北京市首都师大附中2019-2020学年度第二学期高一数学第二次月考考试试卷及答案
北京市海淀区首都师范大学附属中学2019_2020学高一数学下学期期中试题(A)(含解析)
北京市海淀区首都师范大学附属中学2019-2020学高一数学下学期期中试题（A ）（含解析）一、单选题1.已知,2sin cos R ααα∈-=，则tan(2)4πα-=（ ）A.43B. 7-C. 34-D.17【答案】B 【解析】 【分析】将条件中所给的式子的两边平方后化简得23tan 8tan 30αα--=，解得tan α后再根据两角差的正切公式求解．【详解】条件中的式子两边平方，得2254sin 4sin cos cos 2αααα-+=， 即233sin 4sin cos 2ααα-=， 所以()22233sin 4sin cos sin cos 2ααααα-=+， 即23tan 8tan 30αα--=，解得tan 3α=或1tan 3α=-， 所以22tan 3tan21tan 4ααα==--，故21tan 27412tan tan πααα-⎛⎫-==- ⎪+⎝⎭． 故选B ．【点睛】解答本题的关键是根据条件进行适当的三角恒等变换，得到tan α后再根据公式求解，考查变换能力和运算能力，属于基础题．2.已知0,0,22x y x y >>+=,则xy 的最大值为（ ）A.12B. 1 D.14【答案】A【分析】 化简xy =12（2x •y ），再利用基本不等式求最大值得解. 【详解】解：∵x ＞0，y ＞0，且2x +y =2，∴xy =12（2x •y ）≤12（22x y +）2=12，当且仅当x =12，y =1时取等号， 故则xy 的最大值为12，故选A【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 3.设{}1,2,3,4,5U =，{}2,5A =，{}2,3,4B =，则()UA B ⋃=（ ）A {}5B. {}1,2,3,4,5C. {}1,2,5D. ∅【答案】C 【解析】 【分析】 先求出UB ，再求出()UA B ⋃即可．【详解】∵{}{}1,2,3,4,5,2,3,4U B ==， ∴{}1,5UB =，∴(){}1,2,5UA B ⋃=．故选C ．【点睛】本题考查补集与并集的混合运算，求解时根据集合运算的定义进行求解即可，属于基础题．4.已知函数2log ,0(){3,0x x x f x x >=≤，则1[()]4f f 的值是（ ）A. 14 B. 4 C. 19【答案】C试题分析：根据分段函数解析式可知211()log 244f ==-，()21239f --==，所以11[()]49f f =，故选C.考点：分段函数.5.已知a b 、为实数，则22a b >是22log log a b >的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】分别解出22a b >，22log log a b >中a ，b 的关系，然后根据a ，b 的范围，确定充分条件，还是必要条件． 【详解】解：22a b >，a b ∴>当0a <或0b <时，不能得到22log log a b >，反之由22log log a b >即：0a b >>可得22a b >成立． 故22a b >是22log log a b >的必要不充分条件 故选：B ．【点睛】本题考查对数函数的单调性与特殊点，必要条件、充分条件与充要条件的判断，是基础题．6.已知集合{}{}2|120,|45M x x x N x x =-->=-<<，则MN =（ ）A. RB. ()3,4-C. (4,5)D.(4,3)(4,5)--⋃【答案】D 【解析】 【分析】解一元二次不等式求得集合M ，由此求得M N ⋂【详解】由()()212430x x x x --=-+>，解得3x <-或4x >，即{3M x x =-或}4x >.所以(4,3)(4,5)M N --⋃⋂=. 故选：D.【点睛】本小题主要考查交集的概念和运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题. 7.高铁、扫码支付、共享单车、网购被称为中国的“新四大发明”，为评估共享单车的使用情况，选了n 座城市作实验基地，这n 座城市共享单车的使用量（单位：人次/天）分别为1x ，2x ，…，n x ，下面给出的指标中可以用来评估共享单车使用量的稳定程度的是（ ）A. 1x ，2x ，…，n x 的标准差B. 1x ，2x ，…，n x 的平均数C. 1x ，2x ，…，n x 的最大值D. 1x ，2x ，…，n x 的中位数【答案】A 【解析】 【分析】利用方差或标准差表示一组数据的稳定程度可得出选项.【详解】表示一组数据的稳定程度是方差或标准差，标准差越小，数据越稳定 故选：A【点睛】本题考查了用样本估计总体，需掌握住数据的稳定程度是用方差或标准差估计的，属于基础题.8.集合A ={x |2230x x --≥}，B ={x |240x ->}，则()R A B = ( )A. [-2,-1]B. [-1,2）C. [-1,1]D. [1,2）【答案】A 【解析】{|13}A x x x =≤-≥或，{|22}B x x x =-或，{|22}RB x x =-≤≤,∴()R A B ⋂=[-2,-1].9.某位居民站在离地20m 高的阳台上观测到对面小高层房顶的仰角为60，小高层底部的俯角为45，那么这栋小高层的高度为( )A. 3201m 3⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭ B. ()2013m +C. ()1026m +D.()2026m +【答案】B 【解析】 【分析】根据题意作出简图，根据已知条件和三角形的边角关系解三角形【详解】依题意作图所示：AB 20m =，仰角DAE 60∠=，俯角EAC 45∠=， 在等腰直角ACE 中，AE EC 20m ==， 在直角DAE 中，DAE 60∠=，DE AEtan60203m ∴==，∴小高层的高度为()()CD 202032013m =+=+．故选B ．【点睛】解决解三角形实际应用问题注意事项： 1.首先明确方向角或方位角的含义；2.分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图；3.将实际问题转化为可用数学方法解决的问题10.关于函数()sin f x x x =+，下列说法错误的是（ ） A. ()f x 是奇函数B. ()f x 是周期函数C. ()f x 有零点D. ()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 【答案】B 【解析】 【分析】根据奇偶性定义可判断选项A 正确；依据周期性定义，选项B 错误；()00f =，选项C 正确；求()f x '，判断选项D 正确.【详解】()()sin f x x x f x -=--=-， 则()f x 为奇函数，故A 正确；根据周期的定义，可知它一定不是周期函数， 故B 错误；因为()00sin00f =+=，()f x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上有零点，故C 正确；由于()'1cos 0f x x =+≥，故()f x 在(),-∞+∞ 上单调递增，故D 正确. 故选B.【点睛】本题考查函数的性质，涉及到奇偶性、单调性、周期性、零点，属于基础题. 二、填空题11.设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，记2()()g x f x x =-，且函数()g x 在区间[0,)+∞上是增函数，则不等式2(2)(2)4f x f x x +->+的解集为_____ 【答案】()(),40,-∞-+∞【解析】 【分析】根据题意，分析可得()g x 为偶函数，进而分析可得原不等式转化为()()22g x g +>，结合函数的奇偶性与单调性分析可得22x +>，解可得x 的取值范围．【详解】根据题意()()2g x f x x =-，且()f x 是定义在R 上的偶函数，则()()()()()22g x f x x f x x g x -=---=-=，则函数()g x 为偶函数，()()()()()()()22224222422f x f x x f x x f g x g +->+⇒+--⇒+>>+，又由()g x 为增函数且在区间[0,)+∞上是增函数，则22x +>， 解可得：4x <-或0x >， 即x 的取值范围为()(),40,-∞-+∞，故答案为()(),40,-∞-+∞；【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意分析()g x 的奇偶性与单调性，属于中档题． 12.设1sin 3sin αβ+=，不等式2sin cos 0m αβ--≤对满足条件的α，β恒成立，则实数m 的最小值为________．【答案】43【解析】 【分析】将不等式2sin cos 0m αβ--≤对满足条件的α，β恒成立，利用1sin 3sin αβ+=，转化为不等式21sin cos 03m ββ---≤对满足条件的β恒成立，即不等式22sin sin 3m ββ--≤对满足条件的β恒成立，然后用二次函数的性质求22()sin sin 3βββ=--f 的最大值即可。
