万有引力模型共47页
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万有引力与航天 天体运动中的三种模型
万有引力与航天天体运动中的三种模型一、“自转”天体模型模型特点：绕通过自身中心的某一轴以一定的角速度匀速转动的天体称为“自转”天体。
在其表面上相对天体静止的物体，则以某一点为圆心，做与天体自转角速度相同的匀速圆周运动。
分析此类问题要明确天体表面物体做圆周运动所需向心力是由万有引力的一个分力提供的，万有引力的另一个分力即为重力(由于自转所需向心力很小，通常认为重力近似等于万有引力)。
从赤道向两极因做圆周运动的半径逐渐减小，故所需向心力逐渐减小，重力逐渐增加。
在两极F万＝G，在赤道上F万＝G＋F向。
[典例1] 地球赤道上物体的重力加速度为g，物体在赤道上随地球自转的向心加速度为a，要使赤道上的物体“飘”起来，则地球自转角速度应为原来的多少倍？( )A.gaB.g＋aaC.g－aaD.ga二、“公转”天体模型模型特点：绕另一天体(称为中心天体)做匀速圆周运动的天体称为“公转”天体，其做圆周运动所需向心力由中心天体对其吸引力提供，如人造卫星绕地球运动，地球绕太阳运动等。
[典例2] 如图1所示，宇航员站在某质量分布均匀的星球表面一斜坡上P点沿水平方向以初速度v0抛出一个小球，测得小球经时间t落到斜坡上另一点Q，斜面的倾角为α，已知该星球半径为R，万有引力常量为G，求：图1(1)该星球表面的重力加速度；(2)该星球的密度；(3)该星球的第一宇宙速度v；(4)人造卫星绕该星球表面做匀速圆周运动的最小周期T。
三、双星模型模型特点：在天体模型中，将两颗彼此距离较近的恒星称为双星，它们在相互之间万有引力作用下，绕两球连线上某点做周期相同的匀速圆周运动。
(1)彼此间的万有引力是双星各自做圆周运动的向心力——作用力和反作用力。
(2)双星具有共同的角速度。
(3)双星始终与它们共同的圆心在同一条直线上。
[典例3] 两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动。
现测得两星中心的距离为R，其运动周期为T，求两星的总质量。
万有引力定律课件
物体间万有引力的大小只与两物体的质量 m1、m2 和物体间的距离 r
有关,与是否存在其他物体无关,故选项 C 正确。物体间的万有引力
是一对同性质的力,选项 D 错误。
答案:C
二、 万有引力和重力的关系
知识精要
1.万有引力和重力的关系
如图所示,设地球的质量为 M,半径为 R,A 处物体的质量为 m,则
(1)当物体在赤道上时,F、mg、F'三力同向。此时满足 F'+mg=F,
物体的重力最小,方向指向地心。
(2)当物体在两极点时,F'=0,F=mg=G
2
。
(3)当物体在地球的其他位置时,三力方向不同,F>mg,重力略小
于万有引力,重力的方向不指向地心。
(4)当忽略地球自转时,重力等于万有引力,即 mg=
7
F=F1-F2=
2
。
36
7
答案:
362
思悟升华
运用“填补法”解题的关键是紧扣规律适用的条件,先填补,后运
算。而在运用“填补法”解题的过程中,本题也运用了“等效法”的思想。
“等效法”是高中物理中常用的一种思维方法,是在保证效果相
同的情况下,将陌生、复杂的问题变换成熟悉、简单的模型并进行分
间的引力可直接用公式计算,但式中的 r 是指两球心间的距离,或者
说是行星的轨道半径。
典题例解
【例 1】 对于质量为 m1 和质量为 m2 的两个物体间的万有引力
的表达式 F=G 12 2,下列说法正确的是(
)
A.两物体所受引力总是大小相等,方向相反,是一对平衡力
B.当两物体间的距离 r 趋于 0 时,万有引力无穷大
有关,与是否存在其他物体无关,故选项 C 正确。物体间的万有引力
是一对同性质的力,选项 D 错误。
答案:C
二、 万有引力和重力的关系
知识精要
1.万有引力和重力的关系
如图所示,设地球的质量为 M,半径为 R,A 处物体的质量为 m,则
(1)当物体在赤道上时,F、mg、F'三力同向。此时满足 F'+mg=F,
物体的重力最小,方向指向地心。
(2)当物体在两极点时,F'=0,F=mg=G
2
。
(3)当物体在地球的其他位置时,三力方向不同,F>mg,重力略小
