[高中数学课件]空间距离(一)
高中数学选择性必修一课件：用空间向量研究距离、夹角问题(第1课时)
【解析】 方法一(平面几何法)：
如图所示，在正方形ABCD中，作DP⊥AE于P，交AB于F.
由平面几何知识，易得Rt△DPA∽Rt△DAF. ∴||DADF||＝||ADDP||，∴|DP|＝||ADDF||2.
(2)由题意得AC∥EF，又AC⊄平面PEF，EF⊂平面PEF，故AC∥平面PEF，则
直线AC到平面PEF的距离即为点A到平面PEF的距离，由(1)知 A→E ＝ 0，12，0 ，平
面PEF的一个法向量为n＝(2，2，3)，故所求距离为|A→|En·|n|＝
1＝ 17
1177.
用向量法求点面距的步骤： (1)建系：建立恰当的空间直角坐标系． (2)求点坐标：写出(求出)相关点的坐标．
到平面ABC的距离是( D )
6 A. 6
6 B. 9
3 C. 6
3 D. 3
解析 如图，分别以PA，PB，PC所在的直线为x轴、y轴、z轴建立
空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)．可以求得
平面ABC的一个法向量为n＝(1，1，1)，则d＝|P→A|n·| n|＝
3 3.
探究1 本题给出了求点到平面距离的常见三种方法．方法一是作出点A到 平面PBC的垂线段，然后在三角形中，求垂线段的长度．方法二运用了等体积 法，从而减少了作垂线段的步骤．方法三运用空间向量法，即点A到平面PBC的 距离为A→B在平面PBC的法向量上的投影向量的长度．
思考题2 已知四边形ABCD是边长为4的正方形，E，F分别是AB，AD的 中点，GC⊥平面ABCD且GC＝2，求点B到平面EFG的距离．
高三数学高考一本通立体几何第一轮复习课件 第6课时 空间距离
知识整合
• 1、距离的基本概念 • （1）点到面的距离：从平面外一点引一个平面的 垂线，这个点和垂足间的距离，叫做这个点到这 个平面的距离。 • （2）直线到它平行平面的距离：一条直线上的任 一点到与它平行的平面的距离，叫做这条直线到 平面的距离。 • （3）两个平行平面间的距离：两平行平面的公垂 线段的长度叫做两平行平面的距离。 • （4）两条异面直线间的距离是指两条异面直线的 公垂线夹在两异面直线间的公垂线段的长度。
例题精析
例题精析
例5：如图已知正方体ABCD－ A1B1C1D1的棱长为a，求异 面直线BD与B1C的距离。
例题精析
• 评析：异面直线距离转化为线面距离再转 化为点面间距离；或者异面直线距离转化 为两平行面间距离再转化点面距离。这是 大的思路，其中直接用定义求出要求的距 离除外。
• 1、两点间的距离求法：可以利用空间两点距离公式。 • 2、有关点到直线、点到平面的距离的求法。 （1）点到直线的距离，一般用三垂线定理作出垂线段。 （2）点到平面的距离是有关距离问题的重点，它主要由 三种方法求得：①用定义，直接能作出这段距离，经论 证再计算。②用二面角的平面角性质：平面角的一边上 任意一点到另一边的距离都垂直于第二边所在的平面， 先作“点”所在平面与另一“平面”组成的二面角的平 面角，过“点”向平面角另一边作垂线，这垂线段长即 为此“点”到“平面”的距离。③转化为锥体的高，用 三棱锥体积公式求点到平面的距离。 • 3、直线和平面的距离与两平行平面的距离可转化为点 到平面的距离来求。
1.2.5空间中的距离课件-【新教材】人教B版（2019）高中数学选择性必修一
长度。
D
B
C
显然，空间中任意两个图形之间的距离也具有类似的 性质，此距离要小于等于两个端点分别在这两个图形 上的线段长。
空间中两点之间的距离
空间中两点之间的距离指的仍是这两个点连线的线段长， 因为向量的长度表示的是向量的始点与终点之间的距离， 所以可通过向量来求空间中两点之间的距离。
例1：如图所示，已知ABCD-A'B'C'D'是平行六面体，AD=3,AB=4,AA' 5,
β
•A n
A'
B
BA n d
n
z
例4；在正方体ABCD A1B1C1D1中， E, M , N分别为A1B1, AD, CC1的中点，
D1
判断直线AC与平面EMN的关系。