【解析】北京市海淀区首都师范大学附属中学2019-2020学高一下学期期中考试数学(A)试题
北京首师附中2019-2020学年度第二学期期中考试试题高一数学A 卷1-6班用一、单选题1.已知,2sin cos R ααα∈-=tan(2)4πα-=（ ）A.43B. 7-C. 34-D.17【答案】B 【分析】将条件中所给的式子的两边平方后化简得23tan 8tan 30αα--=，解得tan α后再根据两角差的正切公式求解．【详解】条件中的式子两边平方，得2254sin 4sin cos cos 2αααα-+=， 即233sin 4sin cos 2ααα-=， 所以()22233sin 4sin cos sin cos 2ααααα-=+， 即23tan 8tan 30αα--=，解得tan 3α=或1tan 3α=-， 所以22tan 3tan21tan 4ααα==--， 故21tan 27412tan tan πααα-⎛⎫-==- ⎪+⎝⎭． 故选B ．【点睛】解答本题的关键是根据条件进行适当的三角恒等变换，得到tan α后再根据公式求解，考查变换能力和运算能力，属于基础题．2.已知0,0,22x y x y >>+=,则xy 的最大值为（ ）A.12B. 1C.D.14【答案】A【分析】 化简xy =12（2x •y ），再利用基本不等式求最大值得解. 【详解】解：∵x ＞0，y ＞0，且2x +y =2，∴xy =12（2x •y ）≤12（22x y +）2=12，当且仅当x =12，y =1时取等号， 故则xy 的最大值为12，故选A【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 3.设{}1,2,3,4,5U =，{}2,5A =，{}2,3,4B =，则()U A B ⋃=ð（ ） A {}5B. {}1,2,3,4,5C. {}1,2,5D. ∅【答案】C 【分析】先求出U B ð，再求出()U A B ⋃ð即可．【详解】∵{}{}1,2,3,4,5,2,3,4U B ==， ∴{}1,5U B =ð，∴(){}1,2,5U A B ⋃=ð． 故选C ．【点睛】本题考查补集与并集的混合运算，求解时根据集合运算的定义进行求解即可，属于基础题．4.已知函数2log ,0(){3,0x x x f x x >=≤，则1[()]4f f 的值是（ ）A. 14 B. 4 C. 19D.【答案】C试题分析：根据分段函数解+析式可知211()log 244f ==-，()21239f --==，所以11[()]49f f =，故选C.考点：分段函数.5.已知a b 、为实数，则22a b >是22log log a b >的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【分析】分别解出22a b >，22log log a b >中a ，b 的关系，然后根据a ，b 的范围，确定充分条件，还是必要条件． 【详解】解：22a b >Q ，a b ∴>当0a <或0b <时，不能得到22log log a b >，反之由22log log a b >即：0a b >>可得22a b >成立． 故22a b >是22log log a b >的必要不充分条件 故选：B ．【点睛】本题考查对数函数的单调性与特殊点，必要条件、充分条件与充要条件的判断，是基础题．6.已知集合{}{}2|120,|45M x x x N x x =-->=-<<，则M N =I （ ）A. RB. ()3,4-C. (4,5)D.(4,3)(4,5)--⋃【答案】D 【分析】解一元二次不等式求得集合M ，由此求得M N ⋂【详解】由()()212430x x x x --=-+>，解得3x <-或4x >，即{3M x x =-或}4x >.所以(4,3)(4,5)M N --⋃⋂=. 故选：D.【点睛】本小题主要考查交集的概念和运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题. 7.高铁、扫码支付、共享单车、网购被称为中国的“新四大发明”，为评估共享单车的使用情况，选了n 座城市作实验基地，这n 座城市共享单车的使用量（单位：人次/天）分别为1x ，2x ，…，n x ，下面给出的指标中可以用来评估共享单车使用量的稳定程度的是（ ）A. 1x ，2x ，…，n x 的标准差B. 1x ，2x ，…，n x 的平均数C. 1x ，2x ，…，n x 的最大值D. 1x ，2x ，…，n x 的中位数【答案】A 【分析】利用方差或标准差表示一组数据的稳定程度可得出选项.【详解】表示一组数据的稳定程度是方差或标准差，标准差越小，数据越稳定 故选：A【点睛】本题考查了用样本估计总体，需掌握住数据的稳定程度是用方差或标准差估计的，属于基础题.8.集合A ={x |2230x x --≥}，B ={x |240x ->}，则()R A B I ð= ( ) A. [-2,-1] B. [-1,2）C. [-1,1]D. [1,2）【答案】A{|13}A x x x =≤-≥或，{|22}B x x x =-或，{|22}R B x x =-≤≤ð,∴()R A B ⋂ð=[-2,-1].9.某位居民站在离地20m 高的阳台上观测到对面小高层房顶的仰角为60o ，小高层底部的俯角为45o ，那么这栋小高层的高度为( )A. 3201m 3⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭ B. ()2013m +C. ()1026m +D.()2026m +【答案】B 【分析】根据题意作出简图，根据已知条件和三角形的边角关系解三角形【详解】依题意作图所示：AB 20m =，仰角DAE 60∠=o ，俯角EAC 45∠=o ， 在等腰直角ACE V 中，AE EC 20m ==， 在直角DAE V 中，DAE 60∠=o ，DE AEtan60203m ∴==o ，∴小高层的高度为()()CD 202032013m =+=+．故选B ．【点睛】解决解三角形实际应用问题注意事项： 1.首先明确方向角或方位角的含义；2.分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图；3.将实际问题转化为可用数学方法解决的问题10.关于函数()sin f x x x =+，下列说法错误的是（ ） A. ()f x 是奇函数B. ()f x 是周期函数C. ()f x 有零点D. ()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 【答案】B 【分析】根据奇偶性定义可判断选项A 正确；依据周期性定义，选项B 错误；()00f =，选项C 正确；求()f x '，判断选项D 正确.【详解】()()sin f x x x f x -=--=-， 则()f x 为奇函数，故A 正确；根据周期的定义，可知它一定不是周期函数， 故B 错误；因为()00sin00f =+=，()f x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上有零点，故C 正确；由于()'1cos 0f x x =+≥，故()f x 在(),-∞+∞ 上单调递增，故D 正确. 故选B.【点睛】本题考查函数的性质，涉及到奇偶性、单调性、周期性、零点，属于基础题.二、填空题11.设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，记2()()g x f x x =-，且函数()g x 在区间[0,)+∞上是增函数，则不等式2(2)(2)4f x f x x +->+的解集为_____ 【答案】()(),40,-∞-+∞U 【分析】根据题意，分析可得()g x 为偶函数，进而分析可得原不等式转化为()()22g x g +>，结合函数的奇偶性与单调性分析可得22x +>，解可得x 的取值范围．【详解】根据题意()()2g x f x x =-，且()f x 是定义在R 上的偶函数，则()()()()()22g x f x x f x x g x -=---=-=，则函数()g x 为偶函数，()()()()()()()22224222422f x f x x f x x f g x g +->+⇒+--⇒+>>+，又由()g x 为增函数且在区间[0,)+∞上是增函数，则22x +>， 解可得：4x <-或0x >，即x 的取值范围为()(),40,-∞-+∞U ， 故答案为()(),40,-∞-+∞U ；【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意分析()g x 的奇偶性与单调性，属于中档题． 12.设1sin 3sin αβ+=，不等式2sin cos 0m αβ--≤对满足条件的α，β恒成立，则实数m 的最小值为________． 【答案】43【分析】将不等式2sin cos 0m αβ--≤对满足条件的α，β恒成立，利用1sin 3sin αβ+=，转化为不等式21sin cos 03m ββ---≤对满足条件的β恒成立，即不等式22sin sin 3m ββ--≤对满足条件的β恒成立，然后用二次函数的性质求22()sin sin 3βββ=--f 的最大值即可。