于万有引力,重力的方向不指向地心。
(4)当忽略地球自转时,重力等于万有引力,即 mg=
7
F=F1-F2=
2
。
36
7
答案:
362
思悟升华
运用“填补法”解题的关键是紧扣规律适用的条件,先填补,后运
算。而在运用“填补法”解题的过程中,本题也运用了“等效法”的思想。
“等效法”是高中物理中常用的一种思维方法,是在保证效果相
同的情况下,将陌生、复杂的问题变换成熟悉、简单的模型并进行分
间的引力可直接用公式计算,但式中的 r 是指两球心间的距离,或者
说是行星的轨道半径。
典题例解
【例 1】 对于质量为 m1 和质量为 m2 的两个物体间的万有引力
的表达式 F=G 12 2,下列说法正确的是(
)
A.两物体所受引力总是大小相等,方向相反,是一对平衡力
B.当两物体间的距离 r 趋于 0 时,万有引力无穷大
引力模型资料
引力模型在国际贸易研究中的应用一、引力模型概述引力模型源自于牛顿万有引力定律，其将两个物体之间的引力与它们各自的质量和两者之间的距离联系起来。
20 世纪40 年代James Stewart 首次将引力应用于社会科学。
而最早将其应用于国际贸易的是Tinbergen（1962），引力模型预言两个国家的双边贸易流量是两国经济规模以及两国之间距离的函数。
经济规模用GDP、人口和人均收入来衡量。
距离一般是测量两个国家首都之间的距离（绝对距离），也有的研究测量两个贸易伙伴之间的距离与它们和其他贸易伙伴距离的比值（相对距离），并有若干具体表述的统计形式(ITC，2000；Soloaga andWinters，2001)。
引力模型已经广泛应用于国际贸易研究，其大受欢迎应归因于以下几点：原理简单、数据适用、模型容易被用于计量研究。
通过学者的努力，模型被不断扩展，加入了被认为影响贸易流动的虚拟变量，如共同的语言、共同的边界和国家间的历史关系。
引力模型也被用于政策分析，例如对拥有共同货币的区域或优惠贸易协定的成员国之间的贸易流动估计。
二、贸易引力模型理论基础贸易引力模型不是首先从贸易理论中推演而来的，而是以对现实贸易关系的直观判断为依据建立起来的，因此，贸易引力模型的实证研究在先，理论研究在后。
但基于习惯，本文先介绍贸易引力模型的理论基础。
Anderson(1979)指出引力模型与世界贸易模型在某些方面是一致的，如假定来自不同地区的产品(进口品和国内产品)是不完全替代的（Armington 假设）。
接着一系列的研究指出引力模型框架与许多标准的贸易理论是一致的，如H-O 模型，垄断竞争模型。
Helpman & Krugman（1985）明确表明，引力模型是来源于规模报酬递增的垄断竞争模型，垄断竞争的一般均衡模型预言不同国家的消费者希望进口有别于其他任何国家的商品，所以贸易流量就会与进口国规模（需求）和出口国规模（产品多样性）联系在一起。
第六章 万有引力定律
◆ 那么太阳与地球之间的万有引力又是多大呢？
已知：太阳的质量为M=2.0×1030kg，地球质量为
m=5.8×1025kg，日地之间的距离为R=1.5×1011km
F=GMm/R2
=6.67×10-11×2.0×1030×6.0×1024/(1.5×1011)2
=3.5×1022(N) 3.5×1022N非常大，能够拉断直径为9000km的钢柱。 而太阳对质量为50kg的人，引力很小，不到0.3N。 当然我们感受不到太阳的引力。
3、开普勒三定律
◆开普勒第一定律（轨道定律）
所有行星分别在大小不同的椭圆轨道上绕太阳 运动，太阳是在这些椭圆的其中一个焦点上。
太阳
●
焦点
焦点
行星轨道
3、开普勒三定律
◆开普勒第一定律（轨道定律）
所有行星分别在大小不同的椭圆轨道上绕太阳 运动，太阳是在这些椭圆的其中一个焦点上。
◆开普勒第二定律（面积定律）
圆轨道下证明的问题简化为
在圆形轨道下讨论。
把行星绕太阳运动看作匀速圆周运动
r
R
近似化
如果认为行星绕太阳做匀速圆周运动，那么，太阳对 行星的引力F应为行星所受的向心力，即：
F引= F向=mw2r＝mv2/r 怎么办 因为： w＝2π/T ； v=2πr/T 呢？？ 得：F引=m(2πr/T)2/r= 4π2mr/T2 根据开普勒第三定律：r3/T2是常数k F引=4π2mr/T2= 4π2(r3/T2) m/r2 有：F引=4π2km/r2
