高考必备09 万有引力与航天(1)-2021年高三物理重点模型训练(解析版)

高考必备一模一例一法一练

万有引力与航天

目录

天体质量和密度的估算 (2)

近地卫星模型 (4)

同步卫星模型 (5)

万有引力等于重力模型 (9)

卫星模型相关物理量讨论 (10)

三种天体运动速度比较 (12)

双星模型 (14)

三星、多星模型 (17)

黑洞模型 (20)

暗物质 (22)

卫星变轨 (25)

常数的应用 (28)

重力等于万有引力模型（黄金代换） (29)

利用比例求解模型 (31)

三星一线模型 (32)

天体质量和密度的估算

【典例】（2018高考理综II ·16）2018年2月，我国500 m 口径射电望远镜（天眼）发现毫秒脉冲星“J0318+0253”，其自转周期T =5.19 ms ，假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为。以周期T 稳定自转的星体的密度最小值约为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】C

【解析】本题考查万有引力定律、牛顿运动定律、密度及其相关的知识点。设脉冲星质量为M ，半径为R 。选取脉冲星赤道上一质元，设质量为m ，由万有引力定律和牛顿第二定律可得G =mR （）2，星体最小密度ρ=M/V ，星球体积V=πR 3，联立解得：ρ=，代入数据得ρ=5×1015kg/m ，选项C 正确。 【思想方法】

一、 题型概述

1. 利用万有引力等于重力可以估算地球质量，若测量出绕天体运行卫星的周期和轨道半径可以估算天体的质量，若知道天体的半径，可以估算出天体的密度。高考有关天体质量和密度的估算考查频率较高。

2.考虑星球自转时星球表面上的物体所受重力为万有引力的分力；忽略自转时重力等于万有引力．

3.一定要区分研究对象是做环绕运动的天体，还是在星球表面上随星球一块自转的物体．做环绕运动的天体受到的万有引力全部提供向心力，星球表面上的物体受到的万有引力只有很少一部分用来提供向心力．

二、估算中心天体质量和密度的两条思路和三个误区

(1)两条思路

11226.6710N m /kg -??93510kg /m ?123510kg /m ?153510kg /m ?183510kg /m ?2Mm R 2T π43

23GT

π

①利用天体表面的重力加速度和天体半径估算

由G Mm R 2＝mg 天体得M ＝g 天体R 2G ，再由ρ＝M V ，V ＝43πR 3得ρ＝3g 天体4G πR

。 ②已知天体做匀速圆周运动的轨道半径和周期，由G Mm r 2＝m 4π2T 2r 得M ＝4π2r 3GT 2

，再结合ρ＝M V ，V ＝43πR 3得ρ＝3πr 3GT 2R 3，在中心天体表面做匀速圆周运动时，r ＝R ，则ρ＝3πGT 2。 (2)三个常见误区

①天体质量和密度的估算是指中心天体的质量和密度的估算，而非环绕天体的。

②注意区分轨道半径r 和中心天体的半径R 。

③在考虑自转问题时，只有两极才有GMm R 2

＝mg 天体。 【练习】(多选)2019年1月3日，“嫦娥四号”探测器成功着陆在月球背面。着陆前的部分运动过程简化如下：在距月面15 km 高处绕月做匀速圆周运动，然后减速下降至距月面100 m 处悬停，再缓慢降落到月面。已知万有引力常量和月球的第一宇宙速度，月球半径约为1.7×103

km 。由上述条件可以估算出( )