2019-2020年高一下学期第二次月考数学试题 含答案
2019-2020年高一下学期第二次月考数学试题 含答案一、选择题：每小题4分，共32分1.有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗小玻璃球，若小球落在阴影部分，则可中奖，要想中奖机会最大，应选择的游戏盘是 ()2.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）A ．至少有１个黑球与都是黑球B ．至少有１个黑球与至少有１个红球C ．恰有１个黑球与恰有２个红球D ．至少有１个黑球与都是红球 3.如果执行右面的程序框图，那么输出的（ ） A ．2400 B ．2450 C ．2500 D ．2550 4.不等式的解集为( ) A ． B ． C ． D ．5.各项都是正数的等比数列中，成等差数列，则的值为（ ） A ． B ． C ． D ．或6.三角形的某两边之差为，这两边夹角的余弦值为，面积为，那么此三角形的这两边长分别是（ ） A. B ． C ． D ．7.下列函数中，最小值为6的是（ ） A ． B ．C ．)0(sin 9sin π<<+=x xx yD ． 8.已知函数21()ln()f x mx mx =-++的定义域为，则实数的范围为 ( )A ． B. C ． D ．二、填空题：每小题5分，共 40分.9．完成下列进位制之间的转化：101101（2）＝_________（10）10.某学院的A ，B ，C 三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本。
已知该学院的A 专业有380名学生，B 专业有420名学生，则在该学院的C 专业应抽取____名学生.11.下图为80辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图, 则时速大于60的汽车大约有____辆．12.一个算法的程序框图如右图所示，则该程序输出的结果为______________.13.甲、乙两人在10天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如下图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，则这10天甲、乙两人日加工零件的平均数分别为 和.14.设.11120,0的最小值，求且yx y x y x +=+>> ． 15.已知数列的通项公式为，若数列是递增数列，则实数的取值范围是____________. 16.下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程 .参考公式:回归方程为其中1221ni ii nii x y nx yb xnx==-=-∑∑,三、解答题(每小题12分，共48分)17．一个盒子中装有张卡片，每张卡片上写有个数字，数字分别是、、、．现从盒子中随机抽取卡片．（I ）若一次抽取张卡片，求张卡片上数字之和大于的概率；（II ）若第一次抽张卡片，放回后再抽取张卡片，求两次抽取中至少一次抽到数字的概率.请 把 答 案 写 在 答 题 纸 上18．已知函数2()cos 2cos 1f x x x x =-+（Ⅰ）求函数的最小正周期及单调递增区间； （Ⅱ）在中，若,，，求的值.请 把 答 案 写 在 答 题 纸 上19．在中，内角对边的边长分别是，已知，． （Ⅰ）若的面积等于，求； （Ⅱ）若，求的面积．请 把 答 案 写 在 答 题 纸 上20．数列满足递推式，且． （Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若存在实数使为等差数列，求的值及的通项公式； （Ⅲ）求的前项和．请 把 答 案 写 在 答 题 纸 上答题纸9. 10. 11. 12.13. 14. 15. 16.4小题，满分80分.（本大题12分）18. （本大题12分）19.（本大题12分）20. （本大题12分）天津市第一百中学xx--xx第二学期第二次月考试卷答案高一历史陈静一．选择题17~21 ADBDA 22~26 DCCCD 27~31 BDDCA 32~36 ABABB 37~41 BBBDA1.材料题2.整顿银行（美元贬值，刺激出口），复兴工业（《全国工业复兴法》）将生产的各个环节至于国家监督之下，调整农业生产（政府补贴，减耕减产），以工代赈（6分）3.新经济政策：利用商品和货币关系进行社会主义建设（1分）罗斯福新政：开创出国家干预经济的新模式（国家垄断资本主义）（1分）4.国际货币基金组织，世界银行，关税和贸易总协定（3分）5.国家垄断资本主义的发展，建立福利国家，第三产业的兴起，新经济的出现（4分）6.7.8.2019-2020年高一下学期第二次月考数学试题 无答案(I)宋继来一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分) 1．sin ⎝⎛⎭⎫－196π的值等于( )．A.12 B ．－12 C.32D ．－322．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是( )A ．2B ．C ．D ．3．有20位同学，编号从1至20，现在从中抽取4人作问卷调查，用系统抽样方法确定所抽的编号为( )A.5，10，15，20B.2，6，10，14C.2，4，6，8D.5，8，11，14 4．在下列各图中，每个图的两个变量具有相关关系的图是（ ）（1） （2） （3） （4） A ．（1）（2） B ．（1）（3） C ．（2）（4） D ．（2）（3）5．三角函数y ＝sin x2是( )．A ．周期为4π的奇函数B ．周期为π2的奇函数C ．周期为π的偶函数D ．周期为2π的偶函数6、ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为( ).A B C D7．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，则该函数的表达式为( )． A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋56π B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －56π C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 8. 已知正方形ABCD 的边长为1， 则= ( ) A . 0 B . 2 C . D .9.要得到的图象，只需将y =3sin2x 的图象 ( ) A . 向左平移个单位 B . 向右平移个单位C . 向左平移个单位D . 向右平移个单位 10.如果点位于第三象限，那么角所在象限是（ ）Ａ.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 11. 函数的图象的一条对称轴方程是 （ ）A ．B ．C ．D ． 12.函数是 （ ） A ．上是增函数 B ．上是减函数 C ．上是减函数 D ．上是减函数 二．填空题（共4小题，每题5分,共计20分）13.已知=a ， =b ，若||=12，||=5，且∠AOB =90°，则|a -b |=14.某校高中部有三个年级，其中高三有学生1000人，现采用分层抽样法抽取一个容量为185的样本，已知在高一年级抽取了75人，高二年级抽取了60人，则高中部共有学生 人。
2019-2020学年北京市首师大附中高一(下)第二次月考数学试卷