2、日心说
2、日心说
随着天文观测不断进步， “地心说”暴露出许多问题。逐 渐被波兰天文学家哥白尼(14731543)提出的“日心说”所取代。 波兰天文学家哥白尼经过近 四十年的观测和计算，于1543年 出版了“天体运行论”正式提出 “日心说”。
7.2 万有引力定律 课件-2023学年高一下学期物理人教版(2019)必修第二册
“天上”的力与“人间”的力是同一种力
月 ─ 地检验
宇宙中一切物体间都有引力
F
G
m1m2 r2
引力常量 G 的测量实验
04
典例
1．在科学的发展历程中，许多科学家做出了杰出的贡献。下列符合 物理学史实的是（ D ） A．开普勒以行星运动定律为基础总结出万有引力定律 B．伽利略在前人的基础上通过观察总结得到行星运动三定律 C．牛顿提出了万有引力定律，并通过实验测出了万有引力常量 D．哥白尼提出了“日心说”
04
引力常量
F
G
m1m2 r2
Fr 2 G
m1m2
1686年牛顿发现万有引力定律后，曾经设 想过几种测定引力常量的方法，却没有成功. 其间又有一些科学家进行引力常量的测量也 没有成功.
1686年牛顿发现万有引力定律后， 却无法算出两个天体间的引力大小。
100多年以后，1789年英国物理学家 卡文迪什利用扭秤装置，第一次在实 验室里对两个铅球间的引力大小 F 做 了精确测量和计算，比较准确地测出 了引力常量 G 的数值。
1．关于万有引力定律的公式
F
Gm1m2 ，下列说法正确的是（ r2
A
）
A．公式中的G是一个常数
B．万有引力定律是开普勒在总结前人研究成果的基础上发现的
C．计算万有引力时可以将任何物体看成质点
D．该公式仅适用于宇宙中的星体
2．下列关于万有引力的说法正确的是（ A ） A．设想把一物体放到地球的中心（地心），则该物体受到地球的万有 引力为0 B．当两物体间距离趋近为0时，万有引力将无穷大 C．牛顿通过扭秤实验测量出了引力常量G D．当甲乙两物体间有另一质量不可忽略的物体存在时，则甲乙两物体 间的万有引力将增大
万有引力(全章)课件人教版原创
土星基本参数：
轨道半长径： 1,429,40万 千米 公转周期： 10759.5 日 平均轨道速度： 9.64 千米/每秒 轨道倾角： 2.5 度 行星赤道半径： 60330 千米 质量(地球质量＝1)： 95.159 密度： 0.7 克/立方厘米 自转周期： 0.426 日 卫星数： 18
天 王 星
天王星基本参数：
轨道半长径： 2,870,99万 千米 公转周期： 30685 日 平均轨道速度： 6.81 千米/每秒 轨道倾角： 0.8 度 行星赤道半径： 25400 千米 质量(地球质量＝1)： 14.5 密度： 1.3 克/立方厘米 自转周期： 0.426 日 卫星数： 20
海 王 星
二 万有引力定律在研究天体运动中的应用
天体质量的计算
结论： 要求一颗星体的质量， 可以在它的周围找一颗卫 星(或行星)，只要知道卫 星(或行星)的周期和半径， 就可以求这颗星体的质量
m
r
M
假设太阳的质量为M，某个行星的质量 为m，r是它们之间的距离，T是行星公 转的周期。
4 F向＝m 2 r T
金星基本参数：
轨道半长径： 1082万 千米 公转周期： 224.70 日 平均轨道速度： 35.03 千米/每秒 轨道倾角： 3.4 度 行星赤道半径： 6052千米 质量(地球质量＝1)： 0.8150 密度： 5.24 克/立方厘米 自转周期： 243.01 日 卫星数： 无
地球的基本参数：
关于行星运动的各种动力学解释
17世纪前： 行星理所应当的做这种完 美的圆周运动
伽利略：
一切物体都有合并的 趋势，这种趋势导致 物体做圆周运动。
开普勒：
受到了来自太阳的类似 与磁力的作用。
人教版高中物理必修第六章万有引力定律-ppt精品课件
的说法中正确的是（ C ） A．公式只适用于星球之间的引力计算，不适用于质 量较小的物体 B．当两物体间的距离趋近于零时，万有引力趋近于 无穷大 C．两物体间的万有引力也符合牛顿第三定律
D．公式中万有引力常量G的值是牛顿规定的
人教版高中物理必修2第六章6.3万有 引力定 律（共1 5张PPT ）【PP T优秀 课件】- 精美版
向心力越大