如果平行，求AC与平面
A1
E
EMN之间的距离；
如果不平行，说明理由。
D O
M A
C1
B1 N C
F B
(2)
感谢聆听！
1.2.5 空间中的距离
“距离”在生活中随处可见，例如，我们常说某两地 之间的距离是多少，汽车的刹距离是多少，等等。数学中 的“距离”概念是从生活中的具体问题中抽象出来的，要 求具有准确的定义，以避免歧异。到目前为止，你学过哪 些平面内的“距离”？这些“距离”的定义有什么共同点？ 由此你能得到空间中任意两个图形之间的距离具有的性质 吗？
两点间的所有连线中，线段最短，连接两点间的线段 的长度称为两点间的距离；
从直线外一点到这条直线所作的线段中，垂线段最短， 它的长度称为这个点到直线的距离；
两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的 距离，称为这两条平行线之间的距离。
2025届高中数学一轮复习课件《空间角、距离以及综合问题》ppt
第27页
高考一轮总复习•数学
第28页
题型 探究性问题 典例 3(2024·湖北襄阳四中模拟)如图所示，在三棱锥 P-ABC 中， 已知 PA⊥BC，PB⊥AC，点 P 在底面 ABC 上的射影为点 H. (1)证明：PC⊥AB. 概括来讲，在三棱锥中，若两组对棱互相垂直，则第三组对棱也 互相垂直． (2)设 PH＝HA＝HB＝HC＝2，对于动点 M，是否存在 λ，使得C→M 这组数量关系说明此三棱锥是正三棱锥． ＝λC→P，且 BM 与平面 PAB 所成角的余弦值为45？若存在，求出 λ 的值；若不存在，请说明 理由．
高考一轮总复习•数学
第7页
(2)设平面 ABN 的一个法向量为 n＝(x，y，z)，则由 n⊥A→B，n⊥A→N， 得n·A→B＝2 3x＋2y＝0，
n·A→N＝4y＋2z＝0，
令 z＝2，则 y＝－1，x＝ 3 3，即 n＝ 3 3，－1，2. 易知C→1N＝(0,0，－2)，
高考一轮总复习•数学
第14页
高考一轮总复习•数学
第15页
题型 翻折问题 典例 2 如图 1，在梯形 ABCD 中，AB∥CD，AE⊥CD，垂足为 E，AB＝AE＝12CE＝1，
DE＝ 2.将△ADE 沿 AE 翻折到△APE，如图 2 所示．M 为线段 PB 的中点，且 ME⊥PC. 最后这个条件，暗示△ADE 翻折到怎样的位置？
由 ME∩BE＝E，ME，BE⊂平面 BEM， 得 BC⊥平面 BEM，PE⊂平面 BEM，于是 PE⊥BC. 由题意，知 PE⊥AE，AE 与 BC 相交， 则 PE⊥平面 ABCE，又 EC⊂平面 ABCE， 所以 PE⊥EC.
高考一轮总复习•数学
第19页
(2)解：连接 BN，MN，设 EN＝t，由(1)知 PE，EA， 平面 BMN 和平面 PCE 无公共边，这样引入参数 t，使 t 参与二面角余弦值的计算，用 函数法求最小值． EC 两两垂直，故以 E 为坐标原点，E→A，E→C，E→P的方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正方 向建立空间直角坐标系，如图所示，
142用空间向量研究距离、夹角问题(第1课时)课件-秋高中数学人教版(2019)选择性必修一
PQ
2
2
AP AQ =
a2 (au)2 .因此，当点 A 在
直线 l 上的位置发生变化时，距离 PQ 的向量 表达式不会随之发生改变.
问题 6：在几何图形中求解距离的问题时， 已知条件中一般只会给出点 P 以及直线 l，那 么点 A 应该如何确定？
由于问题 5 的结论，理论上，点 A 可以在 直线 l 上任取，但解决立体几何问题时，我们 应该尽量选取能够使运算量更小的点 A.
所以 AB(0,1,0) , AC1(1,1,1) , AE (0,12,1) , EC1(1,12,0), FC (1,12,0), AF (0,12,0).
因此向量a 在单位向量b上的投影向量
c
=
a
b
b
.
类似地，取直线 l 的单位方向向量
b，就可以得到向量a 在直线 l 上的投
影向量
c
=
a
b
b
（图（2））.