2019-2020学年北京市首师大附中高一（下）第二次月考数学试卷试题数：21.满分：1501.（单选题.4分）函数f(x)=x+1|x+1|log a|x|（0＜a＜1）的图象的大致形状是（）A.B.C.D.2.（单选题.4分）用二分法求函数f（x）=log2x+a-2x零点的近似值时.如果确定零点所处的初始区间为（14 . 12）.那么a的取值范围为（）A.（-∞.2）B.（52.+∞）C.（2. 52）D.（-∞.2）∪（52.+∞）3.（单选题.4分）已知二次函数f（x）=x2+bx+c.若对任意的x1.x2∈[-1.1].有|f（x1）-f（x2）|≤6.则b的取值范围是（）A.[-5.5]B.[-4.4]C.[-3.3]D.[-2.2]4.（单选题.4分）若集合A={l.2.3.4.5}.B={x|x＜3}.则A∩（∁R B）=（）A.{4.5}B.{3.4.5}C.{1.2.3}D.{1.2}5.（单选题.4分）函数y=√4x2−1+√1−4x2的定义域为（）A. {x|x≥12或x≤−12}B. {−12，12}C. (−12，12)D. {12}6.（单选题.4分）设集合P={m|-1＜m≤0}.Q={m|mx2+4mx-4＜0对任意x恒成立}.则P与Q 的关系是（）A.P⊆QB.Q⊆PC.P=QD.P∩Q=∅7.（单选题.4分）已知α是第二象限的角.角β终边经过点P（sinα.cosα）.则β为第几象限的角（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限8.（单选题.4分）已知a=log1314. 5b=14. c=613 .则（）A.a＞b＞cB.a＞c＞bC.c＞a＞bD.b＞c＞a9.（单选题.4分）已知正实数a.b满足a+b=2.则1a +2b的最小值为（）A. 3+2√22B.3C. 32D. 3+2√210.（单选题.4分）如图.A、B两点在双曲线y=4x上.分别经过A、B两点向坐标轴作垂线段.已知S阴影=1.则S1+S2等于（）A.6B.5C.4D.311.（填空题.5分）已知向量a⃗=(2，1)，b⃗⃗=(x，−1) .且a⃗−b⃗⃗与b⃗⃗共线.则x的值为___ ．12.（填空题.5分）若a10= 12 .a m= √22.则m=___ ．13.（填空题.5分）如图（1）是反映某条公共汽车线路收支差额（即营运所得票价收入与付出成本的差）y与乘客量x之间关系的图象．由于目前该条公交线路亏损.公司有关人员提出了两种调整的建议.如图（2）（3）所示．给出下列说法：① 图（2）的建议是：提高成本.并提高票价；② 图（2）的建议是：降低成本.并保持票价不变；③ 图（3）的建议是：提高票价.并保持成本不变；④ 图（3）的建议是：提高票价.并降低成本．其中所有说法正确的序号是___ ．14.（填空题.5分）计算：(1+2i)2=___ ．3−4i15.（填空题.5分）已知函数y=a x-2+2（a＞0且a≠1）恒过定点（m.n）.则m+n=___+m，x∈R，m为常数．16.（问答题.14分）设f(x)=22x+1（1）若f（x）为奇函数.求实数m的值；（2）判断f（x）在R上的单调性.并用单调性的定义予以证明；（3）求f（x）在（-∞.1]上的最小值．17.（问答题.14分）有一块铁皮零件.其形状是由边长为30cm的正方形截去一个三角形ABF 所得的五边形ABCDE.其中AF=8cm.BF=6cm.如图所示．现在需要用这块材料截取矩形铁皮DMPN.使得矩形相邻两边分别落在CD.DE上.另一顶点P落在边CB或BA边上．设DM=xcm.矩形DMPN的面积为ycm2．（1）试求出矩形铁皮DMPN的面积y关于x的函数解析式.并写出定义域；（2）试问如何截取（即x取何值时）.可使得到的矩形DMPN的面积最大？18.（问答题.14分）已知函数f（x）=cos2x-sin2x+2 √3 sinxcosx．）的值和函数f（x）的最小正周期；（Ⅰ）求f（π12（Ⅱ）求f（x）的单调递减区间及最大值.并指出取得最大值时x的取值集合．19.（问答题.15分）解关于x的不等式ax2-2≥2x-ax（a∈R）．20.（问答题.14分）已知f（x）=2+log4x.x∈[1.16].函数g（x）=[f（x）]2+f（x2）．（1）求函数g（x）的定义域；（2）求函数g（x）的最大值及此时x的值．＞0的解集为R”.q：“函数f（x）=x-21.（问答题.14分）设p：“关于x的不等式x2-ax+a+ 54）x+a在区间（-1.2）上有零点”（12（1）若q为真.求实数a的取值范围；（2）若p∧q为假.p∨q为真.求实数a的取值范围．2019-2020学年北京市首师大附中高一（下）第二次月考数学试卷参考答案与试题解析试题数：21.满分：150log a|x|（0＜a＜1）的图象的大致形状是（）1.（单选题.4分）函数f(x)=x+1|x+1|A.B.C.D.【正确答案】：C【解析】：利用特殊点的坐标.排除判断函数的图象即可．【解答】：解：函数f(x)=x+1|x+1|log a|x|（0＜a＜1）当x= 1a＞1时.f（x）=-1.排除选项A、B．当x=-a时.f（x）=1.排除选项D.故选：C．【点评】：本题考查函数的图象的判断.函数与方程的应用.直接求解.解题的过程比较复杂.判断函数的图象的题目常用间接法．2.（单选题.4分）用二分法求函数f（x）=log2x+a-2x零点的近似值时.如果确定零点所处的初始区间为（14 . 12）.那么a的取值范围为（）A.（-∞.2）B.（52.+∞）C.（2. 52）D.（-∞.2）∪（52.+∞）【正确答案】：C【解析】：若零点所处的初始区间为（14 . 12）.则f（14）f（12）＜0.解得a的取值范围．【解答】：解：若零点所处的初始区间为（14 . 12）.则f（14）f（12）=（-2+a- 12）（-1+a-1）＜0.解得：a∈（2. 52）.故选：C．【点评】：本题考查的知识点是函数零点的存在定理.二次不等式的解法.是函数和不等式的简单综合应用．3.（单选题.4分）已知二次函数f（x）=x2+bx+c.若对任意的x1.x2∈[-1.1].有|f（x1）-f（x2）|≤6.则b的取值范围是（）A.[-5.5]B.[-4.4]C.[-3.3]D.[-2.2]【正确答案】：C【解析】：若对任意的x1.x2∈[-1.1].有|f（x1）-f（x2）|≤6.则当x1.x2∈[-1.1].函数值的极差不大于6.进而可得答案．【解答】：解：∵二次函数f（x）=x2+bx+c= (x+b2)2+c- b24.对称轴x=- b2.① - b2＜-1即b＞2时.函数在[-1.1]递增.f（x）min=f（-1）=1-b+c.f（x）max=f（1）=1+b+c. 故f（-1）-f（1）=-2b.|f（1）-f（-1）|=|2b|≤6.解得：2＜b≤3.② - b2＞1时.即b＜-2时.函数在[-1.1]递减.f（x）max=f（-1）=1-b+c.f（x）min=f（1）=1+b+c. |f（1）-f（-1）|=|2b|≤6.解得：-3≤b＜-2.③ 当-1≤- b2≤1.即-2≤b≤2时.|f（1）-f（- b2）|≤6.且|f（-1）-f（- b2）|≤6.即| b 24+b+1|≤6.且| b24-b+1|≤6.解得：2-2 √6≤b≤-2+2 √6 .又-2≤b≤2.故b的取值范围是[-2.2].综合① ② ③ .得：-3≤b≤3.故选：C．【点评】：本题考查的知识点是二次函数的图象和性质.熟练掌握二次函数的图象和性质.是解答的关键．4.（单选题.4分）若集合A={l.2.3.4.5}.B={x|x＜3}.则A∩（∁R B）=（）A.{4.5}B.{3.4.5}C.{1.2.3}D.{1.2}【正确答案】：B【解析】：由集合的补集得：∁R B={x|x≥3}.由集合的交集得：A∩（∁R B ）={3.4.5}.得解．【解答】：解：因为B={x|x ＜3}.所以∁R B={x|x≥3}.又因为A={l.2.3.4.5}.所以A∩（∁R B ）={3.4.5}.故选：B ．【点评】：本题考查了集合的交、并、补的混合运算.属简单题．5.（单选题.4分）函数 y =√4x 2−1+√1−4x 2 的定义域为（ ）A. {x|x ≥12或x ≤−12}B. {−12，12}C. (−12，12)D. {12}【正确答案】：B【解析】：由根式内部的代数式大于等于0联立不等式组求解．【解答】：解：要使原函数有意义.则 {4x 2−1≥01−4x 2≥0 .即4x 2-1=0.得x= ±12 ． ∴函数 y =√4x 2−1+√1−4x 2 的定义域为{ −12 . 12 }．故选：B ．【点评】：本题考查函数的定义域及其求法.是基础的计算题．6.（单选题.4分）设集合P={m|-1＜m≤0}.Q={m|mx 2+4mx-4＜0对任意x 恒成立}.