基本初等函数图像

基本初等函数及图形

基本初等函数为以下五类函数：

(1) 幂函数 ,y x μμ=是常数；

1.当μ为正整数时，函数的定义域为区间(,)x ∈-∞+∞，他们的图形都经过原点，并当μ>1时在原点处与x 轴相切。且μ为奇数时，图形关于原点对称；μ为偶数时图形关于y 轴对称；

2.当μ为负整数时。函数的定义域为除去x =0的所有实数。

3.当μ为正有理数m n 时，n 为偶数时函数的定义域为(0,)+∞，n 为奇数时函数的定义域为(,)-∞+∞。函数的图形均经过原点和(1,1). 如果m n >图形于x 轴相切,如果m n <,图形于y 轴相切,且m 为偶数时,还跟y 轴对称;m ，n 均为奇数时,跟原点对称

.4.当μ为负有理数时,n 为偶数时,函数的定义域为大于零的一切实数；n 为奇数时,定义域为去除x =0以外的一切实数.

(2) 指数函数 x a y =(a 是常数且01a a >≠，)，),(+∞-∞∈x ；

1.当μ为正整数时，函数的定义域为区间 ，他们的图形都经过原点，并当μ>1时在原点处与x 轴相切。且μ为奇数时，图形关于原点对称；μ为偶数时图形关于y 轴对称；

2.当μ为负整数时。函数的定义域为除去x =0的所有实数。

3.当μ为正有理数m n

时，n 为偶数时函数的定义域为(0,)+∞，n 为奇数时函数的定义域为(,)-∞+∞。函数的图形均经过原点和(1,1). 如果m n >图形于x 轴相切,如果m n <,图形于y 轴相切,且m 为偶数时,还跟y 轴对称;m ,n 均为奇数时,跟原点对称.

4.当μ为负有理数时,n 为偶数时,函数的定义域为大于零的一切实数;n 为奇数时,定义域为去除x =0以外的一切实数.

(3) 对数函数

x y a log =(a 是常数且01a a >≠，)，(0,)x ∈+∞；

1. 他的图形为于y 轴的右方.并通过点(1,0)

2. 当a >1时在区间(0,1),y 的值为负.图形位于x 的下方,在区间(1,)+∞,y 值为正,图形位于x 轴上方.在定义域是单调增函数.a <1在实用中很少用到.

(4) 三角函数

正弦函数 x y sin =，),(+∞-∞∈x ，]1,1[-∈y ，

余弦函数 x y cos =，),(+∞-∞∈x ，]1,1[-∈y ，

正切函数 x y tan =，2ππ+≠k x ，k Z ∈，),(+∞-∞∈y ，

余切函数 x y cot =，πk x ≠，k Z ∈，),(+∞-∞∈y ；

(5) 反三角函数

反正弦函数 x y arcsin =， ]1,1[-∈x ，]2,2[ππ

-∈y ，

反余弦函数 x y arccos =，]1,1[-∈x ，],0[π∈y ，

反正切函数 x y arctan =，),(+∞-∞∈x ，)2,2(π

π

-∈y ，

反余切函数

x y cot arc =，),(+∞-∞∈x ，),0(π∈y ． 隐函数 百科名片 一般地，如果变量x 和y 满足一个方程F （x ，y)=0,在一定条件下，当x 取某区间内的任一值时，相应地总有满足这个方程的唯一的y 值（不一定唯一，如x^2+y^2=1）存在，那么就说方程F （x ，y ）=0在该区间内确定了一个隐函数。

目录

特点

求导法则

推理过程

隐函数的导数

特点

隐函数不一定能写为y=f(x)的形式，如x^2+y^2=1。因此按照函数“设x 和y 是两个变量，D 是实数集的某个子集，若对于D 中的每个值x ，变量y 按照一定的法则有一个确定的值y 与之对应，称变量y 为变量x 的函数，记作 y=f(x).”的定义，隐函数不一定是“函数”，而是“方程”。

求导法则

对于一个已经确定存在且可导的情况下，我们可以用复合函数求导的链式法则来进行求导。在方程左右两边都对x进行求导，由于y其实是x的一个函数，所以可以直接得到带有y' 的一个方程，然后化简得到y' 的表达式。

隐函数导数的求解一般可以采用以下方法：

隐函数左右两边对x求导（但要注意把y看作x的函数）；利用一阶微分形式不变的性质分别对x和y求导，再通过移项求得的值；把n元隐函数看作(n+1)元函数，通过多元函数的偏导数的商求得n元隐函数的导数。举个例子，若欲求z = f(x,y)的导数，那么可以将原隐函数通过移项化为f(x,y,z) = 0的形式，然后通过（式中F'yF'x 分别表示y和x对z的偏导数）来求解。

推理过程

一个函数y=ƒ(x)，隐含在给定的方程

(1)

隐函数

中，作为这方程的一个解（函数）。例如

给出

隐函数

。

如果不限定函数连续，则式中正负号可以随x而变,因而有无穷个解；如果限定连续，则只有两个解（一个恒取正号,一个恒取负号）；如果限定可微，则要排除x=

方程的一个点(x,y)=( x0,y0)的邻近范围内，则只有一个惟一的解（当起点(x0,y0)在上半平面时取正号，在下半平面时取负号）。

微分学中主要考虑函数z=F(x，y)与y=ƒ(x)都连续可微的情形。这时可以利用复合函数的微分法对方程(1)直接进行微分：

隐函数

(2)

可见，即使在隐函数y=ƒ(x)难于解出的情形，也能够直接算出它的导数，惟一的条件是

隐函数

(3)

隐函数理论的基本问题就是,在适合原方程(1)的一个点的邻近范围内，在函数F(x,y)连续可微的前提下，什么样的附加条件能使得原方程(1)确定一个惟一的函数y ＝ƒ(x)，不仅单值连续,而且连续可微，其导数由(2)完全确定。隐函数存在定理就在于断定(3)就是这样的一个条件，不仅必要，而且充分。

这个结果能够推广到方程组

隐函数

相当于(2)的微分式给出相当于(3)的条件