D.卫星的质量一定时，轨道半径越大，它需要的
向心力越小
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例题2 把太阳系各行星的运动近似看做匀速圆周运动，则距离太阳 越远的行星（ B、C、D ） A 周期越小 B 线速度越小 C 角速度越小 D 加速度越小
行星和太阳之间的引力跟行星的质量成正比，跟 行星到太阳的距离的二次方成反比．
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• 根据牛顿第三定律，行星与太阳间的吸引力是相互作用 的，是大小相等、性质相同的力（一对反作用力）．
• 牛顿认为，这个引力与行星的质量成正比，也应和太阳 的质量成正比．
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例题
设想把质量为的物体放在地球的中心，地球质 量为M，半径为R，则物体与地球间的万有引力 是（ ）
(3)引力常数G 1>测定:英国物理学家卡文迪许用卡文迪许 扭秤
D．公式中万有引力常量G的值是牛顿规定的
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向心力越大
D.卫星的质量一定时，轨道半径越大，它需要的
向心力越小
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例题2 把太阳系各行星的运动近似看做匀速圆周运动，则距离太阳 越远的行星（ B、C、D ） A 周期越小 B 线速度越小 C 角速度越小 D 加速度越小
行星和太阳之间的引力跟行星的质量成正比，跟 行星到太阳的距离的二次方成反比．
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• 根据牛顿第三定律，行星与太阳间的吸引力是相互作用 的，是大小相等、性质相同的力（一对反作用力）．
• 牛顿认为，这个引力与行星的质量成正比，也应和太阳 的质量成正比．
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例题
设想把质量为的物体放在地球的中心，地球质 量为M，半径为R，则物体与地球间的万有引力 是（ ）
(3)引力常数G 1>测定:英国物理学家卡文迪许用卡文迪许 扭秤
7.2万有引力定律 课件-2023年高一下学期物理人教版(2019)必修第二册
M
地球密度为
物体受到地球的万有引力？
F万
G
M1m r2
G
4 （R d）3m
3 （R - d)2
（三）处在表面以下h处的物体
请写出地球表面以下d深度处的重力加速 度的表达式（忽略地球自转）
d r
G
M1m r2
G
4 （R d）3m
3 （R - d)2
mgd
gd
4 3
G（R
-
d）
R
M1 M
请思考：地球表面以下d深度处的重力加速度和地
D
C.1/4
D.1/16
练习、太空电梯是人类构想的一种通往太空的设备，与普 通电梯类似，不同的是，它的作用并不是让乘客往返于楼层之 间，而是将人和物体送入空间站。假设太空电梯竖直向上匀速 运动，它从地面上带了重25N的植物种子，当太空电梯上升到某 高度时发现种子的重力“变成”了16N。已知地球的半径为R，不 考虑地球的自转，则此时太空电梯距地面的高度约为（ ）
补偿法 穴中心连线上、与球心相距d的质点m的引力是多大？
解析： 完整的均质球体对球外质点m的引力 半径为R/2的小球质量M′为
F
G
Mm d2
M
4π( R )3 ρ
32
4π( R )3 32
M 4πR3
1M 8
3
M m
Mm
半径为R/2的小球质量M′为对球外质点m的引力 F2
G (d
R )2
G 8(d
球表面处的重力加速度g什么关系？（忽略地球自转）
地球密度为
在地表处:
G
Mm R2
G
4 R3m
3 R2
mg
g 4 GR gd R - d
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➢ 其次,当时通过实验方法是不能证明定律成 立的.Newton通过他的第二定律(加速度定 律),由引力产生的向心加速度与圆运动向心 加速度相等的方法,证明定律的正确性.