则P 与Q 的关系是（ ）A.P⊆QB.Q⊆PC.P=QD.P∩Q=∅【正确答案】：C【解析】：首先化简集合Q.mx 2+4mx-4＜0对任意实数x 恒成立.则分两种情况： ① m=0时.易知结论是否成立 ② m ＜0时mx 2+4mx-4=0无根.则由△＜0求得m 的范围．【解答】：解：Q={m∈R|mx2+4mx-4＜0对任意实数x恒成立}.对m分类：① m=0时.-4＜0恒成立；② m＜0时.需△=（4m）2-4×m×（-4）＜0.解得-1＜m＜0．综合① ② 知m≤0.所以Q={m∈R|-1＜m≤0}．因为P={m|-1＜m≤0}.所以P=Q．故选：C．【点评】：本题通过集合关系来考查函数中的恒成立问题.容易忽略对m=0的讨论.应引起足够的重视．7.（单选题.4分）已知α是第二象限的角.角β终边经过点P（sinα.cosα）.则β为第几象限的角（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【正确答案】：D【解析】：先根据α所在的象限.判断出sinα.cosα的取值范围.由此判断出P点坐在象限.进而求得β所在象限．【解答】：解：由于α是第二象限角.所以sinα＞0.cosα＜0.所以P在第四象限.故β为第四象限角．故选：D．【点评】：本小题主要考查三角函数在各个象限的符号.属于基础题．8.（单选题.4分）已知a=log1314. 5b=14. c=613 .则（）A.a＞b＞cB.a＞c＞bC.c＞a＞bD.b＞c＞a【正确答案】：C【解析】：首先将b 表示为对数的形式.判断出b ＜0.然后利用中间值以及对数、指数函数的单调性比较 32 与a.c 的大小.即可得到a.b.c 的大小关系．【解答】：解：因为 5b =14 .所以 b =log 514＜log 51=0 . 又因为 a =log 1314=log 34∈(log 33，log 33√3) .所以 a ∈(1，32) .又因为 c =613∈(((32)3)13，813) .所以 c∈(32，2) .所以c ＞a ＞b ． 故选：C ．【点评】：本题考查利用指、对数函数的单调性比较大小.难度一般．利用指、对数函数的单调性比较大小时.注意数值的正负.对于同为正或者负的情况可利用中间值进行比较.考查了推理能力与计算能力.属于基础题．9.（单选题.4分）已知正实数a.b 满足a+b=2.则 1a +2b 的最小值为（ ） A.3+2√22B.3C. 32 D. 3+2√2 【正确答案】：A【解析】：利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】：解：∵正实数a.b 满足a+b=2. 则 1a +2b = 12(a +b )(1a +2b ) = 12(3+ba +2ab ) ≥ 12(3+2√ba•2a b ) = 12(3+2√2) .当且仅当b=2a=4（ √2 -1）时取等号． 因此最小值为 3+2√22． 故选：A ．【点评】：本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质.考查了推理能力与计算能力.属于中档题． 10.（单选题.4分）如图.A 、B 两点在双曲线 y =4x 上.分别经过A 、B 两点向坐标轴作垂线段.已知S阴影=1.则S 1+S 2等于（ ）A.6B.5C.4D.3【正确答案】：A【解析】：根据反比例函数的解析式可得xy=4.由此求得两个矩形的面积.用总面积减去叠加起来的两个阴影部分的面积.求得S1+S2的值．【解答】：解：根据题意.点A、B是双曲线y=4x上的点.分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段.则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于4.所以S1+S2=4+4-1×2=6.故选：A．【点评】：本小题主要考查反比例函数的图象与性质.考查矩形面积的计算.属于基础题．11.（填空题.5分）已知向量a⃗=(2，1)，b⃗⃗=(x，−1) .且a⃗−b⃗⃗与b⃗⃗共线.则x的值为___ ．【正确答案】：[1]-2【解析】：根据平面向量的坐标运算以及两向量共线的坐标表示.列出方程求出x的值．【解答】：解：∵向量a⃗=(2，1)，b⃗⃗=(x，−1) .∴ a⃗ - b⃗⃗ =（2-x.2）.又a⃗−b⃗⃗与b⃗⃗共线.∴（2-x）×（-1）-2x=0.解得x=-2．故答案为：-2．【点评】：本题考查了平面向量的坐标运算问题.是基础题目．12.（填空题.5分）若a10= 12 .a m= √22.则m=___ ．【解析】：利用指数与对数的互化.直接求解m的值即可．【解答】：解：a10= 12 .a m= √22= (12)12 .可得12=a2m．即2m=10.解得m=5．故答案为：5．【点评】：本题考查对数与指数的运算法则的应用.考查转化思想以及计算能力．13.（填空题.5分）如图（1）是反映某条公共汽车线路收支差额（即营运所得票价收入与付出成本的差）y与乘客量x之间关系的图象．由于目前该条公交线路亏损.公司有关人员提出了两种调整的建议.如图（2）（3）所示．给出下列说法：① 图（2）的建议是：提高成本.并提高票价；② 图（2）的建议是：降低成本.并保持票价不变；③ 图（3）的建议是：提高票价.并保持成本不变；④ 图（3）的建议是：提高票价.并降低成本．其中所有说法正确的序号是___ ．【正确答案】：[1] ② ③【解析】：根据题意知图象反应了收支差额y与乘客量x的变化情况.即直线的斜率说明票价问题；当x=0的点说明公司的成本情况.再结合图象进行说明．【解答】：解：根据题意和图（2）知.两直线平行即票价不变.直线向上平移说明当乘客量为0时.收入是0但是支出的变少了.即说明了此建议是降低成本而保持票价不变；故② 正确；由图（3）看出.当乘客量为0时.支出不变.但是直线的倾斜角变大.即相同的乘客量时收入变大.即票价提高了.即说明了此建议是提高票价而保持成本不变.故③ 正确故答案为：② ③ ．【点评】：本题考查了用函数图象说明两个量之间的变化情况.主要根据实际意义进行判断.考查了读图能力和数形结合思想.解题的关键是对图形的理解．14.（填空题.5分）计算：(1+2i)23−4i=___ ．【解析】：根据复数乘法法则.分子展开化简得-3+4i.代入原式整理即可得到所要求的值．【解答】：解：∵（1+2i）2=1+4i+4i2=-3+4i∴ (1+2i)23−4i = −3+4i3−4i= −(3−4i)3−4i=-1故答案为：-1【点评】：本题给出一个复数表达式.通过对它的化简求值.考查了复数的概念与四则运算等知识.属于基础题．15.（填空题.5分）已知函数y=a x-2+2（a＞0且a≠1）恒过定点（m.n）.则m+n=___【正确答案】：[1]5【解析】：令指数函数的幂指数等于零.求出x.y的值.可得指数函数的图象经过定点的坐标.从而得出结论．【解答】：解：对于函数y=a x-2+2（a＞0且a≠1）.令x-2=0.求得x=2.y=3.可得它的图象恒过定点（2.3）．再根据它的图象恒过定点（m.n）.则m+n=2+3=5.故答案为：5．【点评】：本题主要考查指数函数的单调性和特殊点.函数的图象经过定点问题.属于基础题．16.（问答题.14分）设f(x)=22x+1+m，x∈R，m为常数．（1）若f（x）为奇函数.求实数m的值；（2）判断f（x）在R上的单调性.并用单调性的定义予以证明；（3）求f（x）在（-∞.1]上的最小值．【正确答案】：【解析】：（1）法一：由函数f（x）为奇函数.f（0）=0求出m．法二：利用函数f（x）为奇函数.通过f（-x）=-f（x）.化简求解可得m=-1．（2）证明：任取x1.x2∈R.且x1＜x2.利用单调性的定义.证明f（x1）＞f（x2）即可．（3）利用函数f（x）在（-∞.+∞）上为减函数.求解函数的最小值．【解答】：解：（1）法一：由函数f（x）为奇函数.得f（0）=0即m+1=0. 所以m=-1…（4分）法二：因为函数f（x）为奇函数.所以f（-x）=-f（x）.即f（-x）+f（x）=0…（2分）∴ f(−x)+f(x)=(m+22−x+1)+(m+22x+1)=2m+(212x+1+22x+1) = 2m+(2•2x1+2x+22x+1)=2m+2•(2x+1)1+2x=2m+2=0 .所以m=-1…（4分）（2）证明：任取x1.x2∈R.且x1＜x2…（5分）则有f(x1)−f(x2)=(m+22x1+1)−(m+22x2+1)=22x2+1−22x1+1=2•(2x2−2x1)(2x1+1)•(2x2+1)…（8分）∵x1＜x2.∴ 2x1−2x2＜0 .∴ 2x2+1＞0 .∴ 2x1+1＞0 .f（x1）-f（x2）＞0.即f（x1）＞f（x2）…（9分）所以.对任意的实数m.函数f（x）在（-∞.+∞）上是减函数…（10分）（3）∵函数f（x）在（-∞.