问题 3：若向量b为单位向量，则 λb的模 是什么？空间中向量a 在单位向量b上的投影 向量的模又是什么？
|λb|= λ b = λ ；
由问题 2 可知，当向量b为单位向量时，
由勾股定理，得
2
2
PQ AP AQ = a2 (au)2
问题 5：我们已知点 A 是直线 l 上的定点， 若点 A 在直线 l 上的位置发生变化，距离 PQ 的向量表达式是否会随之发生改变？
由于向量 AQ是向量 AP的投影向量，无论
点 A 在直线 l 上的任何位置，只要取定点 A， 向 量 AQauu . 在 Rt△APQ 中 ， 距 离
1.4.2用空间向量研究距离、
夹角问题（第1课时） 高二年级 数学
高中数学复习专题讲座关于求空间距离的问题
高中数学复习专题讲座关于求空间距离的问题高考要求空间中距离的求法是历年高考考查的重点，其中以点与点、点到线、点到面的距离为基础，求其他几种距离一样化归为这三种距离重难点归纳空间中的距离要紧指以下七种(1)两点之间的距离(2)点到直线的距离(3)点到平面的距离(4)两条平行线间的距离(5)两条异面直线间的距离(6)平面的平行直线与平面之间的距离(7)两个平行平面之间的距离七种距离差不多上指它们所在的两个点集之间所含两点的距离中最小的距离七种距离之间有紧密联系，有些能够相互转化，如两条平行线的距离可转化为求点到直线的距离，平行线面间的距离或平行平面间的距离都可转化成点到平面的距离在七种距离中，求点到平面的距离是重点，求两条异面直线间的距离是难点求点到平面的距离(1)直截了当法，即直截了当由点作垂线，求垂线段的长(2)转移法，转化成求另一点到该平面的距离(3)体积法(3)向量法求异面直线的距离 (1)定义法，即求公垂线段的长 (2)转化成求直线与平面的距离 (3)函数极值法，依据是两条异面直线的距离是分不在两条异面直线上两点间距离中最小的典型题例示范讲解例1把正方形ABCD沿对角线AC折起成直二面角，点E、F分不是AD、BC的中点，点O是原正方形的中心，求(1)EF的长；(2)折起后∠EOF的大小命题意图考查利用空间向量的坐标运算来解决立体几何咨询题知识依靠空间向量的坐标运算及数量积公式错解分析建立正确的空间直角坐标系其中必须保Array证x轴、y轴、z轴两两互相垂直技巧与方法建系方式有多种，其中以O点为原点，以、、的方向分不为x 轴、y 轴、z 轴的正方向最为简单解 如图，以O 点为原点建立空间直角坐标系O —xyz , 设正方形ABCD 边长为a ,那么A (0，－22a ,0),B (22a ,0,0),C (0, 22a ,0), D (0,0, 22a ),E (0,－42a , a ),F (42a ,42a ,0) 21||||,cos ,2||,2||8042)42)(42(420)0,42,42(),42,42,0()2(23,43)420()4242()042(||)1(22222-=>=<==-=⋅+-+⨯=⋅=-==∴=-+++-=OF OE OF OE a OF a OE a a a a a a a a a a EF a a a a a ∴∠EOF =120°例2正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，求异面直线A 1C 1与AB 1间的距离命题意图 此题要紧考查异面直线间距离的求法知识依靠 求异面直线的距离，可求两异面直线的公垂线，或转化为求线面距离，或面面距离，亦可由最值法求得错解分析 此题容易错误认为O 1B 是A 1C 与AB 1的距离，这要紧是对异面直线定义不熟悉，异面直线的距离是与两条异面直线垂直相交的直线上垂足间的距离技巧与方法 求异面直线的距离，有时较难作出它们的公垂线，故通常采纳化归思想，转化为求线面距、面面距、或由最值法求得解法一 如图，在正方体AC 1中， ∵A 1C 1∥AC ,∴A 1C 1∥平面AB 1C ， ∴A 1C 1与平面AB 1C 间的距离等于异面直线A 1C 1与AB 1间的距离连结B 1D 1、BD ，设B 1D 1∩A 1C 1=O 1,BD ∩AC =O ∵AC ⊥BD ，AC ⊥DD 1，∴AC ⊥平面BB 1D 1D ∴平面AB 1C ⊥平面BB 1D 1D ，连结B 1O ，那么平面AB 1C ∩平面BB 1D 1D =B 1O作O 1G ⊥B 1O 于G ，那么O 1G ⊥平面AB 1C∴O 1G 为直线A 1C 1与平面AB 1C 间的距离，即为异面直线A 1C 1与AB 11A间的距离在Rt △OO 1B 1中，∵O 1B 1=22，OO 1=1，∴OB 1=21121B O OO += 26 ∴O 1G =331111=⋅OB B O O O ，即异面直线A 1C 1与AB 1间距离为33解法二 如图，在A 1C 上任取一点M ，作MN ⊥AB 1于N ，作MR ⊥A 1B 1于R ，连结RN ，∵平面A 1B 1C 1D 1⊥平面A 1ABB 1， ∴MR ⊥平面A 1ABB 1，MR ⊥AB 1 ∵AB 1⊥RN ，设A 1R =x ,那么RB 1=1－x∵∠C 1A 1B 1=∠AB 1A 1=45°，∴MR =x ,RN =NB 1=)1(22x - 31)31(23)1(2122222+-=-+=+=x x x RN MR MN (0＜x ＜1) ∴当x =31时，MN 有最小值33即异面直线A 1C 1与AB 1解法三〔向量法〕如图建立坐标系，那么111(1,0,0),(1,0,1),(1,1,1),(0,1,1)A A B C ∴111(0,1,1),(1,1,0)AB AC -＝＝ 设MN 是直线A 1C 1与AB 1的公垂线，且1111(0,,),(,,0)AN AB AM AC λλλμμμ-＝＝＝＝ 那么11(,,0)(0,0,1)(0,,)MN MA A A ANμμλλ=++-+-+＝- (,,1),μλμλ=--从而有11100MN A C MN AB ⎧⎪⇒⎨⎪⎩＝＝22032113λλμλμμ⎧=⎪-=⎧⎪⇒⎨⎨-=⎩⎪=⎪⎩1A∴1113(,,)||3333MN MN =⇒=例3如图，ABCD 是矩形，AB =a ,AD =b ,P A ⊥平面ABCD ，P A =2c ,Q 是P A 的中点求 (1)Q 到BD 的距离；(2)P 到平面BQD 的距离解 (1)在矩形ABCD 中，作AE ⊥BD ，E 为垂足 连结QE ， ∵QA ⊥平面ABCD ，由三垂线定理得QE ⊥BE∴QE 的长为Q 到BD 的距离 在矩形ABCD 中，AB =a ,AD =b ,∴AE =22ba ab +在Rt △QAE 中，QA =21P A =c ∴QE =22222ba b a c ++ ∴Q 到BD(2)解法一 ∵平面BQD 通过线段P A 的中点， ∴P 到平面BQD 的距离等于A 到平面BQD 的距离 在△AQE 中，作AH ⊥QE ，H 为垂足∵BD ⊥AE ,BD ⊥QE ,∴BD ⊥平面AQE ∴BD ⊥AH ∴AH ⊥平面BQE ，即AH 为A 到平面BQD 的距离在Rt △AQE 中，∵AQ =c ,AE =22ba ab +∴AH =22222)(ba cb a abc ++∴P 到平面BD 的距离为22222)(ba cb a abc ++解法二 设点A 到平面QBD 的距离为h ，由V A —BQD =V Q —ABD ,得31S △BQD ·h =31S △ABD ·AQ h =S AQS BQDABD ==⋅∆∆学生巩固练习1 正方形ABCD 边长为2，E 、F 分不是AB 和CD 的中点，将正方形沿EF 折成直二面角(如图)，M 为矩形AEFD 内一点，假如∠MBE =∠MBC ，MB 和平面BCF 所成角的正切值为21，那么点M 到直线EF 的距离为( )A2 B1 C2 D 122 三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1=1，AB =4，BC =3，∠ABC =90°,设平面A 1BC 1与平面ABC 的交线为l ，那么A 1C 1与l 的距离为( )A 10B 11C 2.6D 2.43 如左图，空间四点A 、B 、C 、D 中，每两点所连线段的长都等于a ，动点P 在线段AB 上，动点Q 在线段CD 上，那么P 与Q 的最短距离为_________4 如右上图，ABCD 与ABEF 均是正方形，假如二面角E —AB —C 的度数为30°，那么EF 与平面ABCD 的距离为_________5 在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB =4，BC =3，CC 1=2，如图(1)求证 平面A 1BC 1∥平面ACD 1； (2)求(1)中两个平行平面间的距离； (3)求点B 1到平面A 1BC 1的距离6 正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1，点E 在棱D 1D 上，截面EAC ∥D 1B 且面EAC 与底面ABCD 所成的角为45°,AB =a ,求 (1)截面EAC 的面积； (2)异面直线A 1B 1与AC 之间的距离；(3)三棱锥B 1—EAC 的体积 7 如图，三棱柱A 1B 1C 1—ABC 