比数列的求解技巧。
一、等差数列的求和公式等差数列是指数列中的每两个相邻项之间差值相等的数列，也就是说，每个后项与前项的差都是相等的。
1. 求等差数列的前n项和设等差数列的首项为a1，公差为d，要求前n项和Sn，我们可以应用求和公式来求解：Sn = (a1 + an) * n / 2其中，a1是首项，an是前n项的最后一项。
n是项数。
例如，要求等差数列1, 3, 5, 7, 9的前3项和，则a1=1，d=2，n=3，代入求和公式得：S3 = (1 + 5) * 3 / 2 = 9。
2. 求等差数列的末项根据等差数列的性质可知，等差数列的末项an可以表示为：an = a1 + (n-1) * d其中，a1是首项，n是项数，d是公差。
例如，已知等差数列的首项为3，公差为2，求其第10项的值，则代入公式得：a10 = 3 + (10-1) * 2 = 21。
二、等比数列的求和公式等比数列是指数列中的每两个相邻项之间的比值相等的数列，也就是说，每个后项与前项的比都是相等的。
1. 求等比数列的前n项和设等比数列的首项为a1，公比为q，要求前n项和Sn，我们可以应用求和公式来求解：Sn = (a1 * (1 - q^n)) / (1 - q)其中，a1是首项，q是公比，n是项数。
例如，要求等比数列2, 4, 8, 16的前3项和，则a1=2，q=2，n=3，代入求和公式得：S3 = (2 * (1 - 2^3)) / (1 - 2) = 14。
2. 求等比数列的末项根据等比数列的性质可知，等比数列的末项an可以表示为：an = a1 * q^(n-1)其中，a1是首项，q是公比，n是项数。
例如，已知等比数列的首项为3，公比为2，求其第10项的值，则代入公式得：a10 = 3 * 2^(10-1) = 1536。
等差等比数列性质总结(1)
等差等比数列的性质总结(一)等差数列的公式及性质1. 等差数列的定义：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）；2．等差数列通项公式：*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈，首项:1a ，公差:d ，末项:n a推广：d m n a a m n )(-+=．从而mn a a d mn --=；3．等差数列的判定方法（1）定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔{}n a 是等差数列．（2）等差中项法：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a ． （3）数列{}n a 是等差数列⇔b kn a n +=（其中b k ,是常数）。
（4）数列{}n a 是等差数列⇔2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。
4. 等差数列的性质：（1）当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；前n 和211(1)()222n n n d dS na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0. （2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。
（3）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=.注：12132n n n a a a a a a --+=+=+=⋅⋅⋅。
（4）若{}n a 、{}n b 为等差数列，则{}{}12n n n a b a b λλλ++，都为等差数列。
（5） 在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即a n ,a n+m ,a n+2m ,…,为等差数 列，公差为md 。