A ．月球质量

B ．月球表面的重力加速度

C ．探测器在15 km 高处绕月运动的周期

D ．探测器悬停时发动机产生的推力

【答案】 ABC

【解析】 探测器在月球表面附近运动时，万有引力提供向心力，环绕速度即为月球的第一宇宙速度，有：G Mm R 2＝m v 2R ，则月球的质量为M ＝v 2R G

，由题目中的已知条件可求得月球质量，故A 正确；探测器在月球表面附近运动时，万有引力等于重力，有：G Mm

R 2＝mg 月，则月球表面的重力加速度为g 月＝G M R 2，故B 正确；探测器在距月面15 km 高处绕月运动时，

有：G Mm (R ＋h )2＝m 4π2(R ＋h )T 2，得运动周期T ＝4π2(R ＋h )3GM ，故C 正确；探测器悬停时发动机产生的推力大小等于万有引力大小G Mm

(R ＋h ′)

2，但由于探测器的质量未知，故不可求出

推力，故D 错误。

近地卫星模型

【典例】（2020全国II 卷）若一均匀球形星体的密度为ρ，引力常量为G ，则在该星体表面附近沿圆轨道绕其运动的卫星的周期是（ ）

A B C D 【答案】A

【解析】卫星在星体表面附近绕其做圆周运动，则

2224GMm

m R R T

， 343V R π= ，M V ρ=

知卫星该星体表面附近沿圆轨道绕其运动的卫星的周期T =

【思想方法】近地卫星是贴着地球表面转动卫星，其中万有引力提供向心力，可计算出运行速度等于第一宇宙速度，运行周期大约84分钟。

【练习】若有一颗“宜居”行星，其质量为地球的p 倍，半径为地球的q 倍，则该行星近地卫星的环绕周期是地球近地卫星环绕周期的（ ）

A 倍

B 倍

C D

【答案】C

【解析】由万有引力作为向心力，有2224Mm G m R R T π=得T =

倍。故C 正确，ABD 错误。

故选C 。

同步卫星模型

【典例】2020年6 月 23 日，北斗三号最后一颗全球组网卫星发射成功，北斗三号 30 颗组网卫星已全部到位，北斗三号全球卫星导航系统星座部署全面完成。北斗三号全球卫星导航系统由 MEO 卫星（地球中圆轨道卫星）、IGSO 卫星（倾斜地球同步轨道卫星）和 GEO 卫星（地球静止轨道卫星）三种不同轨道的卫星组成。关于GEO 卫星论述正确的是（ ）

A ．卫星处于平衡状态

B ．卫星的高度是一定的

C ．卫星的速度是不变的

D ．卫星的速度大于第一宇宙速度

【答案】B

【解析】GEO 卫星是同步卫星，故不是处于平衡状态，选项A 错误；根据万有引力提供向心力，列出等式： ()2224GMm

m R h T R h π=++（），其中R 为地球半径，h 为同步卫星离

地面的高度．由于同步卫星的周期必须与地球自转周期相同，所以T 为一定值，根据上面等式得出：同步卫星离地面的高度h 也为一定值．由于轨道半径一定，则线速度的大小也一定，但是速度方向不断变化，故B 正确，C 错误．根据

v =度小于第一宇宙速度，选项D 错误；故选B.

【名师点拨】地球质量一定、自转速度一定，同步卫星要与地球的自转实现同步，就必须要角速度与地球自转角速度相等，这就决定了它的轨道高度和线速度大小．

【思想方法】

一、地球同步卫星

1．定义：相对于地面静止且与地球自转具有相同周期的卫星叫地球同步卫星．

2．“七个一定”的特点：

(1)轨道平面一定：轨道平面与赤道平面共面．

(2)周期一定：与地球自转周期相同，即T ＝24 h.

(3)角速度一定：与地球自转的角速度相同．

(4)高度一定：由G Mm R ＋h

2＝m 4π2T 2(R ＋h )得地球同步卫星离地面的高度h ＝3.6×107 m.