的底面是边长为2的正三角形，侧棱A 1A 与AB 、AC 均成45°角，且A 1E ⊥B 1B 于E ，A 1F⊥CC 1于FF1A1A1(1)求点A 到平面B 1BCC 1的距离；(2)当AA 1多长时，点A 1到平面ABC 与平面B 1BCC 1的距离相等8 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC =2π,AB = 31AD =a ,∠ADC =arccos552,P A ⊥面ABCD 且P A =a (1)求异面直线AD 与PC 间的距离；(2)在线段AD 上是否存在一点F ，使点A 到平面PCF参考答案1 解析 过点M 作MM ′⊥EF ,那么MM ′⊥平面BCF ∵∠MBE =∠MBC∴BM ′为∠EBC 为角平分线，∴∠EBM ′=45°,BM ′=2,从而MN =22 答案 A2 解析 交线l 过B 与AC 平行，作CD ⊥l 于D ，连C 1D ，那么C 1D为A 1C 1与l 的距离，而CD 等于AC 上的高，即CD =512,Rt △C 1CD 中易求得C 1D =513=2.6 答案 C3 解析 以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形为空间四边形，且为正四面体，取P 、Q 分不为AB 、CD 的中点，因为AQ =BQ =22a ,∴PQ ⊥AB , 同理可得PQ ⊥CD ，故线段PQ 的长为P 、Q 两点间的最短距离，在Rt △APQ中，PQ =22)2()23(2222=-=-a a AP AQ a 答案22a 4 解析 明显∠F AD 是二面角E —AB —C 的平面角，∠F AD =30°,过F 作FG ⊥平面ABCD 于G ，那么G 必在AD 上，由EF ∥平面ABCD∴FG 为EF 与平面ABCD 的距离，即FG 2a答案 2a5 (1)证明 由于BC 1∥AD 1，那么BC 1∥平面ACD 1 同理，A 1B ∥平面ACD 1，那么平面A 1BC 1∥平面ACD 1(2)解 设两平行平面A 1BC 1与ACD 1间的距离为d ，那么d 等于D 1到平面A 1BC 1的距离 易求A 1C 1=5，A 1B =25，BC 1=13，那么cos A 1BC 1=652,那么sin A 1BC 1=6561,那么S111C B A ∆=61,由于111111D C A B BC A D V V --=，那么31S 11BC A ∆·d =)21(31111D C AD ⋅·BB 1,代入求得d =616112, (3)解 由于线段B 1D 1被平面A 1BC 1所平分，那么B 1、D 1到平面A 1BC 1的距离相等，那么由(2)知点B 1到平面A 1BC 1 6 解 (1)连结DB 交AC 于O ，连结EO ， ∵底面ABCD 是正方形∴DO ⊥AC ，又ED ⊥面ABCD ∴EO ⊥AC ，即∠EOD =45°又DO =22a ，AC =2a ，EO =︒45cos DO =a ，∴S △EAC =22a (2)∵A 1A ⊥底面ABCD ，∴A 1A ⊥AC ，又A 1A ⊥A 1B 1 ∴A 1A 是异面直线A 1B 1与AC 间的公垂线 又EO ∥BD 1，O 为BD 中点，∴D 1B =2EO =2a∴D 1D =2a ，∴A 1B 1与AC 距离为2a(3)连结B 1D 交D 1B 于P ，交EO 于Q ，推证出B 1D ⊥面EAC ∴B 1Q 是三棱锥B 1—EAC 的高，得B 1Q =23a 32422322311a a a V EAC B =⋅⋅=-7 解 (1)∵BB 1⊥A 1E ，CC 1⊥A 1F ，BB 1∥CC 1 ∴BB 1⊥平面A 1EF 即面A 1EF ⊥面BB 1C 1C 在Rt △A 1EB 1中，∵∠A 1B 1E =45°，A 1B 1=a∴A 1E =22a ,同理A 1F =22a ,又EF =a ，∴A 1E =22a同理A 1F =22a ,又EF =a ∴△EA 1F 为等腰直角三角形，∠EA 1F =90°过A 1作A 1N ⊥EF ，那么N 为EF 中点，且A 1N ⊥平面BCC 1B 1 即A 1N 为点A 1到平面BCC 1B 1的距离∴A 1N =221a=又∵AA 1∥面BCC 1B ，A 到平面BCC 1B 1的距离为2a∴a =2，∴所求距离为2(2)设BC 、B 1C 1的中点分不为D 、D 1，连结AD 、DD 1和A 1D 1，那么DD 1必过点N ，易证ADD 1A 1为平行四边形∵B 1C 1⊥D 1D ,B 1C 1⊥A 1N ∴B 1C 1⊥平面ADD 1A 1 ∴BC ⊥平面ADD 1A 1得平面ABC ⊥平面ADD 1A 1，过A 1作A 1M ⊥平面ABC ，交AD 于M ， 假设A 1M =A 1N ，又∠A 1AM =∠A 1D 1N ，∠AMA 1=∠A 1ND 1=90°∴△AMA 1≌△A 1ND 1,∴AA 1=A 1D 1=3,即当AA 1=3时满足条件8 解 (1)∵BC ∥AD ,BC ⊂面PBC ,∴AD ∥面PBC从而AD 与PC 间的距离确实是直线AD 与平面PBC 间的距离 过A 作AE ⊥PB ，又AE ⊥BC ∴AE ⊥平面PBC ，AE 为所求在等腰直角三角形P AB 中，P A =AB =a∴AE =22a (2)作CM ∥AB ，由cos ADC =552 ∴tan ADC =21,即CM =21DM ∴ABCM 为正方形，AC =2a ,PC =3a 过A 作AH ⊥PC ,在Rt △P AC 中，得AH =36下面在AD 上找一点F ，使PC ⊥CF取MD 中点F ，△ACM 、△FCM 均为等腰直角三角形 ∴∠ACM +∠FCM =45°+45°=90°∴FC ⊥AC ,即FC ⊥PC ∴在AD 上存在满足条件的点F课前后备注学法指导: 立体几何中的策略思想及方法立体几何中的策略思想及方法近年来，高考对立体几何的考查仍旧注重于空间观点的建立和空间想象能力的培养题目起点低，步步升高，给不同层次的学生有发挥能力的余地大题综合性强，有几何组合体中深层次考查空间的线面关系因此，高考复习应在抓好差不多概念、定理、表述语言的基础上，以总结空间线面关系在几何体中的确定方法入手，突出数学思想方法在解题中的指导作用，并积极探寻解答各类立体几何咨询题的有效的策略思想及方法一、领会解题的差不多策略思想高考改革稳中有变运用差不多数学思想如转化，类比，函数观点仍是考查中心，选择好典型例题，在差不多数学思想指导下，归纳一套合乎一样思维规律的解题模式是受学生欢迎的，学生通过熟练运用，逐步内化为自己的体会，解决一样差不多数学咨询题就会自然流畅二、探寻立体几何图形中的基面立体几何图形必须借助面的衬托，点、线、面的位置关系才能显露地〝立〞起来在具体的咨询题中，证明和运算经常依附于某种专门的辅助平面即基面那个辅助平面的猎取正是解题的关键所在，通过对那个平面的截得，延展或构造，纲举目张，咨询题就迎刃而解了三、重视模型在解题中的应用学生学习立体几何是从认识具体几何模型到抽象出空间点、线、面的关系，从而培养空间想象能力而数学咨询题中许多图形和数量关系都与我们熟悉模型存在着某种联系它引导我们以模型为依据，找出起关键作用的一些关系或数量，对比数学咨询题中题设条件，突出特性，设法对原图形补形，拼凑、构造、嵌入、转化为熟知的、形象的、直观的模型，利用其特点规律猎取优解。
高中数学课件空间两点间的距离公式
在本课件中，我们将介绍空间中两点间的距离公式，从什么是空间两点开始， 以及如何用公式计算两点之间的距离。让我们开始吧！
什么是空间两点？
空间中的两点是指在三维坐标系中确定的两个位置点。这两个点可以表示物体的位置、人的定位等等。 在数学中，我们可以使用坐标表示这两个点，例如：点A的坐标为(x1, y1, z1)，点B的坐标为(x2, y2, z2)。
4 地理信息系统
用于测绘、地理分析等领域，计算地物之间 的距离和相对位置。
结束语
通过本课件，我们学习了空间两点间的距离公式，了解了直线距离计算方法 和空间距离计算方法，并举例说明了其应用领域。 希望这些知识对你有所帮助，谢谢观看！
直线距离计算方法演示
让我们通过一个简单的示例演示直线距离计算方法：
1
Step 1
确定点A和点B的坐标：A(2, 3, 4d = √((x2-x1)² + (y2-y1)² + (z2-z1)²)计算直线距离。
3
Step 3
代入点的坐标计算：d = √((5-2)² + (7-3)² + (1-4)²)。
如何用公式计算两点之间的距 离？
通过直线距离计算方法和空间距离计算方法，我们可以计算空间两点之间的 距离。
直线距离计算方法使用勾股定理，即d = √((x2-x1)² + (y2-y1)² + (z2-z1)²)，其 中d表示两点之间的直线距离。
空间距离计算方法利用向量的知识，将两点按照向量形式表示后，计算两个 向量的模的差，即d = √((x2-x1)² + (y2-y1)² + (z2-z1)²)。
4
Step 4
第1课时 用空间向量研究距离问题 高中数学人教A版选择性必修第一册课件
所以=
1
,0,1
2
1
2
1
,0,1
2
1
0,-1,
2
,M
,=
,
, =(1,1,0).