➢ 太阳系中各行星按椭圆轨道绕太阳运 行,太阳在椭圆的一个焦点上,用向量分 析法都能证出太阳对行星的引力符合 万有引力定律.
太水金地火木土天
➢ 实质:
➢ 对数学有一个本质的理解(有利于数学的研 究)-----居高临下.
➢ 数学的一个重要方面:数学在实际中的应用.
➢ 数学与其它学科一样,都是为人类生产斗争 和社会实践服务的.数学在与实践的关系中, 不仅有理论上的价值与作用,而且对深入了 解其它学科是有基础性的作用.
➢数学的作用就是解决实际问题.
模型一. 万有引力模型
万有引力定律的发现是人类走向科学的 一项重大发现.其作用之大是无法比拟的.它 为当今的天文学和航天科学奠定了基础. 在这个模型中,包括两个部分: ㈠.Newton是怎样通过数学方法得到这一定 律的; ㈡.在比Newton更一般的情况下,用向量分析 法推导定律.
➢ Newton推导万有引力的基础.
解决实际问题的数学公式: 三角形中的正弦公式:
a b c 2R sinA sinB sinC
余弦公式: c o s 2 A c o s 2 B c o s 2 C 2 c o s B c o s C
fm a ,
FK m r2 1m 2 ,L
公式,方程,曲线,图表…等
为了解决实际问题,找出事物本身的机理,建立数 学模型(简称建模).解出数学模型,找到规律.
➢有的就是直接解决实际问题.
➢科学研究是由实验阶段进入理性阶 段(以推理为主的),此时,数学的作 用就更大了.
例:卫星轨道的确定.
(历史上海王星的发现以及哈雷慧星的轨道计 算都是由数学系算出来的)
现在自然科学方面的论文(物理,化学,自动控 制,…)没有数学论证,价值就不大.
定义:数学模型(Mathematical Model)是对客 观世界中的某一特定对象,为了某个特定目 的,作出一些必要的简化和假设,运用合适的 数学工具,得到的一个数学结构.(可以是公式, 图表,图象等)
本课程为考试课
作业（10%）+笔记（10%）+ 考卷（论文80%）
序言
➢ 一 教学目的 ➢ 1.通过讲解什么是数学模型,为什么学习数
学模型等内容,使学生了解数学模型是用数 学方法解决实际问题时的数学形式,它是实 际问题和数学间的桥梁. ➢ 2.使学生了解到在科学技术高度发展的今天, 数学在解决实际问题中的功能不断提高,甚 至是不可缺少的.
➢ 3.在重大问题的决策中,对方案及可行性分析 中,数学模型是非常重要的.
➢ 4.让学生进一步掌握数学的学科特点. ➢ 5.了解数学的理论体系. ➢ 6.了解数学之发展概况. ➢ 7.培养学生运用数学工具解决实际问题的能
力. ➢ 8.培养学生的科研论文写作能力.
➢二 本课性质
➢作为数学系毕业生,大部分从事初 等数学教学的研究,而在大学学习 阶段主要学习高等数学(这与初等 数学相距甚远),这是为什么?
➢ 他们的作法:把一个小山作为M ,在山的 附近用线垂下一个小球,考察小球的偏 摆,然后确定引力系数 G ,都未成功.
➢ 直到1798年(离Newton发现定律130多 年后),卡文迪斯(Cavendish)用很复杂 的试验确定了引力关系和定律的正确 性,并确定了引力系数 G 6 .7 1 1 0 1 3N cm 2g 2
➢ ① Kepler三定律.
➢ ② Newton第二定律.
➢ Newton对“月球绕地球按圆形轨道运行”进行研 究,第一次提出：“月球按圆形轨道运行是地球对月 球的引力所致”.
➢ Newton通过计算圆运动的向心加速度, 又根据 Newton第二定律得到引力公式.为验证引力公式的 正确性,他比较了通过引力所得的加速度与圆运动的 向心加速度,计算结果二者是相同的.把这个无法通 过实验证明的规律从理论上给出了证明.