(5)速率一定：v ＝ GM R ＋h

＝3.1×103 m/s. (6)向心加速度一定：由G Mm

R ＋h 2＝ma 得a ＝GM R ＋h 2＝g h ＝0.23 m/s 2

，即同步卫星的向心加速度等于轨道处的重力加速度．

(7)绕行方向一定：运行方向与地球自转方向相同．

二、解决同步卫星问题的“四点”注意

1．基本关系：要抓住：G Mm r 2＝ma ＝m v 2r ＝mrω2＝m 4π2T

2r . 2．重要手段：构建物理模型，绘制草图辅助分析．

3．物理规律：

(1)不快不慢：具有特定的运行线速度、角速度和周期．

(2)不高不低：具有特定的位置高度和轨道半径．

(3)不偏不倚：同步卫星的运行轨道平面必须处于地球赤道平面上，只能静止在赤道上方的特定的点上．

4．重要条件：

(1)地球的公转周期为1年，其自转周期为1天(24小时)，地球的表面半径约为

6.4×103 km ，表面重力加速度g 约为9.8 m/s 2

.

(2)月球的公转周期约27.3天，在一般估算中常取27天．

(3)人造地球卫星的运行半径最小为r ＝6.4×103 km ，运行周期最小为T ＝84.8 min ，运行速度最大为v ＝7.9 km/s.

【练习1】（2020·浙江省高三模拟）2022年左右，我国将建成载人空间站，其运行轨道距地面高度约为400km ，已知地球半径约为6400km ，万有引力常量为

1122

6.6710Nm /kg -?，地球表面重力加速度为210m/s ，同步卫星距地面高度约为

36000km ，设空间站绕地球做匀速圆周运动，则（ ）

A ．空间站运行速度比同步卫星小

B ．空间站运行周期比地球自转周期小

C ．可以估算空间站受到地球的万有引力

D ．受大气阻力影响，空间站运行的轨道半径将会逐渐减小，速度逐渐减小

【答案】B

【解析】A ．根据2

2GMm mv r r =

，可得v =①，即轨道半径越大，运动速度越小，因此空间站运行速度比同步卫星大，A 错误；B ．根据2r T v

π=，空间站的轨道半径小而运动速度大，因此空间站的运行周期小于同步卫星的运行周期，B 正确；C ．根据2

GMm F r =，由于无法知道空间站的质量，因此无法估算估算空间站受到地球的万有引力，C 错误；D ．受大气阻力影响，空间站运行的轨道半径将会逐渐减小，根据①式可知，运行速度逐渐增大，D 错误。故选B 。

【练习2】如图所示，同步卫星与地心的距离为r ，运行速率为1v ，向心加速度为1a ；近地卫星的运行周期1T ，地球赤道上的物体P 随地球自转的向心加速度为2a ，地球自转周期2T ，第一宇宙速度为2v ，地球半径为R ，某时刻同步卫星、近地卫星、在赤道上物体P 正上方并连成一条线，则下列说法正确的是（ ）

A ．12a r a R

= B ．1122

v r T v R T =

C

．12T T =D ．同步卫星、近地卫星再次同时出现在P 点正上方至少需要1212

T T T T -时间 【答案】ABC

【解析】A ．同步卫星和赤道上的物体同轴转动，角速度相同，根据20a r ω= 可知12a r a R

=A 正确； C ．对于近地卫星，万有引力提供向心力2

221

4Mm G m R R T π= 对于同步卫星，万有引力提供向心力2

222

4Mm G m r r T π=

则12T T =正确； B ．万有引力提供向心力2200Mm v G m r r =

解得v =

当绕行卫星的轨道半径等于地球半径时，卫星线速度大小即为第一宇宙速度，所以

12v v = 结合C 项解析可得1122

v r T v R T =B 正确； D ．近地卫星线速度大于同步卫星的线速度，当二者再次同侧共线时，近地卫星比同步卫星多绕行一圈，假设再次同侧共线的时间为t ，则12

1t t T T -= 解得1221

T T t T T -=D 错误。 故选ABC

。

万有引力等于重力模型

【典例】（2020·山东卷）我国将在今年择机执行“天问1号”火星探测任务。质量为m 的着陆器在着陆火星前，会在火星表面附近经历一个时长为t 0、速度由v 0减速到零的过程。已知火星的质量约为地球的0.1倍，半径约为地球的0.5倍，地球表面的重力加速度大小为g ，忽略火星大气阻力。若该减速过程可视为一个竖直向下的匀减速直线运动，此过程中着陆器受到的制动力大小约为（ ） A. 000.4v m g t ??- ??? B. 000.4+v m g t ?? ??? C. 000.2v m g t ??- ??? D.