设 n=(x,y,z),且 n⊥,n⊥,
1
2
+ = 0,
· = 0,
所以
即
1
· = 0,
- + = 0,
2
= -2,
1
即
取 z=2,则 x=-4,y=1,
情境:在平面内任取一点 O,作=a,=b,过点 A 作直线
OB 的垂线,垂足为 A1,则1 就是 a 在 b 上的投影向量.
【思考】
已知两个非零向量 a,b,a 和 b 的夹角为 θ,那么 a 在 b 上
的投影是什么?a 在 b 上的投影向量是什么?
提示:a 在 b 上的投影为|a|cos θ,a 在 b 上的投影向量
5 5
ABC 的一个法向量.
由题意,知 =(-7,-7,7),
所以点 D 到平面 ABC
84
5
|·|
42 2
的距离为
= =
.
||
2
5
4.同类练如图,已知正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1,则点 A 到平面 BDC1 的
3 .
距离为
3
解析:以 D 为坐标原点,DA,DC,DD1 所在直线分别为 x 轴、
.
【思考】
(1)若“单位方向向量 u”变为“方向向量 s”,投影向量
,PQ 分别如何表示?
||
· ·
·
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
A∴BEF、//BAD，DH的为中AO点的，中点PC 面 ABCD，PC=2。
∵EF 平面 PEF，BD 平面 PEF。
∴BD//（平面1）PE求F，证则 ：B 到C平点面的到距平离就面是PBEDF上的任一距点离到平等面于PEF 的距离，于是只需求点 O
到平面 PEF 的距离。
A∵ B点D⊥到AC面， ∴PEEFF⊥的HC距∵离PC的⊥ 平3 面倍A。BCD
D
A
O
C
B
2.直线到与它平行平面的距离
一条直线上任一点到与它平行的平面 的距离，叫做这条直线到平面的距离。
l
例1 如图，已知正三角形 ABC 的边长为 6cm，点 O 到 ABC各顶点的距离都是 4cm，求点 O 到这个三角形所在平面的 距离。
解：设H为点O在平面ABC内的射影，延 长AH，交BC于E，则
例 2：直角 ABC 在平面 内，点 P 在平面 外， 若 P 到直角顶点 A 的距离为 8，到两条直角 边的距离均为 5 2 ，求 P 到平面 的距离。
P
E
C
O
A
D
B
例 2如：图：直过角P 作PAOBC平在面平于 面O，连内结 A，O，点 P 在平面 外，
过 O 作 OD AB 于 D，OE AC 于 E，连结 PD、
3
在 Rt△PCG 中，CG= 3 AC=3 2 ，PC=2。
H
4
CH= CG PC 6 2 6 11
CG 2 PC2 22 11
D
∴B 到平面 PEF 的距离为1 CH= 2 11
C
3
11
F
G
A
E
B
解 E、法F2分：例别连是3结：AEBP正、、方AFPD、形的B中DA点、B，ACC、DE的F，边EF长与为BD4分，别E交、ACF于分H、别O是，在正方形 ABCD 中，
∴PG⊥EF。∴EF⊥平面 PCG。
A过 C点作到PG面的P垂E线FC的H，距交离PG的于 H3，倍有。EF⊥CH。
∴CH⊥（平2面）PE求F，点CHB的到长即平为面点 PCE到F平面的P∴B 到平面 PEF 的距离等于 A 到平面 PEF 的距离。也等于 C 到平面 PEF 距离的 1 ，
天马行空官方博客： /tmxk_docin ； QQ:1318241189；QQ群：175569632
距离(一）
试问:那条线段最短？
F1
F2
距离的概念：