+∞）上为减函数.∴函数f（x）在（-∞.-1]上为减函数.…（11分）∴当x=-1时. f(x)min=f(−1)=43+m…（12分）【点评】：本题考查函数的奇偶性以及函数的单调性的综合应用.函数的最值的求法.考查转化思想以及计算能力．17.（问答题.14分）有一块铁皮零件.其形状是由边长为30cm的正方形截去一个三角形ABF 所得的五边形ABCDE.其中AF=8cm.BF=6cm.如图所示．现在需要用这块材料截取矩形铁皮DMPN.使得矩形相邻两边分别落在CD.DE上.另一顶点P落在边CB或BA边上．设DM=xcm.矩形DMPN的面积为ycm2．（1）试求出矩形铁皮DMPN的面积y关于x的函数解析式.并写出定义域；（2）试问如何截取（即x取何值时）.可使得到的矩形DMPN的面积最大？【正确答案】：【解析】：（1）依据题意并结合图形.可知：10当点P 在线段CB 上；20当点P 在线段BA 上.分别求解函数的解析式．（2）利用（1）知.当0＜x≤24时.当24＜x≤30时.分别求解函数的最大值即可【解答】：解：（1）依据题意并结合图形.可知： 10当点P 在线段CB 上.即0＜x≤24时.y=30x ； 20当点P 在线段BA 上.即24＜x≤30时. 由PQ ：QA=BF ：FA.得QA=40- 43 x ． 于是.y=DM•PM=DM•EQ=62x - 43 x 2．所以.y= {30x ，0＜x ≤2462x −43x 2，24＜x ≤30.定义域D=（0.30]． （2）由（1）知.当0＜x≤24时.0＜y≤720； 当24＜x≤30时.y=62x- 43 x 2=- 43 （x- 934 ）2+ 28834 ≤ 28834. 当且仅当x= 934 时.等号成立． 但 934 ∉（24.30].故当x=24时.y 的最大值为720.答：先在DE 上截取线段DM=24cm.所得矩形面积最大.最大面积为720cm 2．【点评】：本题考查函数的实际应用.函数的最值的求法.分段函数的解析式以及最值的求解.考查计算能力．18.（问答题.14分）已知函数f（x）=cos2x-sin2x+2 √3 sinxcosx．（Ⅰ）求f（π12）的值和函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）的单调递减区间及最大值.并指出取得最大值时x的取值集合．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）利用二倍角公式.平方关系.两角和的正弦函数.化简函数为一个角的一个三角函数的形式.然后直接求出最小正周期.（Ⅱ）根据三角函数的图象和性质.即可求函数f（x）的最大值.单调增区间．【解答】：解：（Ⅰ）f（x）=cos2x-sin2x+2 √3 sinxcosx= √3 sin2x+cos2x=2sin（2x+ π6）；则函数的周期T= 2π2=π；函数的最小正周期为π.f（π12）=2sin（2× π12+ π6）=2sin π3= 2×√32=√3；（Ⅱ）当sin（2x+ π6）=1.即2x+ π6= π2+2kπ.k∈Z.即x= π6+kπ.此时函数取得最大值y max=2；函数的最大值为2；最大值时x的取值集合为{x|x= π6+kπ.k∈Z}．③ 由π2+2kπ≤2x+ π6≤2kπ +3π2.k∈Z.即π6+kπ≤x≤ 2π3+kπ.k∈Z.∴函数的单调递减区间为：[ π6+kπ. 2π3+kπ].k∈Z．【点评】：本题考查三角函数的最值.三角函数的周期性及其求法.正弦函数的单调性.考查计算能力.此类题目的解答.关键是基本的三角函数的性质的掌握熟练程度．19.（问答题.15分）解关于x的不等式ax2-2≥2x-ax（a∈R）．【正确答案】：【解析】：对a分类：a=0.a＞0.-2＜a＜0.a=-2.a＜-2.分别解不等式.求解取交集即可．【解答】：解：原不等式变形为ax 2+（a-2）x-2≥0． ① a=0时.x≤-1；② a≠0时.不等式即为（ax-2）（x+1）≥0. 当a ＞0时.x≥ 2a 或x≤-1； 由于 2a -（-1）=a+2a .于是 当-2＜a ＜0时. 2a≤x≤-1； 当a=-2时.x=-1； 当a ＜-2时.-1≤x≤ 2a ．综上.当a=0时.x≤-1；当a ＞0时.x≥ 2a 或x≤-1；当-2＜a ＜0时. 2a ≤x≤-1； 当a=-2时.x=-1；当a ＜-2时.-1≤x≤ 2a ．【点评】：本题考查不等式的解法.考查分类讨论思想.是中档题．20.（问答题.14分）已知f （x ）=2+log 4x.x∈[1.16].函数g （x ）=[f （x ）]2+f （x 2）． （1）求函数g （x ）的定义域；（2）求函数g （x ）的最大值及此时x 的值．【正确答案】：【解析】：（1）由已知f （x ）的定义域及复合函数的定义域的求解可知. {1≤x ≤161≤x 2≤16 .解不等式可求（2）由已知可求g （x ）=[f （x ）]2+f （x 2）.结合二次函数的性质可求函数g （x ）的最值及相应的x ．【解答】：解：（1）∵f （x ）=2+log 4x.x∈[1.16].g （x ）=[f （x ）]2+f （x 2）． 由题意可得. {1≤x ≤161≤x 2≤16 .解可得.1≤x≤4即函数g （x ）的定义域[1.4]； （2）∵f （x ）=2+log 4x.x∈[1.16].∴g （x ）=[f （x ）]2+f （x 2）=（2+log 4x ）2+2+log 4x 2=log 42x+6log 4x+6设t=log 4x.则t∈[0.1].而g （t ）=t 2+6t+6=（t+3）2-3在[0.1]单调递增. 当t=1即x=4时.函数有最大值13．【点评】：本题主要考查了对数函数的性质.二次函数闭区间上的最值求解.及复合函数的定义域的求解.本题中的函数g （x ）的定义域是容易出错点．21.（问答题.14分）设p ：“关于x 的不等式x 2-ax+a+ 54 ＞0的解集为R”.q ：“函数f （x ）=x-（ 12 ）x +a 在区间（-1.2）上有零点” （1）若q 为真.求实数a 的取值范围；（2）若p∧q 为假.p∨q 为真.求实数a 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）根据函数零点的判断定理.进行求解即可．（2）根据p∧q 为假.p∨q 为真.得到p.q 中一真一假.然后进行讨论求解即可．【解答】：解：（1）q 为真.即f （x ）=x-（ 12 ）x +a 在区间（-1.2）上有零点. 即x+a= (12)x在（-1.2）上有解.设y 1=x+a. y 2=(12)x.则y 1为（-1.2）上的增函数.y 2为（-1.2）上的减函数.所以f （x ）在（-1.2）有且只有一个零点.所以f （-1）×f （2）＜0.即（a-3）（a+ 74 ）＜0. 所以- 74＜a ＜3 ．（2）若p 为真.则 a 2−4(a +54) ＜0.即a 2-4a+5＜0.解得-1＜a ＜5. 因为p∧q 为假.p∨q 为真.所以p.q 中一真一假. 若p 真q 假.则 {−1＜a ＜5a ≤−74或a ≥3 ⇒3≤a ＜5； 若p 假q 真.则 {a ≤−1或a ≥5−74＜a ＜3 ⇒- 74 ＜a≤-1；综上.a 的取值范围是（- 74 .-1]∪[3.5）．【点评】：本题主要考查复合命题真假关系的判断.求出命题为真命题的等价条件是解决本题的关键．。
【2019-2020】高一数学下学期第二次月考试题(含解析)
教学资料参考范本【2019-2020】高一数学下学期第二次月考试题（含解析）撰写人：__________________部门：__________________时间：__________________高一年级数学试卷一、选择题（每题只有一个选项正确，每题4分，共48分）1. 下列命题正确的是（）A. 若a、b都是单位向量，则a=bB. 若，则四点A、B、C、D构成平行四边形C. 若两向量a、b相等，则它们是始点、终点都相同的向量D. 与【答案】D【解析】分析：逐一分析即可.详解：A，单位向量长度相等，但方向不一定相同，故A不对；B，A，B，C，D四点可能共线，故B不对；C，只要方向相同且长度相等，则这两个向量就相等，与始点、终点无关，故C不对；D，因与方向相反，是平行向量，故D对故选：D.点睛：本题考查了向量相等和平行向量的定义，考查了对向量基础概念的理解和应用.2. 若是第二象限角，则化简的结果是（【答案】A【解析】分析：根据的范围，利用同角三角函数的基本关系化简所给的式子可得结果详解：故选：A.点睛：本题考查同角三角函数的基本关系的应用.3. 已知输入实数，执行如图所示的流程图，则输出的是（【答案】C【解析】分析：初始化数值，执行循环结构，判断条件，可得详解：初始化数值判断不成立，输出故选C.4. 