00.2+v m g t ?? ???

【答案】B 【解析】忽略星球的自转，万有引力等于重力2

Mm G mg R =，则22210.10.40.5

g M R g M R =?=?=火火地地地火，解得0.40.4g g g ==地火，着陆器做匀减速直线运动，根据运动学公式可知000v at =-，解得00

v a t =，匀减速过程，根据牛顿第二定律得-=f mg ma ，解得着陆器受到的制动力大小为00

(0.4)v f mg ma m g t =+=+

，ACD 错误，B 正确。故选B 。

【思想方法】三种情况重力等于万有引力：

1：地球附近物体

2：忽略自转

3：南北极点 【练习】我国发射的“嫦娥三号”登月探测器靠近月球后，先在月球表面附近的近似圆轨道上绕月运行；然后经过一系列过程，在离月面4 m 高处做一次悬停(可认为是相对于月球静止)；最后关闭发动机，探测器自由下落。已知探测器的质量约为1.3×103

kg ，地

球质量约为月球的81倍，地球半径约为月球的3.7倍，地球表面的重力加速度大小约为

9.8 m ／s 2

。则此探测器

A ．在着陆前的瞬间，速度大小约为8.9 m ／s

B ．悬停时受到的反冲作用力约为2×103N

C ．从离开近月圆轨道到着陆这段时间内，机械能守恒

D ．在近月圆轨道上运行的线速度小于人造卫星在近地圆轨道上运行的线速度

【答案】BD

【解析】先求月球表面的重力加速度月g 根据mg r M G =2m ，得2r GM g =，所以g 月g =169.07.381

122=?=?）（月地地月r r M M ， 得2/66.1g s m =月，所以此探测器在着陆前的瞬间，速度大小约为

s m h g v yue /64.3466.122=??==，即A 错误；

悬停时受到的反冲作用力等于其重力3310158.266.1103.1?=??==N mg F 月，约

为2×103

N ，B 正确；

因为从离开近月圆轨道到着陆这段时间内，有重力以外的力做功，所以机械能不守恒，C 错误； 根据r

v m mg 2

=，得gr v =，所以m/s 107.17

.3104.666.17.366.136

?=??=?=地月R v ，第一宇宙速度s km v /9.71=，所以D 正确。也可以不算出数据而用比例法求解。

卫星模型相关物理量讨论

【典例】（2019年物理全国卷3）金星、地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动，它们的向心加速度大小分别为a 金、a 地、a 火，它们沿轨道运行的速率分别为v 金、v 地、v 火。已知它们的轨道半径R 金

A. a 金>a 地>a 火

B. a 火>a 地>a 金

C. v 地>v 火>v 金

D. v 火>v 地>v 金 【答案】A

【解析】AB ．由万有引力提供向心力2Mm G

ma R

=可知轨道半径越小,向心加速度越大,故知A 项正确，B 错误；

CD ．由2

2Mm v G m R R

=得v =可知轨道半径越小,运行速率越大,故C 、D 都错误。 【思想方法】

一、

模型规律 1.由v ＝ GM r

得出的速度是卫星在圆形轨道上运行时的速度，而发射航天器的发射速度要符合三个宇宙速度．

2.做圆周运动的卫星的向心力由地球对它的万有引力提供，并指向它们轨道的圆心——地心．

3.在赤道上随地球自转的物体不是卫星，它随地球自转所需向心力由万有引力和地面支持力的合力提供．

二、环绕天体绕中心天体做圆周运动的规律

(1)一种模型：无论是自然天体(如地球、月亮)还是人造天体(如宇宙飞船、人造卫星)都可以看做质点，围绕中心天体(视为静止)做匀速圆周运动，万有引力提供其做圆周运动的向心力。