图形F1内的天任马行一空官方点博客与： 图形F2内的任 一点距离中的最小值叫做图形F1与图 /tmxk_docin ；
D
F
A
E
B
X
Z P
Y C
解法 1：例连3结：PG正，方PC⊥形平A面BACBCDD，的C边E=C长F，为而4C，E、EC、F 是F 分别是
A斜BPE、、APFD在的平面中A点BC，D 上P的C射影面。ABCD，PC=2。
∴PE=PF。 在等腰三角形 PEF 中，∵G 是 EF 的中点。
（1）求证：C 点到平面 PEF 的距离等于
QQ:1318241189；QQ群：175569632
形F2的距离。
1.点到平面的距离
一点到它在一个平面内的正射影的 距离叫做这一点到这个平面的距离
P
A B
练习：
1已知线段AB不在平面内，A、B两点到平面 的距离分别是1和3，那么线段AB的中点到 平面的距离是 2 。
B M A
B'
M'
A'
练习
2.已知四面体ABCD，AB＝AC＝AD＝6， BC＝3，CD＝4，BD＝5，求点A到平面 BCD的距离。
A
B
O
D
C
3.如图，AB 是⊙O的直径， PA⊥平面 ⊙O，C为圆
周上一点，若 AB＝5，AC ＝2，求B到 平面PAC的距 离。
4.如图，已知P为△ABC外一点，PA、PB、 PC两两垂直，且PA＝PB＝PC＝3，求P点 到平面ABC的距离。
∴ 作EOFK⊥⊥（PCP2H）交则求PEHF点⊥于平点B面K到，PH平由C两面个∴平平P面E面F垂P直E的F的⊥距性平质离面定。P理HC作。OK⊥PH。
交 PH 于点 K，由两个平面垂直的性质定理知 OK⊥平面 PEF
P
那么线段 OK 的长就是点 B 到平面 PEF 的距离 ∵正方形的边长为 4
PC=2 ∴AC= 4 2 ，HO= 2 ，PH= 22
由于 Rt△HKO 和 Rt△HCP 有一个公共角，故△HKD∽△HCP。
∴OK= OH PC 2 2 2 11
D
HP
22 11
H
C
即点 B 到平面 PEF 的距离是 2 11 。 F
11
G
O
A E
B
方法总结： （空间距离转化为点面距离）
1、找出或作出垂线段、2、证明其符合定义、3、 归结为几何计算或解三角形。
4.利用空间向量方法求点面距离。先确定平面的 法向量，再求点与平面上一点连结线段在平面 的法向量上的射影长。
P0
n
P
练习
5.如图，已知在长方体ABCD－A’B’C’D’ 中，棱AA’=5，AB=12，求直线B’C’到 平面A’BCD’的距离。
D A'
C' B'
D A
C
E B
结束 谢谢观赏！
若 PE，P由到三垂直线定角理顶得 P点D AAB的，P距E 离AC为。 8，到两条直角
边的 距PD离=P均E=5为2 5 2∴，OD求=OEP 到平面 的距离。
BAC=90°∴四边形 ADOE 是正方形
PA=8 ∴AD= 82 (5 2)2 14
P
AO= 14 2 2 7
在 RtPAO中
PO= PA2 AO2 6
故点 P 到平面 的距离为 6
E
C
O
A
D
B
例 3：正方形 ABCD 的边长为 4，E、F 分别是 AB、AD 的中点，PC 面 ABCD，PC=2。
（1）求证：C 点到平面 PEF 的距离等于 A 点到面 PEF 的距离的 3 倍。
（2）求点 B 到平面 PEF 的距离。
O A O B O C,
H AH BH C,
即H是△ABC的外心。在Rt △ABC中，
BE 1 BC 3 , BH BE 2 3 ,
2
cos30
A
O H O B 2 B H 24 2 (23 )2 2 (c m ),
O
C
H
E
B
即点O到这个三角形所在平面的距离为2 cm.