➢ 此后此数字相继得到修正. ➢ 1892年.庞廷.Pantin.
G 6 .6 9 8 1 0 1 3N c m 2g 2 ➢ 1895年.博斯.Boss.
G ( 6 .6 5 8 0 .0 0 0 6 1 0 1 3 ) N c m 2g 2 ➢ 1930年.海尔.Hale.
G ( 6 .6 7 0 0 .0 0 5 1 0 1 3 ) N c m 2g 2
➢ Newton得到的万有引力定律是在特殊情 况下得到的,对于一般情况,即椭圆轨道上 的定律是否成立,还不能肯定, Newton曾 试图研究一般情况,但未成功.
➢ 今天数学发展了,数学工具也增加了.用向 量分析的方法,证明在椭圆轨道上运行的 形体,受焦点上星体的引力,也是定律所表 述的.
➢ 要求学生了解Newton在知道万有引力过程 中的想法,从Newton第一定律(惯性定律:任 何物体保持静止,匀速直线运动)出发,首先他 考虑到:月球按圆形轨道运行,必有其动力学 原因,也就是必有看不见的外力在作用它.从 这一坚定信念出发推得了定律.
海
冥
九大行星示意图
➢ 万有引力模型.
F
G
Mm R2
➢ Newton:1684年在《自然哲学》发表的.
➢ 定律: 宇宙中任何物体之间,都存在相互作 用的吸引力.这种引力的大小与它们的质量 乘积成正比,与二者距离的平方成反比,作 用力方向沿两个物体联线方向.
m
R
R ： 两 物 体 质 心 距 离
M
定律适用范围:大至宇宙,小至地球上任意两物体.
➢ (一)定律的来源探讨: ➢ 不是通过实验得到的,而是通过数学推导得
到的. ➢ 此公式是Newton于1666年得到的,以后很多
科学家都想通过实验证明它,都未成功. ➢ 1740年.布格,Buger. ➢ 1712年.马斯科林.Maskilin. ➢ 1854年.艾里.Anlli. ➢ 1880年.蒙登哈尔.Mengdenhar.
➢ 上面一些科学家的工作,都说明Newton发明万 有引力定律时,不是通过实验得到的.
➢ (二) Newton发明万有引力定律,是从地心引 力开始的,
➢ 太阳系中各行星按椭圆轨道绕太阳运 行,太阳在椭圆的一个焦点上,用向量分 析法都能证出太阳对行星的引力符合 万有引力定律.
太水金地火木土天
➢ 实质:
➢ 对数学有一个本质的理解(有利于数学的研 究)-----居高临下.
➢ 数学的一个重要方面:数学在实际中的应用.
➢ 数学与其它学科一样,都是为人类生产斗争 和社会实践服务的.数学在与实践的关系中, 不仅有理论上的价值与作用,而且对深入了 解其它学科是有基础性的作用.
➢数学的作用就是解决实际问题.
模型一. 万有引力模型
万有引力定律的发现是人类走向科学的 一项重大发现.其作用之大是无法比拟的.它 为当今的天文学和航天科学奠定了基础. 在这个模型中,包括两个部分: ㈠.Newton是怎样通过数学方法得到这一定 律的; ㈡.在比Newton更一般的情况下,用向量分析 法推导定律.
➢ Newton推导万有引力的基础.
解决实际问题的数学公式: 三角形中的正弦公式:
a b c 2R sinA sinB sinC
余弦公式: c o s 2 A c o s 2 B c o s 2 C 2 c o s B c o s C
fm a ,
FK m r2 1m 2 ,L
公式,方程,曲线,图表…等
为了解决实际问题,找出事物本身的机理,建立数 学模型(简称建模).解出数学模型,找到规律.
➢有的就是直接解决实际问题.
➢科学研究是由实验阶段进入理性阶 段(以推理为主的),此时,数学的作 用就更大了.
例:卫星轨道的确定.
(历史上海王星的发现以及哈雷慧星的轨道计 算都是由数学系算出来的)
现在自然科学方面的论文(物理,化学,自动控 制,…)没有数学论证,价值就不大.