(2)两条思路

①万有引力提供向心力，即GMm r 2＝m v 2r ＝mrω2＝mr ·(2πT

)2＝ma ； ②天体对其表面物体的万有引力近似等于重力，即GMm R 2

＝mg 天体。 (3)三点提醒

①a 、v 、ω、T 、r 只要一个量发生变化，其他量也发生变化；

②a 、v 、ω、T 与环绕天体的质量无关；

③对于人造地球卫星，当r ＝R 地时，v ＝7.9 km/s 为第一宇宙速度。

(4)四点注意

①同步卫星绕地心做匀速圆周运动的周期等于地球的自转周期。

②所有同步卫星都在赤道上空相同的高度上。

③注意同步卫星与地球赤道上物体的区别与联系。

④区别轨道半径与距天体表面的高度。

【练习】我国高分系列卫星的高分辨对地观察能力不断提高．2018年5月9日发射的“高分五号”轨道高度约为705 km ，之前已运行的“高分四号”轨道高度约为36 000 km ，它们都绕地球做圆周运动．与“高分四号”相比，下列物理量中“高分五号”较小的是（ A ）

A. 周期

B. 角速度

C. 线速度

D. 向心加速度

【答案】A

【解析】设地球质量为M ，人造卫星质量为m ，人造卫星做匀速圆周运动时，根据万有引力提供向心力有ma r T m mr r v m r Mm G ====222224πω，得r GM v =，3

r GM =ω，GM

r T 32π=，2r M G a =，因为“高分四号”的轨道半径比“高分五号”的轨道半径大，所以选项A 正确，BCD 错误。

三种天体运动速度比较

【典例】两颗人造卫星绕地球逆时针运动，卫星1、卫星2分别沿圆轨道、椭圆轨道运动，圆的半径与椭圆的半长轴相等，两轨道相交于A 、B 两点，某时刻两卫星与地球在同一直线上，如图所示，下列说法中正确的是( )

A．两卫星在图示位置的速度v2＝v1

B．两卫星在A处的加速度大小相等

C．两颗卫星在A或B点处可能相遇

D．两卫星永远不可能相遇

【参考答案】BD

【名师解析】v2为椭圆轨道的远地点速度，速度最小，v1表示做匀速圆周运动的速度，v1>v2，故A错误；两个轨道上的卫星运动到A点时，所受的万有引力产生加速度a＝GM/r2，加速度相同．故B正确；椭圆的半长轴与圆轨道的半径相同，根据开普勒第三定律知，两颗卫星的运动周期相等，则不会相遇，故D正确，C错误．