已知为圆上的三点，若，圆的半径为，则（【答案】D【解析】分析：根据题意画出图形，结合图形得出四边形是菱形，且一内角为，由此求出的值详解：如图所示：又圆O的半径为2，故选：D.点睛：本题考查了平面向量的数量积应用问题.5. 设向量，且，则的值为（A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】，那么，解得，故选D6. 在中，，，，则在方向上的投影是（A. 4B. 3C. -4D. -3【答案】D【解析】分析：根据平面向量的数量积可得，再结合图形求出与方向上的投影即可详解：如图所示：故选：D.点睛：本题考查了平面向量的数量积以及投影的应用问题，也考查了数形结合思想的应用问题.7. 的单调递减区间为（【答案】C【解析】分析：利用诱导公式可得本题即求函数的单调递增区间.....................故选：C.点睛：本题主要考查诱导公式、正弦函数的增区间，体现了转化的数学思想.8. 将四位八进制中的最小数转化为六进制数为( )A. 2120(6)B. 3120(6)C. 2212(6)D. 4212(6)【答案】C【解析】四位八进制中的最小数为9. 已知则等于（【答案】C【解析】分析：首先根据条件得出，然后根据三角恒等变换公式即可.详解：点睛：本题考查三角恒等变换等知识，在解题的过程中关键在于角的拼凑，把用和来表示，体现了整体的思想10. 函数 ,若在区间上是单调函数,且则的值为（A. B. 或 C. D.【答案】B【解析】分析：由在区间是有单调性，可得范围，从而得；由，可得函数关于对称，又，有对称中心为；讨论与是否在同一周期里面相邻详解：因为在单调，∴，即，而；若，则；若，则是的一条对称轴，故选B.点睛：本题考查三角函数的周期性及其求法，确定与是否为同一周期11. 在中，，， .若，（），且，则的值为（【答案】A【解析】分析：根据题意画出图形，根据向量的加减的几何意义，再根据平面向量的数量积列出方程求出的值详解：如图所示：在中，，，（故选：A.点睛：(1)在数量积的基本运算中，经常用到数量积的定义、模、夹角等公式，尤其对(2)要注意向量运算律与实数运算律的区别和联系．在向量的运算中，灵活运用运算律，就会达到简化运算的目的．12. 已知向量与的夹角为，．若向量满足，则的最大值为（【答案】B【解析】设，由于与的夹角为，则可设，设，则，故向量的终点在以为圆心，为半径的圆上，的最大值为圆心到原点的距离加上半径，即，故选B【名师点睛】本题可根据已知条件构造坐标系，从而可求得的终点的二、填空题（每题5分，共20分）13. 在区间内任取两个数分别记为,则函数至少有一个零点的概率为【答案】【解析】分析：设区间内随机取两个数分别记为，对应区域为边长为的正方形，而使得函数有零点的范围是判别式，求出由几何概型的概率公式得到使得函数有零点的概率为：故答案为：点睛：应用几何概型求概率的方法建立相应的几何概型，将试验构成的总区域和所求事件构成的区域转化为几何图形，并加以度量．(1)一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在数轴上即可；(2)若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型；(3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系即可建立与体积有关的几何概型．14. 已知角的始边与轴的非负半轴重合，顶点与坐标原点重合，终边过点，则__________【答案】10.【解析】分析：首先利用三角函数的定义式，结合题中所给的角的终边所过的点的坐标求得，之后借助于同角三角函数关系式，将关于正余弦分式形式的式子上下同除，得到关于切的式子，代入求值即可得结果详解：根据角的终边过，利用三角函数的定义式，可以求得，所以有，故答案是点睛：该题考查的是有关利用角的正切值来求关于正余弦的分式形式的式子的值的问题，在解题的过程中，需要注意利用角的终边所过的点，结合三角函数的定义式求得正切值，之后对分式的分子分母上下同除，将其化为切的式子求解即可15. 如图，已知中，点在线段上，点在线段上，且满足，若，，则的值为__________【答案】-2.【解析】分析：利用数量积运算性质可得：利用向量共线定理及其三角形法则可得，再利用数量积运算性质即可得出详解：故答案为：-2.点睛：本题考查了数量积运算性质、向量共线定理及其三角形法则，考查了推理能力与计算能力.16. 给出下列命题：④设，若是平行四边形(为原点),其中正确命题的序号为__________．【答案】③④.【解析】分析：对选项逐一判断即可.对②，向量与的夹角是钝角，，即，解得，又，得，此时与反向，应对③，函数，，，当时，，所以③正确；对④，由题意得，，四边形是平行四边形，,，,，又，，，，所以④正确故答案为：③④.点睛：本题考查命题的真假判断与应用.三、解答题（共52分）17. 已知：三点,其中【答案】【解析】分析：（1）先求出的坐标，再根据向量共线得到的值；(2)，（Ⅱ）由得又1）本题主要考查向量的线性运算，考查向量共线和垂直的坐标表示，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力. (2) 如果=,=，则||的充要条件是,则18. 已知（1（2【答案】（1）sin α·cos α.（2）【解析】试题分析：（1）利用三角函数的诱导公式，即可化简得到；（2）由（1试题解析：(1)f(α)＝＝sin α·cos α.(2)由f(α)＝sin α·cos α＝可知，(cos α－sin α)2＝cos2α－2sin α·cos α＋sin2α＝1－2sin α·cos α＝1－2×＝又∵＜α＜，∴cos α＜sin α，即cos α－sin α＜0.∴cos α－sin α＝19. 已知函数的部分图像如图所示（1（2）若函数在上取得最小值时对应的角度为，求半径为2，圆心角为的扇形的面积【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）由图象观察，最值求出，周期求出，特殊点求出，所以；（2试题解析：(1)∵，∴根据函数图象，得又周期满足，∴.解得∴.故(2)∵函数的周期为，∴在上的最小值为由题意，角满足，即.解得∴半径为220. 将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象（Ⅱ）若对任意，【答案】（1）（【解析】分析：（1）根据图像变换得函数的解析式；（2）先求在值域，再转化研究对应二次不等式在恒成立，结合二次函数图像可得，解不等式可得实数的取值范围；(3)转化研究对应函数图像在一个周期详解：（Ⅰ）（Ⅱ）设设，所以的取值范围是. 注：该小题也可采用分离参数求解点睛：本题主要考查函数的图象变换规律，函数的恒成立问题21. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，三点满足（1）求证：（2）已知，，，且函数的最小值为，求实数的值【答案】（1）（2）【解析】分析：（1）证明三点共线，只需证明由三点中，任意两点形成的两个向量共线即可，原等式可转化为，可证明共线及求得比值；（2）利用向量的坐标运算，求得函数，对进行换元，利用一元二次函数的单调性可求得最小值为，得到关于的方程，解得的详解：（1）证明：又因为有公共点B， A,B,C三点共线（2设，②当③当，意.综上可知，点睛：考查向量减法的几何意义，向量的数乘运算，共线向量基本定理，根据点的坐标求向量的坐标，以及向量数量积的坐标运算.。
北京市首都师范大学附属中学2020年高一年级第二学期期中考试数学试卷(PDF版无答案)
D．本市明天肯定下雨
内
3．在 ABC 中，三个内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若 a 2 ，b 3 ，cos C 1 ， 4
请 则 c 等于（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
勿 4．若复数 z =i(4+3i)，（i 是虚数单位）则 z ＝（ ）.
A． 13
答
B．5
C．7
D．25
5．在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 A : B : C 1: 2 : 3 ，则 a : b : c
26．（本小题 12 分）实数 m 取何值时,复数 z m(m 1) (m2 2m 3)i（i 是虚数单位）．
(1)为实数； (2)与复数 6－3i 相等
27．（本小题 12 分）甲、乙两人各掷一个均匀的骰子，观察朝上的面的点数，记事件 A： 甲得到的点数为 2，B：乙得到的点数为奇数.
（1）求 P( A) ， P(B) ， P( AB) ，判断事件 A 与 B 是否相互独立； （2）求 P(AB) .