定义:数学模型(Mathematical Model)是对客 观世界中的某一特定对象,为了某个特定目 的,作出一些必要的简化和假设,运用合适的 数学工具,得到的一个数学结构.(可以是公式, 图表,图象等)
本课程为考试课
作业（10%）+笔记（10%）+ 考卷（论文80%）
序言
➢ 一 教学目的 ➢ 1.通过讲解什么是数学模型,为什么学习数
学模型等内容,使学生了解数学模型是用数 学方法解决实际问题时的数学形式,它是实 际问题和数学间的桥梁. ➢ 2.使学生了解到在科学技术高度发展的今天, 数学在解决实际问题中的功能不断提高,甚 至是不可缺少的.
➢ 3.在重大问题的决策中,对方案及可行性分析 中,数学模型是非常重要的.
➢ 4.让学生进一步掌握数学的学科特点. ➢ 5.了解数学的理论体系. ➢ 6.了解数学之发展概况. ➢ 7.培养学生运用数学工具解决实际问题的能
力. ➢ 8.培养学生的科研论文写作能力.
➢二 本课性质
➢作为数学系毕业生,大部分从事初 等数学教学的研究,而在大学学习 阶段主要学习高等数学(这与初等 数学相距甚远),这是为什么?
➢ 他们的作法:把一个小山作为M ,在山的 附近用线垂下一个小球,考察小球的偏 摆,然后确定引力系数 G ,都未成功.
➢ 直到1798年(离Newton发现定律130多 年后),卡文迪斯(Cavendish)用很复杂 的试验确定了引力关系和定律的正确 性,并确定了引力系数 G 6 .7 1 1 0 1 3N cm 2g 2
➢ ① Kepler三定律.
➢ ② Newton第二定律.
➢ Newton对“月球绕地球按圆形轨道运行”进行研 究,第一次提出：“月球按圆形轨道运行是地球对月 球的引力所致”.
➢ Newton通过计算圆运动的向心加速度, 又根据 Newton第二定律得到引力公式.为验证引力公式的 正确性,他比较了通过引力所得的加速度与圆运动的 向心加速度,计算结果二者是相同的.把这个无法通 过实验证明的规律从理论上给出了证明.
➢ 此后此数字相继得到修正. ➢ 1892年.庞廷.Pantin.
G 6 .6 9 8 1 0 1 3N c m 2g 2 ➢ 1895年.博斯.Boss.
G ( 6 .6 5 8 0 .0 0 0 6 1 0 1 3 ) N c m 2g 2 ➢ 1930年.海尔.Hale.
G ( 6 .6 7 0 0 .0 0 5 1 0 1 3 ) N c m 2g 2
➢ Newton得到的万有引力定律是在特殊情 况下得到的,对于一般情况,即椭圆轨道上 的定律是否成立,还不能肯定, Newton曾 试图研究一般情况,但未成功.
➢ 今天数学发展了,数学工具也增加了.用向 量分析的方法,证明在椭圆轨道上运行的 形体,受焦点上星体的引力,也是定律所表 述的.
➢ 要求学生了解Newton在知道万有引力过程 中的想法,从Newton第一定律(惯性定律:任 何物体保持静止,匀速直线运动)出发,首先他 考虑到:月球按圆形轨道运行,必有其动力学 原因,也就是必有看不见的外力在作用它.从 这一坚定信念出发推得了定律.
海
冥
九大行星示意图
➢ 万有引力模型.
F
G
Mm R2
➢ Newton:1684年在《自然哲学》发表的.
➢ 定律: 宇宙中任何物体之间,都存在相互作 用的吸引力.这种引力的大小与它们的质量 乘积成正比,与二者距离的平方成反比,作 用力方向沿两个物体联线方向.
m
R
R ： 两 物 体 质 心 距 离
M
定律适用范围:大至宇宙,小至地球上任意两物体.
➢ (一)定律的来源探讨: ➢ 不是通过实验得到的,而是通过数学推导得
到的. ➢ 此公式是Newton于1666年得到的,以后很多
科学家都想通过实验证明它,都未成功. ➢ 1740年.布格,Buger. ➢ 1712年.马斯科林.Maskilin. ➢ 1854年.艾里.Anlli. ➢ 1880年.蒙登哈尔.Mengdenhar.
➢ 上面一些科学家的工作,都说明Newton发明万 有引力定律时,不是通过实验得到的.
➢ (二) Newton发明万有引力定律,是从地心引 力开始的,