【思想方法】

1、椭圆轨道上比较速度：利用开普勒第二定律（面积定律）近日点速度大，远日点速度小；从近日点到远日点做离心运动，从远日点到近日点做近心运动。

2、同一中心天体运动的卫星模型，利用结论“高轨低速周期长”结论，即轨道半径越大速度越小。

3、变轨位置：利用曲率半径大速度大，半径小速度小的原理。

【练习】如图所示，一飞行器围绕地球沿半径为r的圆轨道1运动，经P点时，启动

推进器短时间向后喷气使其变轨，轨道2、3是与轨道1相切于P点的可能轨道，则飞行

器（）

A．变轨后将沿轨道3运动

B．变轨后相对于变轨前运行周期变大

C．变轨前、后在两轨道上运动时经P点的速度大小相等

D．变轨前经过P点的加速度大于变轨后经过P点的加速度

【答案】B

【解析】根据题意，飞行器经过P点时，推进器向后喷气，飞行器线速度将增大，做

离心运动，则轨道半径变大，变轨后将沿轨道2运动，由开普勒第三定律可知，运行周期

变大，变轨前、后在两轨道上运动经P点时，地球对飞行器的万有引力相等，故加速度相等，故B正确，ACD错误。

故选B。

双星模型

【典例】双星系统是指由两颗恒星组成，相对于其他恒星来说，位置看起来非常靠近

的天体系统。从1 650年人类发现双星系统以来，人们已经发现在宇宙当中存在许许多多

的双星系统。其中食双星是指两颗恒星在相互引力作用下围绕公共质量中心运动，相互绕

转彼此掩食（一颗子星从另一颗子星前面通过，像月亮掩食太阳）而造成亮度发生有规律的、周期性变化的双星。这类双星的轨道面与视线几乎在同一平面上，因此，相互遮掩发

生交食现象、引起双星的亮度变化而得名，双星A、B如图所示。若人类通过观测发现某食双星系统每隔时间T变暗一次，两食双星的间距为l，则可推算出双星的总质量为（）

A．

23

2

πl

GT

B．

23

2

2πl

GT

C．

23

2

4πl

GT

D．

23

2

16πl

GT

【答案】A

【解析】由双星A 和B 运动示意图知，若星A 掩食星B 或星B 掩食星A 会使食双星变暗一次。由题意知，食双星每隔时间T 变暗一次，故两星体相互绕转的运动周期为2T 。又万有引力提供星球运动所需要的向心力，故有

()21211224π2Gm m m r l T =，()

2

1222224π2Gm m m r l T = 12l r r =+ 解得23

122πl M m m GT

=+= 故选A 。

【思想方法】

1、概念：两颗星体靠得很近，但与其它天体相距较远，它们绕连线上的某点做匀速圆周运动，这样的系统称为双星系统。

2、特点：

（1）双星都绕着连线上的一点做匀速圆周运动，每一颗星各自做匀速圆周运动所需的向心力由两颗星间的万有引力提供。

（2）双星是同轴转动，周期相同，角速度相同。

（3）双星做圆周运动的距离关系 L=r 1+r 2

思考1：双星系统中两个星球间质量与半径、线速度、向心加速度之间有什么关系？

说明：质量大的星体：运动半径小、线速度小、向心加速度小；

质量小的星体：运动半径大、线速度大、向心加速度大；

思考2：若已知双星系统中两个星球的质量M1 、M2 和两星球之间的距离 L ，试求

两星球各自运动轨迹半径r1 、 r2 以及运动周期T ？

【练习】（2020·苏州市苏州高新区第一中学高一期中）宇宙中，两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力作用互相绕转，称之为双星系统。在浩瀚的银河系中，多数恒星都是双星系统。设某双星系统A 、B 绕其连线上的O 点做匀速圆周运动，如图所示，若AO > OB ，则（ ）

A ．星球A 的质量一定小于

B 的质量

B ．星球A 的线速度一定小于B 的线速度

C ．双星间距离一定，双星的质量越大，其转动周期越大

D ．双星的质量一定，双星之间的距离越大，其转动周期越大

【答案】AD

【解析】A ．根据万有引力提供向心力m A ω2r AO = m B ω2r BO ，r AO > r BO

所以m A < m B ，即A 的质量一定小于B 的质量，故A 正确；

B ．双星运动的角速度相等，由v = ωr 可知：因为r AO > r BO ，所以v A > v B ，故B 错误；

CD ．设两星体间距为L ，根据万有引力提供向心力公式得

22A B A AO m m G

m r L ω=，22A B B BO m m G m r L

ω= 又因为AO BO L r r =+ 解得3

2π

2π()A B L T G m m ω==+由此可知双星距离一定，双星总质量越大，其转动周期越小，双星的总质量一定，双星之间的距离越大，其转动周期越大，故C 错误，D 正确。

故选AD 。