项中，只有一项是最符合题目要求的）
密
1．若|
a
|=|
b
|，那么要使
a
=
b
，两向量还需要具备
(
)
A．方向相反 封
C．共线
B．方向相同 D．方向任意
2．气象台预报“本市明天降雨概率是 70%”，下列说法正确的是（
）
线
A．本市明天将有 70%的地区降雨
B．本市明天将有 70%的时间降雨
C．本市明天下雨的可能性很大
题 等于（ ）
A．1: 3 : 2
B．1: 2 : 3
C． 2 : 3 :1
北京市首都师范大学附属中学永定分校2019-2020 学年度高一下学期数学期中练习
首师大附中永定分校高一期中练习
（总分 120 分，考试时间：90 分钟）
2020.05
一、选择题：本题共 10 小题，每题 4 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合要求的. 1、 cos 45 cos15 sin 45 sin15 =
（）
A. 3
（Ⅱ）若 cos( 3 ) 1 , 且 是第三象限角，求 f ( ) 25
19、（本题满分 12 分）已知函数 f (x) 2 sin(2x ) 6
（Ⅰ）在给定直角坐标系中用五点法作出 f (x) 在一个周期内的图像（列表写在表格里）；
（Ⅱ）求函数 f (x) 的最小正周期；
（Ⅲ）求函数
f
(x)
在区间
0,
2
上的最大值和最小值以及对应的
x
值。
x
u 2x 6
y sin u f (x) 2sin(2x )6来自第3页共4页y
2
1
0
x
2
20、（本小题满分 12 分）
已知函数 f (x) sin 2 x （Ⅰ）求 的值；
3 sin x cosx(
0) 图像的两个相邻对称轴的距离为
（） （）
A.2
B.3
C.4
D.5
10、如果函数 f (x) 是定义在（-3,3）上的奇函数，当 0<x<3 时，函数 f (x) 的图
像如图所示，那么不等式 f (x) sin(x ) 0 的解集是 2
（）
A.(
,1)
(0,1)
(
,3)
2
2
B.(3,
)
(0,1)
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2019-2020学年北京市首都师范大学附属中学高一下学期期中考试数学(A)试题解析
2绝密★启用前2019-2020 学年北京市首都师范大学附属中学高一下学期期中考试数学（ A ）试题两角差的正切公式求解．点评： 解答本题的关键是根据条件进行适当的三角恒等变换，得到 考查变换能力和运算能力，属于基础题．2．已知 x 0,y 0,2x y 2, 则 xy 的最大值为（）答案： A条件中的式子两边平方，得224sin 4sin cos cos 即 3sin 24sin cos32，所以 3sin 24sin cos3 2 2sin cos2，即 3tan 28tan 3 0，解得 tan3 或 tan1，32tan3，所以tan221 tan 24tan21故 tan 27．4 1 tan2解：5 2故选 B ． 1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2 、请将答案正确填写在1．已知R, 2sincos 10 ，则 tan(224 43A ．B ． 7C ．34答案： B1D ．723tan 28tan3 0 ，解得 tan 后再根据tan 后再根据公式求解，A ．B ．1C ．D ．14注意事项： 答题卡上 、单选将条件中所给的式子的两边平方后化简1 0B．4化简 xy = （ 2x ?y ），再利用基本不等式求最大值得解2解：解：∵ x>0， y>0，且 2x +y =2， 1 2x y 1 112（ 2x2 y）2=21，当且仅当 x =12，y =1 时取等号，故选： A 点评：本题主要考查基本不等式求最值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平A 2,5 ，B 2,3,4 ，则 A e U B (答案： C故选 C ． 点评：本题考查补集与并集的混合运算， 求解时根据集合运算的定义进行求解即可， 属于基础题． 4． 已知函数f (x)log 2 x,x 3x,x，则 f[ f的值是（ ）A ．C ．．3∴ xy = 1( 2x ?y)≤2故则 xy 的最大值为1，23．设 U 1,2,3,4,5 ， A ． 5B ．1,2,3,4,5 C ． 1,2,5D ．先求出 e U B ，再求出 A e U B 即可．解： ∵U 1,2,3,4,5 ,B 2,3,4 ，∴ e U B 1,5 ，∴Ae U B1,2,5 ．答案： C1 12 1 试题分析：根据分段函数解析式可知 f( ) log 22， f 2 3 2 ，所以f[ f(14)] 19，故选 C.【考点】分段函数 .5．已知 a 、b 为实数，则 2a2b 是 log 2 a log 2 b 的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案： B分别解出 2a 2b， log 2 a log 2 b 中a ， b 的关系，然后根据 a ，b 的范围，确定充 分条件，还是必要条件． 解： 解：Q2a 2b， ab当 a 0或 b 0时，不能得到 log 2a log 2 b ， 反之由 log 2a log 2 b 即： a b 0可得 2a2b成立． 故 2a2b是log 2a log 2 b 的必要不充分条件 故选： B ． 点评：本题考查对数函数的单调性与特殊点，必要条件、充分条件与充要条件的判断，是基础 题．答案： D解：6．已知集合 x|x 2x 12 0 ,N x| 4 x 5 ，则 M I N ( )A ． RB ． 3,4)C ． (4,5)D ．4, 3) (4,5)解一元二次不等式求得集合，由此求得2由 x 2x 12 x 4 x 30，解得 x 3或 x 4，即M所以M N ( 4, 3) (4,5) .故选：D.点评：本小题主要考查交集的概念和运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题. 7．高铁、扫码支付、共享单车、网购被称为中国的“新四大发明” ，为评估共享单车的使用情况，选了n 座城市作实验基地，这n座城市共享单车的使用量(单位：人次/ 天) 分别为x1，x2 ，⋯，x n ，下面给出的指标中可以用来评估共享单车使用量的稳定程度的是( )A．x1，x2 ，⋯，x n的标准差B．x1，x2，⋯，x n的平均数C．x1，x2 ，⋯，x n的最大值D．x1，x2，⋯，x n的中位数答案：A 利用方差或标准差表示一组数据的稳定程度可得出选项. 解：表示一组数据的稳定程度是方差或标准差，标准差越小，数据越稳定故选：A点评：本题考查了用样本估计总体，需掌握住数据的稳定程度是用方差或标准差估计的，属于基础题.8．集合 A={ x| x2 2x 3 0}，B={ x| x2 4 0}，则AI (e R B) = ( )A．[-2,-1] B．[-1,2 ) C．[-1,1] D．[1,2 )答案：AA {x|x 1或x 3}，B {x|x 2或x 2}，e R B {x| 2 x 2},∴ A e R B =[-2,-1].9．某位居民站在离地20m高的阳台上观测到对面小高层房顶的仰角为60o，小高层底部的俯角为45o，那么这栋小高层的高度为( )C．10 2 6 mA．20 B．20 1 3 mD．20 2 6 m答案：B3根据题意作出简图，根据已知条件和三角形的边角关系解三角形解：依题意作图所示：AB 20m，仰角DAE 60o，俯角EAC 45o，在等腰直角VACE 中，AE EC 20m ，在直角VDAE 中，DAE 60o，DE AEtan60 o 20 3m，小高层的高度为CD 20 20 3 20 1 3 m ．故选B．点评：解决解三角形实际应用问题注意事项：1.首先明确方向角或方位角的含义；2.分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图；3.将实际问题转化为可用数学方法解决的问题10．关于函数f x x sin x ，下列说法错误的是（）C．f x 有零点D．f x 在0, 上单调递增2答案：B根据奇偶性定义可判断选项A正确；依据周期性定义，选项B错误；f 0 0，选项C 正确；求f x ，判断选项D 正确.解：x sinx f x则f x 为奇函数，故A正确；根据周期的定义，可知它一定不是周期函数，故B 错误；A．f x 是奇函数B．f x 是周期函数因为f 0 0 sin0 0 ，f x 在,22上有零点，故C正确；由于f ' x 1 cosx 0 ，故f x 在, 上单调递增，故D正确.故选B.点评：本题考查函数的性质，涉及到奇偶性、单调性、周期性、零点，属于基础题.二、填空题11．设函数f ( x)是定义在R上的偶函数，记g(x) f (x) x2，且函数g x 在区间2[0, )上是增函数，则不等式f (x 2) f (2) x2 4 x的解集为 _____________________答案：, 4 U 0,根据题意，分析可得g x 为偶函数，进而分析可得原不等式转化为g x 2 g 2 ，结合函数的奇偶性与单调性分析可得x 2 2，解可得x 的取值范围．解：2根据题意g x f x x2，且f (x)是定义在R上的偶函数，则g x f x x f x x2 g x ，则函数g x 为偶函数，22f x 2 f 2 x2 4x f x 2 x 2 f 2 4g x 2 g 2 ，又由g x 为增函数且在区间[0, ) 上是增函数，则x 2 2，解可得：x 4或x 0，即x 的取值范围为, 4 U 0, ，故答案为, 4 U 0, ；点评：55中档题．则实数 m 的最小值为4 答案： 43解：故答案为： 点评： 本题主要考查二次函数的应用，还考查了换元的思想和运算求解的能力，属于中档题13．在平面直角坐标系 xOy 中，a 在x 轴、y 轴正方向上的投影分别是– 3、4，则与 a 平行的单位向量是34 答案：±3，4本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意分析g x 的奇偶性与单调性，属于12 ．设 sinsin1，不等式 sin cos 230 对满足条件的恒成立，将不等式sin 2cos m 0 对满足条件的恒成立，利用 sinsin1，3转化为不等式sin2cos 2m 0 对满足条件的恒成立，即不等式sin2sin2m 对满足条件的 恒成立，然后用二次函数的性质求 3f( ) sin 2sin2的最大值即可。